Goldener Schnitt Weltformel der Ästhetik oder doch nur ein Mythos? Jennifer Schroth (Matrikelnummer: 70360332) Eingereichte Abschlussarbeit zur Erlangung des Grades Bachelor of Arts im Studiengang Mediendesign an der Karl-Scharfenberg-Fakultät der Ostfalia Hochschule für angewandte Wissenschaften Erster Prüfer: Prof. Bernd Wolk Zweiter Prüfer: Dipl.-Des. /M.Sc. Berit Andronis Eingereicht am: 31.01.2017
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Goldener Schnitt
Weltformel der Ästhetik oder doch nur ein Mythos?
Jennifer Schroth
(Matrikelnummer: 70360332)
Eingereichte Abschlussarbeit
zur Erlangung des Grades
Bachelor of Arts
im Studiengang
Mediendesign
an der
Karl-Scharfenberg-Fakultät
der Ostfalia Hochschule für angewandte Wissenschaften
Erster Prüfer: Prof. Bernd Wolk
Zweiter Prüfer: Dipl.-Des. /M.Sc. Berit Andronis
Eingereicht am: 31.01.2017
Inhalt
Abkürzungsverzeichnis ..................................................................................................... IV
Abbildungsverzeichnis ...................................................................................................... V
Tabellenverzeichnis ......................................................................................................... VI
Diagrammverzeichnis...................................................................................................... VII
Symbolverzeichnis ......................................................................................................... VIII
1. Abgrenzung meiner Arbeit ............................................................................................ 1
Tabelle 5: Konstruktionen des Pentagramms ............................................................................ 8
Tabelle 6: Übersetzung des Ergebnisses der Kaninchenaufgabe ............................................ 12
Tabelle 7: Quotienten der Fibonacci-Folge .............................................................................. 13
Tabelle 8: Ergebnisse der Kaninchenaufgabe (Mathematik) ................................................... 21
Tabelle 9: Ergebnis von Frage 3 der Online-Umfrage .............................................................. 31
Tabelle 10: Ergebnis von Frage 6 der Online-Umfrage ............................................................ 34
Tabelle 11: Ergebnis von Frage 7 der Online-Umfrage ............................................................ 34
Tabelle 12: Ergebnis von Frage 4 der Online-Umfrage ............................................................ 36
Tabelle 13: Ergebnis von Frage 5 der Online-Umfrage ............................................................ 37
VII
Diagrammverzeichnis
Diagramm 1: Annäherung der Quotienten der Fibonacci-Folge an den goldenen Schnitt ..... 13
Diagramm 2: Fechners Ergebnisse zum Schönheitsempfinden von Rechtecken .................... 30
Diagramm 3:Die Ergebnisse der Online-Umfrage im Vergleich mit Fechners Ergebnissen .... 32
Diagramm 4: Ergebnisse der Fragen 6 und 7 der Online-Umfrage .......................................... 34
Diagramm 5: Die Ergebnisse der Online-Umfragen 3, 6 und 7 im Vergleich ........................... 35
Diagramm 6: Ergebnisse der Frage 4 der Online-Umfrage ...................................................... 36
VIII
Symbolverzeichnis
Symbol Beispiel Interpretation Bezeichnung
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ Streckenangabe Strecke von Punkt A nach Punkt B Strecke AB
∆𝐴𝐵𝐶 Dreieck Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C Dreieck ABC
α α = 30° Der Winkel α beträgt 30 Grad Alpha
β β = 30° Der Winkel β beträgt 30 Grad Beta
γ γ = 30° Der Winkel γ beträgt 30 Grad Gamma
φ , ϕ Goldener Schnitt Teilungsverhältnis vom goldenen Schnitt (1,618…)
Phi
° 180° Der Winkel beträgt 180 Grad (Winkelangabe in Grad)
Grad
% 50% 50 Prozent (Prozentangabe) Prozent
𝑥 𝑥 + 3 Unbekannter Wert x
+ 𝑎 + 𝑏 a und b werden addiert Plus
− 𝑎 − 𝑏 b wird von a subtrahiert Minus
= 𝑎 = 𝑏 a ist gleich b Gleich
∙ 𝑎 ∙ 𝑏 a wird mit b multipliziert Mal
÷ , ∶ 𝑎 ÷ 𝑏 a wird durch b dividiert Geteilt
√ √5 Wurzel aus 5 Wurzel aus
< 𝑎 < 𝑏 a ist kleiner als b Kleiner als
> 𝑎 > 𝑏 a ist größer als b Größer als
≥ 𝑎 ≥ 𝑏 a ist größer als b oder gleich b Größer als oder gleich
=̂ 𝑎 =̂ 𝑏 a entspricht b Entspricht
≈ 𝑎 ≈ 𝑏 a ist ungefähr gleich b Ungefähr gleich
𝕃 𝕃 ≤ 𝑎 Die Lösungsmenge ist kleiner oder gleich a
Lösungsmenge
∈ 𝑎 ∈ 𝐴 Das Element a ist in der Menge A enthalten
ℕ Natürliche Zahlen
Å Ångström
⋮ Und so weiter
1
1. Abgrenzung meiner Arbeit
Ist der goldene Schnitt die Weltformel der Ästhetik? Wenn dem so wäre, müsste man dann
nicht ganz genau berechnen können was schön ist und was nicht? Wäre dann wirklich all das
was dem goldenen Schnitt entspricht schön und alles andere nicht? Oder liegt das
Schönheitsempfinden doch nur im Auge des Betrachters?
Unter dem Thema „Goldener Schnitt – Weltformel der Ästhetik oder doch nur ein Mythos?“
beschäftigt sich diese wissenschaftliche Arbeit mit genau diesen Fragen.
Um einen umfangreichen Überblick über das Thema „Goldener Schnitt“ zu bieten, beginnt
diese Arbeit mit ein paar grundlegenden Aspekten. Dazu gehört zunächst die ursprüngliche
Definition des goldenen Schnittes. Daran schließen dann verschiedene Konstruktionsarten an.
Anschließend werden die Zusammenhänge zwischen dem goldenen Schnitt und dem
Pentagramm sowie dem Ikosaeder behandelt. Die Erläuterungen der Fibonacci-Folge und der
Fibonacci-Spirale schließen die Grundlagen ab.
Im nächsten Abschnitt geht es näher in die Mathematik die hinter den Grundlagen steckt.
Denn auch aus mathematischer Sicht ist das Teilungsverhältnis des goldenen Schnittes ein
beeindruckendes Phänomen. Unter dem Kapitel „Geschichte“ gibt eine Timeline eine zeitliche
Übersicht über die Entdeckung dieses Teilungsverhältnis.
Die anschließenden Vorkommen des goldenen Schnittes in Natur, Architektur und der Kunst
leitet die kritische Auseinandersetzung gegenüber dem goldenen Schnitt als Weltformel für
Ästhetik ein. Eine psychologische Sicht auf die Meinung der Befürworter schließt diese Arbeit
ab.
2
2. Grundlagen
2.1. Was ist der goldene Schnitt?
Als goldenen Schnitt bezeichnet man ein Teilungsverhältnis, bei dem sich eine kleinere Größe
zu einer größeren Größe zueinander so verhält, wie die größere Größe zur Summe aus beiden
Größen. Diese beiden Größen werden oft mit den Begriffen Major (M) und Minor (m) betitelt,
wobei Major für die größere Größe und Minor für die kleinere Größe steht. Das Ergebnis eines
solchen Verhältnisses ist immer eine irrationale Zahl, welche überwiegend mit dem
griechischen Buchstaben Phi (φ, ϕ), gekennzeichnet wird. Zum besseren Verständnis folgt
eine Erklärung der Definition am Beispiel einer Strecke (Abb. 1) mit mathematischer Formel.
Abb. 1: Teilung einer Strecke im goldenen Schnitt 1
Eine Strecke von A nach B wird durch den Schnittpunkt S geteilt, wodurch die beiden Strecken
a und b entstehen. Laut der Definition müssen sich nun a und b zueinander so verhalten wie
a+b zu a. Mathematisch entsteht folgende Formel:
𝑎
𝑏 =
𝑎 + 𝑏
𝑎
Oder:
𝑏
𝑎 =
𝑎
𝑎 + 𝑏
In beiden Fällen ist das Ergebnis der goldene Schnitt. Fügt man Phi (φ) mit in die Formel ein,
erhält man folgende:
𝑎
𝑏 =
𝑎 + 𝑏
𝑎= ф
Oder:
𝑏
𝑎 =
𝑎
𝑎 + 𝑏= ф
Gibt man nun einer dieser Strecken die Länge von 1 erhält man durch umformen die
irrationale Zahl Phi (hier auf drei Stellen nach dem Komma gekürzt): 1,618 oder 0,618
Die näheren mathematischen Vorgänge werden später im Kapitel „Mathematik“ erläutert.
1 Quelle 1: Eigene Darstellung in Anlehnung an Beutelspacher, Albrecht, 1996, S. 15
3
2.2. Konstruktionen des goldenen Verhältnisses einer Strecke
Es gibt verschiedene Konstruktionsmöglichkeiten um eine Strecke im goldenen Schnitt zu
teilen ohne das Verhältnis ausrechnen zu müssen. Diese Verfahren sind in zwei Kategorien
unterteilt: der äußeren Teilung und der inneren Teilung. Letzteres teilt die Strecke im
Verhältnis des goldenen Schnittes, wohingegen die äußere Teilung die Grundstrecke um eine
Strecke im Verhältnis des goldenen Schnittes erweitert.
Tabelle 1: Verfahren der inneren Teilung
Klassische innere Teilung:
1. Zuerst wird von Punkt B ausgehend eine Senkrechte mit der halben Länge der Grundstrecke 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ gezeichnet. Das Ende dieser Strecke wird mit C gekennzeichnet.
2. Nun wird der Punkt C mit Punkt A durch eine Gerade verbunden.
3. An Punkt C wird danach ein Kreisbogen mit der Länge 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ geschlagen. Dieser Kreisbogen schneidet die Strecke 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ in Punkt D.
4. Zum Schluss wird ein neuer Kreisbogen ausgehend von Punkt A mit dem Radius 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ gezeichnet, der die Grundstrecke 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ im Schnittpunkt S im goldenen Verhältnis teilt.
Innere Teilung nach Euklid:
1. Zuerst wird von Punkt A ausgehend eine Senkrechte mit der halben Länge der Grundstrecke 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ gezeichnet. Das Ende dieser Strecke wird mit C gekennzeichnet.
2. Von Punkt C ausgehend wird nun ein Kreisbogen mit dem Radius 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ geschlagen. Dieser schneidet die Verlängerung der Strecke 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ in Punkt D.
3. Ein weiterer Kreisbogen von Punkt A ausgehend mit dem Radius 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ teilt die Grundstrecke 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ im Punkt S im goldenen Verhältnis.
4
Innere Teilung nach Kurt Hoffstetter:
1. Schlage zwei Kreisbögen mit dem Radius 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ausgehend von Punkt A und Punkt B. Diese Kreisbögen schneiden einander an zwei stellen: C und C‘
2. Die Verbindungslinie von C und C‘ teilt die Grundlinie 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ durch ihren Mittelpunkt M.
3. Konstruiere Zwischen den Punkten A, B und C ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge von 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
4. Zeichne von Punkt M ausgehend einen Kreisbogen mit dem Radius 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Dieser Kreisbogen schneidet den am Anfang gezeichneten Kreisbogen in Punkt D. Durch Geraden zwischen Punkt D, B und M wird ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert.
5. Zum Schluss werden noch die Punkte D und C durch eine Gerade verbunden, die die Grundstrecke im Punkt S im goldenen Verhältnis teilt.
2
Tabelle 2: Verfahren der äußeren Teilung
Klassische äußere Teilung:
1. Zuerst wird von Punkt S ausgehend eine Senkrechte mit der
halben Länge der Grundstrecke 𝐴𝑆̅̅̅̅ gezeichnet. Das Ende dieser Strecke wird mit C gekennzeichnet.
2. Schlage zwei Kreisbögen mit dem Radius 𝐴𝑆̅̅̅̅ um die Punkte A und S. Konstruiere durch die Verbindung der beiden Schnittpunkte der Kreisbögen mittels einer Geraden den Mittelpunkt M.
3. Zeichne einen Kreisbogen von Punkt M ausgehend mit dem Radius 𝑀𝐶̅̅̅̅̅. Dieser Kreisbogen schneidet die Verlängerung der Strecke 𝐴𝑆̅̅̅̅ in Punkt B, wodurch die Strecke 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ durch den Punkt S im goldenen Verhältnis geteilt wird.
2 Quelle 2: Eigene Darstellung in Anlehnung an o. V. https://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt#Geometrische_Aussagen, 02.11.2016
5
Äußere Teilung nach George Odom:
Bei diesem Verfahren wird, anders als bei den anderen Verfahren, die Grundstrecke mit konstruiert. Die Grundstrecke ist also nicht gegeben, sondern wird durch das Verfahren ermittelt.
1. Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks.
2. Als nächstes wird ein Kreis um das Dreieck gezeichnet, welches alle Ecken des Dreiecks berührt.
3. Das Halbieren zweier Seiten des Dreiecks bringt die Punkte A und S hervor. Die Gerade zwischen diesen Punkten stellt unsere Grundstrecke für die äußere Teilung dar.
4. Die Verlängerung der Strecke 𝐴𝑆̅̅̅̅ schneidet den Kreis in Punkt B. Die Strecke 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ wird nun durch den Punkt S im goldenen Verhältnis geteilt.
3
2.3. Das Pentagramm
Das Pentagramm ist das Paradebeispiel der geometrischen Formen, wenn es um den
goldenen Schnitt geht. Es weist gleich in mehrfacher Hinsicht das goldene Verhältnis auf.
Bei einem regelmäßigen Pentagramm sind alle Seiten gleich lang und damit auch die
Dreiecke, welche die Spitzen des Pentagramms bilden. Durch diese regelmäßige Anordnung
ist auch das Pentagon in der Mitte regelmäßig.4 Verbindet man alle Spitzen im
Uhrzeigersinn, oder auch entgegen dessen, erhält man ein weiteres regelmäßiges Fünfeck. In
der folgenden Tabelle sind alle weiteren Eigenschaften des Pentagramms kurz
zusammengefasst.
3 Quelle 3: Eigene Darstellung in Anlehnung an o. V. https://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt#Geometrische_Aussagen, 02.11.2016
4 Vgl. Baravalle, Hermann v. , 5. Auflage 2014, S. 7f.
6
Tabelle 3: Eigenschaften des Pentagramms
Parallelogramm:
Die Seiten 𝐸𝐴̅̅ ̅̅ und 𝐹𝐵̅̅ ̅̅ sowie 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ und 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ stehen parallel zueinander und bilden so ein Parallelogramm.
Konstruiert man in das kleine Pentagon noch ein
Pentagramm, bilden die Seiten 𝐴𝐻̅̅ ̅̅ und 𝐼𝐹̅̅ ̅ sowie 𝐴𝐼̅̅ ̅ und 𝐻𝐹̅̅ ̅̅ ein weiteres Parallelogramm
Dreiecke:
Das Pentagramm besteht aus zwei unterschiedlichen Dreieckstypen, die in mehreren Größen in das Pentagramm konstruiert werden können. Nachfolgend werden beispielhaft die verschiedenen Größen mit der Anzahl ihrer Vorkommen aufgelistet:
Spitze Dreiecke (grau dargestellt) - ∆𝐵𝐶𝐸 = 5 Mal - ∆𝐸𝐼𝐹 = 15 Mal - ∆𝐻𝐺𝐸 = 10 Mal
Stumpfe Dreiecke (gelb dargestellt) - ∆𝐴𝐾𝐷 = 10 Mal - ∆𝐴𝐾𝐻 = 15 Mal - ∆𝐻𝐼𝐺 = 5 Mal
Winkel:
Das Pentagramm beinhaltet drei verschiedene Winkel:
𝛼 = 36° 𝛽 = 72° 𝛾 = 108°
Die Besonderheit dabei ist:
𝛽 = 2𝛼 𝛾 = 3𝛼 = 𝛽 + 𝛼
5
Ausgehend von der Gleichheit der Dreiecke ist zu schlussfolgern, dass auch die Seitenlängen
der Dreiecke sich gleichen. Daraus ist wiederum zu schließen, dass die Verhältnisse dieser
Seiten sich gleichen.
5 Quelle 4: Eigene Darstellung in Anlehnung an Baravalle, Hermann v., 2014, S. 7-11
7
Durch diese Erkenntnisse lassen sich nun die
herausragenden goldenen Eigenschaften des Pentagramms
besser nachvollziehen. Denn die Strecke 𝐸𝐵̅̅ ̅̅ wird von der
Strecke 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt.
Dadurch ist die Strecke 𝐸𝐼̅̅ ̅ der Major (M) und die Strecke 𝐼𝐵̅̅ ̅
der Minor (m). Die Strecke 𝐸𝐵̅̅ ̅̅ wird aber auch von der
Strecke 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ im goldenen Verhältnis geteilt. Dadurch wird die
Strecke 𝐴𝐻̅̅ ̅̅ zum Minor (m) und die Strecke 𝐻𝐵̅̅ ̅̅ zum Major
(M) (Abb. 2). Die folgende Tabelle zeigt alle Major-Strecken
mit dazugehörigen Minor-Strecke.
Tabelle 4: Pentagramm-Strecken die im Verhältnis des goldenen Schnittes zueinanderstehen
Major Minor
𝐸𝐻̅̅ ̅̅ 𝐼𝐵̅̅ ̅
𝐴𝐾̅̅ ̅̅ 𝐾𝐶̅̅ ̅̅
𝐵𝐹̅̅ ̅̅ 𝐹𝐷̅̅ ̅̅
𝐷𝐻̅̅ ̅̅ 𝐻𝐴̅̅ ̅̅
𝐶𝐺̅̅ ̅̅ 𝐺𝐸̅̅ ̅̅
𝐻𝐵̅̅ ̅̅ 𝐸𝐻̅̅ ̅̅
𝐼𝐶̅̅ ̅ 𝐴𝐼̅̅ ̅
𝐾𝐷̅̅ ̅̅ 𝐾𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅ 𝐹𝐶̅̅̅̅
𝐴𝐺̅̅ ̅̅ 𝐺𝐷̅̅ ̅̅
𝐼𝐵̅̅ ̅ 𝐻𝐼̅̅̅̅
𝐾𝐵̅̅ ̅̅ 𝐹𝐾̅̅ ̅̅
𝐾𝐶̅̅ ̅̅ 𝐼𝐾̅̅ ̅
𝐶𝐹̅̅̅̅ 𝐺𝐹̅̅ ̅̅
𝐷𝐹̅̅ ̅̅ 𝐹𝐾̅̅ ̅̅
Major Minor
𝐷𝐺̅̅ ̅̅ 𝐺𝐻̅̅ ̅̅
𝐸𝐺̅̅ ̅̅ 𝐺𝐹̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅ 𝐻𝐼̅̅̅̅
𝐴𝐻̅̅ ̅̅ 𝐻𝐺̅̅ ̅̅
𝐴𝐼̅̅ ̅ 𝐼𝐾̅̅ ̅
𝐴𝐻̅̅ ̅̅ 𝐼𝐻̅̅̅̅
𝐵𝐼̅̅ ̅ 𝐼𝐾̅̅ ̅
𝐶𝐾̅̅ ̅̅ 𝐾𝐹̅̅ ̅̅
𝐷𝐹̅̅ ̅̅ 𝐹𝐺̅̅ ̅̅
𝐸𝐺̅̅ ̅̅ 𝐺𝐻̅̅ ̅̅
𝐴𝐼̅̅ ̅ 𝐼𝐻̅̅̅̅
𝐵𝐾̅̅ ̅̅ 𝐾𝐼̅̅ ̅
𝐶𝐹̅̅̅̅ 𝐹𝐾̅̅ ̅̅
𝐷𝐺̅̅ ̅̅ 𝐺𝐹̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅ 𝐻𝐺̅̅ ̅̅
Major Minor
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝐵𝐼̅̅ ̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝐴𝐼̅̅ ̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝐵𝐾̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝐶𝐾̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝐵𝐾̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝐶𝐹̅̅̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝐶𝐾̅̅ ̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝐶𝐹̅̅̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅
𝐷𝐸̅̅ ̅̅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅
𝐷𝐸̅̅ ̅̅ 𝐷𝐺̅̅ ̅̅
𝐷𝐸̅̅ ̅̅ 𝐸𝐺̅̅ ̅̅
𝐸𝐴̅̅ ̅̅ 𝐸𝐺̅̅ ̅̅
𝐸𝐴̅̅ ̅̅ 𝐸𝐻̅̅ ̅̅
𝐸𝐴̅̅ ̅̅ 𝐴𝐻̅̅ ̅̅
Wie der Tabelle zu entnehmen ist, gibt es zu jeder Strecke des Pentagramms eine
dazugehörige Strecke im Verhältnis des goldenen Schnittes.
Abb. 2: Das Pentagramm
8
Das Pentagramm wird auch oft als „Fenster ins Unendliche“ bezeichnet. In das innere
Pentagon eines Pentagramms kann ein weiteres Pentagramm reinkonstruiert werden. Diese
Konstriktion kann rein theoretisch betrachtet unendlich lang wiederholt werden und aus
dieser Eigenschaft wird auch die Bezeichnung, des Fensters ins Unendliche, hergeleitet.
Abschließend folgt noch eine Tabelle, welche zwei verschiedene Konstruktionsarten des
Pentagramms beschreiben.
Tabelle 5: Konstruktionen des Pentagramms
Konstruktion des Pentagramms in einem Kreis:
1. Die Grundlage dieser Konstruktion bildet ein Kreis.
2. Zunächst werden zwei Kreisdurchmesser (a und b)
gezeichnet, die im rechten Winkel zueinanderstehen.
3. Durch das Halbieren des Radius von Durchmesser a,
entsteht Punkt A.
4. Von Punkt A aus wird nun ein Kreisbogen mit dem
Durchmesser 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ausgehend von Punkt A geschlagen, der
den Durchmesser a an Punkt B schneidet.
5. Anschließend wird ein Kreisbogen mit dem Durchmesser
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ von ausgehend von Punkt C gezeichnet, der den Kreis
in Punkt D schneidet.
6. Mit dem selben Durchmesser wird nun ein Kreisbogen um
Punkt D geschlagen, woraus sich Schnittpunkt E ergibt.
Dieser Schritt wird von Punkt E und F aus wiederholt.
7. Die Schnittpunkte C, D, E, F und G bilden die Grundlage
des Pentagramms. Die Punkte C und E, sowie E und G, G
und D, D und F, und F und C werden Abschließend mit
Geraden verbunden, wodurch das Pentagramm entsteht.
9
Konstruktion des Pentagramms aus der Fünfeckseite:
1. Zuerst wird eine Strecke, mittels der klassischen inneren
Teilung, im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt.
2. Nun wird ein erster Kreisbogen mit dem Radus AB um den
Punkt A geschlagen und ein zweiter mit dem Radius AC.
Dieser Schritt wird um Punkt B mit den gleichen Radien
wiederholt. So entstehen die Schnittpunkte D und E.
3. Nun wird eine Gerade gezogen, die von Punkt A über
Punkt E hinausgeht, bis sie den großen Kreisbogen um
Punkt B schneidet (Schnittpunkt H).
4. Eine weitere Gerade wird wieder von Punkt A ausgehend
über den Punkt D hinaus gezeichnet. Diese Gerad wird sich
später mit einer anderen Geraden schneiden.
5. Anschließend werden die letzten beiden Schritte
spiegelverkehrt, ausgehend von Punkt B wiederholt. Jetzt
ergibt sich auch der Schnittpunkt F aus den beiden
Geraden.
6. Zum Schluss werden noch die Punkte G und H mit einer
Geraden verbunden und das Pentagramm ist vollendet.
6
2.4. Der Ikosaeder
Ein Beispiel für den goldenen Schnitt in der dreidimensionalen
Geometrie ist das Ikosaeder. Es gehört neben den Tetraeder,
Oktaeder, Hexaeder und Dodekaeder zu den platonischen Körpern,
welche sich durch ihren besonders gleichmäßigen Aufbau
auszeichnen. Äußerlich betrachtet besteht der Ikosaeder aus 20
gleichseitigen Dreiecken, von denen immer fünf an einer Ecke des
platonischen Körpers aufeinandertreffen (Abb. 3).
6 Quelle 5: Eigene Darstellung in Anlehnung an Baravalle, Hermann v., 2014, S. 6f. u. 17
Abb. 3: Außenhülle des Ikosaeders
10
Der goldene Schnitt ist erst bei genauerer Betrachtung des inneren
Aufbaus zu erkennen. Er besteht aus drei Rechtecken, welche das
Seitenverhältnis des goldenen Schnittes aufweisen. Diese Rechtecke
haben alle denselben Mittelpunkt und stehen senkrecht zueinander.
Die Ecken, der sich durchdringenden goldenen Rechtecke, bilden die
Eckpunkte des Ikosaeders (Abb. 4 7).8
2.5. Der goldene Winkel
Den goldenen Schnitt kann man auch auf einen Winkel übertragen, welcher dann als goldener
Winkel bezeichnet wird. Um den goldenen Winkel zu erhalten, muss der Vollwinkel im
Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt werden. Im Folgenden wird die Rechnung für den
goldenen Winkel anhand des Dreisatzes erklärt. Die Zahl Phi wird hierfür auf drei Stellen nach
dem Komma, auf 1,618 gekürzt. Wie am Anfang schon erwähnt beträgt das Verhältnis vom
goldenen Schnitt 1 zu 1,618. Der Major beträgt also 1,618 und der Minor 1. Beide zusammen
ergeben 2,618 und bilden somit das Ganze (100%).
Ein Vollwinkel (100%) hat einen Wert von 360°. Es ergibt sich also folgendes:
2,618 =̂ 100% =̂ 360°
2,618 =̂ 360°
Wir suchen nun Major (1,618) und Minor (1) von 360°.
2,618 = 360°
1 ≈ 137,5°
1,618 ≈ 222,5°
Der Major beträgt also ≈ 222,5° und der Minor ≈ 137,5°. Vor allem der Minor-Winkel spielt in
der Phyllotaxis eine besondere Rolle, worauf im Kapitel „Vorkommen in der Natur“ noch näher
eingegangen wird.
7 Quelle 6: Eigene Darstellung in Anlehnung an o. V., 2006, https://de.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder#/media/File:Icosahedron-golden-rectangles.svg, 01.12.2016 8 Vgl. Peter, Bernhard, 2005, http://www.dr-bernhard-peter.de/Goldsch/seite590.htm, 02.11.2016
Über viele Jahre hinweg haben sich einige Mathematiker und Wissenschaftler mit dem
natürlichen Vorkommen des goldenen Schnittes befasst. Ihre Erkenntnisse und Vermutungen
über die Zusammenhänge zwischen der Natur und dem goldenen Schnitt werden in diesem
Kapitel erläutert.
In der Natur lassen sich viele Phänomene beobachten, die einen
Zusammenhang mit dem goldenen Schnitt nahelegen. So auch
bei der Phyllotaxis von einigen Pflanzenarten. Ihre Blätter
wachsen an einem Ast im Verhältnis des goldenen Winkels
zueinander. Beginnend vom ersten Blatt am Ast, wächst das
zweite Blatt in einem Winkel von ca. 137,5° zum ersten. Das
dritte Blatt wächst wiederum zum zweiten Blatt im goldenen
Winkel (Abb. 14 27). Da der goldene Winkel auf einer
irrationalen Zahl beruht, können sich zwei Blätter niemals zu 100% überschneiden. Das
wiederum kommt der Photosynthese zugute und ermöglicht der Pflanze eine maximale
Lichtausbeute. Dieses Phänomen kommt nicht nur an den Blättern eines Astes vor, sondern
auch bei der Anordnung von Blütenblättern. Zu dieser Form des goldenen Schnittes werden
verschiedene Kohlsorten, vielblättrige Rosen, die Sonnenblume, Agaven und einige
Palmenarten gezählt.
Eine besondere Form des goldenen Winkels stellt die
Sonnenblume dar. Sie verbindet in ihrem Blütenkorb den
goldenen Winkel mit der Fibonacci-Folge. Die Kerne der
Sonnenblume liegen nämlich auf spiralförmigen Linien, welche
ihren Ursprung in der Mitte haben und sich bis an den Rand
winden. Dabei sind sowohl rechtsdrehende als auch
27 Quelle 10: Eigene Darstellung in Anlehnung an Beyer, Wolfgang, 2004, https://de.wikipedia.org/wiki/Phyllotaxis#/media/File:Goldener_Schnitt_Blattstand.png, 02.11.2016
Abb. 14: Phyllotaxis im goldenen Winkel
Abb. 15: Blütenkorb einer Sonnenblume mit Spiralzügen
linksdrehende Spiralarme zu entdecken (Abb. 15 28). Die
Anzahl der Kerne eines Spiralarmes, egal ob links- oder
rechtsdrehend entsprechen häufig einer Fibonacci-Zahl. Hinzu
kommt, dass die Anzahl der Kerne beider Spiralarme zwei
benachbarter Fibonacci-Zahlen entsprechen und somit im
Verhältnis des goldenen Schnittes zueinanderstehen. 29 Bei
genauerer Betrachtung sind die Kerne, genau wie die oben
genannten Blätter, im goldenen Winkel zueinander
angeordnet.30 Eine vergrößerte Darstellung, wie in Abb. 16 31 lässt den goldenen Winkel
erkennen. Diese Form des goldenen Schnittes taucht auch bei Zapfen, der Ananas und einigen
Kaktusarten auf.
Der goldene Schnitt taucht in der Natur auch oft in Form des
Pentagramms auf. Viele Blumen besitzen fünf Blütenblätter,
die wie die Spitzen eines Pentagramms angeordnet sind. Ein
sehr gutes Beispiel stellt die Akelei dar. Sie besitzt durch ihren
doppelten Aufbau gleich zwei Pentagramme (Abb. 17 32). Es
gibt eine Vielzahl dieser fünfblättrigen Blüten, wie zum
Beispiel die der Glockenblume, der Heckenrose oder des
Hibiskus. Bei einem Apfel oder einer Birne kann man das
Pentagramm in der Anordnung ihrer Kerne erkennen. Nicht
nur viele Pflanzen weisen diese Form des goldenen Schnittes
auf, sondern auch der Seestern oder der Seeigel. 33
28 Quelle 11: Eigene Darstellung in Anlehnung an o. V., http://healthyhomegardening.com/View_Image.php?pid=1425&ptype=plan&im=gardengeek/sunflower_pattern.jpg, 01.12.2016 29 Vgl. o. V., 2004, http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/zahlen/dergoldeneschnitt.html (Biologie), 02.11.2016 30 Vgl. Bochsler, Katharina /Wick, Hanna, 2014, http://www.srf.ch/sendungen/einstein/big-data-das-grosse-vermessen/die-mathematik-der-pflanzen (6/12 Der goldene Winkel im Blütenkorb), 01.12.2016 31 Quelle 12: Eigene Darstellung in Anlehnung an Bochsler, Katharina /Wick, Hanna, 2014, http://www.srf.ch/sendungen/einstein/big-data-das-grosse-vermessen/die-mathematik-der-pflanzen (6/12 Der goldene Winkel im Blütenkorb), 01.12.2016 32 Quelle 13: Eigene Darstellung in Anlehnung an o. V., 2016, http://tobwild.de/akelei-aquilegia-vulgaris/, 16.11.2016 33 Vgl. o. V., http://www.asamnet.de/~hollwecm/section/anwendung3.htm#sch%F6n, 02.11.2016
Abb. 16: Blütenkorb der Sonnenblume mit goldenem Winkel
Seitenverhältnissen. Er bat die Leute dann das Rechteck auszuwählen, welches sie am
wohlgefälligsten fanden. Eindeutiger Sieger dieser Umfrage war das goldene Rechteck.
Diagramm 2: Fechners Ergebnisse zum Schönheitsempfinden von Rechtecken
48
Gäbe es wirklich eine Weltformel für Schönheit und Ästhetik, die im Verhältnis des goldenen
Schnittes zu finden sein soll, so müsste man davon ausgehen, dass die Formel bis heute gilt.
Das heißt bei einer Wiederholung Fechners Experimentes, müsste wieder das goldene
Rechteck gewinnen. Genau aus diesem Grund hat Holger Höge das Experiment von Fechner,
ebenfalls über mehrere Jahre durchgeführt aber andere Ergebnisse erzielt. Das beliebteste
Rechteck seiner Studie ist das Quadrat. Da solch ein unterschiedliches Ergebnis die Vermutung
eines Fehlers nahelegt, wurde das Experiment mehrfach wiederholt. Die Ergebnisse blieben
aber die gleichen.49
Inspiriert von diesen Ergebnissen führte auch ich eine Umfrage, ähnlich dem Fechner-
Experiment, durch. Die Umfrage erstellte ich mit Hilfe der Internetplattform survio.com. Sie
bestand aus fünf Fragen die alle auf die Wahrnehmung von Schönheit abzielten. Eineinhalb
Wochen lang konnten die Leute abstimmen. Die ersten beiden Fragen zielten auf das Alter
und das Geschlecht der Befragten ab. Bei der dritten Frage sollten die Probanden, wie bei
48 Quelle 14: Eigene Darstellung in Anlehnung an o. V., http://www.asamnet.de/~hollwecm/section/meinmess.htm, 19.01.2017 49 Vgl. Höge, Holger, 2016, S. 147-151
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
40,00%
1:1 5:6 4:5 3:4 20:29 2:3 21:34 13:23 1:2 2:5
Fechners Ergebnisse zum Schönheitsempfinden von Rechtecken
Männliche Probanden Weibliche Probanden
31
Fechners Experiment entscheiden, welches der zehn abgebildeten Rechtecke sie am
schönsten finden.
Die Seitenverhältnisse der Rechtecke waren folgende:
A = 1:1
B = 5:6
C = 4:5
D = 3:4
E = 7:10
F = 2:3
G = 5:8
H = 13:23
I = 1:2
K = 2:5
50
Abb. 19: Grafik zu Frage 3 der Online-Umfrage
Und so haben die 63 Probanden abgestimmt:
Tabelle 9: Ergebnis von Frage 3 der Online-Umfrage
Stelzner, Ruben (2003): Der goldene Schnitt, http://www.golden-section.eu/kapitel5.html,
02.11.2016
43
Eidesstattliche Erklärung
Hiermit erkläre ich an Eides Statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne
unerlaubte Hilfe angefertigt, andere als die angegebenen Quellen nicht benutzt und die den
benutzten Quellen wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich
gemacht habe.
Ort, Datum
(Unterschrift)
44
Anhang
45
Anhang 1
Die pq-Formel
In diesem Artikel lernst du, wie man quadratische Gleichungen mit Hilfe der pq-Formel löst.
Bevor wir uns anschauen, wie das funktioniert, fragen wir uns, was man unter quadratischen
Gleichungen überhaupt versteht.
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades, d.h. die Variable 𝑥
kommt in keiner höheren als der zweiten Potenz vor.
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Um die pq-Formel anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in der sog.
"Normalform" vorliegen:
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0
Normalform bedeutet, dass der Koeffizient vor 𝑥² gleich 1 ist. Die Normalform erhält man,
indem man die Gleichung durch den Koeffizienten vor dem 𝑥² (also durch 𝑎) teilt.
Die pq-Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung in Normalform lautet
𝑥1,2 = −𝑝
2± √(
𝑝
2)
2
− 𝑞
46
pq-Formel - Beispiel
Gegeben ist die quadratische Gleichung
2𝑥2 − 4𝑥 − 16 = 0
Bevor wir die pq-Formel auf unser Beispiel anwenden können, müssen wir die Gleichung
normieren, d.h. in die Normalform bringen. Dazu teilen wir die Gleichung durch den
Koeffizienten, der vor 𝑥² steht - in diesem Fall also durch 2.
2𝑥2 − 4𝑥 − 16 = 0 | ÷ 2
𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0
Nun liegt die Gleichung in Normalform vor und wir können die pq-Formel anwenden.
Allgemein
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0
𝑥1,2 = −𝑝
2± √(
𝑝
2)
2
− 𝑞
Beispiel
𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0
𝑥1,2 = −−2
2± √(
−2
2)
2
− −8 = 1 ± 3
Jetzt lösen wir noch das ±-Zeichen (Plus-Minus-Zeichen) auf.
Demzufolge gibt es zwei Lösungen:
𝑥1 = 1 − 3 = −2
𝑥2 = 1 + 3 = 4
Wusstest du schon, dass du mit deinem Casio Taschenrechner auch quadratische
Gleichungen lösen kannst?
47
Diskriminante einer quadratischen Gleichung
Der Ausdruck unter der Wurzel in der pq-Formel (gelb markiert) heißt "Diskriminante der quadratischen Gleichung" und macht eine Aussage über die Lösbarkeit der Gleichung.
𝑥1,2 = −𝑝
2± √(
𝑝
2)
2
− 𝑞
Die Diskriminante D ist
𝐷 = (𝑝
2)
2
− 𝑞
gilt 𝐷 > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen 𝑥1 und 𝑥2
gilt 𝐷 = 0, gibt es eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2)
gilt 𝐷 < 0, existiert keine reelle Lösung
Zu jedem dieser drei Lösungsfälle schauen wir uns im nächsten Abschnitt ein Beispiel an.
pq-Formel: Mögliche Lösungen
1. Zwei verschiedene reelle Lösungen
2𝑥2 − 8𝑥 + 6 = 0 | ÷ 2
𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0
𝑥1,2 = −𝑝
2± √(
𝑝
2)
2
− 𝑞
= −−4
2± √(
−4
2)
2
− 3
= 2 ± √(−2)2 − 3
= 2 ± √4 − 3
48
= 2 ± √1 Für die Diskriminante gilt: 𝐷 > 0
= 2 ± 1
𝑥1 = 2 − 1 = 1
𝑥2 = 2 + 1 = 3
Es gibt zwei Lösungen:
𝑥1 = 1 und 𝑥2 = 3
2. Eine reelle Lösung
2𝑥2 − 8𝑥 + 8 = 0 | ÷ 2
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0
𝑥1,2 = −𝑝
2± √(
𝑝
2)
2
− 𝑞
= −−4
2± √(
−4
2)
2
− 4
= 2 ± √(−2)2 − 4
= 2 ± √4 − 4
= 2 ± √0 Für die Diskriminante gilt: 𝐷 = 0
= 2 ± 0
𝑥1 = 2 − 0 = 2
𝑥2 = 2 + 0 = 2
Es gibt eine Lösungen (sic!):
𝑥 = 2
49
3. Keine Lösung
2𝑥2 − 8𝑥 + 14 = 0 | ÷ 2
𝑥2 − 4𝑥 + 7 = 0
𝑥1,2 = −𝑝
2± √(
𝑝
2)
2
− 𝑞
= −−4
2± √(
−4
2)
2
− 7
= 2 ± √(−2)2 − 7
= 2 ± √4 − 7
= 2 ± √−3 Für die Diskriminante gilt: 𝐷 < 0
Die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert!