8/17/2019 Apostila Cálculo II 2016
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Faculdade de Direito de Alta Floresta - FADAF
Mantida pelo Instituto Educacional do Norte de Mato Grosso - IENOMAT
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Cálculo Integral e Diferencial II
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M.e. Sandro Adir Swiderski 2
SUMÁRIO
01 REVISÃO....................................................................................................................03
02 DERIVADAS DA POTÊNCIA DE FUNÇÕES.........................................................11
03 DERIVADAS SUCESSIVAS.....................................................................................13
04 DERIVADAS PARCIAIS...........................................................................................14
05 INTRAGRAIS.............................................................................................................15
06 CÁLCULO DE INTEGRAIS POR DECOMPOSIÇÃO............................................16
07 CÁLCULO DE INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS..................17
08 INTEGRAIS DEFINIDAS..........................................................................................18
09 CÁLCULO DE ÁREA POR INTEGRAIS.................................................................19
10 CÁLCULO DE ÁREA ENTRE DUAS CURVAS POR INTEGRAIS......................20
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01 - REVISÃO.
01 – Transforme estas raízes em expoentes:
a) 2 = n) 3a3 =
b) 23
5 = o) 56
xy6 =
c) 3n
6 = p) 13
9 =
d) n8
9 = q) 34
a2 =
e) 34
x = r) 10x =
f) 2 35
y = s) 11x2 =
g) 5 = t) 33a =
h) 4 x = u)2
x
=
i) 5 x = v) 7 x =
j) 84
x= w) 3 2 x =
k) 6 6 x = x) 3 3 x =
l) 2 25
y = y) 152 x =
m) 5 3 x = z) 3 2 x =
02 – Simplifique as Raízes:
a) 10 x = b) 3 10 x =
c) 4 10 x = d) 5 10 x =
e) 6 10 x = f) 7 10 x =
g) 8 10 x = h) 9 10 x =
i) 66 y x = j) 3 66 y x =
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M.e. Sandro Adir Swiderski 4
k) 4 66 y x = l) 5 66 y x =
m) 65 y x = n) 56 y x =
o) 3 68 y x = p) 10101052 x =
q) 3 10101052 x = r) 4 10101052 x =
s) 5 10101052 x = t) 6 10101052 x =
u) 7 10101052 x = v) 8 10101052 x =
w) 9 10101052 x = x) 10 10101052 x =
y) 910852 x = z) 3 109852 x =
03 – Escreva estas potências usando radicais e simplifique se possível:
a) 11 41
= b) 7 2n
c) 10 1n1
= d) 31 52
=
e) 15n
8
= f) 13 3
n2
=
g) 32
x = h) 23
x =
i) 43
5 = j) 21
x =
k) 85
x = l) 75
x =
m) 310
x = n) 38
x =
o) 45
x = p) 39
x =
q) 95
x = r) 311
x =
s) 21
x = t) 31
x =
u) 41
x = v) 51
x =
w) 61
x = x) 71
x =
y) 81
x = z) 91
x =
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04 - Fatore: (fator comum)
a) bx + by - bz =
b) xy x 42
2 =
c) x x 612 2
d) (a+b)x + (a+b)y =
e) 2345 x x x x
f) ax + bx + cx + dx – x =
g) 4xz + 6xza – 12zxb =
h) 4abc + 6abcd =
i) 35 y y
j) 7x – 49x2 =
k) abc + abcd + abcde =
l) 5a + 10b + 15c + 20d =
m) ya + yb + yc =
n) 9c + 27d + 81c2 =
o) 2x2 + 2x =
p) zw + yw + rw =q) x2yz + xy2z + xyz2 =
r) 11x + 121y =
05 - Fatore: (agrupamento)
a) x
2
–
3x + ax –
3a =
b) 2b2 + ab2 + 2c3 + ac3 =
c) ab + ac + db + dc =
d) a² + ab + ac + bc =
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e) ab + ac + 10b + 10c =
f) xz + xy + z2 + zy =
g) x4 – x3 + x2 – x =
06 - Fatore: (soma e diferença)
a) 12 x
b) 42 x
c) 92 x
d) 3612 x
e) 4002 x
f) 4412 x
g) 4842 x
h) 5292 x
i) 812 x
j) 1002 x
k) 1212 x
l) 1442 x
m) 1692 x
n) 1962 x
o) 2252 x
p) 2562 x
q) 2892 x
r) 3242 x
s) 162 x
t) 252 x
u) 362 x
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07 - Fatore: (trinômio quadrado perfeito)
a) 25102 x x b) 22 92416 y xy x
c) 442 x x d) 962 x x
e) 1682 x x f) 25102 x x
08 - Fatore: (trinômio do 2º grau)
a) 452 x x = b) 562 x x =
c) 672 x x = d) 16102 x x =
e) 652 x x = f) 62 x x =
g) 62 x x = h) 1452 x x =
i) 1452 x x = j) 9102 x x =
k) 982 x x = l) 20122 x x =
m) 30132 x x = n) 30112 x x =
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o) 70172 x x = p) 1282 x x =
q) 2092
x x = r) 4542
x x =
s) 4542 x x = t) 19202 x x =
09 - Fatore:
a) 13 x
b) 83 x
c) 273 x
d) 643 x
e) 1253 x
f) 2163 x
g) 3433 x
h) 5123 x
i) 7293 x
j) 10003 x
k) 13 x
l) 83 x
m)
27
3
x n) 643 x
o) 1253 x
p) 2163 x
q) 3433 x
r) 5123 x
s) 7293 x
t) 10003 x
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M.e. Sandro Adir Swiderski 9
10 – Calcule os logaritmos:
a) log28 =
b) log41 =
c) log39 =
d) log55 =
e) log216 =
f) log416 =
g) log327 =
h) log525 =
i) log232 =
j) log464 =
k) log381 =
l) log5125 =
m) log66 =
n) log749 =
o) log864 =
p) log981 =
q) log636 =
r) log7343 =
s) log8512 =
t) log9729 =
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M.e. Sandro Adir Swiderski 10
11 - Efetue a mudança de base para resolver com a calculadora:
a) log28 =
b) log41 =
c) log39 =
d) log55 =
e) log216 =
f) log416 =
g) log327 =
h) log525 =
i) log232 =
j) log464 =
k) log381 =
l) log5125 =
m) log66 =
n) log749 =
o) log864 =
p) log981 =
q) log636 =
r) log7343 =s) log8512 =
t) log9729 =
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02 - DERIVADAS DAS POTÊNCIAS DE FUNÇÕES.
01 - Calcule as seguintes Derivadas:
a) 32 )1()( x x f b) 23 )2()( x x x f
R: x x x 6126 35 R: x x x 8166 35
c) 224 )13()( x x x f d) 4)1()( x x f
R: x x x x 1244368 357 R: 3)1(4 x
e) 5)4()( x x f f) 42 )1()( x x f
R: 4)4(5 x R: 32 )1(8 x x
g) 62
)7()( x x f h) 52
)1()( x x f R: 52 )7(12 x x R: 42 )1(10 x x
i) 43 )2()( x x f j) 53 )3()( x x f
R: 332 )2(12 x x R: 432 )3(15 x x
k) 63 )4()( x x f l) 73 )10()( x x f
R: 532 )4(18 x x R: 632 )10(21 x x
m) 54 )3()( x x f n) 64
)6()( x x f R: 443 )3(20 x x R: 543 )6(24 x x
o) 94 )13()( x x f p) 21)( x x f
R: 843 )13(36 x x R:21 x
x
q) 3 14)( x x f r)4
1
1)(
x
x x f
R:3 2)14(3
4
x R:
4
3
)1(
)1(8
x
x
s)6
1
1)(
x
x x f t)
3)1(
1)(
x x f
R:7
5
)1(
)1(12
x
x
R:4)1(
3
x
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M.e. Sandro Adir Swiderski 12
u) 5)4(10
1)( x x f v) 42 )1(2)( x x f
R: 4
)4(2
1 x R: 32 )1(16 x x
w) 62 )3(3)( x x f x)4
2
1
1)(
x
x x f
R: 52 )3(312 x x R: 3)1(4 x
y)
6
2
2
1
1)(
x
x x f z)
4
2
2
)103(
107(2)(
x x
x x x f
R:7
5
)1(
)1(12
x
x
R:5
3
)2(
)2(32
x
x
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M.e. Sandro Adir Swiderski 13
03 - DERIVADAS SUCESSIVAS.
01 – Calcule a primeira e a segunda Derivada:
a) x x x f
2
3)( b) x x x f
2
3)( R1: 16 x R1: 16 x R2: 6 R2: 6
c) 23 27)( x x x f d) 19)( 234 x x x x f
R1: x x 421 2 R1: x x x 2336 23 R2: 442 x R2: 26108 2 x x
e) 23 38)( x x x f f) 35 1210)( x x x f
R1: x x 624 2 R1: 24 3650 x x
R2: 648 x R2: x x 72200 3
g) 238)( x x x f h) 238)( x x x f
R1: x x 224 2 R1: x x 224 2 R2: 248 x R2: 248 x
i) 1312)( 23 x x x x f j) 34 312)( x x x f
R1: 1636 2 x x R1: 23 948 x x R2: 672 x R2: x x 18144 2
k) 357)( 23 x x x f l) x x x f 57)( 3
R1: x x 1021 2 R1: 521 2 x R2: 1042 x R2: x42
m) x x x f 2)( n) x x x f 3)(
R1: 12 x R1: 13 2 x R2: 2 R2: x6
o) x x x f 4)( p) x x x f 5)(
R1: 14 3 x R1: 15 4
x R2: 212 x R2: 320 x
q) x x x f 6)( r) x x x f 7)(
R1: 16 5 x R1: 17 6 x R2: 430 x R2: 542 x
s) x x x f 8)( t) x x x f 9)(
R1: 18 7 x R1: 19 8 x
R2:6
56 x R2:7
72 x
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04 - DERIVADAS PARCIAIS.
01 – Calcule Dxe Dy das seguintes Derivadas:
a) 22)( y xy x x f b) x x x f 23)(
y x Dx R 2: 16: x Dx R x y Dy R 2: 0: Dy R
c) 22 222)( y xy x x f d) 2323)( xy y x x f
y x Dx R 24: 236: y xy Dx R
x y Dy R 24: xy y x Dy R 29: 22
e) 544)( y x x f f) y x xy y x x f 232)(
5316: y x Dx R 12: 23
y xy Dx R 44
20: y x Dy R 123: 22 xy y x Dy R
g) 3238)( y x y x x f h) 2323 88)( y y x x x f
x y x Dx R 224: 2 x x Dx R 224: 2 23 38: y x Dy R y y Dy R 224: 2
i) 1312)( 2233 xy y x y x x f j) 3344 312)( y x y x x f
y xy y x Dx R 232 636: 3243 948: y x y x Dx R
x y x y x Dy R 223 636: 2334 948: y x y x Dy R
k) y x y x x f 357)( 23 l) y y x x x f 53 57)(
x y x Dx R 1021: 2 521: 2 x Dx R
37: 3 x Dy R 15: 4 y Dy R
m) y x x x f 2)( 2 n) 2332
1
3
1)( y x y x x f
12: x Dx R 1: 32 y x Dx R
2: Dy R y y x Dy R 23:
o) y y x x x f 44)( p) y y x x x f 55)(
14: 3 x Dx R 15: 4 x Dx R 14: 3 y Dy R 15: 4 y Dy R
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M.e. Sandro Adir Swiderski 15
05 – INTEGRAIS.
01 – Calcule as seguintes Integrais:
a) dx x )16( b) dx x )16( R: c x x 23 R: c x x 23
c) dx x x )421( 2 d) dx x x x )2332(
23
R: c x x 23 27 R: c x x x 2348
e) dx x x )624( 2 f) dx x x )3650(
24
R: c x x 23 38 R: c x x 35 1210
g) dx x x )224( 3 h) dx x x )224(
2
R: c x x 246 R: c x x 238
i) dx x x )1636( 2 j) dx x x )948(
23
R: c x x x 23 312 R: c x x 34 312
k) dx x x )1021( 2 l) dx x )521(
2
R: c x x 23 57 R: c x x 57 3
m) dx x )12( n) dx x )13( 2
R: c x x 2 R: c x x 3
o) dx x )14( 3 p) dx x )15(
4
R: c x x 4 R: c x x 5
q) dx x )16( 5 r) dx x )17(
6
R: c x x 6 R: c x x 7
s) dx x )18( 7 t) dx x )19(
8
R: c x x 8 R: c x x 9
u) dx x x )5( 23 v) dx x x x )653(
234
R: c x x
3
5
4
34
R: c x x x
345
24
5
5
3
w)
dx x x )
1
( 33 2
x)
dx x x x )
10
35(
4 3
R: c x x x 3 23 22
3
5
3 R: c x x x x x 20
7
12
3
10 4 3
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06 – CÁLCULO DE INTEGRAIS POR DECOMPOSIÇÃO.
01 – Calcule as seguintes Integrais:
a)
dx x
x 52
b)
dx x
x x2
232
R: c x x
ln52
2
R: c x x 2
c)
dx
x
x x2
34 22 d)
dx
x
x x2
45 34
R: c x x
2
3
3
2 R: c x x 34
e)
dx
x
x
)2(
)2( 2 f)
dx
x
x
)7(
49( 2
R: c x x
22
2
R: c x x
72
2
g)
dx
x
x x
2
)65( 2 h)
dx
x
x5
3 115
R: c x x
3
2
2
R: c
x x
4
4
115
i)
dx
x
x2
4 16 j)
dx
x
x x x
)9(
637)9( 22
R: c x
x 1
2 3
R: c x x 94 2
k)
dx
x
x x x5
23
l)
dx
x
x x4
25
R: c x x x
32 3
1
2
11 R: c x
x 12
2
m)
dx
x
x x x x2
2232 n)
dx
x
x x 223
R: c x x x x 3
22 R: c x
x ln
2
3 2
o)
dx x
x x
)5(
25102
p)
dx x
x
)3(
)27( 3
R: c x x
52
2
R: c x x x
92
3
3
23
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07 - CÁLCULO DE INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS.
01 – Calcule as seguintes Integrais:
a) dx x x 52 )3(2 b) dx x x
62 )1(2
R: c x
6
)3( 62
R: c x
7
)1( 72
c) dx x x
72 )3(4 d) dx
x
x53
2
)2(
9
R: c x
4
)3( 82
R: c x
2
)2( 63
e) dx x
x44
3
)12(
40
f) dx x x 543
)32(8
R: c x 54 )12(2 R: c x
6
)32( 64
g) dx
x x 1443
))7((
1 h)
dx
x x 1443
))4(9(
2
R: c x
20
)7( 54
R: c x
10
)4(9 54
i) dx x 5)42(2 j) dx x x
42 )3(2
R: c x
6
)42( 6
R: c x
5
)3( 52
k) dx x x 23
32 15 l) dx x x )11(5 2
R: c x x
3
)1()1(2 323
R: c x x
3
)11()11(5 22
m)
dx
x
x
3
4
2)107(
2 n) dx x x 365 )2(12
R: c x x 3 222 )107()107(49
3 R: c
x
2
)2( 46
o)
dx x
x36
5
)2(
24 p) dx x x
732 )22(2
R: c x 46 )2( R: c x
24
)22( 83
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08 – INTEGRAIS DEFINIDAS.
01 – Calcule as seguintes Integrais:
a)
2
1
)16( dx x b)
1
0
)16( dx x
R: 10 R: 2
c) 2
0
2)421( dx x x d)
2
1
23)2332( dx x x x
R: 64 R: 110
e) 2
1
2 )624( dx x x f) 1
0
24)3650( dx x x
R: 63 R:22
g) 3
2
3
)224( dx x x h)
1
1
2
)224( dx x x R: 395 R:16
i) 1
0
2)1636( dx x x j)
2
1
23 )948( dx x x
R:-10 R: -201
k) 0
1
2)1021( dx x x l)
3
2
2)521( dx x
R:2 R: 128
m) 4
3)12( dx x n)
2
12 )13( dx x
R: 6 R: 6
o) 1
1
3)14( dx x p) dx x
2
2
4)15(
R: -2 R: 60
q) 1
1
5)16( dx x r)
0
1
6)17( dx x
R: -2 R: 0
s) 1
0
7 )18( dx x t) 4
3)2( dx x
R: 0 R: 7
u) 1
0
3)54( dx x v)
2
1
4)25( dx x
R: 6 R: 29
w) 5
2)3( dx x)
2
5)3( dx
R: 9 R: -9
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M.e. Sandro Adir Swiderski 19
09 – CÁLCULO DE ÁREA POR INTEGRAIS.
01 – Calcule a área delimitada por f(x) = x + 2, pela reta x = 4 e pela origem do gráfico x= 0. R = 16 u.a
02 – Calcule a área delimitada por f(x) = x2, pela reta x = 2 e pela origem do gráfico x =0. R = 2,66 u.a
03 – Calcule a área delimitada por f(x) = - x2 + 9 e pelo eixo xR = 36 u.a
04 – Calcule a área delimitada por f(x) = -x2 + 4x e pelo eixo x.R = 10,6u.a
05 – Calcule a área delimitada por f(x) = x2 -3x – 4 e pelo eixo x.R = 20,8 u.a
06 – Calcule a área delimitada por f(x) = - x2 +7x – 10 e pelo eixo x.R = 4,5 u.a
07 – Calcule a área delimitada por f(x) = x + 2, pelas retas x = 1, x = 4.R = 13.5 u.a
08 – Calcule a área delimitada por f(x) = x2, pelas retas x = 2, x = -2.R = 5,3 u.a
09 – Calcule a área delimitada por f(x) = - x2 + 9, pelas retas x = 3 e a origem x = 0.R = 18 u.a
10 – Calcule a área delimitada por f(x) = 2x +3, pelas retas x = 4 e a origem x = 0.R = 28 u.a
11 – Calcule a área delimitada por f(x) = x3 + 1, pelas retas x = 2 e a origem x = 0.R = 6 u.a
12 – Calcule a área delimitada por f(x) = - x2 + 9, pelas retas x = -3 e a origem x = 0.R = 18 u.a
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10 – CÁLCULO DE ÁREA ENTRE DUAS CURVAS POR INTEGRAIS.
01 – Calcular a área da região entre as curvas 2)( x x f , x x x g 4)( 2 .
R = 8/3 u.a
02 – Calcular a área da região entre as curvas 1)( 2 x x f , 22)( x x g .R = 32/3 u.a
03 – Calcular a área da região entre as curvas 1)( 2 x x f , 1)( x x g .R = 9/2 u.a
04 – Calcular a área da região entre as curvas x x x f 3)( 2 , 124)( x x g .R = 343/6 u.a
05 – Calcular a área da região entre as curvas 3)( x x f , 3)( 2 x x g .R = 1/6 u.a
06 – Calcular a área da região entre as curvas 21)( x x f , 42)( x x g .R = 32/3 u.a
07 – Calcular a área da região entre as curvas x x x f 2)( , x x g )( .R = 4/3 u.a
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INFORMAÇÕES PROFISSIONAIS
Professor Especialista: Sandro Adir Swiderski.
Graduação: Licenciatura Plena em Matemática.
Pós Graduação: Educação em Matemática.
Mestrado: Matemática
Telefone:
0xx6684139336
Email: [email protected]