Równania różniczkowe cząstkowe • liczba zmiennych > 2 , , , , 0 , , , , , , , , , , 2 2 2 y x u u x u u y u u x u u u u u u u u y x F y x u u xy xx y x yy xy xx y x • rząd równania: rząd najwyższej pochodnej 0 0 0 3 3 yyy x y xx y x u u u u u b u • charakterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe
Równania różniczkowe cząstkowe. liczba zmiennych > 2. rząd równania : rząd najwyższej pochodnej. chara kterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe. klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego. Mot ywacja dla takiej klasyfikacji. Najprostsze rozwiązania: - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Również dla bardziej skomplikowanych równań lokalne własności rozwiązanie zależą od
znaku wyrażenia B2-4AC.
eliptyczneCuyx
neparaboliczCux
znehiperbolicCuyx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;;
elipsaCyxC
uparabolaxC
uhiperbolayxC
u 22222
4;
2;
4
Xk
W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości
przybliżonych uh rozwiązania dokładnego u na zbiorze
izolowanych punktów Xk (k=1,2,...,Nh ) zwanym siatką.
Punkty Xk są nazywane węzłami siatki.
węzeł pomocniczy
węzeł podstawowy
x
y
hx
hyh=(hx,hy)
Parametr hcharakteryzujesiatkę h
Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi
na siatce prostokątnej
i-1 i i+1
k-1
k
k+1
24h
x
u6
h
x
u2
h
x
uh
xu
uu4i
ik4
43i
ik3
32i
ik2
2
iik
ikk,1i
24h
x
u6
h
x
u2
h
x
uh
xu
uu4i
ik4
43i
ik3
32i
ik2
2
iik
ikk,1i
hihk
21,1,
2,1,1
2
2
kk
kiki
ii
kiki
hOh
uu
y
u
hOh
uu
x
u
i-1 i i+1
k-1
k
k+1
hihk
24h
x
u6
h
x
u2
h
x
uh
xu
uu4i
ik4
43i
ik3
32i
ik2
2
iik
ikk,1i
24h
x
u6
h
x
u2
h
x
uh
xu
uu4i
ik4
43i
ik3
32i
ik2
2
iik
ikk,1i
2k2
k
1k,iik1k,i2
2
2i2
i
k,1iikk,1i2
2
hOh
uu2u
y
u
hOh
uu2u
x
u
i-1 i i+1
k-1
k
k+1
hihk
i
3k
k
3i
ki
1k,1i1k,1i1k,1i1k,1i2
hh
,hh
maxO
hh4
uuuu
yxu
Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta
i,k i-1,k i+1,k
h
Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy:
)x(uh
xxu
hxx
u 1iik
ik,1i
iikk,1i h1u
hu
i
Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna.
n
i,k i-1,k
i,k-1
hk
hi
k,isinh
uucos
h
uu
k
1k,iik
i
k,1iik
y,x
y,xuy,xdnu
y,xc
Równania eliptyczne
w przypadku dwuwymiarowym x=(x,y)
y,xfuy,xgyu
y,xbyx
uy,xa
x
Warunki brzegowe:
Przykład: równanie Poissona dla cząsteczki makromolekuły w rozpuszczalniku
rrr 04
Równanie Poissona przechodzi w równanie Poissona-Boltzmanna (nieliniowe) jeżeli w środowisku znajdują się jony
rrrrr
rrvRTqvRTq enqenq
//
04
=80
=4
V
n
iiisolv dVqE rrr
1
Na podstawie obliczonego potencjału elektrostatycznego można obliczyć wkład elektrostatyczny do energii swobodnej solwatacji makromolekuły
Przykład: mapy potencjału elektrostatycznego kinazy zależnej od cAMP (1YDR); po lewej powierzchnie izopotencjalne, po prawej mapa potencjału na powierzchni molekularnej.
parameter(n=9) double precision a(n,n),b(n,n),f(n,n),h do i=1,n do j=1,n f(i, j)=0 a(i, j)=0 b(i, j)=a(i, j) enddo enddo h=1.0/n f(5,5)=-1.0/h**2
diff=1 k=0 DO WHILE(diff.gt.0.0001) call pisz(a,n,k) DO j=2, n-1 DO i=2, n-1 B(i, j)=0.25*(A(i-1, j)+A(i+1, j)+A(i, j-1)+A(i, j+1)-H*H*F(I,J)) END DO END DO diff=0 DO j=1, n DO i=1, n diff=diff+(B(i, j)-A(i, j))**2 A(i, j) = B(i, j) END DO END DO k=k+1 write(*,*) k,diff END DO end
Jak przyspieszyć zbieżność ?
• Jacobi : nowe wartości wykorzystane dopiero w następnej iteracji
*ij = (i+1,j + i-1,j + i,j+1 + i,j-1)/4
• Gauss-Seidel : nowe wartości wpisywane bezpośrednio do macierzy A