Aperture problem を解決しよう(続き3)画像ノイズの影響を減らし、安定した解を得るために、動きを計算したい画素を中心とする 5x5 の画素 の動
きが全部同じとすれば、下記の 25 個の方程式が得られる
ここで、
)()()(
)()()(
)()()(
252525
222
111
pIvpIupI
pIvpIupI
pIvpIupI
yx
yx
yx
y
II
x
II
y
x
Aperture problem を解決しよう(続き4)2 個の未知数 u,v が 25 個の方程式を満たすことはできな
い。
ここで、 u,v が与えられたときの各方程式の 2 乗誤差の和を考えよう。
E を最小になる u,v は、以下の条件式を満たす必要がある。
25
1
2)()()(),(i
iiyix pIvpIupIvuE
0
0
u
Eu
E
Aperture problem を解決しよう(続き5)
E を最小にする条件式を展開すると、
0)()()()(2
0)()()()(2
25
1
25
1
iiyiiyix
iixiiyix
pIpIvpIupIu
E
pIpIvpIupIu
E
25
1
2)()()(),(i
iiyix pIvpIupIvuE
Aperture problem を解決しよう(続き6)
を次のように書き換えることができる。
)()()(
)()()(
)()(2
252525
111
251
pIvpIupI
pIvpIupI
pIpIu
E
yx
yx
xx
0u
E
0
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
2
25
1
2525
11
25
1
pI
pI
v
u
pIpI
pIpI
pI
pI
u
E
yx
yx
T
x
x
Aperture problem を解決しよう(続き7)
従って、 は次のようになる。
0
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
2
25
1
2525
11
25
1
pI
pI
v
u
pIpI
pIpI
pI
pI
u
E
yx
yx
T
x
x
0
0
u
Eu
E
0
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
2
25
1
2525
11
25
1
pI
pI
v
u
pIpI
pIpI
pI
pI
v
E
yx
yx
T
y
y
Aperture problem を解決しよう(続き8)
この 2 個の式を合併すると、次のようになる。
0
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
2
25
1
2525
11
25
1
pI
pI
v
u
pIpI
pIpI
pI
pI
u
E
yx
yx
T
x
x
0
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
2
25
1
2525
11
25
1
pI
pI
v
u
pIpI
pIpI
pI
pI
v
E
yx
yx
T
y
y
0
0
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
2
25
1
2525
11
2525
11
pI
pI
v
u
pIpI
pIpI
pIpI
pIpI
yx
yx
T
yx
yx
Aperture problem を解決しよう(続き9)
0
0
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
2
25
1
2525
11
2525
11
pI
pI
v
u
pIpI
pIpI
pIpI
pIpI
yx
yx
T
yx
yx
とすると、方程式
次のようになる。
)(
)(
,,
)()(
)()(
25
1
2525
11
pI
pI
v
u
pIpI
pIpI
yx
yx
BXA
BAAXA TT
BAAXA TT
Aperture problem を解決しよう(続き10) を展開すると、
25
1
25
125
1
225
1
25
1
25
1
2
)()(
)()(
)()()(
)()()(
iiiy
iiix
iiy
iiyix
iiyix
iix
pIpI
pIpI
v
u
pIpIpI
pIpIpI
問題を解ける条件
解ける場合• の逆行列は存在する • はある程度大きい ⇒ の二つの固有値 l1 と l2 微小で
はない
• の良い状態: l1/ l2 は極端に大きくない
( l1 は大きいほうの固有値 )これは 良い画像特徴である条件
25
1
25
125
1
225
1
25
1
25
1
2
)()(
)()(
)()()(
)()()(
iiiy
iiix
iiy
iiyix
iiyix
iix
pIpI
pIpI
v
u
pIpIpI
pIpIpI
AAT
AAT
AAT
AAT
ATA の固有ベクトル
• エッジ上の点に勾配は強くて、方向も揃っている• エッジから離れる勾配は弱い
• は固有値 と対応している固有ベクトルである
• ATA のもう一個の固有ベクトルは ?– N は と垂直のベクトルとする
– N は 0 の固有値と対応する固有ベクトルである。– ATA の固有ベクトルはエッジの方向と強度に依存する
(x,y) がエッジ上にあるとすると、 ATA は ?
Edge
– 勾配は大きいが、一様である– large l1, small l2
AAT
Low texture region
– 勾配は小さい– small l1, small l2
High textured region
– gradients are different, large magnitudes– large l1, large l2
考察オプティカルフローの推定問題は二つの画像間の問題
ですが、
• 一枚の画像を見るだけで、解の安定性がわかる !• それはどの画素が追跡しやすく、どの画素が追跡
しにくいかを教えてくれる–特徴追跡を行うときに大変役立つ ...