Departamento de matemática
Liceo técnico bicentenario
Juanita Fernández Solar
Guía de Síntesis Matemática 3°medio
Nombre: ______________________________ Curso: 3° ___
Objetivo: Tomar decisiones en situaciones de incerteza que
involucren el análisis de datos estadísticos con probabilidades
condicionales
Tomar decisiones en situaciones de incerteza que involucren el
análisis de datos estadísticos con medidas de dispersión
Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o
situaciones de crecimiento y decrecimiento, que involucran las
funciones exponenciales
Indicaciones: A continuación, se presentará una serie de
conceptos ya visto en años anteriores acompañados de ejercicios y
problemas donde los emplean de forma de recordatorio para el
posterior trabajo de las otras guías.
1. ¿Qué es una probabilidad?
Una probabilidad es un cálculo matemático de las posibilidades
que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar.
Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles
resultados distintos del experimento.
Ejemplo: Lanzar un dado común (6 caras) el espacio muestral
es
Casos favorables: Es el número de eventos favorables. Obtener un
numero par, al Lanzar un dado común (6 caras) los casos favorables
son 3.
Ahora recordamos la regla de Laplace para calcular la
probabilidad de obtener un numero par, al lanzar un dado común
RESPUESTA: La probabilidad de obtener un numero par, al Lanzar
un dado común es del 50%
Actividad 1; Calcular las siguientes probabilidades
a) Obtener sello al lanzar una moneda = ____ b) Escoger una
mujer de las estudiantes de su curso = ___
c) En una urna con bolitas del 1 al 20, sacar una que sea menor
que 13 = ___
d) La probabilidad de obtener 2 sellos al lanzar 2 monedas =
______
2. Probabilidad condicionada
Si tenemos dos eventos, A y B, la probabilidad condicional de
que ocurra el evento , dado que ha ocurrido el evento , se
representa como , y se calcula de la siguiente manera:
Se lee la probabilidad que suceda el evento A dado que ocurrió
el evento B es igual a la probabilidad de que suceda el evento A y
el evento B () dividido por la probabilidad del evento B.
Ejemplo: En un control de tráfico fueron multados 150
conductores, a cada conductor se le preguntó cuántos años de
experiencia tienen manejando. Toda la información se presenta en el
siguiente recuadro:
Con menos de 5 años de experiencia
Con 5 o más años de experiencia
Total
Con cinturón (cc)
32
70
102
Sin cinturón (sc)
40
8
48
Total
72
78
150
¿Cuál es la probabilidad de que se multe a una persona por andar
sin cinturón dado que cuenta con menos de 5 años de
experiencia?
Paso 1: Denominamos los eventos A y B
A= andar sin cinturón B= Con menos de 5 años de experiencia
Paso 2: Para determinar la probabilidad de primero debemos
identificar las probabilidades de . La probabilidad es la
probabilidad de cuando el evento A pasa a la misma vez que el
evento B (multado sin cinturón y con menos de 5 años de
experiencia) que en este caso serian 40 (casos favorables) dividido
150 (casos totales)
Paso 3: La probabilidad es la probabilidad de ser multado con
menos de 5 años de experiencia 72(casos favorables) dividido 150
(casos totales).
Paso 4: Calcular
Respuesta: La probabilidad de que se multe a una persona por
andar sin cinturón dado que cuenta con menos de 5 años de
experiencia es .
Actividad 2; A modo de practica resuelve en tu cuaderno
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se multe a una persona por
andar sin cinturón dado que cuenta con más de 5 años de
experiencia?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se multe a una persona por
andar con cinturón dado que cuenta con más de 5 años de
experiencia?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se multe a una persona con
más de 5 años de experiencia dado que no usaba el cinturón?
3. Permutación
Se denomina permutación, a cada una de las diferentes
ordenaciones que se pueden realizar con todos los elementos de un
conjunto.
Si, sí importa el orden de colocación de los elementos, se
utilizan todos los elementos y no se repiten los elementos,
entonces, la fórmula para calcular el número de permutaciones de
elementos es:
Ejemplo: ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar
con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
No se repiten los números, se utilizan todos los elementos.
Actividad 3: A modo de practica resuelve en tu cuaderno las
siguientes situaciones
a) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de
la palabra “ORDENA” formando palabras que tengan o no sentido?
b) La cantidad de formas distintas en que pueden ordenarse 7
niños en una fila.
c) ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados 6 equipos de
fútbol que participan en un torneo?
4. Combinación
Una combinación de un número de elementos es una disposición de
una parte de ellos, prescindiendo del orden.
Si, no importa el orden de colocación de los elementos y no se
repiten los elementos, entonces, la fórmula para calcular el número
de combinaciones de “ elementos sacados de un total de elementos
es:
Ejemplo: Calcular el número de combinaciones de 10
elementos tomados de 4 en 4.
Elementos totales = 10 = n
Tomados de = 4 en 4 = k
Respuesta: El número de combinaciones de 10 elementos
tomados de 4 en 4 es de 210.
Actividad 4: A modo de practica resuelve en tu cuaderno las
siguientes situaciones
a) Se quiere seleccionar 4 personas, de un curso de 15 alumnos,
para un concurso de cueca. ¿De cuántas formas se puedo hacer la
selección?
b) Un cocinero va a preparar una ensalada de verduras con
tomate, zanahoria, papa y brócoli. ¿De cuántas formas se puede
preparar la ensalada usando solo 2 ingredientes?
c) La cantidad de formas distintas en que se puede seleccionar 3
personas de un grupo de 8.
d) Si una población se compone de 7 elementos, entonces el
número de muestras de tamaño 4, sin reposición, es:
5. Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión son parámetros estadísticos que
indican como se alejan los datos respecto de la media aritmética.
Sirven como indicador de variabilidad de los datos.
Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, la
desviación estándar y la varianza.
a) Rango
Indica la dispersión entre los valores extremos de una variable
y se calcula como la diferencia entre el máximo y el mínimo valor
de la variable.
Ejemplo: En la situación que se nos planteó al inicio (estatura
de los personajes de la televisión chilena) podemos decir que el
Rango es:
así podemos decir que el rango de longitud es de 0,40m o 40
cm.
Actividad 5: A modo de practica resuelve en tu cuaderno las
siguientes situaciones
a) Calcular el Rango del siguiente conjunto de datos:
I. el rango es =
II. el rango es =
b) Calcular el rango de sus ganancias
c) Según la OMS las cantidades recomendadas diarias de vitamina
C para las mujeres es 75 mg y para hombres es de 90 mg. Dentro de
un grupo de alimentos seleccionados por su aporte en vitamina C
tenemos el kiwi, brócoli, naranja, frutilla y piña.
El kiwi presenta 92 mg de vitamina C por cada 100 gramos de
fruta considerado dentro del grupo como el alimento con mayor
aporte en vitamina C y la piña es el de menor aporte. El rango del
aporte de vitamina C en esos alimentos es de 44 mg.
i. ¿Cuál es el aporte de vitamina C por cada 100 gramos de la
Piña?
b) Varianza y desviación estándar
La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión o
variabilidad, es decir, indican la dispersión o separación de un
conjunto de datos. Hay que tener en cuenta que las fórmulas de la
varianza y la desviación estándar son diferentes para una muestra
que para una población.
Recordemos antes la definición de población y de muestra:
En estadística, el término “población” se refiere al conjunto de
elementos que se quiere investigar, estos elementos pueden ser
objetos, acontecimientos, situaciones o grupo de personas.
Muestra en estadística se define como una porción extraída de la
población, mediante métodos específicos que representan los
resultados de todo el conjunto.
A continuación, se presentan las fórmulas de la desviación
estándar, varianza y media.
Se ve algo complicado, pero no lo es con el siguiente ejemplo
todo quedara más claro.
Ejemplo: En un liceo (liceo A) se realizó un estudio de la masa
corporal de los estudiantes, y se quiere comparar con otro
establecimiento (liceo B) para ver que tal estuvieron los
resultados obtenidos.
Se selecciona una muestra de 6 estudiantes del liceo A y la
siguiente información se obtiene:
Estudiante
1
2
3
4
5
6
Masa (kg)
69 kg
73 kg
74 kg
75 kg
71 kg
70 kg
Media liceo A = 72 kg
Varianza liceo A = 5,6
Desviación estándar liceo A =2,3664 kg
Analizando los datos de ambos establecimientos vemos que
media
varianza
Desviación estándar
Liceo B
72
159,6 6
Liceo A
72
5,6
2,3664 kg
Comparando los valores podemos decir que la media es igual lo
que no implica que las distribuciones de los datos sean similares y
eso lo podemos confirmar ya que la varianza y desviación estándar
del liceo A son más bajas que las del liceo B, indicando que los
datos del liceo A se concentran más cerca de la media.
Gráficamente se puede representar y quedar aún más claro.
Para grupos de datos pequeños como éste es fácil reconocer la
dispersión de los datos, pero para grandes volúmenes de datos nos
es útil el cálculo de la media, varianza y desviación estándar.
Mientras la varianza y desviación estándar son mas cercanas a 0,
el conjunto de datos al que pertenecen será cercanos a la media, lo
que implica que los datos se concentran cerca de la media y todo lo
contrario si la varianza y desviación estándar se aleja de 0.
Actividad 6: A modo de practica resuelve en tu cuaderno las
siguientes situaciones
En un hospital necesitan contratar a una persona para que cocine
para los enfermos. Para elegir a la persona, el hospital pide que
los y las postulantes les entreguen un menú para dos semanas en el
cual debe estar presente la cantidad de calorías por comida. Luego
de leer los menús el hospital toma a dos personas para la decisión
final, la cual debes hacer tú.
Para ayudarte el hospital te dice que en promedio una persona
debe comer 500 calorías por comida y te dicen la siguiente
información de los menús de los candidatos/as.
Candidato/a 1: Promedio de calorías por comida 515. Desviación
estándar 32 calorías.
Candidato/a 2: Promedio de calorías por comida 493. Desviación
estándar 153 calorías.
a) ¿Qué candidato elegirías? ¿Por qué? Argumenta en base a los
conceptos matemáticos estudiados.
a)
I. Calcular la varianza a partir de la desviación estándar
II. Calcular la desviación estándar a partir de la varianza
III. La profesora de Julián le entrega las notas le dice que la
desviación de sus notas es muy grande con respecto a la de sus
compañeros. ¿Qué quiere decir esto?
IV. Al comparar dos muestras A y B que presentan igual media
pero la desviación estándar de la muestra A es mayor que la muestra
B ¿Qué quiere decir esto?
6. Función exponencial
Una función exponencial tiene la forma , con x en los Reales, un
número Real positivo distinto de 1 y un número real distinto de
0.
Algunos ejemplos de función exponencial son
a) Evaluar la función
Para evaluar la función, toma el valor dado de x (variable
independiente) y sustituye ese valor por x ( u otra letra según
corresponda) en la expresión, como se muestra a continuación:
Sea la función con x nuestra variable independiente evaluaremos
la función cuando x =2 y cuando x= -2
Actividad propuesta 7: Completar la tabla de volares 1,
evaluando en la función los valores de 3,-3,4,-4.
Tabla de valores 1
x
F(x) =y
2
18
b) Grafica de la función exponencial
Una función exponencial tiene la forma , con x en los reales, a
un número real positivo distinto de 1 y b un número real distinto
de 0. Su gráfico corresponde a una línea curva asintótica al eje X,
que es creciente o decreciente dependiendo del valor de a. Luego,
existen cuatro tipos de gráfico posibles para una función
exponencial, con x en los reales:
Asíntota: En geometría, línea recta que, prolongada
indefinidamente, se acerca progresivamente a una curva sin llegar
nunca a encontrarla.
Ejemplo: Identifica en las siguientes graficas de las funciones
exponenciales como son los valores de y .
Respuesta: La grafica de la función crece de izquierda a derecha
como en el caso 4, entonces el valor de
0 y el valor de
Respuesta: La grafica de la función crece de izquierda a derecha
y sobre el eje X como en el caso 1, entonces el valor de y el valor
de
Actividad 8: A modo de practica resuelve en tu cuaderno las
siguientes situaciones
a) Bosquejar en tu cuaderno las gráficas de las funciones
exponenciales, presentes a continuación tomando como referencia los
caso 1,2,3,4.
b) Identifica en las siguientes graficas de las funciones
exponenciales como son los valores de y
c) Dominio y recorrido de la función exponencial
Una función exponencial tiene la forma , con x en los reales, a
un número real positivo distinto de 1 y b un número real distinto
de 0. Su dominio es IR y su recorrido es si b > 0 o si b <
0.
d) Crecimiento y decrecimiento exponencial
Crecimiento exponencial
Decrecimiento exponencial
En casos reales, si a > 1 y b > 0, entonces corresponde a
una situación de crecimiento exponencial. Por ejemplo, si una
colonia de microorganismos se triplica cada una hora e inicialmente
había 100 de ellos, entonces la función P(x) que representa la
cantidad de microorganismos que habrá al cabo de x horas es
representada gráficamente
Por otro lado, si 0 < a < 1 y b > 0, entonces
corresponde a una situación de decrecimiento exponencial. Por
ejemplo, si un elemento químico pierde la cuarta parte de su masa
cada un mes e inicialmente había 800 gramos de él, entonces la
función Q(x) que representa la masa, en gramos, del elemento al
cabo de x meses es representada gráficamente:
Ejemplo; Determinar si las siguientes funciones son Crecientes o
Decreciente:
Analizando la función podemos decir que así por lo tanto podeos
decir que la función es CRECIENTE.
Analizando la función podemos decir que así por lo tanto podeos
decir que la función es DECRECIENTE.
Actividad 9: Determinar en las siguientes funciones si son
crecientes o decreciente y justificar su respuesta.
_____________________________
_______________________________
______________________________ _________________________
___________________________ ______________________________
e) Función exponencial en distintos contextos
La función exponencial modela muchas situaciones de diversas
áreas. Por ejemplo, en ciencias sociales, el crecimiento
demográfico; en biología, el crecimiento bacteriano, y en economía,
el interés compuesto, entre otras.
Ejemplo: Marcos decide abrir una cuenta de ahorro para financiar
en el futuro los estudios de su hijo recién nacido. Por su parte,
el banco le ofreció la tasa de interés anual que se muestra en la
imagen. El monto que depositó Marcos en la cuenta fue de
$1.000.000. Si no retira el dinero ni los intereses, ¿qué capital
tendrá dentro de un año?
Transformaremos el 4,8% a decimal para poder trabajarlo
Ahora para obtener el dinero total de la cuenta al transcurso de
un año realizaremos el siguiente calculo
Factorizando por 1.000.000 tenemos que
El Capital que tendrá dentro de un año es $1.048.000
¿qué capital tendrá al año 2,3,4,5 y X?
Año
Forma de obtenerlo
Potencia
capital
0
1
2
3
4
5
⁞
⁞
⁞
x
Así con la expresión podemos calcular el monto del capital en
cualquier año donde x es el n° de años. Esa expresión es una
función exponencial.
Actividad 10: ¿Qué capital tendrá cuando su hijo tenga 18
años?
Actividad 11: Un bosque tiene 28000 de madera y aumenta 3,5%
cada año. Si sigue creciendo en las mismas condiciones. Determinar
la función que permite calcular la cantidad de madera () ayúdate
siguiendo el modelo del ejemplo.
¿cuánta madera tendrá al cabo de 15 años?
¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la cantidad de madera?
Actividad 12: Se administra 100 miligramos de cierto medicamento
a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente
sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada hora.
-Determinar la función
-¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente
sanguíneo del paciente después de 3 horas?
Instrucciones Guía de Síntesis 3° Medio
INSTRUCCIONES GENERALES
Estimada estudiante, en la plataforma de Aula Virtual del
establecimiento encontrarás una guía de aprendizaje, las que debes
desarrollar para alcanzar los aprendizajes esperados para esta
etapa. Comienza estudiando la guía de aprendizaje, ya que, esta es
la base para lograr los objetivos.
INSTRUCCIONES:
Esta guía de trabajo la puedes imprimir, pero si no tienes
acceso a impresora la puedes desarrollar en tu cuaderno de
matemática.
Esta guía presenta los contenidos a trabajar en la evaluación de
síntesis, cualquier consulta se puede realizar al profesor
respectivo de la asignatura.
CORREOS ELECTRÓNICOS PARA CONSULTAS
Nicolás Parra [email protected]
Loreto Hermosilla [email protected]
Patricio Undurraga
[email protected]
César Tapia [email protected]
2