1Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
1 Límites
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Límite de una función en un punto
2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
• Explica con sus palabras e ilustrar mediante gráficas, el concepto de límite de una función en un punto y el concepto de límite infinito en un punto.
• Explica la utilidad de los límites laterales para analizar el comportamiento límite de algunas funciones.
• Grafica funciones que satisfagan condiciones dadas en cuanto a valores límites y, viceversa, expresar mediante enunciados de límites el comportamiento de una función dada por su gráfica.
• Explica el concepto de asíntota vertical e ilustrar gráficamente los casos que se pueden presentar.
Habilidades
3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
r
Problema
Problema:El volumen de un cilindro es r2h. ¿Cómo podría obtenerse, a partir de aquí, el volumen de un cono?
Solución: i = 1
i = 2
i = 3
i = n - 1
h
4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Recta Tangente ¿Cómo determinar la ecuación de la recta tangente a la curva ; que pasa por el punto P(1;1)? 3f x x
x
y
5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
0xa
L
0xa
L
0xa
L
(a) (b)
(c)
Advierta la frase “pero x = a” para la existencia del límite/
6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero no igual a a.
Definición de límite
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Escribimos: Lxfax
)(lim
y decimos“el límite de f(x) cuando x tiende hacia a, es igual a L”
x
f(x)
xf(x)
a
L
Sea f una función definida en un intervalo abierto alrededor de a (no necesariamente en a).
x
y
7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Ejemplo
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Analizar el comportamiento de la función:
232)( 2
xxxxf
cuando x tiende hacia 1 y cuando x tiende hacia 2 f(0,9) = - 10
f(0,95) = - 20f(0,99) = - 100
f(0,999) = - 1000
f(1,1) = 10f(1,05) = 20f(1,01) = 100
f(1,001) = 1000f(1,9) = 1,111…
f(1,95) = 1,0526f(1,99) = 1,0101
f(1,999) = 1,0010
f(2,1) = 0,9090…f(2,05) = 0,9524f(2,01) = 0,9901
f(2,001) = 0,9990
8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
si podemos aproximar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero mayores que a.
Límite lateral derecho
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Escribimos:Lxf
ax
)(lim
y decimos “el límite de f(x) cuando x tiende hacia a desde la derecha, es igual a L”
Sea f definida en (a, c).
x
f(x)
a
L
x
y
9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a
L
x
y
si podemos aproximar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero menores que a.
Límite lateral izquierdo
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Escribimos:Lxf
ax
)(lim
y decimos “el límite de f(x) cuando x tiende hacia a desde la izquierda, es igual a L”
Sea f definida en (c, a).
x
f(x)
10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
A continuación se muestra la gráfica de una función g. Úsela para definir los valores, en caso de existir, de:
Ejemplo
)(lim2
xgx
)(lim2
xgx
)(lim2
xgx
)(lim3
xgx
)(lim3
xgx
)(lim3
xgx
11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Unicidad del límite
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Si el límite de f(x) cuando x tiende hacia a existe, entonces es único.
a
L
x
y
a x
y
Lxfax
)(lim si y solo si
LxfLxf
ax
ax)(lim)(lim
Lxfax
)(lim )(lim xfax
no existe
12Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
a x
y
Límite infinito
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
)(lim xfax
Los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como se quiera para todos los x lo suficientemente cerca de a, pero distintos de a.
x
f(x)
x
f(x)Similarmente
)(lim xf
ax
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
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Asíntotas verticales
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Cuando uno ó ambos límites laterales de f(x) es ∞ ó -∞ para x tendiendo hacia a, se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x).
x
f(x)
2-1
Asíntota vertical.
x = -1x = 2
Asíntota vertical.
14Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”Sexta ediciónJames Stewart
Secciones 2.1 y 2.2Páginas: 83 - 99