-
1
Zadatak 241 (DJ, medicinska škola)
Ako je obujam tijela potpuno uronjenog u vodu V = 0.5 m3, uzgon
na tijelo je:
. 5 . 49 . 500 . 981A kN B N C N D N
(gustoća vode ρ = 1000 kg/m3, ubrzanje slobodnog pada g = 9.81
m/s2)
Rješenje 241
V = 0.5 m3, ρ = 1000 kg/m3, g = 10 m/s2, Fuz = ?
Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na tijelo uronjeno u
tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego odozgo, tj. na
tijelo djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema površini
tekućine, a iznos te sile jednak je težini tekućine koju je tijelo
istisnulo svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
Računamo uzgon.
31000 10 0.5 5000 5 .
3 2
kg mF g V m N kNuz
m s
ρ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
Odgovor je pod A.
Vježba 241
Ako je obujam tijela potpuno uronjenog u vodu V = 500 dm3, uzgon
na tijelo je:
. 5 . 49 . 500 . 981A kN B N C N D N
(gustoća vode ρ = 1000 kg/m3, ubrzanje slobodnog pada g = 9.81
m/s2)
Rezultat: A.
Zadatak 242 (Kristijan, maturant)
Sferni balon, čiju masu možemo zanemariti prema masi zraka u
njemu, polumjera r = 10 m, ispunjen je zrakom čija je gustoća za
1/4 manja od okolnog zraka gustoće 1.2 kg/m3. Obujam kugle je
4 3.
3V r π= ⋅ ⋅ Koliko iznosi masa tereta koju može podići
balon?
Rješenje 242
r = 10 m, ρ = 1.2 kg/m3, 1 1
1.2 1.2 0.9 ,1 3 3 34 4
kg kg kg
m m m
ρ ρ ρ= − ⋅ = − ⋅ = m = ?
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže. Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na
tijelo uronjeno u tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego
odozgo, tj. na tijelo djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema
površini tekućine, a iznos te sile jednak je težini tekućine koju
je tijelo istisnulo svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov
zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
-
2
Obujam kugle
Obujam (volumen) kugle polumjera r iznosi:
3.
4
3V r π= ⋅ ⋅
Sila uzgona Fuz po iznosu mora biti jednaka zbroju težine zraka
G1 u balonu i težine tereta G koji balon
podiže.
1 1/ :
1F G G g V m g m g g V m g m guz gρ ρ= + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅
+ ⋅ ⇒
1 1 1 1V m m m m V m V m m V Vρ ρ ρ ρ ρ⇒ ⋅ = + ⇒ + = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒
= ⋅ − ⋅ ⇒
( ) ( ) ( )4 4 33 10 1.2 0.9 1257 .1 1 3 33 3kg kg
m V m r m kg
m m
ρ ρ π ρ ρ π⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − =
GGGG
GGGG1111
FFFFuzuzuzuz
Vježba 242
Sferni balon, čiju masu možemo zanemariti prema masi zraka u
njemu, polumjera r = 100 dm, ispunjen je zrakom čija je gustoća za
0.25 manja od okolnog zraka gustoće 1.2 kg/m3. Obujam kugle je
4 3.
3V r π= ⋅ ⋅ Koliko iznosi masa tereta koju može podići
balon?
Rezultat: 1257 kg.
Zadatak 243 (Kristijan, maturant)
Sferni balon, čiju masu možemo zanemariti prema masi zraka u
njemu, polumjera r = 10 m, ispunjen je zrakom čija je gustoća
jednaka1/4 gustoće okolnog zraka koja iznosi 1.2 kg/m3. Obujam
kugle je 4 3
.3
V r π= ⋅ ⋅ Koliko iznosi masa tereta koju može podići balon?
Rješenje 243
r = 10 m, ρ = 1.2 kg/m3, 1 1
1.2 0.3 ,1 3 34 4
kg kg
m m
ρ ρ= ⋅ = ⋅ = m = ?
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže.
-
3
Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na tijelo uronjeno u
tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego odozgo, tj. na
tijelo djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema površini
tekućine, a iznos te sile jednak je težini tekućine koju je tijelo
istisnulo svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
Obujam kugle
Obujam (volumen) kugle polumjera r iznosi:
3.
4
3V r π= ⋅ ⋅
Sila uzgona Fuz po iznosu mora biti jednaka zbroju težine zraka
G1 u balonu i težine tereta G koji balon
podiže.
1 1/ :
1F G G g V m g m g g V m g m guz gρ ρ= + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅
+ ⋅ ⇒
1 1 1 1V m m m m V m V m m V Vρ ρ ρ ρ ρ⇒ ⋅ = + ⇒ + = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒
= ⋅ − ⋅ ⇒
( ) ( ) ( )4 4 33 10 1.2 0.3 3770 .1 1 3 33 3kg kg
m V m r m kg
m m
ρ ρ π ρ ρ π⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − =
Vježba 243
Sferni balon, čiju masu možemo zanemariti prema masi zraka u
njemu, polumjera r = 100 dm, ispunjen je zrakom čija je gustoća
jednaka1/4 gustoće okolnog zraka koja iznosi 1.2 kg/m3. Obujam
kugle je 4 3
.3
V r π= ⋅ ⋅ Koliko iznosi masa tereta koju može podići balon?
Rezultat: 3770 kg.
Zadatak 244 (Kristijan, maturant)
U posudu, koja je do ruba napunjena vodom, spustimo dvije kocke
jednakih obujama
V1 = V2 = 100 cm3. Prva je načinjena od tvari gustoće 2.0 g/cm3,
a druga od tvari gustoće 0.5 g/cm3.
Gustoća vode iznosi 1.0 g/cm3. Koliko će se vode preliti preko
ruba posude?
Rješenje 244
V1 = V2 = 100 cm3 = 10
-4 m
3, ρ1 = 2.0 g/cm
3 = 2000 kg/m
3, ρ2 = 0.5 g/cm
3 = 500 kg/m
3,
ρ = 1.0 g/cm3 = 1000 kg/m3, ∆V = ?
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera (kvocijenta) mase
tijela i njegova obujma (volumena):
.m m
VV
ρρ
= ⇒ =
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže. Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na
tijelo uronjeno u tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego
odozgo, tj. na tijelo djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema
površini tekućine, a iznos te sile jednak je težini tekućine koju
je tijelo istisnulo svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov
zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
-
4
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
• Usporedit ćemo težinu G1 prve kocke i silu uzgona Fuz1 na
nju.
2000 , 10001 1 1 1 1 1 3 3
.1 1
11
1 1 1
kg kgG m g G V g
G Fm m uzF g V F g Vuz uz
ρ ρ ρ
ρ ρρ ρ
= ⋅ = ⋅ ⋅ = =⇒ ⇒ ⇒ >
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅>
Budući da je težina kocke veća od sile uzgona, kocka će potonuti
pa istisnuta količina vode ima obujam
3100 .
1V cm=
• Usporedit ćemo težinu G2 druge kocke i silu uzgona Fuz2 na
nju.
500 , 10002 2 2 2 2 2 3 3
.2 2
22 2 2 2
kg kgG m g G V g
G Fm m uzF g V F g Vuz uz ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
= ⋅ = ⋅ ⋅ = =⇒ ⇒ ⇒ <
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅<
Budući da je težina kocke manja od sile uzgona, kocka će plivati
na površini vode pa moramo izračunati dio obujma V kocke uronjene u
vodu. Kocka pliva jer je sila uzgona Fuz2 po iznosu jednaka težini
G2 kocke.
2 2 2 2 2 2
1/
2F G g V m g g V V g g V V guz g
ρ ρ ρ ρρ
ρ= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅
= ⇒
4 3500 10
3 5 3 32 2 5 10 50 .
10003
kgm
VmV m cm
kg
m
ρ
ρ
−⋅
⋅ −⇒ = = = ⋅ =
Druga je kocka samo polovicom obujma uronjena u vodu pa
istisnuta količina vode ima obujam 3
50 .V cm=
Obujam vode koja se prelila preko ruba posude iznosi:
3 3 3100 50 150 .
1V V V cm cm cm∆ = + = + =
VVVV
VVVV2222
VVVV1111
Vježba 244
U posudu, koja je do ruba napunjena vodom, spustimo dvije kocke
jednakih obujama
V1 = V2 = 0.1 dm3. Prva je načinjena od tvari gustoće 2.0 g/cm3,
a druga od tvari gustoće 0.5 g/cm3.
Gustoća vode iznosi 1.0 g/cm3. Koliko će se vode preliti preko
ruba posude?
Rezultat: 150 cm3.
-
5
Zadatak 245 (Kristijan, maturant)
Kamen mase m = 367 g potpuno potopljen u vodi ima prividnu
težinu 2.35 N. Kolika je
gustoća kamena? (gustoća vode je ρv = 1000 kg/m3, ubrzanje
slobodnog pada je g = 9.81 m/s
2)
Rješenje 245
m = 367 g = 0.367 kg, G1 = 2.35 N, ρv = 1000 kg/m3, g = 9.81
m/s
2, ρ = ?
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera (kvocijenta) mase
tijela i njegova obujma (volumena):
.m m
VV
ρρ
= ⇒ =
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže. Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na
tijelo uronjeno u tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego
odozgo, tj. na tijelo djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema
površini tekućine, a iznos te sile jednak je težini tekućine koju
je tijelo istisnulo svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov
zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
Prividna težina G1 kamena u vodi jednaka je razlici njegove
težine G u zraku i sile uzgona Fuz pa
vrijedi:
1 1 1 1
mG G F F G G g V m g G g m g Guz uz v vρ ρ
ρ= − ⇒ = − ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒
11
/
1m g
g mm vg m g GvG m g G
ρρ ρ
ρ
ρ ⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅
⋅⋅ − ⇒ =
⋅ −−=
1000 9.81 0.3673 2
2879.6 .3
0.367 9.81 2.352
kg mkg
kgm s
m mkg N
s
⋅ ⋅
= =
⋅ −
GGGG1111
GGGG
FFFFuzuzuzuz
-
6
Vježba 245
Kamen mase m = 36.7 dag potpuno potopljen u vodi ima prividnu
težinu 2.35 N. Kolika je
gustoća kamena? (gustoća vode je ρv = 1000 kg/m3, ubrzanje
slobodnog pada je g = 9.81 m/s
2)
Rezultat: 2879.6 kg/m3.
Zadatak 246 (Kristijan, maturant)
U komad parafina mase m1 = 170 g, umetnut je komad aluminija.
Kolika je masa aluminija
ako takvo tijelo lebdi u vodi? (gustoća vode je ρ = 1000 kg/m3,
gustoća parafina je ρ1 = 900 kg/m3, a
gustoća aluminija ρ2 = 2700 kg/m3)
Rješenje 246
m1 = 170 g = 0.17 kg, ρ = 1000 kg/m3, ρ1 = 900 kg/m
3, ρ2 = 2700 kg/m
3, m2 = ?
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera (kvocijenta) mase
tijela i njegova obujma (volumena):
.m m
VV
ρρ
= ⇒ =
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže. Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na
tijelo uronjeno u tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego
odozgo, tj. na tijelo djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema
površini tekućine, a iznos te sile jednak je težini tekućine koju
je tijelo istisnulo svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov
zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
Neka je V1 obujam dijela tijela od parafina, a V2 obujam dijela
tijela od aluminija. Budući da složeno tijelo od parafina i
aluminija lebdi u vodi, uzgon vode Fuz na njega jednak je po iznosu
zbroju težina
dijela tijela G1 od parafina i dijela tijela G2 od
aluminija.
( ) ( )1 2 1 2 1 2 /1 :2 1 2F G G g V V m g m g g gV V m g m guz
ρ ρ= + ⇒ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⇒
( ) 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2
m m m mV V m m m m m mρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ⇒ ⋅ + = + ⇒ ⋅ + = + ⇒ ⋅ + ⋅ = + ⇒
2 1 1 12 1 2 1
2 1 2 1
m mm m m m
ρ ρρ ρ
ρ ρ ρ ρ⇒ ⋅ − = − ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ − ⇒
1
11 12 1 2 1
2 1 1
1/
1
22
m m m m
ρ
ρρ ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ⋅
−
⇒ ⋅ − = ⋅ − ⇒ = ⋅ =
−−
-
7
10003
1
9003
0.17 0.03 .
10003
1
2 7003
kg
mkg
mkg kgkg
mkg
m
−
= ⋅ =
−
Vježba 246
U komad parafina mase m1 = 17 dag, umetnut je komad aluminija.
Kolika je masa aluminija
ako takvo tijelo lebdi u vodi? (gustoća vode je ρ = 1000 kg/m3,
gustoća parafina je ρ1 = 900 kg/m3, a
gustoća aluminija ρ2 = 2700 kg/m3)
Rezultat: 0.03 kg.
Zadatak 247 (Matrix, gimnazija)
Dva tijela jednakih volumena, a različitih masa potopljena su u
vodi. Prvo ima masu 1 kg i tone okomito prema dolje akceleracijom 3
m/s
2. Drugo tijelo, čija je masa manja za ∆m od mase prvog
tijela, penje se okomito uvis jednakom akceleracijom 3 m/s2. Za
koliko se razlikuju mase tijela?
Trenje zanemarite. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)
Rješenje 247
m1 = 1 kg, a1 = a2 = a = 3 m/s2, m2 = m1 – ∆m, g = 9.81 m/s
2, ∆m = ?
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže. Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na
tijelo uronjeno u tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego
odozgo, tj. na tijelo djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema
površini tekućine, a iznos te sile jednak je težini tekućine koju
je tijelo istisnulo svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov
zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u
smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je
proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima
isti smjer kao i
sila.
.F
a F m am
= ⇒ = ⋅
Budući da prvo tijelo tone akceleracijom a, njegova težina G1
veća je od sile uzgona Fuz pa je rezultantna sila F1 jednaka
razlici sila G1 i Fuz.
.1 1 1 1
F G F m a m g Fuz uz= − ⇒ ⋅ = ⋅ −
Uočimo da na oba tijela u vodi djeluje jednaka sila uzgona jer
imaju jednake volumene (drugo tijelo ima manju gustoću).
Budući da se drugo tijelo penje uvis akceleracijom a, sila
uzgona Fuz veća je od njegove težine G2 pa je rezultantna sila F2
jednaka razlici sila Fuz i G2.
-
8
( ) ( )2 2 2 2 1 1F F G m a F m g m m a F m m guz uz uz= − ⇒ ⋅ =
− ⋅ ⇒ −∆ ⋅ = − −∆ ⋅ ⇒
.1 1
m a m a F m g m guz⇒ ⋅ − ∆ ⋅ = − ⋅ + ∆ ⋅
Iz sustava jednadžbi izračunamo ∆m.
zbrojimo
jedn
1 1
1 1adžbe
m a m g Fuz
m a m a F m g m guz
⋅ = ⋅ − ⇒ ⇒ ⋅ −∆ ⋅ = − ⋅ + ∆ ⋅
1 1 1 1m a m a m a m g F F m g m guz uz⇒ ⋅ + ⋅ −∆ ⋅ = ⋅ − + − ⋅
+ ∆ ⋅ ⇒
1 11 1 1 1m g F F mm a m a m a m g m a m a m ag gz muz u⇒ ⋅ + ⋅
−∆ ⋅ = + ∆ ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ −∆ ⋅ = ∆⋅ + − ⋅ ⋅− ⇒
( ) ( )2 21 1 1 1m a m a m g m a m a m g a m g a m a⇒ ⋅ + ⋅ = ∆
⋅ + ∆ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ∆ ⋅ + ⇒ ∆ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒
( )2 1 3
2212 0.468 468 .
19.81 3
2 2
1/
mkg
m asm g a m a m kg g
m mg a
s s
g a
⋅ ⋅⋅ ⋅
⇒ ∆ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒ ∆ =⋅ =+
= =+ +
mmmm2222mmmm1111
GGGG2222
GGGG1111
FFFF2222
FFFF1111
FFFFuzuzuzuz FFFFuzuzuzuz
Vježba 247
Dva tijela jednakih volumena, a različitih masa potopljena su u
vodi. Prvo ima masu 1 kg i tone okomito prema dolje akceleracijom 4
m/s
2. Drugo tijelo, čija je masa manja za ∆m od mase prvog
tijela, penje se okomito uvis jednakom akceleracijom 4 m/s2. Za
koliko se razlikuju mase tijela?
Trenje zanemarite. (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)
Rezultat: 579 g.
Zadatak 248 (Jakob, strukovna škola)
U spremniku nalazi se tekućina. Kada se na stijenci probuši rupa
tekućina počinje istjecati brzinom 4.2 m/s. Na kojoj udaljenosti od
prve rupe treba izbušiti rupu iz koje bi tekućina počela istjecati
tri puta manjom brzinom? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s
2)
Rješenje 248
v1 = 4.2 m/s, 1
,2 13
v v= ⋅ g = 9.81 m/s2, ∆h = ?
Ako idealna tekućina istječe iz posude kroz otvor koji se nalazi
za visinu h ispod najviše razine tekućine, brzina istjecanja
iznosi
22
22
.v
v g h hg h
= ⋅ ⋅ ⇒ =⋅ ⋅
Udaljenost na kojoj od prve rupe treba izbušiti drugu rupu
iznosi:
-
9
( )2 2 2
1 1 12 2 21 21 2 1 2 1 12 2 2 2 3
v vh h h h h v v h v v
g g g g∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ = ⋅ − ⇒ ∆ = ⋅ − ⋅ ⇒
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 2 21 1 1 82 2 1 1 11
1 12 9 2 9 9 2
8
29
v v vh v v h h h
g g g g⇒ ∆ = ⋅ − ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ − ⇒ ∆ = ⋅ ⇒ ∆ = ⋅ ⇒
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
2 4.24 41 0.799 799 .9 9
9.812
m
v sh m mm
mg
s
⇒ ∆ = ⋅ = ⋅ = =
v2
v1
∆h
h2
h1
Vježba 248
U spremniku nalazi se tekućina. Kada se na stijenci probuši rupa
tekućina počinje istjecati brzinom 42 dm/s. Na kojoj udaljenosti od
prve rupe treba izbušiti rupu iz koje bi tekućina počela istjecati
tri puta manjom brzinom? (ubrzanje slobodnog pada g = 9.81
m/s2)
Rezultat: 799 mm.
Zadatak 249 (Ružica, strukovna škola)
Izračunaj gustoću morske vode ako je dvije trećine čovjekova
tijela uronjeno u more dok pluta. Prosječna gustoća čovjekova
tijela je 980 kg/m3.
Rješenje 249
ρ = 980 kg/m3, ρv = ?
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovu poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže. Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera
(kvocijenta) mase tijela i njegova obujma:
.m
m VV
ρ ρ= ⇒ = ⋅
Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na tijelo uronjeno u
tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego odozgo, tj. na
tijelo djeluje uzgon. Za uzgon vrijedi Arhimedov zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
-
10
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
Dok čovjek pliva u moru uzgon djeluje na dio tijela koji je u
vodi. To su dvije trećine njegova obujma. Kada je uzgon izjednačen
sa silom težom, čovjek pliva:
.F Guz =
1111
3333 ⋅⋅⋅⋅ V V V V
2222
3333 ⋅⋅⋅⋅ V V V V
FFFFuzuzuzuz
GGGG
A
Budući da uzgon djeluje samo na uronjeni dio ljudskog tijela
(dvije trećine čovjekova tijela), slijedi:
[ ]2
3F G g V m guz m Vv ρρ= ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =⋅ ⋅= ⇒
2 2
3 3
3/
2g V V g g V V gv v
g Vρ ρ ρ ρ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
⋅⋅
⋅⋅ ⇒
3 3980 1470 .
3 32 2
kg kgv
m m
ρ ρ⇒ = ⋅ = ⋅ =
Vježba 249
Izračunaj gustoću morske vode ako jedna trećina čovjekova tijela
viri iznad razine mora dok pluta. Prosječna gustoća čovjekova
tijela je 980 kg/m3.
Rezultat: 1470 kg/m3.
Zadatak 250 (Alex, fakultet)
Tijelo pliva na površini vode tako da mu je 1/4 volumena iznad
površine. Kolika je gustoća tijela? Gustoća vode je 1000 kg/m3.
Rješenje 250
V – volumen tijela, 1
1 4V V= ⋅ – volumen iznad vode,
3
2 4V V= ⋅ – volumen u vodi
ρv = 1000 kg/m3, ρ = ?
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovu poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže. Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera
(kvocijenta) mase tijela i njegova obujma:
.m
m VV
ρ ρ= ⇒ = ⋅
-
11
Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na tijelo uronjeno u
tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego odozgo, tj. na
tijelo djeluje uzgon. Za uzgon vrijedi Arhimedov zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
Dok tijelo pliva na vodi uzgon djeluje na dio tijela koji je u
vodi. To su tri četvrtine njegova obujma, V2. Kada je uzgon
izjednačen sa silom težom, tijelo pliva:
.F Guz =
Budući da uzgon djeluje samo na uronjeni dio tijela (V2, tri
četvrtine volumena), slijedi:
[ ]3
2 4F G g V m g g V m guz v v m Vρ ρρ= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = =⇒ ⋅⋅
⇒
3 1/
3
4 4g V V g g V V gv v
V gρ ρ ρ ρ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ =
⋅⋅ ⇒
3 31000 750 .
3 34 4
kg kgv
m m
ρ ρ⇒ = ⋅ = ⋅ =
Vježba 250
Tijelo pliva na površini vode tako da su mu 3/4 volumena ispod
površine. Kolika je gustoća tijela? Gustoća vode je 1000 kg/m3.
Rezultat: 750 kg/m3.
Zadatak 251 (Darija, gimnazija)
Kroz cijev duljine 100 m teče voda brzinom 1 m/s. Pri zatvaranju
ispusnog ventila tlak se poveća za 2 · 105 Pa. Koliko je trajalo
zatvaranje ventila? (gustoća vode ρ = 1000 kg/m3)
Rješenje 251
l = 100 m, v = 1 m/s, �p = 2 · 105 Pa, ρ = 1000 kg/m3, �t =
?
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera (kvocijenta) mase
tijela i njegova obujma:
.m
m VV
ρ ρ= ⇒ = ⋅
Ako je početna brzina nula, za tijelo mase m na koje je za
vrijeme t djelovala sila F vrijedi:
,F t m v⋅ = ⋅
gdje je v brzina na kraju vremenskog intervala t za koji je sila
djelovala. Umnožak
I F t= ⋅ zovemo impulsom sile F, a umnožak
p m v= ⋅
količinom gibanja mase m. Tlak je omjer sile F što jednoliko
raspoređena djeluje okomito na neku površinu S i te površine:
.F
p F p SS
= ⇒ = ⋅
Obujam valjka s ploštinom osnovke (baze) S i visinom h
iznosi:
.V S h= ⋅ Neka je �t vrijeme potrebno da se zatvori ispusni
ventil. Tada količina gibanja vode pada od m · v do nule pa na vodu
djeluje impuls sile
,F t m v⋅ ∆ = ⋅
a tlak se poveća za
.F
p F p SS
∆ = ⇒ = ∆ ⋅
-
12
Masa vode je
.m V m S lρ ρ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
Računamo vrijeme �t.
1/
F p Sp S t m v
F t m v p S t S l v p S t S l vm S l S
mp
S l
ρ ρρ
ρ
= ∆ ⋅∆ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅
⋅ ∆ = ⋅ ⇒ ⇒ ∆ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ∆ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅∆ ⋅
1000 100 13
0.5 .5
2 10
kg mm
sl v mt sp Pa
ρ⋅ ⋅
⋅ ⋅⇒ ∆ = = =
∆ ⋅
Vježba 251
Kroz cijev duljine 100 m teče voda brzinom 2 m/s. Pri zatvaranju
ispusnog ventila tlak se poveća za 4 · 105 Pa. Koliko je trajalo
zatvaranje ventila? (gustoća vode ρ = 1000 kg/m3)
Rezultat: 0.5 s.
Zadatak 252 (Miro, gimnazija)
Čelični valjak, visine 20 cm i gustoće 7800 kg/m3, uronjen je
okomito u živu. Ispod njega učvršćen je valjak od platine gustoće
21120 kg/m3. Oba valjka imaju jednaku osnovku. Sustav dvaju valjaka
pliva u okomitom položaju tako da gornja osnovka čeličnog valjka
viri 3 cm iznad površine žive. Kolika je visina valjka od platine?
(gustoća žive ρ = 13600 kg/m3
Rješenje 252
h = 20 cm = 0.20 m, ρ1 = 7800 kg/m3, ρ2 = 21120 kg/m
3, S1 = S2 = S,
d = 3 cm = 0.03 m, ρ = 13600 kg/m3, v = ?
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera (kvocijenta) mase
tijela i njegova obujma:
.m
m VV
ρ ρ= ⇒ = ⋅
Obujam valjka s ploštinom osnovke (baze) S i visinom h
iznosi:
.V S h= ⋅
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže. Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na
tijelo uronjeno u tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego
odozgo, tj. na tijelo djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema
površini tekućine, a iznos te sile jednak je težini tekućine koju
je tijelo istisnulo svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov
zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
Težine su:
• čeličnog valjka .
1 1 1 1 1 1 1G m g G V g G S h gρ ρ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅
• platinastog valjka
.2 2 2 2 2 2 2
G m g G V g G S v gρ ρ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅
-
13
Volumen sustava dvaju valjaka koji je uronjen u živu iznosi:
( ) .V S v h d= ⋅ + −
živa, Hg
Pt
Fe
G1 + G2
Fuz
h - d
d
v
h
Budući da sustav dvaju valjaka pliva u živi, težina obaju
valjaka jednaka je sili uzgona žive (težini istisnute žive).
( )1 2 1
1
2 22
1G S h g
G SG G F G G g Vuz v g
V S v h d
ρ
ρρ
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
+ = ⇒ + = ⋅ ⋅
+ −
⇒ ⇒
( )1 2S h g S v g g S v h dρ ρ ρ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + −
⇒
( )21
1/S h g S v g
S gg S v h dρ ρ ρ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅⋅ ⋅
⋅⋅ ⇒
( ) ( )1 2 1 2h v v h d h v v h dρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⇒
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⇒
( ) ( ) ( )2 1 2 1v v h d h v h d hρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ −
− ⋅ ⇒ ⋅ − = ⋅ − − ⋅ ⇒
( ) ( )( )
1/
2
1 12
2
h d hv h d h v
ρ
ρ ρρ ρ ρ ρ
ρ ρρ
⋅ − − ⋅⇒ ⋅ − = ⋅ − − ⋅ ⇒ =⋅
−−=
( )13600 0.20 0.03 7800 0.203 3
0.1 10 .
21120 136003 3
kg kgm m m
m m m cmkg kg
m m
⋅ − − ⋅
= = =
−
Vježba 252
Čelični valjak, visine 2 dm i gustoće 7800 kg/m3, uronjen je
okomito u živu. Ispod njega učvršćen je valjak od platine gustoće
21120 kg/m3. Oba valjka imaju jednaku osnovku. Sustav dvaju valjaka
pliva u okomitom položaju tako da gornja osnovka čeličnog valjka
viri 30 mm iznad površine žive. Kolika je visina valjka od platine?
(gustoća žive ρ = 13600 kg/m3)
Rezultat: 10 cm.
-
14
Zadatak 253 (Lusy, gimnazija)
Dvije cijevi promjera d1 = 2 cm i d2 = 4 cm kroz koje teče voda
brzinama v1 = 3 m/s i v2 = 2 m/s spajaju se u jednu cijev promjera
d = 5 cm. Kolika je brzina vode u toj cijevi?
Rješenje 253
d1 = 2 cm = 0.02 m, d2 = 4 cm = 0.04 m, v1 = 3 m/s, v2 = 2
m/s,
d = 5 cm = 0.05 m, v = ?
Površina kruga promjera d računa se po formuli:
4.
2d
Sπ⋅
=
Količinu tekućine I koja prođe u jedinici vremena s nekim
presjekom cijevi površine S zovemo jakost struje. Ona iznosi:
,I S v= ⋅
gdje je v brzina protjecanja.
Budući da se dvije cijevi spajaju u jednu cijev, vrijedi:
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1
1/
2 2I I I I I I S v S v S v S v S v
Sv S+ = ⇒ = + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅+ ⋅ ⇒
( )2 2
2 21 21 2 1 1 2 21 1 2 2 4 4 4
2 2
44
d dv v d v d vS v S v
v v vS d d
π π π
ππ
⋅ ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅
( )2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 222
4
4
d v d v d v d vv v
dd
π
π
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⇒ = ⇒ = =
⋅
( ) ( )
( )
2 20.02 3 0.04 2
1.76 .2
0.05
m mm m
ms s
sm
⋅ + ⋅
= =
Vježba 253
Dvije cijevi promjera d1 = 20 mm i d2 = 0.4 dm kroz koje teče
voda brzinama v1 = 3 m/s i v2 = 2 m/s spajaju se u jednu cijev
promjera d = 50 mm. Kolika je brzina vode u toj cijevi?
Rezultat: 1.76 m/s.
Zadatak 254 (Ivva, medicinska škola)
Za koliko se vremena napuni posuda volumena 0.72 m3 ako se puni
vodom kroz cijev površine
poprečnog presjeka 1 cm2, a voda izlazi iz cijevi brzinom 2
m/s?
Rješenje 254
V = 0.72 m3, S = 1 cm2 = 1 · 10-4 m2, v = 2 m/s, t = ?
Količinu tekućine I koja prođe u jedinici vremena s nekim
presjekom cijevi površine S zovemo jakost struje. Ona iznosi:
, ,V
I S v It
= ⋅ =
gdje je v brzina protjecanja, V obujam tekućine koja prođe u
vremenu t presjekom cijevi.
30.72
3600 1 .4 2
1
/
10 2
V V V mS v S v t s h
mt t S vm
s
t
S v⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒⋅ = = =
⋅=
−⋅ ⋅ ⋅
-
15
Vježba 254
Za koliko se vremena napuni posuda volumena 1.44 m3 ako se puni
vodom kroz cijev površine
poprečnog presjeka 1 cm2, a voda izlazi iz cijevi brzinom 4
m/s?
Rezultat: 1 h.
Zadatak 255 (Ivva, medicinska škola)
Infuzija sadrži otopinu glukoze gustoće 1.2 · 103 kg/m3. Ako je
tlak u veni čovjeka 1.33 · 104 Pa iznad atmosferskog, kolika mora
biti najmanja visina h na kojoj držimo infuziju da otopina ulazi u
venu? Pretpostavite da čovjek leži na krevetu visine 80 cm.
(ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s
2)
Rješenje 255
ρ = 1.2 · 103 kg/m3, p = 1.33 · 104 Pa, h1 = 80 cm = 0.8 m, g =
9.81 m/s2, h = ?
Hidrostatski tlak u tekućini nastaje zbog njezine težine.
Djeluje na sve strane jednako, a ovisi o visini stupca h tekućine
iznad mjesta na kojemu mjerimo tlak i o gustoći tekućine ρ,
.p g hρ= ⋅ ⋅
Tlak p povećava se linearno s dubinom tekućine, a ovisi još o
gustoći tekućine ρ. Jednak je na svim mjestima na istoj dubini i
djeluje jednako u svim smjerovima.
Najprije odredimo visinu h2 na kojoj se infuzija nalazi iznad
kreveta.
.2 2
1/
2
pp g h p g h
ggh
ρρ ρ
ρ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅⋅
Najmanja visina h na kojoj moramo držati infuziju iznad zemlje
da otopina ulazi u venu iznosi:
41.33 10
0.8 1.93 .1 2 1 3
1.2 10 9.813 2
p Pah h h h h m m
kg mg
m s
ρ
⋅= + ⇒ = + = + =
⋅⋅ ⋅
h
Vježba 255
Infuzija sadrži otopinu glukoze gustoće 1.2 · 103 kg/m3. Ako je
tlak u veni čovjeka 1.33 · 104 Pa iznad atmosferskog, kolika mora
biti najmanja visina h na kojoj držimo infuziju da otopina ulazi u
venu? Pretpostavite da čovjek leži na krevetu visine 70 cm.
(ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s
2)
Rezultat: 1.83 m.
-
16
Zadatak 256 (Leon, srednja škola)
U posudu utječe mlaz vode od 150 cm3/s. U dnu posude nalazi se
otvor presjeka 0.5 cm2. Na
kojoj će se razini održati voda u posudi? Uzmite u obzir
koeficijent kontrakcije mlaza vode 2
.3
ξ =
(ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)
Rješenje 256
I = 150 cm3/s = 1.5 · 10-4 m3/s, S = 0.5 cm2 = 5 · 10-5 m2, g =
9.81 m/s2,
2,
3ξ =
h = ?
Ako idealna tekućina istječe iz posude kroz otvor koji se nalazi
za visinu h ispod najviše razine tekućine, brzina istjecanja
iznosi
.2
2 2v g h v g h= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
Količinu tekućine I koja prođe u jedinici vremena s nekim
presjekom cijevi površine S zovemo jakost struje. Ona iznosi:
,I S v= ⋅
gdje je v brzina protjecanja.
Da bi razina vode h bila stalna količina vode koja istječe mora
biti jednaka količini vode koja utječe u posudu. Zbog kontrakcije
mlaza vode brzina istjecanja na dnu smanjit će se za ξ. Stoga
vrijedi:
2 2 32 2 2
3 3
3/
22
IS v I S g h I S g h I g h
SSξ
⋅⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒
⋅
2 23 3 3
2 2 22 2
12/ /
22 g
I I Ig h g h g h
S S S
⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒
⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅
23
42 3 1.5 10
1 3 11.03 .
5 22 2 2 5 102 9.812
m
I sh mmg S m
s
−⋅ ⋅
⋅⇒ = ⋅ = ⋅ =
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
h
Vježba 256
U posudu utječe mlaz vode od 300 cm3/s. U dnu posude nalazi se
otvor presjeka 1 cm2. Na
kojoj će se razini održati voda u posudi? Uzmite u obzir
koeficijent kontrakcije mlaza vode 2
.3
ξ =
(ubrzanje slobodnog pada g = 9.81 m/s2)
Rezultat: 1.03 m.
-
17
Zadatak 257 (Josip, gimnazija)
Kroz cijev promjera 10 cm struji voda brzinom 2.5 m/s. Odredi
promjer cijevi koju treba
dodati da bi u njoj brzina strujanja bila 1 m/s. (Zanemarite
otpor.)
Rješenje 257
d1 = 10 cm = 0.1 m, v1 = 2.5 m/s, v2 = 1 m/s, d2 = ?
Jakost struje
Količinu tekućine I koja prođe u jedinici vremena s nekim
presjekom cijevi površine S zovemo jakost struje. Ona iznosi
,I S v= ⋅
gdje je v brzina protjecanja.
U stacionarnom toku I je konstantna. Pritom vrijedi
: :1 2 2 1
.1 1 2 2
S S v v S v S v= ⇒ ⋅ = ⋅
Ako je d promjer kruga njegova površina glasi:
4.
2d
Sπ⋅
=
Budući da je u stacionarnom toku I konstantna, vrijedi:
2 2 2 21 2 2 1
1 1 2 2 1 2 2 14 4 4 4
d d d dS v S v v v v v
π π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒
2 22 2 2 22 1 1 1
2 1
4/ /
2 242 22
1 14
d d v vv v d d
v vvd d
π
π π⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅
⋅⇒
2.52 1 1 0.1 0.1581 15.81 .
2 1 2 12 2 1
mv v
sd d d d m m cmmv v
s
⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ = =
Vježba 257
Kroz cijev promjera 10 cm struji voda brzinom 5 m/s. Odredi
promjer cijevi koju treba
dodati da bi u njoj brzina strujanja bila 2 m/s. (Zanemarite
otpor.)
Rezultat: 15.81 cm.
Zadatak 258 (Snježana, gimnazija)
Težina kugle dvostruko je veća u zraku nego u vodi. Kolika je
gustoća kugle? (gustoća vode ρv = 1000 kg/m
3)
Rješenje 258
ρv = 1000 kg/m3, ρ = ?
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera (kvocijenta) mase
tijela i njegova obujma (volumena):
.m
m VV
ρ ρ= ⇒ = ⋅
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na
-
18
horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga,
odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom
na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže. Budući da
tlak u tekućini ovisi o dubini, na tijelo uronjeno u tekućinu
djeluje tekućina odozdo većom silom nego odozgo, tj. na tijelo
djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema površini tekućine, a
iznos te sile jednak je težini tekućine koju je tijelo istisnulo
svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u tekućinu postaje lakše
za iznos težine tekućine koju je istisnulo svojim obujmom. Težina
tijela uronjenog u fluid manja je za silu uzgona od težine tijela u
vakuumu.
Neka je G težina kugle u zraku. Uronjena u vodu njezina se
težina smanji za iznos sile uzgona Fuz.
.1
G G Fuz= −
Budući da je težina kugle dvostruko veća u zraku nego u vodi,
slijedi:
( )2 2 2 2 2 2 21 1G G G G G F G G F G G G Fuz uz uz= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒
⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒
2 2 2G F m g g V V g g Vuz v vρ ρ ρ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⇒
2 21
2 1000 2 000 .3 3
/kg kg
V g g VvV g
vm m
ρ ρ ρ ρ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =⋅⋅
Vježba 258
Težina tijela tri je puta manja u vodi nego u zraku. Kolika je
gustoća tijela? (gustoća vode ρv = 1000 kg/m
3)
Rezultat: 1500 kg/m3.
Zadatak 259 (Vlado, gimnazija)
Predmet uronjen u vodu teži 8.34 N, a u benzin 9.32 N. Kolika je
gustoća predmeta? (gustoća vode ρ1 = 1000 kg/m
3, gustoća benzina ρ2 = 700 kg/m3)
Rješenje 259
G1 = 8.34 N, G2 = 9.32 N, ρ1 = 1000 kg/m3, ρ2 = 700 kg/m
3, ρ = ?
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera (kvocijenta) mase
tijela i njegova obujma (volumena):
.m m
VV
ρρ
= ⇒ =
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se
akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom
Newtonovom poučku ,G m g= ⋅
gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog
pada koja je za sva tijela na istome mjestu
na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog
Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes. Za
slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju
jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom
jednaka sili teže. Budući da tlak u tekućini ovisi o dubini, na
tijelo uronjeno u tekućinu djeluje tekućina odozdo većom silom nego
odozgo, tj. na tijelo djeluje uzgon. Uzgon je sila usmjerena prema
površini tekućine, a iznos te sile jednak je težini tekućine koju
je tijelo istisnulo svojim obujmom. Za uzgon vrijedi Arhimedov
zakon:
,F g Vuz tρ= ⋅ ⋅
gdje je ρt gustoća tekućine, g ubrzanje sile teže, V obujam
uronjenog dijela tijela. Tijelo uronjeno u
-
19
tekućinu postaje lakše za iznos težine tekućine koju je
istisnulo svojim obujmom. Težina tijela uronjenog u fluid manja je
za silu uzgona od težine tijela u vakuumu.
Neka je G težina predmeta u zraku. Kada je uronjen u vodu ili
benzin njegova težina smanji se za
iznos sile uzgona u vodi, tj. u benzinu.
( )oduzmemo
jednadžbe
1 12 1 2 1
2 2
G G Fuz
G G G F G Fuz uzG G F
uz
= −⇒ ⇒ − = − − − ⇒
= −
2 1 2 1 2 1 2 1G G G F G F G G F F
uz uG
z uz uzG⇒ − = − − + ⇒ +−− = − ⇒
.2 1 1 2
G G F Fuz uz
⇒ − = −
Iz sustava jednadžbi izračunamo gustoću ρ.
2 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1 1
G G F F G G g V g Vuz uz
G G F G m g g Vuz
ρ ρ
ρ
− = − − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⇒ ⇒
= − = ⋅ − ⋅ ⋅
1 22 1 1 2 2 1
11 1 1
m mG G g g G G m g m g
mG m g g G m g m g
ρ ρρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρρ
ρ ρ
− = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⇒ ⇒ ⇒
= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅
podijelim
1 2 1 22 1
o
jednadžbe
2 1
111 11
G G m g G G m g
G m gG m g
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρρ
ρρ
−− = ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅
⇒ ⇒ ⇒ ⇒−
= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ −
1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 1 2
1 11 1 1 1
m g
m
m gG G G G G G
G Gm g g
G
ρ ρ ρ ρ
ρρ ρρ
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
⋅
⋅
− −⋅ ⋅ ⋅
− − − −⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
− − −⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )12 1 1 2 11 1/ 1 21 1 2 12 1
G GG G
G G GG G
ρ ρρ ρ ρ ρ
ρρ
ρρ
− −⇒ = ⇒ − = ⋅⋅ − ⋅
−− ⇒
− −
( )11 1 22 1
G
G Gρ ρ ρ ρ⇒ = + ⋅ − =
−
8.341000 1000 700 3553.06 .
3 3 3 39.32 8.34
kg N kg kg kg
N Nm m m m
= + ⋅ − =−
Vježba 259
Predmet uronjen u vodu teži 16.68 N, a u benzin 18.64 N. Kolika
je gustoća predmeta? (gustoća vode ρ1 = 1000 kg/m
3, gustoća benzina ρ2 = 700 kg/m
3)
Rezultat: 3553.06 kg/m3.
Zadatak 260 (Vlado, gimnazija)
Kroz horizontalnu cijev promjera 2 cm protječe voda. Cijev se
sužava na jednom mjestu u cijev promjera 0.8 cm. Razlika statičkih
tlakova u širem i užem dijelu cijevi je 480 Pa. Koliki je protok
vode u m
3/s i u litra/s? (gustoća vode ρ = 1000 kg/m3)
-
20
Rješenje 260
d1 = 2 cm = 0.02 m, d2 = 0.8 cm = 0.008 m, p1 – p2 = 480 Pa, ρ =
1000 kg/m3,
I = ?
Jakost struje
Količinu tekućine I koja prođe u jedinici vremena s nekim
presjekom cijevi površine S zovemo jakost struje. Ona iznosi
,I S v= ⋅
gdje je v brzina protjecanja.
U stacionarnom toku I je konstantna. Pritom vrijedi
: :1 2 2 1
.1 1 2 2
S S v v S v S v= ⇒ ⋅ = ⋅
Ako je d promjer kruga njegova površina glasi:
4.
2d
Sπ⋅
=
Za stacionarni tok idealne tekućine u horizontalnoj cijevi
vrijedi zakon u obliku Bernoullijeve jednadžbe. Ona kaže da je
zbroj statičkog i dinamičkog tlaka stalan.
1 12 21 1 2 2
.2 2
p v p vρ ρ+ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅
Preoblikujemo Bernoullijevu jednadžbu.
1 1 1 12 2 2 21 1 2 2 1 2 2 12 2 2 2
p v p v p p v vρ ρ ρ ρ+ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⇒ − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
( ) ( )1 12 2 2 21 2 2 1 1 2 2 12 22
/p p v v p p v vρ ρρ
⇒ − = ⋅ ⋅ − ⇒ − ⋅ − ⋅= ⋅ ⇒
( ) ( )2 22 2 2 21 2 1 2.
2 1 1 2
p p p pv v v v
ρ ρ
⋅ − ⋅ −⇒ = − ⇒ = −
U stacionarnom toku I je konstantna pa za v2 vrijedi:
2 2 2 21 2 2 1
1 1 2 2 1 2 2 14 4 4 4
d d d dS v S v v v v v
π π π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒
2 2 22 1 14/
22
.2 1 2 1 24 4
2
d d dv v v v
dd
π π
π⋅
⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⋅ =
⋅⇒ ⋅
Iz sustava jednadžbi dobije se v1.
( )( )
22 2 1 2 221 2 22 1 21
2 1 1 21 2
2 1 22
p pv v
p pdv v
d dv v
d
ρ
ρ
⋅ −= −
⋅ −⇒ = ⋅ − ⇒
= ⋅
( ) ( )4 42 22 2 2 21 2 1 21 11 1 1 14 4
2 2
p p p pd dv v v v
d dρ ρ
⋅ − ⋅ −⇒ = ⋅ − ⇒ − ⋅ = − ⇒
-
21
( ) ( )4 4 42 22 21 2 1 21 2 111 14 4
2 2
p p p pd d dv v
d dρ ρ
⋅ − ⋅ −−⇒ ⋅ − = − ⇒ ⋅ = − ⇒
( ) ( )42/4 4
2
4 4 42 22 21 2 1 22 1 2
1 1
14 4 4
2 2 1
d
d d
p p p pd d dv v
d d dρ ρ
⋅ − ⋅ −−⇒ ⋅ = − ⇒ = − ⋅ ⇒
−⋅
−
( ) ( )4 42 22 21 2 1 22 21 14 4 4 4
1 1 2
/
2
p p p pd dv v
d d d dρ ρ
⋅ − ⋅ −⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒
− −
( ) ( )
( )
42 221 2 1 22 .
1 1 24 4 4 41 2 1 2
p p p pdv v d
d d d dρ ρ
⋅ − ⋅ −⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅
− ⋅ −
Protok vode I iznosi:
( )
( )
( )
( )
21
1 24 22 1 212 4 42 42 1 2
1 1
1 21 2 4 41 2
I
dS
p pdS I d
p pd dv d
d d
v
π
π
ρ
ρ
⋅=
⋅ −⋅⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
⋅⋅ −⋅
−
⋅−
=⋅
( ) ( )
( )
22
1 2 1 24 44
1 2
d d p pI
d d
π
ρ
⋅ ⋅ ⋅ −⇒ = ⋅ =
⋅ −
( )
( ) ( )( )
2 30.02 0.008 2 480 5
4.989 10 .4 44
1000 0.02 0.0083
m m Pa m
kg sm m
m
π⋅ ⋅ ⋅ −= ⋅ = ⋅
⋅ −
Preračunato u litra/s iznosi: 3 3 3 3
105 5 24.989 10 4.989 10 4.989 10
m dm dmI
s s s
− − −= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
31 1
24.989 10 .
ldm
sl
−= = ⋅=
Vježba 260
Kroz horizontalnu cijev promjera 0.2 dm protječe voda. Cijev se
sužava na jednom mjestu u cijev promjera 8 mm. Razlika statičkih
tlakova u širem i užem dijelu cijevi je 480 Pa. Koliki je protok
vode u m3/s i u litra/s? (gustoća vode ρ = 1000 kg/m3)
Rezultat:
35 2
4.989 10 4.989 10 .m l
Is s
− −= ⋅ = ⋅