BAB I
PENDAHULUAN
A. Pengantar
Aljabar telah digunakan matematikawan sejak beberapa ribu tahun
yang lalu. Sejarah mencatat penggunaan aljabar telah dilakukan
bangsa Mesopotamia pada 3.500 tahun yang lalu. Nama Aljabar berasal
dari kitab yang ditulis pada tahun 830 oleh Matematikawan Persia
Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi dengan judul “Al-Kitab al-Jabr
wa-l-Muqabala” (yang berarti The Compendious Book on Calculation by
Completion and Balancing), yang menerapkan operasi simbolik untuk
mencari solusi secara sistematik terhadap persamaan linier dan
kuadratik. Salah satu muridnya, Omar Khayyam menerjemahkan hasil
karya Al-Khwarizmi ke bahasa Eropa. Beberapa abad yang lalu,
ilmuwan dan matematikawan Inggris, Isaac Newton (1642-17 27)
menunjukkan, kelakuan sesuatu di alam dapat dijelaskan dengan
aturan atau rumus matematika yang melibatkan aljabar, yang dikenal
sebagai Rumus Gravitasi Newton.
Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari
struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini
dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk
merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana
penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contoh, x
mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin
diketahui. Sehingga bila Andi mempunyai x buku dan kemudian Budi
mempunyai 3 buku lebih banyak daripada Andi, maka dalam aljabar,
buku Budi dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan menggunakan
aljabar, kita dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan
umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari
atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.
Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori
Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar
Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah menengah
dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Ajabar secara
keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian
bilangan, konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan
menentukan akar pangkat.
Sekarang ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada
sekedar Aljabar Elementer, seperti Ajabar Abstrak, dan Aljabar
Linier. Seperti dijelaskan di atas dalam aljabar, kita tidak
bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan
menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai
contoh Penambahan dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara
umum dan definisi ini menuju pada struktur bilangan seperti Grup,
Ring, dan Medan (fields).
B. Tujuan
Tujuan penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut.
1. Untuk memperdalam pengetahuan tentang aljabar dan sejarah
perkembangannya.
2. Sebagai referensi pembelajaran matematika sekolah yang
berkaitan dengan topik tertentu.
BAB II
PERKEMBANGAN ALJABAR
A. Sejarah Aljabar
1. Babilonia
Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang
dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan
Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika
Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat
untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika
Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk
membangkitkan Matematika Yunani.
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria,
yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan
sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM,
bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat
dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal
pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk
pada periode ini. Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah
diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi
topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan
perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima
kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode
penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan
Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai
lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan
seksagesimal (basis-60). Melalui keunggulan orang Babylonia pada
bidang astronomi, sistem perhitungan berbasis 60 mereka masih ada
sampai sekarang, yakni dengan diturunkannya penggunaan bilangan 60
detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6)
derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan
menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat.
Pada 200 SM, aritmetika Babilonia sudah menjadi aljabar dalam
bentuk gaya retorika. Pada suatu loh terdapat daftar pangkat dua
dan pangkat tiga dari bilangan 1 sampai 30, kemudian disusun dari
n3 + n2. Pada loh Yale yang terdapat soal dari persamaan simultan
yang menuju ke persamaan derajat empat tetapi belum diselesaikan.
Sebagai contoh didapati persamaan dua peubah.
xy = 600, 150(x – y) – (x + y)2 = -100
bentuk lain dari persamaan itu adalah :
xy = a,
2. Mesir Kuno
(1). Mengalikan
Kebanyakan soal-soal dari 110 soal pada Papirus Moskow dan
Papirus Rhind mengenai hitungan yang berkenaan dengan soal praktek,
namun beberpa diantaranya sudah bersifat teori. Papirus itu ditulis
oleh Ames kira-kira 1700 BC. Pada perkalian dua bilangan dipakai
azas melipat- duakan. Tetapi salah satu dari factor perkalian harus
dapat dinyatakan sebagai jumlah bilaangan berpangkat dua. Perkalian
diganti dengan menjumlah. Misalnya,
14 x 17.
14 = 2 + 4 + 8. Dengan azas melipat-duakan perkalian itu
dikerjakan sebagai:
17 x 2 + 34 x 2 + 68 x 2 = 34 + 68 + 136 = 238
Proses melipat-duakan itu dapat disusun ke bawah.
47 x 22 ; 22 = 2 + 4 + 16
Perkalian disusun sebagai berikut :
1 47 47 x 22 = 94
2 94 188
4 188 752 +
1034
8 376
16 752
Dengan cara melipat-duakan ini orang Mesir tidak menyusun tabel
perkalian. Metode melipat-duakan ini kemudian berkembang menjadi
melipat –duakan dan metoda bilangan tengah.
Contoh :
49 X 35 = ……metodanya sebagai berikut.
49 * 35 (*)Maka 49 X 35 = 35 + 560 + 1120 =
24 701175. Yang dijumlah ialah pasangan
12 140dari bilangan ganjil di kiri.
3* 560 (*)Bilangan tengah diambil bilangan
1* 1120 (*)bulat hasil pembulatan ke bawah dari
Hasil bagi dua bilangan sebelumnya.
(2). Membagi
Azas melipat-duakan juga digunakan untuk membagi dua
bilangan.
Contoh :
637 : 24.Proses melipat-duakan dikerjakan ke bawah.
1 24Karena 637 = 384 + 192 +48 + 13
2 48Maka hasil baginya adalah
4 962 + 8 + 16 = 26 dan sisa 13
8 192
16 384
(3). Pecahan
Lambang-lambang pecahan antara lain adalah : =
=
Lambang pecahan lain ditulis untuk memudahkan saja sebagai :
= : = = dan sebagainya.
Dalam papyrus Rhind terdapat tabel yang menyatakan bentuk ke
dalam pecahan satuan. Melalui tabel itu , soal-soal dalam papyrus
Rhind dapatb diselesaikan. Misalnya pada tabel itu didapati :
= + ; = + + ;
= +
(4). Menyelesaikan persamaan dalam aljabar
Di antara soal-soal persamaan dalam papyrus Rhind terdapat juga
persamaan linier dan persamaan kuadrat. Ada aturan dengan letak
(posisi) salah .
Contoh :
Terdapat sustu kumpulsn benda. Jika dijumlahkan bagian bagian
dan bagian maka jumlahnya 26. Berapa banyaknya benda itu ?
Soal seperti ini dijumpai dalam papyrus itu yang diselesaikan
dengan letak salah sebagai berikut :
Disebut saja dulu , maka
= 6 + 4 + 3 = 13. Sedangkan 26 adalah 2 kali 13.
Maka juga harus dilipat-duakan. Jadi jawabnya
Pada papyrus yang berasal dari 1950 BC ditemukan di Kahun
berbunyi : Sebidang tanah luasnya 100 satuan dinyatakan sebagai
jumlah luas dua bujur sangkar yang perbandingan sisinya . Jika
sisi-sisinya dan , maka dan . Jika kedua persamaan diselesaikan
dengan cara eliminasi, maka akan terdapat persamaan kuadrat. Jika
diselesaikan dengan metoda posisi salah. Sebut maka , sehingga
Tetapi adalah x 25. Maka jawabnya adalah , dan . Bahwa bangsa Mesir
purbakala juga sudah mengenal lambang untuk negative dan positif.
Positif dengan lambang kaki yang melangkah dari arah kanan ke kiri,
langkah dari arah kiri ke kanan untuk negative.
3. Yunani Kuno
Aritmetika Pythagoras
Filsafat Pythagoras bertumpu pada anggapan bahwa bilangan bulat
adalah sebab utama dari sifat benda. Maka sekolah Pythagoras banyak
meltakkan dasar teori dan rahasia bilangan.
1. Bilangan bersahabat (amicable number)
Iamblichus seorang ahli filsafat Neoplato pada tahun 320
menyatakan bahwa dua bilangan bersahabat adalah penemuan
Pythagoras. Dua bilangan disebut bersahabat jika jumlah bagi
sebenarnya bilangan itu sama dengan bilangan yang menjadi
sahabatnya.
Contoh:
220 dan 284 adalah dua bilangan bersahabat sebab pembagi-pembagi
dari 220.
2. Bilangan sempurna (perfect number)
Diduga juga bahwa bilangan sempurna berasal dari Pythagoras.
Suatu bilangan disebut sempurna jika bilangan itu sama dengan
jumlah pembaginya. Kepercayaan mereka juga terkait dengan bilangan
sempurna itu. Rupanya bangsa Gerik percaya bahwa Tuhan mencipta
Alam semesta dalam 6 hari dengan sempurna. Maka bilangan yang
bersifat seperti 6 itu disebut sempurna.
Bilangan-bilangan yang berbeda sifat dari bilangan itu ada dua
macam yakni:
a) Bilangan tak sempurna (deficient number)
Suatu bilangan disebut tak sempurna jika bilangan
itu lebih besar dari jumlah
pembagi- pembaginya. Misalnya: 8 lebih
besar dari 1+2+4=7
b) Bilangan berlimpah (abundant number)
Suatu bilangan disebut berlimpah, jika
jumlah pembagi-pembagi bilangan itu lebih besar dari bilangan itu
sendiri. Misalnya 12, jumlah pembagi-pembaginya:
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.
Hingga tahun 1952, diketahui baru 12 bilangan sempurna,
diantaranya 2, 28, 496. Semua bilangan sempurna yang diketahui
adalah bilangan genap.
Pada tahun 300 BC dalam buku Unsur Euclides telah didapat
rumusan untuk bilangan sempurna yaitu:
Jika 2n -1 adalah bilangan prima maka 2n-1(2n-1) adalah bilangan
sempurna. Nyata semua bilangan yang memenuhi perumusan ini adalah
bilangan genap.
Kemajuan komputer sekarang telah menemukan banyak bilangan
sempurna. Komputer telah menghasilkan suatu bilangan sempurna
dengan memakai rumus Euclides untuk n = 4432. Bilangan itu terdiri
dari 2663 angka.
4. Hindu- Arab
Orang-orang India menggunakan lingkaran kecil saat tempat pada
angka tidak mempunyai nilai, mereka menamai lingkaran kecil
tersebut dengan nama sunya, diambil dari bahasa sansekerta
yang berarti ”kosong”. Sistem ini telah berkembang penuh sekitar
tahun 800 Masehi, saat sistem ini juga diadaptasi di Baghdad.
orang Arab menggunakan titik sebagai simbol ”kosong”, dan
memberi nama dengan arti yang sama dalam bahasa arab, sifr.
Aljabar hindu adalah aljabar sinkopasi, atau aljabar dengan
singkatan-singkatan pengerjaaan. Penjumlahan dilakukan menurut
jukstaposisi. Pengurangan dengan bilangan diberi tanda titik
diatasnya.
Brahmagupta ± abad ke-7 menulis karya matematika dan astronomi.
Salah satu dari karyanya ialah brahma-sphuta-siddhan-dhanta ditulis
kira-kira pada tahun 628. Buku itu telah diterjemahkan kedalam
bahasa inggris pada tahun 1817 oleh H.T. Colebrooke. Ia menulis
singkatan dari yang tak diketahui (perubah) dengan ya (javattavat),
dan singkatan dari bilangan dengan (rupa). Jika terdapat perubah
lain diambil singkatan dari warna misalnya ka (kalaka = hitam).
Misalnya untuk menulis 4x + 3y – 2 ialah ya 4 ka 3 ra 2.
Persamaan kuadrat diselesaikan dengan metode kuadrat sempurna,
dan metode itu disebut jjuga metode Hindu, dalam buku karya
bhaskara terdapat kesamaan
=
Bentuk kesamaan ini terdapat juga pada buku-buku aljabar SMA
sebelum kurikulum 1975. Misalnya menarik akar dari:
=
= -
Aryabhata dan brahmagupta menyelesaikan persamaan tak tertentu
ax + by = c, untuk bilangan-bilangan bulat a, b, dan c adalah
bilangan-bilangan bulat. Bentuk itu kita kenal dalam pelajaran di
SL sebagai fungsi linear. Persamaan kuadrat ditulis dengan bentuk
y2 = ax2 + 1 a bilangan bulat tidak bilangan kuadrat persamaan ini
diselesaikan Lagragne pada 1766 – 1769.
5. Arab
Salah seorang dari dinasti Abbasiah ialah Kalif Al-Mansyur
(754-775). Pada masa kalif ini karya-karya dari brahmagupta dibawa
dari india ke bagdad kira-kira tahun 766 dan diterjemahkan kedalam
bahasa arab. Dari karya itulah hindu masuk kedalam matematika arab.
Puncak kejayaan kalifah timur adalah pada masa Kalif Harun
Al-Rasyid (786-809), kemudian Kalif Al-Mamun (809-833), kalif itu
mendirikan observatorium di bagdad dan mengukur meridian bumi,
kemudian Tabit Ibnu Qorra (826-901) terkenal sebagai ahli filsafat,
matematika dan ilmu bahasa. Ia menterjemahkan buku Apolonius,
Archimedes, Ptolomeus dan Theodosius. juga menulis tentang irisan
kerucut, aljabar, bujursangkar ajaib ddan bilangan bersahabat. Pada
abad ke-10 ialah Abu’I Wefa (940-998) ia terkenal dari
terjemahannya atas karya Diophantus.
Omar Khayyam (± 1100) juga berasal dari Khorasan menulis tentang
aljabar dan memberi penyelesaian geometri dari suatu persamaan
pangkat tiga. Karyanya yang terkenal dengan judul Rubayat. Ia juga
menyusun perbaikan kalender. Nasireddin (± 1250) adalah seorang
yang berasal dari Khorasan menulis tentang trigonometri bidang dan
trogonometri bola terpisah dari astronom berdasarkan karya Nasir
itulah kemudian Scchery menulis geometri non euclide.
Contoh aljabar arab yang ditemukan oleh Khowazizmi yaitu aturan
menentukan sisa suatu bilangan jika dibagi oleh 9 dan disebut
aturan mengeluarkan 9 yang berbunyi sebagai berikut: jika suatu
bilangan dibagi dengan 9 maka sisanya sama dengan sisa bila jumlah
angka penyusun bilangan itu dibagi oleh 9. Contoh sisa pembagian
798 oleh 9
Cukup dicari sisa dari ( 7+9+8) dibagi 9 sisanya adalah 6
Dalam aljabar arab dia menyusun aturan untuk menentukan
pendekatan akar suatu persamaan yang disebut aturan letak dua kali
salah secara aritmetika dikerjakan sebagai berikut
X3 =
Contoh :
Tentukan pendekatan salah satu akar dari
X3 – 3X2 + 3 = 0
f(1) = 1, f(2) = 8 – 12 + 3 = -1
salah satu akarnya tentu diantara 1 dan -1
maka
X3 = =
= 1,5
6. China
Matematika Cina permulaan adalah berlainan bila dibandingkan
dengan yang berasal dari belahan dunia lain, sehingga cukup masuk
akal bila dianggap sebagai hasil pengembangan yang mandiri. Tulisan
matematika yang dianggap tertua dari Cina adalah Chou Pei Suan
Ching, berangka tahun antara 1200 SM sampai 100 SM, meskipun angka
tahun 300 SM juga cukup masuk akal.
Hal yang menjadi catatan khusus dari penggunaan matematika Cina
adalah sistem notasi posisional bilangan desimal, yang disebut pula
"bilangan batang" di mana sandi-sandi yang berbeda digunakan untuk
bilangan-bilangan antara 1 dan 10, dan sandi-sandi lainnya sebagai
perpangkatan dari sepuluh. Dengan demikian, bilangan 123 ditulis
menggunakan lambang untuk "1", diikuti oleh lambang untuk "100",
kemudian lambang untuk "2" diikuti lambang utnuk "10", diikuti oleh
lambang untuk "3". Cara seperti inilah yang menjadi sistem bilangan
yang paling canggih di dunia pada saat itu, mungkin digunakan
beberapa abad sebelum periode masehi dan tentunya sebelum
dikembangkannya sistem bilangan India. Bilangan batang memungkinkan
penyajian bilangan sebesar yang diinginkan dan memungkinkan
perhitungan yang dilakukan pada suan pan, atau (sempoa Cina).
Tanggal penemuan suan pan tidaklah pasti, tetapi tulisan terdini
berasal dari tahun 190 M, di dalam Catatan Tambahan tentang Seni
Gambar karya Xu Yue.
Karya tertua yang masih terawat mengenai geometri di Cina
berasal dari peraturan kanonik filsafat Mohisme kira-kira tahun 330
SM, yang disusun oleh para pengikut Mozi (470–390 SM). Mo Jing
menjelaskan berbagai aspek dari banyak disiplin yang berkaitan
dengan ilmu fisika, dan juga memberikan sedikit kekayaan informasi
matematika.Yang terpenting dari semua ini adalah Sembilan Bab
tentang Seni Matematika, judul lengkap yang muncul dari tahun 179
M, tetapi wujud sebagai bagian di bawah judul yang berbeda. Ia
terdiri dari 246 soal kata yang melibatkan pertanian, perdagangan,
pengerjaan geometri yang menggambarkan rentang ketinggian dan
perbandingan dimensi untuk menara pagoda Cina, teknik, survey, dan
bahan-bahan segitiga siku-siku dan π. Ia juga menggunakan prinsip
Cavalieri tentang volume lebih dari seribu tahun sebelum Cavalieri
mengajukannya di Barat. Ia menciptakan bukti matematika untuk
teorema Pythagoras, dan rumus matematika untuk eliminasi Gauss. Liu
Hui memberikan komentarnya pada karya ini pada abad ke-3 M.
7. Abad Pertengahan
(1). Abad 13
Leonardo Fibonacci salah seorang sarjana Matematika abad 13 yang
terkemuka. Ia juga dikenal sebagai Leonardo dari Pisa. Dalam
perlawatannya ke Timur ia berkesempatan untuk berhubungan dengan
sarjana Matemtika Arab pada masa itu. Ia mempelajari metoda
berhitung Hindu – Arab. Pada tahun 1202 ia menulis buku dengan
judul Liber Abaci. Buku itu berisi aritmetika dan aljabar,
mengenalkan sistem angka Hindu-Arab ke Eropa. Ia menguraikan metoda
menghitung bilangan bulat dan pecahan, menghitung akar pangkat dua,
akar pangkat tiga, dari suatu bilangan.
Salah satu contoh soal menarik dari buku itu yang terkenal
sekarang ialah barisan Fibonacci yaitu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, m,n,
m+n,…
Pada tahun 1225, menulis buku berjudul “Lyber Quadratorium”
mengenai analisa tak tertentu.
Campanus adalah seorang sarjana matematika abad 13 yang dikenal
melalui karyanya pada kumpulan aturan-aturan aritmetika dan
ringkasan dari almagest dan terjemahan elemen euclides yang
semuanya disusun dalam bahasa latin.
Nicole Oresme (1323-1382), lahir di Normandia. Ia menulis lima
karya Matematika dan beberapa terjemahan karya Aristoteles. Dalam
salah satu karyanya, ia memperkenalkan eksponen pecahan.
Thomas Bradwardine (1290-1349) menulis brosur-brosur tentang
konsep kontinu, deskrit, besar tak berhingga, kecil tak berhingga.
Ia juga menulis brosur tentang aritmetika, dan geometri.
Zaman Renaisans
Dalam sejarah, abad 15 disebut zaman renaisans yaitu lahirnya
kembali perhatian kepada kebudayaan greek dan Romawi klasik dan
berusaha mencari nilai-nilai baru dari kebudayaan itu.
Kegiatan matematika pada abad 15 berpusat di Italia, di
Nurenberg, Wina dan Praha. Nicolas Cusa (1401 -1464) menjadi
gubernur Roma pada tahun 1448. Ia menulis berbagai brosur
matematika, dan memperbaharui kalender. Ia juga tertrik untuk
menyelesaikan soal membujursangkarkan lingkaran, dan soal membagi
tiga sama suatu sudut.
George Von Peurbach ( 1423-1461) setelah selesai belajar
matematika di Italia ia tinggal di Wina dan mendirikan universitas
di kota itu. Karya dari Peubach terdapat mengenai astronomi,
aritmetika, dan menyusun tabel sinus.
Luca Pucioli (1445-1509) seorang biarawan Italia menyusun
ringkasan aritmetika, aljabar, geometri pada masa itu dalam suatu
buku dengan judul Summa. Dalam buku itu diuraikan algoritma
penarikan akar pangkat dua, aritmetika dagang, tata buku, dan
penyelesaian persamaan-persamaan dengan metoda letak salah.
Pada tahun 1491, Filippo Calandri menerbitkan buku aritmetika
yang menjadi dasar cara membagi yang dikenal sekarang. Soal-soal
pada buku itu menguraikan perhitungan bea cukai pada pertengahan
pada perdagangan di Italia. Di negara Eropah lain pun terbit juga
buku-buku aritmetika, antara lain ditulis Jacob Kobel pada tahun
1514 di Jerman, dan di Inggris oleh Robert Recorde pada tahun 1542
dengan judul The Ground of Artes.
8. Abad 16
1. Menuju Aljabar dengan Lambang-Lambang
Robert Recorde (1510-1558) menulis karya dalam aljabar, geometri
dan astronomi. Pada tahun 1557 ia menulis aljabar dengan judul “THE
WHETSTONE OF DE WITTE”. Dalam buku itulah pertama kali digunakan
lambang “=”untuk kesamaan seperti digunakan sekarang.
Christoff Rudolf (1525) menulis buku aljabar dengan judul “DIE
COSS”. Dalam buku itu diperkenalkan lambang menarik akar “”,
barangkali sebagai singkatan dari radix.
Michel Stifel (1486-1567) sorang biarawan Jerman, menerbitkan
buku dengan judul “ARITHMETICA INTEGRA” pada tahun 1553. Dalam buku
itu ia menguraikan bilangan rasional, irrasional, deret aritmetika,
deret geometri dan koefisien binomial hingga pangkat ke tujuh.
Dalam buku itu sudah memakai lambang +, -, dan sebagai operasi
hitung dan memakai huruf untuk yang diketahui.
2. Aljabar yang Berdiri Sendiri
Spione del Ferro (1465-1526) seorang guru bsar matematika pada
Universitas Bologna pada tahun 1515 menulis pesamaan pangkat tiga
x3 + mx = n, tetapi tidak menerbitkannya hanya memberitahu kepada
seorang mahasiswanya Antonio Fior.
Tartaglia ahli pertama menggunakan matematika pada ilmu
artileri. Ia juga menulis aritmetika tentang perdagangan, dan
beacukai, tentang Euclides, dan Archimedes.
Pada tahun 1535, ia menerbitkan penemuannya menyelesaikan
persamaan pangkat tiga dalam bentuk x3 + px2 = n. Maka Antonio Fior
menentangnya untuk melakukan pertandingan matematika menyelsaikan
persamaan pangkat tiga. Maka Tartagila mempersiapkan diri untuk
menyelesaikan persamaan itu dengan dua cara, sedang Antonio hanya
dengan satu cara. Maka Tartagila memenangkan ertandingan itu.
Girolamo Cardano (1501-1576) kelahiran Pavia, seorang yang
sangat berbakat dalam berbagai bidang ilmu. Ia menulis tentang
aritmetika, astronomi, fisika dan bidang lain. Karyanya paling
terkenal adalah mengenai aljabar dengan judul “ARS MAGNA”, ditulis
pada tahun 1545. Dalam buku itu dimuat hasil penemuan Tartaglia
untuk menyelesaikan persamaan pangkat tiga itu.
Pada tahun 1540, Zuanne de Tonini da Coi mengajukan soal kepada
Cardano yang menghasilkan persamaan pangkat empat. Tetapi Cardano
tak dapat menyelsaikannya. Murid Cardano, Ferrari berhasil
menyelesaikan soal itu dan penyelesaiannya di tulis juga dalam buku
Ars Magna.
2. Aljabar Menggunakan Huruf
Francois Vieta (1540-1630) lahir di Fontenay Perancis. Ia
seorang ahli hukum dan anggota parlemen, tetapi dengan bakat luar
biasa ia menggunakan waktu terluangnya mempelajari matematika.
Bahkan ia kemudian dipandang sebagai ahli matematika terbesar
abad-16. Ia menulis buku trigonometri pada tahun 1579 dengan judul
“CANON MATHEMATICUS SEU AD TRIANGULA”. Buku itulah yang pertama di
Eropah yang menyelesaikan soal-soal trigonometri bidang dan bola
secara sistemis. Ia menyatakan cos n n = 1, 2, 3,...,9 dengan cos .
Buku itu juga menguraikan persamaan pangkat tiga dengan jawaban
secara trigonometri.
Pada tahun 1591 ia menulis aljabar dengan judul “In Artem
Analiticam Isagoge”. Ia mulai menyusun aljabar dengan menggunakan
huruf-huruf. Huruf hidup menyatakan yang tak diketahui dan huruf
mati untuk yang ditentukan.
Sebelum Vieta lambang penulisan pangkat yang berbeda ditulis
dengan huruf yang berbeda walaupun basisnya sama. Ia sudah memakai
lambang + dan -, tetapi belum memakai lambang untuk sama dengan, ia
masih memakai kata aequator.
Untuk A2 ditulis A quad, A3 ditulis A cub dan seterusnya.
Misalnya polinom dengan penulis yang kita kenal sekarang sebagai
3px3 + 2qx2 – 4rx = 2s, ditulis oleh Vieta sebagai:
P3 in A cub + Q2 in A quad – R plano 4 in aequator S solido
2.
3. Persamaan Derajat Tinggi.
Pada tahun 1600, ia menulis aljabar dengan judul “De Numerosa
Potestantum Resolutione”. Dalam buku itu ia menjelaskan pendekatan
akar persamaan derajat tinggi secara berturut. Metode Vieta itulah
yang dipakai di Eropah hingga tahun 1680. Sebagai pemakaiannya
terhadap persamaan kuadrat x2 + mx = n.
9. Abad 17 – 18
Matematika abad 16 sudah menyusun konsep-konsep dasar bagi
pesatnya perkembangan Matematika dalam abad 17. Tumbuhnya
bidang-bidang yang memerlukan perhitungan angka-angka yang
memerlukan ketelitian lebih tinggi dan perhitungan yang lebih
cepat, seperti dalam perdagangan, pelayaran, astronomi, mesin-mesin
bahkan keperluan untuk perang turut mendorong lahirnya komponen
matematika.
John Napier (1150-1617) ia tinggal di daerah Merchiston dekat
Edinburg Skotlandia. Pada masa itu terjadi
pertentangan-pertentangan politik dan agama di lingkungannya. Empat
hasil penemuan John Napier yang luar biasa tercatat dalam sejarah
Matematika yakni :
1. Penemuan logaritma
2. Penemuan dengan aturan siklis untuk menyusun rumus-rumus
dalam segitiga bola siku-siku.
3. Penemuannya mengenai rumus trigonometri dalam segitiga bola
lancip yang dikenal kemudian sebagai rumus Napier.
4. Penemuannya akan alat hitung untuk mengalikan, membagi dan
menentukan akar pangkat dua yang disebut batang Napier.
Thomas Harriot (1560-1621) menulis aljabar dengan judul “ARTIS
ANALYTICAE PRAXIS” dan buku itu diterbitkan 10 tahun setelah ia
meninggal. Ia dipandang sebagai pendiri sekolah aljabar di Inggris.
Isi buku itu sebagian besar mengenai teori persamaan, persamaan
linear, kuadrat, pangkat tiga dan pangkat empat. Harriot ahli
pertama yang memperkenalkan lambang > dan <. Terdapat 8
manuskrip dari Harriot di dalam museum Inggris yang tetap
diawetkan. Ia juga dikenal sebagai ahli perbintangan, menemukan
noda-noda matahari, dan mengamati Jupiter. Karya aljabar Harriot
yang lain dengan judul “CALAVIS MATHEMATICAE” diterbitkan pada
tahun 1631 oleh William Oughtred.
William Oughtred (1574-1660) penulis matematika paling terkenal
pada abad 17 di Inggris. Karyanya yang terpenting ialah penulisan
150 lambang matematika. Di antara lambang-lambang itu ialah tanda x
untuk mengalikan, :: lambang empat titik untuk perbandingan, - l
ambang untuk pengurangan.
Leibniz menolak x untuk perkalian, karena terlalu mirip dengan
huruf X. sedang Harriot memakai . (titik) untuk perkalian dan
lambang itu diterima Leibniz. Leibniz menggunakan untuk perkalian,
tanda ini kemudian dipakai pada teori himpunan. Lambang berasal
dari buku aljabar oleh Heinrich Rahn (1622-1676) dari Swiss yang
diterbitkan tahun 1659. Lambang sebangun “ dan konruen “” pada
geometri berasal dari Leibniz. Karya lain dari Oughtred adalah
mengenai mistar hitung lingkaran dengan judul “ THE CIRCLES OF
PROPORTION” diterbitkan pada tahun 1632.
Kemajuan Matematika di Daratan Eropa abad 17
Galileo (1564- 1642)
Galileo Galilei lahir di Pisa Italia. Ia anak seorang bangsawan
miskin dari Florentina. Walaupun ia seorang mahasiswa kedokteran di
Universitas Pisa, ia menunjukkan bakatnya di bidang Matematika.
Ketika ia masih mahasiswa ia mengamati lampu gantung di Gereja
Pisa. Ia mengamati bahwa periode ayunan lampu itu tidak tergantung
pada panjang busur ayunannya dan membuktikan bahwa periode ayunan
itu tidak tergantung kepada bebandulnya.
Desargues (1593-1662)
Ia lahir di Lyons, Perancis. Ia seorang insiyur arsitek dan
menjadi perwira tentara Perancis. Karyanya dalam bentuk
risalat-risalat mengenai irisan kerucut. Banyak dari karyanya yang
hilang. Setelah seorang muridnya bernama Phillippe de la Hire
(1640-1718) menulia karya Desargues yang dianggap sebagai lahirnya
geometri proyektif. Bahwa karya Desargues itu kurang menarik
disebabkan oleh gaya bahasanya yang kurang menarik, terlalu banyak
memakai istilah yang sukar dimengerti, bahkan memakai istilah dari
botani.
Balaise Pascal (1623-1662)
Ia lahir di Auvergne perancis, anak dari seorang ahli matematika
Etienne Pascal. Bakatnya yang luar biasa pada matematik timbul
terlalu awal. Pada usia 12 tahun sudah menemukan teorema geometri
elementer. Pada usia 14 tahun sudah turut dalam pertemuan mingguan
kelompok matematika Perancis. Pada usia 16 tahun sudah menemukan
teorema baru dalam geometri proyektif pada kurva-kurva. Pada tahun
1648 ia menulis irisan kerucut secara lengkap.
10. Abad 19
Pemikir-pemikir matematika abad 19
1) Joseph Fourier
Setelah Fourier meneliti aliran panas menggunakan deret
trogonometri, maka pandangan atas konsep fungsi tadi berkembang .
deret fourier itu memberi hubungan yang lebih umum atas
peubah-peubah, maka usaha menyusun definisi fungsi yang lebih luas
dan meliputi hubungan-hubungan diberikan oleh Dirichlet.
2) Lejeune Dirichlet (1805-1859)
Konsep yang diberikan oleh Dirichlet adalah sebagai berikut :
suatu peubah ialah suatu lambang yang mewakili suatu angota dari
himpunan bilangan. Jika dua peubah x dan y dihubungkan, dan bila
kepada x diberikan suatu nilai maka dengan sendirinya berpasangan
suatu nilai kepada y, maka y adalah suatu fungsi dari x
3) Pierre Simon Lapiace (1749-1827)
Karya-karyanya terpenting mengenai mekanika yang berhubungan
dengan ruang angkasa. Karya lain tentang teori kemungkinan
persamaan diferensial. pada tahun 1812 ia menerbitkan karya besar
kedua dengan judul Theorie analitique des probabilities, selain itu
dia juga menghubungkan teori perbintangan dalam ilmu falak
4) Adrean Marie Legendre (1752-1833)
Ia terkenal dalam matematika elementer dalam bukunya elements de
geometrie, selain itu dia juga tekun menyusun tabel matematika. Nam
legendre dihubungkan dengan persamaan diferensial derajat dua :
(1 – x2 ) y” – 2xy’ + n (n+1) y = 0
B. Tokoh-tokoh Aljabar
1. Diophantus
Sekitar tahun 250 seorang matematikawan Yunani yang bermukim di
Alexandria melontarkan problem matematika yang tertera di atas batu
nisannya. Tidak ada catatan terperinci tentang kehidupan
Diophantus, namun meninggalkan problem tersohor itu pada Palatine
Anthology, yang ditulis setelah meninggalnya. Pada batu nisan
Diophantus tersamar (dalam persamaan) umur Diophantus.Seperenam
kehidupan yang diberikan Tuhan kepadaku adalah masa muda. Setelah
itu, seperduabelasnya, cambang dan berewokku mulai tumbuh. Ditambah
sepertujuh masa hidupku untuk menikah, dan tahun kelima mempunyai
anak. Sialnya, setengah waktu dari kehidupanku untuk mengurus anak.
Empat tahun kegunakan bersedih.Berapa umur Diophantus?
Dugaan tentang kehidupan Diophantus cukup misterius. Kita hanya
dapat menduga lewat dua fakta yang menarik sebelum menarik
kesimpulan. Pertama, dia mengutip tulisan Hypsicles yang diketahui
hidup sekitar tahun 150 SM. Kedua, tulisan Diophantus dikutip oleh
Theon dari Alexandria. Prakiraan hidup Theon, diacu dari gerhana
matahari yang terjadi pada 16 Juni 364. Dengan dua fakta ini
diperkirakan Diophantus hidup antara tahun 150 SM sampai tahun 364.
Para peneliti, menyimpulkan bahwa diperkirakan Diophantus hidup
sekitar tahun 250.
Diophanus menulis Arithmetica, yang mana isinya merupakan
pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat beberapa
persamaan. Persamaan-persamaan tersebut disebut persamaan
Diophantin, digunakan pada matematika sampai sekarang.Diophantus
menulis lima belas namun hanya enam buku yang dapat dibaca, sisanya
ikut terbakar pada penghancuran perpustakaan besar di Alexandria.
Sisa karya Diophantus yang selamat sekaligus merupakan teks bangsa
Yunani yang terakhir yang diterjemahkan. Buku terjemahan pertama
kali dalam bahasa Latin diterbitkan pada tahun 1575. Prestasi
Diophantus merupakan akhir kejayaan Yunani kuno.[Pierre] Fermat
mengetahui buku Diophantus lewat terjemahan Clause Bachet yang
diterbitkan tahun 1621. Problem kedelapan pada buku kedua tentang
cara membagi akar bilangan tertentu menjadi jumlah dua sisi
panjang. Rumus Pythagoras sudah dikenal orang Babylonia 2000 tahun
silam – memberi inspirasi bagi Fermat untuk menuliskan TTF
/Theorema Terakhir Fermat (Fermat Last Theorem).Susunan dalam
Arithmetica tidak secara sistimatik operasi-operasi aljabar,
fungsi-fungsi aljabar atau solusi terhadap persamaan-persamaan
aljabar. Di dalamnya terdapat 150 problem, semua diberikan lewat
contoh-contoh numerik yang spesifik, meskipun barangkali metode
secara umum juga diberikan. Sebagai contoh, persamaan kuadrat
mempunyai hasil dua akar bilangan positif dan tidak mengenal akar
bilangan negatif. Diophantus menyelesaikan problem-problem
menyangkut beberapa bilangan tidak diketahui dan dengan penuh
keahlian menyajikan banyak bilangan-bilangan yang tidak
diketahui.
Contoh: Diketahui bilangan dengan jumlah 20 dan jumlah
kuadratnya 208; angka bukan diubah menjadi x dan y, tapi ditulis
sebagai 10 + x dan 10 – x (dalam notasi modern). Selanjutnya, (10 +
x)² + (10 - x)² = 208, diperoleh x = 2 dan bilangan yang tidak
diketahui adalah 8 dan 12.
Dalam Arithmetica, meski bukan merupakan buku teks aljabar akan
tetapi didalamnya terdapat problem persamaan x² = 1 + 30y² dan x² =
1 + 26y², yang kemudian diubah menjadi “persamaan Pell” x² = 1 +
py²; sekali lagi didapat jawaban tunggal, karena Diophantus adalah
pemecah problem bukan menciptakan persamaan dan buku itu berisikan
kumpulan problem dan aplikasi pada aljabar. Problem Diophantus
untuk menemukan bilangan x, y, a dalam persamaan x² + y² = a² atau
x³ + y³ = a³, kelak mendasari Fermat mencetuskan TTF (Theorema
Terakhir Fermat). Prestasi ini membuat Diophantus seringkali
disebut dengan ahli aljabar dari Babylonia dan karyanya disebut
dengan aljabar Babylonia. Misal umur x, sehingga x = 1/6x + 1/12x +
1/7x + 5 + ½x + 4 akan diperoleh x = 84, umur Diophantus.
Seringkali disebut dengan ”Bapak” aljabar Babylonia. Karya-karyanya
tidak hanya mencakup tipe material tertentu yang membentuk dasar
aljabar modern; bukan pula mirip dengan aljabar geometri yang
dirintis oleh Euclid. Diophantus mengembangkan konsep-konsep
aljabar Babylonia dan merintis suatu bentuk persamaan sehingga
bentuk persamaan seringkali disebut dengan persamaan Diophantine
(Diophantine Equation) menunjuk bahwa Diophantus cukup memberi
sumbangsih bagi perkembangan matematika.
2. Pythagoras
Pythagoras lahir pada tahun 570 SM, di pulau Samos, di daerah
Ionia. Pythagoras (582 SM – 496 SM) adalah seorang matematikawan
dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.Dikenal
sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting
terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda
dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.
Semasa kecil, Pythagoras pernah menyusun kerikil dalam
bentuksegi-tiga dengan jumlah kerikil yang berbeda namun
berurutan:
1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Dengan menjumlah 2 angka yang bersebelahan akan ditemukanhasil
suatu bilangan yang dikuadratkan:
1 + 3 = 4 (2 x 2)
3 + 6 = 9 (3 x 3)
6 + 10 = 16 (4 x 4)
10 + 15 = 25 (5 x 5)
“Mainan” ini ternyata memicu terjadinya rumus Pythagoras yang
terkenal: a² + b² = c². Seorang guru memberi tebakan “mainan” ini
kepada Galileo sehingga akhirnya Galileo tertarik untuk menekuni
matematika, sebagai alat untuk menjelaskan alam semesta
(kosmologi).
Dalam tradisi Yunani, diceritakan bahwa ia banyak melakukan
perjalanan, diantaranya ke Mesir. Perjalanan Phytagoras ke Mesir
merupakan salah satu bentuk usahanya untuk berguru, menimba ilmu,
pada imam-imam di Mesir. Konon, karena kecerdasannya yang luar
biasa, para imam yang dikunjunginya merasa tidak sanggup untuk
menerima Phytagoras sebagai murid. Namun, pada akhirnya ia diterima
sebagai murid oleh para imam di Thebe. Disini ia belajar berbagai
macam misteri. Selain itu, Phytagoras juga berguru pada imam-imam
Caldei untuk belajar Astronomi, pada para imam Phoenesia untuk
belajar Logistik dan Geometri, pada para Magi untuk belajar
ritus-ritus mistik, dan dalam perjumpaannya dengan Zarathustra, ia
belajar teori perlawanan.
Selepas berkelana untuk mencari ilmu, Phytagoras kembali ke
Samos dan meneruskan pencarian filsafatnya serta menjadi guru untuk
anak Polycartes, penguasa tiran di Samos. Kira-kira pada tahun 530,
karena tidak setuju dengan pemerintahan tyrannos Polycartes, ia
berpindah ke kota Kroton di Italia Selatan. Di kota ini, Phytagoras
mendirikan sebuah tarekat beragama yang kemudian dikenal dengan
sebutan “Kaum Phytagorean.”
3. Muhammad bin Musa Al-Khawarizmi
Nama Asli dari Al-Khawarizmi ialah Muhammad Ibn Musa
al-Khawarizmi. Selain itu beliau dikenali sebagai Abu Abdullah
Muhammad bin Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi dikenal di Barat
sebagai Al-Khawarizmi, al-Cowarizmi, Al-Ahawizmi, Al-Karismi,
Al-Goritmi, Al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi. Beliau
dilahirkan di Bukhara. Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan
Al-Khawarizmi. Al-Khawarizmi telah wafat antara tahun 220 dan 230
M. Ada yang mengatakan Al-Khawarizmi hidup sekitar awal pertengahan
abad ke-9 M. Sumber lain menegaskan beliau hidup di Khawarism,
Usbekistan pada tahun 194H/780M dan meninggal tahun 266H/850M di
Baghdad.
Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas
solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia
disebut sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari
Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India, kemudian
diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia
Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi
Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan
astrologi.
Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika,
tapi juga dalam kebahasaan., yang tercantum dalam buku beliau. Kata
logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi
dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol
Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti
digit.
Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat
belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya
untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan
angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia
Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam
berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama
kali memperkenalkan aljabar dan hisab (ilmu hitung Islam). Banyak
lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari dalam bidang
matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu
populer yang masih digunakan sampai sekarang.
Al-Khawarizmi sebagai guru aljabar di Eropa. Beliau telah
menciptakan pemakaian Secans dan Tangen dalam penyelidikan
trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau bekerja di bawah
pemerintahan Khalifah Al-Ma’mun, bekerja di Bayt Al-Hikmah di
Baghdad. Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat
belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya
untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan
angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam.
Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam berbagai
disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali
memperkenalkan aljabar dan hisab. Banyak lagi ilmu pengetahuan yang
beliau pelajari dalam bidang matematika dan menghasilkan
konsep-konsep matematika yang begitu populer yang masih digunakan
sampai sekarang.
Sumbangsihnya dalam bentuk hasil karya diantaranya ialah :
1. Al-Jabr wa’l Muqabalah : beliau telah mencipta pemakaian
secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dan
astronomi.
2. Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Beliau telah mengajukan
contoh – contoh persoalan matematika dan mengemukakan 800 buah
masalah yang sebagian besar merupakan persoalan yang dikemukakan
oleh Neo Babylian dalam bentuk dugaan yang telah dibuktikan
kebenarannya oleh Al – Khawarizmi
3. Sistem nomor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan
yang oenting dalam system nomor pada zaman sekarang. Karyanya yang
satu ini memuat cos, sin, dan tan dalam penyelesaian trigonometri,
teorema segitiga sama kaki dan perhitungan luas segitiga, segi
empat, dan lingkaran dalam geometri
4. Abu Kamil Shuja
Abu Kamil Shuja’ (Sekitar 850 - 955 M) dari nama panggilannya,
al-Misri, memang berasal dari Mesir. Nama lengkapnya Abu Kamil
Shuja’ ibnu Aslam ibnu Muhammad ibnu Shuja’ al-Hasib al-Misri. Ia
hidup setelah al-Khowarizmi (850 M) dan sebelum Ali bin Ahmad
al-Imrani (955-956 M). Matematikawan yang oleh Mehdi Nakosteen,
disebut sebagai pakar aljabar terbaik abad ke-10 ini, tidak saja
mengembangkan dasar-dasar aljabar al-Khowarizmi tetapi juga lebih
menyempurnakannya. Ia antara lain menggunakan bilangan-bilangan
rasional bentuk kuadrat, dengan rumus:
dan
Abu Kamil antara lain memberi contoh berikut.
Contoh seperti itu ditemukan pula pada buku “Al-Fikhri” karya
Al-Karkhi. Sedang, Fibonacci (yaitu Leonardo da Vinci) juga
menggunakan metode itu dengan angka 18 dan 32. Apabila dari rumusan
Abu Kamil tersebut , kita memisalkan p = a + b dan q = a.b , maka
rumusannya menjadi :
Rumusan terakhir ini mirip rumusan yang ditemukan kemudian oleh
Bhaskara (sekitar 1150) berupa :
Karya-karya Abu Kamil banyak diterjemahkan oleh penulis-penulis
Barat belakangan seperti “Das Buch der Sletenheiten der Rechenkunst
von Abu Kamil al-Misri” oleh H. Suter, “The Algebra of Abu Kamil
Shoja’ ben Asalam” oleh L.C. Karpinski, “On the Pentagon and
Decagon” oleh Suter dan juga Sacherdote, “Augmentum et Diminutio”
oleh F. Woepcke (1863 M), dan lain-lain. Kebanyakan karya-karyanya
dalam waktu singkat diterjemahkan oleh Eropa ke dalam bahasa Latin,
Hebrew, Inggris, Spanyol, dll.
Ada dua buku Abu Kamil yang sangat terkenal seperti tertulis
dalam “Al-Fihrist” (sebuah daftar buku dan pengarang muslim) karya
An-Nadim,, yaitu yang pertama “Kitab fi al-Jami’ wa at-Tafrik”
(tentang penambahan dan pengurangan) yang sempat menjadi bahan
diskusi berkepanjangan oleh para ahli dan mengandung kerumitan.
Yang kedua, “At-Ta’arif” yang banyak diterjemahkan dan mengandung
bahasan yang menyeluruh tentang persamaan-persamaan tak tentu.
Bahasan tersebut muncul di India (1150 M) oleh Baskhara, dan
diperkenalkan oleh Aryabhata. Karya unggul Abu Kamil yang lain
dapat disebut antara lain dengan judul “Kitab al-Khata’ayn”
(tentang dua kesalahan). Sedang, karya-karya Abu Kamil yang lain
sudah sulit untuk dirujuk judul aslinya.
5. Leonardo Fibonacci
Leonardo Fibonacci dilahirkan di Pisa, itali sekitar tahun 1175.
Beliau dilahirkan dalam keluarga Guilielmo Bonacci, seorang
pengusaha sukses terkenal republik Pisa. Guilielmo menginginkan
putranya kelak menggantikan kedudukannya sekaligus menjadi seorang
ilmuan. Pada zamannya oleh karena itu dia telah membuat
persiapan-persiapan untuk Leonardo dengan belajar teknik
perhitungan terutama yang melibatkan system angka Hindu-Arab yang
pada masa tersebut belum dikenal di Eropa. Fibonacci mampu bergerak
bebas ke seluruh kerajaan Byzantine karena beliau putra dari
pengusaha terkemuka dan mempunyai kedudukan tinggi. Menurut
sejarawan Leonardo Fibonacci sangat tertarik dengan 9 symbol sistem
nomor Hindu-Arab kemudian dia menekuni ilmu tersebut dan berhasil
menguasainyai. Pada abad ke-12 Leonardo kembali ke Pisa dan mulai
memberikan sumbangan pada perkembangan ilmu matematika sehingga
mendapat gelar kehormatan sebagai ahli matematik unggul zaman
pertengahan. Leonardo memperkenalkan sistem angka Hindu-Arab kepada
masyarakat Eropa. Diantaranya tulisan beliau adalah “Liber Abaci”
yang menunjukkan penguasaan beliau terhadap sistem angka Hindu
–Arab dan juga pemahaman beliau tentang sistem persepuluhan. Dari
karyanya yang lain para sejarawan matematika telah menemukan teori
persamaan kuadrat serta teori algebra lain.
Dari permasalahan di atas Leonardo Fibonacci mampu untuk
menggambarkan perhitungan populasi kelinci tersebut dan dia telah
menemukan deret angka yang menghantarkan dia mengenalkan definisi
“The Golden Ratio” atau Angka Ratio emas. Permulaan deret angka
Fibonacci di jelaskan sebagai berikut:
1,0 + 1 = 1, 1 + 1= 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 +5 = 8, 5 + 8 =
13, 8 + 13 = 21, 13 + 21= 34, 21 + 34 = 55 …dst
Deret angka Fibonacci ini menunjukkan asal mula kejadian alam
semesta dan juga menjadi inspirasi para seniman di dalam mewujudkan
cipta seni mereka termasuk Leonardo Da Vinci di dalam karya
lukisannya yang mendunia yaitu Mona Lisa. Selain itu rahasia angka
Fibonacci ini juga di aplikasikan secara luas dalam seni kontruksi
bangunan lukisan, lukisan dan juga wujud dalam anatomi tubuh
manusia.
6. Augustin-Louis Cauchy
Augustin-Louis Cauchy, lahir di Paris, Prancis, 21 Agustus 1790,
ialah seorang matematikawan Prancis Augustin di didik di Ecole
Plytecnique. Karena kesehatannya yang buruk ia dinasehatkan untuk
memutuskan pikirannya pada matematika. Selama karierna, ia menjabat
sebagai mahaguru di Ecole Plytecnique, Sorbonne,dan College de
France. Sumbangan-sumbangan matematikanya cemerlang dan mengejutkan
jumlahnya. Produktivitasnya sangat hebat hingga akademi Paris
memilih untuk membatasi ukuran makalahnya dalam majalah ilmiah
untuk mengatasi keluaran dari Cauchy.
Pada awal Desember 1810, Cauchy menekuni matematika. Diawali
dengan belajar aritmatika dan berakhir dengan astronomi,
menyederhanakan pembuktian dan menemukan proposisi-proposisi baru
dengan menggunakan metode-metodenyamenjadi pekerjaan sehari-hari.
Masih berumur 24 tahun1813, Cauchy kembali ke Paris. Saat inidia
melakukan penelitianmatematika brilian agar layak disebut
matematikawan terkemuka Prancis. Topik yang menjadi pokok
penelitian adalah Polyhedra dan fungsi-fungsi asimetris.
Awal tahun 1811, Cauchy mengeluarkan makalah perdananya tentang
polyhenda yang mempunyai sisi lebih dari sekedar 2, 4, 6, 12 atau
20 sisi. Disusun dengan makalah ke dua, dengan mengembangkan rumus
dari Euler tentang geometri bidang, dengan menghubungkan jumlah
sudut (s), permukaan (M), garis Verteks (V) dari Polyhendron, s + 2
= M + V.
Cauchy mengembangkan apa yang disebut dengan determinan. Diawali
dengan membuat susunan simetri dari n fakor / bilangan a1, a2, a3,
…, an. Sebelum rumusan difinisi determinan sebagai ekspresi yang
diperoleh dari setiap perubahan. Tahun 1815 Cauchy menggunakan
determinan untuk menghitung perambatan gelombang, menyelesaikan
problem geometri dan fisika. Misal diketahui A, B, C, adalah lembar
pipa paralel, jika diproyeksikan dalam diksi x, y dan z yang tegak
lurus dengan sistem koordinat adalah
A1 B1 C1
A2 B2 C2
A3 B3 C3
Maka isis pipa partikel adalah [{A1B2C3) + (A3B1C2) + (C1A2B3) –
(A3B2C1) + (A1C2B3) + (C3B1A2)}]= s (A1B2C3). dalam tulisan yang
sama dikaitkan dengan perambatan gelombang, Cauchy menggunakan
determinan dengan notasi derivate pasial, menganti kondisi yang
diperlukan dua garis untuk mengeksresikannya secara singkat :
S( dx dy d2 ) = 1
da db dc
sisi kiri sekarang lebih dikenal dengan sebutan “Jacobian” dari
x, y, z dengan a, b, c.
Cauchy ialah seorang katolik yang saleh dan pengikut raja yang
patuh. Dengan menolak bersumpah setia kepada pemimpin Prancis yang
berkuasa pada 1830, ia pindah ke Italia selama beberapa tahun dan
mengatur dibeberapa institusi keagamaan di Paris sampai sumpah
kesatuan di hapuskan setelah Revolusi 1848.
Cauchy memiliki perhatian yang luas. Ia mencintai puisi dan
pengarang suatu naskah dalam ilmu persajakan dalam bahasa Ibran.
Keimananya dalam dalam beragama mengantarnya mendukung kerja social
untuk Ibu-ibu tanpa nikah dan narapidana. Meski Kalkulus diciptakan
pada akhir abad ke -17, dasarnya tetap kacau dan berantakan sampai
Cauchy dan rekannya Carl, Friendrich, Gaub, Niels Hendrik Abel dan
Bernard Bolzano mengadakan ketelitian baku.
7. Geogre Boole (1815 – 1864)
Geogre Boole dilahirkan di Lincoln, Inggris,, pada tanggal 2
November 1815. beliau berasal darikeluargamiskin. Kepandaian Geogre
Boole sudah tanpak sejak sejak usia 12 tahun. Pada saat itu, dia
sudah berhasil menerjemahkan sebuah syair dari bahasa latn. Hasil
terjemahan itu dikirimkan ke surat kabar setempat. Banyak orang
tidak percaya bahwa yang menerjemahkan syair itu adalah seorang
anak yang berumur 12 tahun Geogre Boole.
Kerya pertama boole yang berhubungan dengan logika matematika
adalah The mhatematical Analysis of Logic. Buku ini diterbitkan
pada tahun 1847 selanjutnya, kembali menulis buku tentang logika
pada tahun 1854 yaitu an investigation of thougt kelebihan
pemikiran boole ini adalah dia mampu merumuskan hubungan yang
terdapat di dalam logika matematika menjadi symbol-simbol yang
sangat sederhana. Hasil pemikiran boole ini kelak dikenal dengan
nama aljabar Boolean.
Sebagian dari karya boole memang langsung berpengaruh pada saat
itu. Akan tetapi sebagian lainya tidak misalnya boole sempat
menulis 2 buku teks matematika yaitu Treatise on Difference pada
tahun 1860. kedua buku ini baru dijadikan rujukan pengajaran di
Universitas-Universitas beberapa decade setelah kematiannya. Boole
mengusulkan bahwa proposi logis harus dinyatakan sebagai persamaan
aljabar. Manipulasi aljabar dari symbol dalam persamaan memberikan
metode gagal aman dedukasi logis, yaitu logika direduksi menjadi
aljabar. Boole menggantikan operasi perkalian dengan kata”dan” dan
penambahan oleh kata “atau”. Symbol dalam persamaan dapat berdiri
untuk koleksi objek (set) atau pernyataan dalam logika.misalnya,
jika x adalah himpunan semua sapi coklat dan y adalah himpunan
semua sapi lemak, maka x + y adalah himpunan semua sapi yang
cokelatatau lemak, dan xy adalah himpunan semua sapi yang coklat
dan lemak.
Boole menerima penghargaan dari Universitas Dublin dan oxford.
Dia pun menjadi anggota kehormatan di Royal Irish Academy dan Royal
Society of London. aljabar Boolean yang dicetuskan Boole merupakan
ide dasar dalam perancangan sirkuit computer dan juga bermanfaat
dalam perancangan jalur telepon.
8. Al-Qalasadi
Al Qalasadi dalam mengembangkan matematika sungguh sangat tak
ternilai. Ia sang matematikus Muslim di abad ke-15, kalau tanpa dia
boleh jadi dunia dunia tak mengenal simbol-simbol ilmu hitung.
Sejarang mencatat, al Qalasadi merupakan salah seorang matematikus
Muslim yang berjasa memperkenalkan simbol-simbol Aljabar.
Symbol-simbol tersebut pertama kali dikembangkan pada abad 14 oleh
Ibnu al-Banna kemudian pada abad 15 dikembangkan oleh al-Qalasadi,
al-Qalasadi memperkenalkan symbol-simbol matematika dengan
menggunakan karakter dari alphabet Arab. Ia menggunakan wa yang
berarti “dan” untuk penambahan (+), untuk pengurangan (-),
Al-Qalasadi menggunakan illa berarti “kurang”. Sedangkan untuk
perkalian (x), ia menggunakan fi yang berarti “kali”. Simbol ala
yang berarti ”bagi” digunakan untuk pembagian (/).
Selama hidupnya, al-Qalasadi menulis beberapa buku mengenai
aritmatika dan sebuah buku mengenai aljabar. Beberapa di antaranya
berisi komentar-komentar terhadap karya Ibnu al-Banna yang bertajuk
Talkhis Amal al-Hisab (Ringkasan dari Operasi Aritmatika). Ibnu
al-merupakan matematikus Muslim yang hidup satu abad lebih awal
dari al-Qalasadi. Risalah utama al-Qalasadi adalah al-Tabsira fi'lm
al-Hisab (Klarifikasi Ilmu Berhitung). Sayangnya, buku itu sulit
dipelajari orang kebanyakan. Untuk mempelajarinya dibutukan
ketajaman pikiran. Buku itu sangat dipengaruhi pemikiran Ibnu
al-Banna. Meskipun al-Qalasadi sudah berusaha menyederhanakan
tingkat kerumitan karya al-Banna.
Buku aritmatika karya al-Qalasadi yang lebih sederhana, terbukti
begitu populer dalam pengajaran aritmatika di Afrika Utara.
Karya-karyanya itu digunakan selama lebih dari 100 tahun. Jejak
intelektual al-Qalasadi rupanya cukup dikenal dan diketahui para
sejarawan. Salah seorang penulis yang bernama J Samso Moya,
mengatakan, para penulis menganalisis karya para ahli matematika
dari Maghrib (Afrika Utara) seolah-olah mereka sepenuhnya tidak
terpengaruh dari pendahulu mereka di Timur Islam.
9. Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar ibn Muḥammad ibn al-Muẓaffar
al-Ṭūsī (1135-1213)
Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar ibn Muḥammad ibn al-Muẓaffar al-Ṭūsī
adalah matematikawan dan astronom Islam dari Persia. Sharif al-Din
mengajar berbagai topik matematika, astronomi dan yang terkait,
seperti bilangan, tabel astronomi, dan astrologi. Al-Tusi menulis
beberapa makalah tentang aljabar. Dia memberikan metode yang
kemudian dinamakan sebagai metode Ruffini-Horner untuk menghampiri
akar persamaan kubik. Meskipun sebelumnya metode ini telah
digunakan oleh para matematikawan Arab untuk menemukan hampiran
akar ke-n dari sebuah bilangan bulat, al-Tusi adalah yang pertama
kali yang menerapkan metode ini untuk memecahkan persamaan umum
jenis ini. Dalam Al-Mu’adalat (Tentang Persamaan), al-Tusi
menemukan solusi aljabar dan numerik dari persamaan kubik dan yang
pertama kali menemukan turunan polinomial kubik, hasil yang penting
dalam kalkulus diferensial
10. Omar Khayyam (1044-1123 A.D.)
Omar Khayyam adalah ilmuwan yang berasal dari Persia ini
membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari
persamaan kubik. Nama penuh Umar Khayyam ialah Umar Ibnu Ibrahim
al-Khayyami. Beliau dilahirkan di Nisyapur, Semenanjung Khurasan
pada 433H/1040M dan meninggal dunia pada 517H/ 1123-1124M.
Sejak kecil beliau sudah memperoleh pendidikan yang baik dan
teratur daripada orang tuanya yang memang termasuk dalam kategori
orang berada. Salah seorang gurunya ialah Imam Muwaffak, pendidik
yang amat terkenal di Nisyapur. Kecemerlangannya, berjaya menarik
perhatian Sultan Malik Syah sehingga ditawarkan untuk berkhidmat di
istana.
Namun, Umar Khayyam tidak berminat. Beliau lebih tertarik kepada
dunia keilmuan, sastera dan sains. Oleh itu, sultan telah
mendirikan sebuah observatori astronomi yang menjadi tempat Umar
Khayyam mengembangkan ilmunya. Di samping itu, beliau juga dilantik
menjadi ketua kepada lapansarjana yang melakukan penelitian
astronomi di Perguruan Tinggi Nizamiah, Baghdad, Iraq.
Para ilmuwan ini kemudian melakukan modifikasi terhadap
perhitungan takwim Islam. Pembaharuan ini didasarkan pada pemikiran
dan juga kenyataan bahawa manusia hanya mengenal tahun syamsiyah
(yang mempunyai 365 hari) dan tahun qamariah (354 hari). Pada
dasarnya ini merupakan sebuah tugas mirip dengan revisi yang
dilakukan oleh Paus Gregory XIII pada 1528M terhadap kalendar
Kristian atau kalendar Julian (Julius Caesar) yang telah dipakai
sejak 46M. Hasil kerja kelompok Umar Khayyam ternyata jauh lebih
baik berbanding yang dilakukan oleh Paus Gregory XIII.
Sejak 1079M, Umar Khayyam telah mula menerbitkan hasil
penelitiannya berupa gambar rajah astronomi yang dikenali sebagai
Zij Malik Syah. Begitu juga karyanya dalam bidang matematik,
khususnya mengenai algebra serta sebuah buku penyelidikan daripada
buku The Difficullies of Euclid’s Definitions (Kesulitan Definis
Fuclides). Semuanya sehingga kini masih tersimpan dengan baik.
Karyanya tentang Al-Jabr (Algebra) telah diterjemahkan dan
disunting oleh F.Woepeke ke dalam bahasa Perancis (1857M). Ia
merupakan sumbangan amat berharga bagi negerinya serta bagi
pengajian bidang matematik pada umumnya.
Beliau merupakan orang pertama secara ilmiah mengklasifikasikan
persamaan-persamaan tingkat satu (persamaan Linear) serta
memikirkan kemungkinan dan mengutamakan masalah persamaan pangkat
tiga (kubik) yang berpangkal daripada persamaan umum. Lain halnya
dengan al-Khawarizmi yang lebih banyak mencurahkan perhatiannya
kepada persamaan kuadrat. Umar Khayyam turut menghasilkan Jawami
al-Hisab yang mengandungi rujukan awal mengenai segi tiga Pascal
dan menguji balik postulat V Euclides yang berkait dengan teori
garis sejajar.
Dalam satu risalahnya, beliau membincangkan kesulitan definisi
Euclides yang menggambarkan segi empat ABCD dengan sisi AB dan DC
yang sama dengan yang lain. Umar Khayyam dan al-Thusi juga
menyedari bahawa ada kemungkinan jumlah sudut sebuah segi tiga
kurang daripada 180 darjah.
C. Sejarah Beberapa Topik Aljabar
1. Sistem Persamaan Linier
Babilonia diketahui yang pertama mengenal dan menulis tentang
sistem persamaan. Tentu saja belum menggunakan simbol-simbol
seperti yang kita gunakan sekarang. Pada sebuah batu bertulis
bangsa Babilonia, dari masa 300 SM, termuat sebuah soal yang
berkaitan dengan sistem persamaan linier, sebagai berikut:
Terdapat dua daerah (sawah) dengan luas total 1800 yard persegi.
Daerah sawah yang pertama dapat memproduksi rata-rata 2/3 gantang
padi per yard persegi,sementara daerah sawah yang lain memproduksi
padi 1/2 gantang per yard persegi. Jika jumlah produksi keseluruhan
1100 gantang, berapakah luas daerah masing-masing sawah?
Bangsa Cina sekitar tahun 200 SM hingga 100 SM, telah lebih jauh
melangkah dalam menangani sistem persamaan. Dalam teks kuno
Jianzhang Suan Shu, yang terjemahan Inggrisnya Nine Chapters of the
Matematical Arts, telah menyuguhkan berbagai macam soal mengenai
sistem persamaan linier, termasuk metode untuk menyelesaikannnya
yang dasarnya merupakan metode matriks. Salah satu soal dinyatakan
sebagai berikut:
Terdapat tiga jenis jagung. Untuk tiga karung jenis pertama,
ditambah dua karung jenis kedua, dan sekarung jenis ketiga harganya
39. Dua karung jenis pertama, tiga karung jenis kedua, dan sekarung
jenis ketiga harganya 34. Sekarung jenis pertama, dua karung jenis
kedua, dan tiga karung jenis ketiga harganya 26. Berapakah harga
jagung keseluruhan bila diambil masing-masing jenis sekarung
saja?
Penulis soal kemudian menyusun koefisien-koefisien dalam sistem
persamaan yang digambarkan dalam soal di atas, ke dalam sebuah
tabel yang sering disebut dengan counting board (papan
perhitungan).
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
Metode pada abad ke-20 (juga kita sekarang) biasanya menulis
koefisien tiap persamaan menurut arah baris, tetapi metode Cina
Kuno di atas menurut arah kolom. Hal ini mungkin disebabkan
penulisan Cina sering dari atas ke bawah. Penulis kemudian meminta
pembaca mengalikan kolom tengah dengan 3, lalu dikurangi kolom
kanan “sebanyak mungkin”. Juga, setelah mengali tiga kolom kiri
lalu dikurangi kolom kanan “sebanyak mungkin”. Jelas bahwa
pengertian “sebanyak mungkin” dari penulis naskah kuno tersebut,
berarti dikurangi hingga hasil nol diperoleh. Selanjutnya, kolom
kiri dikali 5, lalu dikurangi kolom tengah “sebanyak mungkin”. Ini
memberikan hasil:
0 0 3
0 5 2
36 11
99 24 39
Dari hasil terakhir ini, kita dapat menemukan harga untuk tiap
karung jenis ketiga. Selanjutnya, dengan melakukan substitusi, akan
kita peroleh harga untuk tiap karung jenis kedua, dan jenis
pertama. Metode ini yang disebut metode fang cheng, kini sering
disebut Metode Eliminasi Gauss, yang baru dikenal di Eropa baru
sekitar awal abad ke-19. Istilah fang cheng, mulanya bermakna
“berhitung dengan bentuk persegipanjang”, tetapi kini memiliki arti
sederhana, yaitu “persamaan”. Cardano lewat bukunya, Ars Magna
(1545), memberikan suatu metode yang ia sebut regula de modo (atau
“Ibunya Aturan”) dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dua
variabel. Aturan ini pada dasarnya merupakan Aturan Cramer, tetapi
Cardano tidak sampai pada bentuk final, ia pun tidak mengarah pada
mendefinisikan determinan.
2. Matriks dan Determinan
Perkembangan konsep determinan muncul lebih dulu dari konsep
matriks. Ini dikarenakan kedua konsep tersebut terkait dengan
penyelesaian sistem persamaan dan penyelesaian persamaan aljabar
(polinom) pangkat tinggi.
Ide determinan muncul pertama kali di Jepang dan di Eropa pada
waktu hampir bersamaan, tetapi Seki Kowa (1642-1708)
mempublikasikan lebih dulu di Jepang. Tahun 1683, Seki menulis buku
Method of Solving the dissimulated problems yang memuat metode
matriks. Tanpa menggunakan istilah apa pun untuk “determinan”, ia
memperkenalkan determinan dan memberikan metode umum untuk
menghitungnya. Seki menemukan determinan untuk matriks ordo 2 × 2,
3 × 3, 4 × 4, dan 5 × 5 serta menggunakannya untuk menyelesaikan
persamaan pangkat tinggi, bukannya sistem persamaan.
Leibniz dalam suratnya ke l`Hôpital tahun 1683 menjelaskan
sistem persamaan:
10 + 11x + 12y = 0
20 + 21x + 22y = 0
30 + 31x + 32y = 0
hanya memiliki satu penyelesaian karena 10.21.32 + 11.22.30 +
12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30 yang tidak lain merupakan
syarat determinan koefisien sama dengan nol. Tetapi Leibniz tidak
bermaksud menggunakan bilangan, sehingga apa yang ia nyatakan
dengan 21 adalah a21. Leibniz menggunakan istilah “resultant” untuk
kombinasi hasil kali koefisien dari determinan tersebut. Ia
membuktikan berbagai teori dari “resultant” tersebut, antara lain
yang mirip dengan Aturan Cramer, dan juga apa yang kemudian disebut
Ekspansi Laplace.
Tahun 1730-an, Maclaurin (1698-1746) menulis Treatise of algebra
dan baru diterbitkan tahun 1748. Buku tersebut memuat pembuktian
Aturan Cramer untuk matriks 2 × 2 dan 3 × 3. Baru pada tahun 1750,
Cramer (1704-1752) lewat buku Introduction to the analysis of
algebraic curve memberikan aturan umum untuk aturan Cramer pada
matriks n × n (karena itu disebut Aturan Cramer) walaupun tidak ada
bukti yang diberikan. Tahun 1764, Bézout (1730-1783) memberikan
sebuah metode menghitung determinan, begitu juga Vandermonde
(1735-1796) pada tahun 1771. Tahun 1772, Laplace (1749-1827)
mengembangkan aturan yang kini disebut ekspansi Laplace dan ia
menamakan determinan dengan sebutan “resultant”, seperti sebutan
Leibniz.
Tahun 1773, Lagrange (1736-1813) menulis tentang determinan
dalam studi mekanika. Dalam karya tersebut, untuk pertama kali
penggunaan determinan sebagai volum. Istilah “determinant” pertama
kali digunakan oleh Carl F. Gauss (1777-1855) dalam Disquisitiones
arithmeticae (1801), tetapi dalam pembahasan bentuk-bentuk kuadrat
dengan menggunakan determinan. Eliminasi Gauss, yang ditelah
digunakan di Cina tahun 200 SM, ditemukan pada karyanya tentang
studi orbit asteroid Pallas.
Adalah Cauchy (1789–1857) pada tahun 1812, yang pertama kali
menggunakan istilah “determinant” dalam konteks modern. Karya-karya
Cauchy hampir mewakili konsep determinan modern. Dia merintis
konsep “minor” dan “adjoints’, serta hasil kali matriks. Dalam
karya tahun 1841, ia menggunakan tanda dua garis vertikal untuk
menunjukkan determinan. Pada tahun 1850, istilah “matrix” (matriks)
muncul dalam tulisan Sylvester (1814-1897). Tahun 1853, Cayley
(1821–1895) yang dikenal di sekolah lewat “tabel Cayley” menulis
tentang invers matriks. Dan tahun 1858, ia menerbitkan Memoir on
the theory of matrices yang merupakan karya pertama yang membahas
matriks secara abstrak.
3. Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras diberi nama berdasarkan nama seorang
matematikawan Yunani Kuno, Pythagoras, mungkin karena ia yang
pertama memberi sebuah bukti (secara geometris) untuk teorema
tersebut. Tetapi hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku
tersebut telah lama dikenal jauh sebelum Pythagoras dan
perguruannya. Bukti dari perguruan Pythagoras berdasarkan gambar
geometris berikut ini.
Di Universitas Columbia, terdapat katalog hasil olahan
naskah-naskah kuno Mesopotamia oleh G. A. Plimpton yang berisi
masalah matematika. Katalog itu bernomor 322 sehingga dikenal
sebagai Plimpton 322. Naskah tersebut berisi tabel matematika dari
zaman antara 1900 SM hingga 1600 SM. Naskah Plimpton 322 disusun
kembali oleh Neugebauer dan Sache tahun 1945, dan ternyata memiliki
tabel yang menakjubkan. Tabel pada naskah itu terdiri atas tiga
kolom bilangan, yang ternyata bersesuaian dengan tripel Pythagoras,
yaitu a2 – b2 dan c2 = a2 + b2 , di mana bilangan-bilangan a dan b
yang bersesuaian merupakan bilangan-bilangan prima relatif dan
membentuk tripel Pythagoras bersama harga c tersebut. Dengan cara
lain, triple yang bersesuaian dengan tabel Plimpton ini adalah
(2uv)2 + (u – v)2 = (u + v)2, yang oleh Anglin disebut Tripel
Babilonia.
Sebuah catatan tentang astronomi dan matematika, Chou Pie Suan
Ching, yang terjemahan Inggrisnya The Arithmetical Classic of the
Gnomon and the Circular Paths of Heaven, sekitar 500 hingga 200 SM
menyajikan pembahasan dan bukti secara geometris tentang Teorema
Pythagoras. (lihat gambar di atas). Teks kuno dari India juga telah
mengenal tentang Teorema Pythagoras jauh sebelumPythagoras. Di
dalam naskah kuno Sulbasutras yang berasal dari tahun 800-600 SM
(Baudhayana Sulbasutra) terdapat bahasan Teorema Pythagoras, yang
digunakan untuk kepentingan pembangunan altar keagamaan. Sementara
dalam Katyayana Sulbasutra (200 SM) terdapat ilustrasi: Tali yang
dihubungkan sepanjang diagonal suatu persegipanjang menghasilkan
bujursangkar yang luasnya sama dengan jumlah luas kedua
bujursangkar pada sisi-sisi persegipanjang. Di dalam Sulvasutras
banyak digunakan Tripel Pythagoras, seperti: (5, 12, 13), (12, 16,
20), (8, 15, 17), (15, 20, 25), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (5/2,
6, 13/2), dan (15/2, 10, 25/2).
Diperkirakan bangsa Maya dalam menghitung kalender mereka, juga
menggunakan suatu variasi dari Teorema Pythagoras. Ada yang
mengatakan rumus Tripel Pythagoras: (m2 –1)/2, m, (m2 +1)/2 berasal
dari perguruan Pythagoras. Tetapi sesungguhnya hal ini telah
dikenal di Babilonia. Rumus itu sendiri hanya berlaku untuk m
bilangan ganjil. Belakangan Plato memberikan rumus yang lebih baik:
m2 –1, 2m, m2 +1.
4. Binomial dan Segitiga Pascal
Walaupun nama Segitiga Pascal berasal dari nama seorang
matematikawan Prancis pada abad ke-17, tetapi segitiga yang
menunjukkan koefisien-koefisien binomial tersebut telah lama
dikenal ratusan tahun sebelum Blaise Pascal (1623-1662). Mungkin
secara sendiri-sendiri atau independen, matematikawan Cina dan
Muslim (Persia) masing-masing menemukan segitiga tersebut. Menurut
Clawson dalam sebuah sumber di internet, Chia Hsien atau Jia Xian
(k. 1050) telah menggunakan segitiga tersebut untuk menentukan akar
kuadrat dan akar kubik suatu bilangan. Demikian pula metode yang
digunakan Omar Khayyam dalam menentukan akar suatu bilangan.
Setelah digunakan oleh Chia Hsien, Yang Hui (m. k. 1261-1275)
menggunakannya untuk penarikan akar persamaan tingkat tinggi (lebih
dari tiga). Para peneliti menyatakan bahwa Yang Hui adalah orang
pertama yang menyajikan susunan segitiga Pascal. Matematikawan Zhu
Shijie atau Chu Shih Chieh (m.k.1280-1303) sekali lagi menyuguhkan
susunan tersebut tahun 1303. Dalam bukunya, Zhu Shijie mengatakan
bahwa segitiga binomial tersebut telah merupakan penemuan kuno pada
jamannya.
Deskripsi tentang segitiga Pascal, mungkin yang paling tua
berasal dari India. Sebuah tulisan Sanskrit yang disebut Meru
Prastara yang mungkin berasal dari abad ke-3 atau 4 telah memberi
deskripsi tentang segitiga Pascal dengan sangat jelas. Ini kita
ketahui dari seorang komentatornya, Halayudha (k. 975). Kalau kita
gambarkan deskripsi dari Meru Prastara akan berbentuk segitiga
seperti di atas ini.
Al-Karaji atau al-Karkhi dalam al-Fakhri dan al-Badi juga telah
mendeskripsikan tentang pembuatan Segitiga Pascal bahkan membuat
gambarnya (lihat di atas). Deskripsi umum Segitiga Pascal dari
al-Karaji terdapat dalam komentatornya, yaitu al-Samawal. Segitiga
binomial tersebut dikenal lewat karya Blaise Pascal, Traité du
triangle arithmétique pada tahun 1654. Pascal menulis banyak sifat
yang berkenaan dengan segitiga binomial tersebut. Pascal termasuk
matematikawan brillian dalam jamannya. Ia menemukan teorema-teorema
penting dalam geometri, menemukan mesin hitung, merintis teori
probabilitas, dan lain-lain.
BAB III
TOPIK ALJABAR PADA JENJANG SEKOLAH
A. Sekolah Dasar
B. Sekolah Menengah Pertama
C. Sekolah Menengah Atas
BAB IV
PENUTUP
±