Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 1
A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei
Domokos Csaba
Muhi Miklós
Varga György
Gábor Dénes Főiskola Erdélyi Konzultációs központ
Szatmárnémeti tagozat
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 2
Bevezetés
• A dolgozat célja a szinusosan váltakozó áramú áramkörök tanulmányozása analitikus és komplex számok módszereivel
• tartalom:
-komplex számok matematikája
-az áramkörök tanulmányozása
-feladat megoldás
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 3
1.Komplex számok, komplex függvények.
1.1. A komplex szám fogalma ( az algebrai alak ).
Sokszor a legegyszerűbb másodfokú egyenlet megoldása sem végezhető el a valós számok halmazán (az R-en), ilyen, pl. az x2+1=0 egyenlet. Ha az egyenletből a -et értelmezzük, egy "számnak" tekinjük és i-vel jelöljük . Ez egy egészen új szám , mivel i2=-1 negatív, amely a valós számhalmazban lehetetlen. Ez a "szám" a képzetes imaginárius egység, amelynek segítségével egészen új jellegű "számokat" képezhetünk, ilyen a z=a+bi, ahol a és b valós számok. . A z=a+bi, a komplex szám algebrai alak-ja., ahol a a valós és b a képzetes rész Könnyen belátható, hogy a komplex számok segítségével bármely másodfokú egyenlet megoldható a C={z=a+bi| a,bR komplex számhalmaz-ban.
1
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 4
1.1.1 . Műveletek komplex számokkal
Legyen z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám .Egyenlőség.z1=z2, akkor és csakis akkor, ha: a1=a2 és b1=b2.Összeadás.A z1 és z2 két komplex szám összegén a z=z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2) i komplex számot értjük.Több komplex szám esetén: z1+z2++zn=(a1+a2++an)+(b1+b2+bn) i. Kivonás.A z1 és z2 két komplex szám különbsége a z=z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i komplex szám.Szorzás.A z1 és z2 szám szorzatán a z=z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i komplex számot értjük.
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 5
Osztás:Ha z20, akkor a z1 és z2 két komplex szám hányadosán a
komplex számot értjük.
Műveleti tulajdonságok :
Összeadásra :A1: Az összeadás asszociatív, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3), bármely z1, z2, z3C esetén. A2: Az összeadás kommutatív, z1+z2=z2+z1, bármely z1, z2C esetén.A3: Létezik semleges elem az összeadásra nézve, 0=0+0·iC, úgy hogy 0+z=z+0=z bármely zC esetén.A4: Bármely elemnek van ellentettje, bármely zC, -zC úgy hogy z+(-z)=(-z)+z=0.
iba
baba
ba
bbaazz
z
z
22
22
211222
22
2121121
2
1
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 6
Szorzásra:I1: A szorzás asszociatív, (z1z2)z3=z1(z2z3), bármely z1,z2,z3C esetén.I2: A szorzás kommutatív: z1z2=z2z1, bármely z1,z2C esetén.I3: Létezik semleges elem a szorzásra nézve, 1=1+0iC, úgy hogy 1z=z1=z, bármely zC esetén.I4: Bármely z0, zC esetén z-1= úgy, hogy zz-1=z-1z=1.
Disztributivitás:A fentebbi két tulajdonság csoportot összeköti a szorzás disztributivitása az összeadásra nézvez1(z2+z3)=z1z2+z1z3, bármely z1, z2, z3C esetén.
Ciba
b
ba
a
2222
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 7
1.1.2. Komplex szám konjugáltja.
A tetszőleges z=a+bi komplex számhoz hozzárendelhető a komplex szám, a z konjugáltja.Tulajdonságok.Legyen z1 és z2 két tetszőleges komplex szám: és
ha z20, valamint .1.1.3.A komplex számok ábrázolása.A z=a+bi komplex szám valós és képzetes része egy P(a,b) pontot jelöl ki a koordináta rendszerben. Mértani értelemben minden komplex számhoz hozzárendelhető (egyértelműen) a sík egy pontja és fordítva.
biaz
; z ; 21212121 zzzzzzz 2
1
2
1
z
z
z
z
Czzz ,
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 8
Ezért ezt a síkot a komplex számsík-nak nevezhetjük, ahol az Ox tengely a valós tengely és az Oy pedig a képzetes tengely.
Ha ugyanazon koordináta rendszerben ábrázoljuk a z és a számokat észrevesszük, hogy a grafikus képek szimmetrikusak az Ox tengelyre nézve.
z
y
xa
b+-
P(a,b)
P(a,-b)
z
z
0
A komplex szám egy másik mértani értelmezése , hogy a sík minden P pontjához rendeljük hozzá ennek helyzetvektorát (rádiuszvektorát), az vektort. Így bármely z=a+bi komplex szám ábrázolható az
vektorral, ahol P(a,b) a sík egy pontja
OP
OP1.1.3.1. ábra
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 9
1.1.4.A komplex számok összeadásának és kivonásának mértani értelmezése.
A komplex számoknak vektorokkal való ábrázolása lehetővé teszi az összeadás és kivonás műveletének mértani értelmezését.
y
xP1
P2 S
0
Legyen z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám és az ezeknek megfelelő két vektor, és , melyek koordinátái (a1,b1) és (a2,b2), akkor az (ahol S a paralelogramma negyedik csúcsa) vektor koordinátái (a1+a2,b1+b2), 1.1.4.1. ábra. Az vektor a z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám összegének felel meg.
1OP 2OPOS
OS1.1.4.1. ábra
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 10
y
P2
P1
PP!
2
x0
A z1-z2különbség mértani értelmezése a következőképen levezethető. Tekintsük a P2-nek az origóra vonatkoztatott szimmetrikusát, legyen ez P2, ahol az vektor koordinátái (-a2,-b2).
2OP
Mivel z1-z2=z1+(-z2), figyelembe véve a komplex számok összeadásának mértani értelmezését, következik , hogy a P pont koordinátái: (a1-a2, b1-b2) és az a z1-z2 különbségnek felel meg.
1.1.5.A komplex szám abszolút értéke (nagysága, hossza).
A z=a+bi komplex szám abszolút értékén a valós számot értjük. Mint azt az 1.1.3.1 ábrán is látjuk az abszolút érték nem más mint a P(a,b) pontnak az origótól való r távolsága.
OP
22 baz
1.1.4.2. ábra
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 11
Néhány fontosabb reláció a komplex számok abszolút értékére vonatkozóan:
(háromszög egyenlőtlenség).
1.2.A komplex szám trigonometrikus alakja.Az alkalmazott matematikában sokszor szükség van a komplex szám más alakjára is, ilyen például a trigonometrikus alak.
Az 1.1.3.1. ábrából kitűnik, hogy a z=a+bi komplex szám valós része a=rcos, a képzetes rész pedig b=rsin alakban írható, ahol
; 00z 4.) ; 0z , z
z 3.) ; z 2.) ; z .)1 2
2
1
2
12121
2 zz
zzzzzz
|||||||||z| .)5 212121 zzzzz
a
b tg,22 bar (1.2.1)
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 12
Innen adódik , hogy z=r(cos+isin) alakban is megadható. Ez a komplex szám trigonometrikus alakja. A szög meghatározása a következőképen történik, ha (-,].
0b 0,a ha , 2
-
0b 0,a ha , 2
0a ha , a
barctg
0a ha ,
a
barctg
(1.2.2.)
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 13
1.2.1. Műveletek.Legyen z1=r1(cos1+isin1) és z2=r2(cos2+isin2) két tetszőleges komplex szám. Szorzat.z1z2=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2)). Abszolút értéke, az abszolút érétkek szorzata, szöge pedig a szögek összege. Hányados.
Abszolút értéke, az abszolút
értékek hányadosa, szöge pedig a szögek külömbsége. Hatvány.Ha z=r(cos+isin) és nN,n1, akkor zn=rn(cosn+isinn). Tehát az abszolút érték n-edik hatványát , a szög n-szeresét vesszük.
)sin()cos( 21212
1
2
1 ir
r
z
z
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 14
Gyök.Ha z=r(cos+isin) és nN, n2, akkor:
Mint látjuk egy komplex számnak n-db. gyöke van, mindegyik abszolút értéke ugyanaz: .
1.3.A komplex szám exponenciális alakja.
Az r abszolút érték és a szög segítségével minden z=a+bi komplex szám z=rei alakban is felírható. Ez a komplex szám exponenciális alakja .
)1(,0,2
sin2
cos
nkn
ki
n
krz nn
n r
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 15
1.3.1. Műveletek.Legyen z1=r1ei
1 és z2=r2ei2, két tetszőleges komplex szám.
Szorzat . z1z2=r1r2ei(1
+2
)
Hányados . , ahol z20.
Hatvány. Ha z=rei tetszőleges komplex szám és nN, n1, akkor zn=rnein.Gyök. Ha z=rei egy tetszőleges komplex szám és nN,n2, akkor:
)(
2
1
2
1 21 ier
r
z
z
1)-(n0,1,2,k , 2
n
ki
nn erz
Megjegyzés :Nyilvánvaló a trigonometrikus és az exponenciális alak közötti alábbi összefüggés: r(cos+isin)=rei, ahonnan ei=cos+isin.( Euler-féle összefüggés.)
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 16
1.4.Komplex függvények.Értelmezés: Az f függvényt komplex függvénynek nevezzük, ha mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a komplex számok halmazának valamely részhalmaza. Azaz, ha D a komplex sík valamely halmaza, akkor a z=a+biD ponthoz, az f által egyértelműen rendelt, w=f(z) komplex szám alakja u(x,y)+iv(x,y), ahol az u és a v kétváltozós valós függvény értelmezési halmazát azon (x,y) valós érték párok képezik, amelyekre nézve x+yiD.A valós függvények vizsgálatakor értelmezett fogalmak: környezet, torlódási pont, határérték, differenciálható függvény, derivált függvény, stb. fogalmak a komplex függvényekre is lényegében változatlanul átvihetők. Bizonyos feltételeknek eleget tevő komplex függvények deriváltjának és integráljának meghatározása, a valós függvényekéhez hasonlóan történik
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 17
2. Váltóáramú áramkörök tanulmányozása
Az áramköri elemek : ellenállás (R) ,tekercs (L) és kondenzátor (C) viselkedése a váltakozó áramú áramkörökben , egy sor gyakorlati problémát vet fel az elektromosságtanban , ezért jelentős szerepet tölt be az elektrónika világában is . Az áramkörök vizsgálati módszerei között megemlítjük a :
• forgóvektoros ; valamint
• komplex számok módszereit , melyek a legelterjedtebb módszerek , ezen a téren .
Be fogjuk mutatni a két módszert , valamint alkalmazzuk ezeket feladatok megoldásánál , kiemelve mindkét módszer előnyeit és hátrányait .
Kezdjük a kérdésfeltevéssel : mi történik az áramkörökben ?
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 18
2.1. FORGÓVEKTOROS MÓDSZER
Adott az alábbi áramkör :
u(t) uR uL uC
R L C
A huroktörvény alapján felírható:
idtCdt
diLRiuuutu CLR
1)(
i(t)
A kondenzátor kezdeti töltését zérónak vettük. A megoldást szinuszos alakban keressük.
(2.1.1)
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 19
Vagyis i(t)=Imsin( t+a műveletek elvégzése után kapjuk :
)2
sin()2
sin()sin()(
t
C
ItLtRtu m
mm II
A jobboldal három tagját úgy is tekinthetjük, mint három különböző forgóvektor eredőjét, amelyek kezdőfázisai különbözőek,(lásd fazor). Ábrázoljuk a vektorok összeadását, a kezdeti időpontban. Az időpont megválasztása lényegtelen mivel a forgás közben a vektorok egymáshoz viszonyított helyzete amúgy sem változik.
LIm
RIm
I mC1
Um
I
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 20
Az ábrából látszik, hogy egy soros áramkörben az áramerősség kiszámítható, ha ismerjük a feszültséget (maximális, vagy effektív értékét) és az impedanciának nevezendő, alábbi mennyiséget.
22)
1(
CLZ R
Természetesen, ha a kapcsolási mód megváltozik, újra kell tárgyalni, előröl az egész áramkört. Ez érvényes a vegyes kapcsolású áramkörre is, ahol a tárgyalás esetenként nagyon bonyolult is lehet. Nézzük egy párhuzamos kapcsolás esetén
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 21
R L C
iR iL iC
u(t)
I
Ebben az esetben az áramerős-ségek adódnak össze: i(t)=iR+iL+iC
a csomópont törvény értelmé-ben . Most is felrajzolhatjuk a fazorokat , de itt a viszonyítási mennyiség
az U.
U
ImC Um
R
Um
L
Um
22 )
1(
1
1
LC
R
Z p
Az impedancia pedig:
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 22
2.2.AZ ÁRAMKÖR KOMPLEX SZÁMOKKAL VALÓ TÁRGYALÁSA
Ha most a ( 2.1.1.) egyenlet megoldását az alábbi alakban keressük
eItj
mti
)()(
eeIeIeItjjmj
m
j
m jCLjRtu
)()(
(j=i) Akkor, az alábbi összefüggést kapjuk
Ahol az a komplex áramerősség. Látható, hogy az impedancia három részből áll, ami lényegében két féle. Az R, ami valós, a másik kettő képzetes. Ami valahol természetes is mert más jellegű, másfajta jelenség hozza létre.
eIj
mI
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 23
Mivel a dolgok valahol összefüggnek, az impedanciát felfoghatjuk úgy is, hogy komplex jellege, csak a kétféle dolog megkülöböz-tetését szolgálja, mint a két koordináta tengely által alkotott sík pontjai. Tehát:
)1
(C
LjRZ
=R+j(XL-XC)=R+jX
vagyis IZU Természetesen csak a valós értékeknek lehet fizikai megfelelőjük, csak azok mérhetők, ezért a moduluszukkal számolunk.
A fent vázolt módszernek az előnye az, hogy a törvények alakja nem változik .
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 24
Az eredő impedancia:
•soros kapcsolás esetén:
•párhuzamos kapcsolás esetén:
ZZ k
n
ks
1
n
k kp ZZ 1
11
A Kirchhoff törvények felírhatók :
•csomópontra :
•hurokra :
0I
0U
A valós fizikai mennyiség valójában a komplex mennyiségek
modulusza , vagyis : *IIII
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 25
3.A MÓDSZEREK ALKALMAZÁSA
A következőkben feladatokon keresztül hasonlítjuk össze a két módszert , egyszerű és bonyolultabb feladatok esetén .
-Legyen egy kapcsolás melyben R=4L=12,7mH=
vagyis XL=4valamint vagyis XC=7
ha valamint U=20 V .A három elemből alkotunk először egy egyszerű áramkört, ismerve az elemeit, számítsuk ki az áramerősségeket és a feszültségeket.
H04,0
.4557
10FmFC
R L C
U uR uL uC
i
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 26
3.1.1.A FORGÓ VEKTOROS MÓDSZER
Kiszámoljuk a mennyiségeket
U
22)( XXR CL
Z 5916 ,45
20A
Z
UI
UR=RI=4•=16V, UL=XLI=4•=16V , UC=XCI=7•4=28V
Látszik, hogy a feszültségek összege nem egyenlő az áramkör sarkain a feszültséggel.Vagyis a fazoriális diagram így néz ki :
UR UC UL I
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 27
3.1.2.A KOMPLEX MÓDSZER
Felírjuk a komplex mennyiségeket:
A
jjZ
UIIZUjZVjUU
4II
5
12
5
16
34
20,,34,200
)5
12()
516
(I22
,5
48
5
64)
5
12
5
16(4UR
jjIR V165
48
5
64U
22
R
Vjjj
Vjjj
Vjjj
205
100
5
112
5
84
5
64
5
48
5
48
5
64
)28U.(mod5
84
5
112)
5
12
5
16(
7I
j
)16U..(mod5
48
5
64)
5
12
5
16(4Ij
UUU
XU
XU
CLR
CL
C
LLL
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 28
Megállapítások :
-A komplex módszernél a feszültségek összege a tápfeszültséggel egyenlő .
-Egyszerü áramkörnél előnyösebb a forgóvektoros módszer .
Változtassunk a kapcsolási rajzon és egy bonyolultabb feladatot kapunk. Megőrizzük az adatokat és megoldjuk az új feladatot (3.2)
R
C
L
I I2
I1U
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 29
3.2.1.A FORGÓVEKTOROS MÓDSZER
Észrevehető , hogy vegyes kapcsolásunk van .
Az elöbbiek értelmében kiszámítható:
AU
AUU
XI
XRZI
C
L
86,27
20
53.31616
20
2
221
1
Az eredő I áramerősség kiszámításához szükségünk van a fázisdiagramra.
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 30
I2
I
ULUR
U
I1
Ezt egy kicsit átalakítva kapjuk :
II2
I1
UI1XL
RI1
24,1
sin2)2
cos(2
1
1
21
2
2
2
121
2
2
2
1
2
RIXI
IIIIIIIII
Ltg
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 31
Ebeen az esetben szerencsénk van az szög értékére .
Ha nem tudom megállapítani a szög értékét, akkor az eljárás a következő:
VVVR
Itg
UIXUIU
Itg
CLLR20,08,1052,24,08,1052,24
52,2,36,6,2
2
1sin
11
2
2
Ugyanakkor a szög is kiszámítható , vagyis a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között , a következő összefüggésekkel:
II2
IIIarccos
1
22
21
2
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 32
3.2.2.A KOMPLEX MÓDSZER
Felírva a mennyiségek komplex értékeit meghatározzuk az áramerősségeket.
.53,3,2
5
2
5
44
20
,44
7
,40
,40
,200
*
1111Aj
j
U
j
jjj
jjj
RjR
VUjUU
IIIZ
I
Z
XXZ
XXZZ
RL
RL
CC
C
LLL
R
Természetesen ugyanazt az értéket kaptuk .
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 33
AjAj
UIII
ZIC
86,2:uluszamod,86,27
20 *
2222
Mivel az áramok összeadódnak:
AIIjjjI III 52,2:modulusza,36,05,286,22
5
2
5 *
21
Természetesen úgy is ki lehet számítani, ha először az eredő impedanciát számolom ki:
AIZ
jjj
jj
Z ZZZZ
ZZ RLC
CRL
CRL
52,29,7
20,9,7:modulusza
12,184,7744
)7)(44(111
12,184,722
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 34
Ahogy látszik is, megegyezik a fenti értékkel.A feszültségek kiszámítása:
jjjjjjR IXUIU LLR1010)
2
5
2
5(4,1010)
2
5
2
5(4
11
Számítsuk még ki az áramkör sarkain a feszültséget:
VjjjU
illetve
VUjjU
IXU
UU
CC
LR
2086,2.7
,2010101010
2
Amint az következik, a sorba kapcsolt elemeken a feszültségek összeadódnak .
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 35
Előnyünk van viszont a fázis szög kiszámításánál , ugyanis komplex számok esetében a tga képzetes és valós részek aránya az (1.2.1.) és (1.2.2.) összefüggések értelmében :
2,8)144.0(
144,05,2
36,0
a
btg
arctg
Látszik , hogy a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között könnyebbenen megállapítható , mivel a tápfeszültségnek csak valós része volt.
Gábor Dénes Fõiskola Távoktatási Módszertani Dolgozat 36
4. KÖVETKEZTETÉSEK
•Mindkét módszer alkalmazható, ugyanarra az eredményre vezet (természetesen).•Egyszerű feladatok estén a forgóvektoros módszer alkalmazása előnyösebb.•Bonyolult feladatok esetén, a komplex módszer alkalmazása szükséges is lehet. Nem kell fázisdiagramokat készíteni, majd onnan kiokosodni, mert komplexben alkalmazhatók a törvényszerűségek az általunk ismert alakban.•A fázis szöget viszont lényegesen egyszerübb kiszámolni a komplex módszerrel , ezért az elektrónika inkább ezt a módszert használja .