鲁教版课标八下·§8.2 (3)
8.2特殊的平行四边形 (3)
证明命题的一般步骤 :
(1)理解题意 :分清命题的条件 (已知 ),结论 (求证 );(2)根据题意 ,画出图形 ;
(3)结合图形 ,用符号语言写出“已知”和“求证” ;(4)分析题意 ,探索证明思路 ( 由“因”导“果” ,执“果”索“因” .);(5)依据思路 ,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 ;
(6)检查表达过程是否正确 ,完善 .
回顾思考
定理 : 平行四边形的对边相等 .
B
D
C
A
∵四边形 ABCD是平行四边形 .∴AB=CD,BC=DA.定理 : 平行四边形的对角相等 .
∵四边形 ABCD是平行四边形 .∴∠A=∠C, ∠B=∠D.定理 : 平行四边形的对角线互相平分 .∵四边形 ABCD是平行四边形.∴CO=AO,BO=DO.
B
D
C
A
O
定理 : 夹在两条平等线间的平等线段相等 .∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.
B
D
C
AM N
P Q
回顾思考
定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .
定理 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
定理 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形的 .
∵AB=CD,AD=BC,∴四边形 ABCD是平行四边形 .
B
D
C
A
B
D
C
A
O
∵AB CD∥ ,AB=CD,∴四边形 ABCD是平行四边形 .
∵AO=CO,BO=DO,∴四边形 ABCD是平行四边形 .
∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形 ABCD是平行四边形 .
回顾思考
四边形之间有何关系?特殊的平行四边形之间呢?还记得它们与平行四边形的关系吗 ?能用一张图来表示它们之间的关系吗 ?
四边形
平行四边形矩形
菱形
正方形
两组对边
分别平行
有一个角是直角有一组邻边相等 有一个角
是直角
有一组邻边相等
一组对边平行另一组对边不平行 梯形
两腰相等 等腰梯形
腰与底垂直 直角梯形
回顾思考
定理 : 矩形的四个角都是直角 .
定理 : 矩形的两条对角线相等 .
推论 ( 直角三角形性质 ): 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .
∵四边形 ABCD是矩形 ,
.2
1ABCD
∴∠A= B= C= D=90∠ ∠ ∠ 0.
D
B C
A
D
B C
A∵AC,BD是矩形 ABCD的两条对角线 .
∴AC=BD.
在△ ABC中 ,∠ACB=900,∵AD=BD,
A
BC
D
回顾思考
定理 : 有三个角是直角的四边形是矩形 .
定理 : 对角线相等的平行四边形是矩形 .
定理 : 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 , 那么这个三角形是直角三角形 .
∵∠A=∠B=∠C=900,∴四边形 ABCD是矩形 .
D
B C
A
D
B C
A∵AC,BD是□ ABCD的两条对角线 , 且 AC=DB.
∴四边形 ABCD是矩形 .
A
BC
D
∴ ∠ACB=900.
.2
1ABCD
在△ ABC中 ,∵AD=BD,
回顾思考
定理 : 菱形的四条边都相等 .
定理 : 菱形的两条对角线互相垂直 , 并且每条对角线平分一组对角 .
∵四边形 ABCD是菱形 ,∴AB=BC=CD=AD.
∵AC,BD是菱形 ABCD的两条对角线 .
∴AC⊥BD
C
B
D
A
D
B
CA O
回顾思考
定理 : 四条边都相等的四边形是菱形 .
定理 : 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .
在四边形 ABCD中 , ∵AB=BC=CD=AD,
∴四边形 ABCD是菱形 .
∵AC,BD是□ABCD的两条对角线 ,AC⊥BD.
∴四边形 ABCD是菱形 .
C
B
D
A
D
B
CA O
回顾思考
定理 : 正方形的四个角都是直角 , 四条边都相等 .
定理 : 正方形的两条对角线相等 , 并且互相垂直平分 , 每条对角线平分一组对角 .
∵四边形 ABCD是正方形 ,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.
∵四边形 ABCD是正方形 ,
∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠ BAD和∠ BCD,BD平分∠ ADC和∠ ABC.
A
B C
D A
B C
D
O
回顾思考
定理 : 有一个角是直角的菱形是正方形 .
定理 : 对角线相等的菱形是正方形 .
定理 : 对角线互相垂直的矩形是正方形 .
∵四边形 ABCD是菱形 , A=90∠ 0,∴四边形 ABCD是正方形 .
∵四边形 ABCD是菱形 ,AC=DB.∴四边形 ABCD是正方形 .
∴四边形 ABCD是正方形 .
A
B C
D
A
B C
D
O
∵四边形 ABCD是矩形 ,AC⊥BD,
回顾思考
定理 : 正方形的四个角都是直角 , 四条边都相等 .
求证 :(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900. (2)AB=BC=CD=DA.分析 : 因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 , 所以结论易证 .证明 :
∴四边形 ABCD是矩形 , 也是菱形 .
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,
AB=BC=CD=DA.
∵四边形 ABCD是正方形 ,
A
B C
D已知 : 四边形 ABCD是正方形 .
正方形的性质
定理 : 正方形的两条对角线相等 , 并且互相垂直平分 , 每条对角线平分一组对角 .
求证 :(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分∠ BAD和∠ BCD,BD平分∠ ADC和∠ ABC. 分析 : 因为正方形具有矩形和菱形的所有性质 , 所以结论易证 .证明 :
∴四边形 ABCD是平行四边形 , 也是矩形 , 也是菱形 .∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;
∵四边形 ABCD是正方形 ,
AC⊥BD;
AC平分∠ BAD和∠ BCD,BD平分∠ ADC和∠ ABC.
已知 : 四边形 ABCD是正方形 ,AC,BD是它的两条对角线 .
A
B C
D
O
正方形的性质
定理 : 有一个角是直角的菱形是正方形 .
求证 : 四边形 ABCD是正方形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是正方形 , 可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可 .证明 :
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形 ABCD是矩形 .
∵四边形 ABCD是菱形 ,∠A=900,
∵AB=BC, ∴四边形 ABCD是正方形 .
已知 : 四边形 ABCD是菱形 ,∠A=900.A
B C
D
正方形的判定
定理 :对角线相等的菱形是正方形 .
求证 :四边形 ABCD是正方形 .分析 :要证明四边形 ABCD是正方形 ,可转化为证明有一组邻边相等的矩形 (或有一个角是直角的菱形 )即可 .证明 :
∴AB=BC,四边形 ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形 ABCD是矩形 .
∵AB=BC,
∵四边形 ABCD是菱形 ,
∴四边形 ABCD是正方形 .
已知 :四边形 ABCD是菱形 ,且对角线 AC=BD.
A
B C
D
O
正方形的判定
定理 : 对角线互相垂直的矩形是正方形 .
求证 : 四边形 ABCD是正方形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是正方形 , 可转化为证明有一角是直角的菱形 ( 或有一组邻边相等的矩形 ,或对角线相等的菱形 ) 即可 .证明 :
∴∠ABC=900, 四边形 ABCD是平行四边形 .
∵AC⊥BD,∴四边形 ABCD是菱形 .
∵∠ABC=900.
∵四边形 ABCD是矩形 ,
∴四边形 ABCD是正方形 .
已知 : 四边形 ABCD是矩形 , 且 AC⊥BD.
A
B C
D
O
正方形的判定
定理 : 正方形的四个角都是直角 , 四条边都相等 .
定理 : 正方形的两条对角线相等 , 并且互相垂直平分 , 每条对角线平分一组对角 .
∵四边形 ABCD是正方形 ,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.
∵四边形 ABCD是正方形 ,∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠ BAD和∠ BCD,BD平分∠ ADC和∠ ABC.
A
B C
D A
B C
D
O
回顾思考
定理 : 有一个角是直角的菱形是正方形 .
定理 : 对角线相等的菱形是正方形 .
定理 : 对角线互相垂直的矩形是正方形 .
∵四边形 ABCD是菱形 ,∠A=900,∴四边形 ABCD是正方形 .
∵四边形 ABCD是菱形 ,AC=DB.∴四边形 ABCD是正方形 .
∴四边形 ABCD是正方形 .
A
B C
D
A
B C
D
O
∵四边形 ABCD是矩形 ,AC⊥BD,
回顾思考
课后作业 P88 习题 8.6 第 1,2题