MAKALAH RESUME SEISMOLOGI “Introduction of Wa velet”Dosen Pengampu: Sukir Maryanto, Ph. D. Disusun Oleh: Rendi Pradila Hab Sari (11!"!#!!111 !1$% PRODI GEOFISIKA-JURUSAN FISIKA FAKUL T AS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2013
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Pui syukur kita panatkan kehadirat &llah S') yang telah memberikan rahmat serta
hidayahnya sehingga Makalah tentang * Introduction of Wavelet + ini dapat Penulis selesaikan
sesuai dengan adal yang telah ditentukan. Shalaat serta salam semoga senantiasa ter-urahkan
kepada unungan kita, abi Muhammad S&', sebaik/baik hamba &llah, pemimpin orang yang
bertaka, dan pemilik kasih sayang di antara manusia. Shalaat dan salam semoga ter-urah pula
pada segenap keluarganya, para sahabatnya, dan pengikut setianya sampai akhir aman.
Makalah ini adalah makalah yang disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Seismologioleh mahasisa prodi 0eoisika urusan 2isika 2M3P& 4ni5ersitas 6raiaya dengan dosen
pengampu bapak Sukir Maryanto, Ph. D. Didalamnya membahas tentang pengenalan a5elet
dalam metode seismik yang diambil dari presentasi Barak Hr!"#$ berudul sama yang
disampaikan pada seminar 'a5elet bersama Dr% Ha&"# Ha'-(r) Selain itu beberapa kutipan, kami
ambil pula dari beberapa urnal dan makalah. Semoga dengan hadirnya makalah resume ini dapat
memberikan manaat serta syaa7at bagi siapapun yang memba-anya. &amiin.
&nalisis 2ourier adalah analisis gelombang yang mengekspansikan sinyal atau ungsi ke
dalam gelombang sinus (atau eponensial kompleks, yang eki5alen% yang terbukti sangat
berharga dalam metematika, sains dan teknik, terutama untuk enomena periodik, tak gayut
aktu, atau stasioner. Seperti halnya )ransormasi 2ourier, )ransormasi 'a5elet digunakan uga
untuk menganalisis sinyal ataupun data. )ransormasi 'a5elet (TW % adalah suatu alat untuk
memilah/milah data, ungsi atau operator ke dalam komponen rekuensi yang berbeda/beda,
kemudian mempelaari setiap komponen dengan suatu resolusi yang -o-ok dengan skalanya.Dalam beberapa dekade terakhir, perkembangan transormasi a5elet banyak digunakan
untuk aplikasi nyata karena mampu menggambarkan proses nonstasioner se-ara lebih baik. ;ika
dibandingkan dengan transormasi ourier, penggunaan a5elet auh lebih sederhana, karena
a5elet mampu menganalisis data stasioner maupun nonstasioner. )ranormasi a5elet
merupakan perbaikan dari transormasi 2ourier. )ransormasi 2ourier hanya dapat menangkap
inormasi apakah suatu sinyal memiliki rekuensi tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat
menangkap dimana rekuensi itu teradi. Sebagai ilustrasi seperti pada konser musik. )rasormasi
8 2ourier hanya bisa mengatakan apakah suatu <nada7 tertentu mun-ul, tapi tidak dapat
mengatakan kapan nada itu mun-ul dan berapa kali.
Dalam analisis data yang nonstasioner, transormasi ourier kehilangan lokalisasi pada
domain aktu. &nalisis dari sinyal seperti itu mungkin dilakukan dengan penggeseran data.
=ekurangan dari pendekatan itu adalah kompleksitas komputasi pada algoritma dekomposisi
(>aharo5 dan 2austo, 8!!8%. ;ika )ransormasi 2ourier hanya memberikan inormasi tentang
frekuensi suatu sinyal, maka transormasi a5elet memberikan inormasi tentang kombinasi
skala dan frekuensi. Selain itu, )ransormasi 2ourier berdasarkan pada basis sin/-os yang bersiat periodik dan kontinu, sehingga sulit bagi kita ika ingin melakukan perubahan hanya
pada posisi tertentu (pasti akan mempengaruhi posisi/posisi lainnya%
=euntungan menggunakan metode a5elet adalah se-ara otomatis memisahkan tren dari
data dan menunukkan komponen musiman datanya. Hal tersebut yang membedakannya dengan
metode transormasi ourier yang tidak bisa menganalisis rekuensi dan aktu se-ara bersamaan.
Dalam makalah ini akan dibahas mengenai pengertian a5elet se-ara umum, kemudian uga
akan diperkenalkan transormasi a5elet, dekomposisi a5elet serta -ara menganalisisnya untuk
a5elet 1D. sementara untuk 8D akan diperkenalkan piramida a5elet.
1)2 R,a+ Maa'a.
Dari makalah ini, rumusan masalah yang akan dibahas antara lain:a% &pa yang dimaksud dengan a5elet? b% &pa yang dimaksud dengan transormasi a5elet? =enapa kita harus menggunakan
transormasi a5elet?-% &pa komponen dasar dari a5elet?d% &pa -ontoh dari a5elet?
e% &pa keuntungan menggunakan transormasi a5elet?
1)3 T/a+
)uuan dibuatnya makalah ini adalah untuk mengenalkan pemba-a pada a5elet,
bagaimana transormasi, analisis dan dekomposisinya, keuntungannya dan -ontoh aplikasinya.
1) Ma+aa#
Setelah memba-a makalah ini diharapkan pemba-a dapat mengetahui tentang pengertian
a5elet, transormasi, analisis dan dekomposisinya, keuntungannya dan -ontoh aplikasinya.
disusun dari seumlah salinan dirinya yang telah didilasikan, ditranslasikan dan diskalakan.
Menurut Sydney (1""E%, Wavelet merupakan gelombang mini (small wave yang mempunyai
kemampuan mengelompokkan energi -itra dan terkonsentrasi pada sekelompok ke-il
koeisien, sedangkan kelompok koeisien lainnya hanya mengan/dung sedikit energi yang
dapat dihilangkan tanpa mengurangi nilai inormasinya. (dari Sutarno, 8!1!%
'a5elet dibagi menadi 8 berdasarkan ruang dan aktu yaitu a5elet 1D ('aktu% dan
8D (Ruang%. Pengertian aktu di sini adalah untuk gelombang 1D, kita memulai point
shifting dari sumber menuu akhir, sedangkan pengertian ruang di dalam a5elet 8D, point
shifting /nya 8 dimensi.
A8 Wa7*'*# Fa,"'"*
Wavelet merupakan keluarga ungsi yang dihasilkan oleh wavelet basis y( !%disebut mother wavelet . Dua operasi utama yang mendasari wavelet adalah:
1% penggeseran, misalnya y( !/1%, y( !/8%, y(!"#%, dan
8% penyekalaan, misalnya y(8 !%, y( !% dan y(8 $!%.
=ombinasi kedua operasi inilah menghasilkan keluarga wavelet . Se-ara umum, keluarga
wavelet sering dinyatakan dengan ormula:
dengan:a%# F RG a B ! (R bilangan nyata%,a adalah paremeter penyekalaan (dilatasi%,# adalah perameter penggeseran posisi (translasi% pada sumbu , dan a adalah normalisasi
energi yang sama dengan energy induk. Wavelet induk diskalakan dan digeser melalui
pemisahan menurut rekuensi menadi seumlah sub/sub bagian. 4ntuk mendapatkan
sinyal kembali dilakukan proses rekonstruksi wavelet . 6eberapa -ontoh keluarga wavelet
adalah &aar% 'au#echies% Symlets% Coiflets, dan lain sebagainya (Iihat gb. 9%. (sutarno,
@iri/-iri 'a5elet Haar memiliki scaling function dengan koeisien -! -1 1.
Sedangkan 'a5elet Daube-hies dengan koeisien (D6% memiliki scaling function
dengan koeisien -! (1CJ9%K, -1 (9CJ9%K, -8 (9/J9%K, -9 (1/J9%K.6agian dari keluarga a5elet ini adalah Mother a5elet, 2ather a5elet dan
Daughter a5elet. 2ather a5elet merupakan sebuah ungsi skala, mother a5elet
merupakan ungsi dari a5elet itu sendiri sedangkan daughter a5elet merupakan
turunan dari mother a5elet. Se-ara umum ather a5elet dinyatakan sebagai:
Dari persamaan ather a5elet tersebut, a5elet yang pertama (mother a5elet%
dapat dibentuk sebagai persamaan:
Dari persamaan di atas, dapat dibentuk a5elet berikutnya, dan
seterusnya% dengan -ara memampatkan dan meregangkan serta menggeser/geser mother
a5elet.
B8 Wa7*'*# Tra+(r,
)ransormasi merupakan proses pengubahan data atau sinyal ke dalam bentuk lainagar lebih mudah dianalisis, seperti transormasi fourier yang mengubah sinyal ke dalam
beberapa gelombang sinus atau cosinus dengan rekuensi yang berbeda, sedangkan
transormasi wavelet (wavelet transform% mengubah sinyal ke dalam berbagai bentuk
wavelet basis (mother wavelet % dengan berbagai pergeseran dan penyekalaan (=adir,
1""E dari Sutarno, 8!1!%.)ransormasi wavelet merupakan pengubahan sinyal ke dalam berbagai wavelet
basis dengan berbagai pergeseran dan penyekalaan, oleh karena itu koeisien wavelet dari
beberapa skala atau resolusi dapat dihitung dari koeisien wavelet pada resolusi tinggi berikutnya. Hal ini memungkinkan mengimplementasikan transormasi wavelet
menggunakan struktur pohon yang dikenal sebagai algoritma pyramid (pyramid
algorithm.)ransormasi wavelet merupakan suatu proses pengubahan data dalam bentuk lain
agar lebih mudah dianalisis. Proses transormasi wavelet dapat dilakukan dengan
kon5olusi atau dengan proses pererataan dan pengurangan se-ara berulang. Proses ini
banyak digunakan pada proses dekomposisi, deteksi, pengenalan (recognition,
pengambilan kembali -itra (image retrieval, dan lainnya yang masih dalam penelitian
(>hang dkk., 8!! dari Sutarno, 8!1!%.&da berbagai enis transormasi wavelet% akan tetapi pada bagian ini lebih
menitikberatkan pada transormasi diantaranya Continyu Wavelet Transform dan
transormasi 'iscrete Wavelet Transform (D')% 1/dimensi (1/D%, dan transormasi
wavelet 8/dimensi (8/D%. )ransormasi wavelet 1/D membagi sinyal menadi dua bagian,
rekuensi tinggi dan rekuensi rendah berturut/turut dengan tapis lolos/rendah (low"pass
filter % dan tapis lolostinggi (high"pass filter %. 2rekuensi rendah dibagi kembali menadi
rekuensi tinggi dan rendah. Proses diulang sampai sinyal tidak dapat didekomposisi lagi
atau sampai pada le5el yang memungkinkan. Sinyal asli dapat dipulihkan kembali
melalui rekonstruksi dari sinyal yang telah didekomposisi dengan menerapkan Inverse
Dibandingkan dengan @'), transormasi D') dianggap relati lebih mudah
pengimplementasiannya. Prinsip dasar dari D') adalah bagaimana -ara
mendapatkan representasi aktu dan skala dari sebuah sinyal menggunakan tekhnik
pemilteran digital dan operasi sub/sampling (ReLa, 8!19%. D') biasanya digunakan
untuk menghitung koeisien a5elet di segala skala yang memungkinkan. D') ini
uga menghasilkan umlah data yang sangat besar. 4ntuk menaksirkan sinyal hasil
transormasi ini dibentuk ilter Io Pass dan High Pass. =eluaran dari High/pass danIo/pass ini bisa dilihat pada bentuk persamaan di baah ini:
Prosesnya adalah sebagai berikut: Pada tahap pertama, sinyal (S% dileatkan pada
rangkaian high pass ilter dan lo pass ilter, kemudian setengah dari masing/masing
keluaran diambil sebagai sampel melalui operasi sub/sampling. Proses ini disebut
sebagai proses dekomposisi satu tingkat. =eluaran dari lo pass ilter digunakansebagai masukan diproses dekomposisi tingkat berikutnya. Proses ini diulang sampai
tingkat proses dekomposisi yang diinginkan. 0abungan dari keluaran/keluaran high
pass ilter dan lo pass yang terakhir, disebut sebagai koeisien a5elet, yang berisi
inormasi sinyal hasil transormasi yang telah terkompresi (0ambar #%.
Pada transormasi D') terdapat proses pengembalian kembali komponen/
komponen yang telah kita gunakan. Invers 'iscrete Wavelet Transform (IDWT%
merupakan kebalikan dari transformasi wavelet diskrit (DWT%. Pada transormasi inidilakukan proses rekonstruksi sinyal, yaitu mengembalikan komponen rekuensi
menadi komponen sinyal semula. )ransormasi dilakukan dengan proses up
sampling dan pemilteran dengan koeisien ilter in5ers. Sehingga dalam satu sistem
transormasi wavelet menggunakan empat ma-am ilter, yaitu low pass filter dan high
pass filter dekomposisi, dan low pass filter dan high pass filter rekonstruksi.