Wooldridge Cap03mco Multiple

1

Regresión Lineal Múltiple

yi = 0 + 1x1i + 2x2i + . . . kxki + ui

A. EstimaciónJavier Aparicio

División de Estudios Políticos, [email protected]

Primavera 2011

http://www.cide.edu/investigadores/aparicio/metodos.html

2

Similitudes con regresión simple 0 es el intercepto 1 a k son k parámetros de pendiente u es el término de error o residual El supuesto de media condicional cero se

mantiene: E(u|x1,x2, …,xk) = 0

Igual que antes, minimizamos la suma de residuales cuadrados, de modo que tenemos k+1 condiciones de primer orden (o k+1 parámetros a estimar)

3

Interpretación de la regresión múltiple

ribusceteris pa

xy

xx

xxxy

xxxy

k

kk

kk

ción interpreta una

tiene cada decir, es ,ˆˆ

que implica ,constantes ,..., mantenemos siy

,ˆ...ˆˆˆ

que modo de ,ˆ...ˆˆˆˆ

11

2

2211

22110

4

interpretada como una “derivada parcial”

2201

12111

22110

ˆˆˆˆ :auxiliar

regresión una de residuales losson

son ˆ donde ,ˆˆˆ

entonces ,ˆˆˆˆ

i.e. ,2 donde caso el Considere

xx

rryr

xxy

k

iiii

5

…“derivada parcial”

La ecuación anterior implica que “regresar y en x1 y x2” tiene el mismo estimador para x1 que regresar y en los residuales de una regresión de x1 en x2

Es decir, al relacionar x1 con y, solamente capturamos la información de xi1 que no está relacionada con xi2.

Estimamos el efecto de x1 en y después de controlar o aislar el efecto de x2

6

Estimación simple vs. múltiple

muestra. laen algunan correlació tengan no y bien o

)ivosignificat parcial efectoun tengano (i.e. 0ˆ

:que menos a ˆ~ general,En

ˆˆˆˆ multipleregresión lacon

~~~ simpleregresión la Compare

21

22

11

22110

110

xx

x

xxy

xy

7

Suma de cuadrados: Terminología

SSR SSE SST que implica cual Lo

SSR :cuadrados de Residual Suma la es ˆ

SSE :cuadrados de Explicada Suma la es ˆ

SST :cuadrados de Total Suma la es

:siguiente lodefinir podemos que modo De ˆˆ

:explicado no componenteun y co)(sistemáti explicado

componenteun en n observació cadaseparar Podemos

2

2

2

i

i

i

iii

u

yy

yy

uyy

SST es la suma de “desviaciones al cuadrado” de las observaciones de la muestra: es proporcional, más no igual, a VAR(y).

8

Bondad de ajuste: R2

¿Cómo saber qué tan bueno es el ajuste entre la regresión y los datos de la muestra?

Podemos calcular la proporción de la Suma de cuadrados totales (SST) que es “explicada” por el modelo.

Esto es la llamada R-cuadrada de una regresión: R2 = SSE/SST = 1 – SSR/SST

9

Bondad de ajuste: R2

22

2

2

2

ˆˆ

ˆˆ

:ˆ predichos, valoreslosy , ,observados

valoreslos entren correlació de ecoeficient del

cuadrado el como definirse puede también

yyyy

yyyyR

yy

R

ii

ii

ii

10

R-cuadrada: discusión

R2 nunca decrecerá conforme incluyamos más variables explicativas a la regresión, y por lo general aumentará (así sea marginalmente).

¿Por qué? Incluir variables adicionales aumenta la SSE aunque no sean significativas.

Dado que R2 típicamente aumenta con el número de variables independientes, no es por sí sola un buen criterio para comparar modelos.

11

no sesgadas: supuestos Gauss-Markov1. Modelo poblacional es lineal en sus parámetros:

y = 0 + 1x1 + 2x2 +…+ kxk + u2. Muestra aleatoria de tamaño n,

{(xi1, xi2,…, xik, yi): i=1, 2, …, n}, representativa de la población, de modo que el modelo muestral es: yi = 0 + 1xi1 + 2xi2 +…+ kxik + ui

3. E(u|x1, x2,… xk) = 0, lo cual implica que todas las variables explicativas son exógenas (no endogeneidad).

4. Ninguna variable x es constante ni tiene una correlación lineal exacta con otra (no multicolinealidad).

12

Demasiadas vs. pocas variables ¿Si incluimos variables que “no pertenecen

al modelo poblacional” en nuestra especificación o modelo?

No tiene impacto en el resto de las estimadas: MCO permanece sin sesgo.

¿Si excluimos variables que “sí pertenecen al modelo”?

En general, los estimadores MCO tendrán un sesgo de variable omitida.

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Sesgo de variable omitida

(*) ~

entonces ,~~~ estimamos

pero ,

:es modelo verdadero"" el que Supongamos

211

111

110

22110

xx

yxx

uxy

uxxy

i

ii

...ie, la estimación del “modelo incorrecto”. Comparémoslo con la del “modelo correcto”

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Sesgo de variable omitida(continuación)

iiiii

iiii

iiii

uxxxxxxx

uxxxx

uxxy

112112

2

111

2211011

22110

:es (*) denumerador el que modo de

,

:verdadero"" modelo el Retomando

15

211

211211

211

11

211

21121

~

tenemosesperado,alor calcular v al

0,)E( que dado

~

xx

xxxE

u

xx

uxx

xx

xxx

i

ii

i

i

ii

i

ii

Sesgo de variable omitida(continuación)

16

Sesgo de variable omitida(continuación)

sesgo.un tiene

~ i.e.,

~~ que modo de

en de impacto el denota ~

~ donde

~~~

:en deregresión la osConsiderem

1

1211

211

211

21111102

12

E

xx

xx

xxxxx

xx

i

ii

17

Sesgo positivo o negativo en 1

Corr(x1, x2) > 0

1 > 0)

Corr(x1, x2) < 0

1 < 0)

2 > 0 Sesgo positivo(overestimation)

Sesgo negativo

2 < 0 Sesgo negativo(underestimation)

Sesgo positivo

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Sesgo de variable omitida: resumen Dos casos donde el sesgo es igual a cero:

2 = 0, es decir, x2 no pertenecía al modelo poblacional

x1 y x2 no están correlacionados en la muestra

Si la correlación entre (x2, x1) y entre (x2, y) es del mismo signo, el sesgo es positivo.

Si omites una variable x2 que se mueve en el mismo sentido que x1, y ésta afecta positivamente a y, 1 capturará parte de dicho impacto (sobre- estimada).

Si la correlación entre (x2, x1) y entre (x2, y) es de signo opuesto, el sesgo es negativo.

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El caso más general: sesgo en todas las i Técnicamente, sólo podemos anticipar el signo de

este sesgo cuando el resto de las variables explicativas incluidas no están correlacionadas entre sí ni con la variable omitida

Si esto no se cumple, el sesgo afecta a todas las i estimadas, dependiendo de las covarianzas entre las variables incluidas y con la variable omitida.

Aún así, resulta útil calcular el sesgo de variable omitida asumiendo que las otras x no están correlacionadas, aún cuando este supuesto no se cumpla.

20

Varianza de los estimadores MCO Ya vimos que la “distribución muestral” de los

estimadores está centrada en torno a los “verdaderos” parámetros (insesgamiento).

¿Qué tan dispersa será la distribución de los estimadores?

Para analizar esto, requerimos el 5º supuesto Gauss-Markov:

Var(u|x1, x2,…, xk) = 2

conocido como homoscedasticidad (homoskedasticity): varianza constante.

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Varianza de MCO (cont.)

Sea x igual al vector de variables (x1, x2,…xk) Suponer que Var(u|x) = 2 también implica

que Var(y| x) = 2

Los 4 supuestos requeridos para insesgamiento, más el supuesto de homoscedasticidad son los llamados supuestos Gauss-Markov.

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Varianza de MCO (cont.)

xx

RRxxSST

RSSTVar

j

jjijj

jjj

otras las en todas deregresión una de

la es y

donde ,1

ˆ

:Markov-Gauss supuestos 5 los Dados

222

2

2

Es decir, SSTj captura la varianza de xi, mientras que R2j

captura la correlación entre xj y las otras x del modelo.

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Componentes de la Varianza de MCO Varianza del error: a mayor 2, mayor varianza de

los estimadores MCO. Varianza muestral: a mayor SSTj, menor varianza

de los estimadores MCO. A mayor tamaño de muestra, mayor SSTj y mayor

precisión de los estimadores. Correlación entre las variables explicativas: a mayor

Rj2, mayor varianza de los estimadores MCO.

Si dos variables x son altamente correlacionadas, sus b serán poco precisas.

Mayor varianza de los estimadores equivale a decir menor precisión o menor eficiencia.

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Error de especificación y eficiencia de los estimadores MCO

nados)correlacioestén no y que menos (a

ˆ~ :generalen que, modo De

,1

ˆ :correcto"" modelo el para que Mientras

~ donde ,

~~~ :"incorrecto" modelo el Comparemos

21

11

2

2

1

2

1110

xx

VarVar

RSSTVar

SSTVarxy

jjj

Estimar el modelo incorrecto produce una 1 sesgada (por la variable omitida) ¡pero de menor varianza (mayor precisión)!

Un modelo con variables omitidas puede ser engañosamente preciso.

Este es el llamado trade-off entre sesgo y eficiencia.

25

Trade-off entre sesgo y eficiencia La varianza del estimador es menor en el modelo

“incorrecto” pero, a menos que 2 = 0, este modelo será sesgado.

Un modelo con variables omitidas puede ser engañosamente preciso y posiblemente sesgado.

Un modelo con demasiadas variables puede ser engañosamente impreciso: pierdes más grados de libertad y enfrentas mayor multicolinearidad.

Conforme el tamaño de la muestra aumenta, la varianza de cada estimador disminuye, haciendo que las diferencias en eficiencia sean relativamente menos importantes.

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Estimación de la varianza del error No conocemos la varianza del error, 2, porque no

observamos los errores de la población, ui

Lo que observamos son los residuales (estimados) del modelo muestral:

Pero podemos usar los residuales estimados para construir un estimador de la varianza del error.

kikiii xxyu ˆ...ˆˆˆ 110

27

Varianza del error (cont)

212

22

1ˆˆ thus,

1ˆˆ

jjj

i

RSSTse

dfSSRknu

gl = n – (k + 1), o bien gl = n – k – 1 gl (grados de libertad) = (número de observaciones)

– (número de parámetros estimados) A mayores grados de libertad, mayor precisión de

los estimadores.

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Teorema Gauss-Markov

Dados los 5 supuestos Gauss-Markov, puede demostrarse que MCO es “MELI” (BLUE):

Mejor Estimador Lineal Insesgado Best Linear Unbiased Estimator De modo que, si los supuestos G-M se

sostienen, usar MCO es una buena idea. Si, además de estos 5 supuestos,

u ~ N(0, 2) MCO es el mejor estimador (lineal o no lineal) insesgado.