PROYECTO FINAL CONTROL DIGITAL
AUTORES:
JAIR ALI RONCANCIO JIMENEZ Cód.: 1053.339.815
NIVER CALDERON OROZCO Cód.: 1053.807.518
GLEIDY JULIANA ALARCON LANCHEROS Cód.: 1 045 109 256
VICTOR MANUEL COVANS ACOSTA Cód.: 1047.368.738
EDGAR DUBAN HIGUERA Cód.:
CONTROL DIGITAL
Grupo 299006_17
Presentado a
DIEGO FERNANDO SENDOYA LOZADA
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería
Diciembre 2014
Control Digital
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INTRODUCCIÓN
Con la realización de este proyecto final se pretende realizar dos actividades una
teórica y otra práctica, para mediante estos ejercicios aplicar tanto de forma
teórica y práctica los conocimientos adquiridos en el curso de control digital.
Además se pretende implementar en MATLAB® el desarrollo de los mismos y de
esta manera comprender, analizar mejor el comportamiento de los sistemas del
curso de control digital.
La electrónica y todos sus desarrollos han sido posibles gracias al estudio
insaciable de muchas generaciones que con sus investigaciones han transformado
el mundo y lo han convertido en un pilar del conocimiento. Cada acontecimiento
sirvió de base para nuevos y mejores desarrollos, los tubos de vacío trajeron
consigo la invención de la computadora con el tiempo se encontró que estos
podrían ser reemplazados por otros elementos más pequeños y menos costoso,
entonces nace la era de los transistores, se crean muchas innovaciones y sobre
todo se avanza en la ciencia y la tecnología, con el pasar del tiempo se crea los
microchips y se da inicio a una de las eras luces del momento, la microelectrónica
que empieza a viajar sobre ruedas, y se desarrollan mejores tecnologías que
buscan siempre facilitar y agilizar la vida del ser humano. Como podemos
observar y analizar se empieza una era digital en donde los sistemas de control se
pueden estudiar, analizar y diseñar utilizando para ello modelos matemáticos
como la transformada Z, series de Fourier, Transformada de Laplace y funciones
de transferencia, todo esto también se puede analizar mediante herramientas
CAD, como Matlab, software de simulación de gran importancia debido a que su
entorno de trabajo es gráfico y no requiere de lenguajes de programación, Bueno
es hora de entrar al mundo digital de ampliar más los conocimientos sobre estos
temas y sobre todo de adquirir destreza y habilidades poniendo en práctica lo
aprendido durante el curso de control digital, para ello solucionaremos una serie
de problemas planteados por el tutor de la materia y allí mostraremos nuestros
conocimientos adquiridos a lo largo del semestre. En este trabajo final se
implementara controladores PID, se hallara transformada Z y Z inversa de
funciones de transferencias de algunos sistemas, de igual manera se estudiara la
influencia de retenedores de orden cero en el análisis de los sistemas dinámicos,
con esto iniciamos a trabajar, tomamos nuestra computadora y nuestros apuntes
al igual que papel y lápiz, para empezar a desarrollar la guía de actividades de la
evaluación final de control digital.
Control Digital
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ACTIVIDAD TEORICA
La primera actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán ser
desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo
colaborativo. Para el desarrollo de la primera actividad se propone el siguiente
esquema de control:
Ejercicio 1:
Suponga que la función de transferencia de la planta es:
a. Calcule la constante de error de posición , el error en estado estacionario
ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo cerrado.
SOLUCION: Debemos primero hallar G(z)
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Se descompone en fracciones parciales el Segundo término para hallar su
transformada Z:
Se debe recordar que Ts = 0.1 s
Tenemos la función de transferencia, pero sin tener en cuenta la realimentación
por tanto debemos hallarla
Para el error en estado estacionario ante una entrada escalón
Para hallar el tiempo de establecimiento se toma la planta y se iguala con la
ecuación general de segundo orden para hallar sus parámetros:
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De lo anterior se puede deducir:
Por lo cual para el establecimiento del 5%
Para el establecimiento del 2%
b. Diseñe un controlador PI digital para que el sistema en lazo cerrado tenga
un sobreimpulso máximo de 20% y un tiempo de establecimiento menor de
2 segundos. Suponga que el tiempo de muestreo es = 0.1 segundos.
Solución:
Para empezar se toma la función de transferencia pulso que ya se obtuvo:
Se puede utilizar el método de cancelación de polos y ceros, para lo cual el
controlador PI toma la forma:
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Asumimos el error en estado estable de por lo cual:
Tomando el límite con T= 0.1 s:
Si se asume que el cero del controlador cancela el polo z= 1.6732 de la planta se
debe cumplir que:
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Con los valores obtenidos se puede reemplazar en la formula inicial:
Ejercicio No. 2. Para el desarrollo de la segunda actividad se propone el siguiente
esquema de control:
Suponga que la función de transferencia de la planta es:
a. Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario
ante una entrada escalón unitario para la función de transferencia de la planta
discretizada sin controlador en lazo cerrado; y el margen de fase para la
función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo
abierto.
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SOLUCION:
Para hallar el error en estado estacionario ante una entrada escalón debemos
hallar primero la función de transferencia en lazo cerrado y el error de posición Kp
b. Diseñe un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en
lazo cerrado tenga un margen de fase de 50º y la constante de error de
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velocidad sea Kv = 2. Suponga que el tiempo de muestreo es Ts = 0.2
segundos.
SOLUCION:
Debemos hallar la función de transferencia de la planta
Debemos pasar la función de trasferencia pulso a la función de transferencia G(w)
mediante la transformación bilineal, por lo cual:
Teniendo en cuenta que asumimos una función de transferencia para el
controlador digital
Por lo que quedaría:
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Ahora podemos verificar la respuesta en frecuencia en matlab reemplazando k:
num=[-0.000665306 -0.192664 1.99317]
den=[1 0.996805 0]
sys=tf(num,den)
margin(sys)
grid
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Debemos diseñar un controlador que adicione un ángulo de 500 sin afectar a k,
Por lo tanto 50 - 31.6 = 18.4, teniendo en cuenta que se aconseja un margen de
más de entre 8 y 12 grados considerando el corrimiento de la ganancia en la
frecuencia de cruce, dejaremos en 280 el ángulo máximo de adelanto de fase.
Para calcular el factor de atenuación:
Reemplazamos por el ángulo:
Encontramos el punto donde no está compensada su magnitud y se reemplaza w
= jv en la función de transferencia G(w):
La frecuencia ficticia es igual a 1.7
La frecuencia de cruce está dada por:
De donde
El compensador nos quedaría de la siguiente manera:
Procedemos a tomar la función de transferencia completa y analizarla en el
diagrama de bode:
Control Digital
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La función de transferencia del compensador la pasaremos a términos de z
mediante la transformada bilineal donde T=0.2, entonces
-60
-40
-20
0
20
40M
agnitu
de (
dB
)
10-1
100
101
102
103
104
90
135
180
225
270
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = 14.4 dB (at 5.41 rad/s) , Pm = 48.9 deg (at 1.71 rad/s)
Frequency (rad/s)
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ACTIVIDAD PRÁCTICA
Para el desarrollo de la segunda actividad se utilizará el mismo esquema de
control de la primera actividad.
Ejercicio 1: Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice
MATLAB® para:
a. Dibujar la respuesta de la planta
en lazo cerrado sin
controlador ante una entrada escalón unitario ¿los valores de y
corresponden a los encontrados en el inciso (a)?
SOLUCION:
Para dibujar la planta en lazo cerrado se utiliza el siguiente código en MATLAB
Los valores de y en lazo cerrado, verifican el correcto desarrollo del inciso
(a) del punto 1 en la parte teórica.
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Lazo cerrado Planta
b. Dibujar la respuesta del sistema con controlador en lazo cerrado ante un
escalón unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobre impulso
corresponden a los encontrados en el inciso (b)?
SOLUCION:
Para dibujar controlador y planta en lazo cerrado se utiliza el siguiente código en
MATLAB
Los valores de tiempo de establecimiento y sobre impulso en lazo cerrado,
verifican el correcto desarrollo del inciso (b) del punto 1 en la parte teórica.
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Lazo cerrado planta vs Controlador
Ejercicio 2: Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teórica, utilice
MATLAB® para:
a. Dibujar el diagrama de Bode de la planta ¿El margen de fase
corresponde al encontrado en el inciso (a) del segundo punto?
SOLUCION:
Para dibujar el diagrama de bode de se utilizó el siguiente código:
De donde se obtuvo:
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Margen de fase en MATLAB
Con un , que es muy similar pero no igual al margen de fase
encontrado en el inciso a) del segundo punto; no son iguales por algunos
pequeños errores de cálculo.
b. Dibujar el diagrama de Bode del sistema compensado. ¿El margen de fase
corresponde al encontrado en el inciso (b)?
SOLUCION:
Para dibujar el diagrama de bode de , del sistema compensado se utilizo el
siguiente código:
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Diagrama de Bode y margen de fase
Para este punto el margen de fase corresponde a 50.7º, muy similar al margen de
fase del inciso (b) del segundo punto, se pudieron presentar errores de cálculo.
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CONCLUSIONES
Logramos evaluar e implementar de manera satisfactoria la teoría vista
durante el desarrollo del curso Control Digital donde se tuvo la oportunidad
de llevar a la práctica los temas y conceptos estudiados mediante la
herramienta informática de ingeniería Matlab de gran importancia en el
análisis, manipulación y representación gráfica de los sistemas digitales.
Con el desarrollo del trabajo se dio respuesta a cada uno de los ejercicios
propuestos en la guía integradora de actividades con su respectivo
procedimiento y sustento matemático.
Desarrollamos técnicas bien establecidas para el diseño de controladores
digitales
Logramos concluir que por complejas que parezcan las señales, estas se
pueden reducir a modelos matemáticos para su mayor comprensión y
manipulación
Fortalecimos el manejo del software de ingeniería MATLAB mediante la
práctica de cada uno de los ejercicios planteados en este trabajo final. De
igual forma comprendimos la importancia sobre el manejo de esta
herramienta en nuestro campo de estudio
Comprendimos que no existe límite en la complejidad de los algoritmos ya
que existe una facilidad de ajuste y cambio. También se puede tener una
exactitud y estabilidad en el cálculo.
Logramos desarrollar habilidades interpersonales para llevar a cabo una
buena comunicación entre los integrantes del grupo colaborativo con el fin
de entregar un trabajo completo y bien desarrollado.
A través de matlab y por medio del desarrolló a través de diagramas de
bode se desarrolló un sistema compensado.
Se incentivó al estudiante a llevar un espíritu de investigación para dar
respuesta a los diferentes ítems planteados.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Cespedes J.J. y Rodriguez O.D. Módulo de Control Digital, Universidad
Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Benjamín C. Kuo, (2002) Sistemas de Control Digital, Compañía Editorial
Continental S.A. de C.V., México D.F.
Oscar Reinoso, José Ma. Sebastián y Zúñiga, Rafael Aracil Santoja,
Fernando Torres Medina, (2004) Control de Sistemas Discretos, McGraw-
Hill Interamericana S.A., Madrid, España.
Katsuhiko Ogata, (1996) Sistemas de Control en Tiempo Discreto, Prentice
Hall Inc. Naucalpan, México.
Curso de Matlab (2006). Consultado el 24 de Noviembre de 2014,
Universidad de Zaragoza, Departamento de matemática aplicada:
http://www.unizar.es/fmi/pdfs/GUIA.pdf
Modulo de control digital de señales de la unad, Biblioteca virtual
www.unad.edu.co