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Definição: Seja uma função de duas variáveis e seja 0 , 0 um ponto do seu Domínio. Se as derivadas parciais existem no neste ponto, então define-se o Vetor Gradiente da no ponto 0 , 0 , denotado por , como , , , , , , , Importante notar que o Gradiente é na verdade uma função vetorial, ou seja, para cada , ∊ D pode-se associar o vetor , . Podemos generalizar o conceito de Gradiente para funções de mais de duas variáveis. Seja D n e :D → ℝ. Para qualquer ponto , ,…, onde existam as derivadas parciais , , ,…, ! , podemos definir o Vetor Gradiente por , ,…, , ,…, , , ,…, ,…, ! , ,…,
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Vetor Gradiente

Jul 22, 2016

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Jorge Salles

Gradiente, Derivadas Parciais, Plano Tangente, Regra da Cadeia
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Page 1: Vetor Gradiente

Definição: Seja � uma função de duas variáveis e seja ��0, �0�um ponto do seu Domínio.

Se as derivadas parciais ����existem no neste ponto, então define-se o Vetor

Gradiente da � no ponto ��0, �0�, denotado por � , como

� ��, �� �� ��, �� , �� ��, �� ���� ��, �� , ���� ��, ��

Importante notar que o Gradiente é na verdade uma função vetorial, ou seja, para cada��, �� ∊ D pode-se associar o vetor � �, � .

Podemos generalizar o conceito de Gradiente para funções de mais de duas variáveis.

Seja D ⊆ ℝn e �:D → ℝ. Para qualquer ponto ���, ��, … , ��� ∈ �onde existam as

derivadas parciais ��� , ��� , �� , … , ��! , podemos definir o Vetor Gradiente por

� ��, ��, … , �� ���� ��, ��, … , �� , ��� ��, ��, … , �� , … , ��! ��, ��, … , �� �

Page 2: Vetor Gradiente

Calcule o Vetor Gradiente das seguintes funções nos pontos indicados

a. � �, � "#� $ ��, no ponto �0,1� b. ���, �, &� �"#��&�, no ponto �1,3,0����� cos � $ ��� ��

�� ���

Avaliando ambas no ponto �0,1�temos:

���� 0,1 1 $ 1 2���� �0,1� 0

� 0,1 2, 0

����,��,-,�� "# �& .��,-,�� 0����,��,-,�� �&/0" �& .��,-,�� 0

���&,��,-,�� ��/0" �& .��,-,�� 3

� 1,3,0 0,0,3

Page 3: Vetor Gradiente

& 1 &0 ����0, �0� � 1 �0 $ ����0, �0� � 1 �0Se denotarmos os pontos �, � ∊ ℝ2 por 2 , então podemos reescrever a expressão

acima, na notação vetorial, como :

& &� $ 3��24� · �2 1 24�Que é similar a equação da reta tangente ao gráfico de uma função de uma variável,

com três diferenças: Agora 2 e 24 são vetores em vez de escalares; a derivada da

função é substituída pelo vetor gradiente e o produto do lado direito da igualdade é

um produto escalar.

Relembrando a equação do plano tangente ao gráfico de uma função & ���, �� no

ponto 6��0, �0, &0�.

No caso das funções de uma variável a equação da reta tangente ao gráfico da função

em um ponto 6��0, �0� era dada por:

� 1 �0 �´��0� · �� 1 �0�

Page 4: Vetor Gradiente

� �0$ ∆� � �0 $ �´ �0 · ∆� $ 9�∆��

Começaremos recordado a utilização da inclinação da reta tangente (derivada) para

aproximação de funções de uma variável.

x

y

�´��� · ∆�9�∆��

���0$ ∆��

���0�

� $ ∆�

∆�•onde 9�∆�� é o erro que se comete na

aproximação.

� �0$ ∆� : � �0 $ �´ �0 · ∆�Observando a figura, vemos que na verdade temos:

Define-se então a noção de

diferencial como :

;� �´��� · ;�

Page 5: Vetor Gradiente

Do mesmo modo que foi

feito para funções de uma

variável, pode-se utilizar o

plano tangente para

determinar uma

aproximação linear da

função & ���, �� na

vizinhança de um

ponto ��0, ��� . Assim,

pode-se escrever :

� �� $ ∆�, �� $ ∆� : � ��, �� $ � ��, �� · ∆�, ∆�

Define-se então a diferencial total da função ���, �� por

���, ������ $ ∆�, �� $ ∆��

Superfície & ���, ��

Plano tangente

no ponto ���, ��, &��

••

&

���, ��, ����, ����

��� $ ∆�, �� $ ∆�, ���� $ ∆�, �� $ ∆���

;� ∆�9�∆�, ∆��

Note-se que o lado direito da igualdade é a equação do plano tangente a superfície em

P ��, ��, � ��, �� .

;� ���� · ;� $

���� · ;�

Page 6: Vetor Gradiente

Observando a figura do slide anterior vemos que , assim como no caso de funções de

uma variável, podemos escrever:

� �� $ ∆�, �� $ ∆� � ��, �� $ � ��, �� · ∆�, ∆� $ 9�∆�, ∆��onde 9�∆�, ∆�� é o erro que se comete ao usar o plano tangente para aproximar o

valor da função.

Devemos notar que, para qualquer função � que possua derivadas parciais, podemos

usar a expressão acima para definir o erro cometido na aproximação, como:

9 ∆�, ∆� � �� $ ∆�, �� $ ∆� 1 � ��, �� 1 � ��, �� · ∆�, ∆�Nesse ponto, chegamos a essência da definição de diferenciabilidade.

Diz-se que uma função ���, �� é diferenciável no ponto ��, �� , quando tem-se

lim�∆�,∆��→�9�∆�, ∆���∆�, ∆�� 0

Exprimimos este fato dizendo que a condição crucial para que uma função seja

diferenciável, é que o erro seja um infinitésimo de ordem inferior ao módulo do vetor∆�, ∆� .

Page 7: Vetor Gradiente

@A@B�@B�A

6��0, �0, &0�

6��0$ @B�, �0$ @B�, &�

�C ��, �� ���B limD→�

� �� $ @B�, �� $ @B� 1 ����, ��� @

Suponhamos agora que queremos estudar a

taxa de variação de uma função ���, �� em

uma direção dada por um vetor unitário

qualquer B �B�, B��.

&

��

Usando as componentes do vetor nas direções��, define-se a Derivada Direcional da � na

direção de A, como:

Convém notar que se A for o vetor unitário na direção � ou na direção �, a

definição acima reduz-se as derivadas parciais ���� . Ou seja, as derivadas

parciais são casos particulares da derivada direcional, quando se toma A como

sendo o unitário em cada uma das direções principais dos eixos coordenados.

Page 8: Vetor Gradiente

Na prática, para calcularmos a derivada de uma função � em uma direção qualquer,

dada por um vetor A, usaremos o seguinte

Teorema : Se � é uma função diferenciável em um ponto ��, ��, então � possui

derivada direcional em qualquer direção, dada por um vetor arbitrário A �B� , B��, e

esta derivada será dada por

�C� �, � ���B �, � �� �, � · B� $ �� �, � · B�

ou

���B �, � ��

�� �, � · B� $ ���� �, � · B�

Mas se lembrarmos da definição do vetor gradiente, veremos que a expressão acima

nada mais é que o produto escalar entre o gradiente e o vetor A. Ou seja :

���B �, � ����, ��� · A

Page 9: Vetor Gradiente

Teorema: Seja � é uma função de # variáveis, diferenciável no ponto ���, ���. Então

a direção de máximo crescimento da � será a direção do gradiente e a taxa de

variação máxima da função será dada por ����, ��� .

Prova:

Tomemos um vetor unitário qualquer A. Se usarmos a expressão da derivada

direcional, teremos : �A� ��, �� � ��, �� · A � ��, �� . A . /0"E , onde

θ é o ângulo entre a direção A e o gradiente � ��, �� .

Ora, mas este produto será máximo quando /0"E 1. O que ocorre quando θ = 0,

ou seja, quando A é a direção do gradiente.

Como A é unitário, o valor da taxa de variação quando θ = 0 será igual a� ��, �� .

� ��, ��

Page 10: Vetor Gradiente

1. Encontre a a derivada direcional de ���, �� ��2, na direção do vetor F �2,3�

2. Sendo G �, �, & �"#��&�. Determine a derivada direcional de G na direção do

vetor F H $ 2I 1 J.

Page 11: Vetor Gradiente

Recordemo-nos que a regra da cadeia para funções de uma variável, nos permite

calcular a derivada de funções compostas. Assim, se temos � ����e � G�K�,podemos escrever L ��M N � e teremos

;�;K

;�;� ·

;�;K

Para funções de mais de uma variável a regra da cadeia pode assumir diferentes versões

Tomemos uma função z ���, ��e suponhamos que as variáveis ��sejam ambas

funções de uma terceira variável, a qual chamaremos de K, ou seja, temos ��� K , � K �.Suponhamos que � seja diferenciável e que ��K���K�sejam também diferenciáveis.

Nesse caso, � será diferenciável com relação a K e teremos

;�;K

���� ·

;�;K $

���� ·

;�;K ou

;&;K

�&�� ·

;�;K $

�&�� ·

;�;K

Regra da Cadeia (Versão 1):

Page 12: Vetor Gradiente

Mas como sabemos, a função vetorial Q�K� ���K�, ��K�� define uma curva (ou

caminho) no ℝ2 . Podemos então escrever a primeira versão da regra da cadeia em

notação vetorial, da seguinte forma:

�´ Q K ;��Q K �

;K 3� Q K · Q´�K�

Note-se que o produto do lado direito da igualdade acima é o produto escalar entre o

vetor gradiente da função ���, �� e vetor velocidade (ou a derivada) da função

vetorial Q�K�, que é dado por Q´�K� ��´�K�, �´�K��.

Note-se que essa igualdade também é válida para dimensões maiores que 2 .

Page 13: Vetor Gradiente

Seja ���, �� �2� $ 3��4 , onde � K "#2K��K� cos K. Determine o

valor de STSU , quando K 0

;�;K

���� ·

;�;K $

���� ·

;�;K 2�� $ 3�V · 2 cos 2K 1 �� $ 12��- · "#K

Mas quando K 0 teremos ��K� "#0 0 e ��K� cos0 1 . Logo,

substituindo.

;�;K,UW� 0 $ 3 · 2 1 0 $ 0 · 0 6

Ou, na notação vetorial :

;�;K 3���, �� · ��´ K , �´ K �

Page 14: Vetor Gradiente

Na versão 2 da Regra da Cadeia, vamos considerar que as variáveis �� sejam

funções de duas variáveis, as quais denominaremos "K. Ou seja, temos agora :& ����", K�, ��", K��. Note-se que neste caso as variáveis independentes são "K,sendo ��, denominadas variáveis intermediárias e & a variável dependente. Neste

caso teremos:

Regra da Cadeia (Versão 2):

Suponhamos que & ���, �� seja um função diferenciável das variáveis ��, onde � � ", K � � ", K . Então � é uma função de "K e teremos:

���"

���� ·

���" $

���� ·

���"

e

���K

���� ·

���K $

���� ·

���K

Page 15: Vetor Gradiente

Suponhamos que � seja uma função diferenciável de # variáveis �1, �2, �3, … , �# e que

cada um �I seja uma função diferenciável de Y variáveis K1, K2, K3, … , KY . Então � será

uma função diferenciável das variáveis K1, K2, K3, … , KY e teremos :

���KZ

�����

����KZ $�����

����KZ $⋯$ �����

����KZpara cada H 1, … ,Y