Page 1
Mechanika Budowli I
WPROWADZENIE DO
PROGRAMU FEAS - KAM
Opracował:
mgr inż. Piotr Bilko
Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli
Wersja - 04.11.2006 r.
██████████████████████████████████████████████████ FINITE ELEMENT ANALYSIS SYSTEM██████████ ██████████ ██████████ ████████████ ██ ██ ██ ████ ██████ ██████████ ████████████ ██ ██ ██ ████ ██████████ ██ ██ ██
████████████████████████████████████████████████
Page 2
2
Informacje ogólne
Program FEAS v 1.0 (Finite Element Analysis System) jest systemem opracowanym na Politechnice
Warszawskiej przez zespół pod kierunkiem p. dr Z. Kasprzyka i przeznaczonym do analizy konstrukcji
(prętowych, powierzchniowych) w zakresie statyki, dynamiki oraz stateczności. Podsystem KAM (
komponowanie algorytmów mechaniki) jest narzędziem pomocniczym w nauczaniu mechaniki konstrukcji.
• Podsystem KAM realizuje podstawowe funkcje rachunku macierzowego wzbogaconych o generowanie
macierzy Metody Elementów Skończonych
• Opracowany zestaw komend umożliwia komponowanie algorytmów analizy statycznej (w zakresie
liniowym i nieliniowym) oraz dynamicznej konstrukcji przy zastosowaniu MES, poznany na zajęciach
Mechaniki Budowli
• W ramach podsystemu opracowano interpreter komend, który jest uruchamiany po załadowaniu
programu (plik wykonywalny kam.exe).
• Każde polecenie (komenda) ma swój specyficzny format oraz oddzielane spacją parametry umieszczane
w tej samej linii lub w liniach następnych :
Nazwa_komendy parametr_typu _macierz parametr_typu_wektor parametr_liczba
• Możliwe są dwa rodzaje pracy z systemem: interakcyjny (polecenia podawane są bezpośrednio z
klawiatury) lub wsadowy - polecany ( wszystkie komendy zapisane są w pliku wsadowym o rozszerzeniu
*. kam, wywoływanym z poziomu programu poleceniem wyk nazwa_pliku_wsadowego.
•Uwaga: Program FEAS- KAM pracuje w trybie tekstowym systemu MS-DOS (lub sesji MS-DOS w
Windows)
Page 3
3
Rodzaje komend systemu FEAS/KAM - przykłady
Uwaga: po uruchomieniu systemu FEAS (plik kam.exe), wydając komendę help - wyświetlona będzie
listę dostępnych komend systemu, polecenie help nazwa_komendy - wyświetla składnię komendy, jej
zastosowanie oraz przykład zastosowania. Komenda .. (dwie kropki) powoduje wyjście z programu.
A) Operacje konstrukcji macierzy:
np. IMI - inicjacja wektora liczb całkowitych; IM - inicjacja macierzy prostokątnej; DM - definicja macierzy
prostokątnej i jej wyzerowanie
B) Operacje algebry macierzowej:
np.: D - dodaj macierze; RO - rozwiąż układ równań liniowych; DAL - dodawanie macierzy lokalnej do globalnej
na podstawie wektora alokacji
C) Operacje pomocnicze (systemu DOS):
np: Dir - wyświetl katalog; WYK - wykonaj komendy we wskazanym liku wsadowym.
D) Komendy biblioteki elementów skończonych - w naszym zadaniu stosujemy bibliotekę ram płaskich R2
Uwaga: polecenie help R2 - wyświetla listę dostępnych poleceń biblioteki ram płaskich np:
XY - wektor topologii elementu; GEO - wektor geometrii; R2-LN - wektor sił przywęzłowych dla obc. liniowo
rozłożonego; R2-ST - zwraca macierz sztywności pręta ramy płaskiej.
Page 4
4
Format pliku z komendami systemu FEAS- KAM
• plik wsadowy musi być zapisany formacie tekstowym ASCII bez polskich znaków
• znak ! (wykrzyknik) w pierwszej linii - oznacza komentarz (dowolny ciąg znaków), który
należy stosować dla wprowadzenia objaśnień w algorytmie
• pozostałe linie powinny zawierać komendy systemu KAM- FEAS wraz z potrzebnymi
parametrami (parametry można podawać w kilku liniach pliku)
• nie można umieszczać linii pustych (nie zawierających komend ani parametrów)
• komendy mogą być podane pełna nazwą np. DODAJ lub dozwolonym skrótem D
Page 5
5
Przykład rozwiązywanego zadania
12 12 12
8
[m]
q = 29 kN/m
EJ1
EJ1
EJ1
EJ2
EJ2
Sporządzić dla podanej ramy płaskiej wykresy sił przekrojowych korzystając z programu FEAS_KAM.
Dane: E=0.21x109 kN/m2 , J2 = 0.18 x 10-3 m4, J1 = 2J2 = 0.36x10-3 m4 , A=0.15x105 m2
Page 6
6
Algorytm rozwiązania ramy płaskiej za pomocą macierzowej
wersji metody przemieszczeń
I. Przyjęcie globalnego i lokalnego układu współrzędnych
II. Podział konstrukcji na elementy - pręty, numeracja prętów
III.Określenie liczby niewiadomych - numeracja globalnych stopni swobody i przypisanie ich
poszczególnym prętom ( z uwzględnieniem warunków podparcia)
IV. Zdefiniowanie geometrii konstrukcji (położenie węzłów, prętów w przyjętym układzie
współrzędnych), określenie przekrojów i parametrów materiałowych)
V. Budowa lokalnych macierzy sztywności Ki poszczególnych prętów w układzie lokalnym
VI. Budowa globalnej macierzy sztywności konstrukcji K (w układzie globalnym) na podstawie
macierzy sztywności poszczególnych prętów (agregacja globalnej macierzy sztywności)
VII. Budowa globalnego wektora obciążeń R (wg zadanego obciążenia) na podstawie
wektorów obciążeń węzłowych poszczególnych prętów: od obciążeń węzłowych – QW0 i
obciążeń międzywęzłowych – QE0
VIII. Rozwiązanie układu równań kanonicznych MP: K * X + R = 0 , wyznaczenie
niewiadomych metody - przemieszczeń węzłów konstrukcji
IX. Przejście z uzyskanego rozwiązania w przemieszczeniach do rozwiązania konstrukcji w
siłach - wyznaczenie sił wewnętrznych od przemieszczeń końców pręta oraz od obciążenia
elementowego (międzywęzłowego)
Page 7
7
Szczegółowy algorytm rozwiązania zadania ramy płaskiej
programem FEAS - KAM
I. Przyjęcie układów współrzędnych: globalnego i lokalnego wg. wymagań programu:
Układ lokalny (prawoskrętny), i - początek , k- koniec prętaUkład globalny
II. Podział konstrukcji na pręty - numeracja prętów - patrz przykład na następnym slajdzie
i - numer pręta
III-V. Ustalenie liczby niewiadomych, ich numeracja (globalnych stopni swobody) ,
przypisanie do poszczególnych prętów - patrz przykład na następnym slajdzie
Uwaga!: W programie FEAS-KAM niewiadomą jest również kąt obrotu końca pręta w węźle
przegubowym. Niewiadome numeruje się w kolejności wyznaczonej przemieszczeniami
końców pręta wg globalnego układu współrzędnych.
i
k
x
yX
Y
Page 8
8
Przykład rozwiązywanego zadania - pkt. 1 do 5 algorytmu
1 2 4 6
53
12 12 12
8
[m]
1 3 5
42r1
r2r
3r6
r4
r5
r7
r9
r8
Y (v)
X (u)Z ()
r4 , r5 , r6 – numeracja niewiadomych w węźle pręta
(w kolejności odpowiadającej globalnemu układowi współrzędnych)
Page 9
9
Szczegółowy algorytm ... – budowa macierzy sztywności
VI. Budowa globalnej macierzy sztywności konstrukcji K
OPIS GEOMETRII
1. Inicjacja wektorów geometrii prętów - opisujących ich długość oraz orientację w stosunku do
globalnego układu współrzędnych (dX, dY - przyrosty współrzędnych: koniec pręta- początek)
IM XYi 2 1
dX dY
Uwaga: np. IM XYi - jest komendą w systemie FEAS- KAM, dX dY - są parametrami
XYi = [ dX , dY]
KAM> IM XYH 1 2
12.000 0.00000E+00
KAM> IM XYV 1 2
0.00000E+00 -8.0000
Page 10
10
Szczegółowy algorytm ... – budowa macierzy sztywności
2. Inicjacja wektorów własności materiałowych : E, Ro i alfaT - odpowiednio moduł Younga ,
gęstość właściwa, współczynnik rozszerzalności termicznej materiału
IM MATi 3 1
MAT i = [ E Ro alfaT ]T
KAM> IM MAT 3 1
0.21000E+09 0.00000E+00 0.00000E+00
KAM> WS MAT
Matrix MAT
1
-------------¬
1 | 0.21000E+09 |
2 | 0.00000E+00 |
3 | 0.00000E+00 |
--------------
Page 11
11
Szczegółowy algorytm ... – budowa macierzy sztywności
3. Inicjacja wektorów własności geometrycznych : A, Jz - odpowiednio pole przekroju, moment
bezwładności przekroju
IM GEOi 2 1
GEO i = [ A Jz ]T
KAM> IM GEO1 2 1
15000. 0.36000E-03
KAM> IM GEO2 2 1
15000. 0.18000E-03
KAM> WS GEO1
Matrix GEO1
1
,-------------.
1 | 15000. |
2 | 0.36000E-03 |
‘-------------’
Page 12
12
4. Inicjacja wektorów alokacji Ai - opisujących rozmieszczenie niewiadomych w
kolejnych prętach: n1, n2 n3 - nr niewiadomych na początku, n4n5n6- na końcu pręta.
IMI Ai 6
Ai = [ n1 n2 n3 n4 n5 n6 ]
Szczegółowy algorytm ... – budowa macierzy sztywności
KAM> IMI A1 6
0 0 0 1 2 3
KAM> IMI A2 6
1 2 3 0 0 0
KAM> IMI A3 6
1 2 3 4 5 6
KAM> IMI A4 6
4 5 6 0 0 7
KAM> IMI A5 6
4 5 6 8 0 9
Page 13
13
5. Budowa macierzy sztywności prętów Ki na podstawie biblioteki R2 - XYi,
MATi, GEOi - poprzednio zdefiniowane macierze.
R2-ST Ki XYi MATi GEOi
Szczegółowy algorytm ... – budowa macierzy sztywności
KAM> R2-ST KH XYH MAT GEO1
KAM> R2-ST KV XYV MAT GEO2
KAM> WS KH
Matrix KH
1 2 3 4 5 6
-¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¬
1 - 0.26250E+12 0.00000E+00 0.00000E+00 -.26250E+12 0.00000E+00 0.00000E+00 -
2 - 0.00000E+00 525.00 3150.0 0.00000E+00 -525.00 3150.0 -
3 - 0.00000E+00 3150.0 25200. 0.00000E+00 -3150.0 12600. -
4 - -.26250E+12 0.00000E+00 0.00000E+00 0.26250E+12 0.00000E+00 0.00000E+00 -
5 - 0.00000E+00 -525.00 -3150.0 0.00000E+00 525.00 -3150.0 -
6 - 0.00000E+00 3150.0 12600. 0.00000E+00 -3150.0 25200. -
L¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦-
Page 14
14
6. Zdefiniowanie i wyzerowanie globalnej macierzy sztywności konstrukcji K - n - jest liczbą niewiadomych metody
DM K n n
7. Wypełnienie globalnej macierzy sztywności K - na podstawie macierzy
sztywności prętów Ki i wektorów alokacji Ai
DAL K Ki Ai
Szczegółowy algorytm ... – budowa macierzy sztywności
KAM> DM K 9 9
KAM> DAL K KH A1
KAM> DAL K KH A3
KAM> DAL K KH A5
KAM> DAL K KV A2
KAM> DAL K KV A4
Page 15
15
Szczegółowy algorytm ... - budowa wektora obciążeń węzłowych
VII. Budowa wektora obciążeń węzłowych R
1. Inicjacja wektorów pomocniczych DSi - określających obciążenie elementowe
(międzywęzłowe) prętów
- dla sił skupionych - wektor SIi, w którym Px, Py - składowe lokalne siły skupionej , Mz - moment
skupiony, ksi - bezwymiarowa odcięta położenia obciążenia
IM SIi 4 1
SI i = [ Px Py Mz ksi ]T
- dla obc. rozłożonego - wektor TRi, w którym qx1, qy1, mz1 oraz qx2, qy2, mz2 rzędne
składowych obciążenia rozłożonego w ukl. lokalnym na początku i końcu, ksi1, ksi2 -
bezwymiarowe odcięte wyznaczające początek i koniec obciążenia
IM TRi 8 1
TR i = [ qx1 qy1 mz1 qx2 qy2 mz2 ksi1 ks2 ]T
2. Budowa wektorów sił przywęzłowych QLi, QSi dla poszczególnych prętów-
sprowadzających obciążenie elementowe do końców prętów (na podstawie biblioteki R2)
R2-SS QSi XYi SIi - dla obciążeń skupionych elementowych
R2-LN QRi XYi TRi - dla obciążeń rozłożonych elementowych
Page 16
16
Szczegółowy algorytm ... - budowa wektora obciążeń węzłowych
3. Zdefiniowanie i wyzerowanie sumarycznego wektora sił przywęzłowych konstrukcji
od obciążeń elementowych QEO - n - liczba niewiadomych
DM QEO n 1
4. Wypełnienie sumarycznego wektora sił przywęzłowych konstrukcji od obciążeń
elementowych QEO - na podstawie wektorów obciążeń poszczególnych prętów QSi lub QRi i
wektorów alokacji Ai
DWA QEO QSi Ai
DWA QEO QRi Ai
5. Inicjacja wektora obciążeń węzłowych konstrukcji QW0 - pochodzących od obciążeń
konstrukcji działających na jej węzły; w1, w2, w3, ... wn - składowe obciążeń węzłowych w
układzie globalnym w kolejności odpowiadanej kolejnym niewiadomym metody lub zero
IM QWO n 1w1 w2 w3 ..wi ... wn
6. Zdefiniowanie sumarycznego wektora wyrazów wolnych R
DM R n 1
7. Obliczenie sumarycznego wektora wyrazów wolnych R układu równań metody
przemieszczeń jako sumy wektora sił przywęzłowych QEO i obciążeń węzłowych QWO.
D QEO QWO R
Page 17
17
KAM> DM R 9 1
KAM> IM TR1 8 1
0.00000E+00 -29.000 0.00000E+00 0.00000E+00 -29.000 0.00000E+00 0.00000E+00 1.0000
KAM> R2-LN QEO XYR TR1
KAM> DWA R QEO A1
KAM> WS R
Matrix R
1
-------------¬
1 - 0.00000E+00 -
2 - -174.00 -
3 - 348.00 -
4 - 0.00000E+00 -
5 - 0.00000E+00 -
6 - 0.00000E+00 -
7 - 0.00000E+00 -
8 - 0.00000E+00 -
9 - 0.00000E+00 -
---------------
Szczegółowy algorytm ... - budowa wektora obciążeń węzłowych
Page 18
18
Szczegółowy algorytm ... - rozwiązanie układu równań MP
VIII. Rozwiązywanie układu równań K*X + R = 0
1. Kopiowanie utworzonej macierzy sztywności konstrukcji K i wektora wyrazów
wolnych QO:
KP R RKOP
KP K KKOP
2. Rozwiązanie układu równań kanonicznych metody przemieszczeń K* X = R Rozwiązanie (niewiadome geometryczne) umieszczone jest przez program w wektorze wyrazów
wolnych R.
RO KKOP RKOP KAM>KP R RKOP
KAM>KP K KKOP
KAM>RO KKOP RKOP
KAM> KP RKOP X
KAM> WS X
Matrix X
--------------¬
1 - -.62938E-10 -
2 - -.43286E-09 -
3 - 0.52271E-02 -
4 - -.55309E-10 -
5 - 0.37296E-10 -
6 - -.11302E-02 -
7 - 0.56510E-03 -
8 - -.55309E-10 -
9 - 0.56510E-03 -
---------------
Page 19
19
3. Wyznaczenie wektorów przemieszczeń przywęzłowych Qi dla poszczególnych
prętów - na podstawie globalnego wektora przemieszczeń układu X wyznaczonego powyżej oraz
wektora alokacji (wyjmowanie wektora na podstawie alokacji).
TWA X Ai Qi
Szczegółowy algorytm ... - rozwiązanie układu równań MP
KAM> TWA X A1 R1
KAM> TWA X A2 R2
KAM> TWA X A3 R3
KAM> TWA X A4 R4
KAM> TWA X A5 R5
KAM>WS R4
Matrix R4
1
--------------¬
1 - -.55309E-10 -
2 - 0.37296E-10 -
3 - -.11302E-02 -
4 - 0.00000E+00 -
5 - 0.00000E+00 -
6 - 0.56510E-03 -
---------------
Page 20
20
IX. Wyznaczenie sił węzłowych
1. Wyznaczenie wektorów zawierających rzędne wykresów sił przekrojowych na końcach
oraz w ‘k’ przekrojach pośrednich - od przemieszczeń węzłów pręta NQi , obciążeń
międzywęzłowych.NSi, NLi, NMi
R2-NP NQi XYi MATi GEOi Qi k - od przemieszczeń końców pręta
R2-NS NSi XYi DSi k - od sił skupionych międzywęzłowych pręta
R2-NS NMi XYi DMi k - od momentów skupionych międzywęzłowych pręta
R2-NL NLi XYi DTi k - od obciążeń rozłożonych międzywęzłowych pręta
2. Wyznaczenie sumarycznych macierzy sił przekrojowych dla poszczególnych prętów jako
suma wektorów wyznaczonych w punkcie poprzednim, np
D NQi NSi Ni - dla pręta obciążonego siła skupioną
D NQi NLi Ni - dla pręta obciążonego obciążeniem rozłożonym
KP NQi Ni - dla pręta nieobciążonego
3. Wyświetlenie wyników - macierzy Ni , zapisanie do pliku
WS Ni
ZAP Ni nazwa_pliku
Wyniki umieszczone zostaną w pliku nazwa_pliku.mat w katalogu FEAS/BIN
Szczegółowy algorytm ... - rozwiązanie układu równań MP
Page 21
21
KAM>R2-NP N1 XYH MAT GEO1 R1 10
KAM>R2-NP N3 XYH MAT GEO1 R3 0
KAM>R2-NP N5 XYH MAT GEO1 R5 0
KAM>R2-NP N2 XYV MAT GEO2 R2 0
KAM>R2-NP N4 XYV MAT GEO2 R4 0
KAM>R2-NL NEL1 XYH TR1 10
KAM>D N1 NEL1
KAM>WS N2
Matrix N2
1 2
--------------------------¬
1 - -170.44 -170.44 -
2 - -18.524 -18.524 -
3 - -98.793 49.396 -
---------------------------
Page 22
22
KAM>WS N1
Matrix N1
1 2 3 4 5 6
-¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¬
1 - -16.521 -16.521 -16.521 -16.521 -16.521 -16.521 -
2 - -190.47 -158.83 -127.19 -95.556 -63.920 -32.284 -
3 - -413.86 -223.34 -67.326 54.174 141.16 193.64 -
L¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦-
‹[1m<Ent
er>‹[0m‹[7D
‹[24;73H‹[K
7 8 9 10 11 12
-¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¬
1 - -16.521 -16.521 -16.521 -16.521 -16.521 -16.521 -
2 - -.64729 30.989 62.625 94.262 125.90 157.53 -
3 - 211.60 195.05 143.99 58.411 -61.677 -216.28 -
L¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦-
Page 23
23
KAM>WS N3
Matrix N3
1 2
-¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¬
1 - 2.0026 2.0026 -
2 - -12.905 -12.905 -
3 - -117.48 37.381 -
L¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦-
KAM>WS N4
Matrix N4
1 2
-¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¬
1 - 14.685 14.685 -
2 - 2.0026 2.0026 -
3 - 16.020 0.00000E+00 -
L¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦-
Page 24
24
KAM>WS N5
Matrix N5
1 2
-¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¬
1 - -.16964E-14 -.16964E-14 -
2 - 1.7801 1.7801 -
3 - 21.361 -.44409E-14 -
L¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦-
KAM>ZAP X WCR1
KAM>ZAP N1 WCR1
KAM>ZAP N2 WCR1
KAM>ZAP N3 WCR1
KAM>ZAP N4 WCR1
KAM>ZAP N5 WCR1
KAM>STOP
Page 25
25
Sporządzenie wykresów sił wewnętrznych na podstawie otrzymanych wyników
Fragment pliku WCR1 z wynikami (niezwiązany z podanym przykładem)
MTM1 3 5
-22.5262 -5.97683 -11.8210
-22.5262 -5.97683 -5.84416
-22.5262 -3.47683 0.132671
-22.5262 -0.976829 1.10950
-22.5262 -0.976829 2.08633
MTM2 3 5
-5.97683 22.5262 11.8210
-5.97683 12.5262 -5.70524
-5.97683 2.52622 -13.2315
-5.97683 -7.47378 -10.7577
-5.97683 -17.4738 1.71609
Interpretacja macierzy NTMi sił przekrojowych pręta i-tego:
•wiersz 1-szy zawiera składowe N, T, M w przekroju początkowym pręta
•wiersz ostatni zawiera składowe N, T, M w przekroju końcowym pręta
•kolejne kolumny są odpowiednio siłą osiowa, siła tnącą i momentem zginającym w przekroju
•dodatnie zwroty momentów zginających zależne są od obranego układu lokalnego.
Page 26
26
Sporządzenie wykresów sił wewnętrznych na podstawie otrzymanych wyników
413,9
211,59
216,3117,5
98,8
49,4
16,0
37,4
21,4
190,5
-157,5
18,5
-2,0
12,9-1,78
-16,5
-170,4 14,7
2,0
M
T
N