Тема уроку: Декартові координати і вектори у просторі. Ділова гра – аукціон в 10 класі.
Мета: узагальнити і систематизувати знання та вміння учнів з теми; виховувати інтерес до геометрії та ринкової економіки.
Тип уроку: узагальнення та систематизація знань.Методи: колективна діяльність, індивідуальна робота,
ділова гра.Обладнання: таблиці, картки, підручник.Ділова гра – це імітаційна модель навчальної діяльності учнів,
що відтворюється в умовах, наближених до дійсності. Мета ділової гри – поглибити та розширити діапазон знань учнів, формувати діловий стиль спілкування у практично-професійній діяльності. Незалежно від різновидів таких уроків, їх об’єднують загальні вимоги: постановка теми, цілей та завдань гри; визначення оптимального змісту гри; розподіл ролей та визначення функціональних обов’язків учасників гри; забезпечення умов для проведення. Класний варіант гри включає три етапи : підготовка, сама гра, аналізу та підбиття підсумків.
План урокуІ. Організаційний момент.Мотивація навчальної діяльності учнів.ІІ. Основна частина уроку (Дидактична гра – аукціон).
Повторення та систематизація знань з теми «Декартові координати і вектори в просторі»
ІІІ. Підсумок уроку.IV. Домашнє завдання.Хід урокуІ. Організаційний момент.Учитель оголошує тему та мету уроку, надає учням інформацію
про аукціон, розповідає, що таке лоти та стартова ціна. На кожну парту роздається аркуші з переліком лотів до продажу.ІІ. Аукціон.
Учням пропонується купити той чи інший лот і оголошується ціна:
0,5 бала, якщо інформацію до нього подано у підручнику;1 бал, якщо було уточнення з боку однокласника чи вчителя;2 бали, якщо учень дав відповідь самостійно і в повному обсязі.
Лоти, що виставляються на продаж.
Блок №1
1. Означення декартових координат у просторі.
1) Пояснити, як вводяться Декартові координати у просторі, що таке початок координат і координатні осі, вказати їх напрями, назвати координатні площини.
Нехай x,y,z – три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці О.
Назвемо їх координатними осями: «вісь х», «вісь у», «вісь z». Точка О – початок координат. Кожна вісь точкою О розбивається на дві півосі – додатню, позначеною стрілкою, і від’ємну
Площини, які проходять через осі x і y, x і z, y і z, –– координатні площини. Позначають їх відповідно: xy, xz і yz. Осі називають вісь
z
x
2
абсцис, вісь ординат, вісь аплікат. Координатні площини розбивають весь простір на вісім октантів.
2) Дано точки А (0;3;1), В (-2;0;0), С (0;0;4), Д (0;-3;0). Які з них лежать : 1) на осі X; 2) на осі Ζ; 3) у площині ΧΥ ; 4) у площині ΥΖ?
3) Зобразити у системі координат пряму, яка проходить через точки А (0;0;5) і В (0;5;0)
О y
z
x
А (0;3;1)В (-2;0;0)
С (0;0;4)
Д (0;-3;0)
3
2. Координати середини відрізка. 1) Сформулювати і записати формулу, чому дорівнюють
координати середини відрізка у просторі. Квадрат відстані між двома точками дорівнює сумі квадратів
різниць їх відповідних координат.
Нехай дано дві точки А ( )aaa 321;; і В ( )bbb 321
;; , тоді
) ) )( 2
33
2
22
2
11
2 −+−
+−= abababAB
Оy
z
x
В (0;5;0)
A (0;0;5)
4
2) Знайти координати середини відрізка АВ, якщо А (1;2;3) і В (3;-6;7).
Розв’язання:За формулами координат середини відрізка
х = ,2хх ВА
+у = ,
2
ууВА
+z =
2zz BА
+
Тому х = 52
73,2
2
62,2
2
31 =+=−=−==+zу
Відповідь : (2;-2;5)
Точки А (3;-1;-2), В (-5;7;4), С (1;5;2), Д (9;-3;-4) – вершини чотирикутника. Довести, що даний чотирикутник – паралелограм.
Розв’язанняЗа властивістю діагоналей паралелограма.
0 – середина АС і ВД.За формулами координат середини відрізка знайдено координати
точки 0. АС :
2;
2;
2 000
zzzуу
уххх CАСАСА+
=+
=+
=
A
B C
D
O
5
;22
51;2
2
1300
=+−==+= ух 02
220
=+−=z О (2;2;0)
ВД:
,2
,2 0
ууухх
х ДВДВ
В
+=
+=
20
zzz DB+
=
02
44,2
2
37,2
2
9500
=−==−==+−= zyхD О (2;2;0)
Отже, О – середина АС і ВД, тому АВС – паралелограм.
3. Відстань між двома точками.1) Дати словесне формулювання та записати формулу
відстані між двома точками.
Нехай С )( ccc 321;; - середина відрізка АВ. Точки А
( )aaa 321;; і В ( )bbb 321
;; - кінець відрізка. Тоді
;2
111
bac+
= ;2
222
bac+
=2
333
bac+
= .
Отже, кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців.]
2) Знайти відстань між точками В (-2;0;3) і К(3;4;2)Розв’язання :
6
За формулою відстані між двома точками 2
12
2
12
2
12)()()( zzууххd −+−+−=
Тому 66251625)32()04()23( 222 =++=−−+−++=BK
Відповідь: 66
3) На осі Х знайти точку, рівновіддалену від точок В(3;2;4) і С (0;5;-1).
Розв’язання :Нехай точка М (х;0;0) рівновіддалена від точок В і С, тоді МВ =МС.За формулою відстані між двома точками :
2
12
2
12
2
12
2)()()( zzууххd −+−+−=
Знайдемо відстань МВ і МС
хx хххMB222222 62916469)04()02()3( +−=+++−=−+−−+−=
МС 26125)01()05()0(222222 +=++=−−+−+−= ххх .
Розв’яжемо рівняння:
+− х629 .2622 += хх ;29266
22 −=−+− ххх
36 −=− х ;2
1=х . Отже, М (2
1;0;0).
7
Відповідь: (2
1; 0;0).
4. Рівняння сфери .1) Що називається сферою? Записати рівняння сфери з
центром у точці А (а;в;с) і радіуса r. Який вигляд має рівняння сфери з центром у початку координат.
Сферою називається геометричне місце точок простору, які віддалені на одну і ту саму відстань r від даної точки. Ця точка – центр сфери, а відстань r – її радіус.
Рівняння сфери радіуса r з центром у точці )( cbaA ;; має вигляд
) ) )((( 2222 rczbyax =−+−+− .Якщо а=в=с=0, дістанемо рівняння сфери радіуса r з центром у
початку координат: 2222 rzyx =++ .2) Складіть рівняння сфери радіуса r = 5 з центром у точці А
(1;0;4).Розв’язання:Рівняння сфери має вигляд : 2222 )()()( zczвуах =−+−+−Рівняння даної сфери буде мати вигляд :
2002 5)4()0()1( =−+−+− zух , або ;02516812 222 =−+−+++− zzухх .0882222 =−−−++ zхzух
Відповідь: 0882222 =−−−++ zхzух
3) Чи належить точка М (3;2;-1) сфері, рівняння якої
?02642222 =−−+−++ ZуХzyx
8
Розв’язання :Точка М (3;2;-1) х =3; у = 2; z =-1.Підставимо дані координати в рівняння сфери :
.02686149
02)1(62*43*2)1(23
02642223
222
=−++−++=−−−+−−++
=−−+−++ zухzух
020 ≠ . Тому точка М (3;2;-1) не належить даній сфері.Блок №21. Вектор, його координати, абсолютна величина, рівні
вектори.1) Дати означення вектора та його координат, вказати, як
позначається вектор, записати координати нульового вектора; виразити абсолютну величину вектора через його координати. Сформулювати означення рівних векторів.
Вектором називається напрямлений відрізок.
Записують )( ABвекторAB або )( aвекторa .
A
B
9
Вектори часто задають за допомогою координат. Координати
вектора AB ,початок якого А )( zyx 111;; , а кінець В
)( zyx 222;; називають числа ;
121 xxa −= ;122 yya −=
zza 123−= .
Записують такий вектор, зазначаючи його координати
)= aaaAB
321 ;; або )( aaaa321
;;= .
Два вектора називаються рівними, якщо їх відповідні координати рівні. Якщо всі координати вектора – нулі, то його називають нульовим вектором і позначають символом 0 .
Довжиною, або модулем вектора називають довжину напрямленого відрізка, що зображає його. Позначають довжину
вектора a символом a . Якщо )( aaaa321
;;= , то
aaaa2
3
2
2
2
1++= .
Довжина будь-якого ненульового вектора – число додатне. Довжина нульового вектора дорівнює нулю].
2) Дано точки А (1;2;3), В (3;7;6). Знайти координати вектора АВ .
Розв’язання:Координатами вектора АВ , початок якого А (1;2;3), а кінець В (3;7;6) будуть дорівнювати :
.336
;527
;213
3
2
1
=−=
=−=
=−=
ааа
Тому )3;5;2(АВ Відповідь : АВ (2;5;3)
10
3) Знайдіть координати вектора а (а;2а;-а), якщо його абсолютна величина 54 .
Розв’язання: Абсолютна величина вектора знаходиться за формулою
2
3
2
2
2
1 аааа ++= , тому 222)()2(54 ааа −++=
аа а222
454 ++= а2
654 =Піднесемо ліву і праву частини рівняння до квадрату :
222)6()54( а= 2654 а= 92 =а
Тоді .3
;3
2
1
=
−=
аа
Вектор а матиме координати. а (-3;-6;3) або а
(3;6;-3).Відповідь: а (3;6;-3) або а (-3;-6;3).
2. Додавання та віднімання векторів.1) Дати означення суми двох векторів; записати закони
додавання. Дати означення різниці двох векторів. Сформулювати відповідні правила.
Сума векторів )( aaaa 321;; і )( bbbb 321
;; називають
вектори )( babababa332211
;; +++=+ .
Властивості суми векторів. Для будь-яких векторів cba ,,
справедливі рівності: 1) abba +=+ - переставний закон додавання;2) ) )(( cbacba ++=++ - сполучний закон додавання.Різницею векторів a і b називають такий вектор c , який у
сумі з вектором b дає вектор a .
11
Якщо )( aaaa 321;; і )( bbbb 321
;; , то
)( babababa33221
;; −−−=− .
2) Знайти суму та різницю векторів : а (2;1;-2) і в ( 3;-2;5).Розв’язання:
)7;3;1()52);2(1;32(
)3;1;5()52);2(1;32(
−−=−−−−−=−
−=+−−++=+
ва
ва
Відповідь: )7;3;1(
)3;1;5(
−−−
3) Знайти модуль суми та різниці векторів : ).1;5;3()5;1;4( −віа
Розв’язання:
)6;4;1())1(5;51;34(
)4;6;7())1(5;51;34(
−=−−−−=−
=−−−+=+
ва
ва
Знайдемо модуль суми і різниці даних векторів за формулою:23
22
21 аааа ++=
101163649467222 =++=++=+ ва
53361616)4(1 222 =++=+−+=−ва
Відповідь : ;53;101 =−=+ вава
3.Множення вектора на число. 1) Сформулювати означення і закони множення вектора на
число. Вказати властивості.
Якщо )( aaaa 321;; , то )( aaaaa
321;; λλλλλ == .
Для будь-яких векторів a і b справедливі рівності:1) )( baba λλλ +=+ ,де λ- число;2) )( baa µλµλ +=+ ,де λ і µ - число;3) aa λλ = , де λ - число].
2) Помножте вектор 0;4
3;
2
1;3)2;4;3( наа −
12
Розв’язання :Вектор );;( 321 аааа λλλλ = , тому
)6;12;9()23);4(3;33(3 −=⋅−⋅⋅=а
)1;2;5,1()22
1);4(
2
1;3
2
1(
2
1 −=⋅−⋅⋅=
)0;0;0()20);4(0;30(0
)2
3;3;
4
9()2
4
3);4(
4
3;3
4
3(
4
3
=×−××=
−=×−××=
а
а
Відповідь :
)0;0;0(0);2
3;3;
4
9(
4
3);1;2;5,1(
2
1);6;12;9(3 =−=−=−= аааа
3).Обчисліть довжину вектора ).0;0;2(),1;1;1(,32 ваякщова −+
Розв’язання :Знайдемо вектори )2;2;2())1(2;12;12(2 −=−×××=а і
)0;0;6()03;03;23(3 =×××=в
Знайдемо суму векторів:)2;2;8()02;02;62(32 −=+−++=+ ва
Обчислимо довжину вектора за формулою аааа2
3
2
2
2
1++=
26724464)2(2832 222 ==++=−++=+ ва
Відповідь : 26
4. Скалярний добуток векторів.1) Сформулювати означення скалярного добутку двох векторів і
кута між двома векторами. Записати формулу. Кутом між двома ненульовими векторами називають кут між
відповідними їм напрямленими відрізками, які виходять з однієї точки.
Скалярним добутком двох векторів називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Якщо кут між векторами a і b дорівнює ϕ , то їх скалярний добуток
ϕcosbaba = .
13
Якщо хоч один з векторів a або b нульовий, то 0=ba .З цієї формули можна знайти косинус кута між векторами : cos
ba
ba=ϕ .
Скалярний добуток векторів )( aaaa 321;; і
)( bbbb 321;; дорівнює bababa 332211
++ .
2) Знайти скалярний добуток векторів : )4;2;1(а і )6;3;2(в .Розв’язання:Знайдемо скалярний добуток векторів за формулою :
332211 вававава ++=×.04481422)8(1 =++−=×+×+−×=×ва
Отже, 0=× ва , а якщо скалярний добуток векторів дорівнює
нулю, то вектори не перпендикулярні.Відповідь : 0.
3)Знайти, косинус кута між векторами )2;2;1(а і ).6;3;2(в
Розв’язання :Знайдемо косинус кута між векторами а і в за формулою :
);cos( ва = 23
22
21
23
22
21
332211
вввааа
вавава
++×++
++
.21
20
73
20
499
20
3694441
1262632221
623221)cos(
2222221
=×
=×
=++×++
++
=++×++
×+×+×=ва
Відповідь: .21
20
ІІІ. Підсумок гри.
14
За допомогою журі вчитель визначає найбагатших покупців, «оцінює» кожного – учня-покупця і переводить набрані ними бали в 12-бальну шкалу оцінювання.
10-12 балів.Усі відповіді учня подані самостійно, вони повні, логічні. Точні,
демонструють глибокі знання з вивченої теми. Учень використовує всі відповідні навички та вміння до розв’язування задач. Аналізує відповіді, робить обґрунтовані висновки.
7-9 балів.Більшість відповідей учня свідчить про глибокі знання з
вивченої теми і здатність логічно мислити. Учень достатньо використовує відповідні навички та вміння до розв’язування задач. Аналізує відповіді, робить висновки, враховуючи коментарі вчителя.
4-6 балів
15
Учень знаходить (відбирає) і логічно організовує майже половину даних, що стосуються питання. Використовує далеко не всі навички та вміння до розв’язування задач. Робить неповні висновки.
1-3 балиУчень знаходить мало даних, що стосується питання.
Використовує відповідні навички та вміння нечітко і неправильно. Висновки або неточні, або відсутні зовсім.
IV. Домашнє завдання:1. Знайдіть довжину діагоналі ВД паралелограма АВСД,
якщо А ),0;3;1( − В(-2;4;1), С(-3;1;1).2. Доведіть, що трикутник з вершинами А(7;1;-5), В(4;-3;-
4), С(1;3;-2) – рівнобедрений.3. Дано точки А(0;1;-1), В(1;-1;2), С(3;1;0), Д(2;1;1).
Знайдіть кут між векторами BC і AD .
16
ЛІТЕРАТУРА
1. Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, В.М. Владіміров, Н.Г.Владімірова Геометрія : Підручник для учнів 10-11 класів з поглибленим вивченням математики в середній загальноосвітніх закладах – К: Освіта, 2000.2. Роєва Т.Г., Хроленко Н.Ф. Геометрія у таблицях 10-11 класи. Навчальний посібник – Х: Видавнича група «Академія», 2001.3. Островерхова Н.М. Аналіз уроку : Концепції, методики, технології – К: Інкос, 2003. 4. Пометук О., Пироженко Л. Сучасний урок: Інтерактивні технології навчання. – К: А.С.К., 2004.
17
ДЛЯ ЗАМІТОК
18
ДЛЯ ЗАМІТОК
19
ДЛЯ ЗАМІТОК
20
