06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen
36
Embed
Aljabar Linear Elementer · 06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS
Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 2
Ruang Hasilkali Dalam (RHD) Sub Pokok Bahasan
– Definisi RHD – Himpunan Ortonormal – Proses Gramm Schmidt
Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi, seperti metode least square dalam peminimuman
error dalam berbagai bidang rekayasa.
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 3
Definisi RHD Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1. (Simetris)
2. (Aditivitas)
3. untuk suatu kR,
(Sifat Homogenitas)
4. , untuk setiap
dan (Sifat Positifitas)
Vvu ,
vu , uv ,
wvu , wvwu ,,
vuk , vku , vuk ,
0, uu
0, uu 0 u
u
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 4
Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh : yang didefinisikan oleh : Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn ) Misalkan , Rn maka = (u1
2 + u22 + …..+un
2)½
0, 21 uuu
u
u
nnvuvuvuvu ..., 2211u v
0, 21 uuu
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 5
Contoh 2 :
Misalnya W R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali dalam ,
dimana Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam
Jawab :
Misalkan
2u1v1 + u2v2 + 3u3v3
= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3
(terbukti simetris)
332211 32, vuvuvuvu
Wvu ,
Wwvu ,,
vu ,
uv ,
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 6
<(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>
= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3
= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3
= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3
(bersifat aditivitas)
(iii) untuk suatu kR, <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)> = 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3
= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3 (bersifat homogenitas)
wvu ,)ii(
wvwu ,,
vuk ,
vku , vuk ,
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 7
Jelas bahwa dan
Contoh 3 : Periksa apakah merupakan hasil kali dalam Jawab : Perhatikan Pada saat 3u3
2 > u12 + 2u2
2
maka
23
22
21 32,)iv( uuuuu
uuu setiapuntuk 0, 21
0jika hanya0, uuu
1 1 2 2 3 3, 2 3u v u v u v u v
23
22
21 32, uuuuu
0, uuTidak memenuhi
Sifat positivitas
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 8
cfadvu ,
),,( cbau ),,( fedv
vu ,
Contoh 4 : Diketahui
dimana dan
Apakah merupakan hasil kali dalam?
uu, 0
)0,2,0(u 0, uu
0u
vu ,
Jelas bahwa = ( a2 + c2 )
Misalkan diperoleh
Padahal ada
Aksioma terakhir tidak terpenuhi. Jadi
ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.
Jawab :
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 9
Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan himpunan ortogonal
jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus).
Himpunan ortonormal himpunan ortogonal yang
setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 10
Secara Operasional
Misalkan, pada suatuRHD
T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika
untuk setiap i ≠ j
Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal
jika untuk setiap i berlaku
ncccT ,...,, 21
0, ji cc
1ic
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 11
Contoh 5 : 1. Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal. 2. Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal. 3. Pada RHD Euclides, C merupakan himpunan ortonormal.
0 1-
0 1
,
A
1- 0
0 1
,
B
21
21
212
1
C
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 12
Misalkan adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika adalah sembarang vektor pada V, maka
Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku : Karena S merupakan himpunan ortonormal dan
nvvvS ,...,, 21
u
nnvkvkvku ...2211
inni vvkvkvkvu ,..., 2211
inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211
ivv ii setiapuntuk 1, jivv ji setiapuntuk 0, dan
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 13
Sehingga, untuk setiap i berlaku
ii kvu ,
nn vvuvvuvvuu ,...,, 2211
nnvkvkvku ...2211Kombinasi linear
Ditulis menjadi
Contoh 6 : Tentukan kombinasi linear dari
21
a
pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun
21
21
u
21
21
vdan
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 14
Jawab :
vvauuaa ,,
vua
21
21
21
21
,21
,21
21
vua 21
21
Perhatikan ….. u dan v mrp
Basis ortonormal
vkuka 21
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 15
Proses Gramm-Schmidt ncccS ,, 21
nwwwB ,...,, 21
basis bagi suatu RHD V
basis ortonormal bagi V
1
11.1
ccw
Langkah yang dilakukan
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 16
2. Langkah kedua
2c
1w 1p
1q
2w
2w2c
1
2 1 11 2 2 1 12
1
, ,wc w wp proy c c w w
w
121 pcq
2122
11222
,,,
wwccwwccw
Vektor satuan searah 1q
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 17
3. Langkah ketiga 3w3c
W
3c
1w 2w2p
2q
3w
22311332 ,, wwcwwccproyp W 232 pcq
3 3 1 1 3 2 23
3 3 1 1 3 2 2
, ,, ,
c c w w c w wwc c w w c w w
Vektor satuan Yang tegak lurus
Bidang W
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 18
Contoh 7 : Diketahui :
B merupakan basis pada RHD Euclides di R3. Transformasikan basis tersebut menjadi basis
Ortonormal
Jawab : Langkah 1.
100
,110
,111
321 uuuB
11
1 uuv
3
1,1,1
313
13
1
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 19
Langkah 2
22
222
1
1
uproyu
uproyuv
v
v
31,
31,
32
31,
31,
31
321,1,0
, 112222 1 vvuuuproyu v
36
91
91
94
22 1 uproyu v
616
16
2
2v
Sementara itu,
Karena itu,
sehingga :
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 20
Langkah 3
Sementara itu,
sehingga :
33
333
uproyu
uproyuv
W
W
21,
21,0
61,
61,
62
61
31,
31,
31
311,0,0
,, 223113333 vvuvvuuuproyu W
21
21
3
0v
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 21
Jadi, 321 ,, vvv
merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3
dengan hasil kali dalam Euclides
21
21
616
16
2
313
13
1 0,,=
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 22
Contoh 8 :
110
, 101
111
u
Diketahui bidang yang dibangun oleh
merupakan subruang dari RHD Euclides di R3
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor
pada bidang tersebut.
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 23
Jawab :
110
, 101
21 vv
Diketahui
Selain membangun subruang pada RHD
Karena
merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.
himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling kelipatan).
21 , vv
Langkah awal : Basis tersebut basis ortonormal.
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 24
21 , 0 ,
21
21 , 0 , 1
101
1 , 0 , 1
222
11
1 vvw
21
2100
2
1 ,0 , 2
1 1 , 1 , 0, 12
wvPerhatikan bahwa :
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 25
21 , 0 ,
21
21 , 0 ,
21
21 , 112 wwv
21 , 1 ,
21
21 , 0 ,
211 , 1 , 0 , 1122 wwvv
621
46
411
41
211
21 ,
22
21122
wwvv
Sehingga:
Akibatnya :
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 26
Akhirnya, diperoleh
61 ,
62 ,
61
621
21 , 1 ,
21
, ,
1122
11222 wwvv
wwvvw
6162
61
,
2102
1
Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb
=
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 27
111
u
uoy WPr 2211 , , wwuwwu
22
22
1 0 2
12
1 , 0 , 2
1 1 , 1 , 1, 1
wu
Proyeksi Orthogonal Vektor
pada bidang tersebut adalah
Perhatikan bahwa :
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 28
Sementara itu :
62
61
62
61
,111
,
616
26
1
2
wu
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 29
uoy WPr2211 , , wwuwwu
3132 31
101
3432 32
Dengan demikian,
=
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 30
110
, 101
111
u
Contoh 9 : Diketahui bidang yang dibangun oleh
merupakan subruang dari RHD Euclides
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor
pada bidang tersebut.
21 , vv
1v 2v
Jelas bahwa
merupakan basis bagi bidang tersebut, karena
dan saling bebas linear
Jawab
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 31
Basis tersebut akan ditransformasikan menjadi basis ortonormal.
21 , 0 ,
21
21 , 0 , 1
101
1 , 0 , 1
222
11
1 vvw
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 32
Perhatikan bahwa :
21
2100
2
1 ,0 , 2
1 1 , 1 , 0, 12
wv
Sehingga:
21 , 0 ,
21
21 , 0 ,
21
21 , 112 wwv
21 , 1 ,
21
21 , 0 ,
211 , 1 , 0 , 1122 wwvv
akibatnya
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 33
u
uoy WPr 2211 , , wwuwwu
Proyeksi Orthogonal Vektor pada bidang W adalah:
3132 31
101
3432 32
=
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 34
61 ,
62 ,
61
621
21 , 1 ,
21
, ,
1122
11222 wwvv
wwvvw
6162
61
,
2102
1
Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah :
06/05/2014 14:00 MA-1223 Aljabar Linear 35
Latihan Bab VI
vu ,
vu ,
vu ,
1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan
= u12v1 + u2v2
2 di R2
= u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3
= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3
a.
b.
c.
2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !