BAB I TRANSFORMASI GEOMETRI A. Pengertian dan Jenis-Jenis Transformasi 1. Pengertian Transformasi Geometri Transformasi Geometri atau lebih sering disebut transformasi adalah mengubah setiap koordinat titik (titik-titik dari suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan satu aturan tertentu. Misalnya, transformasi T terhadap titik P(x, y) menghasilkan bayangan P’(x’ , y’), operasi tersbut dapat kita tulis sebagai: P( x,y ) T P'( x ', y' ) 2. Jenis-Jenis Transformasi Transformasi pada bidang terdiri atas 4 jenis, yaitu : translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbesaran/perkalian). a. Translasi (Pergeseran) 1
47
Embed
happymatematic.files.wordpress.com · Web viewBAB I. TRANSFORMASI GEOMETRI. Pengertian dan Jenis-Jenis Transformasi. Pengertian Transformasi Geometri. Transformasi Geometri atau
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB I
TRANSFORMASI GEOMETRI
A. Pengertian dan Jenis-Jenis Transformasi
1. Pengertian Transformasi Geometri
Transformasi Geometri atau lebih sering disebut transformasi adalah mengubah setiap
koordinat titik (titik-titik dari suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan satu
aturan tertentu. Misalnya, transformasi T terhadap titik P(x, y) menghasilkan bayangan P’(x’ , y’),
operasi tersbut dapat kita tulis sebagai:
P( x , y )T⃗ P' ( x ', y ' )
2. Jenis-Jenis Transformasi
Transformasi pada bidang terdiri atas 4 jenis, yaitu : translasi (pergeseran), refleksi
(pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbesaran/perkalian).
a. Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak dan
arah tertentu. Jarak dari arah suatu translasi dapat dilambangkan dengan garis berarah, misalnya
AB atau vektor(ab )
. Perhatikan Gambar dibawah ini:
1
Gambar : T menggeser titik A ke titik A’
Contoh :
1. Tentukan bayangan P (2,3) oleh translasi T =(43 )
! Lengkapilah dengan gambar!
Jawab:
P (2,3 ) T⃗ =(43 ) P (x ', y ' )
x’ = x + a = 2 + 4 = 6
y’ = y + b = 3 + 3 = 6
Jadi, bayangan P (2,3) oleh translasi T =(43 )
adalah P’ (6,6).
Gambar:
2
A ( x , y ) T⃗ (ab ) A ' ( x ', y ' )=A ' ( x+a , y+b )
2. Translasi T memetakan A (2, 3) menjadi A’ (5, -1).
a. Tentukan translasi T!
b. Tentukan bayangan dari titik B (4, 5) oleh translasi T tersebut!
Jawab :
a.A (2,3 )⃗
T=¿ ( a¿ )¿¿ ¿¿¿¿
x’ = x + a →5 = 2 + a sehingga a = 3
y’ = y + b →-1 = 3 + b sehingga b = - 4
Jadi, translasi T adalah T =
( 3−4)
b.B (4,5 )⃗T=¿ ( a¿ )¿
¿ ¿¿¿¿
x’ = 4 + 3 = 7
y’ = 5 + (-4) = 1
Jadi, bayangan dari B(4, 5) adalah B’ (7, 1)
3
b. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi atau sering disebut dengan istilah pencerminan adalah suatu transformasi dengan
memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat-sifat pencerminan pada cermin
datar (bayangan cermin dari titik-titik) yang akan dipindahkan. Pencerminan dilambangkan Mi
dengan i menyatakan jenis pencerminan.
1) Pencerminan terhadap Sumbu X, Sumbu Y, Garis y = x, dan Garis y = -x
Perhatikan Gambar dibawah ini:
4
Jika P(a, b) dicerminkan terhadap sumbu X maka bayangannya adalah P’ (a, -b), dapat ditulis
P (a , b ) M⃗x P ' (a ,−b ) Jika P(a, b) dicerminkan terhadap sumbu Y maka bayangannya adalah P’ (-a, b), dapat ditulis
P (a , b ) M⃗y P ' (−a ,b )
Jika P(a, b) dicerminkan terhadap titik asal O (0, 0) maka bayangannya adalah P’(-a, -b),
dapat ditulis
P (a , b ) M⃗o P ' (−a ,−b ) Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = x maka bayangannya adalah P’ (b, a), dapat
ditulis
P (a , b ) M⃗y=x P ' (b , a ) Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = -x maka bayangannya adalah P’ (-b, -a), dapat
ditulis
P (a , b ) M⃗y=−x P ' (−b ,−a )
2) Pencerminan terhadap Garis x = h dan garis y = k
Perhatikan Gambar dibawah ini:
5
Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis x = h maka bayangannya adalah P’ (2h – a, b), dapat
ditulis P (a ,b ) M⃗x=h P ' (2 h−a ,b )
Jika P(a, b) dicerminkan terhadap garis y = k maka bayangannya adalah P’ (a, 2k - b), dapat
ditulis P (a , b ) M⃗y=k P' (a ,2 k−b )
Contoh :
1. Tentukan bayangannya jika:
a. A(3, 5) dicerminkan terhadap sumbu X
b. B(4, -2) dicerminkan terhadap sumbu Y
c. C(2, -5) dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0)
d. D(-7, 2) dicerminkan terhadap garis y = x
e. E(-5, -4) dicerminkan terhadap garis y = -x
f. F(2, -3) dicerminkan terhadap garis x = 3
g. G(-1, 7) dicerminkan terhadap garis y = 4
Jawab:
a. A (3,5 ) M⃗x A ' (3 ,−5 )
b. B (4 ,−2 ) M⃗y B ' (−4 ,−2 )
c. C (2 ,−5 ) M⃗o C ' (−2,5 )
6
d. D (−7,2 ) M⃗y= x D' (2 ,−7 )
e. E (−5 ,−4 )⃗ My=− x E ' (4,5 )
f. F (2 ,−3 ) M⃗x=3 F ' (2(3 )−2 ,−3 )=F ' (4 ,−3 )
g. G (−1,7 ) M⃗y=4 P ' (−1,2(4 )−7 )=G ' (−1,1 )
2. Jika titik A(2, 1) dicerminkan terhadap garis x = a menghasilkan bayangan A’ (4, 1) maka
tentukan nilai a!
Jawab :
P (a , b ) M⃗x=h P ' (2 h−a , b )
A (2,1 ) x⃗=a A ' (4,1 )x’ = 2a – x sehingga 4 = 2a – 2
6 = 2a
3 = a
c. Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan
cara memutar pada pusat titik tertentu.
Rotasi atau perputaran pada bidang datar ditentukan oleh hal-hal berikut.
a. Pusat perputaran
b. Arah perputaran
7
c. Besar sudut perputaran
Pusat perputaran suatu rotasi terdiri atas dua, yaitu di titik O(0, 0) dan di titik A(x, y).
Sementara itu, arah perputaran suatu rotasi dapat berlawanan arah jarum jam (disebut rotasi
positif) dan dapat pula searah jarum jam (disebut rotasi negatif). Bayangan dari rotasi suatu titik
dapat kita tentukan sebagai berikut.
Rotasi terhadap Titik Pusat O(0, 0)
Jika P(a, b) diputar sebesar α berlawanan arah jarum jam (rotasi positif), dengan pusat rotasi
di O(0, 0), maka bayangan yang terjadi sebagai berikut.
P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )a’ = a cos α – b sin α
b’ = a sin α + b cos α
P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' ) = P’ (a cos α – b sin α , a sin α + b cos α )
Jika P(a, b) diputar sebesar α searah jarum jam (rotasi negatif), dengan pusat rotasi di O(0,
0), maka bayangan yang terjadi sebagai berikut.
P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )a’ = a cos α + b sin α
b’ = -a sin α + b cos α
P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )= P’ (a cos α + b sin α , - a sin α + b cos α )
Rotasi terhadap Titik A (x, y)
Jika P(a, b) diputar sebesar α dengan pusat rotasi di A (x, y), maka bayangan yang terjadi
sebagai berikut.
8
P(a ,b ) R⃗ (A , a) P ' (a ', b ' )P(a , b ) R⃗ (O, a )P ' (a ', b' )= P’ [(a – x) cos α - (b – y) sin α +x, (a – x) sin α + (b – y) cos α + y)]
Catatan : Rotasi yang berlawanan arah dengan jarum jam sudut rotasinya diberi tanda
positif (+). Rotasi yang searah jarum jam sudut rotasi diberi tanda negatif (-).
Contoh :
1. Tentukan bayangan dari A(5, 4) jika dirotasi 90o berlawanan arah dengan jarum jam dengan
pusat rotasi O(0, 0)!
Jawab :
A(5, 4) = A(a, b)
Pusat rotasi O(0, 0)
a’ = a cos 90o – b sin 90o maka a’ = 5 cos 90o – 4 sin 90o = -4
b’ = a sin 90o+ b cos 90o maka b’ = 5 sin 90o+ 4 cos 90o = 5
Jadi, bayangan dari A(5, 4) adalah A’(-4, 5)
d. Dilatasi (Perkalian)
9
Gambar : Rotasi positif sebuah segitiga
terhadap titik pusat O(0, 0) sebesar 90o.
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun geometri
(pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi pada bidang
datar ditentukan oleh hal-hal berikut.
a. Pusat dilatasi
b. Faktor dilatasi
Pusat dilatasi terdiri atas dua, yaitu di titik O(0, 0) dan di titik A (x, y). Sementara itu, faktor
dilatasi dapat bersifat positif (pembesarannya searah) dan dapat pula bersifat negatif
(pembesarannya berlawanan arah). Faktor dilatasi disebut juga dengan faktor skala.
Pada dilatasi suatu bangun faktor K akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangan.
(I) Jika K > 1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan
bangun semula.
(II) Jika 0 < K < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi
dan bangun semula.
(III) Jika -1 < K < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak berlainan pihak terhadap
pusat dilatasi dan bangun semula.
(IV) Jika K < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak berlainan terhadap pusat dilatasi
dan bangun semula.
Bayangan dari dilatasi suatu titik dapat kita tentukan sebagai berikut.
Dilatasi dengan Pusat di O(0, 0)
10
Jika P(a, b) didilatasikan dengan faktor skala k dan pusat dilatasi di O, maka bayangannya
sebagai berikut.
P’ (ka, kb)
Dilatasi dengan Pusat di Titik A(x, y)
Jika P(a, b) didilatasikan dengan faktor skala k dan pusat dilatasi di O, maka bayangannya
sebagai berikut.
Contoh :
1. Tentukan bayangan A(2, 3) hasil dilatasi dengan faktor skala 4 dan pusat dilatasi O(0, 0)!
Lengkapi dengan gambar!
Jawab :
A(2,3 ) [⃗O, 4 ] A ' ( a ',b ' )
a’ = k a = 4. 2 = 8
b’ = k b = 4. 3 = 12
11
P(a , b ) [⃗O ,k ] P' (ka , kb )
P(a , b ) [⃗ A , k ] P '(a ', b ' )= P’ [x + k (a – x), y + k (b – y)]
Gambar : Dilatasi ∆ ABC dengan pusat dilatasi
O dan faktor skala 2 (pembesaran 2 kali)
Jadi, A’ (8, 12)
2. Tentukan bayangan B(-1, 4) hasil dilatasi dengan faktor skala 3 dan pusat dilatasi P(2, 5)!
Lengkapi dengan gambar!
Jawab :
B(−1,4 ) [⃗ P ,3 ] B ' (a ',b ' )
a’ = k (a – x) + x= 3 (-1 – 2) + 2= -7
b’ = k (b – y) + y = 3 ( 4 – 5) + 5 = 2
Jadi, B’ ( -7, 2)
B. Matriks yang Bersesuaian dengan Transformasi
Misalkan suatu transformasi T memetakan titik P ( a, b) menjadi P’ (a’, b’). Hubungan antara
titik dan bayangannya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan
a’ = pa + qb
dan dalam bentuk lain menjadi (a'b ' ) =
( p qr s )
(ab )
b’ = ra + sb
Bentuk dari ( p q
r s )disebut dengan istilah matriks transformasi .
Beberapa matriks transformasi yang bersesuaian dengan operasi transformasi yang telah
kamu pelajari sebagai berikut :
No
.
Transformasi Pemetaan Matriks yang
Bersesuaian
1. Pencerminan terhadap sumbu X (a, b) → (a, -b) (1 00 −1 )
2. Pencerminan terhadap sumbu Y (a, b) → (-a, b) (−1 00 1 )
12
3. Pencerminan terhadap O (0, 0) (a, b) → (-a, -b) (−1 00 −1 )
4. Pencerminan terhadap garis y = x (a, b) → (b, a) (0 11 0 )
5. Pencerminan terhadap garis y = - x (a, b) → (-b, -a) ( 0 −1−1 0 )
6. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar α (a, b) → (a’, b’ )
a’ = a cos α - b sin α
b’ = a sin α + b cos α
(cos α −sin αsin α cos α )
7. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar π2
(a, b) → (-b, a) (0 −11 0 )
8. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar π (a, b) → (-a, -b) (−1 00 −1 )
9. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar −π
2(a, b) → (-b, -a) ( 0 −1
−1 0 )10. Rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar k (a, b) → ( ka, kb) (k 0
0 k )
Matriks rotasi dan dilatasi pada tabel diatas merupakan rotasi dan dilatasi yang berpusat di
titik O(0, 0). Untuk rotasi dan dilatasi yang berpusat di titik A( x , y) perhatikan dengan baik
uraian berikut :
1. Rotasi Sebesar α dengan Pusat di Suatu Titik A( x , y)
P(a ,b ) R⃗ [ A ,α ] P ' ( a ',b ' )dengan
(a'b ' ) =
(cos α −sin αsin α cos α )(a−x
b− y ) +
(xy)
2. Dilatasi dengan Faktor Skala k dengan Pusat di Suatu Titik A( x , y)
P(a , b ) [⃗ A , k ] P ' (a ', b ' )dengan(a'b ' ) =
(k 00 k )
(a−xb− y )
+ (x
y)
13
3. Transformasi dengan Matriks
Jika P(a, b) ditransformasi dengan matriks ( p q
r s ) dengan p, q, r, dan s merupakan
bilangan real, maka bayangannya adalah (a'b ' ) =
( p qr s )(a
b ).
Contoh :
1. Tentukan bayangan dari titik P(2, 3) jika ditransformasikan oleh matriks ( 2 3−1 4 )
!
Jawab :
P’ =
( 2 3−1 4 )
(23 )
= ( 4+9−2+12)
= (1310 )
Jadi P’ ( 13, 10)
2. Tentukan bayangan dari segitiga A(1, 2), B(3, 7), dan C(1, 8) jika dicerminkan terhadap
sumbu X!
Jawab :
A’ B’ C’
(x '
y ' ) = (1 00 −1 )(1 3 1
2 7 8)
(x '
y ') = ( 1 3 1−2 −7 −8)
Jadi, A’ (1, -2 ), B’ ( 3, -7), C’ (1, -8)
C. Komposisi Transformasi
Komposisi transformasi adalah dua transformasi yang digunakan secara berurutan. Sebagai
contoh, translasi T1 yang dilanjutkan dengan translasi T2 terhadap titik P (a, b) dapat kita tulis
14
P(a ,b )T⃗ 2oT1 P ''(a '',b '' ).
Persamaan diatas dapat kita baca “T2 komposisi T1 terhadap P (a, b) menghasilkan P” (a”, b”)”.
1. Komposisi Dua Translasi
Jika T1 = (a1
b1)
dan T2 = (a2
b2)
, maka T1 º T2 = (a1
b1)
+ (a2
b2)
= (a1+a2
b1+b2)
dan T2 º T1 =(a2
b2)
+
(a1
b1)
= (a2+a1
b2+b1)
. Ternyata T1 º T2 = T2 º T1 , maka komposisi dua translasi yang berurutan bersifat
komutatif.
Contoh :
Diketahui : T1 = (43 )
, T2 = (−2
1 ) , dan P(2, 5).
Tentukan : a. T1 º T2 P b. T2 º T1 P
a. T1 º T2 P(2, 5) = T1 º [(−21 )+(25 )]
= T1 º (06 )
=(43 )
+(06 )
=(4
9) →
P’’(4, 9)
b. T2 º T P(2, 5) = T2 º [(43 )+(25 )]
= T2 º (68 )
= (−2
1 )+ (68 )
= (4
9)→P’’(4, 9)
2. Komposisi Dua Refleksi
a. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis yang Sejajar Sumbu Y
Jika : M1 = refleksi terhadap garis x = h
M2 = refleksi terhadap garis x = k
Maka :
1) P(a , b ) M⃗ 2oM 1 P ''(a '', b '')
15
P (a ,b ) M⃗x=h P ' (2 h−a ,b ) M⃗x=k P left [2k - left (2h - a right ),b right ]} {¿
P '' [2 (k−h )+a , b ]
Jadi, P(a , b ) M⃗ 2oM 1 P '' [2 (k−h )+a ,b ] .
2) P(a ,b )⃗M1oM 21 P ''(a '', b '')
P (a , b ) M⃗x=k P' (2 k−a , b ) M⃗x=h P left [2h - left (2k - a right ),b right ]} { ¿P '' [2 (h−k )+a , b ]
Jadi, P(a , b ) M⃗1oM 2 P '' [2 (h−k )+a , b ] .
Contoh :
Diketahui : M1 = Mx = 3
dan P(2, 4)
M2 = Mx = 3
Tentukan :
a) M1 º M2 P(2, 4)
b) M2 º M1 P(2, 4)
Jawab :
a) M1 º M2 P(2, 4) = P (2,4 ) M⃗x=5 P ' (2 .5−2,4 ) = P’(8, 4)
=P ' (8,4 ) M⃗x=3 P '' (2 .3−8,4 ) = P”(-2, 4)
Jadi, M1 º M2 P(2, 4) → P”(-2, 4).
b) M2 º M1 P(2, 4) = P (2,4 ) M⃗x=3 P ' (2 . 3−2,4 ) = P’(4, 4)
= P ' (4,4 ) M⃗x=5 P '' (2 .5−4,4 ) = P”(6, 4)
Jadi, M2 º M1 P(2, 4)→ P”(6, 4).
16
Kesimpulan: M1 º M2 P ≠ M2 º M1 P.
b. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis yang Sejajar Sumbu X
Jika : M1 = refleksi terhadap garis y = h
M2 = refleksi terhadap garis y = k
Maka :
1) P(a , b ) M⃗ 2oM 1 P ''(a '', b '')
P (a , b ) M⃗y=h P' ( a ,2 h−b ) M⃗x=k P left [a,2k - left (2h - b right ) right ]} {¿
P '' [ a ,2 k−2h+b ]
P '' [ a ,2 (k−h )+b ]
Jadi, P (a , b ) M⃗y=h P '' [a , 2 (k−h )+b ]
.
2) P(a , b ) M⃗1oM 2 P ''( a '',b '')
P (a , b ) M⃗y=k P' (a ,2 k−b ) M⃗y=h P left [a,2h - left (2k - b right ) right ]} {¿
P '' [ a ,2 h−2 k+b ]
P '' [ a ,2 (h−k )+b ]
Jadi, P(a , b ) M⃗ 1oM 2 P '' [a , 2 (h−k )+b ]
.
c. Komposisi Refleksi terhadap Dua Garis yang Saling Tegak Lurus
1) Komposisi Refleksi terhadap Garis x = h dan y = k
a) Refleksi terhadap Garis x = h Dilanjutkan terhadap Garis y = k
P (a , b ) M⃗x=h P ' (2 h−a , b ) M⃗y=k P '' (2h−a ,2 k−b )