1
เอกสารในหองเรยน
บทท 4 Kinetics of Systems of Particles
(จลนศาสตรของระบบอนภาค)
กลาวนา
ในบทนจะศกษาการเคลอนทแบบ Kinetics ของระบบอนภาค ทไดนาเอาสมการการเคล อนท หรอกฎขอท 2
-ของนวตน สมการความสมพนธของงานและพลงงาน สมการความสมพนธของอมพลสและโมเมนตม มา
ประยกตใชวเคราะหการเคลอนทของระบบอนภาค
เอกสารนเปนเอกสารประกอบใชระหวางเรยนในหอง ทสรปเนอหา สมการวเคราะห และโจทยปญหาตวอยาง
ตางๆ ในตาราอางอง [1] (แบบปกปดวธการวเคราะหบางสวน) ท งนเพอใหนกศกษามเอกสารในระหวางเรยน และ
สามารถจดบนทกไปพรอมกบการบรรยายในหองเรยนไดอยางสะดวก
4.1 สมการการเคลอนท (Generalized Newton’s Second Law) พจารณาระบบอนภาคในรปท 4.1 ทประกอบดวย
อนภาค n อนภาค ทอยรวมกนภายใตพนผวปดรอม
ใดๆ (System boundary) จากรป อนภาค mi ใดๆ ถก
กระทาดวยแรง 1 2 3, , , ...F F F
และ 1 2 3, , , ...f f f
โดยท
1 2 3, , , ...F F F
คอ “แร งก ร ะท าภายนอก ”
(external force) เนองจาก แรงคงทภายนอก แรงโนม
ถวง แรงจากสนามแมเหลกไฟฟา เปนตน
1 2 3, , , ...f f f
คอ “แรงกระทาภายใน” (internal
force) เนองจาก แรงปฏกรยาจากอนภาคขางเคยง
(แรงดงดดของอนภาคขางเคยง) ทกระทาตอมวล mi
สมการกฎขอท 2 ของนวตน สาหรบมวล mi
1 2 3 1 2 3... ...
i i
i ir
F ma
F F F f f f m+ + + + + + + =
Σ =ɺɺ
สาหรบอนภาคมวลอนๆ สมการเคลอนท (กฎขอท
2 ของนวตน) กสามารถกระทาไดเชนเดยวกน
r
ir
im
im
1F
2F
3F
1f
2f
3f
iρρρρ
รปท 4.1
เมอนาสมการการเคลอนทของแตละอนภาคมา
รวมกน จะไดสมการเคลอนทท งระบบเปน
i irF f mΣ +Σ = Σ ɺɺ
พจน fΣ
เปนแรงปฏกรยาภายในทแตละอนภาค
กระทาตอกน ทมขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขาม
ดงน นผลรวมของแรงภายในท งระบบจะเปนศนย ซง
สมการการเคลอนทของระบบอนภาคจะเหลอเพยง
i irF mΣ = Σ ɺɺ
(4.1)
จากรป ระบบอนภาคมตาแหนงของจดศนยกลาง
มวล (G) ทหางจากจด O คอ r และมสมการ
ความสมพนธของตาแหนงศนยกลางมวล เปน
2
i it rm r m= Σ (4.2)
โดยท t im m= Σ เปนมวลรวมของระบบอนภาค
ดงน นอนพนธอนดบสองเทยบตอเวลาสมการ (4.2) คอ
t i irm r m=Σ ɺɺ
ɺɺ (4.3)
จะพบวาสมการท (4.1) เทากบสมการท (4.3) ทม
ความสมพนธคอ
t tr aF m F mΣ = Σ = ɺɺ
(4.5)
ความหมายของสมการ (4.5) คอ “ผลรวมของ
แรงภายนอกท กระทาตอระบบอนภาค จะเทากบ
ผลคณของมวลรวม ( itm m= Σ= Σ= Σ= Σ ) กบความเรงของ
จดศนยกลางมวล (a)”
สมการท (4.5) สามารถแยกเปน สมการใน
แนวแกนของระบบพกดฉาก x-y-z ไดเปน
x x
y y
z z
t
t
t
a
a
a
F m
F m
F m
Σ =Σ =
Σ = (4.5a)
ขอควรระวง: สมการการเคล #อนท # (4.5) เปนสมการ
vector (จะตองจดการแบบเวกเตอร)
4.2 วธการงานและพลงงาน (Work and Energy) พจารณาการเคลอนทในรปท 4.1
สมการงานและพลงงาน สาหรบอนภาคมวล mi
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2ii i i iU T T U T− −= ∆ + =
โดยท
( )1 iT และ ( )1 i
T คอพลงงานจลนของอนภาค
mi ณ ตาแหนงท 1 และ 2 ตามลาดบ
( )1 2 iU − คองานเนองจากแรงกระทาภายนอก
1 2 3, , , ...F F F
แล ะแ ร งก ร ะท าภ าย ในขอ ง แ ร ง
ปฏกรยาจากอนภาคขางเคยง 1 2 3, , , ...f f f
สาหรบอนภาคมวลอนๆ สมการความสมพนธงาน
และพลงงาน กสามารถกระทาไดเชนเดยวกน
เมอนาสมการความสมพนธงานและพลงงานของ
แตละอนภาคมารวมกน จะไดท งระบบเปน
( )1 2
,1 2 ,1 ,1 2 ,2S S S S S
iiU T
U T T U T
−
− −
Σ = Σ∆
= ∆ + = (4.6)
เมอ: ( ),1 2 1 2S iU U− −= Σ และ ST∆ คอการเปลยน
พลงงานจลนรวมท งระบบ S iT T= Σ
สาหรบวตถแขงเกรง (Rigid body) หรอระบบ
วตถแขงเกรง (System of rigid bodies) ณ จดจบยด
(joined) จะมแรงสทธเนองจากแรงจบยด if
และ if−
ซงเปนแรงคปฏกรยากน ดงรป 4.2 งานสทธเนองจาก
แรงดงกลาวนจะเปนศนย เปนเพราะ ณ จดจบยดนจะม
การกระจดเดยวกน ดงน นงานจะหกลางกนไป
งานสทธ ณ จดจบยดของวตถแขงเกรง: 0if
U =Σ
รปท 4.2
ส า ห ร บ ร ะ บ บ ก ล ไ ก ย ด ห ย น (Nonrigid
mechanical system) จะประกอบดวยชนสวนยดหยน
เชน สปรง ทมการสะสมพลงงานศกยยดหยน คอ eV
ดงน น จากสมการท (4.6) สามารถเขยนวเคราะห
สาหรบระบบกลไกยดหยน ไดเปน
,1 2S S SU T V−′ = ∆ +∆ (4.7)
หรอ
,1 ,1 ,1 2 ,2 ,2S S S S ST V U T V−′+ + = + (4.7a)
โดยท
,1 2SU −′ = งานจากแรงภายนอก ยกเวน แรงโนม
ถวงและแรงจากสนสวนยดหยน เชน สปรง
หรอ
หรอ
หรอ
3
ST =พลงงานจลนรวมของระบบ S iT T= Σ
SV =พลงงานศกยรวมของระบบ , ,S S g S eV V V= +
พลงงานจลนของระบบอนภาค: ST
v
iv
im
iρρρρɺɺɺɺ
r
ir
im
iρρρρ
รปท 4.3
นยาม พลงงานจลนของระบบอนภาค คอ 21
2S i i iT T m v= Σ = Σ
12S i i iT m v v= Σ i
จากความสมพนธของความเรวสมพทธ ในรปท
4.3 จะพบวา
i iv v ρ= + ɺ
เมอ vคอความเรวของจดศนยกลางมวล G ของ
ระบบอนภาค และ iρɺ คอความเรวสมพทธของอนภาค
im เทยบตอความเรวของจดศนยกลางมวล G ดงน น
หากใช i iv v ρ= + ɺ แทนในสมการพลงงานจลนของ
ระบบอนภาคจะได
( ) ( )2
2
12
12
1 12 2
i i i
i i i
i i i i i
T m v v
m v v
m v m m v
ρ ρ
ρ ρ
= Σ
= Σ + +
= Σ +Σ +Σ
i
i
i
ɺ ɺ
ɺ ɺ
แตเนองจาก iρ วดจากจดศนยกลางมวล G ซง
0i im ρΣ = พจน ( ) 0i i i i
dm v v mdt
ρ ρΣ = Σ =i i
ɺ และ
พจน ( )2 2 21 1 12 2 2 ti im v v m m vΣ = Σ =
สดทายจะ
ได พลงงานจลนรวมของระบบ เปน
221 1
2 2S t i iT m v m ρ= +Σ
ɺ (4.8)
ความหมายของสมการ (4.8) คอ “พลงงานจลน
รวมของระบบอนภาค เทากบ พลงงานจลนของจด
ศนยกลางมวล บวก พลงงานจลนจากความเรว
สมพทธของแตละอนภาค ( )iρɺ เทยบตอความเรว
จดศนยกลางของระบบมวล ( )v
”
4.3 วธการอมพลสและโมเมนตม (Impulse and Momentum)
4.3a โมเมนตมเชงเสน (Linear Momentum)
จากรปท 4.3 โมเมนตมเชงเสนของแตละ
อนภาค คอ i i iG m v= เมอ ,im i iv r=
ɺ คอมวล และ
ความเรวของแตละอนภาค ตามลาดบ ดงน น โมเมนตม
เชงเสนรวมของระบบอนภาค คอ
S i i iG G m v= Σ = Σ
แทน i iv v ρ= + ɺ จะได
( )S i iG m v ρ= Σ +
ɺ
( ) ( )0
S
S
i i i
ti i i
G v m m
d dG v m m m vdt dt
ρ
ρ
= Σ +Σ
= Σ + Σ = +
ɺ
S iG v m= Σ
S tG m v=
(4.9)
สมการท (4.9) คอ “โมเมนตมเชงเสนรวมของ
ระบบอนภาค เทากบ ผลคณของมวลรวมกบ
ความเรวของจดศนยกลางมวล” อนพนธเทยบตอ
เวลาของสมการ (4.9) จะได S t tG m v m a F= = = Σ ɺ ɺ
ดงน นจะไดความสมพนธของแรงลพธภายนอกท
กระทาตอระบบอนภาค กบอตราการเปลยนโมเมนตม
เชงเสนของระบบอนภาค คอ
SF GΣ = ɺ (4.10)
4
4.3b โมเมนตมเชงมม (Angular Momentum)
พจารณาระบบอนภาคในรปท 4.4 โดยมจด
ศนยกลางมวลทจด G และมจดสงเกตแบบคงท (fixed-
observer) ทจด O สาหรบการวเคราะหโมเมนตม
เชงมมรอบจด O และ G สามารถกระทาได ดงน
O
Gr
ir
im i
m
1F
2F
3F
1f
2f
3f
System boundary
Particle: mi
iρρρρ
(fixed)
รปท 4.4
1) โมเมนตมเชงมมรอบจดสงเกตคงท : O
โมเมนตมเชงมมของแตละอนภาค im ใดๆ รอบ
จด O คอ ,o i i i iH r m v= × เมอ ir
คอเวกเตอรการ
กระจดของอนภาค im เมอวดจากจด O และ i im v
คอโมเมนตมเชงเสนของอนภาค im ดงน น โมเมนตม
เชงมมรวมของระบบอนภาครอบจด O คอ
( ), ,O S i i iO iH H r m v= Σ = Σ ×
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
, ,:
0
O S O S i i i i i i
i i i i i i
i i i
i i
d H H r m v r m vdt
v m v r m v
r m a
r F
= Σ × +Σ ×
= Σ × +Σ ×
= Σ +Σ ×
= Σ ×
ɺ ɺ ɺ
ɺ
ซง ,O i i iM r F= × ดงน น จะความสมพนธของ
โมเมนตรอบจด o ทเกดจากแรงภายนอก iF
กบ
อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมมรวมท งระบบ
อนภาค คอ
( ) ,, O So iM HΣ =
ɺ (4.11)
2) โมเมนตมเชงมมรอบจดศนยกลางมวล : G
โมเมนตมเชงมมของแตละอนภาค im ใดๆ รอบ
จด G คอ ,o i i i iH m vρ= × เมอ iρ
คอเวกเตอรการ
กระจดของอนภาค im เมอวดจากจด G และ i im v
คอโมเมนตมเชงเสนของอนภาค im ดงน น โมเมนตม
เชงมมรวมของระบบอนภาครอบจด G คอ
( ) ( ), ,G S i i i i i iG iH H m v m rρ ρ= Σ = Σ × = Σ ×
ɺ
(4.12)
แทน i iv v ρ= + ɺ จะได
( )( ) ( )
( ) ( )( )
,
0
G S i i i
i i i i i
i i i i i
i i i
H m v
m v m
v m m
v m
ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
= Σ × +
= Σ × +Σ ×
= − ×Σ +Σ ×
= − × +Σ ×
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
ดงน น จะได
( ),G S i i iH mρ ρ= Σ ×
ɺ (4.12a)
สมการท (4.12) เรยกวา “โมเมนตมเชงมมรวม
สมบรณ (absolute angular momentum)” เพราะ
ความเรว iv หรอ rɺ เปนความเรวสมบรณ สวนสมการ
ท (4.12a) เรยกวา “โมเมนตมเชงมมรวมสมพทธ
(relative angular momentum)” เพราะความเรว iρɺ
เปนความเรวสมพทธ ซ #งจะพบวาโมเมนตมเชงมมรวม
สมบรณและสมพทธรอบจดศนยกลางมวล G จะม
เทากบ อนพนธเทยบตอเวลาของสมการ (4.12) จะได
( ) ( )( ) ( )
, ,:G S G S i i i
i i i i i i
d dH H m rdt dt
m r m r
ρ
ρ ρ
= Σ ×
= Σ × + Σ ×
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺɺ
แทน i ir r ρ= + ɺ ɺɺ จะได
5
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
,
0
0 0
G S i i i i i i
i i i i i i i i
i i i i i
i i i
H m r m r
m r m m r
dr m m rdt
dr m rdt
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
ρ
= Σ × + + Σ ×
= Σ × + Σ × + Σ ×
= − Σ + Σ + Σ ×
= − + Σ + Σ ×
ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ
ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ
ɺ ɺɺ
ɺ ɺɺ
ดงน น จะได
( )( ) ( )
,G S i i i
i i i i i
H m r
m a F
ρ
ρ ρ
= Σ ×
= Σ × = Σ ×
ɺ ɺɺ
(4.13)
ซง ,G i i iM r F= × ดงน น จะความสมพนธของ
โมเมนตรอบจด G ทเกดจากแรงภายนอก iF
กบ
อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมมรวมท งระบบ
อนภาค คอ
( ) ,, G SG iM HΣ =
ɺ (4.14)
4.4 สมการอนรกษพลงาน และอนรกษโมเมนตม (Conservation of Energy and Momentum)
4.4a) สมการอนรกษพลงงาน (Conservation
of Energy)
หากไมมงานจากแรงไมอนรกษ เชน งาน
จากแรงนอก งานจากแรงเสยดทาน (ยกเวน งานจาก
พลงศกยโนมถวง gV และพลงงานศกยยดหยน eV )
น นคอ ,1 2 0SU −′ = จากสมการท (4.7) จะได
0S ST V∆ +∆ = (4.15)
หรอ
,1 ,1 ,2 ,2S S S ST V T V+ = + (4.15a)
โดยท 221 1
2 2S t i iT m v m ρ= +Σ
ɺ
, ,S S g S eV V V= +
สมการท (4.15) “กฎการอนรกษพลงงานกล”
(พลงงานกล = พลงงานจลน + พลงงานศกย)
4.4b) สมการอนรกษโมเมนตม (Conservation
of Momentum)
หากแรงลพธภายนอกทกระทากบระบบ
อนภาคเปนไมศนย 0FΣ =
สมการท (4.10) จะได
0SF GΣ = = ɺ
,1 ,2S SG G=
(4 .16)
โดยท S tG m v=
สมการท (4.16) “กฎการอนรกษโมเมนตมเชง
เสน”
และเชนเดยวกน หากโมเมนตของแรงภายนอกท
กระทาตอระบบอนภาครอบจด O หรอจดศนยกลาง
มวล G เปนศนย จากสมการท (4.11) และ (4.14) จะ
ไดเปน
( ) ,, 0O So iM HΣ = =
ɺ หรอ ( ) ,, G SG iM HΣ =
ɺ
, 1 , 2 , 1 , 2O S O S G S G SH H H H= = (4.17)
โดยท ( ),O S i i iH r m v= Σ ×
( ) ( ),G S i i i i i iH m v m rρ ρ= Σ × = Σ ×
ɺ
สมการท (4.17) “กฎการอนรกษโมเมนตม
เชงมม”
หรอ
6
สวนท 1 ตวอยาง Kinetics of Systems of Particles
วธทา
a) ความเรงของจด O: นXนคอความเรงของจด ศก. มวล ของระบบอนภาค : oa
จาก Equation of motion ของระบบอนภาค (สมการ 4.6)
t aF mΣ = ( )3
3ooi a a i AnsF m
F
m
=
∴
⇒ =
b) ความเรงเชงมมรอบจด O : θθθθɺɺɺɺɺɺɺɺ
จากสมการท (4.14) : “ผลรวมของโมเมนตจากแรงภายนอกรอบจด G (จด O ใน ตย. นK) จะเทากบอตราการ
เปล #ยนแปลงโมเมนตมเชงมมรอบจด G” น นคอ
( ) ( ), ,, ,G S O SG i O iM H M HΣ = ⇒Σ =
ɺ ɺ
( ) ( )i i i i idr F m vdt
ρΣ × = Σ ×
( ) ( )2
2
3
3( )Fb A
dbF k rm r kdt
Fb mr
nsCWmr
θ
θ
θ
− = Σ −
=
=ɺɺ
ɺ
ɺɺ θθθθɺɺɺɺ
θθθθɺɺɺɺ θθθθɺɺɺɺ
v rθθθθ==== ɺɺɺɺ
v rθθθθ==== ɺɺɺɺ
v rθθθθ==== ɺɺɺɺ
วธทา โจทยถามหาความเรวของชนสวน C: VC ซงเปนความเรวหลงการระเบด ดงน นสมการวเคราะหจะตองใช
สมการอนรกษโมเมนตมเชงเสนของการระเบด ณ จด P น นคอ
โมเมนตมของระบบกอนชน = โมเมนตมของระบบหลงชน: ,1 ,2S SG G=
(1)P B BA A C CMv m v m v m v →= + + แตมตวแปรไมทราบคาเพมมา 3 ตวแปร ไดแก , ,P BAv v v
7
1) หา Pv ณ จด P (จดสงสด โพรเจกไทล) น นคอ
, 0 #P zv = และ ( ),
35
3300 / #5P x u i m sv = =
2) หา Av ณ จด P หลงการระเบด เคลอนทในแนวดงสงสด 500 m. ใชสมการอนรกษพลงงาน น นคอ
2
1,112 A A Am v m gh+ 2
,212 A Am v=
( ) ( )
2
2
2 2,1 ,1
,1
1 22
2 9.81 9950 .045 / #0
A
A A A A
AA A k m s
g
m gh
m v m gh v h
v v v
= ⇒ =
= = =∴
+
3) หา Bv ณ จด P หลงการระเบดเคลอนทออกในแนวระนาบ ( ), 0B zv =
เคลอนทตกทจด Q ทามม 45o ระยะ
ตกในแนวระนาบ 4,00 m. ความสง ณ h ดงรป
สมการเคลอนทแนวระนาบ: , 4,000. (2)
h PQ
PQ PQB
S mconst
t tv = = = →
หา PQt จากการเคลอนทในแนวดง z (ทราบระยะ ,v PQS h= ) :
, ,1v PQ v BQS u t− = 2
,1 2 22 BQ BQ v PQg t t S h
g g− ⇒ = = แตไมทราบ h ซงสามารถหาไดจาก การ
เคลอนทจากจด O – P น นคอ 2
,v Pu( )( )
2
,2
,
2300 4
2935/ 5
.22 2 8
79. 1
8v P
v P
uu h hh mg
g
∴ == − ⇒ = =
ดงน นจะได ( )2935.78 24.4652 29.81B QQ Bt h
gt s∴ == = แทนคาใน (2) จะได
163.5 / 45 : #24.4
4,000 4,000
65PQ
o
BB mm m
ts x
svv ∴ ∠= = =
สรปคาททราบคอ
( )
,
,35
0 #
3300 / #5
99.045 / #
163.5 / 45 : #o
P z
P
P x
A
B
u i m s
k m s
m s x
vv
v
v
v
=
= =
=
= ∠
แทนคาใน (1) หา Cv จะได
จาก (1): P B BA A C CMv m v m v m v= + + แทนคาททราบ
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 2 2
320 300 5 99.045 9 163.5cos 45 163.
426.58 173.42 82.54 /
426.58 173.42
5sin 455
6
36 20 300 9 163.5cos 45 9 163.5sin 455
5 99.045
82.54 467.8 /
o o
C
o
C
C
o
C
P B BA A C C
i j k m s
m s Ans
i z i j
i j
k
Mv m v m v m v
v
v
v
v
= +
∴ = − −
= − −
+
+
= − +
−
=
⇒ −
= + +
8
วธทา โจทยถามหา a) พลงงานจลนรวมของระบบ : ST b) โมเมนตมเชงเสนรวมของระบบ : SG
c) โมเมนตมเชงมม
รวมของระบบรอบจด O ,: O SH
a) พลงงานจลนรวมของระบบ:ST
จากสมการ (4.8): 221 1
2 2(1)S t i iT m v m ρ= + Σ →
ɺ
ซ ง reli vρ = ɺ คอความเรวสมพทธของแตละอนภาคเทยบตอความเรว จด ศก. มวลของระบบอนภาค (จด O): ดงน,น
“หากเราเคลอนทไปพรอมกบจด ศก. มวล O จะเหนความเรวสมพทธของแตระอนภาคเปนความเรวในแนวสมพทธของการ
เคลอนทแบบหมน น*นคอ ( ) ( ) ( )260reli i i i
nv r r r πρ θ= = Ω = = ɺɺ ดงรปดานลาง”
1, 1 1relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ
2, 2 2relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ
3, 3 3relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ
4, 4 4relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ
แทนคาททราบใน (1) จะได
จาก ( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2 2 22
1, 2, 3, 4,
2 2 2
1 12 2
1 12 2
1 12 2
16 4(1.6) 1.2 1.6 2 3.77 2
16.128 38.536 54.66
3.142
S
S b rel rel rel rel
S
S
t i i
t
T J J
T m v m
T m v m
J A
v v
s
v v
T
n
ρ
∴ =
= +Σ
= + + + +
= + + +
+ =
ɺ
b) โมเมนตมเชงเสนรวมของระบบ:
SG
จากสมการ (4.9) S tG m v=
แทนคา จะได
( ) ( )16 4 1.6 1.
26.88 / (
/
)
2S
S
G kg i m
G i kg m s N s Ans
s
∴
= +
= i i
ความเรวสมพทธ ของแตละอนภาค ( )
1, 2,
11, 2, 1
22
60 60
3.77
800
/
5
#
.4
rel
rel rel
rel
nv v
v v s
r
m
ππ
= =
= = =
⇒
( )
3, 4,
33, 3, 3
22
60 60
1
3.142 / #
000.3re
rel rel
l rel
nv v r
v v m s
ππ= = =
⇒ = =
9
c) โมเมนตมเชงมมรวมของระบบรอบจด O ,
:O S
H
จากสมการ (4.12a) ( ),G S i i iH mρ ρ= Σ ×
ɺ
1, 1 1relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ
2, 2 2relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ
3, 3 3relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ
4, 4 4relv r θθθθ==== ɺɺɺɺ
แทนคาคานวณ, ,
:O S G S
H H====
( ) ( ),G S i i i i i iH m r m vρ ρ= Σ × = Σ × ɺ
( ) ( ), 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4G SH r m v r m v k r m v r m v k= × + × − × + ×
( ) ( ), 1 1 1 3 3 32 2G SH rm v k r m v k= −
( )( ) ( )( ), 2 0.45 1.6 3.77 2 0.3 1.6 3.142G SH k k= −
( )2
,
2
, 5.429 3.016
2.412 /
2.412 / ( ) .
O S
G S
H kg m s k
kg m s N m s CCW
H
s
k
n
k
A
∴ =
=
−
=
i i
i
i
10
สวนท 2 แบบฝกหดทายบท Kinetics of Systems of Particles
11
12
13
14
ตาราอางอง
[1] Meriam J. L., and Kraige L. G. “Engineering Mechanics: Dynamics,” 6th Ed., John Wiley
and Sons, Inc, 2007.