Введение в эргодическую теорию Лекция 1

Введение в эргодическую теорию Лекция 1

А.А.Шананин

Литература

1. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем// М.: «Факториал», 1999, 767с.

2. Синай Я.Г. Введение в эргодическую теорию // М.: «Фазис», 1996, 128 с.

3. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории // М.: Физ.-мат. лит., 1995, 201 с.

4. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики // РХД, 1999, 281 с.

5.Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории // РХД, 1999, 134 с.

Введение. Модели популяций с неперекрывающимися поколениями

N(t+1)=f(N(t)), t=0,1,…

N(0), N(1),…

N(t+1)=aN(t)(1-N(t)/K)

x(t)=N(t)/K,

x(t+1)=ax(t)(1-x(t)), 0≤a≤4, 0≤x(t)≤1.

Введение

Дж. Фон Нейман и П.Улам: x(t+1)=4x(t)(1-x(t))

Замена переменных

2

2 2

x(t) sin y t ,2

sin y t 1 sin y t ,2

y t 1 1 1 2y t

Введение

Пусть

nnn

n 1

n 11n

n 1

n 11n

n 1

ay t ,a 0,1 ,

2

a,еслиa 0,

2y t 1

1 a,еслиa 1.

2

Введение

Инвариантная мера μ: для любого

измеримого множества A справедливо

Для динамической системы фон Неймана-Улама

инвариантной мерой является мера Лебега.

1f A A

Теорема Лиувилля

Система обыкновенных дифференциальных

уравнений с гладкими правыми частями,

ограниченными по норме линейной

функцией

11 1 m

mm 1 m

dxX x ,..., x

dt

.....

dxX x ,..., x

dt

x, t

Теорема Лиувилля

Для того, чтобы гладкая функция p(x) была

плотностью инвариантной меры

преобразования необходимо и

достаточно, чтобы

x, t

m

k

k 1 k

p x X x 0.x

Доказательство

Функция p(x) плотность инвариантной меры

для преобразования для любого

измеримого множества A

x, t

m m

A A

R R

A

x p x dx x, t p x dx,

1,если x A,где x

0,если x A.

Доказательство

Эквивалентно: для любой функции

m

0f x C R

m mR R

f x p x dx f x, t p x dx.

m

m m

m

R

k

kR R

m

k

k 1 kR

df x, t p x dx 0,

dt

f xd0 f x, t p x dx X x p x dx

dt x

p x X x f x dxx

Примеры

Заряженная частица в стационарном

электромагнитном поле

3 3kk k

k 1 k 1k k k

dx dvv,m q E x v B x ,

dt dt

v B xE xvq 0.

x v v

Примеры

Магнитная гидродинамика :

Гамильтоновы системы:

kk

dxB x ,k 1,2,3.

dt

j j

j j

2 2n

j 1 j j j j

dx dpH x,p H x,p, , j 1,..., n,

dt p dt x

H x,p H x,p0

x p p x

Примеры

Динамическая система в дискретном

времени x(t+1)=f(x(t)), t=0,1,…,

Уравнение Перрона-Фробениуса-Рюэля

y f y x

p yp x

f y

Примеры

Отображение Гаусса

Плотность инвариантной меры

T : 0,1 0,1 ,

1,еслиx 0,

T x x

0, еслиx 0,

1

p x .1 x

Доказательство

Зафиксируем

Пусть

n n 0

n n

n

0

1 1 1 1x , n,T x x ,

n 1 n x x

1x ,n 1,2,...

x n

0x 0,1 .

Доказательство

0 0n n

0 2n 1 n 1 n 1n 0 0 0

0

00

n 1 0 0 0

x n dxdx dx1dx

11 x dx 1 x n x n1x n

dx1 1dx

x n x n 1 1 x

Теорема Боголюбова-Крылова

Пусть M компактное топологическое

пространство и непрерывное

отображение. Тогда на M всегда существует

хотя бы одна инвариантная относительно

преобразования T мера.

T:M M

Доказательство

Пусть произвольная неотрицательная

мера на M, такая что

Положим

Очевидно, что

По теореме Банаха-Алуоглу множество

нормированных мер компактоно.

M 1.

k

k

n 1

n k

k 0

A T A ,k 0,1,...

1A .

n

n M 1.

слабо

Доказательство

Выделим из последовательности

сходящуюся к мере

подпоследовательность где

Инвариантность меры означает, что для

любой функции справедливо

равенство

n n 1,2,...

слабо

jn j 1,2,... ,

jj

n .lim

f x L M

M M

f x dx f Tx dx .

Доказательство

Поскольку M компактное топологическое

пространство, C(M) плотно в

Поэтому достаточно проверить равенство для

L M .

f x C M

j

j

j

j

j j

n 1

n kj j k 0jM M M

n

k 0 nj k 1j M M M

n n 1

k

kj jk 1 k 0j jM M M

1f x dx f x dx f x dx

n

1f x dx f x dx f x dx

n

1 1f T x dx f Tx dx f Tx dx .

n n

lim lim

lim

lim lim

Определение

Абстрактной динамической системой

называется , где фазовое

пространство, Ϭ- алгебра на M,

измеримое отображение, т.е.

для любого множества

инвариантная мера для T, т.е. для любого

множества

M, ,T, M

T:M M

1A ,T A ,

1A , T A A .

Теорема Пуанкаре о возвращении

Пусть абстрактная динамическая

система, и Тогда для

почти всех по мере μ существует

бесконечно возрастающая последовательность

номеров при которых

M, ,T,

A , A 0.

x A

kn k 1,2,... , knT x A.

M 1

Доказательство

Пусть Положим

Покажем, что Заметим, что

т.к. Аналогично доказывается,

что множества попарно не

пересекаются. Поэтому

В силу инвариантности меры

j

1A x A j 0 T x A . kB x A k 0T x A .

B 0. kT B B ,

kB A,T B A при k 0.

kT B k 1,2,...

k k

k 0k 0

T B T B M 1.

kT B B B 0.

Доказательство

Положим

Тогда при

Положим

Тогда

Откуда следует, что

j

k 1 k kA x A j 0 T x A , k 1.

k k 1A A k 1

k

k 1

A A .

kk

A A A .lim

A \ A 0.

О частоте возвращения

Пусть

характеристическая функция множества A.

Заметим, что

Частота возвращения

A

1,еслиx A,x

0,еслиx A,

k k

n 1 n 1k k

A AT A T Ak 0 k 0

1 1x T x , x T x .

n n

n 1

k

An k 0

1T x .

nlim

Основной вопрос эргодических теорем

Существует ли, в каком смысле и какими свойствами обладает предел

n 1

k

n k 0

1f T x f x ?

nlim

Оператор Купмана

Определим

Лемма 1. Преобразование имеет

инвариантную меру тогда и только тогда,

когда оператор является изометрическим,

т.е.

P.S.

T 1 1 TU :L M, L M, ;U f x f Tx .

T:M M

11

1 T L M,L M,f L M, U f f .

pp

11

p T L M,L M,

1 T L M,L M,

f x L M, ,1 p U f x f x

f x L M, , U f x f x

TU

Доказательство леммы 1

Достаточность. Пусть множество

и его характеристическая функция.

Тогда

Заметим, что

A , A

A x

1T A A T AU x Tx x .

11

1

T A A L M,L M,U x x T A A .

Доказательство леммы 1

Необходимость. Поскольку

равенство для функций f,

являющихся характеристическими

функциями измеримых множеств конечной

меры, а, значит, в силу линейности оператора

для простых функций.

11

1

T A A L M,L M,U x x T A A ,

11

T L M,L M,U f f

TU

Доказательство леммы 1

Любая неотрицательная функция, например,

является пределом в смысле поточечной

сходимости возрастающей последовательности

неотрицательных простых функций

Последовательность

является последовательностью неотрицательных

простых функций поточечно сходящихся к

функции

f x

nf x n 1,2,... .

T n nU f x f Tx n 1,2,...

TU f x f Tx .

Доказательство леммы 1

По теореме Лебега о предельном переходе

под знаком интеграла получаем, что

Поскольку для простых функций справедливо

получаем, что

1 1 1 1

n T n TL M, L M, L M, L M,n n

f x f x , U f x U f x .lim lim

11

T n n L M,L M,U f x f x ,

11

L M,L M,U f x f x .

Лемма 2.

Пусть изометрический оператор.

Тогда соотношение эквивалентно

соотношению

2 2U: L L

2Uf f ,f L

U f f.

Доказательство леммы 2

Докажем сначала, что оператор U

изометрический тогда и только тогда, когда

где тождественный оператор,

т.е.

P.S. Приведите пример оператора U, для которого из не следует, что

U U I, I

2f L I f f.

U U I UU I.

Доказательство леммы 2

Поскольку оператор U изометрический,

имеем

Откуда получаем, что

Аналогично из

следует, что

Значит,

Следовательно,

2 2f L , g L U f ig ,U f ig f ig,f ig

2 2f L , g L U f g ,U f g f g,f g .

2 2f L , g L Re U f ,U g Re f ,g

2 2f L , g L Im U f ,U g Im f ,g .

2 2 2 2f L , g L U f ,U g f ,g f L , g L U Uf ,g f ,g .

2f L U Uf f U U I.

Доказательство леммы 2

Необходимость. Из применяя к

обеим частям равенства оператор

получаем

Достаточность. Пусть Тогда

Uf f ,

U ,

U f U Uf f.

U f f.

2Uf f Uf f ,Uf f Uf ,Uf Uf , f f ,Uf f , f

U Uf ,f f ,U f U f , f f , f 0.

Статистическая эргодическая теорема Дж. фон Неймана

Пусть изометрический оператор в

комплексном гильбертовом пространстве

и оператор проектирования на

подпространство векторов,

инвариантных относительно оператора U.

Тогда

2 2U: L L

2L

2 2P : L L

2F f L Uf f

2

n 1j

2n j 0

L

1f L U f P f 0.

nlim