Aula 6Derivadas Direcionais e o
Vetor GradienteMA211 - Cálculo II
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática AplicadaInstituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Derivadas DirecionaisSuponha que desejamos calcular a taxa de variação dez = f (x),x = (x1, x2, . . . , xn), no ponto a = (a1,a2, . . . ,an) nadireção de um vetor unitário u = (u1, . . . ,un).
Lembre-se que um vetor u é unitário se ‖u‖ = 1.
Exemplo 1
Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala comar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos nadireção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, semovemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irádiminuir.
A taxa de variação de z = f (x) em a na direção de u é aderivada direcional. Note que derivada direcional de dependetando do ponto a como da direção u na qual afastamos de a.
Definição 2
Derivada Direcional Seja f : D → R uma função de n variáveis,isto é, D ⊆ Rn. Considere um ponto a no interior de D e u ∈ Rn
um vetor com ‖u‖ = 1. A derivada direcional de f em a nadireção u é
Duf (a) = limh→0
f (a + hu)− f (a)h
,
se esse limite existir.
Observação
A distância entre a e a + hu é |h|. Logo, o quociente
f (a + hu)− f (a)h
representa a taxa média de variação de f por unidade dedistância sobre o segmento de reta de a à a + hu.
Derivada Direcional e as Derivadas Parciais
A derivada direcional generaliza as derivadas parciais noseguinte sentido. A derivada direcional de f em a na direção dai-ésima componente da base canônica, ou seja,
ei = (0, . . . ,0, 1︸︷︷︸i-ésima componente
,0, . . . ,0)
é a derivada parcial de f em a com respeito à xi , ou seja,
Dei f (a) =∂f∂xi
(a) = fxi (a) = Di f (a).
Derivadas Parciais e a Derivada DirecionalConsidere a função g : R→ R dada por
g(h) = f (a + hu).
Por um lado, note que
g′(0) = limh→0
g(h)− g(0)h
= limh→0
f (a + hu)− f (a)h
= Duf (a).
Por outro lado, da regra da cadeia concluímos que
g′(h) =∂f∂x1
dx1
dh+
∂f∂x2
dx2
dh+ . . .+
∂f∂xn
dxn
dh.
Agora, x(h) = a+hu = (a1 +hu1,a2 +hu2, . . . ,an +hun). Logo,
dx1
dh= u1,
dx2
dh= u2, . . . ,
dxn
dh= un.
Portanto, tem-se
g′(0) =∂f∂x1
∣∣∣∣a
u1 +∂f∂x2
∣∣∣∣a
u2 + . . .+∂f∂xn
∣∣∣∣a
un =n∑
j=1
∂f∂xj
∣∣∣∣a
uj .
Teorema 3Se f é uma função diferenciável em a, então f tem derivadadirecional para qualquer vetor unitário u e
Duf (a) =n∑
j=1
∂f∂xj
∣∣∣∣a
uj
Observação:
Qualquer vetor unitário u ∈ R2 pode ser escrito comou = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso,
Duf (x , y) = fx(x , y) cos θ + fy (x , y) sen θ.
Teorema 3Se f é uma função diferenciável, então f tem derivadadirecional para qualquer vetor unitário u e
Duf (x) =n∑
j=1
∂f∂xj
uj
Observação:
Qualquer vetor unitário u ∈ R2 pode ser escrito comou = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso,
Duf (x , y) = fx(x , y) cos θ + fy (x , y) sen θ.
Vetor Gradiente
A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita emtermos do seguinte produto escalar
Duf (x) =n∑
j=1
∂f∂xj
uj =
(∂f∂x1
,∂f∂x2
, . . . ,∂f∂xn
)︸ ︷︷ ︸
vetor gradiente
·u.
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O gradiente de uma função f , denotado por ∇f ou grad f , é afunção vetorial cujas componentes são as derivadas parciais,ou seja,
∇f =(∂f∂x1
,∂f∂x2
, . . . ,∂f∂xn
).
Vetor Gradiente
A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita emtermos do seguinte produto escalar
Duf (x) =n∑
j=1
∂f∂xj
uj =
(∂f∂x1
,∂f∂x2
, . . . ,∂f∂xn
)︸ ︷︷ ︸
vetor gradiente
·u = ∇f · u.
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O gradiente de uma função f , denotado por ∇f ou grad f , é afunção vetorial cujas componentes são as derivadas parciais,ou seja,
∇f =(∂f∂x1
,∂f∂x2
, . . . ,∂f∂xn
).
Interpretação do Vetor GradienteSabemos que o produto escalar de dois vetores a e b satisfaz:
a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ,
em que θ é o angulo entre a e b. Assim, podemos escrever
Duf = ∇f · u = ‖∇f‖ ‖u‖︸︷︷︸=1
cos θ = ‖∇f‖ cos θ.
O valor máximo de cos θ é 1, e isso ocorre quando θ = 0. Logo,
Teorema 5O valor máximo da derivada direcional Duf de uma funçãodiferenciável é ‖∇f‖ e ocorre quando u tem a mesma direção esentido que ∇f .
Em outras palavras, a maior taxa de variação de f (x) ocorre nadireção e sentido do vetor gradiente.
Em R2...Considere uma função f de duas variáveis x e y e uma curvade nível dada pelo conjunto dos pontos
{r(t) = (x(t), y(t)) : f (x(t), y(t)) = k}.
Se P = (x(t0), y(t0)), então pela regra da cadeia, temos que
∂f∂x
dxdt
+∂f∂y
dydt
= 0 ⇐⇒ ∇f (x0, y0) · r′(t0) = 0,
em que x0 = x(t0), y0 = y(t0) e r ′(t0) = (x ′(t0), y ′(t0)) é o vetortangente a curva de nível em P.
Conclusão:O vetor gradiente ∇f (x0, y0), além de fornecer a direção esentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangenteà curva de nível de f (x , y) = k que passa por P = (x0, y0).
Em R3...
O vetor gradiente ∇F (x0, y0, z0), além de fornecer a direção esentido de maior crescimento, é perpendicular ao planotangente à superfície de nível de F (x , y , z) = k que passa porP = (x0, y0, z0).
O plano tangente à superfície F (x , y , z) = k em P = (x0, y0, z0)é dado por todos os vetores que partem de (x0, y0, z0) e sãoortogonais ao gradiente ∇F (x0, y0, z0), ou seja, a equação doplano tangente é:
∇f (x0, y0, z0) · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0.
A reta normal a superfície F (x , y , z) = k em P = (x0, y0, z0) édada pelo gradiente ∇F (x0, y0, z0), ou seja,
(x − x0, y − y0, z − z0) = λ∇f (x0, y0, z0), λ ∈ R.
Alternativamente, suas equações simétricas são
x − x0
Fx(x0, y0, z0)=
y − y0
Fy (x0, y0, z0)=
z − z0
Fz(x0, y0, z0).
Exemplo 6
Determine a derivada direcional Duf (x , y) se
f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2,
e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6.Qual será Duf (1,2)?
Exemplo 6
Determine a derivada direcional Duf (x , y) se
f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2,
e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6.Qual será Duf (1,2)?
Resposta:
Duf (x , y) =12
(3√
3x2 − 3x + (8− 3√
3)y))
e
Duf (1,2) =13− 3
√3
2.
Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função
f (x , y) = x2y3 − 4y ,
no ponto P = (2,−1) na direção do vetor v = 2i + 5j.
Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função
f (x , y) = x2y3 − 4y ,
no ponto P = (2,−1) na direção do vetor v = 2i + 5j.
Resposta:
Duf (2,−1) =32√29.
Exemplo 8
Sef (x , y , z) = x sen yz,
a) determine o gradiente de f ,b) determine a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na
direção v = i + 2j− k.
Exemplo 8
Sef (x , y , z) = x sen yz,
a) determine o gradiente de f ,b) determine a derivada direcional de f no ponto (1,3,0) na
direção v = i + 2j− k.
Resposta:a) O gradiente de f é
∇f (x , y , z) = (sen yz, xz cos yz, xy cos yz).
b) A derivada direcional é
Duf (x , y , z) = 3(− 1√
6
)= −
√32.
Exemplo 9
Suponha que a temperatura no ponto (x , y , z) do espaço sejadada por
T (x , y , z) =80
1 + x2 + 2y2 + 3z2 ,
em que T é medida em graus Celsius e x , y e z em metros.Em que direção no ponto (1,1,−2) a temperatura aumentamais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Exemplo 9
Suponha que a temperatura no ponto (x , y , z) do espaço sejadada por
T (x , y , z) =80
1 + x2 + 2y2 + 3z2 ,
em que T é medida em graus Celsius e x , y e z em metros.Em que direção no ponto (1,1,−2) a temperatura aumentamais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Resposta: A temperatura aumenta mais rapidamente nadireção −i− 2j + 6k e a taxa de aumento é
58
√41 ≈ 4oC/m.
Exemplo 10
Determine as equações do plano tangente e da reta normal noponto (−2,1,−3) ao elipsoide
x2
4+ y2 +
z2
9= 3.