7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 1/18
BAHAGIAN 1
Rene Descartes, ahli matematik Perancis yang terkenal pada
abad ke-16 menemui keindahan sistem Koordinat Cartesian ketika
beliau sedang baring sambil merenung seekor labah-labah di
siling.
Rene Descartes dilahirkan pada 31 Mac 1596 . Beliau
dilahirkan di La Haye ,France . Nama bapa beliau ialah Joachim
Descartes iaitu seorang caunselor di Parlimen .Beliau mendapat
pendidikan awal di Jesuit College of Henri IV , La Fleche di Anjou
.Beliau mempelajari bidang sastera , matematik dan sains ketika
disana semenjak berumur lapan tahun (1606) . Pada tahun 1614 ,
beliau sambung belajar dalam jurusan sivil danCannon Law di
Poitiers . Sejurus itu , beliau menerima tauliah sarjana dalam Law
Asidedari Law Degrees . Beliau meluangkan lebih masa
mempelajari falsafah , ilmu tentangketuhanan dan perubatan .
Pada tahun 1637 , beliau menerbitkan geometri yangdikenalisebagai “Cartesian Geometry” . Oleh disebabkan
ketokohan beliau , beliau pernah digelar Pengasas Falsafah
Moden dan Bapa Matematik Moden . Beliau telah meninggal
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 2/18
dunia pada 11 Febuari 1650 , ketika berusia 54 tahun akibat
penyakit pneumonia .
Rene Descartes merupakan salah seorang ahli falsafah
barat moden . Beliaudikenali sebagai ahli falsafah , ahli
matematik dan ahli sains yang terkenal . Ketinggianilmu telah
melibatkan beliau dalam pelbagai bidang ilmuwan , misalnya
bidang pendidikan , falsafah , pengiraan , dan sebagainya .
Descartes adalah salah satu pemikir utama dalam Revolusi
Saintifik dan Dunia Barat . Beliau banyak
mengeluarkanfalsafahnya sendiri dan juga menjadi pengikutaliran falsafah . Beliau mempunyaikemahiran yang tinggi dalam
bidang sains dan matematik serta banyak menyumbangdalam
bidang ini sehinggakan beliau mendapat pelbagai gelaran . Beliau
turut dihormatidengan mempunyai system koordinat Cartes yang
digunakan dalam geometri satah danalgebra .Beliau turut dikenali
sebagai Cartesius . Sebagai pereka system koordinat Cartesdan
mengasaskan geometri analisis , satu penghubung antara
algebra dan geometri adalahamat penting dalam rekaan kalkulus
dan analisis . Rene menjelajah dari utara ke selataneropah pada
tahun 1619 – 1628 , dan beliau akhirnya menerangkan bahawa
beliaumempelajari “the book of the world” . Ketika di Bohemia(1619) , beliau telah menciptageometri analitis , kaedah
menyelesaikan geometri masalah algebra dan algebra
masalahgeometrical . Di dalam matematik , system koordinat
Cartes adalah satu system yangmenilai satu titik secara unik di
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 3/18
dalam satu satah menerusi dua nombor , biasanyadikenali
sebagai koordinat – x atau koordinat – y satu titik . Bagi
mentakrifkan titik itudua garis lurus yang beserenjang (paksi-x
dan paksi-y) ditentukan bersama – sam dengan unit panjang
yang ditandakan pada kedua – dua paksi (lihat rajah 1) . Sistem
koordinatCartesian ini juga digunakan dalam ruang (yang mana
tiga koordinat digunakan ) dan di dalam dimensi yang lebih tinggi
.
Rajah 1 - Sistem Koordinat Cartesian. Empat titik ditandakan:
(2,3) diwarnakan hijau,(-3,1) merah, (-1.5,-2.5) diwarnakan biru
dan (0,0), asalan, diwarnakan kuning.Dengan menggunakan
sistem koordinat Cartes , bentuk – bentuk geometri
(sebagaicontoh lengkungan ) digambarkan oleh persamaan
algebra , dinamakan persamaandipuaskan oleh koordinat –
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 4/18
koordinat titik yang terletah di atas bentuk berkenaan ,contohnya
bulatan berjejari dua mungkin boleh digambarkan oleh
persamaan x2+ y2= 4
Rajah 2 - Sistem Koordinat Cartesian bulatan dengan berjejari 2
berpusatkan asalandiwarnakan merah. Persamaan bulatan
adalah x2+ y
2= 4.
Dalam geometri , beliau memberikan pendedahan analitis
geometrinya . Beliau jugamelengkapkan sistem yang dicipta oleh
Francois Viete untuk menggambarkan kuantiti berangka yang
pada mulanya hanya diketahui sebagai a,b,c,.... namun tidak
diketahuisebagai x,y, z.....dan segiempat , kiub ,sebagainya .
Perkara ini lebih memudahkan pengiraan algebra berbanding
sebelumnya . Descartes dipaksa untuk menerbitkan ideanya ,
antaranya ialah La Dioptrique , La Geometries dan Les Meteors .
Merujuk buku yangdikeluarkan Descartes , beliau lebih memilih
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 5/18
kepuasan dalam memperoleh ilmu pengetahuan daripada yang
dikatakan oleh logik Aristotle . Buku – buku yang diterbitkanini
lebih menghendaki keupayaan akal fikiran bagi mendapatkan
idea baru danmenyelesaikan sesuatu masalah . Misalnya buku –
buku yang dihasilkan menggunakan pendekatan pemerhatian dan
menjalankan eksperimen bagi mengekalkan kesahihan ilmuyang
dikeluarkan .
Namun begitu , terdapat idea – idea yang dikeluarkan
Descartes dikritik . Hal inidisebabkan oleh berlainan pendapat
antara tokoh – tokoh pemikir . Misalnya dalam bukuyangditerbitkan iaitu Les Meteors , buku tersebut menerangkan
tentang meteorologi dankepentingan mengkaji cuaca pada dasar
saintifik . Idea ini dianggap mempunyaikesalahan , dan diuji kaji
melalui eksperimen yang didemonstrasikan oleh Roger Bacon
.Roger Bacon percaya bahawa air yang telah dimasak akan
membeku dengan lebih cepat . Namun begitu Descartes
mempunyai pendapat yang berbeza serta alasan yang tersendiri
.Rene Descartes merupakan seorang tokoh yang menggunakan
akal dengan sebaiknya .Beliau mempunyai keyakinan yang tinggi
dalam melakukan sesuatu perkara .Sikapnya yang tidak mudah
menyerah kalah dan berpegang pada kata – katanyamembuatkanbeliau disegani ramai . Hal ini dapat dibuktikan melalui
perungkapannyayang jelas menggambarkan diri nya , iaitu “ I
think , therefore i’am . (cogito , ergo sum ) . Selain pengasas
dalam falsafah matematik , Rene descartes juga merupakan
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 6/18
salahseorang pengikut utama aliran falsafah . Aliran falsafah yang
diikiuti adalah Rasionalisme. Aliran falsafah ini turut disokong oleh
tokoh – tokoh lain seperti Baruch Spinoza danGottfried Leibniz .
Namun begitu , aliran ini mendapat tentangan aliran
fikiranempirisisme yang disokong oleh Thomas Hobbes , John
Locke , George Berkeley danDavid Hume . Aliran falsafah
Rasionalisme merupakan aliran falsafah yang lebihmementingkan
kredibiliti fakulti akal berbanding yang lain . Rasionalisme
menyatakan bahawa segala ilmu pengetahuan tentang alam ini
diperolehi melalui fakulti akal , bukannya melalui pengalaman ,perasaan , imbasan mahupun hati / kalbu . Fahaman ini
berpendapat bahawa sekurang – kurangnya sebahagian ilmu
manusia bersumber daripadaakal tanpa bantuan deria lain iaitu
pancaindera , hati / kalbu dan deria . Rasionalismemendapat
pegangan utuh semase di tangan Descartes , pemikir falsafah
moden Barat ,khususnya berkaitan dengan konsep ilmu sehingga
epistimologi menjadi tumpuan kajianfalsafah . Epistimologi
merupakan kajian tentang ilmu pengetahuan .
PendekatanDescartes menjadi ikutan beberapa ahli falsafah
ternama dalam pemecahan soal bagaimana akal bekerja sebagai
alat yang menghasilkan ilmu . Sebilangan ahli falsafahyang telahdipengaruhi itu dikenali sebagai “kesangsian radikal “ . Menurut
Descartes ,kebenaran adalah sesuatu yang kukuh ,tidak boleh
hancurkan dan tidak goyah keranakebenaran adalah berdasarkan
fakta dan bukti yang jelas . Kebenaran tidak boleh adakesangsian
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 7/18
, jika terdapat kesangsian dalam akal , maka idea tersebut perlu
ditolak .
Namun begitu , aliran falsafah rasionalisme ini mendapat
tentangan dari aliranfalsafah lain , iaitu empirisisme . Golongan
Empiris menolak pegangan golongan rasionalkerana berpendapat
bahawa ilmu yang berasaskan rasional tidak mampu
menghasilkansesuatu yang baru , sebaliknya ilmu melalui empiris
dapat menghasilkan sesuatu yang belum diketahui . Aliran
falsafah empirisisme lebih mengutamakan kredibiliti pancaindera ,
kerana bagi mereka ilmu itu lebih mudah diperolehi melaluipengalaman ,cerapan , mahupun imbasan . Namun begitu , saya
lebih memihak kepada aliran yangdipilih oleh Descartes . Hal ini
kerana , dalam alam semesta ini , terdapat juga sesuatu benda
yang bukan hanya mampu diukur berdasarkan pancaindera .
Kaedah pancaindera ,terutamanya penglihatan sering menipu
mata manusia . Selain itu , asas perkara sepertiruang , masa ,
logik dan matematik , tidak semua boleh dialami melalui
pengalaman . perkara – perkara ini memerlukan keupayaan akal
fikiran .
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 8/18
BAHAGIAN 2
Persatuan Matematik, persatuan Sains dan persatuan Sejarah ditugaskan
untuk menceriakan kawasan yang diberikan kepada persatuan masing-
masing. Agihan lokasi persatuan Matematik, persatuan Sains dan
persatuan Sejarah yang diperuntukkan ialah kawasan X, Y dan Z masing-
masing seperti dalam Rajah 1. Mereka dikehendaki mengenal pasti
berbagai bentuk dan saiz kawasan yang diperuntukkan kepada mereka.
Setiap kawasan dikehendaki menanam dan menyelenggara kehijauan
tumbuh-tumbuhan di kawasan masing-masing untuk diselia sepanjang
tahun.
Di mana AED adalah berbentuk lengkung bulatan berpusat di F. Jarak BG
ialah 4m, jarak BC ialah 8m dan CD berjarak 6m, manakala AD selari
dengan BC.
(a) Tentukan luas kawasan X,Y dan Z dengan menggunakan
sekurang-kurangnya tiga kaedah yang berbeza termasuk
penggunaan kalkulus. Tentusahkan jawapan anda dengan
menggunakan perisian komputer.
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 9/18
(b) Jika kos semeter pagar ialah RM 30.00, berapakah jumlah kos
yang diperlukan oleh Persatuan Matematik untuk memagar
kawasan X ?
Kawasan X
= 4.47 m + 4 m + 2 m + [
X 2 X
X 4 ]
= 10.47 m + 12.57 m
= 23.04 m
Semeter = RM 30.00
23.04 m = RM X
X = 23.04 x 30
X = RM 691.20
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 10/18
Dengan dana sebanyak RM 350.00, bolehkah persatuan itu memagar
kawasan tersebut? Huraikan jawapan anda.
Beri pendapat dan cadangan anda bagaimana pagar itu boleh dibina tanpa
melibatkan penambahan peruntukan dana.
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 11/18
(c) Semasa Minggu Matematik, ahli persatuan ingin mengikat rantai
bendera dari D ke F dan seterusnya ke satu titik E yang terletak di
atas lengkung AD supaya membentuk suatu sektor yang bersudut
1 radian
(i) Tandakan di manakah kedudukan titik E
radian = 180o
1 radian = 180o
1 radian = 57.27o
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 12/18
(ii) hitung panjang rantai bendera yang diperlukan
panjang rantai bendera
= DF + EF
DF2= 4
2+ 2
2
DF2= 20
DF =
DF = 4.47 m
DF = EF
Panjang rantai bendera =
4.47 m + 4.47 m
= 8.94 m
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 13/18
BAHAGIAN 3
Persatuan Sains bercadang membina sebuah kolam di kawasan Y seperti
yang ditunjukkan dalam Rajah 2. Kolam tersebut berbentuk suku bulatan
berpusat di B dengan kedalaman 0.4 meter.
(a) Untuk kesesuaian air yang diisi daripada isipadu kolam, hitung
isipadu air yang diperlukan.
Luas kolam =
x
x 42
= 12.571 m2
Isipadu kolam = 12.571 m2
x 0.4 m
= 5.03 m3
daripada isipadu kolam = 5.03 m3
daripada isipadu kolam = ? m
3
x 5.03 m
3
= 3.78 m3
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 14/18
(b) Jika air itu dipam ke dalam kolam dengan kadar malar 0.002 m3 s-1
Hitungkan :
(i) Kadar ketinggian paras air
0.4 m 0.02 m3s
-1
= 200 m2s
-1
(ii) Ketinggian paras air selepas 3 minit200 m
2s
-1x 180 s
= 36000 m
(iii) Masa minimum, dalam minit, yang
diperlukan untuk air mula melimpah keluar
daripada isipadu kolam = 5.03 m3
200 m2s
-1 s = 5.03 m
3
s = 200 m2s
-1 5.03 m3
s = 39.76 minit
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 15/18
(iv) Masa minimum, dalam minit, yang
diperlukan untuk air mula melimpah keluar
jika kolam yang di bina memenuhi semua
kawasan persatuan sains dengan
kedalaman yang sama.
daripada isipadu kolam = 5.03 m
3
200 m2 s-1 s = 5.03 m3
s = 200 m2 s-1 5.03 m3
s = 39.76 minit
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 16/18
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 17/18
(c) Persatuan Sejarah dikehendaki membina suatu tapak berjubin
berbentuk sebuah bulatan supaya ianya terterap dalam segitiga CDF.
Anggarkan bilangan jubin yang berbentuk segi empat sama berukuran
20 cm yang perlu dibeli untuk memenuhi kawasan bulatan tersebut.
Luas XYZ = [ 6 x 8 ] +
x
x 42
= 48 m2+ 25.143 m
2
= 73.143 m2
7/16/2019 addmath 2013
http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 18/18
Luas Y =
x 4 x 12
= 24 m2
Luas X = 25.143 m2
+
x 2 x 12
= 25.143 m2+ 12 m
2
= 37.143 m2
Luas Z = 73.143 m2- 24 m
2- 37.143 m
2
= 12 m2
Bilangan jubin yang diperlukan :
= 12 m2 [ 0.2 m x 0.2 m ]
= 12 m2 0.04 m
2
= 300 keping