XVIII OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMATICA´ · 2019-01-13 · PARTICIPAR EN LA XVIII OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMATICA.´ SOBRE LA PRUEBA: La prueba ser´a administrada para estudiantes

XVIII OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMATICA

Grados participantes: desde 4ohasta 1er ano de bachillerato.

Primera Fase: del 11 al 19 de febrero.

Segunda Fase: 10 de marzo.

Contacto: [email protected]

XVIII OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMATICA

2018

EL MINISTERIO DE EDUCACION Y LA UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

INVITAN A LOS JOVENES DEL SISTEMA EDUCATIVO NACIONAL A

PARTICIPAR EN LA XVIII OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMATICA.

SOBRE LA PRUEBA:

La prueba sera administrada para estudiantes que cursen desde cuarto grado hasta primer anode bachillerato. El estudiante debera trabajar la prueba que corresponde al grado que cursa en elano 2018. En ningun caso se tomaran en cuenta soluciones a problemas propuestos de un gradoanterior al grado que cursa el estudiante. Los estudiantes del sistema bilingue que hacen cambio degrado escolar a medio ano deben registrarse y realizar la prueba del grado que iniciaran en 2018.Por ejemplo, si actualmente estan en quinto grado y a medio ano inician sexto, deben realizar elproceso como si estuvieran en sexto grado.

Otras consideraciones:

No habra restricciones a la participacion de estudiantes que pertenezcan a un grado anterioral cuarto.

La participacion de todo estudiante sera valida unicamente si el desarrollo de la prueba esproducto solo de su propio esfuerzo. Puede, sin embargo, hacer uso de toda la bibliografıaimpresa y electronica que disponga.

Cada problema desarrollado debera ser entregado en hojas separadas, numeradas y con sunombre.

Para la solucion de los problemas de esta prueba, lo fundamental sera la argumentacionutilizada para lograrla. En tal sentido, aquellas participaciones en las que solo aparezcan lasrespuestas, no seran tomadas en cuenta. Para los problemas de geometrıa, no seran validaslas soluciones obtenidas como resultado de medir directamente las figuras.

Se evaluaran soluciones parciales a los problemas.

Para la participacion en la Olimpiada no es indispensable enviar la solucion de los cincoproblemas del grado correspondiente.

Las soluciones a cada uno de los problemas deberan estar redactadas con la mayor claridad,sin tachaduras y lo mas aseado posible.

Las soluciones deberan ser redactadas con bolıgrafo o pluma. No se aceptaran solucionesa lapiz. En ningun caso se aceptaran fotocopias de soluciones. Seran anuladas todas lasparticipaciones de quienes envıen soluciones identicas.

PARTICIPACION:

El procedimiento de participacion en la decimo octava Olimpiada Nacional de Matematica es elsiguiente:

El alumno debera resolver los problemas de la prueba del grado que le corresponde en elperıodo del 11 al 18 febrero.

Registrar sus datos personales en el sitio web http://www.jovenestalento.edu.sv a mastardar el 18 febrero y guardar el comprobante de inscripcion.

Las pruebas deberan ser entregadas en la Direccion Departamental del Ministerio de Educacioncorrespondiente al departamento de residencia del estudiante. Es importante aclarar que lassoluciones y comprobante de registro deberan ser presentadas en un sobre de papel manila,debe imprimirse dos comprobantes: uno para colocarlo como caratula del sobre manila y elotro para ser sellado y firmado por la persona responsable del MINED, como constancia delmaterial recibido.

El estudiante puede llevar personalmente la prueba o podra solicitar la colaboracion de susprofesores, del Director de la Institucion o de los padres de familia para hacer llegar su examena la Direccion Departamental, las pruebas se recibiran unicamente en estas oficinas, puedeconsultar en http://www.mined.gov.sv las direcciones, telefonos y horarios de atencion deestas oficinas para mayor informacion.

La fecha de entrega de las pruebas en las oficinas de la Direccion Departamental del Ministeriode Educacion es a mas tardar el dıa lunes 19 de febrero, a las 3:00 p.m. para las zonasoccidental, central, metropolitana y paracentral. Para la zona oriental (Usulutan, San Miguel,Morazan y La Union) la entrega sera a mas tardar el dıa miercoles 21 de febrero a las3:00 p.m.

REGISTRO

Para hacer efectivo el ingreso de datos, acceder al sitio web http://www.jovenestalento.edu.sv.Los estudiantes deberan ingresar los siguientes datos: nombres y apellidos completos, fecha denacimiento, grado que estudia, lugar de vivienda, departamento, municipio, sector (urbano o rural),direccion, nombre de la persona responsable, telefono y direccion de correo electronico. Ademas,deberan presentar los siguientes datos del centro educativo al que pertenecen: codigo y nombre.

ACERCA DE LA PRUEBA PRESENCIAL:

Las mejores participaciones de cada grado en la prueba por correspondencia que alcancen el puntajerequerido para clasificar deberan realizar una prueba presencial el dıa sabado 10 de marzo delpresente ano. La prueba se administrara en la Facultad de Ciencias Naturales y Matematica en elEdificio del Programa Jovenes Talento, Facultad Multidisciplinaria de Occidente y FacultadMultidisciplinaria Oriental de la Universidad de El Salvador, segun la procedencia de cadaestudiante.Los concursantes convocados podran consultar los listados oficiales publicados en http://www.jovenestalento.edu.sv o http://www.mined.gob.sv desde el dıa martes 6 de marzo de

2018 que especificaran el lugar y aula donde cada estudiante realizara la prueba presencial.Para promover la participacion del mayor numero de instituciones, entre los participantes decada grado de cada institucion, unicamente podran ser convocados a lo sumo los mejores

cinco estudiantes que alcancen el puntaje requerido para clasificar. Este mismo dıa se realizarauna prueba psicologica de caracter obligatoria para todos aquellos estudiantes que participan porprimera vez, dicha prueba se realizara despues de finalizar la prueba presencial.

INGRESO AL PROGRAMA JOVENES TALENTO:

Las mejores participaciones de la prueba presencial seran incorporadas al Programa JovenesTalento que el Ministerio de Educacion desarrolla en cooperacion con la Universidad de El Salvador.El Programa Jovenes Talento tiene diferentes componentes con las cuales se pretende dar respuestaa la necesidad de descubrir y desarrollar el Talento en Matematica y Ciencias Naturales en losniveles basicos e inculcarles a partir de ese nivel la disciplina, el deseo de alcanzar altos nivelesde excelencia academica, desarrollarles capacidades de liderazgo y compromiso cıvico. Dos de susprincipales componentes son la Academia Sabatina y el curso Futuros Dirigentes Tecnicos

Cientıficos de El Salvador. La primera se desarrolla a lo largo del ano escolar, en dıas sabados;mientras que el segundo es un curso intensivo de tres semanas que se desarrolla al finalizar el anoescolar.La Academia Sabatina tiene la doble funcion de preparar en cursos basicos de Matematica yCiencias Naturales al estudiante para que aproveche mejor el evento de fin de ano y ademas,preparar a un grupo selecto para competir en olimpiadas internacionales de Matematica, Biologıa,Fısica, Quımica e Informatica.La nomina de estudiantes seleccionados para pertenecer al Programa Jovenes Talento sera publicadaen http://www.jovenestalento.edu.sv o http://www.mined.gob.sv el dıa martes 20 de

marzo de 2018. La Academia Sabatina se inaugurara el sabado 24 de marzo de 2018 apartir de las 8:00 a.m. en la Facultad de Ciencias Naturales y Matematica de la Universidad de ElSalvador (San Salvador), en la Facultad Multidisciplinaria de Occidente (Santa Ana) y FacultadMultidisciplinaria Oriental (San Miguel), dependiendo de la sede donde haya sido seleccionadoel estudiante y este mismo dıa se iniciaran las actividades academicas por la manana luego definalizar la inauguracion.

Cuarto Grado

Problema 1

Los habitantes del Planeta de las Emociones viven del trueque y tienen tres productos muy importantescon los cuales comercian: Hongos del llanto, Cafe de la felicidad y Almendras de la risa. La unidad demedida de este planeta es el punado y realizan el trueque del siguiente modo: Dos punados de Hongosdel llanto se pueden intercambiar por tres punados de Cafe de la felicidad; y dos punados de Cafe dela felicidad se pueden intercambiar por tres punados de Almendras de la risa. Determinar el numerode punados de Almendras de la risa que recibirıa alguien que ofrezca 40 punados de Hongos del llanto.

Problema 2

Cada uno de los lados del cuadrado ABCD se divide en tres segmentosiguales, y sobre el segmento central de cada lado se construye un cuadrado,como lo muestra la figura. Si el area de cada uno de los cuadrados pequenoses 4 cm

2, determinar el area de la zona sombreada.

BA

CD

Problema 3

Lucıa, Marta, Nuria y Olga juegan “No te enojes”. Al terminar el juego sus amigos preguntaronlos resultados a tres de ellas por separado. Cada nina dio dos respuestas, de las cuales solo una esverdadera. Las respuestas fueron:

Marta: Nuria termino en segundo y Olga en tercero.

Lucıa: Nuria termino primero; Marta termino en segundo.

Nuria: Olga fue la ultima en terminar; Lucıa termino en segundo.

Determinar el orden correcto en el que Lucıa, Marta, Nuria y Olga terminaron el juego.

Problema 4

La tarjeta de credito de Agustın se ha danado y han quedado visibles solo los numeros que se muestran:

7 7 8

Agustın recuerda que los numeros de su tarjeta cumplıan una curiosa regla: siempre que suma trescifras consecutivas el total es 18. Determinar los numeros faltantes de la tarjeta de credito de Agustın.

Problema 5

Una calculadora posee la siguiente tecla especial > que funciona de la siguiente manera:

Si hay un numero impar en la pantalla y se presiona la tecla >, se sustituye este numero poruno nuevo que es una unidad mayor que el triple de dicho numero impar.

En cambio, si el numero en la pantalla es par, la tecla > lo sustituye por su mitad.

Por ejemplo: si la pantalla muestra el numero 3 y se presiona >, el resultado es 10 y si se vuelve apresionar >, el resultado es 5.Si inicialmente se muestra el numero 5 en la pantalla, determinar el numero que aparecera despues depresionar 2018 veces la tecla >.

Quinto Grado

Problema 1

Juanita sigue una dieta especial de 2,400 Kcal al dıa y en la cena se le permite consumir no mas dela cuarta parte de ellas. Debe elegir un menu tomando una opcion de bebida, un plato principal, unaensalada y un postre de entre las opciones siguientes:

Menu Energıa (Kcal)

BebidasCafe 85

Chocolate 140

Plato principalPollo guisado 230

Chuleta de res 220

EnsaladasEnsalada fresca 80

Ensalada de papas 115

PostresBudın 240

Flan 135

Determinar el menu que mas se acerca a las condiciones nutricionales de Juanita.

Problema 2Se tienen cinco dados y se pegan como muestra la figura, de modo quelas caras que quedan pegadas suman 5. Si se suman los valores quequedan visibles, determinar los valores que pueden obtenerse.

Observacion: un dado normal es un cubo tal que sus caras estannumeradas del 1 al 6 y las caras opuestas suman 7.

Problema 3

Dos flechas se encuentran dentro de un triangulo y un pentagono de modo que apuntan a los verticesde estos. A continuacion se muestran cuatro figuras de la secuencia en que giran las flechas.

Si las flechas siguen siempre el mismo movimiento, determinar el numero de figura en la cual lasflechas habran apuntado hacia el mismo punto por centesima vez.

Problema 4

La figura de la derecha muestra diez cuadrados iguales de lado 1 apilados deforma que la figura es simetrica. Si P es punto medio del lado del cuadradosobre el que se ubica, calcular el valor del area sombreada.

Problema 5

Adrian, Benito, Carlos y David son cuatro jovenes a los que les gusta ir a comer por las noches. Cadauno tiene un platillo favorito entre pizza, hamburguesa, hot dogs y tacos, no necesariamente en eseorden, y cada uno come solo de su platillo favorito. Se sabe lo siguiente:

(a) Uno de ellos fue por un hot dog mientras Carlos y Adrian dormıan.

(b) Al que le gustan los tacos intenta convencer a Adrian y David de que los tacos son los mejores.

(c) Carlos y el que come hamburguesas se hicieron socios.

(d) David nunca ha conocido a Carlos.

Determinar el platillo favorito de cada amigo.

Sexto Grado

Problema 1

En el reino “Muy Muy Lejano” el rey tiene cuatro consejeros, de los cuales cada uno puede ser lealo traidor, los leales siempre dicen la verdad y los traidores siempre mienten. El rey sabe que tiene lamisma cantidad de consejeros traidores que leales, los reune para interrogarlos y afirman lo siguiente:

Consejero 1: El consejero 4 es un traidor.

Consejero 2: El consejero 1 miente.

Consejero 3: No soy un traidor.

Consejero 4: El consejero 2 es leal.

Sabiendo que un leal solo puede ser amigo de un leal y un traidor solo puede ser amigo de un traidor,determinar cuales consejeros son amigos entre sı.

Problema 2

Amelia construira una escalera ocupando bloques cuadrados, cada uno de los cuales tiene cuatroespacios que debe numerar correctamente para que la escalera sea resistente. Comienza con el bloquemostrado en el paso 1, luego coloca un bloque arriba en el paso 2, y continua colocando bloques demanera alternada a la derecha o arriba del anterior, como se muestra en los pasos 3 y 4.

Norte

Oeste

Sur

EsteN

SO E

4

31 2

6

57 8

4

31 2

6

57 8

4

31 2

12

119 10

6

57 8

4

31 2

12

119 10

14

1315 16

Paso 3Paso 2Paso 1 Paso 4

La escalera es resistente si cada vez que coloca un bloque arriba continua la numeracion desde elmayor numero del bloque anterior de forma consecutiva en el orden sur, norte, oeste y este; mientrasque cada vez que coloca un bloque a la derecha continua la numeracion en el orden oeste, este, sury norte; de esta manera siempre los lados adyacentes de cada bloque son consecutivos. Si el ultimobloque que coloca Amelia es en el que aparece 2018, determinar cuantos bloques tiene la escalera y siel numero 2018 esta escrito en el norte, sur, este u oeste del ultimo bloque colocado.

Problema 3

En la figura de la derecha, el lado del cuadrado ABCD mide 9 cm y lossegmentos DE y CF miden respectivamente el doble de los segmentos AEy BF . Sobre el segmento EF se marcan los puntos G y H de manera queGH = 3 cm. Encontrar el area de la region sombreada.

A B

D C

G HE F

Problema 4

Para entrar a la convencion de los matematicos hay 7 puertas de acceso numeradas del 1 al 7. Paraevitar el desorden, el organizador decide que hara diversas rondas para que las personas ingresen.En cada ronda, primero ingresa cierto numero de personas por la puerta 1, luego cierto numero depersonas por la puerta 2, y ası sucesivamente hasta finalizar la ronda con el ingreso de cierto numerode personas por la puerta 7. En las siguientes rondas se procede de la misma forma. El numero depersonas que entran simultaneamente por cada puerta en una ronda es elegido en base a las siguientesreglas:

(a) Ingresan menos de 10 personas por puerta.

(b) Si la puerta es par, entra un numero par de personas, y si es impar, entra un numero impar depersonas.

(c) El numero de personas que ingresan por una puerta es mayor al numero de dicha puerta.

(d) En puertas distintas entra un numero distinto de personas.

Si Mario es la persona numero 2018 en ingresar, determinar el numero de la puerta por la que entro.

Problema 5

“Multiplica por 5 o suma 1” es un juego con dos controles: uno que multiplica por 5 y otro que suma 1.Barbara escoge el control que usara y Alejandro, sabiendo la eleccion de Barbara, escribe un numeronatural entre 1 y 100 en la pantalla. Luego comienzan a jugar: Barbara presiona el boton en su control,luego Alejandro presiona el boton en su control, y siguen ası alternadamente.El jugador que gana es el que obtiene un numero cuya ultima cifra sea igual a la ultima cifra de algunode los numeros obtenidos en turnos anteriores de cualquier jugador. Determinar todas las estrategiasque puede idear Alejandro para ganarle a Barbara sin importar el control que ella elija.

Septimo Grado

Problema 1

Una tira rectangular de papel de 1 cm de ancho se dobla por las lıneas punteadas siguiendo las flechascomo indica cada uno de los siguientes pasos:

· · ·

· · ·

......

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

......

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

A partir del paso 6 se repiten los dobleces mostrados en los pasos 2, 3, 4 y 5 para formar la siguientecadena con 2018 triangulos que se traslapan:

1 2 3 4

· · ·2017 2018 Las lıneas continuas y punteadas

indican el borde de la tira de papel

Determinar el area que debe tener la tira de papel para construir esa cadena.

Problema 2

La maraton Trebol se corre en una pista con tres hojas como muestra lafigura de la derecha.Iniciando y terminando en el punto T , Rodrigo debe conseguir las seisbanderas situadas donde estan los numeros pasando solamente una vez porcada hoja. Determinar cuantas rutas diferentes tiene Rodrigo para correr lamaraton.

T6

5

43

2

1

Problema 3

En el planeta Multimat un ano tiene 180 dıas. Se sabe que A miente los dıas pares, B miente los dıasmultiplos de 3 y C miente los dıas multiplos de 6. Cierto dıa entre los dıas 80 y 85, A dice que C

mentira manana, B dice que A mentira manana y C dice que ayer mintio. Determinar el numero deldıa.

Problema 4

B

C

DA

M P

QR

En la figura de la izquierda se tiene que M es el punto medio del ladoAB y que los puntos P , Q y R estan sobre el lado CD, de manera quelos segmentos DP , PQ, QR y RC tienen igual longitud. Si el areade la region sombreada es 2018 cm

2, calcular el area del trapezoideABCD.

Problema 5

Un canguro quiere subir 4000 escalones. El canguro esta parado en el suelo y comienza subiendo 7escalones y luego baja 3 escalones, despues da saltos hacia arriba y hacia abajo de manera alternada:cada vez que salta hacia arriba, avanza cuatro escalones mas de los que avanzo la ultima vez que subio,y cada vez que salta hacia abajo, retrocede cuatro escalones mas de los que retrocedio la ultima vezque bajo. Determinar si el canguro lograra llegar al escalon 4000 sin pararse en el escalon numero 2018.

Octavo Grado

Problema 1

Los numeros 1, 5, 8, 9, 10, 12 y 15 son distribuidos en grupos de uno o mas numeros, de forma quecada numero esta exactamente en un grupo, y la suma de los numeros en cada grupo es la misma.Determinar el mayor numero posible de grupos.

Problema 2

Cristina escribio numeros en cinco de los diez cırculos mostrados en lafigura. Ella quiere escribir un numero en cada uno de los cinco cırculosrestantes de modo que la suma de los tres numeros a lo largo de cadalado del pentagono sea igual. Determinar el numero que tendra queescribir en el cırculo marcado con la X.

7

3

1

6

2

X

Problema 3

En un trapecio ABCD, sus bases AB y CD miden 50 cm y 20 cm respectivamente. Sobre el ladoAB se toma un punto E tal que el segmento DE divide al trapecio en dos regiones con areas iguales.Determinar la longitud del segmento AE.

Problema 4

Jose tiene un tablero de ajedrez de 8 ⇥ 8 y juega a cambiar el color de las casillas de la siguientemanera: en cada movimiento escoge algun bloque de 2 ⇥ 2 y luego dentro de ese bloque intercambiasus dos columnas o bien sus dos filas. Su objetivo es lograr que todas las casillas de la mitad derechadel tablero sean blancas y todas las de la mitad izquierda sean negras. Determinar si es posible queJose cumpla su objetivo usando solo los movimientos permitidos. Si es posible, mostrar una manerade hacerlo, o en caso contrario justificar por que es imposible.

Patron inicial Patron final

Problema 5

En la Ruta de las Flores hay una misteriosa comunidad de lagartijas. Se sabe que cada lagartija tieneexactamente una o seis amigas en la comunidad. Al principio todas las lagartijas tenıan su colita, perocierto dıa, todas las lagartijas que tenıan exactamente una amiga perdieron su colita, mientras lasque tenıan seis amigas la conservaron. Curiosamente esto hizo que en cada pareja de lagartijas queeran amigas, una tuviera colita y la otra no. Dıas despues, a 30 de las lagartijas que no tenıan colitales crecio de nuevo y 40 que tenıan colita la perdieron. Luego en cada pareja de lagartijas que sonamigas, o las dos tienen colita o las dos no tienen. Determinar cuantas lagartijas hay en esa misteriosacomunidad.

Noveno Grado

Problema 1

Luis escribe en la pizarra la siguiente secuencia de numeros

1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, ...

y se da cuenta de que a partir del tercer termino de la secuencia cada elemento se obtiene sumandoel termino anterior a el, mas dos veces el termino anterior a este ultimo. Por ejemplo:

3 = 1 + 2 · 1, 5 = 3 + 2 · 1, 11 = 5 + 2 · 3, 21 = 11 + 2 · 5

y ası sucesivamente. Calcular el resto que deja el elemento que ocupa el lugar 2018 de la sucesion enla division por 7.

Problema 2

En una escuela los casilleros se numeran consecutivamente, empezando por el casillero numero 1.Los dıgitos de plastico usados para numerar los casilleros cuestan cada uno 2 centavos. Por ejemplo,cuesta dos centavos rotular el casillero 9, cuesta 4 centavos rotular el casillero 10, y cuesta 6 centavosrotular el casillero 100. Si para rotular todos los casilleros se requieren $139.30 en total, determinarla cantidad de casilleros que hay en la escuela.

Problema 3

Los lados BC, CD y DA del paralelogramo ABCD se dividen respectivamente en dos, tres y cuatrosegmentos de igual longitud. Si se sabe que el paralelogramo tiene area 2, calcular el valor del areasombreada.

D A

C B

Problema 4

Carlos tiene un tablero cuadriculado de dimensiones 4⇥4 y siete fichas negras que desea colocar de talforma que al eliminar dos filas y dos columnas cualesquiera del tablero, siempre quede alguna ficha sineliminar. Demostrar que Carlos puede lograr su objetivo. Ademas, explicar por que no puede lograrlosi dispone unicamente de seis fichas.

Problema 5

Encontrar todas las ternas de numeros enteros (x, y, z) que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:

x+ 3 = yz

y + 2 = zx

Primer Ano de Bachillerato

Problema 1

Manuel escribe una lista con los enteros positivos del 1 al 2018. A continuacion, coloca un signonegativo enfrente de todas las potencias de 2 y un signo positivo enfrente de todos los demas numeros,es decir:

�1� 2 + 3� 4 + 5 + 6 + 7� 8 + . . .+ 2018

Calcular el resultado que obtiene Manuel al efectuar las operaciones indicadas.

Problema 2

Determinar la cantidad de numeros enteros n entre 1 y 2018, ambos inclusive, tales que el producto✓1 +

1

2

◆✓1 +

1

3

◆. . .

✓1 +

1

n

◆

es tambien un entero.

Problema 3

Determinar todas las parejas (x, y) de numeros reales que satisfacen la siguiente ecuacion:

(x+ y)2 = (x+ 2018)(y � 2018).

Problema 4

En el triangulo ABC, el angulo \ACB mide 90�. Las bisectrices internas de los angulos \BAC y\ABC cortan a los lados BC y CA en P y Q, respectivamente. Los puntos M y N son los pies delas perpendiculares desde P y Q al lado AB. Calcular la medida del angulo \MCN .

Problema 5

Carlos juega por turnos con Rodrigo en el siguiente tablero de 5⇥ 6.

Un movimiento consiste en ubicar en el tablero una pieza de alguno de los siguientes tres tipos:

Las piezas se pueden rotar antes de ubicarse y no se permite que se traslapen con las colocadasanteriormente en el tablero. Gana quien termina de cubrir el tablero.Si Carlos mueve primero, determinar el jugador que puede asegurarse la victoria y la estrategia quedebe seguir para ganar.