I}TTftODUZ]CIVEDEL METOD0 DE,GLI trLET"'EhJT I FINITI
PTR STAT' D' SrcftZO P,AT{I
DISCRETIZTAT f CCN ELENENTI 7R/AI{6O I-,ARI
c^"* U Sc;e".a* dee% ('osl.r+ioni [' tenuto da€
qrofessor- t"{afrft;
2{nno éxr.+dernica L93C ,l gt
Stuàewti : -Pia, n *tri*Re€.a
V;si ,rt^ru Dario
I1 $etodo d*g1i eLernenLj fini Li, oggeLtc, Cj una
icLensa atlivita di ricerca a parLire dal-1a seccnda meta
d*g1i anni '6An si è ::apidamente diffuso e con noLevole
successo nell'ambito deii'ingegneri.a, Erazie sopraLtult,]
aLla sua capacila di descrivere problemi anche complessi
in mcdo semplice ed al-La facilità con cui è possibiie
t-radurLc in proerammi di ca1co1o.
.l-nche se I g prinre applicaziani riquardarL-.rno quas i
esci usivarnenle I'analisi di prcblemi struiturali,
successivanr*nte esse si di. f f userc' ad al+*ri campi
:cienlif ici, a conf erma de1la val_idilA del rnetodo.
̧el-1'afi'rbi'uo del carettÈre introdutlivo del-1a Dr€)senLÉ
-i-::iztier'= 1a iin.i.ra:-l-cn= al_l_'analisi srructural:
:::-.rea:.= :-rùji risu-ria es:Ére pi.rLicolat-nanLe re:rri--:iva,
eC è ccntunque adatia a risol-vere un not.evol-e numerc oinr"r'nìonri nrtè' ':-uv4s.,,_ y**_.ICl_.
Il- :lrelodo degli element i finri_j" consenLe di.
apprcssimare l-e equazicni 'ii f f erenziali che gùvernano urr
sislema continuo, con un sis'"ema di eguazioni aiqeL,rich*
i:r un numerc' fini.Lo di incogniLe.
La tecnica coilsisle soslanzlalrnente in due fasi: nellaprima, det-ta di discreli z?,az,ione, i 1 corpo conLinuo viene
Civiso in domini elementari: nelt a saCr-rrrdà, C*tra ii
modellazione, viene irrtrodoti.o un modt-l-1o di sFlirsLarrrent i
sui iomini appena definiti.
Quindi, per prima cosa si proL-ede ad una surJ,livisiorr=
i=1. CC,rp.-' irr f .igur= sÉrTr§'ìici, ad esÉmF,io, nÈl t-3si, ;,iarr,:,
i--.: triclr-J,-,ii e quaCri 1al=: i; ,:,gni siri,;c1,:, el*nt+:rr;c, f in j tc
v:.=I1* cat-a+-lerizzaia da uti cet-tc, num*Io d:'. purrtì
r3lrpresÈnt.ativi chiarnat I nodi , tra i qua 1i sono i n genere
r*np,resi i vert.ici eC evÉniualmente unc o piu punli sui
la:i ed aJ-f inLe::no, scelt-i. come verra pl-e::satc, tr
- --..'r -snguL Lo, a sECorrda del gradc, d j d*f ini z jc,*,= deLl"o staL+
,:: : f {lrzÒ che s i vuol_e c,LtenÉre neì singolo elemenl o
--:srrr jte i1 rrodello di sp$§larrento sceltc.
Il- nt-irfieÌ-e di plirfri nece..rsario e sufficienLi r,*r
i*f:,nire uJ) e1:irrenLo è pa:..:. aL nurnero cii veriici delic
s:Ès--L); al-l-'aum*ntars dsl nl].rrercÌ Cei no.di si pot,ranno
iescri-v*::e slati di s f :t;r?.o variabi 1i linearment* o di-..J:.- -.-: ----r.ut- - -
!'- Y sf ! -,
-.r- 1^
LJ 'Jd. -! E 3 -t dl Ir_)
,ìnìr-lai: rr + i l- +
i q rif r,rn i :
e-LaStiCl-LA ij-rrÈafe
regim* dj piccoli sposLament.i
com* ri f et-imenlo, nel-1o
ts(lllÈ - i,^,rr U.l, e(full
co:rf i Eurazi,:,ne i ridef {,r-mat-.1
si consjd*rerè. un cc'rpo bi'liniÈnsi,:,na1*.rrr-i li.--.r - I - ^ -^.r-.'^r j i - - L --...vr:! r.l_..t_Lc:= != :. t.ul_l,Ej]LI JI_:._rL=_\f -
Del:
( L* caraLt-erisLl;h* eLasLiche dcl cor;:ù
risuit-ano i"ndiper,Centi dalia direzione
neiia gualÈ verrgonc saggiale )
1i ( ccnsente Gl" a-qsum*.r-I
sc::ivere 1e,
ibrirr, ia
sistema di forze agenti nei p'iano definito Cal corprr
DTSCRETI ZZA?,TONE IN ELEMENTI FINITI TR.àNGOLARI
DaLo i1 corpo nelIe ipolesi sopra elencat"e, si procede
al-1a sua discrelizzaziane in elemenLi Lriangorari, avendo
parlicolare cura nel-la definizione del contcrno, per 1a
numerazione dei nodi si procede a splraIe, partendo daL
lat"o estremo più corlo in modo da mj.nimi zzare la
differenza massima tra i nr:rneri che individuano i nodi in
og:-ri singoio elemenlo; in Lal modo sl garantisce, come si
vedra in seguiLo, una minor spess. comFuLazionale rispetlo
ad una Ru.merazione casuale.
Nel-Lo speci f icare i nodi di ogni singolo el-emento è
ccnvenienle, dal punLo di visLa dell-a traduzione de1
rnelcdo in programrfta di calc,:1o, seguire se§lpre unù stessc,
senso di percorrenza, ad esernpio aniiorario.
Y
-t
.i::tx
§abel}a deLle connessioni
1
_1
4
J
6
1
o
3
10
L1
rr
i34A1l
rr r'é i 1
2
2
?
1
I
rJ
)
6
F,
1
a
2-5
7 -6
3-1
8-7É-A-,?
6-5
5-9
10 - 9
6 - 10
.LJ - _trj
t-rl
12-L7é, - r/aa-t-J - )-1
3ssÉrvazicrre: in quesLo esempio .'a dif ferenza massima +-ra
i numer:i ch* caratteri zzono i nodi. è 5.
Lr 2n coordisate degil
iiscrelizzazione adollaLa nel
la tabella de1le connessioni
j nodj che q1i atlpartengcno.
n nodi, definiscc,no 1a
riferintent.c) globale ( X,Y );
specifica per oEni elemenl,:
Pis,saLa I'attenzione su un eJergenLo guaì,siasi, ad
y:esiF,it:) i1 numero 77, si d*fjnisce F,Èr esso un riferìmen-
i,lr 1,::,:a1e che, per r-c,in,-,di Lar ah,i-ria origin* n*1 pr-irnr, Ir;r(1-r-r
j*11a seguÈnza daLa, ( nel nostrc esempic, il nodc, j \ .Jt-1il
.'''.a.ise x tale
seCòrido nodo
precedent-e,
ncdo ( nodo
globale 7 -
'LJ.
che i,I suo semiasse positivo passi per- il( nodo 11 ) ed asse y orlogonaì-e a:.
orientalo in modo che 1'ordinala de1 lerzo
6 ) risultj. positiva, À11a numerazicne
77 - 6 si associa ta numerazione local-e
q(5)3
*rb44
(,,r,{ )
3À*
^&
Osservazicne:
i'operazione più delicala de1
in elenrenLi finiti de1 corpo
esiste un criteric generale da
alcune indi ca z i oni ernerse
meloCo è l-a suddivisiorre
conLinuo, in quanto non
seguire. Esjstono comunque
dalI'esperienza che è
c.cnveni enle osservare:
- elementi guadraLi e iriangoli equilateri forniscono i
risultati più accuraLi, mentre sono da evitare elementi
di f orma irregclare cùme ret+-angoli lunghi e sotti ii e
tranEc,li appiattit:"
- nelle zone in cui si ha concentrazione deqli sforzl è
necessario aunenlare i 1 nÌ.rrnero dei nadi del1a
5
(?)
discreti z:zaziÒne, r15pélto aile suitr 'irr cùi g1i. sf c,rzi
..'ari an': i*nLantenLe
- per valulare la cùnv=rgenzcr del procediment,: ù
necessario risolvere 1o slesso esempio so.n una
sucdivisione più fitLa.
FJODELTÀZIOHE
SLabi 1i re un modelLo di spostamentc s i gni fi ca
introdurre due funzioni u=u(x, y) e v=v(x, y) che
definiscano q1i spostamenti de1 punL0 §eneric'-',
Ce11'element.o, in funzic-';1E di que1tr"i che sonÙ s1i
spcsLamenti dei nc,di del-l-'elernento stesso"
Il gradc-: de1 polinorilio ci:e caratt*r:i zza i 1 nrodellt: Ci
sposLamento, dip*nCe dai riumer., di nc,di scelli per ogni
=iemento; cj.ò significa che prendendo per ogniuno di essi
Lre soli nodi, si riesce a descrivere al più un nrodeIlc,
di spostamenio lineare, cioe descritto da una funzione
,-:rrarlra+ ica 'l ineare.
le (Y,rA) : dr + d.zY n uzé
1f(x,b): XL1 +Cax +arZ
Calcolati i coefficienLi N^ mediante 1e ct,Irdizj,c,ni ai
nodi , ri sulLanc 11c,Li g1i spos Lanrenti d i crrlni printc;
appartenente all'elenrento.
t
n:ic 1 ( )r-(o,O) = M,- = Xt
' * t" - &axzr:oio , \ lt (x",o) -- ,tL2 = c
ncdo 3 t- ),L {xs, [=) = ,trs = X4 + C-zX= + Xr1,,
ncCo t {nr(o,o}= ,.it=&lii
nodc 2 1 rf (xa,o) = \!a = 4q + N.s Xe.
I ^-,,. ,, \ ^r:.:do 3 LT(x=.$=)=tls=&q+ ci,sXs +esàt
[*o,}rLr =I1..L*s -
Condizi-oni ai nodi
- ll-\/L - eL
C,e = )Lz- 4t\"/,\9
C1.* = ,\Ls - ALt. + )J-a - ,l*, V_4o Xt ù-u2 *a3
csservazione: per 1a djscretizeazione adotLata. traniL*
triangc,li, ie coordinate Xa ed U,s son.:0
sempre diverse da zero.
Si wuole cra esprimere u(xry) e v(xry) in iunzisne dei
ri.speitivi sposlamenLi nodali ))1, &2, Ls e 1i:. , Va , tÉ.
À 'UL-'Uà Y-X. LJ--É ca
tt Sx,g\
lL {x,%) ' )da-4aXz Sz
xz * \ -l-t,x"%. )
I
d-e-+&zX +oaslA
Xs(tst
(t-^ --È- * X=8.\r,ir +(L[ *. %s xzvz) \ -.
^z I t-4
uLÀ.12
4i
(x, b) (*,? )
1/rt,r\v t/./tl41, /v ,, \v \^tY\ l
4q+ 6(SX 'dr*
1Tt + Vz-\f', X +iLr'r-{r-rXg[?s
It -xl- 7*tE
*Xs?\Yt+fx'-X^ Sz i \',
, ,\la -'U2+ --
Xa ?g
- xsH \(raX,-a;l
^=l?
L,{
I é V<L-].1 7-
"rG,3) : Yr(*,*) "ri -+ uo(x,?) % + f={x,2\ nr=
Le f unz i on i tD (x, t*)
fù§ZICIHI Df FORFIA' esse
C tx,g) vale 1 ne1 nedo 1
a..fl
2-x,2 ) - L
u(x.,*) " t 3iJ
irirnrinlis
sono funziani
frrrT
11
lrond^nA
*t,
nl^'irm=*e
nl_3
L2
lfi cx'qr)I-
?"t^'"r )1
c1 pllo
I emqnti
nri di
Yquri t
di ogni
al-mente
é <rrn'1 i
on i1- metodo deg1i. e
rmi nare gl i spù:s tame.
sono i nodi, dai
, fisalire a queIli
j dei nodi sono gener
zicne, che poi ricad
ni I (x,A\ .lt
el1o di sposlamento
Risolvere una struttura c
finj.Li significa quindi deLe
guei particolari punLi che
xreCiante Ie funzioni Ci forma
aliro punto. G1i spostament
dati can una certa approssima
al-tri punt"i lramite 1e funzio
in fcrma matriciale i1 mod
esprimere nel seguente modc:
)+ (x,V\ = { "* u,g) ) =liI qr 1u ,,; IL v Lnt\) J
1
I
t
T
{\
)
t,
S ,^"'ù *
II
I
_l
Con,{À .V'vettore deg'r i spost-amenti nodali e $ f^,,ù € T
nt'6inatri ce de11e f unzi oni di f orma:
LL*
U4
ÀLe
1r2
&t
Us
t t\tZ/ (n*)
IJ
(r,*) o frr*,V)
o vqà) ot3Ite
fU(xI t- EI ',',
LC§ r*,gl ào Et.,a)
ANALISI DELLO STATO DT DEFORM.à,ZIONE
f n regime di pi ccoli sposLarnenLi 1e comporrent i del_
tensore di deforrnazione lle;il "t ottengono derivando lecomponenli del1o spcslamentc.
fn forma generale:
Per eiementi finiti triangolari, limizandosiconsiderare Ie deformazioni neJ piano, si hanno
seguenli espr*ssioni:
4 { ò,*; + )^*; }a \ Dx; àx;)
2
l^ÌC
?qc*"*). - ivtcx,w> nr"a + ??r(n,*\ o, -rag )g iH
+ à{faG,q\ wz * t??crù.a..+3* Jfrcr,$ n}iAN ac6 èx
Tn fornra maLricialeE (*, b) :E ( x,t> 4
Con !!.?n',r*ttor* degli spostamenli nc,dali e B {^,7) * 'f/lt'"mat.rice dell_e derivate de1le fr:nzioni di f orma.
una volla scelti lre sc,li nr:di per ogni eLementc,
uz
10
triangolare, si puÒ descrivere af più un modello disposLamenti rineare da1 gua1e, per guànlo visLo, consegue
uno stato di rleforrnazicne costanie. rn guesto casi--)
particolare i1 tensore e, tx,b) di deformazione e 1a
naLricÈ E G,+) deiie cierivare ciell-e funzioni dj forma,
risullano costanti a1 variare delle coordinale xry delpiano del corpo, Ànche la disiribuzione degli sforzi che
ne risulla, sarè. costar:le in og*i singolo elemento e
guindi. "a gradini- nel- corpo; di conseguenza in genere
ncn polra essere rispettaLo 1'equilibrio all,inlerfacciadeq'Ii elemenli, meni.re sarà rispetlala 1a conEruenza.
§e all'elementc triangolare si aggiungono aitri Lre
::odi in corrispondenza del1e nezzerie dei laLi, si riescein modo u::ivoco a definire un modello di spostamentiquadralicc e quindi, pef guanto delt.o, uno stato ,Ji
deformazione a1 più lineare.
x' XU
L
\*X
,,2qa
_La*(x,6) =
rtr (x,b) =
dt+cl*eK
O(* * o(e x
+ &q *z + ctsxa
+d*xz+duxb+ *nZ,+ o(& ffa
-I D('r L.l'o
r olq l-t
11
'::.,:..: :.'r'lr-l..
;; :.::':1, :;ìit:i...t...., |,
,,vc,iendo descrivere uno sLaLo di defornrazione quadratico
in ogni s ingclo elemenLc, i 1 modello di spostainenti dc,vr a
essere cubico; una possibiL:lA è quelIa di utii izzare
oilre ai nodi dei verLici, altri due nodi- ai lerzi medi
dl ogni lat.o ed un decimo nodr.: coincidenle cc:-r i 1
baricenLro dell-'elemenLo, necesSario per manLenere 1a
completezza deLla forma polinomiale.
{a
v3 t2
ltU
.LLI
{ut q3etl
,rt aY, B) = de + d-zx + c(s6+ d-t*z +*.s*A + *.n*L + d-7x3 +d.6 xzr6 +
i d3 *Ut * dro gt
\{G,V)= (1e +Ntzx +rl.tz* * N^r/.L +x.lsx% +Clcb. o dtrXs +
+ Nq *.S * dtq xt. + ("o ?3
Osservazi one: di so1.j.Lo non si usa$o piu di sei nodi per
c,gni ei.ernenLo F,I-efer*rro=c, un infiLLimen:,:
'lel ia discr*Li z:azione.
1?
EQUAZIONI DEL SIS"EM.A
lt §:-.-_ :i -;.,-^-.-- ^r1}\r r.r"rle e-ì g:ungÈl:e at-Le e.quàzioni che cclrls*nlcrro di
risolvere una. sLru'rtura lramiLe i1 rneLodo degli elernenli
f irriti, è necessario a-r:alizu,are i l egami esisLent i f r,=
s'*a1.,-, oi sf.orz:; e dj cleforirr.-r:ic,ne rr+l1e iE,otesi f issat.:-,
À::aLisi dei legami fra stat.i di sforzo e di deformazione
Principio dellf elasLicita. lineare o di IiOOI{E
"In ,.r.rr corpo elastico soggÉtLo a forze *st-erne inequil-ib:"io 1e compc:neilLi de1 t*nsore di defc,rmazion* (Ai)
sùno fi:.r:zicrii l-jneari e.d orroqÈn*s delie cDmpùrlenti cel
:=nsc,r: di tens j one (d;;) , ? vrcÉversa. -
€.L : 7 te- {ì{,4e. drq .*..-,- dr*:Eru d;t,1a 8te
I coef f icieni i É;e-,$L t die,i( chiamati cosianti di
el-asticita, + che dip*rrCo::o da11e prc,pri età del- maLerial e
:i! esanìÈ, Sùnù coslanti in cia;cun punlur, rfla variabili i'ri
g=ntrale, Ca punlo a punt"o det corF)o.
I legami sf or:i def orrnazicni per un materiale elas t_ j c;'l ineare s j. possùrro guindi scrivere rreiia fc,rnia:
€:_c 6ccn € ;r"*; J*r,or*"ru rlej mareriare
r§
.::,r, Q ;t.* ;, Iio*=r" del maLerj are
Le costanrj di elasticiLà, fo::irrairnente in
s.i riduccrro a 36 ri cordando che i tenscrri
81,
t
nÌ.lmeÌ-C, ,l i.
€-
L3
C> ed
/t)\(6'- tLGg.)
\/ ) ,,/' ì( =2- - t, Dx )
simfirÉtrlci, harrno ciascuno 6 scli Lerm!ni distin+*i. ?a1e
nr-lrrrÈrc, 5i riduce ancùra a zL in guantc, 1'en*rg5 a
cÌ-ì,ii-'i f ir,r di deformazione dw= d;g,dt4è un cjj,f ferenzLaie-! -" -
/esatLc 1 -> 15 relazioni de1 lipo ?1'L ?gi3- I-- -- -- \ ' :€<.A 35;g I
QuesL'uitima conOizicne garantisce fa sinmeilj.a deile
naLr-ici Ce D.
in ipotesi di isolroPia
per punlo a tre, d!'Ì'omogeneita garantisce
C r-rf pC.
NeI Èasù di stalo Ci sforzo Pian,:
rel-azicni di elasLicita ìineare fra
risr:itano:
1e ccrstanti si riducono Punto
cui due indipenCenti ' menlre
1a loro costanza in tutto i1
,/ 'f -T -at93 -- .Èt - L+t- F ' r;
solidi i sotroPi
(
i.
ricordando che
C-d
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CI
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à: òein slati piani di sforzo
considerare Ie matrici appena
D * f[1_.2,2
Per ogni slng.:1o elemento
-/
in genere ci
viste, per cui
si lirnita
risul."a C
d: D e-dJ-& è i1 vettore degli spcstarnenLi nodali
forma, in genere non costant.e.
fiicapit.olando le relazioni fondamentali riguardanti i1
singolo elemenlo finito e-esimo triangolare sor:o:
Y
T{!c (x, 51 = 9_
,O *l le L-e -
lA.!
1]-!.
t't 7
4rz
*-1
1€ I15
:::: _::i::
€e(*,g'1
Ge cx,W\ : è. & cx,a) : ,Z' -
nrdlric|: dei 1e fun:ioni di forma
malrice di rigidezza de1 materiale
matrrce delie derivate delie funzioni di forrna
Eguazioni de1 sistema
Ài fina ,.ìi cqniir-iiera 1p9,t., lf
€" (/,g) = -'B. (x,W\ &z)
I\)e
II
i\)e
d",*&. &" -r--r-e
7
,.L
J--)
ts
riscilvenli ia slru+_lura si puÒ
enÈr-geti,:o da as,pljcare a1 corpo
Princip:.o del lavori virtuali
tgua z i orr j a ì.3.:h, r i cli+
inirrìdurrer urr principio
coniinur:.
"Sr con :,-i f e: imrt', 1i, a-'ì Litl t,t,r--!_,,., .:la-=Li,--:, in rlu: Ì.ik l-i,_,
scit.c, i'azjone ,ji un ben determinato sistema ji fcrz*
( r'eazi cni compr*s. ) , s i f anric, Iavc,ra r* quei ie f c,Ì:ze F,*rLlngtue,rbi
rtr -énéri--, c{-!^-- ti -*--+---^} I t.i..r-urr yElr=rrLU ;,tsterna,fl ;pC,SLamÉnLj viftUali', iL lav,_,t-:
virtuale cc,mFriuic, da11e fcrze esLerne p.er eff*Lro d*giisE,*sLarlte.nlj cùj-Ìs-i_der-ali, eguaglia la ccrrispertivava::iaziorre dj. +nergia pot*nziale eiastirr:a intarrla( l-arrc,rc che le tei-rsion:. j.nterne compionc, per ef f et t,de11e def or-nra:,i -rni conseguenti a1 si sLenia di s!r-r5tarnenli
c,:nsideralo l. "
S^* "dS:f
J,[,,
J,,f
f*l#J5
5E àV { 5aàV
*L
b Vzvetrore aàri* volume
- -r --7t--.L -)
I t^ l- I =.1-1 IL_/ILt-ttlJ
Nel seguito si indicheranno con un cappelLo - A *
quanliià che caratterizzano sforzi, sposiamenti e
deformazioni, in assenza delLe approssimazioni inlrodotte
dai modelli di spostamento; 1o stato di sollecilazione e
ia configurazione del conlinuo indj-cati con 1'asLeriscorÉ rappresent-eranno invece valori approssjmaLi.
'' b*')tt=1, l'( b?,1
(rl4\*l
- I le/t! -tlu II I dJ
EtP,t, l-l
/, el t - -J- lr- -- j
' lJr,- /i, )LtJ
rffiazioni di rralura anelastica
azioni Lermiche ) il" tensore degli
f.I Itt sà, a, *{ 1,- si" tsf/! u" l$" ICOTF,O C,f,rlli nuc) Bon f C'S S e
o degli elementi finiti
-, ,5- I r)"' e I (9e
tt ;Ve
Osservazione:
forze di.
f t 1 -i ^
I :l
forze di/tvettore de11e -.-- -.-J i - -' ^sU}Je!r.tUrE
trLV { a' sà oiv: { ;-Jv - Jr-p
si4v +l;'5,1 dst-t{t/
A \-l--c
Iè1 I L)ot-
Suddividend': i1 corrt.i.nuc, i.n E *lementi finiii;
E
C'r,rrsj.deranic l-e defo
( per esempio Ie deform
sforzi assume l-a forma:
A. ^ -r/ / - -
o\'!.^ _.>_ I\2e -ue (' e -(-e i
fel
J ,,Ve
A- A) t c- l\ /i=e, ù1i:- oV :
z\: 1A-J t /-L:)e Jf <--e -t-
E1-rT^ -1 t., \--* ] 1* ò-t" dV : )z__e
nei caso in cui i1
omogenÈo, i1 rnet-od
. . . ,1.: i: ilt,:::iì t. -
^. . .. -, ,,-,r,r,..1,-.t;,i.; ,.
consentÉ di diversificare per ogrri elenrenLt,
1e relaLive caraLter:istiche corri sf,andenL j
ai diversi li.pi di:rateriale costiluenti il
ccnLinuo.
Si passà oia Cagli sforzi e spostamenti verj, con -r\ "r
a guel1i approssimat.i che dipendono dalle funzioni dj
fc,rma, con " *", ( nodeLlazion* ).
" &Es su- JY * {ù" sa:av -{.85€rJJk J," lini dipendenti daLl"a
spostamenti e 1a
Elc-t
) I -p<"' Bo' D. B. S-ue'--=- < It Jttve
]ìe11'espressic'ne
Éj<.-reiiztaoinr-,o
Z f z r,
E" [ (€u* -€)- p" s€"*.]v :;.1 t * ssr;v+{ i: ro;ss'l-" J ,,. '7-'! J tp- J g' i
= N E rt
l-" I t--' L;. s4.2;v -r- i {;'t^ <cisv *{ L.=rrZ tv -{6:5s"*JS I='Juu
u9e d" -/-e Ur;
ii< oc-e o' -J vu:"
o*e d' *Jr"
lrf cc,rdan'l, ch*: str)ù-cLanlent i e; = U. (x,*\:9. (x,Z) *e
i=:orna::cn1 €u* = àe C^,g_r: $,_ (x,b) &ec ,Éar: i ,"i.,.r.4 t é.uc*,ll : ; cx,?) : Ò.e B* &.
À.€,2
.m
ti
-C,
!
1
,ffAve
le:
g-
tt/ \-JV : I,/*L
I
precedente j
adc,ttai:a scno
matrice &.{'c .Òe.- indica delLe deformazioni
Ca-i-a O1 gCIÉL tZZaZÌOne.
lmpc,ste e gui ndi non dipend=
Finc,ra si ò lavoratc sul singoj-c, ef enrerric ne1 s j stelra
dj ri f erirrreni-s 1oca1e ( x, y ) ; pEr assernh;lare i risuitat -i
f in qui raggiurrti è nÉcessario passare a1 si st<nra d j
19
riferimento globaì-e ( x,-y ),
luQ =
ltI t? -
)J4
uL
tL2
4{L
{J-7
'1rg
tl\JL
Vl
Itt)z
V2
lt\J3
V3
nel ri f erirnenrc
locale ( xry )
nel ri ferimento
globale ( X,Y )
Lln velLore sposLamenlo ncn varia a1 cambiare ie]si stena di ri f erirftenLo, cambia solamsrr,*e La sua
rappreserllazi.one, trami te 1a rnaLri ce di roLazione R"de11'eiemento e-esimo.
4z= R. t
KE-) oa
'A&11d.
o
o
O
/\a/'r\d O
éolot O
O K-€)d.
A -,\e*a4
ocao
cocooo
/9/"\ol O O
cd>d- O C
/\\) {-e) 4_ ^Q,.1d.
O - Ae,+,ta t.e"l
6)3
7A
' 'i rii.Jr' .''_.rl
-, .,-::,.:.-..,,i .:,,,..: ,. ,...,-,-",.
Si introduce
tolale oei nodi
sposiamerrti di
ora un nuovo vettore
de1la dicreLizzazione
tutti i nadi.
Ut
YI
Uz
Uo'
Y^
cli sposlamenti LJ; e VÀ de1 generico nodo sono rj.feritia1la aurnerazione g1obale, alla guale si passa lrarnite 1a
malrice ea di connesslone o connettlvlLa., cornposta da
tutti zeri iranne i sei terr*ini unièari relaLivi a1la
numeraEi.one dei nodi del-l-'e'1 emento e-esimo.
ll -f
ilv3 -e .\l-(n 6, za
(-a é llL
-^ì -..1r ^ -
4e---GrUE=R.QeUS;-;.e= &. Stà : (e Ce 3U
f veltori A e 5U non dipendono
inLegrazione, al pari del-Ie malrici &
oqni el-emenlo.
Esenrpi o
Ue
)
V'ì "on ,ui numero
che raccoElie q1i
da1 domini.o di
e '=e, costanti per
t)
El-emenlo @ A.f :-" flgura a pag.20
numerazione locale.
" globale
L 2- 3
7-L7 5
27
u
U,
v-
U,.
V.,
U'
Vb
-,1<i
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1r:IY,lu,Iv'
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U.
uo
vii
II\4
V6
lxj.J*&5&"iiJ
funzioni integrande sorro deg}"i -scaiari,
ù-csùtic essÈrÈ scri+-Le neIJa segurrrrr ftrma;
p.B,+eJv=i If r*'rp,!."rv *{ raf"'sJy*?t L /Y, Jve
I rr. I+lsr;d i.Jl I
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.. .....ét e8......... Par
de1 PLV:
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S'-rsLituendo ad * = R"e" A Érj a
.)s servando che A ,-. S-U n.,r, d i p-
s.fmmetÒria:-
-r€ [ _t I \su'1L"! e; g{l I B"- p" & dv ) R,I t e \Jv. /
v) n" c,l e ry\','n/- *-J
urà
s::t-ema I i:rr-'are trr-.1Le inCogniLe A€-.
t llK= t'^ jc.-&'ii E'EB.dT" L- t Jv,
§ natrice di rigidezza de1la st-rultErr
A \- I _-Òr/ i nT^ )-.,,U = I I Ce' R.l | &; D. L.-dV-z-t s t Ju.
': . :'
.-- --: :- -:.-.-. :r ::i:
.Tòaa=a
fi (-l r:rf) ai
ttc"l{ u,I)t
- su'{E"k N(!r:r p.* oo.! gJ4;u .1,"§:i,rllin f orma com5,,-lt t a:
2.ì,l d'É. àv*16'À,ds) /.v'nJvr*" J*L' U
lJ{ veltore dei carichi equivalenLi nodali--^!À-I velLore § rapp'yesenLa i carichi aptr.l -i caLi ai nc,oi
che risul.tano, nel1'applicazione de1 FLV, eguivalerrii
-a-' - !r-!I"-'- disLrii:uzicne dei carichi.dli rlrELLf vd LllSLILIiuÉ.r.Jlle
i1 veltore G ui calcola -i.n base a:4
- eventuali deformazioni imp*ste t &')^ , ao.rrrtf .a esempio a f c,rze- forae di volume ( b. )
cenrri fughe
^- fi,rze di superficie { {e )
Per esenrpio ne1 caso di un elemerit-o i-rj.ari.3cIar* F,rstc,
su- [r o] = SU'Q
srlf conlorno de] cors,o Soggett-o a cari cci urri f irmetrreDtr
iisiribuiLo sulLa suF)eriit:ie É Firirf-,*r:dicc,ia.i'nrE-l1tÉ' c*rl
,:;>d , >J \rriit';,§+-l-a chs nÉli'ip';'t=si di mc'd=iLc di
sp'lstatnent"o
a-c sumOn+ i 1
.- -.r. I r rnr^
j.jsl casc di uI't elem*ntc,
quirrdS- adot-Lando irn rncrdeli*
si hanno valcri Civersi per i
r::ri rhi er:irivaleni.i n*da1i
ia lunghezza del- 1 'elemenlc, d j
.i-ri:nn,-,]ars ) -- " --rr* -rgl ]lL,L] -!, c
di spos+-ameni" j. quadraLi cù,
carichi equivaLenLj nodali.
lìn-arr-. t+flr9+!U,
aò
val-orÉ all ,cn I2
l-a riaL:-i. ce
singolare,
gilant,o ia
CClnSi,J*rala
,-lr :-ì,-iria-z:ur !ÀYr
e quindi non
s LI'uLLura
è labi le.
r:i sulta essere
irrveri.ibile. irr
L"1
fino ad '-ì 1- à
Esempio
Datc 1'eiem*nLc triangolare j.n figura soggetLo a carica
verLicale distribuit-o lungo il- latc' 13 si verifichi
i'eguivalenza., ai f ini dell. 'applicazione de1 FLv, f ra
carichi effetLivi e carichi equivalenti nodali.
ia'rdelip di
IYi-iIt
ÌI
I
I
I
I+I
iL(x,t) = {*
spos larnenLo
r "'l(r,t) { or{ It\\rr5/
r/^-L.t{
(n?) = f?,n,u, Yu,q\,Le(4'dJ
[t, t-,*l, fr(r,n\,
.1, tnn,]T/1\\yJv
I vrlrllQ t",uò) 1 rye ILrvlt
('^É]
l*.
.\r({,.à) =
z5
(x,u) =
ore dei ca::i chi
Ja
P* ra) d,:
-.. :1 1-!^ 1ltJ _!r J-c1 LLj lJ
^J+" Cn, ?) = = f. (r,X) Arr'
.TSni:- fx,tfll= Q (r,.ò)- ar§ *ll,.
= (Fr,r,g) Strr cx r.4i 5 U-1t u'
rlY2Ln) òai'l,r oA --al-'r b-r + l-e ò tl-i
P*t» §..ru, Ja da
ent i n,:tla 1i?,I t.r. r ",g) Pq { a)
| 'LIL
dv
lVa
Q G,*,)la
;r*J. tP'
.7
= ! ex,or \ V,r*,nr S'n *Jt L -
= ['*,*,,5) P,1ta) S'rda
I"JIu,^,It{x,s1 sr:-1 +
equ
Pr Stto * 2'
v*i t
IaI\llp('\'é ttl1.,\| -l
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=l ;li*l
t3I --= | f 'rr,,tl
Po Col d-r
Jt p3
I q c,,t\llat,
-\Àr+ tP Cx.q ) 'u3Tf?o,^,'.al i
I
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:l;i['-"ldl.L (.)'U1
(*-{'
I
Jt
1x,r1) Pt6 6,ri Snr3 dn :
da
--.1
t"it\i
J,
q. ( *,+) 5*.1'5)
26
--",,,,.. .. .,. +.-,..dÀs,&;.,-..r!--":11- "'-' '-':
:!*rt:i:
AFPTTCAZTONI
-al --."'1,.--s_1 svliupp,ànc; ore a1r.ù.1-r.i ca;i s*nìt,1jcj aì
chj-dril'e maggiornrÉllt* quànLo dÉtt_o firr.;ra.
t_arlF
r)ip;Lesi: - corpo cojncidenle con un u.rrirlo eLen'r*rric, finjLo
- rif trimenllr lorrale ( x, y ) tsaslaio e nGn
ru,ftato rispeLLo quelJ.o gioi:ale ( Xry )
,Ji
I.ìe segue che: - E=1
- Ia rnatrice di /'lroLaziL-ane (e divjene
i Éprrf i ,--r
r)c,n vi è djfferenza lra nunlsl:àzj,_,rrr
iocale É nurnÈraZi,-,rrÈ g1r,lia1e, ù quirrdi
pure Ia ma'Ltice di connessjonÈ Ce tisr-ilta
ì?LI
,rllla forma
II rTnàV +l9. P.,.=: tr*
Loe q e..f
a\ 11r, nt/
f i ci e*Le
nrl+nza,is
andc tutL
ÉnLÒ ver
f .,L\/tllr'.tl,ltL]tI ir I
( q" iI lx Itti q' II[tI
,t
lqj 1/ 'x II ^] It q,,à )
panga f
F,drt"e int
^-L-_d l lle iÌ-l 5
- 1t-^--t_ì t d5òe
ugual* a1la matrice identit
La r*lazj.one preced*nle si serrplifica ne
lr 1 -(f - A f ??^sÈll AIEB.Jvi * = s&J.lI glc.€"av *l e'-b"- =- LJu:v
q Uv, J vr*c
*
:'efazic,ne valida V SO.
-!1 F. '
s ì_ .-ì
Lu l§* = 9.
..,r, &. tqfnmatrice di rigidezza dell'elernen
velt-or:e dei carichi equivalenli nodali.
f coef f i ci enti del-la r*alri ce &, hann
s:gnl f icato f isico; aC esenrp,io i1 coef
rappresenta la fcrza che nasce in corrispo
L, direLto seconclc i'&sse locaie x, eu
5f)L,sLanr*::Li sc,tlio nuLii Lfanrre uno 3Fiù5iam
un i tar: r: nel nodo 1.
t &ro {n. {r, &r. g'r5 t'*, J ( 0 ).,^l:;ltlA*:.= f i I \u, I
Ir ll;tI i 1',(=| , i lelI j ll'lI I I a \I ltr Ir o il ,l11.., *«J lptT:-r Farticolare per U-t=1 si ha
diit-l = t." =1*'
Sj. consiO'eri i1 generico termine 8,X e si
alla par+*e inL:ra di fa#i e J uguale alia[EJ
l** j. \ . r1 termine drj rappresenta ia f c,rz\-e j -t
c.Jr.ri spondenza del nodc-r I di retta seconci
t t6
reci so
A,^
l- nodo
J ljLL
L.l- ud -L c
-.-..^ 1 ^u9udre
crf, .l i
,...:: i n
1U(-c1-l-e
28
_,r_relw
'i; ' t... r;: '
.t-,--.,."I :l iii.;::l'::, .
( asse x 1lè'i è dispari, asse y s8 -r è pari ), euanù':,
!..!r: -1.'i*uLtr gJt spostamenLi scno nuLli Lranne una) spùs Lafiier^;lr:,
uniLaric ( orizzon*-ale se .l è dispari, vÉriicair ,* à È
pari ) impCIstù nei nodo J"
i.a rnatrj.ce di rigidezza è simmelrica, e 1o si puÒ
dj"moslrare in due modi; da un g:unLo di vista geometrico e
da uno meccanicc.
l") Da11'algebra dell-* rnatrici à not.o che moltiplicando
una maLr:ice simmelri ca ris5:et.irvamente a desL::a ed a
sjnj.sLra per una generica rnatrice e 1a relaLi.ra
t-rasposta, si otLj"Ène ìJrra maLrice ancora sin:rneLrica.
Ricoroandc che 1a mairice di rigidezza deL maLeriale De
sin$r*t rica e che 16 nrat.rice di rigidezza deii'e] ernentc
; ..i. UL:.i'CJ]§ LjÉil-d le-:d.&lLrilC,
P^tlL" : I B.= D- ^3. Jvt-
i trYe_
lie sÉgue 1a simmetria.
:: ia sirnmeLi-ia del-1a nreLrice di rigidvzza
*n
Ae
ri correndo sl teorema
puÒ es s *rÈ
c 1 iJE; -t"1 -i
suil 'uguagiianza dei iavori mutui L-orrs iderat i ;
"assegnato un corFo elast"ico e due distint"i sisLemi di
fcr:e ( reazj.oni comprese ) in graCo di garar',ire
i'equiJ-ibrio, il- lavoro che 1e for:ze del pri'mc, sisLema
comlrireL,bero p*r g1i slrosLamcnLi clel. se;Òndc,r è uqu.Lì* aì
iairi,t, ri che ie f orze tlel- si-,tr.,!.ldo sisLeni,: conri:,i. r'ÉL,1.,,--:-,:, i,-., I
gl.i ef feLLi degli s;,csLaii,+nrj dcl E,Ì.inr,-,. "
29
-,. - .. ...,,-.lr.i,l::r . :,.r,,.:...... .-"
i* realta basta rj.ccr:rere a1 Leorenra di l,IÀxwELr. chÉ,
oel- teoreme di BELti * u::a Cj,re.LLa ccnsequenza:
"Fi ssali ccfiurlque due punti Fa e P, di un cclrF,o
P] a <* i,-,r § ^aa-
ac e i ,{r.^ -1c:a;LaL(- E per essi Cue C:,rezioni {,a e fr, arrCh,ÈssÉ
arbi t"r:arie, Lc sposLamento che i1 punto Fr subisce lungoia direeione ft per effettc l: una forza F agente nelpunto p, in cirezione fz , è uguaie a1lo spcstamento
s'.:bito da1 punto B secondc l-a direzisne fr per ef fetiodi una f orza F agente nei punro Q in direzione .fr. "
l-i f ranne /LE e q"1amÀn+ i
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'^" rI ut.llt
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S j suppùngrÌ1o LuLLi gi ii-rh:, i.tt {rr. ài, lI g... L,z &r"
Il:::lì..1i.',l{::ll.,1| 4.e*. *tz {r, Ji1 sislema si riduce a1l.r"1 É.r uo + ftz,. vt = qL{ '%
L t., -r + kes vt = 1*,
I-.lt,
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ì1,ìll: I i .e:,u4rf .
--ci cCrtlsiclerirro due sistemi di forze:{ttr!
J1*'=! (1; =d)Ì ^; ./ I : ,
't 'tfal pr--i,ni,-, sislen,a s.r- r':cavc 1* sp{,9tr1flrÉr}tc, vÈrtica}e.lò'
che nasce in corrispondenza del ::odo 3 quandr: si ha una
f rrza uni iaria verii cale i n corri spondenza rlel .lrrldr--r 1.frr^t A^. 'lJ-a' + f26 rr3' = q,| = C1 '?
| {r. 1rr.' + {66 nrr' = gJ = q
'ìIt'- - &a t4'p.ot
e,.f- **r) * 1,, vt = t ---È-
Ànair:,gam*nle dai S*r_-it,lldrjr sislema
it-t"erniiÌi,tnc, l* sp.rsianenio veri.i,-i je tIU,'
,- - r-r'i spL--nd=nza dei no.lo .L rj"l.-r.rrCo si l:à i:t-r,-,i
- I i .-- r - : - -.-..-.- i ^.- - - -: -., --! _-:l tE:r ln Ci-r.t---ì..,-:,:,É,-,*'.-".. .j,__ ir,_,,-1 ,-, 3.
fr"ta"*f..evru=qi=Ql^
| foz vr" + frcs ry.'= ql = II?
floÉ.u- W gLL
.t i f ,-,t =t - rL.?L Lt- -- I
:ir* Il-,; -,- i:l
ilr.lf iì ,:nitaria
DttH2Z tr7.0{}.é
I'-l:
n {l A til-c, ,rr" * {« l- 4.r,t{; qr.,,) = l
I4axwe11 i
!. {r}' : !-
-j:--rr lt'Va- :
lLlÉ s[-',irs t_ani=tr: ì
^- llrv 4_
!.r"{u lr, - EuRo
-' _t
^- ll r'ui. = 1I:
f* f*o,- - *.r, 1""
------È>-_-----1// Lrn = A.=
Àna1,:gamente s j proced* per 91i altri
m3+-rice di" rig.:" dezza &. ,isulta quindi
g*
coeffici enLi
sirrùrleLrica.
ri)fpo'uesi: - cor;-,3 coirrcjdente cÒn url unico *lemerrto finitc
- ri ferirnentÉ locale ( xr y ) rotolraslaic
ri sp=tLo aI ri f eririerrto glcbale ( X, -f )
non
sÉguÉ che : -
i!
di. f f eren=a tra numera z I onÉ
l"ocale' e numerazione gic,L'ale,
1a irrar-t'i ce di ccrnr.Ìes s i on* A"--.. .1 .. .. 1 I ^ --uLJud,J.t' 3 -Lra r',olric€' iC*ntj'. )
I.'*quazicne de1 sisLema diviene:
* gui ndi
r-isulla
-1
B"JVII
^(SlJe 1
(
),{e i_J U
-,,-( n T f ^-^ !- ." l' rr'A ' --: s.u"'I u"LJr"E{& &'^u *1,,"{"-& rr* /r,§! * rtl }
<.r t
vd J l,Jci
rfnrl i n'T-^4el1 r_ellettL t\tJVe
R.
-,-r. &*7,11'n,ul::i,:.= di. :'ig:d=r3a,s.i.rTLnret-r-rca, d=ìi'eìÉntÈrrto
- \ tée g€ é y veltcr-e dei carichj. eguiva"l*nti nodali.
C;,ne'rja accennatc,, la rnairicE di rigijgzza è sing.JfarÈ
e quir:rii. r)ori inve::Lih,i1e in guanto si è consideraLa
'':É-*' - :trullurè laniie. E' necÉ-qsaric, i.ntrlour::eL -t -:.: L-t d urlé ì
nì-lrTlero oppc)rtìlrJo 'ii viacoli ( minir*c, tre e cclmunqlie tali
da inpedire a+,Li di motù rigidr: ), che consentanc dl
passare da una f orma semidef it:ita positiva ( x" 19r>É #rtl)
ad ,ina definiLa positiva (Y'grol>é ff+dl, carai.lerizza+*a
da una matr-ice inverlibi1*. Vincolando la strutlura ci
si riduce ad una sottonatiic* della rnatrice di r-igidezz.:,
oLLÉnuta da essa '=1im:rrarriifr 1e riElrr ,:c,rris['c,nclÉriti agl i
sp,cstamenti impeC i ti.
i3
Supponiano ad esempio di
cer:njera in ccl-rispondelz-a
nei rlodo 2 tale da impediret t. \/ l/ 4Llj= t/1=\/2=g
vincclar:e Ia slruttura c,:rn -ut-ra
del- fiùdur 1 e c,-rn un r-:arre11o
gii sÉ,ostamÈnti verticali :
@l/^/v I
1l
/\lUx'X
al,t{rd
t;lIri.liiI,ILK,r. . (,e )
il sisleria si riduce a t.re *quazioni in tre incognite.( «rrt), + K:+Ur + Krr V. = Q.i
i Krr U" + KssUr + Ksc,V, * G,3
{,*r*'Kes!r*-kco% =C;jn fc,rma matricjale
K" !&. = Q*
r"r, Kdt f[1], sirn-"nelrica, def inila p*sitj.va e quin,ii
l
r1
#
TA
V3
G-'
71 2t!gAT.l;rrì
a(:(:
(V*
:*!,^,-riL.'l^
G1i spÒsLamenLi inc*gn-iti !§ sonù un i vocamenle
Celerrninati una volta fi ssaLi i cari chi esLerni
equivojent-i ncoali Q*. F.iLcrrnanCu-, a1 si-ctema inizialeaL aL
^ekeU" =Qe si riceLvanc, 1e reazioni vincolari A; Qà, a[
( Q^t = Kre Ua + Krs U, * Kr" V3I
( C{ = KaEUe. +- KcsUo* KreVì
LOt = k.= Ur * (es Us - Krg V,
K" tJ. = G," i
ll
34
' 11, i1:.ìi
aI t-:I€''DsLJv
Icy
r-Èssione oltenu
* 1t- .l*fc,:"maz
'energia di oef
aIA* I a' Su ,,t,V
Ju-ià lrarnite i
irrni atr*1a.:
ormazi cne §V
Ai medesinri risultati si giunqe, oltre che con j.1 PLV,
anci:e LranriLe i1 principio di stazionariela del1'energia
polenziale Lot ale. Semp,re nelL ' i poLesi di rnateri ale con
comporLamento elastico linea::e, 1 'energia p,:tenziale
tctale del corpo conLinuo è data dal1a sonrna de11'energia
di def srmazione V/ e deli'energia poienzial* dei carich.!
jL' r f n I
^g = \x/+fr : * ! e' (e-é")av - I L' uÀv - I À'uÀszlu J l;
Principio di stazionar j"eta deIl'energ!"a polenziale iot.ale
"Tr-a Luit* i* sc, l,uzionl c,rrr-reEUÉrrLi, è ancii* equiiib;rala
'*'.!ilY :,-dL -tiJité.t.1 - '")!elt""iJéJ-§ LLrLdlE.
Fe:: o.uLenere l-a soluzione corretla bastera guindi
impcrre I'anrrullarsi dr1'l a variazione prima dell-'energi a
ir-.isn:i:ìo *,ri-ì -IJL'L=jJ!Jalg LULaf E.
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i'espressione dt-. 11
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Ricordando che:
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€.. = U'G' RJ- N
2
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avÈrrdù inlrodoLto,
=».{ rn . Jye-
al posio
L,fo -Jv,
rmazi o
L, quell-e dip*ndenLi da11a discreti zzazionÉ ad,]LLaLa Ee-.
\X/s' L U'irt?l1-ltLà
, er sr ( JoeTeB,
dv) a. c*l u- -_l
iitl caso di un uni cc el-emenlo ( E=1 ) con r-i f eriment c
iccale e globaie paralie)-5, le maLrlci dj ccnnessione (e e
di rùiazj.one & risuliar;ù essere matrici iderr..ila, ne
::i:.il.ta pÈI i'=ri':'t-gia ei ,lÉf ,-,I'irra:ii,:li= 1 'e:;,f =s.sic,n=
::.* r ,-r,: I i nr.i i:'*t'.} - '--
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r --'1- .'.tirrir; r*,-,mÈ r,Èr rrì.1 ..-ìrrl.r nf,rt V-rnf.,:ia:C Lrn: l=-:l-= l-iLr:!,- L'-:;i_e, .ts*- !.si;f,\-,
àtruì dj" moLu, rigidù Ì-:ct.: --cmporti vaIj.a.;ioni del-i'energia
Ci def*rrnazi,t,IrÈ i:'r rr'*rrrccrdia con il falLo che 1a forma
quadraLic;40'S,.44- legaLa a1la maLrice di rigidezza 1.
risulla e..: --r"-: semidef i.nita pcsitiva, cioè Ya" +g 4[&-r*>a
Se irrvece un rorJ)o É b*n vincolato, aF,plicanoogli dsi
ca:i,:hi, i1 r--crrrtinui si deforma, quinJi L'*nergia dj
defOrmaU i(:ine nc)n frùO Il"Ì3i annUllarsi, e ris'ttlta sÉIl',f,rr]
inf at Li rri.;:colando in mcdc, adeguat.o iaL'ts.iliva;
36
s tru.,-t ul:a
LlLr4l-= J_d
si oltiene una sottomatrice l:-n )kforma quadÌ:ali ca /d..èQe &'- associaLa
positiva, cioe '{a"re ^r[.6ur>o
Ddi É&, FÉr' la
ri su'l L.r es5Ére
IIl ) lastra reltangotrare
In figura è riportala una possii:iLe discreLizzazione
delia sLruLLura in guatt::o elementi tr5.angolari.
Elen:enlo 1 l-!-_1
2-4-3
3- 4- 5
4-6-5Fer ,:tLenere 1a matrice di ri gid*zza
Lri s,:gna inrianzituLtc, formare 1e maLri ci
drj -<ingoJ.i elemenLi.
rl;ì . i . f èm:
di l-igiclt:r-zà
37
i- f t? \ IK => lcl&-iIet p.E"dv)R.Gl
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La rrratricÉ è in banda
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ai.ia diagonaJ-È principale.
e§go
E.I+;r:ìr+ilf
nÈi sÈDSr.r ch* gii È1em,:I:Li
rì: tsr,-. \ --i :rl.-l-.ncrn.-, :r* -.r-:'..-,
Per c,ttenere unà Lrarril.-r i1 1,:ii
^ i ffi@ (, lLg tEil
i ,:=r ffiA '.2e ì §9J Ig
,ì { )
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mullj llJl
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l+i l+l I l+léi-ilI
n i--ìl-.1 L-)
K
39
Per ogni elemento si hanrro sei
con:pcne:*Li de1 vet"t';re dei
t-ar-i,-hi È{-rììiVal*ntj n,:dali.
S1-r-*it.a t)ùSsibile, onde ridurr-e ill nunr*rc, d.:!1i elei'lr*nti
d"'ù,t,Iisid*r'a:--§.' ed acceiet..:rr i t*rr1:i di calcoitr, è
f,f,!;*: --uB,f seguiLt una nl-lfirerazi cn+ dei rrc,di a!,prr--rpri at-a,
quai-e è qLiella visi.a in pr*cedenza ( tale che la
d.i f f er:nza massima tra i numeri d*i n+di deL sirrgolc
el*ri,euto sia minima ),
Vet-tore dei carichi equivalenti nodali x
x
dl
@
trtr?
f
Il- sistema KU =8
1a s'L.ruà'|ura è labi l-e.
parlizionamento Cel1e
ccnrponenli vincolaie da
non è ancora risol-vibile in guanto
InLrodc,tLi i viricoJi si opera un
maLrici e dei vellori dividen.lo le
guille Li h,ere,
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t L)') :iG
G
I:1(
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silcs tarnÉn Lc
,c olLoveilore
( nCIt.e ) di
s c,ttovet t.ore
§ùlLovet tore
vincolari )
r^r a ^ ---lr'r':rnenl'iL:=A-LÉ LLIII
spos +-emenlo
oei carichi noti
dei carichi i:-rcogniti
nrr.x
vi. rrcol a ie
( reaeicni
.^-i ^- --tJs5ts-L V.aZILJllr=;
i* ccmponenli
anche val ori
v-incolari ) "
d i str]*s lamenlo
non nulii t
vincolatÈ ilossonù assumere
ad esexrpi o F,er ceiimenti
Si indichi
compL)nenti 1
C C'fl V
i i:ere.
1e conrponenli rrincoLate,
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4t-t- (fi),l *-L! . n1)1,1 K" e fn1'. Kn'U ,l71','
La rnaLri *e K css ì rrris f c,rmata rimane c-cmunque
s iri,m]Él ri ca.
3vc,1g*ndl i1 sjsterna sj otlengorr; le ciue sÉ!ur-rrti
É!T1ì:-'i nr'i mii ri ,-'i r ''l ; iì e:,---,r,-,i :r eouxuJ.LLL!
/ ,-:c r tL L.'Lv | lV /\.LI r( y +\ \r = gt-! <", liLt k-\'Y{\Y- rJo./\\J=\_X
ii.:1 r-c ;,:llii-i er-lLlqlla'na Iléif:;lÉ:r S,l. a'Lt:Èilr:
' - LL r tL /'JL t.LV I lV5 y = -g --§ g
call
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ui.rfirrLì':ca, i:: ba-i,ja, 5rf irr:.'ra pcsit-iva = guinJi
inve::tibi iE^l!j sc,'*t-;,vetlc::e ciei cariciij. applicatj
till t tVF. \J- vÉttcl'+ d*j cal'i*rhi ncr§6li f i L+-lz:i dcv'r-:t; aC
ÈvÈntuai.i c*oimenri ci vincolo ( U'*o l.
La saluzici-i= de1 prclblÉnìa risulLa
I j. : f K,.l -' { n. - K.n {),1v -L = J []+ -)Oitenutc, in qu*sLo modo L'i.rrtero cam!,c, cÌi spost.ar-nrnii
si pclssonc) ricavcrre Le reazioni vincclari Gn uorr.
secc,:.r,la equaz i c,r:e ,lei s i -r Lenia.
G' = K"u' * Ku'Q'
+-1
lìrf ,: i L c.ampo degi i spos Larnenli 4rG,2) =
ot-tiene i1 campù del1e deformazior:i €ro,Z) =
canF,c, degli sforzi écx,*) = D €C*,2)
La soluzione della slruttura sara
aplr,rcssii**at a, a meno che 1a discreti zzazLone
la f inezza dell-'e''lemenlc sia lale da poler
schema di caric*.t t Li/ t 1Y
§*11'esempic descrillo si aenulla il termine ,\ U in
quanlcl no!-ì si hanno cedirnenli di vincOlo, e 1a soluzione
de1 aroblerna è: IIL -!
rF -'r.+elr' casc si oti*iene la soluziorre corret'ua, ifiJll 9uEJ LU
q'Janlo i 1 carìpo C*gii s5,a5,i3n:enL j dell-a strullura cos i
ra:jcata ::isuiLa ÉsserÈ iinear-t ( e quj.ndi i1 c3ITrFlLr di
defo::inazione e di sfr:r:c cosiant-e ) e cornplelamenLe
Ces,:r j t lr: daL modell"* di spcst-amento linear* adoLtalo.
.,4 ? i
.'e io sfi:erfrà di carico foss* sLaLo aci andamento
1in=a.r-*, com.e in f igura, Fer ottenere 1a sol-.uzione
co:::. *Lta s i sarebbe clovulo adoltare un modei ir: di
sF,,:'siamerrLc guaLlreticc, ( t-r-iangcljj a sei rr,iCj ), 5:'c't=nc3:i
descrivÈra sposlamelLi parabolici e
conseguent*mente defcrmazioni e si.ctzi lineari
1-Ò(r.q.) l..t"e s i)--e41 ec I-L
i n flÈnErè
adoltaLa e
seguire fo
.\L\l
t- ,.1I K'-II
rl .!
:: 1.;"t.;:.
A simrùerrica, in
i nv*r-i i bl l" e
*-iSC: Si
r' n:lgt_<:4r]Vg.Jg,
oF,Èrazi Cllle
- - ^ i r -'-.-i-J(-}:}r LL V.É qui nCi
lremjt* un pl:ùccssc, Ci
pàrlendc dall-a primarrl
un'unjca in.:.,E11 jLa ( ]) è
'ì a c,-:,rrr,--n+ ir,_\lu!r)ur.
a l - i -r -*^.!i- >lbLi:]l!d
§.itornandc a1 si sLema risolvenL" i;t gÉner!: r,(:)rr si
iliverLe eslrficiLaillerite Ku, fia 5j, ad,:,tLano rriÉLc--,di
cclr,F'riazionaii piu ef.f.i::*nt-i gr:a1e ad Èssmfrlc: QuÉ11-cr
che fatLorizza 1a mai::icÉ dei coefficienli del Éi§tema in
due naLrlci lriangolari.
^ x:B
banda, a*!ini,.a
tsEI
!Ls
sùi'ù"iorre
t1!i,11-i o t =: i,-.tr; .l- ì ni,-:u - 1,4 Éu
l^.r-:)
a-ì-"rl\/ E
!rCifìy jld a,rrr
U.: /. Xct -' -r.Di4 4- L_j
si si:ma dj. Èquazi cni ri scLvjhi 1e
sosLrLuzic'ne diretLa, ossia
equa:i ooe, ne1l"a guale ccmparÉ
tr.i.angolare inferiurr-e ) e via via
,.r*ndendo pcii in ciÌlrsiderazic.ner-l-
t- v -
rt_ %(J
risolve mediarlle uri processL] di sostiluzione
ossia parLendc dall-'uiLima ÈquaZitrrrq i qu<;La
si dice ant:lie scsLituzione ali'irrrljetro ) ,
{:
r:)-i :i.-j]-V.i -'i ,-.rlr,= l
I iìIeL{}1-fl" cÒmputazionali adùLlano ci 5}1itc dei
proced.imÉnli che, Lerrerrdo ccnlc de1 faL+-o cire la niaLricù
Vdi rigidezza Ét è sinumeirica eci in banda, minimi zzana 1o
spazio di m*moria occupato. Lo "skyline" c profi1o de1la
mat-rice uLilizza un vÉLLcre che c*nliene lulli i terrnini
s i gr:i f i cali vi di una semibanda ( per esernpi c guella
superiore ) , ed un aLlr* che rndica colcnna per ccloana
dove fi*iscons tali elernen,r.i ( non nulLi )'
fn questo mod,c si eviLa la mernorlzzazione de1Ia rnaggior
par.|-e dei ter:mini nuLli *d i lermini simmetrici vengonc
ri ccrdati un3 :o''ì a vol la.
Olire che minirnizzare 1o spazic, di mer'.roria cccupato nel
c.,a ì,1'a''Ì at'.)r-È, qr:*sti prc.cedinterrLi coflìi,{}rtar}- anche un
nrir,:..r nunrerc, di opÉrazioni e ccns*guÈnLÉmer'.-È un rninor
Leinp; macchlna,
Esenrpi.o di skyllne o prcf i1o del1a matrice K
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x)(xxxxxxx x}(
xx.xkx xx
x
2^
e,1
Cc- si inclican,:, i t"*rnrini significativi
"sJr)/li:je'' o prùfil-o delia meir:c€
con:ine derl: semi.r,ania
Vetiore dei Lermini signi.ficalivi
Recioglie Lutti i Ler"mini diversi da zÉrc, ( neil'cs=mpia
i1 \"eLlorÉ ccnliene 724 t-er-nrini ) .
veirore ausiliario
T ;r1r-ri-rlnef f icient.i irrdican* 1a posizione cccuFéLa nel"
vet:Òl:* dei ierrnirri signi f icaLivi dal F't-irrr L*rmine
tJell'i esima colcnna dglLa matl ice: nel-i'esempio i1
vei:crù c;-nti.ene 2i Lermini, di cui ì^ primi 24 in,Jicanc
la l-rsizio;re d'ir:izic del1a corrisprlndent* colc,riÌla, ed i I
lI..:c' quÈl-1c, d-: 'in3 f i'Lt-.i :ia ?5. n'o cLrl':'tr:4, ilr lri.;i,-, d-r
s.É.;'Èi:É rlualìt i ;c'no i ter-nij ni driL'u1t ina t-'lìrl,llD.l v'r-i.ir, 1a
significativi Vettore ausiliario
LIC.
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L- (-
/1 -lc_t'
+Ò
L'irr allro modo per risparmiare merroria potrebbe esserÉ
q.:*11o di adollare un unico vettc,re, conlenenle p€:.r ogni
riga un numero di ter:-nini, a par-lire dal1a diagorrale
principale, che sia pari all'ampiezza de11a semihanda. In
qu=-sto cago se da un lalc si rnemcrizza un maggior numÉro
di termini nu11i, dall'a1tro si ha iL vaneèggic di
*D*rare con un unico velLore,
Neil'esempio riporlaLc,, o*ternina:a ia m=ccìm:
c i nar.ì r,
-R-O
, ^ -^: - - - ^
elementi,É^-i ^ ii
d:fferenza fra i numeri dei vertici di CIgni
e''ì er.rent o, pari a Lre, cons iieranio i'eLemenro 6
si r--alco1ar in ccrrispond*nza deLl"a riga L7, 1
de]1a semihanda che risulta essere ;:ari ad oLtc:
i.r: teLale i 1 vetlor:e con|iene i64 ="Ì em*rr+*i alF.l6
.i :f
CRITERT DI COI{\TEF,GENZA
^ - ^ i -^.
I -:-E: dJJ-LLt.l-L.iI e ad
corr*Lla., ollre che ad i*fiLtire guàlti., irE!:,=ssario 1a
discrei-izzazicne, sempre nei lrmiLi di Llna certa corlve-
nienza compulazionaie, bisognà rispeLt..:-g cerie condizic-
ni sui moCelli Ci spostanrento e sulle lunzioni di forma.
Condizior:e 1: "i1 mod*1ic di sJ.,.:isLamenLo deve poter:
rap!:1'g5enlar= .:'.-ti ii moLo rigrdo( ccrrispond*l',. i ad uno siaLo di
oe f c,rma z i one ::uL 1o ) "
ConCizione 2: *i l- m*Crll-,: d: s.postam*nlo deve Èss.-rÈ inor arì.r rli , -,r,ì-èasni:r= :l:l i Ai =Fr,r--.r - !-'.ts!=;,qllLùtg ;LoLJ Ua ;rU;!.J
-^-!^
Condi zi one ?. "il" irrrl,ì,.L1* di sposlamenLc deve ess*rÈ
Lale ,:ja garanlire 1a continuiia nelL=: -r . f,^ --^ r,aitL'_-i -dLL:E
Irr generale gir:Le csndizioni risuitano Sempre
t;pr-i €i r:].+ qa i r',.,Àal 1 irL r :!,./uca-i.r di spostanirnto e guindi 1e
fun:icni di ferr,ra sono conli&ue assieme a1le lsrc
de:ivate f ino a,Ì un opportuno ordine n ( è u:.r or-din.: di
dE::ivazi,rne ch* :-i"sul, la essere di un,unita inferiorEr-ispet-Lc'r aL1'cr l:ne dell-e derivate che inLervengon. nelLa
descrizione d" Ii,e def ormazioni de1l,'elemento datc, ) -
rJL!
: -ì:";:::l:'Jlii:, : 1'.rflllt r::. _ i' :i I a.' "' :il{.,.:..-,:,,
},IETODO DEGTI ELEHENTI FINI?] .àPPLICÀTO .à SIS?EMI DI ?R.AVI
Y
I
'lX
La scelta del- nunero e della posizione dei nodi,
r-rÉc:sseri per 1 'analisi di una generic,a. sLrullura,
dipende da1la geomelria del"1a s|essa, daI sisLema ,lj
for:e applicale e dalla scel-t-a fatla per gli e']en"renti di
t-rr,;e ( a due o più nodj ).
a due nodi: a1 piu descrivonc, spostari*nLj
ori:zontali lineari, vertic-.a1i r:t-rlrici
ori zzon{:al i quadraLi ci ,
descr- i vorro slrirE, iament j
verticali i*l V cr:dine
È4-'1"
+4A
5i.ori;jderi ii genericc' elernen+-o di Lrave a due nr:dj":
.Da11e considerazicni su1 sclido di De.Saint Venant, S1i
ef fetLi dovuLi a sfc,rz,: assiale t r{A(x) 1 s,t,rr,t, crLc,g,-_,naii
a que11i dtrvuti ad un'azione fiessional-e r /Lf(x) ), y
qlindi risultanc, disaccoppiali.
X
J L i
E)
*. ,a,a=,.":: rra.-
Sforzo assiale:
Fles s i one:
comporta spostameritj.ì raq.q,É rtri=t,lqtaie ?i
comp':rla sp,f, s Lamenti
i'asse verticale Y e
nodal-i ilt, Ae tur§(,
nooaL i §1, lia iungu^o- "a-toLazioni ui, L-t2 .
Fer assicurare la conlinuila degli spostamenli e dell-e
rolazicni nei nodo comurle a due elementi contigui, si
LinponEono 1e relative condizioni a1 modello dt
s p':s lamento.
@F6.t*r)
\9
d. )A
(
(
lìU-lt ve J(^9
r,Q-\t c-t 7 l,31v
Le prime due condizioni cc'mpcriar:o La continuiia. delle
i::n-ir,ni .li ;.rrnra la +èrr,r r;(ì(.,rrlando Cj-:e dW/ll:-iil:::t-rll u- -Ullliq, fo Lur 'Jq, Ll
rarìnì-Éc;rri.a I4 fOia3iu-nÉ: Jr/l-rjn urla generica sez:one,
car$Frsrta la ccnlin'L1iLA Ceiia derivata prima pÉr la
f unziene di f or*ra rÈlaLiva agli -sPOstamenti verti cal i .
Si a$§Llnìe i1 seEuente model lo di spostamento:
I L*c*l : d."t n d-a xI
1! nrr*', ,N-z , 4q x * drs xa + 0C« X3L
v \^/ Ir'\
si crssÈrvi csme i 1 mcde110 a,Soliato per q1i sPOstamenti
v*riicali sia un polinomio di IIf gradc) per poter rneglio
s*Euire 1a siLuazione di carico disLribuita.
Condizioni a1 cqntorno:
^x(o)=,L1a=NtAL(0 = /42 = dt+Xr{ + Z2: u;o*
L-
,tL(x) : .l.La+ 43-4tx :11-}i1 ,,}Lt.+ +,(1e4 \ €J €
53
Di agramrna del 1e
oriezontali:
funzioni di forma per
Csservazione;
usando el ernenti di lrave a lre
iescrive::e sposLarnenti parabol-ici
funzioni di forma più complesse.
,r*tx) = d; + elx +dlxa
Spcstament i verticali :
\TU\: &z+&qx +a-sxt+ Ce x3
4f' (xl = Nq + }o..s < + 34.- xa
{Lr(q: 4fs= d-5i
\q,f ( 1) = Ve = ds + Nq.{, * q.s (2 + ds {3{-i!nI {'(a) = 1X : NqI
[tr'(e] = lr% = d.* * Tuse * 3q.e 4'
nodi si poLrebbero
e si avrebberc anche
gli spos tarnenl i
l,Iz
4
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I
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-- - -.'--É-=t-:FEtF
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n a1 a nDÙ2-É4-Sdet-
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1:-(x) = 1l't_
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* &, L + @z-'9,) {. - z a4 {3 = nrza
2 (qrr-na +9t*t9 t) - z(tt't-rv2\+(:-'at+'wa)€
er l' :, -l 0iù"*#, - 6(4r"-.n)/E -Z !§**va")
= va-,
= _lz(qr+.-,rù + a$t*r\1L4 )
a{nr ,-\ 'C ,,o= ÉluL-'u2J , v1+t/2-t.
{3 v
4o
-,2ti_ +<2-
+ E^x - ,i["i-* + 2it. "ì] ^'* ir,?-r'jl * r'ii]lj x' =
,f l,\rl
*f ( ,f _ #J#,
.[,t: ,f,j,rr .,
[_ i _ ÉJ€
T'+-rd 4h *0L%-LB !4
?-àa;.f orma U ,9o -cCrI)(:) adj"n,*n5i1116.ii,
ciim*nsic'rialmerrte d*11-g f'i1qhe.zz*.
'",ifx) = È, *n " 9, §"N"B, Le funzicrri di
,^.rmÉnt.rÈqL), Q s..ncL2 'Lti
de11e funzioni di f orma pÉr g1,r spr.,5 tamerrL jDi àgramma
vel-t- i ca 1i
Se 4.r,+d nl1't
_-> trc*t = 6l,
nn-r- vt. -,4-y
S€ rlt+Q , ola=:S.0=rh=é
a:È' (J-(x) = frnZ t qr'{é)=qt'((,)=é
^n3Z 'Ùe ;(p , Mt = Al2
:f> r,;51) = d-G:!^
- -C -r/,-'./2-Y
.L qf(q=tk,w'(():#
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q7 \r?l: 6.-c.' i'1
Vt
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I*,J
f t-z d d ->(. Él(.'re1+lo6À/^6l.*Y Yz Yt Y Yg
,lri1e fuiizi,:r,i ùi fc:-rra:r:3Lri,-n
56
Stat,:, d-i def '::-ma: i':n*
?er ipolesi s.L trascut-jrrc, S1i ef f,=L+*:'J1:''.t,'-j ;i ia';ì : ;.
l'lù =è-r1;,-hg'
:r-77t_Y t_- t-_x
.'- A.-'rn C-x deformazicni assiali€"! = d't',r- = 'L{z''lJt
dN 4r?:i ax defc:-ii,ar.1,r,r'ij. fiessicriar-i
F r _ d p1* L) d2_- E=E?- c,.1
^r'(xr = dz,,r :f-É. * u*lu, * Il + -*1& nl4. - g+lnL *l- + -4112d,.. L e' lr) L t ('J L.{' 4'J L ( l'-!
l:. frlrl]ié mat-ri:ia]e€
,ri:r Bzt4d) = f -lLe
rììàtri;e dell-e der'ivaie deile fu:-tzit'rri di fc,::ma
e qui,ndr
Bs (x,*, = i-- 1 -,,(-É. + t:t I -o (-! * éÉ-) I -,t/É -/z^l -4/-A*s*\1Ès-' v L- { d\T''-drJ -d{ e
. 7/ 7 -ltT Tl 6( T *)l
-r-$' -q6" I -%én -r){"1"'i7i"A Jl. q-Ie 4 v J3 t*., j
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rlxrc,n 1( maLri,le,ii rigii*zze o-e11a -sLt'utLnrs
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matri ce di ri gi dezza '.1e11 'elemento ri f eri la
sisrema di assi 91rbal-i
met::ice di rigidezza del1'ei emento rif eri+-a
sis|ema di assi ]"oca1i.
CC-
) É - _i-\ ,-\ _c:1 :re n:fjùaS(; (l<=59Cxr Ci.JÈ i=ft=Eg )Le:u;! r'ui:
Young Cell-'elenren+*c e- es imo.
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Cc,sLru_zione delia rna+Lrice Ai ri,f idezza de-1 1'el-eni*nlr,:
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L(Llna vcl-La ass=rri-'ld'-= 1a ntdi:rii'È oi :--igiie::a r\ e
,;-:*).ìe dri cari;nl equival-entj ric,d.:l-i !8, 1a -'LI'uttura
si risalve svolg*ndo I 'equaz j-c,n* maLl i;:ale:
K U:G
i'9
ELEIfiNTI TRIÀNGOLARI
La determinazione delle
facilitaLa da11'adozione
- L a i -.. -
Coordinate lriangolari
ESEMPI ED ÀPPLICAZIONI
funzion! approssirnanti risulta
di un eistema c1i cocrdinate
.:: ..,:t;,, .;::::,;;i: ,r:
,.,, ]., .:,:-,,.-,..1
-, ; "t:
* : ; : :l i.:;t.:.::: :,...
o ns.turali )(
+,2
T,/1
4 {t,a)
Fissato i1 verso degli assi cbliqui to e Y, i nodi sono
numerali in serrso concorde alla rolazione che pÒrla X su
Y eC il lato oppcsto al nodo i'viene chiamalo l-aio i.
L* ccord i na Le obl i que ra.ppres entanc, una f x'azf L.,ne de I 1a
lul:gl-rezza del laLo e vanr)ù Ca zero aC Llrtc,. trer
ìéoerrrll zLone r è ia distarrza relaiiva dal lato i rnisurata(L
" P(x,1 1tL't
60
tl.:;i:li::i:-:l
ria i
i-r2:.a1l-emenLe a,i- 1at,: 2,
r-l,- IIL T4tirI {.ztl(éIr = \,{ \, e*L
ì.]e1 riuovc, sisiema di riferimenlo 1e ccordinate
vertici hannc i seguenti valori:(.t = (.t n\I* - | *,u)I c = {n.r)J - \ -' * /II < : /r't O)L V \ V,'
lr t) t -!1
(A=ll ,\Lr = I --r- =!i ì , Coordinate deL baricer:Lroi5'31di
di
di
Il passo successivo, r*11a definiziorr+ del sislema
:;:rdilrat-e c,i:,1:qu*, à 1a d*L*rnrinaziorr* Cella -regg<
ii.=i--;iirì,=21.-,n= che cù:isÉnta di Fe-rsare lal sistems
ccordj-nate glcbale a que11o l-ocaLe e viceversa.
,k3 +,<c1 d. A4/r1F X-: + Yt-xt Y + yz-x3 f1-rt tL ltt t2
X* + (x r -xi) y * (x, -"r) L
(
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ÉI -i-.tL
F(-lr I,-I
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f ormula di Lrasf ,f.l-irto:i.oi:,r' Ci v:.anÉ;
In,-xr Xa-X3l i7*iLn.-0. ?.-r.J Iy.lad, d3
+ ,lf.,r.d" r*t 3-t 't,.uu(^ + dr.-da03
-;---(. 1t
tt ! (q -u \7r L d1 cilr
L-l Ud-L- dll_T;r\/1..{ -q IL d-a d3/
ll - lttA à :1-U U5
p'll
In f orrra comp* t r-a
( x I f xE I{ i= 1 I
[r\ tgr\
f:1
ì ..a3
',: ' ]]
' t- <.-xslsia: / | t<t-xz xz'x3 |(- - I I
L zr- u= ?, - Y.l(xJ [*,) , ,A(?.)tt]1 ) ., I + C I '' tL2J {,ar) if.i
da cui si ricava 1a forrnula Ci Lrasp:rsizione lnv:rsa(v I (x) {xr)J ì. I - 7t-!. ) ^ ( .4-d I -
1l;'I : e ) ,, i - a 1 . I( fe t ( q) ( Zi)É' necÉssario invertirs 1a malrice ( e fn'''
àeL I C I = (xe-xt)(g.-g.) - (n,-r.l(?r-%o) + o
E'sempre verificatc =+ q è inverLibile
In gene::ale i'inver-sa di una m'rlria* A si puo scrivere
rir.l sÉEuÈrlLÈ m;do:
^ i ,et! .a-tz I n-o r I Ao" A*/1
- | i a '! IaL I *r, .c-zzl '- d'tm lA* A..
ì.j,8. §i fl,t,Li 1,*-, 5rlambjc,,li indici.
i1 Lerri.rirr* A:j a iI cofaLior* o complemenlo algebrlco
deI1'elemenLa .A.;j che ne1 caso i:-r oggetLo di matrice 2*2
è Ci foc:. 1e o-et*rminazione.
Àd es *rnpi c A r, è i 1 ccf allore de11 ' *l-eiirent c' frtt ed è
.Acaro *a. 2.21--È0, cic,è dai minore c,ilenuto daila matria* A
canceliandc 1a seconda ri ga e ia prima coLonn,a, culft -cegrl'
neqalivo in quant-c Ia sofiurìa degli indici è clispari.
ÀnalogamelLe ,A<c=Azz, questa vc,.l-la L-cn sÉgrlo posilivi, in
,;-ranLU 1a s,lìmJrrà d=gli.irl'lici È F'ari.
Iii eu'=:: t-i +-*rnrirtj
s:gi-ienLe forma:
f irrr,,5,.!::a d*11a malrice C assuflì.
62
,-.-,.,: . i.--: i*:,::l:, i--::::-:
,-l-t ,i l?"-Hr -{*t-")[[- -J'
-
I I
(xr-xr) (X; Xrj -Cx.-xs)(\r-Xr) l- (Zr-X) xt-x= t
3i puÒ dinoslrare clie il lermirr*
àéL ICt: (xr-xa)(?.-Hr) - (x,-xJ('àr-?r)
pari a due voll* 1'area A de1 triangclo Ci rrr--:'li 1,2,3'
La f C,r-mu1a d j- traS fc,ImaziOne irtverSa AssUlItÉ 1a f orina;
( < ) r.,l z ':
| )-1 t --t-i. i*1 n-r)*'It- c''i t-q ) I(Y^) r t2) rgiJ"1 I
J .1 it=-%= -(x,-ùl{*1- ,lu'-xs -{xz-xs)l{-'lZÀ l-r,r.-'à.,\ xt-xzl l" z)-el-,%';r) xo-^./l?.J
_ u^
Fer sem;_,lificare uiteriorr*enLe Lale esiiression*
Ì-rvi Éne PoÌ:::e;
u! x)_.<-1.^ o* d
b; : u u^n1 d,..2A: _ xt?L-xÈAi
r- cui l'area del" rrieng:,1oA È pa:i a !(br^^ -§o')É
( i, j,Il ) è urra F,er-nrutazicrne pari di ( 1,:,3 i ;ic'è. 1- -, ')I=_:.:-!h-J
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| *' ' ( -( 'J, - 5, ) *: + (xl--;'a) X: J
t,,' ,t [*'?"->{t--=?r*l'{, ?'jj -/,. I
| 24 (-,rX. * >4;- xtXz -Zr{, )
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I fxjg, -xag, ) (-2A;7: '1 l*,,' -".;: f - 4 ì ^izA ( *t1,-xr?r ) 2A (- zl; .
(*) n-o(*')1\qf?L? I t?El
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Le cccrrdinaie na"'uraii" ;:,':;Eùno
c,rcrdlr:al* di è1.-Èr: ne-r -'É?u=i]Le
rJ{
\4
1.11_ . ec.a ( l, z, 3)lRrA ( z,z,P)
^(étt \'f1L ( t \é
/J
c D )tf\ {2t.L
Z t#|@ At At! 1a{-@ D- K
ft\a §o A:94r)l+ tzt
-----r--->'--1/'/
ana I ogamÉrlle
9 : AQsa (t=.Pt(z- AR€A ( 1.2, 3)
Z'opportunÒ inrrodurrÉ urra terza cocrciinata di areà Yf3
F:li ccinvolgere in guÉsLo mooo an:he i1 +,riangolo L, Z,?
IisI: anCÈ,r3 'JùnS i d*:. a t-o.?t,-e\4\S
ls )7 t2
Ci m,
§=A,. + A.z +As/\ÀÀ^z=rj= t\- /-xt- F2
4.,4-A",A,r\oA -f-È: t- i.-i=
-Àu2!',)lt=.11C1 Cr lì3 = ? -. r ha Ia te51 ,
,t t3
'r +1-i ----iri 1 1 ? rpqi: .-O Un Sistgma Oi-nl LflarigO-ru -1 , -, r re:,Ld COSr a55OC1at
coord.r-raLe nat"'-^'' € t< tr-u!drt {a' Iz' ?3'
3 (0,0,1)
1(1,0,0)G(7/3,Li3,7i3)
2 ( 0., 1, 0 )
l,lediant.e 1e coordinaLe natur-a1i si F,uÒ sLudiar* i i
ncdeLlo di spostam*rrt-o nel caso rji disrret-i:t?.è.zic-rne aj
elemÉrrLi Lriangolar i .
i,q
\f o,r o. I \t Z-)41 ,l Ii-/ìJ a^o t I
I étt'z ) ltttlz,\" )l/n Lutte e tre le
e naturali anche
I -!1-,4 ^f
nòrt^5Éf 1u4}JL
.rrr i n.l i r' n| a=;
mo Lriangolin:
erea t,r'.ale.
lavora c0
cosrdinat
scnc fra
cno essere
-aL!^-!e-L-l- I - e.s-L
a ^r ^ ^ ì ,IdLU E A
l"?/ lflu!\d)
(r.) llb, ,c I
\ )r t t I 'n /l*i_ i_l is. .a.iJlrl-r^ il ' 'rz I{el 'n \li-- ,,-it 5s I \ I u3 '<-rr I
AJ = A- At"- Ai si
b== - bo-bz 1r
P-A= -.Q-a- .2 3È
t ^ -^^---a:-.- L- --1..--- a:Le COC,fClIllatÉ naLUl:az: I pO-sS
co$e r-apporlo f ra L 'area d
irdi.vi dualo da P e da 11" ' i -es inr,r
^Lé ./ \)
?.' A
El-emento triangolare a deformazi*:ne ccslante
nf \. I I \. | 'rrl (i, {L/
6Ò
x,r-
_--_l-
.i -. :::,',ll
Glj elementi finiti trlarrgoiari a deforr*azicrr* cestanLe
scn(f defj.niti da lina sviii-ip;-,c, 1in,:are Celia funzion.: c1 i
----l-..^---l--
Flodeljq di sposLament* linearer.. / | *- ? L \é
I tt (2
I n- -
A./ , t/-€ ,Ne Y( 'U ^q f (,LS ll T (
12
Per scrivere 1'espressione del mo'Je11o di spostamento
jn funzione degli spc'sLamenti nodali 5i impcr:gono 1e
co:-rdizioni ai n,:di:
nodo l-
( u (1,o,o'1 : ,1,4.t- = d1 *d2l( ,ct (t,o,o) - tr* : Nc+Ns
= llz = di+dl:1.>
/: W2 : d4 +,/.6
= ,4ll : Cl
=&a:da
d a * .r,Lj
a/. - 1).-/A,I
d3 = j.,t,z-lt,
^/t-q = ,U3
a\/ ^T45 : ivL -/U3
cy'6 - rt-(I
./*r
U+
L,
ÀL,
nr,U}
<i .,tlipne riÉr i1 mode1lù di sp{Sslamento J-'espressione:
(t* - 4t + (tte-t+t) Yo * ( u.-r.,i*) F,? ^- - àYLu = ,ua+ (ara*q;) A +(n;.-"àY,
_h; ricord-n,1,-, r-1.,r, 9 - I _? _'( <i senrplifica nell"a-irc, !ruv!uarrur, erru fz-
* 1* 12, "-
i , (att,o)- r,.{,r I {fr!!u - |
L ry 6c, t,c)a{ ,u (c,o,7)
l,,",r-i,, { I- { nt (o,c,7)
- - -. - -
* I - -'> cg ugrl L r;
/ ,. r ta L, ,g \ V| -e I ? 7r,lll leI 't'' t
ln:(s g ? \- €\ - )1, la, ìl) lr1;r forma mat:'iciale
n tùw
il:^
(.€
13
\éèr3
! *l _l?, o {,0 r, o/
I u )-/ o yo o \,. cY,lf *t\u,\,,7.)= I1(r(?. \.,f.)= 6J
.è47 + fru, t
4T,i *9 tr, +* )2
,t/-3
ru}
67
'":'''
!
?
sLa forma PertneitÉ di
eL g*neri c': PUrrt- c,
rdinaLe naturali.
ore dellÉ funzic:ni di
sFloEiamenlo adottaic
.'izzàzionÉ a Lre rrr::di
a::i.
., / 4rtll(tl, ,lr4:{ n" !( " -)'"[) ( '',)
§iroslam*n+-o in gu*
S§r(;5 tam*rrli d
funzi.on* deLle coo
rappresenta i1 vell
base ai modeLlo di
guenza delia djscre
suiLanc essere line
x,Y"In
I L rr+del
,-,-.r./"c.-;ré
drl i 'eLernen
i ]- \,Èttol-
f o::ma chv,
{ diret-la
^ E t - L !.r n f. -
<ol'3,l
- i * -- - ^ ^ J -r, Fli L)Lgu':
a 1 I 'inlerno
i (:r f nià
.LL1
/Lz
Mt
r. ni
nl i:J4*
.r in
l<-llt
--l-'lh\yI
o t4LL:
t
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))3
r.{t{{
i
I.{rt t[,
,ìi
r:-l
di spostam*trtt'
d*f c,rmazi cne
di:::ivaLÈ dell-e f unzi c,rr.i
( i, n gue.; Lc, casÒ uni cc),
Una vol La def ini Lo i 1 mcd*l-lc
a.il'anaLisi Cel cami,i di
dei i' elernenLo L:.:i a;-:goiar-e.
'i*T oer1n.1 :.]onÈ:
€ e :-Be a.f-t-6e- ! nr3lri ce iel" 1e
i*11 t e'l errÉn tÒ e -cs l IIri,
r) f.
(
t
€* = ai*Jx =6J,X
)lO^
I nf ''\ ) fI - ca 1'^1^
L,e L, t=l (L^ - 42A
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seguente forma;
risul"Lano
da un unjco elem:nio, e
equivalenti nodali.
l*, a-, o, l9^ *?,/ s / ^.,.,*o;ar..)_l_ -/ . I jJ, ,r,L /\./
5u = ?-!rd Dqa
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verrore I fr, Y.,?rlvì cr,ei.la rr ( Ara;pELLU , r
3r? ) e
lras f orn:azi on* delle
Lanli ed assuriìono La
fnfaltj. avenCo ind-i.caiu con g
1e sue derivate rispet-Lo x , {-guinCi 4., ricordando 1e r"rìufe
€9t r.* i s,*
I!tl\j/L^I 2 t,x
t_t-,tt
I L, Lu t=i
Ta:/ : lv ? ?.1:4 !a, az o,lg t ì a,2 ?z,t I z,2l Zl.
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/e
.ti
bJ
lir srguÉ ci:e, una voLt-a fissal: gli spcsiairr€r'iLi nc'dalir
i1 cerirpcr di def o::maziorre e di consÉguenza guello di
sfc::;i r.i.suiLa esserÉ ;osÈanre.
Risolvere i 1 probl*nra signi f ica cclncscere gli
spos+-ament i ,& e 4f di ogni pun'Lù de11'eleinento, per
quesLo si devon.o deierminare q1i sposLarirenti noCaii
svol"gendo 1'eguazione matriciale §-.q" =§e con kc. matrice
di -J.gidezzc deLla st-rut-Lur-c, in tlur-stc, cdso cc:sLiLui La
69
e vett.ore dei caricl'ii
icato ccÌn 8" 1o spessore, ccstanie,
(je Aei carichi eguivaJ.enli nodali è funzione
;, volume e di. superficie app}icate e da
ormazioni lermiche.
ri i1 caso di element-o soggeLLc unicamenle
'')
( ? : acceieraz.i cne ii gravi rar-3) q : densiLadell'elemeniov)
tÉI
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rEJD"*dv: A" I eJ»"E"dA'/A'
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K" =ltlVe
avendo ind
del L ' elernento
Ii vettore,{aì ìa FnrrauLJt! !v! !u
eveniuali def
Si conside
a1la forza pe
(rxrii-\^ 14l
Ii -ar)
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r1|,J\) C)e :
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Cocr::dina te nat-ural-i su un 'areafI r* Ybg')A_ n!L! c. I ,A
). lt )J 1l ql' - (-*- L---rt"l,4 *'t:
Co,:::oinate nalurefi su una l"inea
fI Y;1: Àe,{
It
It§: ricordano ora alcune formule di inlegrazione ulili.
4 (/.,2,///
,]U
5i vogLianc,
;: :rrrr, i r,u - -rll-,*.- .
I_tkl (-ee) ?- I ) u tt
r€", l(- rz) -\,
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appi i care ques Le forrrui* ai F,[É 3'È Ii .- r
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Di:.cr, Le f cre* ncdaii sor:'*, sLrl o verlicali e
gel-1a f,-,r'za L)Ésc iiialt.
,r5g!
5l pI crpl- 1Ò
ad L/3
1i
-;s1 consl_oÈrr. lnr1ne 1l casc ol"
carico uni f or:rnemente di slribui lo
l L 1ato 7.
e1èmehLÒ soggetto à
un Lato, àd esempio
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Si ri. cercanc i cari chri ecJuivalenti nodal- i G. .: r'{n,9-'k lad(
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Elenrenlo triangoi,are a deforrnazione lineare
Fer ottenere risultaLi piu accurat i adoLtando una
discretizzazione a deformazicne costanie, è necessario
infiLLire 1a riraglia, anche se non sempre questo
prc,cedimenio puo risullare conv*nienee. t{odel1i di
silos.amenlo d'ordine supericre garantiscono risulLati più
accurali, anche se computazj.onalmente in genere più
onercsj.. E' cpporturio vaiutare caso per caso, mediarrle
stuii compara".ivi, i1 modello che garanLisca i risult-aii
piir accurali con una spescl ccnput"azicnaie acceilabile,
F*: olLener* urro siato di defarniaz.i.one, e quindi di
sf c.:-:;, lilreare è nec*ssario adot"lare un modeLlo Ci
- a:i:.ìr=*irn s arrinÀi iiSCfeliZZaZiLrne:, l-,L: -driir=.l:L-.J qrrarr-LJLU É gU.I:ILl .l U.Lld,
de]l-'e'ì en*nlc a sei noCi ( prÉs: nei verLici e ne11a
mÉi:ir:a oei 1a".i ).
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C':ndi z i c,ni ai nqsl i
nodo L
-^/ii r < 3ilvul L t r,
noCi 4, 6
7O , adottandc pÉr esso una ì-egge
r: loìl
con A e B costant.i incogniLe
l^v-a,-l)l
I -C\t(a ,l/ - É'lt- .
Q.o = À +E :lr^\j) -ui41l-U). = À=* 15 -Oa2-
La seconda condiz i c,n* viene s*ìTtI:,sE sc,ddisfatta,
alLre c,rfilÌfirrrtono un si sLemà l-i,neale nef le inu-ogni te .4,
ac
F.
( A+B= IJ ^ G^ ^L Af Z6= U
i **B-- I1
I ,^ 6^l/-\,r-15
C-o
)+
16
(2?^- i.)
, ' -.: ,'.'|.':
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5:ato di deforrnazicne
,9- :
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F.a
9 =FI t 12
A= 4
delerminano 1e
lr i ang c,'t o.
Àllc stesso inodo si,J=i rrodi-verli.ci de1
'ZtéA = 2? !v . 4 /J-a * 5; t,i
f uhzi oni d'i fornra
)o4 - 1tt
AU bIL',tz
x,Y;
(é r^ .{)
Fer 6, si cùnsideri I'espressione&1,Tw_
la>-l4
C*ndizioni
1
n nrl ia1
..^l- I!ìL;ULl *
a rrr i r,rl i nor- Ysf rrur yvr
4tLre
rhJ6
A,I4
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§tr3&V
À\u-t- 4
tr
L-<
,1 7
.i:-
rsi nei caJ.co1i, ia
naLe rlaLurel"i:
1 ( L Itt ttttllxttt Itt tJ r 3)
E' utile ricordare, prina
fcrmula di lrasfcrinazione d
( f, I t- )Ano
l*-t- /- innI ,, { : ZA I .n,"( f. I L 2A,o
di inoJtra
e11e coorditbL Att
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b, -c.''3
,L)x
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I
1)
si è ot.lenulo un campo di deformazicrri lineari.
i.i co:-dand..r che:)
VÉ n-uz Cl=-e
anche
r-l
s f.arzo1o slato di
f\b
tA,dA
. Lu È" € fn3'7
lineare, come si voleva.
MaLrice di riqidezza:.
K" = n. f^BJD,
Essa si determina ,
linear*, con opporLune
caso tale operazione è
lralasciano i cal-coli.
ireiL':r* dei carichi
{ cas,: di carico uni
come gia visic nel cas,t di model 1o
formule di inLegrazione. fn guesto
più complessa, e per guesLo sÉ nÉ
è,-i:ìiVA''! rrt i n6rdali:-::_::-fornre, lineare, agenle sul lato 1)
a\De
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ilslribuitu su !4.
909 ..1 ux r!\_I
**+tC6
*
- -.. -- :'.- - I - -
ELEHENTI RETTANGOL.LR]
Elenrento rett a.ngola.re a guatlro nedi
".r4
(-4,4) 4
qaz
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4,14
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<.i <ierr,a ha à+)=E n'-a,ii cii l-ibeffa.
convÉniente ulilizzare u!1 -qislema di ccordinaLe
ij adimensicnali -d*f j niLe I-rÉL EeguÈnLe modo:
?= *-X+(-,-e
in modo chÈ Ie coordinale del qenerico/4 -
19 -LA-..'G{ S purrrcr P (y,qì siano comprese fra -1 e 1\'I
Mr:'it-i1cl di srrosl,amenl.p quaqra.li c§
{*(f,t = da+oieT ' or7 +c{rI
{ ,u (T,I) = ds .d'.7 + ut T
* o,^ovÈ A=
T7
T,(.
(T,?)4.L= A d.Z
d- = A-'|{
t+I
Ic'--t,
ò -l
A
Oeservazione:
per ccmplelare i1 modello è necessario
ricorrere ad un termine di secondo grado,
e scegiienC,: xy si ot.trene la slessa
r-isposia secondo g1i assi x ed y.
1e condi zi oni
forma
ai nodi 51 oLlengono
L
xu(.)
11x' x(,À- u-oil
fmpcnendo
funzicni di
fu)ir:Itr]
1e
Jafit* \+,IIY
(Y,7) \L
u = 6rue +6rt*y *, -§ru,
.o', u §o,W
q.
TÒnd qr,+
jt
ts/):t.À-/ *t.f :3- &4
N-
I - z-^ Y'.7- L-.
{*l)^,("
(? m{
(Y,n*, L
/{ t'
nr' T={]!4J7-
Osser-vazione:
guando A nonè inverLibiie,
fuuzioni di forma direlt"anrÈn.'É.
bisoqna costruirsi 1e
ii modello di sposLamento deve so,ldisfare alle seguenli
condizioni di convergenza:
1)
Per À*-t
) il campc degli spostamenti deve essere ccntinuo fra
elementi adiau-enLi e guindi l"a funzione di
spcslamenLo deve essere un petlinomio di grado pari
a1 numero dei n,:di presenti su1 laLo meno lJour, cioe
deve essere univocamÉÌlte det.ermifràLr,l dalle
condi zioni relaLive a qusl laLo.
-r
9 (Y,,\,)=!§, r ?; ,?a) = #
Ò+
.rli.
Lato con duÉ nc,di:
funzioni di fornia lineare.
Lato con guaLtro nodi:
iunziani di forma cubiche.
3 ) It modelio di sposlamento deve poier rappresenLare
mcLi rigidi e sLaLi ci deformazione cosianti. Le
condi zi oni l-) e 2) non as s i curano la 3 ) , che va
verificala caso per caso.
Costruzione Ce11e funzi.oni. di forma:
d (v,q) :(Y-1)("t-t) KJ7 l,L / '- (
P*:: Ia condi z i cne 1)
if/.\
ncdo z 6- (7,--1) = cl
ntrdo 3 é- ( L, 7) : Cfd5
noco 4 6 (-t'L -§é{r
La cond1zione 2' è verificala percha 6-. * lineare suj. lati'L^
§, {y, -l} = * (i-y\(i -,1\
§, (Y,1\= I (tuT)(1-t)
Tll)-t- 3
(7,7): + (t*y)(t*I)
§r (T,-ll = * (r-Y)(r *T)
85
)la
,UI
)-Lz
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{*t) f$. c 6 o A o: I I r-i J-z 13(Ilt*) L o 6 a 6 c -o-Li J-z i3
TooL9Tca Ij
Ie"It ^-
il nrodell-o di spùBlamento a quadralico ( in guanto lc
scno le funzioni di fcrma alf inlerno del-1'elemento,
:n*ntre sul conlorno sono lineari ) e di conseguerrza i1
campo di deformazione è l-ineare. Quindi guestc modello di
spostament.o è giA più fine del rnodello ad elemerrLi
--::a::goiari a :::e nod:, che descriveva al più ur: carnpc di
,ief orrrazi oni ccslante.
6 o 6 o 6 cl- Z,^ -3,* t 4,x
Io 6 cd oò iir,* -3,+ ' 1,* iTtl-t'frAqACIAal-a,L i-z/v .1% L!,x J4.Lr Lr, x i
rI:ll
i r-xiil^1L\L4\ai
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: 4 f-!(t-.,)1 .a..t1+ 4 f !(t-q)1.1/z+ I f t /t*o,tl,u,I Ot 1 LJ .C*L7 L'J -AL4 ' ''J J
Si pr-ocede analoganent* per 91i altri element, tj. e )-"u.
d-
La malrice di rigidezza. infine, si calcola in funzione
delle coordinale locarrY , 1 ,
f si plÈ<: I gp I ^JA: obl I B,»B.JE^d,nI J_rl_, r t
4+-a ,r I7- "l,l f 4-i? .JI_L/I J 4-1 o 4-+1 c,a-L 4 + 4
ol
.- :-,i :::ir,i:l::::::*
Elemento rettangòlaie ad otto nodi
- ...t,;.i,
('{,'t)4
(e,-4)f
( "1,,{ )3 {
(-{,o)E 6 (<,o) {2 xtl. fr'* *v' v'.73
a
("{.-"{)
nt . vtc
11 si-ctema ha 8*2=L6 graCi Ci liberLa..
:1 modef Io di sPosiamen+-o è rappreseniato 'ja
poiinomi o di Lerro grado §on complelo, perchà formalo
scl i otn-o elemenLi . ?:r l-a convergenza sui laLi ,
€unzione deve essere deI second'crdine.
ctq Y2 +c*s ?ql?(
C{ r: ?' +- &*Yq,tL
Ci forma (
Ag
Lrs
un
Àr
(u= da+.i,2Y -dr*l1
i 'rr -- d1+ d*f * d. ee. \
rn funzione delle funz
i1 model,lo si scrive:
(,u= 6.u,t- r4^u,i_L*/i §-= f,4rt * §r4r7
+ da \2 + c/; \tr7n *r,
T' * *ur\'r[
da determinarsi
7+@+à.
+6la
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LI
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10
+
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+de Y n?2\L
,b+ dt-c \ 9'I
n*rlL-?
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.. i.: i..; r ;- -,-i:i.l ,,.',-.-,,1=:: i:i:::. -::..,1---: .i
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Si vog
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aitri no
ratfa
ret.La
rot f:
6 (vI I - ),
^"---!*vuE> Ld.
- -- a -
condizic
si. dev
quadrat i
!1r:rdr-r
lino ora costruire 1e funzioni di forma:
deve valere uno ne1 nodo 1 ed annullarsi negli
di -a--o 4
(*l-, ) =c{\-*) =o
4
I - 5 (T " t * {) =o*() - K G-t)(.t-L)(-7-"t-t)
E\:?-ì\=p
t-nTo
espressione è un polinomio del ierzo ordine, che
o nel ncdo 1 e zero negl-i a1Lri. Mediante
:ri ai nodi si determina ia costante K, dopodichè
e veri f icare che sui lati ,'a f unz:one s i a
I
I
,-\Ya/__--_--\--_--.\__/
i,er- f = cos!.
per t = ccst.
6 (-t;t) : K (*2){-21 } t-} : 4 K =3--Ll
R:7-'4
a^ad
guadra Li ca
qr:adrat.i ca
Ànalogamenie 1e
scrivono:
ò = L (L+?\ti^ _a_ ! l/r
b'1
1-/r1 \ 1(€* ('t ( -rvr_-+\( -r
Iq
(t*7) (7*1)(T*1-t)
§=+ ft-?)t**1)(-f+r-r)
§r(?,,t) = +(y-t)(.t-ù(-r-i- t)
furzlone
funzioni di forma dei nodi-verfice
89
ffi
funz i oni
nrirna 6-l- -:(n- o)
1=
(:
= 4tt-Y)(1*Y)U-11e
sul l-aic risulLa sempre
L
Lo slato di defc'rmazione,
ccnsegue risulLa quadratico.
Per guanto riguarda 1e
i::termedi, si collsideri per7
O- (Y,1): s(Y-t-)(Y*t)nodo 5
6-(o,-7) = K (-t)(*1)(-2)
-ru)
.-/1\
-:
ànalogamente per gli altri nodi inlermedi.
1-d\ = .1 /,t-rtr\{ -t *?l+àELt
-rv1+
u/^-L8 -1(a-7')(t-7)
{ 4-Y')(t+1)
di f orma nei noC.i
: 2K:-4-
_t_ (r-?')(!.-T)
guadrat,i ca .
e quindi di sfcrzo, che ne
90
.. .,.;.:,:,t-:;
Element.o rettangolare a 12 nodi
(-{.,{) t-{,-rt tt,n) (.,r,.{ )A,4'o31
l-"'1) nn
I -t -,t lt,t\ " -t ,r''
1f
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ta, {)
(0,- * )
tx4
(-.{, - -( )562(-1,-n) (1,-a) U,-*) x-, xL& d,
xa ** *2' ?'{1 *t? K'9' x.3' X'
polino:irio di l\f, grado, a
12 ternrini, simn,et.ricc,
i1
{lLi
{
l4.'tL
{u1
lI n,
X
=§ro*"§rAz+
sisLema hra i?*2=24 gradi di iib,erla.. U * V"
=da 4 ArY + cds \* **Yt* o= Y7* qt n/'++- ol3 ?' * *u Y'T + dtTn{' * dto"l= " oot T'n{! xr.YT'
= des+ d.t<T * dnul +Cs Y' *oo*Y n7 n a** 7r'*+ daa Y" * *r,T'1 + dztT
7, * drr
73 + drrT'?.+ x:<\1?
T+ (A i-Lt ^
Jat
T+ L! qf"+ + 6 QF.at-LU_
= é' 4'i'1
Con un elernenlo di guesto Lipo, l-a delerminazicne del-1e
funzisni di fcrma A più complessa.
Fer delernrjnere 1e funzioni di forma dei nodi-vertice,
può aiutare 1a consiCerazione che i nodi 5, 6, g, 10
91
"::-E--:--J.,;!*
rir
stanno su11a
e quindi di
À (? *\-Yt' ?, ("
ncdo 1
:rO (-1-71 =t1 , t '
circonferenza di raggio pari' 'à2 n ry12 = 1-Oequaz:.one 7 - É
R { 7-Y )(t-\) (Y"* \'- 49 )'i' L ?1
e2,G,AJ)
K =C.
er i nodi
t Y,ol) :E
f
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,{u./
rw35
Òi{i
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n e,rl
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= * (L*Y){t-I}{* t\'*\") -7Ò1
= t_ ( t +?\ (t+1)fs f Tr*7r)-{c]32 \ ì r\
=.=+ ( r- Y)( t* I_) [3 (\"* 7') - lc]ca
inlermedi si co$sideri per prima
K t t"T){t- y) (t -,1) (+ _T)
-7-/f\Y
(+,- r) =
K
Ik/ t\/ L\rz\/ c\I 2 it _-: tt-/! É.-t:t3lt zJ \31
-6 I3L
ql
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g
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3 ( 4'To:+5
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r
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,-.{) t t * zT)(4*T)(4_T)(
6^ = A (a*Y) (t-ot)( 4* *7) (7+3n)J8 3A' ?' (" lr' ('
(i*Y)(t-f) (t" T) (:.-3T)
( 1 -Y ) tt -l) (t-*y) ( r'+= 7)
\)(t.-T){**T}{;--27)
q
32
xly= (t*Y)( 1--f ) (a+7) 1a* s\)*a
'r\J,/J7
Aq/YI.I- |
<'j
a3-D
a;;
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g/J
9l
EI,EHENT] ]SOPAF,AMETRICT CURVTLINET
Siano a.ssegnalÈ r.r€l riferiment:o carlesianc, ( X,Y ) ie
l*11'elemento curvilineo in
figura. Sia fissaio inol"tre u$ sisLema di coordina,'e
Ioc=ii (?,ql)./t
(-4,4) 4 \\III
II
I,r)(,t,-
x,Y ) --È- r 7,nt-t
T^ Yi=
'T--+ @ )(tt
z tj.z
Lrasformazione i1 problema si riconduce
tl:) eLenrent o reLt.ang,:rÌa.r,= a tZ nodi
genitore" ( parent element. ).
r,Tiì:
I
I
II
t*
&f vllt ui iras formazi cn*
.r-r)=9_Xe+Q Xz4 a- -Lz
.rT)--@ q +Ocr' It òt ìr, dr
: x (y,I
= u, (Y nd'ìr (
l.{eCianle quesi.a
alic studio di
q--i:i ama Lc "elemento
TY; (Y n\- /t (/-Ò
J-1_
a {-1,t, )
4 G<,-<)
94
( l,uL )
Mc''j=l1o di spostamenLc,:
e§so vier:e cef iniLo su1 "parent elerneni".
11Il-
.I
n
\Ò,J T;Tti
!
jl= LZ
QuesLi eiemenlj sj" chiamano isoparamelrici pÈrcl')È l"e
f ur:zi,:ni Ci fe::ma C che c;,nrpa j.c'iro neil'espr*ssi,:,ne del-f,
n.ic,d*.il-o di sp*sLa;nerrL+ deL "pa::*n'; =1enr=nL", coincidono
cùrr Lr furrzic:-ri È, carat-t-e:- izzanl j. ia tl:as f ormazione
( ,-i.,o la L.!É,^,i!]ft_ria deli'*ieme::iO diSt"errlC, ). IO SOSlanZa
t 1 !,r:i, lavc:. are sul "l-,dl'É.r:t e I =net:';" r i-r'asF,cr:tgn§,-r poi i L
luLio suLì 'eJemenlo di siorLc, lrami le 1* Èquaziorti di
trasfor-niazic,l:e"
f--*,r'.,,,4i,lefr,rm>t i,- t;'
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],iaLuralmerrte l-a prima ccsa ,ja fare è verif icare
si= inver+-ibile, infatLi puo capilare che' per
possibiie scella iniziale CelLa posizione dei
1'elemenlo risutii. Lanto distorLo da delerminare
hiuniv,:}cita del1a +-l.asforrnazi':ne, B dj conseEuenza
j-nverrifrilit del I'. ntatrj,se T,
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'l * t: :-rna z i ùnÉ ;j.
ELE},1EN?] 1 SOPAR.À.I'{ETRTC I,
Quadrilatero a guattro nodi
3 {<,.r7
Q{.]ADRTLA?ERO LINEARE
Fer guanto detto, riguardc gli elenienti isoparametrici,1- - :: t::asfc'rmazione è la si*essa o=1 mc,,iellc di13 JEYÌ9E Ll-L
<nr,q*:m;n*r,
zlt.4
i*: É, 6 Y,< (u:1, 6 *,t::"1-i,,-f ..f u. ln*-*.,Xnr..I YL-4--^ Vi. ,J 1 +^ Sa L'"' - ?^ ?, 'u.
Tc;n @. fur,zieni di fcrrna, lineari su1 laLol*
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"J ll to:l ["1 I--r?ll{^2 (rliu )JLl"l ts')l
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Una r:olta noto il campo di deformazione, i} passaggio a
queilo di lensiorre è immediato,' Fer quenLo riguarda f integrazione'de11a maLrice
ri g:Cezza K è conveni eni"-. ut i r j:zare i i. nrecodo
intc.grazic,s6 6i G.russ.
S: fissano dei punLi ( di
{
r.tL
1Ilt
al aìv
o4-Lc
,{i
Gaus s si valuLa L1d
funzione int-egranda e si trasforma f integrale
s,)mmatùria relativa a"i punti di Gauss.
IN una
fl, spÉs s ùre de11 ' el-emeniol* r'_"'*1
éA
!-1"K:- *f ,' [,n-{
-
I1 guadrilatero a guatlro nodi è I'elemenlc
isoparametrico piu semplice.
Quadrilatero ad oLLo ncdi
Ta-)-;
I/ F-:(x :à;t1t31l4lrl*=Z;Lv 7-
r,t ,
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§- guadraLiche
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