חוברת תרגילים ופתרונות אנליזת פורייה - 88235קורס מס'
וסמסטר קיץ, תשע" ד"ר מיכאל מיכאלי
המחלקה למתימטיקה, אוניברסיטת בר אילן
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 1עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
1שאלה Vvuמרחב מכפלה פנימית. הוכח שלכל Vא. יהי , קבילית" מתקיים "חוק המ
222222 vuvuvu
Vvu. הוכח שלכל ממשימרחב מכפלה פנימית Vב. יהי , מתקיים
22
4
1
4
1, vuvuvu
פתרון:
א. ראשית נפצל את המרכיבים שבאגף שמאל:
22
3
43
2
,,,,,,
,,,,,.
vuvvuuvvvuuvuu
vvuuvuvuvvuuvuvuvuI
תכונה
תכונהתכונה
22
3
43
2
,,,,,,
,,,,,.
vuvvuuvvvuuvuu
vvuuvuvuvvuuvuvuvuII
תכונה
תכונהתכונה
:II-ו Iת נחבר את כע
222222 vuvuvuIII
ב. בסעיף א' מצאנו כי:
222,, vuvvuuvu
222,, vuvvuuvu
נחסיר את הביטוי השני מהביטוי הראשון:
vuuvvuvuvuuvvuבממשיים
,4,2,2,,
22
vuvuvu ,4
1
4
1 22
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 2עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
2שאלה
וג פונקציות לכל ז .א baCgf ,, את הפעולה הבא:נגדיר
b
a
dxxgxfgf ,
האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית במרחב baC ,?
ב. baC הוא מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות בקטע 1, ba,. לכל baCgf ,, 1 נגדיר פעולה
הבאה:
dxxgxfgf
b
a
,
האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית?
לכל ג. ,, 2 Cgf :נגדיר פעולה הבאה dxxgxfgfgf
,
האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית במרחב ,2 C?
פתרון: את סעיפי ההגדרה. יש לבדוקחיובית. התשובה .א :1fנתבונן למשל ב .ב
baCf ,1
0f
ובכל זאת 00, dxdxxfxfff
b
a
b
a
מכפלה פנימית. איננהלכן זו
התשובה שלילית. ג.
בהגדרה אינו מתקיים )לכל 2נראה כי תנאי מס' ,2 Cf, 0, ff0 אם ורק אםf.)
dxxffff
22
,
0.2
0.10,
xf
fff
:2נתבונן בדרישה מס'
BCxxfCxfxf 0
מהווה מכפלה לאפונקציה ליניארית השווה לאפס בנקודה אחת לא בהכרח מתאפסת זהותית, לכן הפעולה פנימית.
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 3עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
3ה שאל
יהי 1,1R מרחב הפונקציות הרציפות Rf עם המכפלה הפנימית :1,1
1
1
, dxxgxfgf
יהיו .א 10 xP , xxP 1 ו- 2
2 31 xxP ב תאורתוגונאלי. הוכח כי קבוצה זו של פולינומים היא-
1,1R.
כך שהפונקציה c-, וa ,bמצא קבועים .ב 32
3 xcxbxaxP תהיה ניצבת לכל אחת מן
הפונקציות מסעיף א'.
פתרון: נבדוק את המכפלה הפנימית במקרים הבאים: .א
02
1
2
1
2,
1
1
21
1
10
x
xdxPP
011113
331,
1
1
31
1
2
20
x
xdxxPP
04
3
23,
1
1
421
1
3
21
xx
dxxxPP
במקרה זה מכפלה פנימית של .ב3P ,עם כל אחד מהפולינומים מסעיף א' צריכה להיות שווה לאפס
כלומר:
03
220,
1
1
32
30
cadxxcxbxaPP
5
30,
1
1
432
31
bdxxcxbxaxPP
0031,
1
1
322
32
cdxxcxbxaxPP
לסיכום נקבל כי 3
35
3xxxP .
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 4עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
4שאלה
נתון מרחב מ"פ 1,1C עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית dxxgxfgf
1
1
מרחב -הוא תת W-, ו,
של 1,1C הנפרש על ידי , xx sin,cos,1י את קרוב הטוב ביותר ל/. מצא- 2
sinx
xf
ב-W.
פתרון
ניתן לבדוק כי מערכת xx sin,cos,1 אך אינה אורתונורמלית במרחב הינה אורתוגונאלית 1,1C ביחס
-למכפלה פנימית הנתונה, ולכן, על מנת למצוא את הקירוב הטוב ביותר ל 2
sinx
xf
ב-W והוא ההיטל(
האורתוגונאלי xf~
של xfמקדמים (, נמצא cba -כך ש ,,
xcxbaxf sincos1~
2
2
2sin2
2sin
1,1
1,
1
0
1
1
1
1
dxx
dx
dxx
fa
3
4
cos
cos2
sin
cos,cos
cos,1
1
2
1
1
dxx
dxxx
xx
xfb
0sin,sin
sin,
xx
xfc
לסיכום, נקבל כי
xxf
cos3
42~
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 5עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
5שאלה
,2. לכל 2-מרחב הפולינומים הממשיים ממעלה קטנה או שווה ל 2יהי gf נגדיר
0
, dxexgxfgf x.
.2הוכח כי זוהי מכפלה פנימית על .א
הראה שהקבוצה .ב
2
2
121,1,1 xxx .היא מערכת אורתונורמלית ביחס למכפלה פנימית זו
פתרון:
יש לבדוק את סעיפי ההגדרה. .א יש לבדוק כי: .ב
02
121,1
2
121,11,1.1 22 xxxxxx
12
121,
2
1211,11,1.2 22 xxxxxx
6שאלה
את טור פורייה של מצא/י .א xxf cos בקטע ,.
.0a ,4a ,9a ,5b ,10bהמקדמים הבאים: יאת ערכ /ימצא .ב
פתרון:
פונקציה א. xxf cos היא זוגית בקטע , 0ולכןnb.
4sin
4cos
4cos
2cos
120
0
2
0
0
xxdxdxxdxxa
120
214
14
1
21sin
1
21sin
2
1
1sin
1
1sin21cos1cos
2
coscos4
coscos2
coscos1
1
2
1
2
0
2
0
2
0
0
2
0
kn
knk
n
n
n
n
n
xn
n
xndxxnxn
nxdxxnxdxxnxdxxan
k
n
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 6עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
kxk
xk
k
2cos14
142~cos
12
1
.ב
40 a ,
15
44
a ,09 a ,0105 bb
7שאלה י את טורי פורייה של הפונקציות הבאות:/מצא
.א xxf בקטע ,.
פתרון:
xk
kx
k
12cos12
4
2~
12
.ב 2xxf בקטע ,.
פתרון:
nx
nx
n
n
cos14
3~
12
22
8שאלה
את טור פורייה של /ימצא .א ixexg בקטע 1,1.
?1cמהו ערכו של המקדם .ב
פתרון:
נחשב תחילה את מקדמי טור פורייה המרוכב: .א
n
n
i
ee
nni
edxeec
ninixnixinix
n
1
1sin
21
1
12
1
2
1 111
1
11
1 xin
n
ix en
ne
1
1sin~
ב.
1
1sin1c
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 7עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
9שאלה
את טור פורייה של מצא/י .ג xxf cos בקטע ,.
את ערכם של המקדמים הבאים: /ימצא .ד0a ,4a ,
9a ,5b ,
10b.
את סכום הטור /יחשב .ה
1
1n
n
na.
פתרון:
.6א+ב. ראה שאלה
ג. נשתמש במשפט דיריכלה עבור הפונקציה xxf cos בנקודה2
21cos
20
2
22
11
k
k
k
k
k aka
ff
10שאלה
ורייה של את טור פ /ימצא .א xxf sin בקטע ,.
את סכום הטור הבא: /יחשב .ב
122 14
1
n n נמק את תשובתך(.).
פתרון:
הפונקציה .א xxf sin זוגית בקטע , 0ולכןnb 1לכלn .
נחשב את 0a :
411
2cos
2sin
2sin
1
0
00 xxdxdxxa
בנפרד: 1aכעת נחשב את
0112
12cos
2
12sin
1cossin
2cossin
1
00 0
1
xxdxxdxxxdxxa
: 1nנחשב לכל naוכעת נחשב את
120
241
4
1
112
1
11
1
111
1
1cos
1
1cos1
1sin1sin1
cossin2
cossin1
2
2
0
0 0
kn
knk
nnnn
xn
n
xn
dxxnxnnxdxxnxdxxa
nnn
n
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 8עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
12
2cos41
42~sin
n
nxn
x
לפי משפט פרסבל עבור .ב xf :נקבל כי
1
2222
2
41
1168sin
1
n ndxx
0 0
2 12cos11
sin2
dxxxdx
12222
14
11681
n n
1
2
22 16
8
14
1
n n
11שאלה
נתונה פונקציה הבאה:
x
xx
xf
20
20
21
,
כאשר
1
0 sincos2 k
kk kxbkxaa
ורייה שלה בקטע הינו הטור פ ,.
מצא טור פורייה של .א xf בקטע ,.
את סכום הטור /ימצא .ב
12
12
1
k k.
פתרון:
.א xf:זוגית ולכן
2
2
2
0
2
0
2
02
1
42
2221
221
1
xxdx
xdx
xa
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 9עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
22
2
0
22
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2cos14
cos4
sinsin42sin2
cos4sin2
cos2
12
cos2
11
1
n
n
n
nx
dxn
nx
n
nxx
n
n
dxnxxn
nx
dxnxx
dxnxx
an n
קבל כי: לסיכום נ
1
22cos
2cos14
4
1~
n
nxn
n
xf
שמצאנו הינו: fטור פורייה של .ב
1
22cos
2cos14
4
1~
n
nxn
n
xf
,
:4נרשום במפורש את המקדמים במחזוריות
...3,2,1
34;34
4
24;24
8
14;14
4
4;0
2cos14
22
22
22
22k
knk
knk
knk
kn
n
n
an
ובסה"כ נקבל את הטור פורייה במפורש:
122
122
122
))34cos(()34(
4
24cos24
814cos
)14(
4
4
1~)(
k
kk
xkk
xkk
xkk
xf
או בצורה :
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 10עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
))12cos(()12(
2))12cos((
)12(
4
4
1~)(
122
122
xkk
xkk
xfkk
ונקבל: 0xוהנקודה fכעת נשתמש במשפט דיריכלה עבור
84
3
6)12(
1
)12(
2
)12(
4
4
1
2
)0()0(
22
12
122
122
k
kk
k
kk
ff
:12שאלה
חשב טור פורייה של .א xxf sin בקטע 2,0
-ו
,0.
חשב טור סינוסים וטור קוסינוסים של .ב xxf sin בקטע ,0.
נגדיר פונקציה .ג
1
0 cos2 n
n nxaa
xG.חשב את , כאשר הטור הינו טור קוסינוסים שחושב בסעיף הקודם
האינטגרלים הבאים:
dttG
2
dttG
9
2
dttG
2
2
2
פתרון:
טור פורייה של .א xxf sin בקטע ,0 הינו מהצורה הבא:
1
0 2sin2cos2
~n
nn nxbnxaa
xf
141
42cossin
2
04
sin2
0
2
0
nn
nxdxx
nxdx
an
,0,2cos
41
42~sin
12
xnxn
xn
שלר פורייה טו xxf sin בקטע 2,0 הינוxsin .בעצמו מקטע xsinזוגית של -זהה להרחבה האי xsinטור סינוסים של .ב ,0 לקטע , שהינה בדיוקxsin .
מקטע xsinזהה להרחבה הזוגית של xsinים של טור קוסינוס ,0 לקטע , שהינהxsin והוא זהה
לטור שחושב בסעיף א':
,0,2cos
41
42sin
12
xnxn
xn
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 11עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
לפי סעיף קודם .ג xxG sin Rx
dttdttdttdttG00
222 2cos1sin2sin
9
7
27
5
25
3
23
29
29
2 4sinsinsinsinsin dttdttdttdttdttdttG
2
2cos1sin2sin2
0
2
0
22
2
22
2
2
dttdttdttdttG
:13שאלה
נתונה פונקציה xix
xgsincos2
2
בקטע ,. חשב את
dxxg2
.
רמז: הצג את xg
בשוויון פרסבל. כטור מתכנס במידה שווה והשתמש פתרון:
ניתן להציג את xg:באופן הבא
00 2
1
2
22
1
2
2
sincos2
2)(
n
inx
nn
nix
ixixe
e
eexixxg
טור זה מתכנס בהחלט ובמ"ש בקטע ,. נשתמש בשוויון פרסבל:
00
22
4
1
2
1)(
2
1
n
n
n
n
dxxg
3
8
4
11
12
4
12)(
0
2
n
n
dxxg
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 12עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
14שאלה
פונקציה xf רציפה בקטע , ו- xF .הינה הפונקציה הקדומה שלה
ידוע כי 0
dxxf
-ו 1
dxxF
. הבע את האינטגרל dxxFx
באמצעות המקדמים 2nn ba של טור ,
של הפוריי xf בקטע ,.
:פתרון
נשים לב, כי מהתנאי הראשון נובעת התוצאה הבאה: 01
0
dxxfa
.
ולכן,
1
sincos~n
nn nxbnxaxf
לפי משפט האינטגרציה,
Cnxn
anx
n
bxF
n
nn
1
sincos
כאשר
2
1
2
1
1
dxxFC.
כלומר
1
sincos2
1
n
nn nxn
anx
n
bxF
כעת נשתמש בטור פורייה של
12
22 cos
14
3 n
n
nxn
xxf
ובמשפט פרסבל מוכלל ונקבל כי
1 1
3
1
2
2
2 14
3
14
2
3
211
n n
n
n
n
n
n
b
n
b
ndxxFx
ולסיכום נקבל את התוצאה הדרושה:
13
122 14
3 n
n
n
n
bdxxFx
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 13עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
u
x l 0 l/2
h
O
A
B
51שאלה מצא/י פתרון של משוואת גלים הבאה באמצעות הפרדת משתנים:
2
2
2
2
x
u
t
u
lx -ו 0xמתארת את תנודת המיתר, כאשר המיתר מקובע בקצוות המשוואה וצורתו ההתחלתית של
)באיור(. הנח/י כי אין מהירות התחלתית למיתר: OABהמיתר מתוארת על ידי העקומה
פתרון: :OABראשית נמצא את משוואת העקומה
xהיא OAמשוואת הישר l
h2היא ABואילו משוואת הישר xl
l
h
2 , כלומר נקבל כי
lxl
xll
h
lxx
l
h
x
2;
22
0;2
בנוסף לכך, נתון כי 0x.
במקרה שלנו, הפתרון הכללי של המשוואה נתון באופן הבא:
xl
nt
l
nbt
l
natxu
n
nn
sinsincos,
1
כאשר
l
n xdxl
nx
la
0
sin2
ו-
l
n xdxl
nx
nb
0
sin2
במקרה שלנו
l
l
l
l
n xdxl
nxl
l
hxdx
l
nx
l
hxdx
l
nx
la
2
2
2
0
2
0
sin4
sin4
sin2
נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי
2sin
822
n
n
han
.0nbבנוסף לכך נקבל כי
נקבל את הפתרון הסופי: ולסיכום
1
22sincos
2sin
18,
n
xl
n
l
tnn
n
htxu
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 14עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
61שאלה
א טור סינוסים וטור קוסינוסים של מצ .א tf :המוגדרת באופן הבא
.את תשובתך נמק? 0tלאיזה ערך מתכנס טור סינוסים מסעיף א' בנקודה .ב
פתרון:
כפי שניתן לראות, הפונקציה tf :מוגדרת באופן הבא
21,2
10,1
tt
ttf
א.
לקטע זוגי-אם נמשיך את הפונקציה באופן אי 0,2נקבל כי:
2
1
2
2
1
22
2
1
2
1
1
0
1
0
2
1
12
142
2coscos2
2
2coscos
41
2cos
2
2sin
4
2cos
2
2
22
2cos
2
2sin2
2sin1
2
2
nn
nn
n
nn
n
n
n
tn
nt
n
n
tt
nosc
nt
n
n
tdtn
ttdtn
b
n
n
טור סינוסים:
21 12
2
12sin1
22sin
2
n
tn
n
tn
tf
n
n
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 15עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
באותו אופן נקבל טור קוסינוסים:
2
3
2
33
2
12
2
441
222
2
1
21
0
1
0
2
1
0
tttdttdta
22
1
22
2
1
22
2
1
2
1
1
0
1
0
2
1
14
2coscos
4
2sin0
2
2sin0
40
2sin
2
2cos
4
2sin
2
2sin
4
2sin
2
2cos2
2cos
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
tn
nt
n
n
tt
n
nt
n
n
tdtn
ttdtn
a
n
n
:טור קוסינוסים
122
2cos1
4
4
3
n
n
n
tn
tf
ממוצע של הגבולות החד צדדיים. – 0הטור מתכנס לערך .ב
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 16עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
71שאלה
נתון:
אחרת
xxf
0
101 , 2xxg .
ת הקונבולוציה חשב א xgf .
פתרון:
1 32 3 3 2
1
00
1 1( * )( ) ( ) ( 1) 1/ 3
3 3f g x x t dt x t x x x x
81שאלה :נתונה הפונקציה הבאה
00
a
ax
axxaxfa
את התמרת פורייה של י/מצא א. xfa.
י את /ב. חשב
d
4
2cos1cos1
פתרון:
על פי ההגדרה נקבל: א.
2
0
cos1...
1
2
1
2
1
a
dxexadxexadxexffF
a
xi
a
a
xixi
aa
על פי שוויון פלנשראל המוכלל נקבל כי: ב.
6
53221
2
12cos1cos11
0
2
1
1
2
4
dxxxdxxxd
91שאלה
ציהפונקהנתונה 22
1
axxha
,המוגדרת לכל x 0 ממשי ולכלa .)פרמטר ממשי(
חשב את התמרת פורייה של .א xha)רמז: העזר בהתמרה של .
xe
).
בתוצאה של סעיף א' והוכח כי העזר .ב
120259
122
dxxx
פתרון:
ראינו בהרצאה כי .א
21
11
Fxe
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 17עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
ע"פ עיקרון הדואליות נקבל כי
ae
ax
axF
2
1122
ע"פ משפט פלנשראל נקבל כי .ב
dGFdxxgxf2
1
d
ae
aedx
bxax
axax
2
1
2
111
2
12222
babade
badx
bxax
ba
4
2112222
12053535
1
3
12222
dxxx
20שאלה :מצא פתרון למשוואה הבאה
0,coscos0
tttdyt
t
פתרון את התמרת לפלס על שני האגפים: נפעיל
הקונבולוציה נקבל כי מהגדרת
sttLstytL coscos
22
22
221
21
11
s
ss
s
ssY
s
s
נבודד את sY:
ss
ssY
1
1
22
ההתמרה ההפוכה מובילה לפתרון הבא:
1cos2 tty
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 18עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
12שאלה
תהי xf פונקציה רציפה במרחב(ℝ)G בעלת התמרת פורייה
,0
,ˆ22
f
מצא את הפונקציה .א xf
חשב את ערך האינטגרל .ב
dxxf2
פתרון:
x לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי לכל .א R
2 2 2 2
0
ˆ 2 cosi x i xf x f e d e d xd
0x -ל מכאן,
2 2
3
0 0
sin 2 cos sin2 2 sin 4 , 0
x x x xf x xd x
x x x
-מצד שני, היות ו xf :פונקציה רציפה, נקבל
3
30 0
cos sin 40 lim lim 4
3x x
x x xf f x
x
ולסיכום נקבל:
3
3
cos sin4 , 0
4, 0
3
x x xx
xf x
x
לפי משפט פלנשראל, ב.
2
22 2 51 16ˆ
2 15f x f d d
632
15f x
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 19עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
22שאלה
מצא/י פתרון של בעיית התחלה
00,00
23
yy
tfyyy , כאשר
t
t
t
t
tf
3,0
32,1
21,0
10,1
.
:פתרוןעל מנת לפתור משוואה דיפרנציאלית זו ניעזר בהתמרת לפלס. נחשב את התמרת לפלס של שני האגפים
המשוואה. נשים לב כי ונתחיל מהאגף הימני של tf ניתנת להצגה בעזרת פונקציתHeaviside באופן
הבא:
tHtHtHtHtf 3210
כלומר
s
e
s
e
s
e
sstfL
s
estHL
ssscs
c
321
כעת נחשב את ההתמרה של אגף שמאל:
2320330023 22 ssyLyLyysLysyyLsyyyL
ולסיכום נקבל כי
s
e
s
e
s
e
sstfLssyL
sss 322 1
23
21
11
23
1 32
2
32
ssseee
sss
eeeyL sss
sss
נפרק את הביטוי האחרון לשברים חלקיים:
2121
1
s
C
s
B
s
A
sss
2
1,1,
2
1 CBA
ידוע כי asas
seL at
,1
, כלומר
tt eesss
L 21
2
1
2
1
2
1
2
1
1
11
2
1
:Heavisideכעת נשתמש בתכונה הבאה שקשורה להתמרה של פונקצית
stgLesctgtHL cs
c
או
stgLeLctgtH cs
c
1
במקרה שלנו tt eetg 2
2
1
2
1:ולכן נקבל את פתרון המשוואה הדיפרנציאלית באופן הבא
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 20עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
tgeLtgeLtgeLtgL
ssseeeLty
sss
sss
312111
321
21
11
או בצורה מפורשת:
323
3
222
2
121
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
tttt
tttt
eetHeetH
eetHeety
23שאלה .6מסדר DFTכתוב מטריצת .א .[9 6 2 2]של הסדרה הבאה: FFT חשב .ב .[9 6 2 2 9 6 2 2]של הסדרה הבאה: FFT חשב .ג
פתרון:
מוגדרת באופן הבא: 6מסדר DFTמטריצת .א
252015105
20161284
1512963
108642
5432
1
1
1
1
1
111111
N כאשר
i
e
2
6 -וN .:בהתאם לכך נקבל את התוצאות הבאות
ie
i
2
3
2
132519137
ie
i
2
3
2
13
2
201482
13
3
211593
i
e
ie
i
2
3
2
13
4
2216104
ie
i
2
3
2
13
5
2317115
13
6
2418126
i
e
אוניברסיטת בר אילן, .המחלקה למתמטיקה
.פורייה ת, אנליז88-235רס: קו מיכאל מיכאלי.ד"ר מרצה:
.ו"סמסטר קיץ, תשעחוברת תרגילים ופתרונות,
22מתוך 21עמוד האנליזת פורייה, תשע" –חוברת תרגילים ופתרונות
.ב
ג.
נקבל כיולפי התוצאה בסעיף הקודם, FFTבהתאם לתכונת המחזוריות של
FFT([2 2 6 9 2 2 6 9])=[38 0 -8+14i 0 -6 0 -8-14i 0]