Zastosowania Równania Bernoullego - zadania Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń 1 Zadanie 1 Przez zwężkę o średnicy D = 0,2 m, d = 0,05 m przepływa woda o temperaturze t = 50 C. Obliczyć jakie ciśnienie musi panować w przekroju 1-1, aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji, gdy strumień objętości wynosi Q = 0,08 m 3 /s. 1 1 2 2 Rozwiązanie: Aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji, ciśnienie musi być większe od ciśnienia nasycenia (p 2 > p V ). Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2: ଵ ∙ߩ+ ݒଵ ଶ 2∙ + ݖଵ = ଶ ∙ߩ+ ݒଶ ଶ 2∙ + ݖଶ Ponieważ z 1 = z 2 , a zrównania ciągłości wynika: ݒଶ ݒ=ଵ ∙൬ ܦ൰ ଶ Po podstawieniu otrzymamy: ଶ = ଵ − ݒ∙ߩଵ ଶ 2 ∙ ቈ൬ ܦ൰ ସ − 1 Jeśli się uwzględni, że: ଶ ≥ ݒଵ = 4∙ ܦ∙ߨଶ to: ଵ − 8∙∙ ଶ ߨଶ ܦ∙ସ ∙ ቈ൬ ܦ൰ ସ − 1 ≥ ଵ ≥ + 8∙∙ ଶ ߨଶ ܦ∙ସ ∙ ቈ൬ ܦ൰ ସ − 1 Po podstawieniu wartości: ଵ ≥ 8,3 ∙ 10 ହ
13
Embed
Zastosowania Równania Bernoullego - zadaniazasoby.open.agh.edu.pl/.../przeplyw-w-przewodach/PDF/ZRB_zadania.pdf · Zastosowania Równania Bernoullego - zadania Notatki w Internecie
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
1
Zadanie 1 Przez zwężkę o średnicy D = 0,2 m, d = 0,05 m przepływa woda o temperaturze t = 50 C. Obliczyć
jakie ciśnienie musi panować w przekroju 1-1, aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji,
gdy strumień objętości wynosi Q = 0,08 m3/s.
1
1
2
2 Rozwiązanie: Aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji, ciśnienie musi być większe od ciśnienia
nasycenia (p2 > pV). Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 + 푧 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 + 푧
Ponieważ z1 = z2, a zrównania ciągłości wynika:
푣 = 푣 ∙퐷푑
Po podstawieniu otrzymamy:
푝 = 푝 −휌 ∙ 푣2 ∙
퐷푑 − 1
Jeśli się uwzględni, że:
푝 ≥ 푝
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 퐷
to:
푝 −8 ∙ 푔 ∙ 푄휋 ∙ 퐷 ∙
퐷푑 − 1 ≥ 푝
푝 ≥ 푝 +8 ∙ 푔 ∙ 푄휋 ∙ 퐷 ∙
퐷푑 − 1
Po podstawieniu wartości:
푝 ≥ 8,3 ∙ 10 푃푎
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
2
Zadanie 2 Obliczyć średnicę d zwężki Venturiego niezbędną do zassania wody o gęstości ρ = 1000 kg/m3, z
naczynia na wysokość h = 0,8 m. Strumień objętości wody w rurociągu Q = 0,12 m3/s, średnica
rurociągu D = 0,2 m, nadciśnienie w rurociągu pn = 5 104 N/m2.
Rozwiązanie: Aby nastąpiło zassanie wody z naczynia, podciśnienie w zwężce musi wynosić:
푝 ≥ 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ
Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 przybiera postać:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
Podstawiając:
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 퐷
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 푑
푝 = 푝 + 푝
푝 = 푝 − 푝
Otrzymujemy:
푑 =8 ∙ 푄
휋 ∙ 푝 + 푝휌 ∙ 푔 + 8 ∙ 푄
2 ∙ 푔 ∙ 퐷
Po uwzględnieniu 푝 ≥ 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ
푑 ≤8 ∙ 푄
휋 ∙ 푔 푝휌 ∙ 푔 + ℎ + 8 ∙ 푄
2 ∙ 푔 ∙ 퐷
Dla danych wartości liczbowych:
푑 ≤ 154푚푚
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
3
Zadanie 3
Rurociągiem o średnicy D = 0,2 m przepływa powietrze o gęstości ρ = 1,2 kg/m3. W osi rurociągu
umieszczono rurkę Prandtla podłączoną do manometru hydrostatycznego wypełnionego alkoholem o
gęstości ρ =780 kg/m3. Wskazanie manometru h = 0,08 m. Obliczyć strumień objętości powietrza, jeśli
φ = vsr/ Vmax = 0,8.
∆h
D
Rozwiązanie:
푄 =휋 ∙ 푑4 푣
푣 = 휑 ∙ 푣
푣 =2 ∙ 푝휌 =
2 ∙ ∆ℎ ∙ (휌 − 휌 ) ∙ 푔휌
푄 =휋 ∙ 푑4 ∙ 휑 ∙
2 ∙ ∆ℎ ∙ (휌 − 휌 ) ∙ 푔휌
푄 =휋 ∙ 0,24 ∙ 0,8 ∙
2 ∙ 0,08 ∙ (780 − 1,2) ∙ 9,811,2 = 0,256
푚푠
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
4
Zadanie 4 Kanałem prostokątnym szerokości b i głębokości h przepływa woda. Rurka Pitota zanurzona do
połowy głębokości wskazuje spiętrzenie ∆h = 0,2 m. Obliczyć średnią prędkość przepływu w przekroju
kanału przyjmując, że profil prędkości opisany jest równaniem v=c·z0,5.
h
h/2
∆h
Rozwiązanie: Prędkość w połowie przekroju
푣 = 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ
Stałą c w równaniu:
푣 = 푐 ∙ √푧
푣 = 푣
푧 =ℎ2
stąd
푐 =푣ℎ2
Średnią prędkość przepływu obliczamy z zależności:
푣 =푄퐴 =
∫ 푣 ∙ 푏 ∙ 푑푧푏 ∙ ℎ =
∫ 푣ℎ/2
∙ √푧 ∙ 푏 ∙ 푑푧
푏 ∙ ℎ =
푣 ∙ 푏ℎ/2
∙ ∫ ∙ √푧 ∙ 푑푧
푏 ∙ ℎ =2√23 푣
푣 =2√23 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ =
2√23 2 ∙ 9,81 ∙ 0,2 = 1,87푚/푠
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
5
Zadanie 5 Przewodem o średnicy d = 0,05 m przepływa ciecz idealna o strumieniu Q = 0,01 m3/s. Na końcu
przewodu jest umieszczony dyfuzor o średnicy wylotowej D = 0,1 m, którym ciecz wypływa do
atmosfery. Obliczyć wysokość podciśnienia panującego w przekroju wlotowym dyfuzora.
Rozwiązanie: Równanie Bernoullego dla przekroju wlotowego i wylotowego dyfuzora ma postać:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
푝 − 푝휌 ∙ 푔 =
푣2 ∙ 푔 −
푣2 ∙ 푔
Po oznaczeniu wysokości podciśnienia 푝 − 푝휌 ∙ 푔 = ℎ
Uwzględniając, że:
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 푑
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 퐷
Otrzymujemy:
ℎ =8 ∙ 푄
휋 ∙ 푑 ∙ 푔 ∙ 1 −푑퐷 =
8 ∙ 푄0,01휋 ∙ 0,05 ∙ 9,81 ∙ 1 −
0,050,1 = 1,24푚
Zadanie 6
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
6
Rurociągiem, przedstawionym na rysunku stosunku średnic D/d = 2, przepływa powietrze. Obliczyć
stosunek wskazań manometrów ∆z1 / ∆z2 wypełnionych tą samą cieczą.
Rozwiązanie: Ponieważ płyn jest doskonały, więc na całym odcinku rurociągu o średnicy d występuje ciśnienie p1 i
prędkość v1, na odcinku o średnicy D natomiast odpowiednio p2 i v2. Z prawa naczyń połączonych dla
obu manometrów otrzymamy.
푝 + ∆푧 ∙ 휌 ∙ 푔 = 휌 ∙푣2 + 푝
푝 + ∆푧 ∙ 휌 ∙ 푔 = 휌 ∙푣2 + 푝
Z równania Bernoullego otrzymujemy:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
푝 − 푝 = 휌 ∙푣 −푣2
Po podstawieniu tego wyrażenia do równań wynikających z prawa naczyń połączonych, otrzymamy:
∆푧 =휌휌 ∙
푣2 ∙ 푔
∆푧 =휌휌 ∙
푣2 ∙ 푔
Zatem,
∆푧∆푧 =
푣푣
Z równania ciągłości:
푣푣 =
퐷푑
Po podstawieniu:
∆푧∆푧 =
퐷푑 = 16
Zadanie 7
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
7
Obliczyć prędkość v1 przepływu powietrza o gęstości ρ = 1,2 kg/m3 przez dyszę o średnicach d = 0,1
m, D = 0,2 m. Manometr różnicowy, wypełniony cieczą o gęstości ρm =780 kg/m3 wskazuje wychylenie
∆h = 0,3 m.
Rozwiązanie: Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 ma postać:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
Prawo naczyń połączonych dla punktów A i B, po pominięciu ciężaru słupa powietrza w stosunku do
słupa rtęci, wyrażone jest równaniem:
푝 = 푝 + 휌 ∙푣2 +∙ 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ
Z obu równań wynika, że:
푣 =2 ∙ 푔 ∙ ℎ ∙ 휌
휌 =2 ∙ 9,81 ∙ 0,3 ∙ 780
1,2 = 67,8푚/푠
Zadanie 8
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
8
Woda przepływa ze zbiornika A do zbiornika B za pomocą lewara. Obliczyć średnicę lewara d
niezbędną do uzyskania strumienia objętości Q=4·10-3 m3/s, dla różnicy poziomów ∆h = 3m. Obliczyć
także podciśnienie w kolanie lewara, gdy znajduje się ono na wysokości h = 2 m nad zwierciadłem
zbiornika A.
d
A B
pbv
Rozwiązanie: Napiszmy równanie Bernoullego przyjmując przekrój 1-1 na poziomie zwierciadła cieczy w zbiorniku A
oraz przekrój 2-2 na wylocie z lewara
푝휌 ∙ 푔 + 푧 + ∆ℎ =
푝 + 휌 ∙ 푔 ∙ 푧휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
푣 = 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ
푄 =휋 ∙ 푑4 ∙ 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ
푑 =4 ∙ 푄
휋 ∙ 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ=
4 ∙ 4 ∙ 10휋 ∙ √2 ∙ 9,81 ∙ 3
= 0,026푚
Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 3-3 przez punkt szczytowy lewara będzie miało postać: