Zoritza Bravo Anova Un Factor

7/25/2019 Zoritza Bravo Anova Un Factor

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EXPERIMENTOS CON UN SOLO FACTOR: EL

ANLISIS DE VARIANZA

PROF. ZORITZA BRAVO

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Bibliografa recomendada


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Notacin


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Existen dos tipos de modelos: el deefectos fijos y el de efectos aleatorios

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Introduccin

Este modelo es el ms sencillo del diseo de experimentos,en el cual la variable respuesta puede depender de la

inluencia de un !nico actor, de orma "ue el resto de lascausas de variaci#n se en$loban en el error experimental

%e supone "ue el experimento &a sido aleatori'ado porcompleto, es decir, todas las unidades experimentales

&an sido asi$nadas al a'ar a los tratamientos


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Efectos fijos y aleatorios

() *os niveles del actor se seleccionan demodo espec+ico por el experimentador)Esto constituye el llamado modelo de

efectos fijos)

(() *os niveles de un actor son una muestraaleatoria de una poblaci#n mayor detratamientos) Esto es el modelo de efectosaleatorios)

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Ejemplos

na irma comercial desea conocer la inluencia "ue tieneel nivel cultural de las amilias en el -xito de una campaapublicitaria sobre cierto producto) Para ello, aprovec&a losresultados de una encuesta anterior clasiicando lasrespuestas en tantos $rupos como niveles culturales &aestablecido)

Un soloUn solo factorfactor, ya que la firma slo, ya que la firma sloest interesa!a en a"eri#uar si losest interesa!a en a"eri#uar si los

!istintos ni"eles $ulturales influyen o!istintos ni"eles $ulturales influyen o

no !e la misma manera so%re lasno !e la misma manera so%re las"entas, no im&ortn!ole la influen$ia"entas, no im&ortn!ole la influen$ia!el resto !e los fa$tores que &ue!en!el resto !e los fa$tores que &ue!en

in!u$ir a una mayor o menorin!u$ir a una mayor o menorten!en$ia a la $om&raten!en$ia a la $om&ra

'ise(o !eefe$tos fi)os

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Modelo de efectos fijos

YY: variable respuesta: variable respuesta

.onsideramos a poblaciones dierentes y comparamos la

respuesta a un tratamiento, o !nico nivel de un actor)En la poblaci#n i-sima /i = 1, . . . , a se toman ni

observaciones)

*a respuesta se cuantiica mediante yij, donde i = 1, . . . , a

se reiere a la poblaci#n en estudio y j = 1, . . . , ni se reiere

a la observaci#nj -sima.

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.onsideramos a&ora un actor con aniveles, es decir, entotal atratamientos, y una !nica poblaci#n)

%e observa la respuesta yij del tratamiento i-simo a ni

observaciones de la poblaci#n)

YY: variable respuesta: variable respuesta

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El valor medioEl valor mediodede Y,Y, lala

variablevariablerespesta! enrespesta! enla poblaci"n ola poblaci"n onivelnivel i-simoi-simo

Error aleatorioError aleatorio

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10/471#


1lternativamente, se puede expresar de esta manera

suponiendo $rupos de i$ual tamao

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11/4711


ijij

es el errores el erroraleatorio,aleatorio,

tal quetal queijij N (0,N (0,

22))

in!e&en!ientesin!e&en!ientesentre s*,entre s*,

+ + ijij - 0 y- 0 y

Var Var ijij - - //22

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Se supone, adems, que las unidades experimentalesestn en un ambiente uniforme, lo cual lleva a un diseo

completamente aleatorizado.

n el modelo de efectos fijos, los efectos de los

tratamientos i se definen como desviaciones respecto a la

media !eneral, por lo que"

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Esperan$a deltratamiento i

Prueba de HiptesisPrueba de Hiptesis

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1

n

i ij

i

y y

=

= / , 1,...,iiy y n i a = =

1 1

a n

ij

i j

y y

= =

= / ,y y N N an = =

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escomposicin de la suma de cuadrados total

*a idea es descubrir c#mo se reparte la variabilidad totalde la muestra) na posible medida de variabilidad totales la suma de cuadrados, denominada total, o sumatotal de cuadrados corre$ida

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!rados de libertad

%e tiene un total de an observaciones y a tratamientos

S#$ tiene /an 3 4 $rados de libertad)

S#$ra tiene /a 3 4 $rados de libertad) S# tiene a/n34 $rados de libertad, por"ue &ay nr-plicas dentro de cada tratamiento, es decir, se tienen%n&1'$rados de libertad para estimar el error experimental)

1l tener atratamientos, se tiene un total de a%n & 1' $rados

de libertad)

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Estimadores de la "arian#a

%i el t-rmino entre par-ntesis se divide entre n&1, seobtiene la varian'a del tratamiento i

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%e puede estimar la varian'a poblacional combinandodic&as varian'as por $rupos

%i no &ay dierencias entre los atratamientos, se puede estimar la

varian'a poblacional 52como

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%e dispone, as+ de dos posibles estimadores de 52


.uando no existen dierencias entre las medias

de los tratamientos, las estimaciones deben sersimilares)

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2#

%i consideramos las medias de cuadrados anteriores,entonces, se puede demostrar, sustituyendo, "ue


6e este modo, si para al$!n i 0,entonces %(#$ra' ) *+

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$n%lisis estadstico

#mo llevamos a cabo una prueba de iptesis/

No hay

diferencia en las

medias

de los

tratamientos

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$n%lisis estadstico.omo los errores ijse distribuyen independientemente entre s+,

se$!n una 0%, *', entonces

Fisher

Aplicando el teorema de

Cochran, se tiene que SSE/! y

SS"ra/! son independientes,

por lo que si i# $, i

%e distribuye como una 2de%nedecor, Fa1,Na

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$n%lisis estadstico

%i al$!n i , entonces %(S$ra' ) *+

entonces el valor del estad+stico F0 es

mayor, obteni-ndose una re$i#n cr+tica

superior, de modo "ue se rec&a'a, a nivel 3,la &ip#tesis nula de i$ualdad detratamientos, si

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&abla $N'($

%e rec&a'a 4a nivel 3cuando

2) 23,a&1,0&a

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Estimacin de los par%metros

donde i = 1, . . . , a7 j = 1, . . . , n, sepueden estimar los parmetros 5 y i

por el m-todo de los M+nimos.uadrados)

%ma de loscadrados de

los errores

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Inter"alos de confian#a

%i se asume "ue los errores estn distribuidos se$!n unanormal, entonces cada

6e este modo, cuando *+es desconocida un intervalo deconian'a al 1%1&3'6 es

&ntervalo de confian$a para la media idel

tratamiento i-simo

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Inter"alos de confian#a

&ntervalo de confian$a para la diferenciaen las medias de dos tratamientos

cales'iera i- j

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Ejemplon in$eniero de desarrollo de productos est interesado enmaximi'ar la resistencia a la tensi#n de una nueva ibrasint-tica "ue se emplear en la manuactura de tela paracamisas de &ombre) El in$eniero sabe por experiencia "ue laresistencia est inluida por el porcenta8e de al$od#n

presente en la ibra) 1dems, sospec&a "ue el contenido deal$od#n debe estar aproximadamente entre un 40 y 0: para"ue la tela resultante ten$a otras caracter+sticas de calidad"ue se desean /como la capacidad de recibir un tratamiento

de planc&ado permanente)

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Ejemplo

El in$eniero decide probar muestras a cinco niveles deporcenta8e de al$od#n 4;, 20, 2;,


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3#

Ejemplo

1&ora se eli$e al a'ar un n!mero entre 4 y 2;)%upon$amos "ue es el =, entonces la observaci#n =a see8ecuta primero /es decir, a un 20: de al$od#n) 1continuaci#n se eli$e un n!mero al a'ar entre 4 y 2;,"uitando el =) %upon$amos "ue es el , entonces la

observaci#n ase e8ecuta en se$undo lu$ar /a un 4;: deal$od#n) %e repite el proceso &asta completar las 2;observaciones)

Esta secuencia de prueba aleatori'ada es necesaria paraevitar "ue los resultados se contaminen por los eectos devariables desconocidas "ue pueden salir de control duranteel experimento)

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Ejemplo

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Ejemplo

%a &r'fica indica que laresistencia a la tensin

aumenta con el contenido de

al&odn hasta el ($)*'s all' del ($) ocurre un

notable decrecimiento en la

resistencia%a falta de traslape de las

ca+as su&iere una diferencia

si&nificativa entre los

contenidos medios de las

resistencias entre los &rupos

sando un ($) de al&odnparece que se fabrican las

me+ores fibras, es decir, las

de mayor fortale-a4; 20 2;


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Ejemplo

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)iptesis del modelo

ormali!a!1 ijsi#ue una !istri%u$in normal

omo$e!asti$i!a!1 Var(ij) = 2

In!e&en!en$ia1 ij son in!e&en!ientes entre s*

E3ij4 0

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Metodologa

() Estimar los parmetros del modelo)(() .ontrastar si el actor inluye en la respuesta,

es decir, si los valores medios de 7 sondierentes al cambiar el nivel del actor)

((() %i el actor inluye en la variable respuesta, esdecir, las medias no son i$uales, buscar lasdierencias entre poblaciones /o niveles delactor)

(>) 6ia$nosis del modelo comprobar si las&ip#tesis del modelo son ciertas mediante elanlisis de los residuos)

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Estimacin de los par%metros

En este e8emplo, a = 8, ni = 8 y 0 = +8) *asestimaciones puntuales de los parmetros son lassi$uientes

mean.resistenciaporcenta+e##0123

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$n%lisis de "arian#a

mode0#aov.resistencia4porcenta+e3summary.mode03

6 %um %" Mean %" F value Pr/?Fporcenta+e @;)@A 44=)9 4)@;@ 9)42=e0ABBBResiduals 20 4A4)20 =)0ACCC%i$ni) codes 0 DBBBD 0)004 DBBD 0)04 DBD 0)0; D)D 0)4 D D4

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$n%lisis de "arian#a

qf.$561, 7, !$3#!,8990

(e)i"n derec*a$o

Por lo tanto,

recha-amos H$a los

niveles anteriores y

concluimos que haydiferencias entre

los tratamientos5

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iagnosis del modelo

$

$ ( )ij ij ij

iij i i

e y y

y y y y y

=

= + = + =$

ij

ij

ed

MCE=

par/mroc/4,


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4#

iagnosis del modelo* Normalidad

Histo&rama de los residuos estandari-ados

rstandard/mode4

Fre"uency

C4 0 4 2

0

2

9

A

=

C4);

C4)0

C0);

0)0

0

);

4)0

4);

2)0

rama de ca+as de los residuos

C2 C4 0 4 2

C4);

C4)0

C0);

0)0

0

);

4)0

4);

2)0

ormal de los residuos

uantiles


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iagnosis del modelo* +omocedasticidad

; 40 4; 20 2;

C4);

C4

)0

C0);

0)0

0);

4)0

4);

2)0

ia&rama de los residuos

(ndex

rstandard/mode4

40 42 4 4A 4= 20 22

C4);

C4

)0

C0);

0)0

0);

4)0

4);

2)0

mode4Litted

uos versus valores a+ustados

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iagnosis del modelo* independencia

; 40 4; 20 2;

C4);

C4)0

C0);

0)0

0);

4)0

4);

2)0

=esiduos contra el tiempo

(ndex

rstandard/mode4

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omparaciones entre medias

na ve' obtenidas dierencias si$niicativas entre lostratamientos, conviene estudiar por "u- se rec&a'a lai$ualdad entre medias, comparando todos los pares de

medias, por"ue puede ser "ue se rec&ace la i$ualdad demedias por"ue &aya un par de medias dierentes entre s+)

%e considera, entonces, los si$uientes contrastes

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iferencia significati"a mnima

9S: de 2iser %9east si!nificant difference'

Bajo la hiptesisnula

Diferenciasignificatia !"ni!a

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Mtodo de Bonferroni

En este criterio se rec&a'a5i= 5j /i 8 si

donde p es el n!mero de comparaciones "ue se puedenobtener

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istribucin de recorrido estudenti#ada

(ndependientes

se distribuye con una distribuci#n de recorridoestudenti'ado de parmetros ay m)

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Mtodo de &ucey

%e re"uiere "ue ni= n, i = 1, . . . , a)

%i esto no se cumple, entonces se toma n = mini;ni

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