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Krümmung in der Mathematik
und Physik Lange Nacht der Wissenschaften 15. 6. 2018
Dr. rer. nat. Frank Morherr Technische Universität Dresden
www.scilogs.de/die-sankore-schriften/files/geometriendesunivefrsums.jpg de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie Wolfram Mathworld
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Was ist Krümmung?
• Gerade soll Krümmung Null haben.
• Prototyp Kreis
- großer Radius, kleine Krümmung:
- kleiner Radius, große Krümmung:
Daher liegt nahe zu definieren:
Krümmung k = 1/R
Quelle: www.shopzeus.co.uk
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Wie passt die Gerade hier rein?
Erdoberfläche ist gekrümmt,
trotzdem hielt sich hartnäckig
bis ins 15.Jh. die Ansicht
einer Scheibe.
Grund: Erdradius so groß,
dass man Krümmung auf
1. Blick nicht sieht.
Gerade ist Kreis mit großem Radius.
Quelle: Mein erstes Buch von Himmel und Erde
Quelle: www.astronomie.de/bibliothek/kleines-lehrbuch-der-astronomie
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Krümmung anderer Kurven der Gestalt
Differentialrechnung:
• Steigung Kurve = Steigung
Tangente =
• Krümmung Kurve =
Krümmung des
Krümmungskreises
Nötig hierfür:
Was ist der Krümmungskreis?
Annäherung von P´ und P´´
auf P ergibt Krümmungskreis
mit Radius
ghghg
2.51.250-1.25-2.5
3.75
2.5
1.25
0
-1.25
-2.5
x
y
x
y
www.matheprisma.de/Module/Kurven/pages/node21.htm
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Krümmung mit Vorzeichen
Mathematisch positive
Richtung ist entgegen dem
Urzeigersinn, daher
Positiv = Linkskrümmung
Steigung der Ableitung wächst
Negativ = Rechtskrümmung
Steigung der Ableitung fällt
http://www.netalive.org/rationale-funktionen/chapters/2.3.3.html
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Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen
Für Kurven der Gestalt
mit Parameter t gilt für die
Krümmung
Beispiel Ellipse
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Schnittkrümmung von Flächen
• Schnitt von Flächen mit
Ebenen ergibt Schnittkurven mit
Krümmung
• Hauptkrümmungen
= minimale und maximale
Krümmung
• Satz von Meusnier:
Abhängigkeit Krümmung von Winkel
der Schnittebene: Krümmungskreise
aller ebenen Schnitte durch dasselbe
Linienelement, d.h. Punkt mit
zugehöriger Tangentenrichtung der
Fläche liegen auf einer Kugel
• Hauptkrümmungsrichtungen
stehen senkrecht aufeinander. Quelle: hades
Quelle: hades
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Gaußsche Krümmung K
Theorema Egregium:
Gaußkrümmung K
hängt nur von der
Inneren Geometrie
der Fläche ab, nicht
von dem
umgebenden Raum
Quelle: https://geom.ivd.kit.edu/59_210.php
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Theorema Egregium von Gauß
http://scienceblogs.de/mathlog/2014/06/27/linksdrehende-uhren http://galerie.chip.de/k/landschaft-natur/makro/ameise/440614
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Anwendung: Ist das Universum flach oder gekrümmt?
Gauss, 1818: Messung der
Winkelsumme im Dreieck
Brocken-Inselsberg-Göttingen
→ Erdkrümmung 0
<1
Winkelsumme:
180
0
1
Winkelsumme:
180
0
1
Winkelsumme:
180
Messung durch
Interferometer, z.B.
Lisa (ursprünglich
zum Nachweis von
Gravitationswellen)
Quelle: Sterne und Weltraum
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Mittlere Krümmung H
Bei Minimalflächen
= Flächen minimaler
Oberfläche bei
vorgegebenem Rand
H = 0
Beispiel:
• Seifenhautgebilde
Oberflächenenergie ist
minimal
http://www.muenchenarchitektur.com
www.uni-regensburg.de/mathematik/fakultaet/sonstiges/mathematische-modellsammlung/index.html
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Bilder verschiedener Minimalflächen
Enneperfläche
Katenoid
Scherksche Fläche
Hennebergfläche
Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Minimalflaeche
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Geodäten
Geodäte ist lokal kürzeste
Verbindung zweier Punkte
auf einer Fläche
• Teile von Geraden auf Ebenen
• Teile von Großkreisen auf Kugeln
- Fluglinien
Allgemein: Lösungen der
Geodätengleichung
Quelle: http://scienceblogs.de/mathlog/2009/08/28/
topologie-von-flachen-lxxx
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Eulersche Polyederformel und Eulercharakteristik
Gegeben Polyeder (Vielflach)
• e : Anzahl der Ecken
• k : Anzahl der Kanten
• f : Anzahl der Flächen
Dann gilt
Eulercharakteristik:
Platonsche Körper
www.solon-line.de/2007/03/31/
mysterium-cosmographicum
http://www.faltgeometrie.ch/ueberuns/
platonische-koerper/index.html
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Historisch: Versuch der Gleichsetzung der Platonischen
Körpern mit den 4 bzw. 5 (Quintessenz!) Elementen der
griechischen Antike
http://www.rhenania-buchversand.de/data/pictures/930864_1.jpg
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Flächen unterschiedlicher Eulercharakteristik
Kugel Torus Brezelfläche
2006 Heiko Burkhardt Lilano.com
http://mathworld.wolfram.com
GriffithsHarrisAlgebraicGeometry
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Mathematik im Fernsehen: Simpsons
Topologie von Schmalzkringeln (Donuts)
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Satz von Gauß-Bonnet
Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik
mit der differential-geometrischen Größe Krümmung
K : Gaußkrümmung
M : Fläche
: stückweiser glatter Rand der Fläche
: geodätische Krümmung der Randkurve von M
: Eulercharakteristik von M
: Außenschnittwinkel an Ecken des Randes
Für glatten Rand sind alle Außenschnittwinkel Null und es folgt:
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Beispiel 1 zur Gauß-Bonnet-Formel
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Beispiel 2 zur Gauß-Bonnet-Formel
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Satz von Gauß-Bonnet für glatten Rand
Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik
mit der differential-geometrischen Größe Krümmung
K : Gaußkrümmung
M : Fläche
: glatter Rand der Fläche
: geodätische Krümmung der Randkurve von M
: Eulercharakteristik von M
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Anwendung des Satzes von Gauß-Bonnet
Aus dem Satz von Gauß-Bonnet folgt:
Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck, dessen
Randkurven aus Geodäten bestehen, ist
http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec15.html
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Die hyperbolische Kreisscheibe
Konstruktion Geodäten
Modell einer Geometrie mit unendlich vielen „Parallelen“
durch einen Punkt zu einer vorgegebenen „Geraden“.
Gläser: Mathematischer :Werkzeugkasten
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Kunst von M. C. Escher
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Der Riemannsche Krümmungstensor
• Auf gekrümmten Flächen
ändern Vektoren nach
Paralleltransport ihre
Richtung.
• Einführung des Symbols
als Ableitung des
Vektorfeldes Y in
Richtung des Vektorfeldes
X
• Riemannscher
Krümmungstensor:
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Einsteinsche Feldgleichung
• Ric : Riccitensor
• R : Skalarkrümmung, Spur von
Ric, R = 2K, K G.-Krümmung
• T : Energie-Impuls-Tensor
• g : Metrik (Abstandsfunktion)
• Λ : Kosmologische Konstante
Spezielle Lösung:
Schwarzschildmetrik eines
schwarzen Loches: Bublath,: Das neue Bild der Welt
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Albert Einstein und das Universum
Kurzbiographie:
1879 geboren 14. März in Ulm
1896 Maturitätsexamen in Aarau. Physikstudium in Zürich
1902 Patentamt in Bern
1905 spezielle Relativitäts- theorie
1908 Habilitation
1915 Allgemeine Relativitäts- theorie
1921 Nobelpreis
1933 Umzug nach Princeton
1955 Stirbt am 18. April
www.planet-wissen.de/politik_geschichte/persoenlichkeiten/
albert_einstein/img/tempx_einstein_pult_g.jpg
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Spezielle Relativitätstheorie
• Zeitdehnung
•Längenkontrak-
tion
•Massenzuwachs
Raum + Zeit = Raumzeit
Was ist Was: Moderne Physik, Tessloff-Verlag
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Visualisierte Lorentz-Kontraktion
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Visualisierte Lorentz-Kontraktion
Wieso kann man die Rückseite sehen?
Wenn die Platte sich
schnell genug bewegt,
genug bewegt, gelang
Licht von der Rückseite
zum Beobachter B Quelle: Fokus Sek
II
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Visualisierte Lorentz-Kontraktion
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Nachweise der speziellen Relativitätstheorie
Was ist Was: moderne Physik, Tessloff-Verlag www.scfx.ch/lorber/sonne.htm
Einsteingalerie.de
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Allgemeine Relativitätstheorie
Beschrieb Verhalten von
Körpern unter
Schwerkraft, doch Grund
für deren Existenz fand er
nicht.
Massen krümmen die
Raumzeit, wodurch
umlaufende Körper wie
auf einer schiefen Ebene
eine Kraft nach innen
erfahren.
Albert
Einstein
(1879-1955)
Isaac
Newton
(1643-1727)
PM Magazin PM Magazin
PM Magazin
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Gravitation bei Newton und Einstein
▪ Jeder Körper übt auf einen anderen Körper
eine anziehende Kraft aus.
Sir Isaac Newton
(1643 – 1727)
▪ Raum und Zeit sind zwei voneinander
unabhängige Erscheinungen.
Albert Einstein
(1879 – 1955)
Gravitationsgesetz
(1686)
Allgemeine Relativitätstheorie
(1915)
▪ Die Gravitationswirkung breitet
sich instantan (unendlich schnell) aus.
2
21
r
m mG
F
2
311-
s kg
m 10 6.673 G
m1 m2
F r
F
▪ Gravitation ist eine Eigenschaft von
Raum und Zeit; jede Masse bewirkt eine
Krümmung der 4-dimensionalen Raumzeit.
▪ Bewegte Massen erzeugen Änderungen in
der Krümmung, die sich mit Lichtgeschwind-
igkeit ausbreiten → Gravitationswellen.
x
y
(Gravitationskonstante)
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Allgemeine Relativitätstheorie
In großen Schwerefeldern
vergeht die Zeit langsamer.
Auf Neutronensternen könnte man seinen
Hinterkopf sehen, da Licht um den Stern
herumläuft.
Was ist Was: Moderne Physik, Tessloff-Verlag
Was ist Was: Moderne Physik, Tessloff-Verlag
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Scheinbare
Positionsänderung
von Sternen bei
totaler
Sonnenfinsternis
Nachweise der allgemeinen Relativitätstheorie
Periheldrehung des Merkur
Schwarze Löcher als Gravitationslinse
Bublath,: Das neue Bild der Welt
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Periheldrehung des Merkur
• Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in
deren einem Brennpunkt die Sonne steht
• Beeinflussungen der Planeten untereinander führen zu Störungen,
so dass sich der sonnennächste Punkt (Perihel) mit der Zeit
verschieben kann
• Perihel des Merkur dreht sich auch abzüglich der Einflüsse der
anderen Planeten noch zusätzlich um die Sonne mit einer
Winkelgeschwindigkeit von 43,1±0,5 Bogensekunden pro
Jahrhundert.
• Erst mit der Allgemeinen Relativitätstheorie konnte dieser Effekt
erklärt werden.
• Einsichtig wird dies so: Schneidet man
die sich im Zentralkraftfeld ergebende
Ellipse ein und drückt sie zusammen, so
schließt sie sich nicht mehr sondern wird
rosettenförmig und der Raum wird ein „Kegel“
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Gravitationswellen sich umkreisender Pulsare 1974: Hulse/ Taylor, Pulsare (PSR 1913/16) Nobelpreis 1993
http://www.weltderphysik.de/gebiet/astro/news/
2012/pulsare-als-detektoren-fuer-gravitationswellen
Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Neutronenstern
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Einsteinlinsen, Einsteinkreuze und Anwendung
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Dunkle Materie
Dunkle Materie, die nicht direkt sichtbar, aber mit
„Gravitations-Wechselwirkung“ behaftet ist, wird in der
Kosmologie postuliert, weil im Standardmodell der
Kosmologie nur so die Bewegung der sichtbaren Materie
erklärt werden kann, insbesondere die Geschwindigkeit, mit
der sichtbare Sterne das Zentrum ihrer Galaxie umkreisen.
In den Außenbereichen ist diese Geschwindigkeit deutlich
höher, als man es allein auf Grund der Gravitation der
Sterne, Gas- und Staubwolken erwarten würde.
Indirekt ist die Dunkle Materie durch ihre
Gravitationswechselwirkung dennoch beobachtbar,
z. B. durch Gravitationslinsen in der Astronomie
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Zukunft des Universums
http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec15.html
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Räumliche Krümmung, zeitliche Krümmung und
raumzeitliche Krümmung: Eine Veranschaulichung
Einzelheiten: Siehe Sterne und Weltraum Feb. Seite 38/März Seite 50
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Relativitätstheorie im Alltag Was Navigationssysteme mit Einstein zu tun haben
Global
Position
System
(GPS)
PM Magazin
Page 45
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und noch
viel Spaß bei der
DD Langen Nacht der Wissenschaften 2018