Vektorski raÄŤun

Vektorski racun

dr. sc. Boris Culina

ii

Sadržaj

1 Geometrija prostora 1

1.1 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Pojam vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Zbrajanje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Množenje vektora brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.4 Reci to vektorom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.5 Reprezentacija vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.6 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.1.7 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.1.8 Mješoviti produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.1.9 Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.2 Pravci i ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

iii

iv

1.2.1 Pravci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.2.2 Ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.2.3 Implicitne i parametarske jednadžbe . . . . . . . . . . . 73

1.2.4 Krivulje i plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.2.5 Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.3 Linearna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.3.1 Linearna preslikavanja i matrice . . . . . . . . . . . . . . 86

1.3.2 Algebra linearnih preslikavanja i matrica . . . . . . . . 93

1.3.3 Geometrijski smisao determinante . . . . . . . . . . . . . 99

1.3.4 Preslikavanje likova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.3.5 Nelinearna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.3.6 Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2 Matematika promjena 109

2.1 Pojam derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.1.1 Osnovna ideja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.1.2 Brzina promjene i derivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.1.3 Derivacija kao funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

v

2.1.4 Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.2 Racun derivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.2.1 Tablicne derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.2.2 Pravila deriviranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

2.2.3 Pravilo za kompoziciju funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.2.4 Derivacije višeg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2.2.5 Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.3 Primjena derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.3.1 Derivacija je brzina promjene . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.3.2 Derivacija je nagib tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.3.3 Derivacija je najbolja linearna aproksimacija . . . . . . 148

2.3.4 Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

2.4 Antiderivacija ili neodredeni integral . . . . . . . . . . . . . . . 157

2.4.1 Pojam antiderivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2.4.2 Elementarni racun neodredenog integrala . . . . . . . . 161

2.4.3 Primjena neodredenog integrala na gibanje cestice . . . 164

2.4.4 Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2.5 Pojam odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

vi

2.5.1 Osnovna ideja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

2.5.2 Promjena položaja kod jednolikog gibanja . . . . . . . . 171

2.5.3 Nejednoliko gibanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2.5.4 Rad sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

2.5.5 Pojam odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

2.6 Elementarni racun odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . 184

2.6.1 Osnovni teorem diferencijalnog i integralnog racuna . . 185

2.6.2 Elementarna pravila za odredeni integral . . . . . . . . 188

2.6.3 Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

3 Preslikavanja skalara u vektore 193

3.1 Gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.2 Krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3.3 Newtonovi zakoni klasicne mehanike . . . . . . . . . . . . . . . 220

3.4 Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4 Preslikavanja vektora u skalare 231

4.1 Zadavanje i graficki prikaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

4.2 Derivacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

vii

4.2.1 Parcijalne derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4.2.2 Valna jednadžba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.2.3 Tangencijalna ravnina i linearna aproksimacija . . . . . 244

4.2.4 Diferencijal i lancano deriviranje . . . . . . . . . . . . . . 247

4.2.5 Usmjerena derivacija i gradijent . . . . . . . . . . . . . . 254

4.3 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

4.3.1 Uzastopni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

4.3.2 Površinski integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.3.3 Volumni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

5 Preslikavanja vektora u vektore 281

5.1 Transformacije ravnine i prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

5.2 Transformacije koordinata i integriranje u nekartezijevimkoordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

5.2.1 Integriranje u polarnim koordinatama . . . . . . . . . . 290

5.2.2 Integriranje u cilindrickim koordinatama . . . . . . . . 293

5.2.3 Integriranje u sfernim koordinatama . . . . . . . . . . . 293

5.3 Integral preslikavanja vektora u vektore . . . . . . . . . . . . . 293

6 Krivuljni i plošni integrali 295

viii

6.1 Krivuljni integral skalarnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.2 Krivuljni integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

6.3 Konzervativna polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

6.4 Plošni integral skalarnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

6.5 Plošni integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

7 Osnovni teoremi i Maxwellove jednažbe elektromagnetizma 321

7.1 Osnovni teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

7.1.1 Newton Leibnizov teorem o derivaciji . . . . . . . . . . . 322

7.1.2 Teorem o gradijentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

7.1.3 Gaussov teorem o divergenciji . . . . . . . . . . . . . . . . 324

7.1.4 Stokesov teorem o rotaciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

7.2 Kombinacije gradijenta, divergencije i rotacije . . . . . . . . . . 337

7.3 Maxwellove jednadžbe elektromagnetizma . . . . . . . . . . . . 338

1Geometrija prostora

Funkcije koje cemo proucavati uglavnom cemo interpretirati kao funkcijekoje djeluju na našem svakodnevnom prostoru. Matematicki model togprostora je trodimenzionalna Euklidova geometrija. Osnovni akteri togprostora su vektori i linearna preslikavanja. Oni tvore podlogu za efektivanopis prostora. Takoder, oni predstavljaju linearne objekte kojima cemoposlije u malom aproksimirati nejednolike i zakrivljene objekte.

1

2 1. Geometrija prostora

1.1 Vektori

U ovoj cjelini su opisani vektori, objekti koji u sebi objedinjuju geometrijui algebru. Imaju jednostavan geometrijski smisao i jednostavnu algebru.To nam omogucuje da na jeziku vektora lako izražavamo geometrijskeprobleme i lako ih rješavamo. Zato su to objekti kojima se najjednostavnijeopisuje geometrija. S druge strane njima se prezentiraju usmjerenevelicine, kao npr. sila. Zato su veoma znacajni i za fiziku i tehniku.

1.1.1 Pojam vektora

Realnim smo brojevima mjerili orijentirane velicine. Vektorima cemomjeriti usmjerene velicine.

Geometrijski primjer orijentirane velicine je položaj tocke na pravcu uodnosu na ishodište. On je posve odreden udaljenošcu tocke od ishodišta iodabirom jedne od dviju strana na kojoj se tocka nalazi. Koordinata tocke,mjera njenog položaja na pravcu, realni je broj koji sadržava informacije oudaljenosti (iznos) i strani (predznak):

A(−3) 0 B(2)

No i položaj svake druge tocke C u prostoru posve je odreden njenomudaljenošcu od ishodišta i smjerom kojim se treba kretati od ishodišta dotocke C:

A 0 B

C

1.1. Vektori 3

Na isti je nacin odreden i položaj bilo koje tocke B u odnosu na bilo kojutocku A:

A

B

Moramo znati smjer i iznos strelice da bismo polazeci od tocke A stigli dotocke B. Uredeni parovi tocaka, kao i strelice (usmjerene dužine od jednetocke prema drugoj) primjeri su usmjerenih velicina. Da bismo ih izmjerili,uvest cemo nove objekte u razmatranje, vektore, objekte koji ce sadržavatiinformaciju o duljini i smjeru. Vektor koji mjeri položaj tocke B u odnosuna tocku A, tj. koji mjeri dužinu i smjer strelice od A do B oznacit cemo sÐ→AB. No ako krenemo za jednak taj iznos i u istom smjeru, ali ne od tocke A,nego od neke druge tocke A′, necemo doci do tocke B, nego do neke drugetocke B′.

A

B

A′

B′

Iako su (A,B) i (A′,B′) razliciti uredeni parovi tocaka, položaj tocke B uodnosu na tocku A jednak je položaju tocke B′ u odnosu na tocku A′. Iakosu strelice od A do B i od A′ do B′ razliciti skupovi tocaka, njihov iznos ismjer su jednaki. Njih mjeri isti vektor:

Ð→AB =ÐÐ→A′B′

Vektori

Svakom uredenom paru tocaka (A,B) pridružen je objekt kojioznacavamo s

Ð→AB i za koji kažemo da je vektor od A do B (latinski


vectus - nosac). Taj je vektor mjera relativnog položaja tocke B u odnosuna tocku A. On je i mjera iznosa i smjera strelice od A do B.

A

B

↦Ð→AB

Tako dobivamo sve vektore.

Vektore cemo oznacavati slovima sa strelicama:

Ð→a ,Ð→b , Ð→c , ...

Za strelicu od A do B, kojoj je mjera vektorÐ→a , kažemo da reprezentiraili predstavlja vektor Ð→a .

Jednakost vektora

Svim je parovima (A, A) pridružen isti vektor koji nazivamo nul-vektorom i oznacavamo s

Ð→0 , a koji se razlikuje od vektora pridruženih

svim drugim parovima tocaka:

Ð→AA =Ð→0

Nenulti su vektoriÐ→AB i

Ð→CD jednaki upravo onda kada strelice od A do

B i od C do D imaju isti smjer i isti iznos.

A

B

C

D

1.1. Vektori 5

To možemo opisati i na sljedece nacine:

Ð→AB =Ð→CD upravo onda kada je cetverokut ABDC paralelogram.

Ð→AB = Ð→CD upravo onda kada postoji translacija (gibanje koje pravacprevodi u njemu paralelan pravac) koja A preslikava u C a B preslikavau D.

Iznos i smjer vektora

Pošto sve strelice koje odreduju isti vektor imaju isti smjer i jednakiznos, te pojmove pridružujemo samom vektoru.

Iznos (apsolutna vrijednost, modul) nenultog vektoraÐ→AB je iznos

strelice od A do B:

∣Ð→AB∣ = ∣AB∣

Za nul-vektor definiramo da je ∣Ð→0 ∣ = 0.

Za iznos vektora Ð→a ponekad umjesto ∣Ð→a ∣ pišemo naprosto a (maknemostrelicu).

Smjer nenultog vektoraÐ→AB je smjer strelice od tocke A do tocke B.

Oznacavamo ga s(Ð→AB). Nul-vektoru ne pridružujemo smjer. Dogovornose još kaže i da nul-vektor ima sve smjerove.

Sada jednakost nenultih vektora možemo i ovako izreci:

Ð→AB =Ð→CD upravo onda kada je ∣Ð→AB∣ = ∣Ð→CD∣ i s(Ð→AB) = s(Ð→CD).

Primjer 1.1.1. Medu vektorima odredenim vrhovima i središtem pravilnogšesterokuta pronadimo one koji su jednaki vektorima

Ð→AB i

Ð→BC.


F C

E

B

D

A

O

Rješenje: Na osnovi svojstava pravilnog šesterokuta (svi su istaknutitrokuti na slici jednakostranicni, a stranice koje izgledaju paralelne zaistai jesu paralelne) i opisa jednakosti vektora, slijede ove jednakosti:

Ð→AB =Ð→FO =Ð→OC =Ð→ED

Ð→BC =Ð→AO =Ð→OD =Ð→FE Y

Fizika vrvi usmjerenim velicinama koje mjerimo vektorima. To su svevelicine kojima uz iznos možemo pridružiti i smjer, primjerice sila, brzina,itd.

1.1.2 Zbrajanje vektora

Prava je snaga vektora u geometrijskom i fizikalnom znacenju operacija snjima i jednostavnom racunanju tih operacija. Sada cemo definirati dvijetakve operacije, a poslije cemo vidjeti i kako ih racunati.

Pomak iz tocke A u tocku B možemo opisati vektoromÐ→AB. Pomak iz

tocke B u tocku C možemo opisati vektoromÐ→BC. Ukupan je pomak opisan

vektoromÐ→AC. Tom dodavanju pomaka odgovara zbrajanje odgovarajucih

vektora:

1.1. Vektori 7

A B

C

Ako pomocu vektora promotrimo kako smo geometrijski zbrajali realnebrojeve, vidjet cemo da je to samo poseban nacin zbrajanja vektora dužpravca:

05

2 3

Nadalje, to je zbrajanje usko povezano s osnovnim geometrijskim likom,trokutom. Vektor pridružen jednoj stranici zbroj je vektora pridruženihdrugim stranicama.

Tako zbrajanje vektora ima jednostavno i važno geometrijsko znacenje:gledano pomocu strelica koje predstavljaju vektore, to je dodavanje strelicena strelicu.

Zbroj vektora

Zbroj vektora Ð→a iÐ→b jest vektor Ð→a +Ð→b koji nastaje na sljedeci nacin.

Odaberemo strelicu od A do B kojoj je mjera vektorÐ→a te na nju dodamostrelicu od B do C kojoj je mjera vektor

Ð→b . Vektor Ð→a +Ð→b jest mjera

strelice od A do C.

A Ð→a B

Ð→c

C

Ð→b


Primjer 1.1.2. Zbrojimo vektoreÐ→AB i

Ð→CD.

B

A C

D

Rješenje: Strelicu od C do D translatirat cemo u strelicu kojoj je pocetak utocki B (nanijet cemo je od tocke B). Iako je to druga strelica ona predstavljaisti vektor:

B

A C

D

E

Prema zakonu zbrajanja slijedi:Ð→AB+Ð→CD =Ð→AB+Ð→BE =Ð→AE:

B

A C

D

E Y

Tako opisano zbrajanje vektora nazivamo zbrajanjem prema zakonutrokuta i ono odgovara ideji pomaka, tj. dodavanja strelice na strelicu.

1.1. Vektori 9

Zbrajanje možemo opisati i pomocu zakona paralelograma koji višeodgovara zbrajanju sila koje djeluju na neku cesticu. Sile (vektore)

Ð→F1 i

Ð→F2

možemo zbrojiti tako da ih predstavimo strelicama s istim pocetkom. TadajeÐ→F1+

Ð→F2 vektor predstavljen dijagonalnom strelicom paralelograma:

Ð→F2

Ð→F1

Ð→F 1+Ð→F 2

Lako se uvjeriti da se ta definicija zbrajanja prema paralelogramupoklapa s definicijom zbrajanja prema trokutu. Ono što je zacudujuce jestda se i priroda drži te definicije. Naime, ukupna sila

Ð→F koja djeluje na tijelo

upravo je vektorski zbroj pojedinih sila:

Ð→F =Ð→F1+

Ð→F2

Taj zakon fizike nazivamo princip superpozicije djelovanja sila.

Što ako na tijelo djeluju 3 sile? Je li tada važan redoslijed kojim ihzbrajamo? Fizikalno iskustvo kaže da nije, kao i da nije važno koju cemosilu dodati kojoj. Drugim rijecima, ocekujemo da vrijedi komutativnost iasocijativnost zbrajanja. Igrajuci se sa strelicama mogli bismo pokazati daje zaista tako. Isto tako, svaki vektor ima suprotan vektor koji kad mudodamo dobijemo nul - vektor.

Suprotni vektor

Suprotni vektor vektoru Ð→a jest vektor koji ima jednak iznos kao Ð→a ,ali suprotan smjer (kažemo još i da ima suprotnu orijentaciju).


−Ð→a Ð→a

Taj vektor oznacavamo s −Ð→a . Za njega vrijedi:

1. ∣−Ð→a ∣ = ∣Ð→a ∣

2. −Ð→a +Ð→a =Ð→0 .

Ako je Ð→a =Ð→AB, tada je −Ð→a =Ð→BA.

A

B

Zbrajanje vektora ima i svoju suprotnu operaciju - oduzimanje. To jenaprosto dodavanje suprotne strelice:

Oduzimanje vektora

Oduzeti vektor znaci zbrojiti njemu suprotan vektor.

Ð→a −Ð→b =Ð→a +(−Ð→b )

1.1. Vektori 11

−Ð→b

Ð→bÐ→a

Ð→a −Ð→b

Primjer 1.1.3. Na tijelo djeluje silaÐ→F2 kojoj je iznos 3 N i koja djeluje slijeva

nadesno. Graficki odredimo siluÐ→F1 kojom još moramo djelovati na tijelo da

bi ukupna silaÐ→F bila usmjerena prema gore i iznosila 5 N.

Rješenje: Na slici su prikazane silaÐ→F2 i željena ukupna sila

Ð→F :

Ð→F2

Ð→F

Tražimo siluÐ→F1 takvu da je

Ð→F1 +

Ð→F2 =

Ð→F . Odredit cemo je rješavanjem te

vektorske jednadžbe. Dodamo li objema jednadžbama (−Ð→F2), dobijemo

Ð→F1+

Ð→F2+(−Ð→F2) =

Ð→F +(−Ð→F2).

Primjenjujuci asocijativnost zbrajanja, svojstva suprotnog vektora i defini-ciju oduzimanja, dobivamo:

Ð→F1+(Ð→F2+(−Ð→F2)) =

Ð→F +(−Ð→F2) →

Ð→F1+

Ð→0 =Ð→F −Ð→F2 →

Ð→F1 =

Ð→F −Ð→F2


Dakle,Ð→F1 cemo dobiti tako da od ukupne sile

Ð→F oduzmemo

Ð→F2.

Ð→F2

Ð→FÐ→

F1

−Ð→F2

Y

Prethodnu smo vektorsku jednadžbu rješavali na isti nacin na koji smorješavali i jednadžbe s realnim brojevima. To je zato što zbrajanje vektoraima jednaka svojstva kao i zbrajanje brojeva.

Osnovna svojstva zbrajanja vektora

1. Ð→a +Ð→b =Ð→b +Ð→a (komutativnost zbrajanja)

2. (Ð→a +Ð→b )+Ð→c =Ð→a +(Ð→b +Ð→c ) (asocijativnost zbrajanja)

3. Ð→a +Ð→0 =Ð→a (neutralnost nule)

4. Ð→a +(−Ð→a ) =Ð→0 (postojanje suprotnog vektora)

1.1.3 Množenje vektora brojem

Zar nismo u prethodnom zadatku umjestoÐ→a +Ð→a mogli reci 2Ð→a . Mogli smo,samo prije trebamo tocno opisati što znaci množenje vektora Ð→a realnim

brojem α. Ideja je prihvatljiva, 2Ð→a treba biti Ð→a +Ð→a ,12Ð→a pola vektora Ð→a ,

−2Ð→a dvostruki obrnuti vektor Ð→a , itd.

1.1. Vektori 13

Ð→a2Ð→a

12Ð→a−2Ð→a

Množenje vektora brojem

Umnožak realnog broja α i vektora Ð→a jest vektor αÐ→a kojemu je iznos

∣αÐ→a ∣ = ∣α∣ ⋅ ∣Ð→a ∣,

a njegov je smjer, ako nije nul-vektor, smjer vektora Ð→a za α pozitivan, asuprotan smjer smjeru vektora Ð→a za α negativan broj.

Ð→a

αÐ→a za α > 0

∣α∣∣Ð→a∣

αÐ→a za α < 0

Za nul vektor definiramo da je αÐ→0 =Ð→0 .

Pri kombiniranju vektora i brojeva, brojeve obicno nazivamo skalarimate ih oznacavamo malim slovima grckog alfabeta: α, β, γ, δ,...

Primjer 1.1.4. Za vektor Ð→a na slici graficki odredimo vektore 3Ð→a ,32Ð→a i

−12Ð→a .


Ð→a

Rješenje:

Ð→a

3Ð→a32Ð→a −1

2Ð→a

Y

Geometrijsko znacenje množenja vektora brojem je rastezanje njemupridružene strelice ako je ∣α∣ > 1, a stezanje strelice ako je ∣α∣ < 1. Ako jeα negativan broj, tada strelicu još moramo okrenuti u suprotnom smjeru.

U fizici se pak pomocu množenja skalarom izrice najvažnija jednadžbaklasicne mehanike, drugi Newtonov zakon, koji kaže da je ukupna sila

Ð→F

koja djeluje na tijelo jednaka umnošku mase tijela m i akceleracije tijelaÐ→a :

Ð→F = mÐ→a

Brzine, sile i ubrzanja nisu skalari nego vektori. Zbog toga možemo npr.objasniti kako to da se Zemlja giba gotovo jednolikom brzinom iako na njudjeluje gravitacijska sila koja bi je trebala ubrzavati. Pri gibanju Zemljesamo je iznos brzine gotovo stalan, dok brzina stalno mijenja smjer. Pošto jebrzina vektor ona se tako stalno mijenja i to upravo u skladu s Newtonovimzakonom: brzina njene promjene (akceleracija) je upravo prema Suncu. Uaproksimaciji kružnog gibanja to izgleda ovako

1.1. Vektori 15

∆Ð→v

∆Ð→v ≈Ð→a ∆t za male ∆t

Ð→a ∆t

Na osnovi definicije lako možemo zakljuciti da pri množenju vrijedesljedeca pravila.

Osnovna svojstva množenja vektora brojem

1. α(Ð→a +Ð→b ) =αÐ→a +αÐ→b

2. (α+β)Ð→a =αÐ→a +βÐ→a

3. (αβ)Ð→a =α(βÐ→a )

4. 1 ⋅Ð→a =Ð→a

5. 0 ⋅Ð→a = 0

Prva dva pravila kažu da zagrade možemo množiti kao i kod realnih brojeva,a trece da pri uzastopnom množenju zagrade možemo zaboraviti. Pravila sedokazuju na osnovi definicije množenja vektora brojem i nekih osnovnihgeometrijskih razmatranja.

Za vektore Ð→a iÐ→b kažemo da su paraleni ili kolinearni (oznacavamo

Ð→a ∥Ð→b ) ako ih možemo nanijeti na isti pravac (istog su ili suprotnog smjera).Ugodno je smatrati da je nul vektor paralelan svakom vektoru. To je uskladu s dogovorom da on ima sve smjerove. Pomocu skalarnog produktajednostavno je ispitati paralelnost:

Paralelnost vektora


Vektori Ð→a iÐ→b su paraleni upravo onda kad je jedan od njih skalarni

umnožak drugog

Ð→a ∥Ð→b ↔ postoji α takav da je Ð→a =αÐ→b iliÐ→b =αÐ→a .

1.1.4 Reci to vektorom

Pravila zbrajanja vektora i množenja brojeva i vektora kažu da njimamožemo racunati gotovo jednako kao s brojevima. Ipak treba biti oprezan.Na primjer, nema dijeljenja vektorom niti možemo zbrojiti vektor i brojjer

αÐ→a

nema smisla kao ni α+Ð→a . U primjeni, kad problem izražavamo

vektorima, necemo ni doci u situaciju da napravimo takvu nedopustivukombinaciju.

Primjer 1.1.5. Za vektore Ð→a iÐ→b na slici:

Ð→aÐ→b

a) pojednostavnimo:

2(Ð→a −3Ð→b )−[4Ð→a −(Ð→b +2Ð→a )] ,

b) riješimo jednadžbu po Ð→x :

2(Ð→x −2Ð→a ) =Ð→a −(−Ð→x ),

Rješenje:

a) Postupamo isto kao i pri pojednostavljivanju izraza s realnim bro-jevima (pokušajte uociti koje je pravilo primijenjeno u pojedinomkoraku).

1.1. Vektori 17

2(−→a −3−→b )−

�4−→a − (

−→b +2−→a )

�= 2−→a −6

−→b −

�4−→a −−→

b −2−→a�=

= 2��−→a −6−→b −4��−→a +−→

b +2��−→a =−5−→b

Ð→aÐ→b

−5Ð→b

b) Rješavamo na isti nacin na koji rješavamo jednadžbu s realnimbrojevima (pokušaj uociti koje je pravilo primijenjeno u pojedinomkoraku).

2(Ð→x −2Ð→a ) =Ð→a − (−Ð→x ) → 2Ð→x −4Ð→a =Ð→a +Ð→x → 2Ð→x −Ð→x =Ð→a +4Ð→a →Ð→x = 5Ð→a

Ð→aÐ→b

5Ð→aY

Primjer 1.1.6. Izrazimo vektoreÐ→CD,

Ð→AD i

Ð→AE na slici pomocu vektora Ð→a iÐ→

b .

F C

E

B

D

A

OÐ→bÐ→a

Rješenje:Ð→CD =Ð→CO+Ð→OD =−Ð→a +Ð→b

Ð→AD =Ð→a +Ð→b +Ð→CD =Ð→a +Ð→b −Ð→a +Ð→b = 2

Ð→b

Ð→AE =Ð→AO+Ð→OF +Ð→FE =Ð→b −Ð→a +Ð→b = 2

Ð→b −Ð→a Y


Jednostavno izražavanje geometrijskih odnosa vektorima i jednostavnoracunanje s njima cine vektore vrlo pogodnim za otkrivanje geometrijskihistina. Mi se time necemo baviti. Evo tek jednog primjera za ilustraciju.

Primjer 1.1.7. Dokažimo sljedecu tvrdnju. Ako u proizvoljnom cetverokutudužinama spojimo susjedna polovišta stranica, dobit cemo paralelogram.

A

B

C

D

P1

P2

P3

P4

Rješenje: Kako bismo dokazali da je cetverokut P1P2P3P4 paralelogramdovoljno je pokazati da mu je jedan par nasuprotnih stranica, npr. P1P2i P3P4, paralelan i jednakih duljina. No taj uvjet lako možemo izrazitivektorima:

ÐÐ→P1P2 =

ÐÐ→P4P3?.

Da je zaista tako, utvrdit cemo racunanjem:

ÐÐ→P1P2 =

12Ð→AB+ 1

2Ð→BC = 1

2(Ð→AB+Ð→BC) = 1

2Ð→AC

ÐÐ→P4P3 =

12Ð→AD+ 1

2Ð→DC = 1

2(Ð→AD+Ð→DC) = 1

2Ð→AC

Dakle,ÐÐ→P1P2 =

ÐÐ→P4P3. Y

Važna je i veza vektorskih operacija s iznosom vektora.

1.1. Vektori 19

Svojstva iznosa vektora

1. ∣Ð→a +Ð→b ∣ ≤ ∣Ð→a ∣+ ∣Ð→b ∣

2. ∣αÐ→a ∣ ≤ ∣α∣∣Ð→a ∣

Prva je tvrdnja vektorski zapisana nejednakost trokuta koja pokazujeda je zbroj dviju stranica trokuta veci od trece stranice (kada vrijedijednakost?):

A Ð→a B

Ð→b

CÐ→a +Ð→b

Drugim rijecima, najkraci je put od jedne tocke do druge dužina koja ihspaja. Druga tvrdnja izravno proizlazi iz definicije množenja vektora brojemkao odgovarajuceg rastezanja vektora.

Pomocu vektora možemo opisati ne samo odnos tocaka vec i tocke, i tona sljedeci nacin.

Radijus vektor tocke

U ravnini odaberemo jednu tocku O koju nazovemo referentnomtockom. U odnosu na tu tocku svakoj tocki T u ravnini pridružujemovektor

Ð→OT koji nazivamo radijus vektor tocke T u odnosu na O:


O

Ð→OT

T

Pri tome vrijedi da je:

1. T1 =T2 upravo onda kada jeÐÐ→OT1 =

ÐÐ→OT2

2.ÐÐÐ→T1T2 =

ÐÐ→OT2−

ÐÐ→OT1

1.1.5 Reprezentacija vektora

Ova je vektorska prica lijepa (barem nama), ali joj nedostaje jedna važnastvar - nemamo imena za vektore. Neprestano smo ih opisivali crtanjemodgovarajucih strelica, i tako smo ovisili o nesavršenosti crtanja. Sada cemoriješiti i taj problem. Kao što u danom koordinatnom sustavu u ravninisvaka tocka ima svoje ime, uredeni par koordinata, tako ce i svaki vektor uravnini imati svoje ime na sljedeci nacin. Svaki vektor Ð→a možemo nanijetiiz ishodišta, ili preciznije receno, predstaviti ga strelicom iz ishodišta:

x

y

O

Ð→aT

1.1. Vektori 21

Koordinatni sustav odreduju dva specificna vektora, jedinicni vektorÐ→i u

pozitivnom smjeru x-osi i jedinicni vektorÐ→j u pozitivnom smjeru y-osi:

x

y

O

Ð→aT

Ð→jÐ→i

Vektor Ð→a možemo izraziti pomocu tih vektora na sljedeci nacin. Odishodišta krenemo horizontalno za nekoliko jedinicnih vektora

Ð→i dok ne

dodemo ispod tocke T, i onda krenemo okomito za nekoliko jedinicnihvektora

Ð→j :

x

y

O

Ð→aT

Ð→jÐ→i ax

Ð→i

ayÐ→j Ð→a = ax

Ð→i +ay

Ð→j

Primijetimo da su ax i ay upravo koordinate tocke T. Pošto tocka T imasamo jedan par koordinata, to znaci da se vektor Ð→a na samo jedan nacinmože prikazati pomocu vektora

Ð→i iÐ→j .

Razmatranje vektora u prostoru je istovjetno. Jedino što su nam sadpotrebna tri medusobno okomita jedinicna vektora

Ð→i ,Ð→j ,Ð→k da bismo

pomocu njih prikazali svaki vektor u prostoru:


y

z

x

Ð→j

Ð→kÐ→i

Ð→a = axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k

axÐ→i

ayÐ→j

azÐ→k

Reprezentiranje vektora

Za svaki vektor Ð→a postoje jedinstveni brojevi ax, ay i az takvi da je

Ð→a = axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k .

Te brojeve redom nazivamo x-koordinatom, y-koordinatom i z-koordinatom vektoraÐ→a . Vektore ax

Ð→i , ay

Ð→j i az

Ð→k redom nazivamo x-

komponentom, y-komponentom i z-komponentom vektora Ð→a (lat.componere - staviti zajedno).

Sada, kada imamo sustav imenovanja vektora, geometrijska razmatra-nja, crtanje i mjerenje možemo posve zamijeniti racunanjem. Da bismovidjeli jesu li dva vektora jednaka, ne moramo više razmišljati o tomemože li se strelica koja predstavlja jedan vektor translatirati u strelicukoja predstavlja drugi vektor. Umjesto toga, pogledat cemo im njihovestandardne zapise. Pošto razliciti vektori naneseni iz ishodišta odredujurazlicite krajnje tocke i koordinate su im razlicite.

Kriterij jednakosti vektora

Za vektore Ð→a = axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k iÐ→b = bx

Ð→i +by

Ð→j +bz

Ð→k

Ð→a =Ð→b upravo onda kada je ax = bx, ay = by i az = bz.

1.1. Vektori 23

Dakle, vektori su jednaki ako imaju ista imena. Tako su 2Ð→i + 3

Ð→j +Ð→k i

3Ð→i +2

Ð→j +Ð→k razliciti vektori, a vektori 2

Ð→i +3

Ð→j +Ð→k i x

Ð→i +3

Ð→j +Ð→k su jednaki

samo ako je x = 2.

Racunanje s vektorima svodi se na racunanje s njihovim komponen-tama:

Racunanje vektorskih operacija

Za vektore Ð→a = axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k iÐ→b = bx

Ð→i +by

Ð→j +bz

Ð→k

Ð→a +Ð→b = (ax+bx)Ð→i +(ay+by)

Ð→j +(az +bz)

Ð→k

(vektore zbrajamo tako da im zbrojimo koordinate)

αÐ→a =αaxÐ→i +αay

Ð→j +αaz

Ð→k

(vektor množimo brojem tako da mu svaku koordinatu pomnožimobrojem)

Te formule ne moramo pamtiti jer njih daju svojstva operacija s vektorima.Na primjer

(2Ð→i +3

Ð→j +3

Ð→k )+(4

Ð→i +2

Ð→j +Ð→k ) =

= 2Ð→i +3

Ð→j +3

Ð→k +4

Ð→i +2

Ð→j +Ð→k = 6

Ð→i +5

Ð→j +4

Ð→k ,

= 3(2Ð→i +4

Ð→j +3

Ð→k ) = 3 ⋅2Ð→i +3 ⋅4Ð→j +3 ⋅3Ð→k = 6

Ð→i +12

Ð→j +9

Ð→k

Pošto su osnovna pravila za te operacije istovjetna pravilima za zbra-janje i množenje brojeva, i sva su druga pravila za predznake i rad sazagradama jednaka.

Primjer 1.1.8.


a) Izracunajmo:

4(3Ð→i −2

Ð→j +2

Ð→k )−3

Ð→i +4(Ð→j −Ð→i −Ð→k )

b) Odredimo siluÐ→F kojom moramo djelovati na tijelo da bismo poništili

djelovanje silaÐ→F1 = 3N

Ð→i −4N

Ð→j +N

Ð→k iÐ→F2 = N

Ð→i −N

Ð→j −2N

Ð→k . Koliki

je iznos te sile?

Rješenje:

a) 4(3Ð→i −2

Ð→j +2

Ð→k )−3

Ð→i +4(Ð→j −Ð→i −Ð→k ) =

= 12Ð→i −8

Ð→j +8

Ð→k −3

Ð→i +4

Ð→j −4

Ð→i −4

Ð→k =

= 5Ð→i −4

Ð→j +4

Ð→k

b) Posudit cemo jedan zakon fizike koji kaže da je tijelo u ravnotežiupravo onda kada je zbroj sila koje djeluju na njega jednak nuli (nul-vektoru).Ð→F1+

Ð→F2+

Ð→F =Ð→0 ∣−Ð→F1−

Ð→F2

Ð→F =−Ð→F1−

Ð→F2 =−(3N

Ð→i −4N

Ð→j +N

Ð→k )−(N

Ð→i −N

Ð→j −2N

Ð→k ) =

=−3NÐ→i +4N

Ð→j −N

Ð→k −N

Ð→i +N

Ð→j +2N

Ð→k =

=−4NÐ→i +5N

Ð→j +N

Ð→k Y

Tocke možemo jednostavno preko njihovih radijus vektora ukljuciti uovaj racun: koordinate tocke T(x, y, z) jednake su koordinatama radijus-vektora te tocke u odnosu na ishodište O.

Formula za radijus-vektor

Za T(x, y, z) jeÐ→OT = x

Ð→i + y

Ð→j + z

Ð→k .

1.1. Vektori 25

y

z

x

O

Ð→OT = x

Ð→i + y

Ð→j + z

Ð→k

T(x, y, z)

Pošto strelica od tocke A do tocke B posve odreduje vektorÐ→AB, jasno je

da mora postojati i formula koja odreduje koordinate tog vektora pomocukoordinata tocaka A i B. Nju nam daje prikaz vektora pomocu radijusvektora njegove krajnje i pocetne tocke:

Ð→AB =Ð→OB−Ð→OA

0

B

A

Raspišemo li ovu relaciju po komponentana dobivamo:

Formula za vektor s poznatim pocetkom i krajem

Za tocke A(xA, yA, zA) i B(xB, yB, zB) jeÐ→AB = (xB− xA)

Ð→i +(yB− yA)

Ð→j +

(zB − zA)Ð→k .


A(xA, yA, zA)

Ð→AB = (xB − xA)

Ð→i +(yB − yA)

Ð→j +(zB − zA)

Ð→k

B(xB, yB, zB)

Jednostavno receno, koordinate vektora su razlike koordinata njegovekrajnje i pocetne tocke.

Npr, za A(1,2,3) i B(3,−2,1) jeÐ→AB = (3−1)Ð→i +(−2−2)Ð→j +(1−3)Ð→k = 2

Ð→i −

4Ð→j −2

Ð→k .

Primjer 1.1.9. Odredimo cetvrti vrh D paralelograma ABCD kojemu supoznati vrhovi A(−2,1), B(2,2) i C(3,6) (kad se nalazimo u ravnini nepišemo trecu koordinatu koja je stalno jednaka nuli).

Rješenje: Odrediti tocku D(x, y) znaci odrediti njen radijus-vektorÐ→OD =

xÐ→i + y

Ð→j . To cemo uciniti primjenjujuci vektorski racun.

x

y

−3 −2 1 2 3

12345

AB

CD

O

Ð→OD =Ð→OA+Ð→AD =Ð→OA+Ð→BC =−2

Ð→i +Ð→j +(3−2)Ð→i +(6−2)Ð→j =−Ð→i +5

Ð→j

1.1. Vektori 27

Dakle, D =D(−1,5). Y

Vektor smo pomnožili brojem tako da smo mu svaku koordinatu pomno-žili brojem, a vektore smo zbrojili tako da smo im odgovarajuce koordinatezbrojili. Jedinicni vektori su nam služili jedino kao orijentiri koje koordinatetreba množiti ili zbrajati, a stvarno smo racunali s koordinatama. Zato cemokoristiti jednostavniji zapis vektora. Npr. umjesto 3

Ð→i −2

Ð→j +3

Ð→k pisat cemo

(3,−2,3), a umjesto 2Ð→i +Ð→j − 3

Ð→k (2,1,−3). U ovom zapisu racunanje je

jednostavnije. Npr.

2(3Ð→i −2

Ð→j +3

Ð→k )+3(2

Ð→i +Ð→j −3

Ð→k ) =

= 2(3,−2,3)+3(2,1,−3) = (6,−4,6)+(6,3,−9) = (12,−1,−3)

Kraci zapis vektora i operacija s njima

axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k = (ax,ay,az)

(ax,ay,az)+(bx,by,bz) = (ax+bx,ay+by,az +bz)

α(ax,ay,az) = (αax,αay,αaz)

Primjer 1.1.10. Izracunajmo: 2(1,2,3)−3(1,0,−1).

Rješenje: 2(1,2,3)−3(1,0,−1) = (2,4,6)−(3,0,−3) = (−1,4,9). Y

Ubuduce cemo koristiti ovaj kraci zapis. Ako se netko "izgubi" u tomzapisu samo se treba podsjetiti da je to skraceni zapis prikaza vektorapomocu koordinata i tada bi mu moralo biti jasno kako se dalje racuna.


1.1.6 Skalarni produkt

Pomocu zbrajanja vektora i množenja vektora brojem ne možemo opisatikoliko je vektor dug i koliki je kut izmedu dva vektora. Te najznacajnijegeometrijske mjere dat ce nam sljedeca operacija s vektorima, skalarniprodukt. To je operacija koja na ulaz uzme dva vektora Ð→a i

Ð→b , a na izlaz

"izbaci" broj Ð→a ⋅Ð→b . Broj dobijemo tako da jedan vektor okomito projeciramona drugi vektor. Kad su vektori na istom pravcu pomnožimo ih kao što semnože brojevi. Evo nekoliko tipicnih situacija:

Ð→a ⋅Ð→b = 2 ⋅3 = 6Ð→a

Ð→b

Ð→a ⋅Ð→b = 2 ⋅(−3) =−6Ð→a

Ð→b

Ð→a ⋅Ð→b = 2 ⋅3 = 6Ð→a

Ð→b

Ð→a ⋅Ð→b = 2 ⋅(−3) =−6Ð→a

Ð→b

Vec smo spominjali da je rad W na putu s stalne sile F koja je duž putajednak

W = F ⋅ s

Sila i pomak su vektori. Kad sila nije duž pomaka tad samo njenaprojekcija duž pomaka vrši rad. Dakle, rad je skalarni produkt sile

Ð→F i

1.1. Vektori 29

pomaka Ð→s :

Ð→s

Ð→F W =Ð→F ⋅Ð→s

Skalarni produkt

Skalarni produkt vektoraÐ→a i vektoraÐ→b je broj kojeg oznacavamoÐ→a ⋅Ð→b

i koji je jednak

Ð→a ⋅Ð→b = ∣Ð→a ∣ ⋅ ∣Ð→b ∣ ⋅cosα

gdje je α kut izmedu vektora (ako je jedan vektor nul vektor tad možemouzeti bilo koji kut).

Geometrijski gledano to je umnožak duljine jednog vektora i duljineokomite projekcije drugog vektora na prvi vektor, s predznakom + akoje projekcija u smjeru prvog vektora, a s predznakom − ako je projekcijau suprotnom smjeru:

Ð→a

Ð→b

α

Ð→a ⋅Ð→b = ∣Ð→a ∣ ⋅ ∣Ð→b ∣ ⋅cosα

Skalarni produkt ima jednostavna svojstva analogna svojstvima množe-nja brojeva:

Svojstva skalarnog produkta


1. Ð→a ⋅Ð→b =Ð→b ⋅Ð→a

2. Ð→a ⋅(Ð→b +Ð→c ) =Ð→a ⋅Ð→b +Ð→a ⋅Ð→c

3. (αÐ→a ) ⋅Ð→b =Ð→a ⋅(αÐ→b ) =α(Ð→a ⋅Ð→b )

No neka svojstva su drugacija. Npr. ne vrijedi asocijativnost, ne smijemokratiti i nema dijeljenja:

Ð→a ⋅(Ð→b ⋅Ð→c ) ≠ (Ð→a ⋅Ð→b ) ⋅Ð→c , Ð→a ⋅Ð→b =Ð→a ⋅Ð→c ↛Ð→b =Ð→c , Ð→a ∶Ð→b nema smisla

Uz dodatnu pažnju na redoslijed operacija i izbjegavanje dijeljenjaracunanje skalarnog produkta je isto kao i racunanje obicnog množenjabrojeva.

Navedena svojstva skalarnog produkta mogu se dokazati iz njegovedefinicije i nekih ociglednih svojstava okomite projekcije.

Primjer 1.1.11. Dokažimo da i za skalarni produkt vrijede formule zakvadrat zbroja i kvadrat razlike.

Rješenje:

(Ð→a +Ð→b )2 = (Ð→a +Ð→b ) ⋅(Ð→a +Ð→b ) =Ð→a ⋅Ð→a +Ð→a ⋅Ð→b +Ð→b ⋅Ð→a +Ð→b ⋅Ð→b =Ð→a 2+2Ð→a ⋅Ð→b +Ð→b 2

(Ð→a +Ð→b ) ⋅(Ð→a −Ð→b ) =Ð→a ⋅Ð→a +Ð→a ⋅Ð→b −Ð→b ⋅Ð→a −Ð→b ⋅Ð→b =Ð→a 2−Ð→b 2 Y

Ova pravila ce nam dati i postupak racunanja skalarnog produktapomocu koordinata vektora. Neka je Ð→a = ax

Ð→i + ay

Ð→j + az

Ð→k i

Ð→b = bx

Ð→i +

byÐ→j + bz

Ð→k . Po navedenim svojstvima množenje cemo svesti na množenje

komponenti:

1.1. Vektori 31

Ð→a ⋅Ð→b = axbxÐ→i ⋅Ð→i +axby

Ð→i ⋅Ð→j + ...

Tako se sve svodi na množenje jedinicnih vektoraÐ→i ,Ð→j iÐ→k . Iz definicije

imamo da je umnožak svakog od njih sa samim sobom jednak 1 (npr.Ð→i ⋅Ð→

i = ∣Ð→i ∣ ⋅ ∣Ð→i ∣cos0○ = 1) a umnožak razlicitih jednak nuli (npr.Ð→i ⋅Ð→j = ∣Ð→i ∣ ⋅

∣Ð→j ∣cos90○ = 0). Tako dobijemo da je umnožak

Ð→a ⋅Ð→b = axbx+ayby+azbz

Racunanje skalarnog produkta:

(ax,ay,az) ⋅(bx,by,bz) = axbx+ayby+azbz

Primjer 1.1.12. Izracunajmo

a) (1,2,3) ⋅(4,−1,−2)b) (2Ð→a +3

Ð→b )(3Ð→a −2

Ð→b ) za Ð→a = (1,2,2),

Ð→b = (1,1,0)

Rješenje:

a) (1,2,3) ⋅(4,−1,−2) = 1 ⋅4+2 ⋅(−1)+3 ⋅(−2) =−4

b) Jedan nacin je da prvo sredimo, pa onda uvrstimo vrijednosti, a drugije da odmah uvrstimo vrijednosti i redom racunamo. Evo drugognacina:

(2 ⋅(1,2,2)+3 ⋅(1,1,0))(3 ⋅(1,2,2)−2 ⋅(1,1,0)) == ((2,4,4)+(3,3,0))((3,6,6)−(2,2,0)) == (5,7,4) ⋅(1,4,6) = 5 ⋅1+7 ⋅4+4 ⋅6 = 57 Y

Vidjeli smo da skalarni produkt ima jednostavna pravila i jednostavnose racuna. No njegov pravi znacaj je u tome da se pomocu njega jednostavnodobivaju osnovne mjere, duljina vektora i kut medu vektorima, te okomitaprojekcija. Pogledamo li skalarni produkt vektora sa samim sobom


Ð→a ⋅Ð→a = ∣Ð→a ∣ ⋅ ∣Ð→a ∣ ⋅cos0

vidimo da je on jednak produktu njegovog iznosa sa samim sobom

Ð→a ⋅Ð→a = ∣Ð→a ∣ ⋅ ∣Ð→a ∣

Odatle možemo izraziti iznos vektora pomocu skalarnog produkta:

∣Ð→a ∣ =√Ð→a ⋅Ð→a =

√a2

x+a2y+a2

z.

Sad iz definicije skalarnog produkta možemo dobiti i kut medu nenultimvektorima:

cosα =Ð→a ⋅Ð→b

∣Ð→a ∣ ⋅ ∣Ð→b ∣

Mjere dužine i kuta

∣Ð→a ∣ =√Ð→a ⋅Ð→a =

√a2

x+a2y+a2

z


∣Ð→a ∣ ⋅ ∣Ð→b ∣

Primjer 1.1.13. Izracunajmo duljine vektora Ð→a = (2,3,−1) iÐ→b = (3,1,2)

te kut medu njima.

Rješenje:

∣Ð→a ∣ =√Ð→a ⋅Ð→a =

√22+32+(−1)2 =

√14,

∣Ð→b ∣ =√Ð→

b ⋅Ð→b =√

32+12+22 =√

14,

a kut medu vektorima je

1.1. Vektori 33


∣Ð→a ∣ ⋅ ∣Ð→b ∣= (2,3,−1) ⋅(3,1,2)√

14 ⋅√

14= 2 ⋅3+3 ⋅1−1 ⋅2

14= 7

14= 1

2→α = 60○ Y

Sad možemo racunati i smjer vektora. Naime svakom vektoru Ð→amožemo pridružiti jedinicni vektor u njegovom smjeru Ð→a0 =

Ð→a∣Ð→a ∣

. Taj vektor

i na odredeniji nacin mjeri smjer vektora jer su mu koordinate upravokosinusi kutova što ih zatvara s koordinatnim osima. Naime pomnožimoli ga npr. s

Ð→i dobit cemo

Ð→a0 = a0xÐ→i +a0y

Ð→j +a0z

Ð→k ∣ ⋅Ð→i →

a0x =Ð→a0 ⋅Ð→i = ∣Ð→a0∣ ⋅ ∣

Ð→i ∣cos(∠Ð→a0,

Ð→i ) = cos(∠Ð→a0,

Ð→i )

Jedinicni vektor smjera

Ð→a0 =Ð→a∣Ð→a ∣

= cosαÐ→i +cosβ

Ð→j +cosγ

Ð→k

gdje su α, β i γ kutovi što ih vektor Ð→a zatvara s koordinatnim osima.

Primjer 1.1.14. Nadimo kosinuse kutova što ih vektor Ð→a = (1,2,3) zatvaras koordinatnim osima.

Rješenje:

Ð→a0 =Ð→a∣Ð→a ∣

= (1,2,3)∣(1,2,3)∣ =

(1,2,3)√12+22+32

= (1,2,3)√14

= ( 1√14

,2√14

,3√14

)

Tako su kosinusi kutova s x, y i z osi redom1√14

,2√14

,3√14

. Y


Pomocu skalarnog produkta jednostavno možemo ispitati okomitostvektora, jer je tada kut medu njima 90○ pa je kosinus kuta jednak nuli iskalarni produkt je nula.

Okomitost vektora

Dva su nenulta vektora Ð→a iÐ→b okomita (pišemo Ð→a ⊥ Ð→b ) upravo onda

kad je Ð→a ⋅Ð→b =Ð→b ⋅Ð→a .

Primjer 1.1.15. Ispitajmo jesu li vektori Ð→a = (2,−4,−5) iÐ→b = (3,4,−2)

okomiti.

Rješenje:

Ð→a ⋅Ð→b = (2,−4,−5) ⋅(3,4,−2) = 2 ⋅3−4 ⋅4+5 ⋅2 = 0, pa su vektori okomiti. Y

Pomocu vektora možemo izracunati i okomitu projekciju jednog vektorana drugi:

Ð→b

Ð→a

α

∣Ð→a ∣ ⋅cosα

Projekciju možemo gledati kao broj (skalarna projekcija) ili kao vektor

(vektorska projekcija). Iz izraza ∣Ð→a ∣ ⋅ cosα =Ð→a ⋅Ð→b∣Ð→b ∣

= Ð→a ⋅Ð→b0 vidimo da je

skalarna projekcija skalarni produkt vektora kojeg projeciramo s jedinicnimvektorom smjera na koji projeciramo. Vektorsku projekciju dobijemo takoda tom broju pridružimo smjer vektora na koji smo projecirali:

1.1. Vektori 35

Ortogonalna projekcija

skalarna projekcija vektoraÐ→b na vektor Ð→a :

Ð→a ⋅Ð→b0 =Ð→a ⋅Ð→b∣Ð→b ∣

vektorska projekcija vektoraÐ→b na vektor Ð→a :

(Ð→a ⋅Ð→b0)Ð→b0 =

(Ð→a ⋅Ð→b )Ð→b∣Ð→b ∣2

Primjer 1.1.16. Nadimo skalarnu i vektorsku projekciju vektora Ð→a =(2,1,3) na vektor

Ð→b = (3,4,0).

Rješenje: Skalarna projekcija je

Ð→a ⋅Ð→b∣Ð→b ∣

= (2,1,3) ⋅(3,4,0)∣(3,4,0)∣ = 10√

25= 10

5= 2.

Vektorska projekcija je

(Ð→a ⋅Ð→b )Ð→b∣Ð→b ∣2

= 2 ⋅ (3,4,0)∣(3,4,0)∣ =

25(3,4,0) = (6

5,85

,0) Y

Napravimo li skalarnu projekciju vektoraÐ→a = axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k = (ax,ay,az)

na x-os

Ð→a ⋅Ð→i = (axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k ) ⋅Ð→i = ax

dobit cemo x-koordinatu vektora. Analogno bismo dobili i za druge projek-cije. Dakle, koordinate vektora su njegove skalarne projekcije na


koordinatne osi.

Pomocu skalarnog produkta možemo mjeriti geometrijske velicine.

Primjer 1.1.17. Za trokut kojem su vrhovi u A(1,2,0), B(0,1,2) i C(1,1,1)nadimo duljinu stranice nasuprot vrhu A, kut kod vrha A i duljinu težišniceiz vrha A.

Rješenje:

A

B

C

P

Stranica nasuprot vrhu A je stranica BC. Njena duljina je duljina vektoraÐ→BC:

∣Ð→BC∣ = ∣Ð→OC−Ð→OB∣ = ∣(1,1,1)−(0,1,2)∣ = ∣(1,0,−1)∣ =√

2

Kut α kod vrha A je kut izmedu vektoraÐ→AB i

Ð→AC:

Ð→AB =Ð→OB−Ð→OA = (0,1,2)−(1,2,0) = (−1,−1,2)

Ð→AC =Ð→OC−Ð→OA = (1,1,1)−(1,2,0) = (0,−1,1)

cosα =Ð→AB ⋅Ð→AC

∣Ð→AB∣ ⋅ ∣Ð→AC∣= (−1,−12) ⋅(0,−1,1)∣(−1,−1,2)∣ ⋅ ∣(0,−1,1)∣ =

1+2√6 ⋅

√2= 3√

12= 3

2√

3=√

32

→α = 30○

1.1. Vektori 37

Težišnica spaja vrh A i polovište P nasuprotne stranice:

Ð→AP =Ð→AB+ 1

2Ð→BC = (−1,−1,2)+ 1

2(1,0,−1) =

= (−1,−1,2)+(12

,0,−12) = (−1

2,−1,

32) →

∣Ð→AP ∣ = ∣(−12

,−1,32)∣ =

√14+1+ 9

4=√

142

Y

U fizici pomocu skalarnog produkta možemo jednostavno naci rad sile ikomponente sile duž zadanih smjerova.

Rad sile

Rad sileÐ→F pri ravnom pomaku Ð→s je W =Ð→F ⋅Ð→s .

Ð→s

Ð→F W =Ð→F ⋅Ð→s

Primjer 1.1.18. Nadimo rad sileÐ→F = (−2,1,3)N pri ravnom pomaku tijela

od tocke A = (3,1,2)m do tocke B = (4,0,−2)m.

Rješenje:

W =Ð→F ⋅Ð→AB =Ð→F ⋅(Ð→OB−Ð→OA) = (−2,1,3)N⋅((4,0,−2)m−(3,1,2)m) =

(−2,1,3)N⋅(1,−1,−4)m=−15Nm=−15 J


gdje je J = Joule, jedinica za energiju. Negativan rad znaci da je sila na tomputu uzimala tijelu energiju. Y

Primjer 1.1.19. Rastavimo siluÐ→F = (−2,1,3) na komponente duž vektora

Ð→a = (2,1,2) i okomito na taj smjer.

Rješenje: KomponentaÐ→F∥

paralelna vektoru Ð→a je vektorska projekcijasile u smjeru tog vektora:

Ð→F∥= (Ð→F ⋅Ð→a ) ⋅Ð→a

∣Ð→a ∣2= ((−2,1,3) ⋅(2,1,2))

(2,1,2)2 (2,1,2) = 39(2,1,2) = (2

3,13

,23)

S obzirom da zbroj komponenti mora dati ukupnu siluÐ→F =Ð→F

∥+Ð→F⊥ druga

komponenta je

Ð→F⊥ =

Ð→F −Ð→F

∥= (−2,1,3)−(2

3,13

,23) = (−8

3,23

,73) Y

Evo i jednog primjera upotrebe skalarnog produkta u dokazivanju ge-ometrijskih teorema. Pomocu njega možemo jednostavno izvesti kosinusovpoucak koji povezuje tri stranice proizvoljnog trokuta i jedan njegov kut:

c2 = a2+b2−2abcosγ

b

ca

γ

Kut cemo razumjeti kao kut izmedu vektora Ð→a iÐ→b :

1.1. Vektori 39

Ð→b

Ð→cÐ→a

γ

Ð→c =Ð→b −Ð→a /2→Ð→c 2 = (Ð→b −Ð→a )2 →

∣Ð→c ∣2 =Ð→b 2−2Ð→bÐ→a +Ð→a 2 = ∣Ð→a ∣2+ ∣Ð→b ∣2−2∣Ð→a ∣∣Ð→b ∣cosγ

To je vektorski zapis kosinusova poucka.

1.1.7 Vektorski produkt

Rastezanjem i zbrajanjem dva vektora dobivamo sve vektore u ravniniodredenoj s ta dva vektora (ako nisu kolinearni). Skalarni produkt namdaje mjere duljina i kutova u toj ravnini. Nedostaje operacija koja bidvama vektorima pridružila vektor izvan ravnine. Upravo to radi vektorskiprodukt vektora.

Vektorski produkt vektora

Neka suÐ→a iÐ→b nekolinearni vektori. Njihov vektorski produkt je vektor

Ð→a ×Ð→b koji je

1) okomit na ravninu odredenu s vektorima Ð→a iÐ→b ,

2) usmjeren na onu stranu ravnine na koju pokazuje palac desne rukepostavljene tako da ostali prsti pokazuju rotaciju od vektora Ð→a premavektoru

Ð→b za kut manji od ispruženog kuta,

3) iznos mu je jednak površini paralelograma odredenog vektorima Ð→a i


Ð→b :

Ð→a

Ð→a ×Ð→b

Ð→b∣Ð→a ×Ð→b ∣ = P

Ako su vektori kolinearni tad je vektorski produkt jednak nul-vektoru:

Ð→a ∥Ð→b →Ð→a ×Ð→b =Ð→0

Tako nam vektorski produkt daje i smjer iz ravnine i mjeru površine

P◇ = ∣Ð→a ×Ð→b ∣ = ∣Ð→a ∣∣Ð→b ∣sin(∠Ð→a ,Ð→b )

Ovako definiranom vektorskom produktu doprinosi samo komponentavektora koja je okomita na drugi vektor

Ð→a ×Ð→b =Ð→a ⊥×Ð→b =Ð→a ×Ð→b ⊥

Bitno pravilo u kojem se ovo množenje razlikuje od množenja brojeva jekomutativnost. To sad ne vrijedi, ali vrijedi tzv. antikomutativnost:

Svojstva vektorskog produkta

1.1. Vektori 41

1. Ð→a ×Ð→b =−Ð→b ×Ð→a (antikomutativnost)

2. Ð→a ×(Ð→b +Ð→c ) =Ð→a ×Ð→b +Ð→a ×Ð→c

3. Ð→a ×(αÐ→b ) = (αÐ→a )×Ð→b =α(Ð→a ×Ð→b )

4. Ð→a ×Ð→b =Ð→0 ↔Ð→a ∥Ð→b , specijalno Ð→a ×Ð→a =Ð→0

Dakle što se tice množenja brojem i množenja zagrada radimo istualgebru kao i kod brojeva, medutim moramo paziti na redoslijed faktora.Zbog toga na primjer ne vrijede standardne formule za kvadrat zbroja irazliku kvadrata:

(Ð→a +Ð→b )×(Ð→a +Ð→b ) =Ð→0 jer imamo produkt vektora sa samim sobom

(Ð→a +Ð→b )×(Ð→a −Ð→b ) =Ð→a ×Ð→a −Ð→a ×Ð→b +Ð→b ×Ð→a −Ð→bÐ→b = 2Ð→b ×Ð→a

Pomocu vektorskog produkta možemo jednostavno dokazati sinusovteorem koji poput kosinusova teorema takoder povezuje kutove i stranicetrokuta:

asinα

= bsinβ

= csinγ

b

ca

γ

β

α

Da bismo to dokazali "pretvorimo" prvo stranice u vektore:


Ð→b

Ð→cÐ→a

γ

β

α

Ð→a +Ð→b =Ð→c /×Ð→b →Ð→a ×Ð→b =Ð→c ×Ð→b → ∣Ð→a ∣∣Ð→b ∣sin(π−γ) = ∣Ð→c ∣∣Ð→b ∣sin(π−α)

→ ∣Ð→a ∣sinγ = ∣Ð→c ∣sinα→ ∣Ð→a ∣sinα

= ∣Ð→c ∣sinγ

Množeci istu jednakost s Ð→a dobit cemo i preostalu jednakost.

Pravila za vektorski produkt ce nam pokazati kako racunati vektorskiprodukt pomocu komponenti vektora:

Ð→a ×Ð→b = (axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k )×(bx

Ð→i +by

Ð→j +bz

Ð→k ) =

= axbxÐ→i ×Ð→i +axby

Ð→i ×Ð→j + . . .

Tako se racunanje svodi na vektorski produkt jedinicnih vektoraÐ→i ,Ð→j iÐ→k .

Produkt svakog od njih sa samim sobom jednak je nul vektoru. Produktrazlicitih citatelj može otkriti na osnovi definicije vektorskog produktakoristeci sljedecu sliku.

y

z

x

Ð→j

Ð→k

Ð→i

Npr.Ð→i ×Ð→j =Ð→k , a

Ð→i ×Ð→k = −Ð→j . Postoji jednostavno pravilo za pamcenje

1.1. Vektori 43

ovih umnožaka. Jedinicne vektore nacrtamo redom u krug:

Ð→jÐ→

k

Ð→i

+ −

Kad trebamo pomnožiti dva jedinicna vektora, idemo po kružnici od jednogprema drugom. Rezultat je treci vektor s predznakom + ako smo išli upozitivnom smjeru, a s predznakom − ako smo išli u negativnom smjeru.Tako je npr.

Ð→k ×Ð→j = −Ð→i jer smo od

Ð→k prema

Ð→j išli u negativnom smjeru

po kružnici.

Sad možemo nastaviti racunanje:

Ð→a ×Ð→b = (axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k )×(bx

Ð→i +by

Ð→j +bz

Ð→k ) =

axbxÐ→i ×Ð→i +axby

Ð→i ×Ð→j +axbz

Ð→i ×Ð→k + ... =

=Ð→0 +axbyÐ→k −axbz

Ð→j + ...

Uporniji citatelj može provjeriti da bi ovo racunanje na kraju dalo sljedeciizraz:

Ð→a ×Ð→b = (aybz −azby)Ð→i −(axbz −azbx)

Ð→j +(axby−aybx)

Ð→k

U zagradama je ista kombinacija brojeva. Takva kombinacija 4 broja zovese determinanta drugog reda. Preciznije, drugog reda je funkcija kojatablici brojeva

[a bc d]

(u sljedecem cemo poglavlju ovakvu tablicu zvati matricom i preciznije


opisati što pod tim podrazumijevamo) pridružuje broj kojeg oznacavamo

∣a bc d∣:

∣a bc d∣ = ad−bc

Pomocu nje možemo izraz za vektorski produkt napisati uniformnije

Ð→a ×Ð→b = ∣ay azby bz

∣Ð→i − ∣ax azbx bz

∣Ð→j + ∣ax aybx by

∣Ð→k

Ali i ovakva kombinacija se cesto javlja i zove se determinanta trecegreda:

RRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

ax ay azbx by bz

RRRRRRRRRRRRRR= ∣ay az

by bz∣Ð→i − ∣ax az

bx bz∣Ð→j + ∣ax ay

bx by∣Ð→k

Vidimo da vektorÐ→i množimo s determinantom tablice koju dobijemo iz

pocetne tablice "brisanjem" stupca i retka u kojem se nalazi vektorÐ→i . Tu

determinantu zovemo subdeterminantom vektoraÐ→i . Isto uradimo i s

drugim jedinicnim vektorima i dobijene umnoške s odgovarajucim predz-nakom zbrojimo. Znajuci kako se racunaju determinante drugog i trecegreda sad možemo jednostavno zapisati pravilo za racunanje vektorskogprodukta:

Racunanje vektorskog produkta:

(ax,ay,az) ⋅(bx,by,bz) =RRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

ax ay azbx by bz

RRRRRRRRRRRRRR

Primjer 1.1.20. Izracunajmo vektorski produktÐ→a ×Ð→b za zadane vektoreÐ→aiÐ→b :

1.1. Vektori 45

a) Ð→a = (1,2,3),Ð→b = (4,5,6) b) Ð→a = (1,−2,−1),

Ð→b = (1,−1,2)

Rješenje:

a) (1,2,3)×(4,5,6) =RRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

1 2 34 5 6

RRRRRRRRRRRRRR= ∣2 3

5 6∣Ð→i − ∣1 3

4 6∣Ð→j + ∣1 2

4 5∣Ð→k =

= (2 ⋅6−3 ⋅5)Ð→i −(1 ⋅6−3 ⋅4)Ð→j +(1 ⋅5−2 ⋅4)Ð→k =

=−3Ð→i +6

Ð→j −3

Ð→k = (−3,6,−3)

b) (1,−2,−1)×(1,−1,2) =

=RRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

1 −2 −11 −1 2

RRRRRRRRRRRRRR= ∣−2 −1−1 2 ∣Ð→i − ∣1 −1

1 2 ∣Ð→j + ∣1 −21 −1∣

Ð→k =

= (−2 ⋅2−1 ⋅1)Ð→i −(1 ⋅2−1 ⋅1)Ð→j +(−1 ⋅1+2 ⋅1)Ð→k =

=−5Ð→i −3

Ð→j +Ð→k = (−5,−3,1) Y

Primjer 1.1.21. Izracunajmo površinu paralelograma odredenog vektorimaÐ→a = (3,−4,−1) i

Ð→b = (2,−3,0).

Rješenje: Površina paralelograma je ∣Ð→a ×Ð→b ∣. Prvo cemo izracunatiÐ→a ×Ð→b :

Ð→a ×Ð→b = (3,−4,−1)×(2,−3,0) =RRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

3 −4 −12 −3 0

RRRRRRRRRRRRRR=

= ∣−4 −1−3 0 ∣Ð→i − ∣3 −1

2 0 ∣Ð→j + ∣3 −42 −3∣

Ð→k = (−3,−2,−1)

Površina je tako ∣(−3,−2,−1)∣ =√

9+4+1 =√

14 Y


Primjer 1.1.22. Nadimo površinu trokuta s vrhovima A(2,−1,3), B(1,2,4)i C(3,1,1).

Rješenje: Od dvije stranice cemo napraviti vektore, recimoÐ→AB i

Ð→AC:

Ð→AB = (1,2,4)−(2,−1,3) = (−1,3,1)

Ð→AC = (3,1,1)−(2,−1,3) = (1,2,−2)

Površina trokuta odredenog tim vektorima je upola manja od površineparalelograma odredenog tim vektorima:

P△ = 12

P◇ = 12∣Ð→AB×Ð→AC∣

Izracunajmo prvo vektorski produkt:

Ð→AB×Ð→AC = (−1,3,1)×(1,2,−2) =

RRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

−1 3 11 2 −2

RRRRRRRRRRRRRR=

= ∣3 12 −2∣

Ð→i − ∣−1 1

1 −2∣Ð→j + ∣−1 3

1 2∣Ð→k = (−8,−1,−5)

Površina trokuta je12∣(−8,−1,−5)∣ =

√902

= 3√

102

. Y

Mnoge fizikalne velicine se izražavaju vektorskim produktom. Jednatakva velicina je moment sile.

Moment sile

MomentÐ→M sile

Ð→F s hvatištem u tocki H u odnosu na oslonac O je

1.1. Vektori 47

Ð→M =ÐÐ→OH×Ð→F

O

H

Ð→F

d

Ð→M =ÐÐ→OH×Ð→F

Iznos momenta sile se obicno definira kao umnožak iznosa sile i krakasile d (udaljenosti oslonca pravca na kojem djeluje sila). To je u skladus gornjom definicijom jer na vektorski produkt utjece samo komponentavektora

ÐÐ→OH koja je okomita na vektor

Ð→F .

Primjer 1.1.23. Koliki je moment sileÐ→F = (1,−2,0) s hvatištem u H(1,1,1)

u odnosu na oslonac O(2,−1,3) ?

Rješenje:

Ð→M =ÐÐ→OH×Ð→F = ((1,1,1)−(2,−1,3))×(1,−2,0) = (−1,2,−2)×(1,−2,0) =

=RRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

−1 2 −21 −2 0

RRRRRRRRRRRRRR= ∣ 2 −2−2 0 ∣Ð→i − ∣−1 −2

1 0 ∣Ð→j + ∣−1 21 −2∣

Ð→k = (−4,−2,0) Y


1.1.8 Mješoviti produkt

Preostala nam je još jedna znacajna geometrijska mjera, mjera volumenatijela. Za to nam ne treba nova vektorska operacija, vec samo kombinacijapostojecih. S tri nekomplanarna vektora (tri vektora koja ne leže u istojravnini) odreden je paralelepiped, prizma kojoj su plohe paralelogrami:

Ð→a

Ð→c

Ð→b

Iz geometrije je poznato da je volumen paralelepipeda jednak umnoškupovršine osnovice i visine. Površina osnovice je P = ∣Ð→a ×Ð→b ∣, a visina je iznos

projekcije vektora Ð→c na Ð→a ×Ð→b , v =RRRRRRRRRRRÐ→c ⋅

Ð→a ×Ð→b∣Ð→a ×Ð→b ∣

RRRRRRRRRRR:

Ð→a

Ð→c

Ð→b

Ð→a ×Ð→b

v

Tako je volumen jednak

V = v ⋅P =RRRRRRRRRRRÐ→c ⋅

Ð→a ×Ð→b∣Ð→a ×Ð→b ∣

RRRRRRRRRRR⋅ ∣Ð→a ×Ð→b ∣ = ∣Ð→c ⋅(Ð→a ×Ð→b )∣

1.1. Vektori 49

Ako gledamo sam broj Ð→c ⋅ (Ð→a ×Ð→b ) on je pozitivan ako projekcija vektoraÐ→c padne u smjeru vektorskog produkta Ð→a ×Ð→b , a negativan ako projekcijapadne na suprotnu stranu. U prvom slucaju kažemo da vektori Ð→a ,Ð→b i Ð→c tvore desni sustav vektora (jer palac, kažiprst i srednjak desneruke postavljeni medusobno okomito tvore takav sustav), a u drugomda tvore lijevi sustav vektora (jer palac, kažiprst i srednjak lijeve rukepostavljeni medusobno okomiti tvore takav sustav). Zanimljivo je danikakvim gibanjem ne možemo od desnog koordinatnog sustava dobiti lijevi,dok je slika desnog sustava u ogledalu lijevi sustav.

Mješoviti produkt

Mješoviti produkt vektora Ð→a ,Ð→b i Ð→c je broj (Ð→a ×Ð→b ) ⋅Ð→c .

Tri vektora su komplanarna upravo onda kad im je mješoviti produktjednak nuli.

Ako mješoviti produkt nije jednak nuli tad je njegov iznos jednakvolumenu paralelepipeda odredenog s ta tri vektora, a predznak mugovori tvore li tri vektora u zapisanom poretku desni (predznak jepozitivan) ili lijevi sustav (predznak je negativan).

Ako vektorima u mješovitom produktu ciklicki zamijenimo mjestaprodukt ostaje isti a ako dvama zamijenimo mjesta produktu se mijenjapredznak.

Sad cemo razviti formulu za racunanje mješovitog produkta:

(Ð→a ×Ð→b ) ⋅Ð→c = (Ð→b ×Ð→c ) ⋅Ð→a = ((bx,by,bz)×(cx, cy, cz)) ⋅(ax,ay,az) =

=RRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

bx by bzcx cy cz

RRRRRRRRRRRRRR⋅(ax,ay,az) =


= (∣by bzcy cz

∣Ð→i − ∣bx bzcx cz

∣Ð→j + ∣bx bycx cy

∣Ð→k )(axÐ→i +ay

Ð→j +az

Ð→k ) =

= ∣by bzcy cz

∣ax− ∣bx bzcx cz

∣ay+ ∣bx bycx cy

∣az =

=RRRRRRRRRRRRR

ax ay azbx by bzcx cy cz

RRRRRRRRRRRRR

Racunanje mješovitog produkta

(Ð→a ×Ð→b ) ⋅Ð→c =RRRRRRRRRRRRR

ax ay azbx by bzcx cy cz

RRRRRRRRRRRRR

Primjer 1.1.24. Izracunajmo mješoviti produkt vektora Ð→a = (1,2,1),Ð→b =

(0,1,1) i Ð→c = (1,−1,−1). Tvore li ti vektori lijevi ili desni sustav. Koliki jevolumen paralelepipeda odredenog tim vektorima?

Rješenje:

(Ð→a ×Ð→b ) ⋅Ð→c =RRRRRRRRRRRRR

1 2 10 1 11 −1 −1

RRRRRRRRRRRRR= ∣ 1 1−1 −1∣ ⋅1− ∣0 1

1 −1∣ ⋅2+ ∣0 11 −1∣ ⋅1 =

= 0+2−1 = 1

Dakle sustav je desni i odreduje paralelepiped jedinicnog volumena. Y

Upotreba softwarea. ***

Nakon ove cjeline citatelj treba razumjeti vektore i operacije s njima,njihov geometrijski smisao i pravila racunanja, znati postaviti problempomocu vektora i izracunati rješenje.

1.1. Vektori 51

1.1.9 Zadaci za vježbu

a) Za lik na slici koji je sastavljen od sukladnih rombova nadi

A B C

DEH

GG F

(a) koji su vektori jednaki vektoruÐ→AE,

(b) koji su vektori istog smjera kao i vektorÐ→AB,

(c) koji su vektori istog iznosa kao vektorÐ→AG?

b) Za vektore Ð→a iÐ→b na slici

Ð→aÐ→b

nacrtajte sljedece vektore:

(a) 3Ð→a −2Ð→b (b) −3(Ð→a −2

Ð→b )

(c) 3[Ð→a −2(Ð→a −Ð→b )]+3[Ð→b −(−Ð→a +Ð→b )]

c) Izrazi pomocu Ð→a =Ð→AB iÐ→b =ÐÐ→AH vektore

Ð→AC,

Ð→CD,

Ð→FE,

Ð→HB,

Ð→BD,

Ð→CG,Ð→

AF,Ð→HC i

Ð→GD:


A B C

DEH

GG F

d) Nadite vektorÐ→AB gdje je

(a) A(1,0,0), B(4,2,0), (b) A(4,0,−1), B(1,0,2)(c) A(−1,−1,−1), B(3,0,0)

e) Za Ð→a = (2,−1,3),Ð→b = (1,1,−1) i Ð→c = (0,0,4) nadite

(a) Ð→a +Ð→b (b) 3Ð→a −2Ð→b +4Ð→c (c) 3(Ð→b −2Ð→c )

f) Za Ð→a = (2,−1,3) iÐ→b = (1,1,−1) riješite jednadžbe

(a) 2(Ð→a −Ð→x =Ð→b −(Ð→x −Ð→a )) (b) 2Ð→x +5Ð→y =Ð→a , Ð→x +3Ð→y =Ð→b

g) Kojom silom treba djelovati na cesticu da bi se uravnotežilo djelovanjesila

Ð→F1,Ð→F2 i

Ð→F3 koje iznose

(a)Ð→F1 = (1,3,−1),

Ð→F2 = (5,0,−2) i

Ð→F3 = (0,−1,3),

(b)Ð→F1 = (3,2,1),

Ð→F2 = (4,1,1) i

Ð→F3 = (7,1,0)

h) Za Ð→a = (2,1,3),Ð→b = (1,0,−4) i Ð→c = (3,−1,2) nadite

(a) Ð→a ⋅Ð→b (b) (Ð→a +Ð→b ) ⋅Ð→c (c) (Ð→a +Ð→b +Ð→c )2

i) Za vektore Ð→a = (1,−2,1),Ð→b = (0,1,3) i Ð→c = (−1,2,4)

(a) izracunajte duljinu vektora Ð→a i njegov jedinicni vektor.

(b) Izracunajte vektor 2Ð→a −Ð→b +3Ð→c i njegovu duljinu.

1.1. Vektori 53

j) Za vektore Ð→a = (1,1,0),Ð→b = (3,2,1) i Ð→c = (1,0,2) nadite kut izmedu

vektora

(a) Ð→a iÐ→b (b) Ð→a i

Ð→b +Ð→c

k) Zadane su tocke A(−2,1,0), B(1,−2,1) i C(2,2,3).

(a) Nadite vektoreÐ→AB,

Ð→BC,

Ð→CA, 2

Ð→AC−3

Ð→AB,

Ð→AB+Ð→BC+Ð→CA

(b) Koja je od stranica trokuta ABC najdulja?

(c) Koje su koordinate polovišta P stranice AB?

l) VektoruÐ→a =Ð→AB+Ð→CA, A(0,0,1), B(3,2,1), C(4,6,5) i D(1,6,3) naditejedninicni vektor.

m) Nadite skalarnu projekciju vektora Ð→a u smjeru vektoraÐ→b :

(a) Ð→a = (4,0,−3),Ð→b = (1,1,1)

(b) Ð→a = (−2,3,−1),Ð→b = (4,−2,0)

(c) Ð→a = (8,2,−3),Ð→b = (0.8,0,0.6)

n) Za trokut s vrhovima A(0,0,1) , B(1,0,2) i C(1,1,1) nadite duljinutežišnice ta iz vrha A.

o) Rastavite siluÐ→F = 2

Ð→i + 2

Ð→j +Ð→k na komponentu paralelnu vektoruÐ→

AC i komponentu okomitu naÐ→AC , za A(1,1,2) i C(2,3,4). Ako sila

djeluje na tijelo mase m = 1 nadite iznos akceleracije i kutove što ihakceleracija tvori s koordinatnim osima.

p) Nadite rad sileÐ→F na ravnom putu od tocke A do tocke B:

(a)Ð→F = (1,2,0), A(4,−7,3), B(4,−7,8),

(b)Ð→F = (3,−2,4), A(8,−2,−3), B(−2,0,6)

q) Za vektore Ð→a = (1,2,0),Ð→b = (−3,2,0) i Ð→c = (2,3,4) nadite

(a) Ð→a ×Ð→b (b) ∣Ð→a ×Ð→c ∣ (c) 3Ð→a ×5Ð→b

(d) (Ð→a +Ð→b )×Ð→c (e) (Ð→a ×Ð→b )×Ð→c


r) Izracunajte površinu

(a) paralelograma odredenog tockamaA(1,1,1), B(4,4,4), C(8,−3,14), D(11,0,17)

(b) trokuta odredenog tockamaA(1,3,2), B(3,−4,2), C(5,0,−5)

s) Nadite moment oko tocke O sileÐ→F s hvatištem u tocki H ako je

(a)Ð→F = (0,0,10), A(0,0,0), O(2,2,0)

(b)Ð→F = (3,0,−6), A(0,−1,4), O(4,6,−1)

t) Nadite volumen paralelepipeda odredenog vektorimaÐ→a = (4,9,−1),

Ð→b = (2,6,0) i Ð→c = (5,−4,2)

u) Izracunajte (Ð→a ×Ð→b ) ⋅Ð→c ako je

(a) Ð→a = (2,−1,−1),Ð→b = (1,3,−1) i Ð→c = (1,1,4),

(b) Ð→a = (3,−1,0),Ð→b = (2,0,1) i Ð→c = (4,2,3)

(c) Nadite volumen paralelepipeda i tetraedra odredenog vektorimaiz b) (volumen tetraedra je 6 puta manji od volumena odgovara-juceg paralelepipeda)

Rješenja

1. a)Ð→BD i

Ð→HF b)

Ð→AC,

ÐÐ→HE,

Ð→ED,

ÐÐ→HD i

Ð→GF

c)Ð→BF,

Ð→FB,

Ð→GA,

Ð→AC,

Ð→CA,

ÐÐ→HD i

ÐÐ→DH

2. a) 3Ð→a −2Ð→b

Ð→aÐ→b

3Ð→a −2Ð→b

1.1. Vektori 55

b) −3Ð→a +6Ð→b

Ð→aÐ→b

−3Ð→a +6Ð→b

c) 6Ð→b

Ð→b

3.Ð→AC = 2Ð→a ,

Ð→CD =Ð→b ,

Ð→FE = −Ð→b ,

Ð→HB =Ð→a −Ð→b ,

Ð→BD =Ð→a +Ð→b ,

Ð→CG = −2Ð→a +

2Ð→b ,Ð→AF =Ð→a −Ð→b ,

Ð→HC = 2Ð→a −Ð→b ,

Ð→GD = 2Ð→a −Ð→b

4. a)Ð→AB = (3,2,0) b)

Ð→AB = (−3,0,3) c)

Ð→AB = (4,1,1)

5. a) (3,0,2) b) (4,−5,27) c) (3,3,−27)

6. a) Ð→x = (1,−2,4) b) Ð→x = (1,−8,14), Ð→y = (0,3,−5)

7. a) (−6,−2,0) b) (−14,−4,−2)

8. a) −10 b) 6 c) 37

9. a) ∣Ð→a ∣ =√

6, Ð→a0 = ( 1√6

,−2√

6,

1√6)

b) 2Ð→a −Ð→b +3Ð→c = (−1,1,11), ∣2Ð→a −Ð→b +3Ð→c ∣ =√

123


10. a) 19.1○ b) 38○

11. a)Ð→AB = (3,−3,1),

Ð→BC = (1,4,2),

Ð→CA = (−4,−1,−3),

2Ð→AC−3

Ð→AB = (−1,11,3),

Ð→AB+Ð→BC+Ð→CA = 0

b) najdulja je stranica ∣Ð→CA∣ =√

26

c) P(−12

,−12

,12)

12. Ð→a0 = (0,√

22

,−√

22

)

13. a)1√3

b) − 14√20

c) 4.6

14.√

62

15.Ð→F∥= (8

9,169

,169

),Ð→F⊥ = (10

9,29

,−79), Ð→a = (2,2,1), ∣Ð→a ∣ = 3, Ð→a0 = (2

3,23

,13)

16. a) 0 b) 2

17. a) (0,0,8) b) 9 c) (0,0,120)d) (16,8,−14) e) (−24,16,0)

18. a)√

4014 b)12

√3081

19. a) (−20,20,0) b) (42,−9,21)

20. 50

21. a) 33 b) −4 c) 4 i 2/3

1.2. Pravci i ravnine 57

1.2 Pravci i ravnine

U ovoj cjelini su pomocu jezika vektora opisani pravci i ravnine, najjed-nostavniji tzv linearni likovi, pomocu kojih cemo poslije opisivati složenijenelinearne likove u prostoru.

1.2.1 Pravci

Geometrijski je jasno da je pravac odreden jednom svojom tockom T0 ivektorom smjera Ð→s , tj vektorom paralelnim tom pravcu:

Do svake njegove tocke T možemo doci tako da krenemo od tocke T0 dužvektora Ð→s , iduci eventualno i u suprotnom smjeru odÐ→s , dakle iduci za tÐ→s ,gdje je t neki realni broj

To znaci je radijus vektor Ð→r T svake tocke T oblika

Ð→r T =Ð→r T0 + tÐ→s , t ∈R


Ovo je parametarska vektorska jednadžba pravca. Ona daje uvjet kadce neka tocka T pripadati pravcu - upravo onda kada postoji skalar t (pa-rametar te tocke) takav da vrijedi prethodna jednakost. Neka tocka T imakoordinate (x, y, z), tocka T0 koordinate (x0, y0, z0), i nek je vektor smjeraÐ→s = (a,b, c). Raspišemo li ovu vektorsku jednadžbu po komponentama

(x, y, z) = (x0, y0, z0)+ t(a,b, c) = (x0+ ta, y0+ tb, z0+ tc)

i usporedimo li komponente dobit cemo tri skalarne jednadžbe

x = x0+ ta

y = y0+ tb

z = z0+ tc, t ∈R

Nazivamo ih sustav parametarskih jednadžbi pravca. Pogledajmo najednom primjeru na koji nacin one odreduje pripada li neka tocka pravcu.

Primjer 1.2.1. Nadimo jednadžbu pravca koji prolazi tockom T0 = (1,2,3)a vektor smjera mu je Ð→s = (4,5,6). Nadite još jednu (pored T0) tocku na tompravcu. Pripada li tocka T = (9,12,16) tom pravcu?. U kojoj tocki pravacsjece xy ravninu?

Rješenje: Kad znamo tocku kroz koju pravac prolazi i njegov vektorsmjera tad znamo i taj pravac. Upravo to nam daje prethodna formula.Poznavajuci koordinate tocke na pravcu i komponente vektora smjera, izformule možemo dobiti njegovu jednadžbu:


x = 1+4t

y = 2+5t

z = 3+6t, t ∈R

Izaberemo li bilo koji broj za parametar t dobit cemo jednu tocku na pravcu.Npr za t = 1 dobit cemo tocku T = (5,7,9). Kažemo da je t = 1 parametarili koordinata te tocke. Za npr t = −0.1 dobit cemo tocku s koordinatama(0.6,1.5,2.4), itd. Zato još kažemo kažemo i da parametrom t generiramokrivulju. Na taj nacin i crtamo krivulju u nekom softwareu - u programskojpetlji povecavamo parametar t za neki mali iznos od neke pocetne doneke krajnje vrijednosti i generiramo gusti niz tocaka na krivulji. Poštonam je za crtanje krivulje dovoljan jedan parametar, to pravac zovemojednodimenzionalnim likom. Ovako uspostavljena bijekcija izmedutocaka pravca i realnih brojeva je u stvari jedan koordinatni sustavna pravcu, gdje svaka tocka ima svoju koordinatu, parametar t kojim jeodredena:

Pitanje pripada li neka tocka pravcu svodi se na pitanje ima li svojparametar. Tako, da bismo vidjeli pripada li tocka T = (9,12,16) ovompravcu moramo vidjeti postoji li t takav da je

9 = 1+4t

12 = 2+5t

16 = 3+6t


tj. ima li ovaj skup jednadžbi rješenje. Rješenja prva dva uvjeta je t = 2,

dok je rješenje treceg uvjeta t = 136

pa ovaj sustav jednadžbi nema rješenje.

Dakle tocka T = (9,12,16) ne pripada ovom pravcu.

Presjecište pravca i xy ravnine je neka tocka P = (x, y, z) koja leži i napravcu i na xy ravnini. Pošto leži na xy ravnini z koordinata joj mora biti 0.Tako cemo njene koordinate dobiti iz sljedeceg sustava jednadžbi:

x = 1+4t

y = 2+5t

z = 3+6t

z = 0

Lako cemo iz predzadnje jednadžbe dobiti da je t =−0.5, a onda iz prve dvijejednadžbe preostale koordinate x =−1 i y =−0.5. Tako je traženo presjecištetocka T = (−1,−0.5,0).

Y

Primjer 1.2.2. Nadimo jednadžbu pravca koji

a) prolazi tockama A = (1,−1,1) i B = (2,1,0)

b) prolazi tockom X = (−2,0,1) i paralelan je pravcu x = 2− t, y =−2+2t, z =3−2t

Rješenje: a) Rekli smo da naci pravac (tj. njegovu jednadžbu) znaci nacijednu njegovu tocku T0 i jedan njegov vektor smjera Ð→s . Ovdje imamo dvijetocke na raspolaganju pa cemo izabrati jednu, recimo T0 = A = (1,−1,1). Zavektor smjera možemo uzeti vektor od jedne tocke do druge, recimo Ð→s =Ð→AB =Ð→OB−Ð→OA = (2,1,0)− (1,−1,1) = (1,2,−1). Tako je tražena jednadžbapravca x = 1+ t, y =−1+2t, z = 1− t


b) Tocku znamo, T0 = X = (−2,0,1), a paralelnost znaci da pravci imajuiste vektore smjera. Kao što iz tocke i vektora smjera možemo generiratijednadžbu pravca, tako iz jednadžbe pravca možemo išcitati tocku (tosu slobodni koeficijenti jednadžbe) i vektor smjera (to su koeficijenti uzparametar). Tako npr iz jednadžbe pravca x = 2− t, y = −2+2t, z = 3−2tmožemo jednostavno išcitati jednu tocku na pravcu T(2,−2,3) (t = 0) i vektorsmjera Ð→s = (−1,2,−2). To je, zbog paralelnosti, ujedno i vektor smjerapravca kojeg tražimo pa je njegova jednadžba x =−2− t, y = 2t, z = 1−2t.

Y

Dva pravca mogu ležati u istoj ravnini na nacin da se sijeku ili se nesijeku (tad kažemo da su paralelni, pri cemu još smatramo da je svakipravac paralelan samom sebi) ili pak ne leže u istoj ravnini. Sve se tojednostavno može ispitati pomocu njihovih vektora smjera i izborom pojedne tocke (medusobno razlicitih) na svakom pravcu:


To možemo ispitati tako da ispitamo paralelnost i da ispitamo imaju lizajednicku tocku. Podsjetimo se, paralelnost dvaju vektora Ð→s1 i Ð→s2 možemoispitati tako da ispitamo jesu li komponente jednog vektora za isti faktorumnožene komponente drugog vektora, tj postoji li broj α takav da jeÐ→s1 =α ⋅Ð→s2.

Primjer 1.2.3. Ispitajmo medusobni odnos sljedecih parova pravaca:

a) p1: x = 3+2t, y = 4− t, z = 5+ t, p2: x = 1−4t, y = 3+2t, z = 1−2t

b) p1: x = 2t, y = 2+ t, z = 3, p2: x = 4− t, y = 3, z =−1+2t

c) p1: x = 1− t, y = 1+ t, z = t, p2: x = t, y = 2t, z = 2+ t

Rješenje:

a) Vektori smjera ovih pravaca su redom Ð→s1 = (2,−1,1) i Ð→s2 = (−4,2,−2).Da bismo dobili komponente drugog vektora trebamo odgovarajuce kom-ponente prvog vektora pomnožiti s −2, pa su ovi vektori paralelni, a takoi pripadni pravci. Uzmimo tocki T1 = (3,4,5) s prvog pravca i tockuT2 = (1,3,1) s drugog pravca. Da bismo dobili recimo prvu komponentuvektoraÐ→s1 = (2,−1,1) moramo prvu komponentu vektora

ÐÐÐ→T1T2 = (−2,−1,−4)

pomnožiti s −1. Medutim, ako tim brojem pomnožimo drugu komponentuvektora

ÐÐÐ→T1T2 = (−2,−1,−4) necemo dobiti drugu komponentu vektora Ð→s1 =

(2,−1,1). To znaci da ovi vektori nisu paralelni, odnosno radi se o razlicitimparalelnim pravcima.

Kako bismo utvrdili udaljenost ovih pravaca? Prije svega utvrdimo štoje udaljenost dvaju skupova. Udaljenost dvaju skupova S1 i S2 jeudaljenost dviju medusobno najbližih tocaka od kojih je jedna u jednomskupu a druga u drugom:


Specijalno, ako u jednom skupu imamo samo jednu tocku, tad je toudaljenost te tocke do skupa:

Kod dva paralelna pravca lako je vidjeti da je svaka tocka na jednom pravcujednako udaljena od drugog pravca, i najbliži put je po okomici premadrugom pravcu:

U našem primjeru jeÐÐÐ→T2T1 = (2,1,4) i Ð→s2 = (−4,2,−2) pa je tražena udalje-

nost jednaka


Ovu udaljenost možemo jednostavnije izracunati ako primijetimo da jeona visina paralelograma. Izjednacavanjem dvije formule za površinuparalelograma dobit cemo da je

d ⋅ s2 = ∣Ð→s2 ×ÐÐÐ→T2T1∣

odakle racunski nešto lakše dobijemo d nego preko projekcija, kako smo miracunali.

b) Vektori smjera ovih pravaca su redom Ð→s1 = (2,1,0) i Ð→s2 = (−1,0,2).Nijednim brojem ne možemo pomnožiti zadnju komponentu prvog vektorada dobijemo zadnju komponentu drugog vektora, pa oni nisu paralelni.Ispitat cemo da li se sijeku tako da cemo ispitati postoji li presjecište, tockaP = (x, y, z) koja leži i na jednom i na drugom pravcu. Njene koordinatemoraju tako zadovoljavati i jednadžbu jednog i jednadžbu drugog pravca,odnosno moraju biti rješenje sljedeceg sustava jednadžbi (parametri t1 i t2ove tocke na raznim pravcima nisu nužno isti):

x = 2t1, y = 2+ t1, z = 3, x = 4− t2, y = 3, z =−1+2t2

Ovo je sustav od 6 jednadžbi s 5 nepoznanica. Medutim, lako možemo eli-minirati nepoznanice x, y i z. Dobit cemo tri jednadžbe s dvije nepoznanice:

2t1 = 4− t2

2+ t1 = 3


3 =−1+2t2

Iz druge dvije jednadžbe lako cemo dobiti da je t1 = 1 i t2 = 2. Moramojoš provjeriti zadovoljavaju li ti brojevi prvu jednadžbu. Kad je ne bizadovoljavali, tad sustav ne bi imao rješenje, tj pravci se ne bi sjekli.Medutim, zadovoljavaju je, pa sustav ima rješenje, tj. postoji presjecišteovih tocaka. Iz prethodnih jednadžbi lako možemo utvrditi da je to tockaP = (2,3,3).

Da smo u prethodnim jednadžbama uzeli isti parametar što bi nam tadrješenje sustava znacilo? Ako zamislimo da jednadžba prvog pravca opisujegibanje cestice, tj. jednadžba kazuje gdje se cestica nalazi u trenutku t, i dajednadžba drugog pravca takoder opisuje gibanje neke druge cestice, tad bipostojanje rješenja sustava znacilo da su se te cestice sudarile u trenutku tna mjestu x, y, z koji je rješenje sustava.

c) Vektori smjera ovih pravaca su redom Ð→s1 = (−1,1,1) i Ð→s2 = (1,2,1). Lakose možemo uvjeriti da ovi vektori nisu paralelni. Analogno prethodnomzadatku, rješavali bismo sustav jednadžbi i ustanovili da sustav nemarješenja. To znaci da su ovi pravci mimoilazni.

Odgovorimo još na pitanje koliko su udaljeni ovi pravci? Vjerujemo daje intuitivno prihvatljivo da su najbliže tocke ovih pravaca tocke cija jespojnica okomita i na jedan i na drugi pravac:

Ta udaljenost je jednaka udaljenosti tocke T2 = (0,0,2) od ravnine kojuodreduju tocka T1 = (1,1,0) i vektori Ð→s1 = (−1,1,1) i Ð→s2 = (1,2,1). Ona jetako jednaka iznosu projekcije vektora

ÐÐÐ→T1T2 na smjer okomit na vektore Ð→s1

i Ð→s2, tj. iznosu projekcije na njihov vektorski produkt:


d = ∣ÐÐÐ→T1T2 ⋅(Ð→s1 ×Ð→s2)0∣

Racunanje nam daje

Y

1.2.2 Ravnine

Geometrijski je jasno da je ravnina odredena jednom svojom tockom T0 ivektorom normale Ð→n , tj vektorom okomitim na tu ravninu

Da je Ð→n okomit na ravninu znaci da je okomit na svaki vektor u ravnini.Upravo nam to daje uvjet pripadnosti neke tocke T ravnini:

Tocka T pripada ravnini odredenoj tockom T0 i vektorom normale Ð→nupravo onda kad je Ð→n ⊥ÐÐ→T0T:


To znaci da skalarni produkt vektora mora biti jednak nuli

Ð→n ⋅ÐÐ→T0T = 0

Ovo je vektorska jednadžba ravnine. Ovaj vektorski uvjet na pripadnosttocke ravnini lako možemo pretvoriti u skalarni uvjet na koordinate tocke.Neka tocka T ima koordinate (x, y, z), tocka T0 koordinate (x0, y0, z0), inek je vektor normale Ð→n = (A,B,C). Raspisan preko komponenti prethodniuvjet glasi

(A,B,C) ⋅(x− x0, y− y0, z− z0) = 0

odnosno

A(x− x0)+B(y− y0)+C(z− z0) = 0

Ovo je skalarna jednadžba ravnine poznate tocke i vektora normale.Izmnožimo li zagrade dobit cemo tzv. implicitnu jednadžbu ravnine

Ax+By+Cz+D = 0

gdje je D neki broj koji dobijemo množenjem zagrada. Za razliku odparametarskih jednadžbi pravca ovdje imamo direktan uvjet na koordinatetocke.

Primjer 1.2.4. Nadimo jednadžbu ravnine kojoj pripada tocka T0 = (1,2,3)a vektor normale joj je Ð→n = (4,5,6). Nadite još jednu (pored T0) tocku na tojravnini. Pripada li tocka T = (0,2,4) toj ravnini?. U kojoj tocki x os sijeceovu ravninu?


Rješenje: Jednadžbu ravnine lako postavimo:

4(x−1)+5(y−2)+6(z−3) = 0

Izmnožimo li zagrade dobit cemo

4x+5y+6z−32 = 0

Koordinate neke tocke na ravnini možemo dobiti tako da joj odredimo dvijekoordinate i iz jednadžbe odredimo trecu koordinatu. Npr. uzmemo li x = 7i y = 8 preostalu koordinatu z cemo dobiti iz jednadžbe:

4 ⋅7+5 ⋅8+6z−32 = 0

Odatle lako dobijemo da je z =−6 pa tocka s koordinatama (7,8,−6) pripadaravnini.

Da bismo vidjeli pripada li neka tocka ravnini trebamo samo provjeritizadovoljavaju li njene koordinate jednadžbu ravnine. Za tocku T = (0,2,4)moramo provjeriti je li

4 ⋅0+5 ⋅2+6 ⋅4−32 = 0

Pošto to nije istina ova tocka ne pripada ravnini

U kojoj tocki x os sijece ovu ravninu dobit cemo tako da tražimo tocku Pkoja je i na ovoj osi i na ravnini. Pošto je na x osi njena y i z koordinata sujednake nuli pa je to tocka P = (x,0,0). Pošto mora pripadati ravnini morazadovoljavati njenu jednadžbu:

4 ⋅ x+5 ⋅0+6 ⋅0−32 = 0

Odatle cemo lako dobiti da je x = 8, odnosno da je presjecište tocka P =(8,0,0)

Y


Primjer 1.2.5. Nadimo jednadžbu ravnine

a) koja prolazi tockama A(0,0,1), B(0,1,0) i C(1,0,0). Koliko je ta ravninaudaljena od ishodišta?

b) koja prolazi ishodištem i paralelna je ravnini x+2y+3z−4 = 0

c) koja prolazi tockom X(2,1,1) i okomita je na pravac x = 1−t, y = 1+t, z = t.U kojoj tocki se sijeku pravac i ravnina?

Rješenje: a) Naci jednadžbu ravnine znaci naci joj jednu tocku i jedanvektor normale. Ovdje imamo tri tocke na raspolaganju, pa možemo uzetinpr. tocku A, dok za vektor normale možemo uzeti vektorski produktvektora

Ð→AB i

Ð→AC:

T0 = X(2,1,1)

Ð→n =Ð→AB×Ð→AC = ((0,1,0)−(0,0,1))×((1,0,0)−(0,0,1)) = (0,1,−1)×(1,0,−1) =(−1,−1,−1)

Tako je jednadžba ravnine −(x−2)− (y−1)− (z−1) = 0 tj. −x− y− z+4 = 0,ili, još malo jednostavnije, x+ y+ z−4 = 0

Iz sljedece slike vidimo kako naci udaljenost proizvoljne tocke T od ravnine:


U našem slucaju jeÐÐ→T0T = (0,0,0)−(2,1,1) = (−2,−1.−1) i Ð→n0 =

(−1,−1,−1)√3

,

pa cemo dobiti d = ∣ 1√3(−2,−1.−1) ⋅(−1,−1,−1)∣ = 4√

3= 4

√3

3

b) Tocka koja pripada ravnini je tocka T(0,0,0). Za vektor normale, zbogparalelnosti možemo uzeti vektor normale ravnine x+2y+3z−4 = 0. Kaošto iz tocke i vektora normale možemo dobiti jednadžbu ravnine, takoiz jednadžbe ravnine možemo dobiti jednu njenu tocku (uzmemo dvijekoordinate tocke proizvoljno, uvrstimo ih u jednadžbu, pa trecu izracunamoiz jednadžbe) i vektor normale (komponente vektora normale su koeficijentiuz nepoznanice u jednadžbi). Tako je u našem slucaju vektor normaleÐ→n = (1,2,3). Sad možemo naci jednadžbu tražene ravnine: x+2y+3z = 0.

c) Tocku ravnine znamo, T0 = X = (2,1,1), a iz uvjeta okomitosti na pravacslijedi da za vektor normale ravnine možemo uzeti vektor smjera pravca,Ð→n =Ð→s = (−1,1,1).

Tako je jednadžba tražene ravnine −(x−2)+(y−1)+(z−1) = 0, tj. −x+y+z = 0


Presjecište pravca i ravnine je tocka P(x, y, z) koja leži i na ravnini i napravcu, pa njene koordinate moraju zadovoljavati i jednadžbu ravnine ijednadžbu pravca:

−x+ y+ z = 0, x = 1− t, y = 1+ t, z = t

Ovaj sustav nije teško riješiti jer zadnje tri jednadžbe izražavaju preostalenepoznanice pomocu t, pa uvrštavanjem tih izraza u prvu jednadžbudobivamo jednu jednadžbu s jednom nepoznanicom:

−(1− t)+1+ t+ t = 0

Iz nje lako dobijemo da je t = 0. Uvrštavanjem u preostale jednadžbedobivamo koordinate tocke P: x = 1, y = 1, z = 0.

Y

Pomocu istaknute tocke i vektora normale, odnosno pomocu jednadžberavnine lako možemo ispitati u kakvom su odnosu dvije ravnine

Primjer 1.2.6. Ispitajmo u kakvom su odnosu ravnine 3x+ y+ z − 4 = 0 ix+ y− z = 0.


Rješenje: Vektori normala ovih ravnina su redom Ð→n1 = (3,1,1) i Ð→n2 =(1,1,−1). Oni nisu paralelni pa se ove ravnine sijeku. Nadimo jednadžbupresjecnog pravca. Jednu tocku na pravcu cemo naci tako da nademo tockukoja leži na obje ravnine, odnosno cije koordinate zadovoljavaju sustavjednadžbi 3x + y + z − 4 = 0, x − y − z = 0. Da bismo dobili jedno rješenjeproizvoljno cemo odabrati vrijednost jedne koordinate, npr y = 0. Uvrstimoli u sustav dobit cemo 3x+ z−4 = 0 i x− z = 0. Rješavanjem lako dobijemoda je x = z = 1. Tako je tražena tocka T0 = (1,0,1). Vektor smjera Ð→s cemodobiti uocivši da pošto pravac pripada jednoj ravnini, njegov vektor smjeraÐ→s je okomit na vektor normale te ravnine, a pošto pripada drugoj ravnini,okomit je i na njen vektor normale. Dakle, možemo uzeti da je Ð→s =Ð→n1×Ð→n2:

Tako je Ð→s = (3,1,1)×(1,−1.−1) = (−2,4,2), pa je tražena jednadžba pravcax = 1 − 2t, y = 4t, z = 1 + 2t. Poslije xxx malo ispod cemo vidjeti jedanjednostavniji nacin dobivanja jednadžbe presjecnog pravca.

Y

Opišimo sada i u kakvom odnosu mogu biti pravac i ravnina:


Primjer 1.2.7. Ispitajmo u kakvom su odnosu pravac x = 1+2t, y =−4t, z =1+4t i ravnina −x+2y−2z+2 = 0.

Rješenje: Lako je vidjeti da su vektor smjera ravnine Ð→s = (2,−4,4)i vektor normale ravnine Ð→n = (−1,2,−2) medusobno paralelni. Takopreostaje vidjeti leži li pravac u ravnini ili ne. To možemo utvrditi ispitujucije li vektor koji spaja tocku ravnine i tocku pravca okomit na vektornormale, ali i jednostavnije, ispitujuci zadovoljava li jedna tocka pravcajednadžbu ravnine. Tako cemo ispitati zadovoljava li tocka na pravcuT0 = (1,0,1) jednadžbu ravnine: −1+ 2 ⋅ 0− 2 ⋅ 1+ 2 = 0? Ne, pa pravac neleži u ravnini. Y

1.2.3 Implicitne i parametarske jednadžbe

U prostoru je prirodno (ugodno) pravac opisati parametarskim jednadž-bama, a ravninu implicitnom jednadžbom. Medutim, možemo i pravacopisati implicitnim jednadžbama, a ravninu parametarskim. Sad cemopokazati kako.

U primjeru xxx tri poviše vidjeli smo da se ravnine 3x+y+z−4 = 0 i x+y−z = 0 sijeku. Koristeci vektorski racun, dobili smo parametarsku jednadžbupresjecnog pravca x = 1−2t, y = 4t, z = 1+2t. Medutim, pravac možemo opisatii direktno, kao presjecište ravnina, i uzeti sustav jednadžbi tih ravnina


3x+ y+ z−4 = 0, x+ y− z = 0

za njegov opis. Pripada li neka tocka ovom pravcu jednostavno utvr-dimo tako da ispitamo zadovoljavaju li njene koordinate ovaj sustav jed-nadžbi. Tako ovaj sustav jednadžbi zovemo sustav implicitnih jednadžbipravca. Iz njega jednostavno možemo dobiti parametarsku jednadžbupravca (jednostavnije nego u prijašnjem primjeru) tako da prikažemo izsustava dvije nepoznanice pomocu trece. Npr. prikazat cemo x i y pomocu z,odnosno rješavat cemo sustav po nepoznatim x i y za zadani z. Oduzmemoli jednadžbe dobit cemo 2x + 2z − 4 = 0, tj. x = 2− z. Zamijenimo li takonepoznanicu x u drugoj (npr.) jednadžbi dobit cemo da je y = 2z−2. Takosmo obje nepoznanice izrazili pomocu z

x = 2− z, y =−2+2z.

Podsjetimo se što je parametar. To je velicina koju variramo da bismogenerirali sve tocke na pravcu. Mi smo je do sada više manje formalnouvodili kao broj kojim trebamo ”rastezati” vektor smjera da bismo došlido neke tocke. Medutim taj parametar može imati fizikalno znacenje(npr. vrijeme ako smatramo da parametarske jednadžbe opisuju gibanjecestice) ili geometrijsko znacenje. Upravo je to ovdje slucaj: nama jeparametar z koordinata, jer upravo njome generiramo cijeli pravac! Punizapis parametarskih jednadžbi glasi

x = 2− z, y =−2+2z, z = z

Zadnja jednadžba možda zvuci malo smiješno. Zato neki parametar nazovut, pa parametarska jednadžba glasi x = 2− t, y =−2+2t, z = t. No mi cemo sedržati tzv Occamove britve, metodološkog principa po kojem treba odbacitisve što je suvišno (Pluralitas non est ponenda sine neccesitate) pa necemoduplicirati oznake i kamuflirati smisao parametra.

Prethodno smo vidjeli kako iz implicitnih jednadžbi pravca možemodobiti parametarske jednadžbe pravca. Obratno, iz parametarskih jed-nadžbi možemo dobiti implicitne tako da iz sustava jednadžbi eliminiramoparametar. Npr. nek je parametarska jednadžba pravca x = 2−3t, y = 1− t,z = 1+2t. Ovdje je najednostavnije izraziti iz srednje jednadžbe t pomocu yi napraviti odgovarajucu zamjenu u preostalim jednadžbama:


y = 1− t → t = 1− y → x = 2−3(1− y), z = 1+2(1− y)

Tako smo dobili sustav implicitnih jednadžbi pravca, kao presjecišta odgo-varajucih ravnina:

x =−1+3y, z = 3−2y

Primjer 1.2.8. Nadimo implicitne jednadžbe pravca x = 2−2t, y = 1+4t, z =2+ t i prevedimo ih nazad u parametarske.

Rješenje: Iz zadnje jednadžbe je najjednostavnije izraziti t pomocu z.Uradimo li odgovarajucu zamjenu u preostalim jednadžbama, nakon sre-divanja cemo dobiti implicitne jednadžbe pravca: x+ 2z − 6 = 0, y− 4z = 7.Kad bismo iz ovih jednadžbi išli dobiti parametarske prirodno bi bilo uzetiz za parametar: x = 6−2z, y = 7+4z, z = z.

Y

Mada je za ravninu prirodnija implicitna jednadžba, i ona ima svojeparametarske jednadžbe. Njih možemo dobiti iz vektorskih razmatranja.Naime ravninu odreduje jedna tocka T0 i dva nekolinearna vektora Ð→s1 i Ð→s1koji leže u toj ravnini

Svaku tocku u ravnini možemo dobiti tako da krenemo od tocke T0 prvo dužvektora Ð→s1 pa onda duž vektora Ð→s2:


Ð→r T =Ð→r T0 +uÐ→s1 +vÐ→s2, u,v ∈R

Ovo je vektorska parametarska jednadžba ravnine. Varirajuci u i v(parametre) možemo dobiti sve tocke u ravnini. Drugim rijecima, da bineka tocka pripadala ravnini moraju postojati realni brojevi u i v koji poparametarskoj jednadžbi ravnine generiraju radijus vektor te tocke. Ovdjeimamo dva parametra, jer je ravnina dvodimenzionalan skup tocaka. Oveparametarske jednadžbe uvode koordinatni sustav u ravnini kojem tockaT0 odreduje ishodište dok vektori Ð→s1 i Ð→s1 odreduju osi i jedinice mjere nasvakoj osi: svaka tocka je preko njih povezana s parom brojeva (u,v)

Raspišimo vektorsku parametarsku jednadžbu po komponentama. Nekaje T0 = (x0, y0, z0), Ð→s1 = (a1,b1, c1), Ð→s2 = (a2,b2, c2),a T = (x, y, z) proizvoljnatocka ravnine. Tad parametarska jednadžba glasi

(x, y, z) = (x0, y0, z0)+u(a1,b1, c1)+v(a2,b2, c2) = (x0+ua1+va2, y0+ub1+vb2, z0+uc1+vc2)

Tako dobijemo tri skalarne jednadžbe

x = x0+ua1+va2

y = y0+ub1+vb2

z = z0+uc1+vc2

koje nazivamo sustav parametarskih jednadžbi ravnine.


Primjer 1.2.9. Nadimo parametarske jednadžbe ravnine koja prolazi toc-kom T0 = (1,2,3) i u njoj leže nekolinearni vektori Ð→s1 = (3,2,1) i Ð→s2 = (2,1,3).Prevedimo te jednadžbe u implicitnu jednadžbu ravnine, te tako dobivenuimplicitnu jednadžbu prevedimo na što jednostavnije parametarske jed-nadžbe.

Rješenje: Parametarske jednadžbe cemo dobiti uvrštavanjem u pret-hodno napisane formule za parametarske jednadžbe

x = 1+3u+2v

y = 2+2u+v

z = 3+u+3v

Implicitnu jednadžbu možemo dobiti bilo da izracunamo vektor normaleÐ→n =Ð→s1 ×Ð→s1 (što je lakše), bilo da u prethodnom sustavu jednadžbi iz dvijejednadžbe izrazimo u i v pomocu dvije nepoznanice i uradimo odgovarajucuzamjenu u trecu jednadžbu (što je obicno teže). Izabrat cemo lakši nacin,Ð→n = (3,2,1)×(2,1,3) = (5,−7,−1), pa je implicitna jednadžba ravnine 5(x−1)−7(y−2)−(z−3) = 0, tj 5x−7y− z+12 = 0.

Prijelaz s implicitne jednadžbe na parametarske je jednostavan, samotrebamo jednu nepoznanicu izraziti pomocu preostale dvije. Npr. z =12+5x−7y. Parametri su nam naprosto x i y jer njima generiramo cijelujednadžbu. Potpun parametarski zapis glasi

x = x

y = y

z = 12+5x−7y

”Napušemo” li još malo te jednadžbe:

x = 0+ x+0y


y = 0+0x+ y

z = 12+5x−7y

možemo lako išcitati jednu tocku u ravnini T0 = (0,0,12) (prvi stupac), jedanvektor u ravnini Ð→s1 = (1,0,5) (koeficijenti uz parametar x) i drugi vektor uravnini Ð→s2 = (0,1,−7)

Y

1.2.4 Krivulje i plohe

Pravci su najjednostavnije krivulje, ne samo geometrijski nego i algebarskigledano. Imaju najjednostavniju parametarsku jednadžbu:

Ð→r T = (x0+at, y0+bt, z0+ ct) t ∈R

Svaka komponenta radijus vektora linearno ovisi o parametru. Cim sepojavi clan t2 ili sin t i sl. gubi se linearnost. Tako je npr. jednadžba

Ð→r (t) = ( cost,sin t, t), t ∈R

parametarska jednadžba zavojnice:

Proizvolja parametarska jednadžba je oblika

Ð→r (t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I


gdje je I neki jednostavan skup, obicno interval brojeva, iz kojeg uzimamovrijednosti parametra. Opcenito govoreci, parametarske jednadžbe krivuljenije lako dobiti. One slijede iz nekih mehanickih ili geometrijskih razma-tranja. Krivulje mogu biti putanje gibanja cestica. Iz Newtonovih zakonase može dobiti jednadžba gibanja cestice, odnosno parametarska jednadžbaputanje (tad je parametar t vrijeme. Tako je zavojnica putanja elektrickinabijene cestice u homogenom magnetskom polju paralelnom osi zavojnice.Geometrijski zavojnicu možemo opisati kao krivulju na plohi valjka kojase ”penje” pod stalnim kutom u odnosu na bazu valjka: U prethodnomprimjeru to je kut od 45circ:

Ovdje je parametar t kut rotacije u odnosu na x os.

Ravnine su najjednostavnije plohe, ne samo geometrijski nego i algebar-ski. Imaju najjednostavniju implicitnu jednadžbu:

Ax+By+CZ+D = 0

Uvjet da tocka pripada ravnini je uvjet da odredena afina kombinacija (kom-binacija tipa lijeve strane jednadžbe) bude jednaka nuli. Nema ni kvadratanepoznanica niti umnožaka nepoznanica niti su nepoznanice obuhvacenekompliciranijim funkcijama, npr trigonometrijskim ili logaritamskim. Takonpr. jednadžba x2+ y2− z = 0 nije takvog oblika, pa nije jednadžba ravnine.To je jednadžba tzv. paraboloida, plohe koja nastaje rotacijom parabole okoz−osi. Ovdje se necemo baviti metodama prostornog skiciranja takvih plohavec cemo ih nacrtati pomocu odgovarajuceg softwarea:


Krivulje i plohe, kao i pravci i ravnine, mogu imati i parametarskejednadžbe (koordinate su dane nekim izrazima pomocu parametara) i im-plicitne jednadžbe (koordinate moraju zadovoljavati neke jednadžbe). Cestosu krivulje zadane kao presjecišta ploha, dakle sustavom dvije jednadžbe stri nepoznanice. Npr. sljedeca krivulja je presjecište paraboloida i ravnine:

Nama ce u daljnjem trebati parametarske jednadžbe krivulja. Iz sustavaimplicitnih jednadžbi se ponekad mogu relativno jednostavno prikazatidvije koordinate pomocu trece. Npr. u našem slucaju sve možemo prikazatipomocu z (riješimo sustav po x i y):

y = z, x =±√

z− z2, z ∈ [0,1]

Nezavisna koordinata z generira preostale koordinate pa je možemo uzetiza parametar. Tako imamo parametrizaciju ove krivulje:

Ð→r (z) = (±√

z− z2, z, z), z ∈ [0,1]

U stvari imamo dvije parametarske jednadžbe za dva dijela krivulje (prednjidio ”ide” s predznakom + a zadnji s −).


Ponekad je zgodnije prikazati sve tri koordinate pomocu neke druge ge-ometrijske velicine koja tad ima ulogu parametra. Npr. u našem slucajumožemo koordinate x i y zamijeniti s polarnim koordinatama ϕ i ρ:

Uradimo li tu zamjenu u jednadžbama z = x2 + y2, z = y, dobit cemo nakonsredivanja vezu izmedu novih nepoznanica (koordinata): z = ρ2, z = ρ sinϕ.Eliminiravši z iz sustava možemo dobiti kako ρ ovisi o ϕ: ρ = sinϕ. Toznaci da kad idemo po krivulji i x i y i z ovise o ϕ: x = sinϕcosϕ =12

sin2ϕ, y = sin2ϕ = 12(1− cos2ϕ), z = sin2ϕ = 1

2(1− cos2ϕ) (u sredivanju

su korištene trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta). Tako ϕ možemouzeti za parametar krivulje:

Ð→r (z) = (12

sin2ϕ,12(1−cos2ϕ),

12(1−cos2ϕ)), ϕ ∈ [0,π]

Ne samo da sad imamo parametarsku jednadžbu za cijelu krivulju, vec seova parametarska jednadžba pokazuje boljom za tipove problema kojimacemo se poslije baviti.

Opcenito govoreci, parametarske jednadžbe nije lako naci, i trebalibismo dosta vremena da razvijemo razlicite tehnike njihova nalaženja. Mito necemo raditi vec cemo se koristiti gotovim parametarskim jednadžbamakao ulazima u rješavanje problema kojima cemo se baviti. Primjetimoda, kao i kod pravca, parametarska jednadžba uvodi koordinatni sustavna krivulju: svakoj tocki možemo pridružiti njen (obicno jedinstveni)parametar


Mada su plohe uglavnom zadane implicitnim jednadžbama, nama ce iza plohe trebati parametarske jednadžbe. One su oblika

Ð→r (u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), u,v ∈ P

gdje je P neki obicno jednostavni skup iz kojeg biramo vrijednosti para-metara. U slucaju ravnina kompomente su afine kombinacije parametara.Naravno, sad su prisutna dva parametra jer su plohe dvodimenzionalnilikovi. Parametarsku jednadžbu možemo dobiti tako da iz jednadžbe ploheizrazimo jednu nepoznanicu pomocu dvije. U slucaju paraboloida x2+y2−z =0 jednostavno je izraziti z pomocu preostale dvije nepoznanice: z = x2 + y2.Nepoznanice koje možemo slobodno birati ( iz nekog podrucja) možemouzeti za parametre. Tako ovaj izbor daje sljedecu parametarsku jednadžbuparaboloida:

Ð→r (x, y) = (x, y, z = x2+ x2), x, y ∈R

Ponekad se koordinate na plohi mogu zgodno prikazati pomocu nekedruge dvije velicine koje tada imaju ulogu parametara. Npr. svaka tockana paraboloidu je odredena svojom projekcijom na xy ravnini koja je opetodredena udaljenošcu ρ od ishodišta koordinatnog sustava i kutom ϕ uodnosu na x os pod kojim se mora ici (za ρ) prema njoj:


Tako imamo sljedecu parametarsku jednadžbu paraboloida:

Ð→r (ϕ,ρ) = (ρ cosϕ,ρ sinϕ, z = ρ2), ϕ ∈ [0,2π],ρ ∈ [0,∞]

Svaka parametrizacija plohe uvodi odgovarajuci koordinatni sustav naplohu, u kojem je svakoj tocki pridružen (obicno jedinstveni) par njenihparametara. Fiksiramo li jedan parametar, npr u, a variramo drugi v, tad jeto parametar jedne krivulje na plohi tzv v linije. Fiksiramo li v a variramo liu dobivamo u linije. Njih jednom rijecju zovemo koordinatne linije i onetvore koordinatnu mrežu na plohi. Prirodnija parametrizacija se ogledau prirodnijoj koordinatnoj mreži. Tako npr. xy parametrizacija paraboloidadaje prilicno kompliciranu koordinarnu mrežu dok ρϕ parametrizacija dajeprirodnu (jednostavnu) koordinatnu mrežu:

Tu se ne radi o ukusima što netko smatra prirodnijim (ednostavnijim)nego su to parametrizacije pomocu kojih se puno jednostavnije rješavajuproblemi kakve cemo mi poslije rješavati. Kao i kod krivulja, parametarskejednadžbe ploha, opcenito govoreci, nije lako naci, i mo se time necemobaviti. Obicno cemo koristiti ”gotove” parametarske jednadžbe kao ulaz uprobleme koje cemo rješavati.


Nakon ove cjeline citatelj treba razumjeti parametarske i implicitnejednadžbe pravaca i ravnina, te kako se pomocu njih postavljaju i rješavajuproblemi vezani za odnose pravaca i ravnina.



a) Nadite parametarske jednadžbe pravca koji prolazi tockom (1,2,−3) iima vektor smjera Ð→s = (1,2,3)

b) Nadite parametarske jednadžbe pravca kroz tocke A(1,2,3) i B(0,1,1).

c) Sijeku li se pravci x = 1+ t, y = 2− t, z = 1 i x =−2+ t, y = t, z = t+1

d) U kojem su odnosu pravci x = 1+ t, y = −2+3t, z = 4− t i x = 2t, y =3+ t, z =−3+4t?

e) Nadite jednadžbu ravnine kroz tocku (2,4,−1) kojoj je vektor normaleÐ→n = (2,3.4)

f) Nadite implicitnu jednadžbu ravnine koja prolazi tockom T(1,1,1) iokomita je na pravac x = 1− t, y = 2− t, z = 3−2t. Nadite presjecišteravnine i pravca.

g) Nadite jednadžbu ravnine koja sadrži tocke (1,2,3), (3,−1,6) i (5,2,0)

h) Nadite presjecište ravnine x−3y+5z−12 = 0 i pravca x = 3+8t, y =4+5t, z =−3− t

i) Nadite koliko su udaljene paralelne ravnine 10x+2y−2z−5 = 0 i 5x+y− z−1 = 0

j) U kakvom su medusobnom odnosu ravnine x+ y−2z−6 = 0 i 2x− y+z−2 = 0?

k) Nadite kut izmedu ravnina x+ y+ z−1 = 0 i x−2y+3z−1 = 0

l) Nadite parametarsku jednadžbu ravnine x+ y+2z−4 = 0

Rješenja

1. x = 1+ t, y = 2+2t, z =−3+3t

2. x = 1− t, y = 2− t, z = 3−2t


3. Ne

4. mimoilazni su

5. 2x+3y+4z−12 = 0

6. x+ y+2z−4 = 0, presjecište: (1/6,7/6,8/6)

7. 6x+10y+7z−50 = 0

8. (−21,−11,0)

9.√

3/6

10. sijeku se

11. ≃ 72○

12. x = 4− y−2z, y, z ∈R


1.3 Linearna preslikavanja

U ovoj cjelini su opisana linearna preslikavanja, najjednostavnija presli-kavanja prostora, pomocu kojih cemo u malome aproksimirati složenijapreslikavanja. Dok tocke i vektore reprezentiramo trojkama brojeva,linearna preslikavanja cemo reprezentirati matricama, tablicama brojeva.Pretpostavlja se da citatelj ima neki osnovni pojmovnik o matricama, madato nije nužno za daljnje izlaganje. Radi vece preglednosti, ogranicit cemose na ravninu, mada je teorija posve ista u trodimenzionalnom prostoru, pacak i u cetverodimenzionalnom prostoru, itd.

1.3.1 Linearna preslikavanja i matrice

Linearna preslikavanja ravnine su preslikavanja koja cuvaju jednuistaknutu tocku, koju cemo zvati ishodište i koja ce biti centar kartezijevogkoordinatnog sustava, i koja pravce preslikavaju u pravce ili (u krajnjemslucaju) u tocku. Takvo preslikavanje je npr. rotacija f oko ishodišta za kutα:

x

y

T [xy]

T′ [x′

y′]

α

f

Rotacija f primijenjena na tocku T daje tocku T′ = f (T). Medutim, štotreba raditi s koordinatama tocke T da bismo dobili koordinate tocke T′?

1.3. Linearna preslikavanja 87

[xy]

?→ [x′

y′]

U ovom kontekstu se pokazuje ugodnim tocku T(x, y) prezentirati tzvmatricom stupcem, tablicom koja ima samo jedan stupac

T = [xy]

Iz geometrijskih razmatranja se može dobiti da je veza koordinata sljedeca:

x′ = cosαx−sinαyy′ = sinαx+cosαy

Zanima nas kako kombinirati tablicu brojeva (matricu)

[cosα −sinαsinα cosα ]

sa stupcem koji prezentira tocku T da bismo dobili stupac koji prezentiratocku T′. Ovo kombiniranje cemo nazvati množenje matrica:

[x′

y′] = [cosα −sinαsinα cosα ][x

y]

Iz formule za vezu koordinata se vidi kako se radi to množenje. Ono se svodina množenje svakog retka matrice sa matricom stupcem, a ovo množenjeretka i stupca nije ništa drugo do skalarni produkt u malo drugacijojnotaciji. Npr množenje prvog retka sa stupcem daje

[cosα −sinα] ⋅[xy] = (cosα,−sinα) ⋅(x, y) = cosαx−sinαy

U koordinatnom razmatranju djelovanja rotacije na tocku prirodnonam se pojavila tablica brojeva koja opisuje to djelovanje. Takvu tablicu,kao što sam naziv kaže, razumijevamo vizuelno, kao odredeni ravninskiraspored brojeva. No to je samo graficki prikaz matematickog pojma


matrice. Situacija je slicna situaciji kod vektora. Vektore smo grafickipredstavljali strelicama, dok matrice graficki predstavljamo tablicamabrojeva. Intuitivno, kao što vektore možemo smatrati slobodnim strelicamakoje možemo pomicati u prostoru tako da im ne mijenjamo smjer i duljinu,tako i matrice možemo smatrati tablicama brojeva. No, ako želimo bitiprecizniji, tad vektore zamišljamo kao nove objekte pridružene strelicamana nacin da je strelicama istog smjera i duljine pridružen isti vektor. Istotako, ako želimo biti precizniji, i matrice moramo zamisliti apstraktnije,izvuci matematicku bit koja se krije u tabelarnom prikazu brojeva. A osnovatabelarnog prikaza jest da nije samo važno koji su brojevi u tablici veci kako su rasporedeni, na kojem mjestu je koji broj. Mjesto je odredenoretkom i stupcem u kojem se nalazi. Numeriramo li retke odozgo premadolje brojevima 1,2,3,... (prvi redak, drugi redak,...) i stupce slijeva nadesnobrojevima 1,2,3,... (prvi stupac, drugi stupac,...) tada svakom paru brojevaod kojih prvi numerira redak a drugi stupac, možemo pridružiti broj na tommjestu u tablici. Na primjer za matricu A

A =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

3 −2 1 07 4 −3 −10 −5 6 8

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

na mjestu (3,2), dakle na presjecištu treceg retka i drugog stupca, nalazi sebroj −5. Dakle paru brojeva (3,2) pridružen je broj −5. To možemo i ovakooznaciti:

A2,3 =−5 ili A(2,3) =−5

Ovo razmatranje nas navodi na to da je matrica u stvari funkcija koja paruprirodnih brojeva iz nekog skupa pridružuje broj. U ovom slucaju prvi brojmora biti iz skupa 1,2,3 (numere redaka) a drugi iz skupa 1,2,3,4 (numerestupaca). Da je matrica A funkcija s takvom domenom i skupom vrijednostijednakom skupu realnim brojeva oznacavamo

A ∶ {1,2,3}×{1,2,3,4}→R

i govorimo o matrici tipa 3×4.


Pojam matrice

Matrica A realnih brojeva tipa m × n je funkcija A ∶ {1,2, ...,m} ×{1,2, ...,n} Ð→ R. Takvu matricu prikazujemo tablicom s m redaka in stupaca u kojoj se na presjeku m-tog retka i n-tog stupca (na mjestu skooordinatama (i, j)) nalazi vrijednost matrice A(i, j) = A i, j. Zato je jošzapisujemo

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

A1,1 A1,2 ⋯ A1,nA2,1 A2,2 ⋯ A2,n⋯ ⋯ ⋯ ⋯

Am,1 Am,2 ⋯ Am,n

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Ako je m = n tada govorimo o kvadratnoj matrici reda n.. Ovdje cenas takve matrice zanimati.

Vrijednosti matrice još nazivamo i elementi ili clanovi ili kompo-nente matrice.

Primjer 1.3.1. Za matricu A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 34 −23 10 −1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

odredite kojeg je tipa i nadite A3,1 i

A4,2.

Rješenje: Matrica je tipa 4×2, A3,1 = 3 i A4,2 =−1. Y

Vratimo se našoj osnovnoj temi. Koordinatno gledano, djelovanje rota-cije na tocku svodi se na množenje matrice koordinata tocke odgovarajucommatricom. Može se pokazati da isto vrijedi za svako linearno preslikavanje.

Linearna preslikavanja i matrice


Svakom linearnom preslikavanju ravnine f pridružena je kvadratnamatrica koju nazivamo matricom linearnog preslikavanja i ozna-cavamo M f . Ako preslikavanje f djelujuci na tocku T s matricomkoordinata X , daje tocku T′ s matricom koordinata X ′, tada je X ′

umnožak matrice M f i matrice X :

T′ = f (T) ↔ X ′ = M f ⋅X

Primjer 1.3.2. Nadimo koordinate tocke T′ u koju rotacija za 90○ upozitivnom smjeru preslikava tocku T(1,2).

Rješenje: [x′

y′] = [cos90○ −sin90○

sin90○ cos90○ ][12] = [0 −1

1 0 ][12] = [−2

1 ] Y

Primjer 1.3.3. Nadimo matricu

1. ortogonalne projekcije tocke na x-os,

2. zrcaljenja preko x-osi

3. preslikavanja koje svaku tocku dvostruko udalji od x-osi.

Rješenje:

1. Kod ortogonalne projekcije na x-os, x-koordinata ostaje ista dok se y-koordinata anulira: x′ = x, y′ = 0. Matricni zapis ovih jednakosti je

[x′

y′] = [1 00 0][

xy]

pa je [1 00 0] matrica ortogonalne projekcije na x-os.

Analogno se može pokazati da je [1 00 0] matrica projekcije na y-os.


2. Kod zrcaljenja preko x-osi x-koordinata ostaje ista a y-koordinatapromijeni predznak: x′ = x, y′ = −y. Matricni zapis ovih jednakostije

[x′

y′] = [1 00 −1][

xy]

pa je [1 00 −1] matrica zrcaljenja oko x-osi.

Analogno se može pokazati da je [−1 00 1] matrica zrcaljenja oko y-osi.

3. Kod preslikavanja koje svaku tocku dvostruko udalji od x-osi x-koordinata ostaje ista a y-koordinata se udvostruci: x′ = x, y′ = 2y.Matricni zapis ovih jednakosti je

[x′

y′] = [1 00 2][

xy]

pa je [1 00 2] matrica tog preslikavanja.

Analogno se može pokazati da je [2 00 1] matrica preslikavanja koja

svaku tocku dvostruko udalji od y-osi. Y

Kako dobiti matricu linearnog preslikavanja? Mi smo do sada imalijednostavnije primjere u kojima smo našli skalarnu vezu koordinata kojusmo preveli u matricni zapis. Medutim matricu linearnog preslikavanjamožemo dobiti i direktnije. Vratimo se rotaciji u pozitivnom smjeru za kutα i primijenimo je na jedinicne vektore

Ð→i iÐ→j :

[cosαsinα] = [cosα −sinα

sinα cosα ][10]

[−sinαcosα ] = [cosα −sinα

sinα cosα ][01]

Vidimo da prvi stupac matrice reprezentira tocku u koju rotacija preslikavavektor

Ð→i (tocku (1,0)), a drugi stupac matrice reprezentira tocku u koju

rotacija preslikava vektorÐ→j (tocku (0,1)). Lako se uvjeriti da ovo vrijedi i


opcenito: stupci matrice su koordinate tocaka u koje linearna transformacijapreslikava jedinicne koordinatne vektore

Ð→i i

Ð→j . Ovo znaci da matricu

transformacije možemo naci tako da pogledamo u koje tocke transformacijapreslikava jedninicne koordinatne vektore. Možete, za vježbu, pokušati nataj nacin odrediti matrice linearnih preslikavanja opisanih u prethodnomprimjeru.

Linearna preslikavanja smo definirali geometrijski, kao preslikavanjakoja cuvaju ishodište i preslikavaju pravce u pravce ili tocku. Algebarskisu ona odredena upravo time da se mogu predstaviti matricama, tj izlaznevrijednosti su linearne kombinacije ulaznih vrijednosti. Iz toga slijedi da,gledano na vektorima, linearna preslikavanja prebacuju zbroj u zbroj f (Ð→a +Ð→b ) = f (Ð→a )+ f (Ð→b ) i preskacu skalar koji množi vektor f (αÐ→a ) = α f (Ð→a ).Operacije koje imaju takva svojstva veoma su znacajne i vrijedi ih posebnoistaknuti:

Linearne operacije

Neka operacija f preslikava objekte koje možemo zbrajati i množitibrojem u objekte koje takoder možemo zbrajati i množiti brojem. Akota operacija zbroj ulaza prebacuje u zbroj izlaza,

f (a+b) = f (a)+ f (b) aditivnost

a na α puta vecem ulazu daje α puta veci izlaz

f (αa) =α f (a) homogenost

tad kažemo da je to linearna operacija.

Tako su npr derivacija i integral linearne operacije nad funkcijama. Što sevažnosti takvih operacija tice dovoljno je reci da se vidimo zato jer svjetlostzadovoljava takve linearne uvjete.


1.3.2 Algebra linearnih preslikavanja i matrica

Djelovanje rotacije za 180○, gledano preko koordinata, je

[x′

y′] = [−1 00 −1][

xy]

Isto cemo dobiti ako tocku zarotiramo dva puta za 90○:

[x′

y′] = [0 −11 0 ][0 −1

1 0 ][xy].

Ovo nam pokazuje kako kombinirati matrice pojedinih preslikavanja dabismo dobili matricu kompozicije. Upravo takvo kombiniranje matricanazivamo množenje matrica. Polazeci od dvije proizvoljne matrice ianalizirajuci kako koeficijenti matrice kompozicije odgovarajucih preslika-vanja ovise o matricama tih preslikavanja dobili bismo eksplicite formuleza matricno množenje. Umjesto toga mi cemo se na ovom primjeru uvjeritida je pravilo za množenje matrica popcenje pravila kako se matrica množi smatricom stupcem. U našem slucaju mora biti

[0 −11 0 ][0 −1

1 0 ] = [−1 00 −1].

Lako se možemo uvjeriti da množeci retke lijeve matrice stupcima desnematrice (imamo 4 takva umnoška) dobijemo 4 broja koja tvore matricukompozicije. Npr, ako množimo prvi redak s prvim stupcem

[0 −1] ⋅[01] = 0 ⋅0+(−1) ⋅1 =−1

dobit cemo element matrice na mjestu (1,1). Opcenito, množenje i tog retkalijeve matrice s j tim stupcem desne matrice daje clan na mjestu (i, j) umatrici koja je umnožak ovih matrica.


Množenje matrica

Umnožak matrice A tipa m×n i matrice B tipa n×p je matrica A ⋅B tipam× p kojoj je na mjestu (i, j) umnožak i-tog retka prve matrice i j-togstupca druge matrice:

(A ⋅B)i, j =∑nk=1 A i,k ⋅Bk, j = A i,1 ⋅B1, j +A i,2 ⋅B2, j + . . .+A i,n ⋅Bn, j

Provježbajmo ovo množenje matrica na jednom primjeru:

Primjer 1.3.4. Izracunajmo A ⋅B i B ⋅A gdje je

A =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 1 31 −1 20 2 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦, B =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 2 13 0 21 4 3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Rješenje: U medukoraku je prikazano samo zbrajanje clanova dobijenihmnoženjem:

A ⋅B =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 1 31 −1 20 2 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 2 13 0 21 4 3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2+3+3 4+0+12 2+2+91−3+2 2+0+8 1−2+60+6+1 0+0+4 0+4+3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

8 16 130 10 57 4 7

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

B ⋅A =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 2 13 0 21 4 3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 1 31 −1 20 2 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2+2+0 1−2+2 3+4+16+0+0 3+0+4 9+0+22+4+0 1−4+6 3+8+3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

4 1 86 7 116 3 14

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦Y

Prethodni primjer pokazuje da za množenje matrica ne vrijedi komuta-tivnost. Zato treba paziti koji je prvi a koji drugi clan umnoška. S obziromda je množenje matrica definirano tako da reprezentira komponiranjelinearnih preslikavanja, nekomutativnost množenja matrica je posljedicanekomutativnosti komponiranja operacija. Necemo dobiti isti rezultat akose svucemo pa skocimo u more ili ako skocimo u more pa se svucemo.


Komponiranje linearnih preslikavanja i matrice

Matrica kompozicije linearnih preslikavanja f i g je umnožak matricatih preslikavanja:

Mg○ f = Mg ⋅M f

Primjer 1.3.5. Nadimo matricu

1. kompozicije ortogonalne projekcije tocke na x-os i rotacije za 90○ upozitivnom mjeru,

2. kompozicije rotacije za 90○ u pozitivnom mjeru i ortogonalne projekcijetocke na x-os,

3. kompozicije ortogonalne projekcije tocke na x-os i ortogonalne projek-cije na y-os.

Rješenje:

1. [0 −11 0 ][1 0

0 0] = [0 01 0]

2. [1 00 0][

0 −11 0 ] = [0 −1

0 0 ]

Naravno, u a) i b) nismo dobili jednako, jer je, kao što smo vec rekli,kod komponiranja funkcija bitno koju funkciju prvu primjenjujemoa koju drugu. Tako je geometrijska interpretacija nekomutativnostimnoženja matrica upravo nekomutativnost komponiranjapreslikava-nja.

3. [0 00 1][

1 00 0] = [0 0

0 0]

Da rezultat mora biti nul matrica lako se možemo geometrijskiuvjeriti. Ako bilo koju tocku prvo projeciramo na x-os, pa dobivenu


tocku na y-os dospjet cemo u ishodište. Dakle kod ove kompozicijesve tocke se preslikavaju u ishodište, a to s koordinatama upravo radinul-matrica. Algebarska posljedica te geometrijske cinjenice je da,za razliku od množenja brojeva, umnožak nenultih matrica može bitinula. Y

Trivijalnom linearnom preslikavanju id(T) = T, pripada tzv jedinicnamatrica:

I = [1 00 1]

Njena uloga u množenju matrica identicna je ulozi identiteta u kompo-niranju funkcija. Opcenito, osnovna pravila množenja matrica slijede izodgovarajucih pravila za komponiranje funkcija:

Svojstva množenja matrica

(A ⋅B) ⋅C = A ⋅(B ⋅C)

A ⋅(αB) = (αA) ⋅B =α(A ⋅B)

A ⋅ I = I ⋅A = A

Opcenito ne vrijedi da je A ⋅B =B ⋅Aniti možemo kratiti: A ⋅C =B ⋅C ↛ A =B

Djelovanje rotacije za 90○ u pozitivnom smjeru, gledano preko koordi-

nata, je [x′

y′] = [0 −11 0 ][x

y]. Inverzno preslikavanje vraca natrag. To je

rotacija za −90○:[xy] = [ 0 1

−1 0][x′

y′].

Kompozicija preslikavanja i njemu inverznog preslikavanja daje identitet.Prevedeno na matrice to znaci da je umnožak odgovarajucih matrica jednakidenticnoj matrici I u što se lako možete uvjeriti množeci prethodne matrice.


Matrica koja pomnožena s matricom A s bilo koje strane daje identitet zovese inverzna matrica. Ako postoji, može se pokazati da je jedinstvena ioznacavamo je A−1:

A ⋅A−1 = A−1 ⋅A = I

Preslikavanjima koja imaju inverzna preslikavanja odgovaraju matricekoje imaju inverzne matrice. Takva linearna preslikavanja nazivamolinearnim transformacijama a takve matrice invertibilnim ili regu-larnim matricama, dok one koje nemaju inverz zovemo singularnimmatricama. Linearne transformacije ne smiju razne tocke preslikati u istu(jer kako cemo se vratiti nazad). Ona uvijek pravce preslikavaju u pravce(kao npr. rotacija), dok ostala neinvertibilna preslikavanja, preslikavanjakoja ”lijepe” tocke (kao npr projekcija na x os) neke pravce preslikavaju utocku. Npr. projekcija na x os svaki vertikalni pravac preslikava u tocku.Na matricama se lako može utvrditi jesu li invertibilne racunanjem njihovedeterminante (ubrzo cemo vidjeti zašto). Postoji algoritam nalaženjainverzne matrice. Medutim, mi cemo se ograniciti na matrice drugog redagdje postoji gotova formula za inverznu matricu:

Inverzna matrica drugog reda

Matrica A ima inverznu matricu upravo onda kad joj determinanta ∣A∣ ≠0. Ako je matrica drugog reda

A = [a bc d]

tad joj je inverzna matrica

A−1 = 1∣A∣ [

d −b−c a ]

(clanovi na dijagonali zamijene mjesta, a ostali promijene predznak)

Na primjer za A = [3 41 2] je A−1 = 1

3 ⋅2−4 ⋅1 [ 2 −4−1 3 ].


Formulu za inverznu matricu matrice drugog reda dobijemo iz uvjetainverznosti:

za matricu A = [a bc d] tražimo matricu A−1 = [x y

z v] takvu da vrijedi

[x yz v] ⋅[

a bc d] = [1 0

0 1]

Raspišemo li to kao sustav jednadžbi i riješimo po nepoznanicama x, y, z iv, dobit cemo navedenu formulu.

Vratimo se linearnim preslikavanjima:

Inverzno linearno preslikavanje i matrice

Matrica inverznog preslikavanja f −1 je inverz matrice preslikavanja f .

M f −1 = M−1f

Primjer 1.3.6. Nadimo matricu inverznog preslikavanja za

1. zrcaljenje oko x-osi 2. ortogonalnu projekciju na x-os.

Rješenje:

1. Matrica zrcaljenja oko x-osi je [1 00 −1]. Njena inverzna matrica je

[1 00 −1]

−1

= 1−1

[−1 00 1] = [1 0

0 −1].

Vidimo da je matrica sama sebi inverz. To je razumljivo jer jezrcaljenje oko x-osi samo sebi inverzno preslikavanje.

2. Matrica ortogonalne projekcije na x-os je [1 00 0]. Njena determimanta

je nula pa ona nema inverz. I to je geometrijski razumljivo jer


ortogonalna projekcija nema inverzno preslikavanje (sve tocke koje suvertikalno jedna povrh druge imaju istu ortogonalnu projekciju na x-os, pa nema jednoznacnog rekonstruiranja tocke iz njene ortogonalneprojekcije). Y

1.3.3 Geometrijski smisao determinante

Sljedeci primjer ce nam pokazati geometrijsko znacenje determinante.

Primjer 1.3.7. Nadimo determinante matrica sljedecih preslikavanja

1. rotacije za 90○ u pozitivnom smjeru

2. zrcaljenja preko x-osi

3. dvostrukog udaljavanja tocke od x-osi.

Rješenje:

1. ∣0 −11 0 ∣ = 1

2. ∣1 00 −1∣ =−1

3. ∣1 00 2∣ = 2 Y

Razlika izmedu rotacije i zrcaljenja je da rotacija cuva orijentaciju azrcaljenje ne cuva. Ako obilazite krug u jednom smjeru, zarotirani krugse obilazi u istom smjeru a zrcaljeni u suprotnom:


Ta razlika izmedu ova dva preslikavanja ocituje se u predznaku deter-minante. Pozitivan predznak determinante znaci da preslikavanje cuvaorijentaciju, a negativan da je obrce.

Prilikom rotacije i zrcaljenja površina rotiranog lika ostaje ista, a prili-kom udvostrucenja udaljenosti od x-osi površina se udvostrucuje. Upravoapsolutne vrjednosti determinanti daju te faktore povecanja. Primijetimoda je za nultu determinantu taj faktor nula, jer kod neinvertibilnih presli-kavanja (koji imaju nultu determinantu) dolazi do spajanja tocaka pri cemui površina kontrahira u lik bez površine.

Linearna preslikavanja i determinante

Predznak determinante linearnog preslikavanja kaže cuva li topreslikavanje orijentaciju. Ako je predznak pozitivan, preslikavanjecuva orijentaciju, a ako je negativan, preslikavanje obrce orijentaciju.

Apsolutna vrijednost determinante linearnog preslikavanja f je faktorkojim se množi površina P lika koji se preslikava da bi se dobila površinaP′ lika u koji se preslikava

P′ = ∣det M f ∣ ⋅P

Primjer 1.3.8. Matrice preslikavanja f i g su M f = [1 23 4] i Mg = [ 1 −2

−1 4 ].

Nadite


1. f (T) za T(−1,2),

2. površinu lika u koji funkcija f preslikava lik površine 2,

3. cuva li preslikavanje f orijentaciju,

4. M f ○g,

5. Mg−1 .

Rješenje:

1. [x′

y′] = [1 23 4] ⋅[

−12 ] = [3

5]

2. ∣1 23 4∣ =−2→ P′ = ∣−2∣ ⋅2 = 4

3. Ne, jer je determinanta negativna (−2).

4. [1 23 4] ⋅[

1 −2−1 4 ] = [−1 6

−1 10]

5.12[4 21 1] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 112

12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦Y

Iz geometrijske interpretacije determinante lako možemo zakljuciti davrijede sljedeca svojstva:

Svojstva determinante

det(A ⋅B) = det(A) ⋅det(B)

det(A−1) = 1det(A)


1.3.4 Preslikavanje likova

Prilikom preslikavanja ravnine (ili prostora) preslikavaju se i likovi, pravci,krivulje, površine itd. Ako imamo jednadžbu neke krivulje kako nacijednadžbu preslikane krivulje? U koji ce se pravac preslikati pravac y = x+1pri rotaciji za 90○ u pozitivnom smjeru? Pri toj transformaciji tocka skoordinatama (x, y) transformira se u tocku s koordinatama (x′, y′):

[x′

y′][0 −11 0 ][x

y]

Raspišemo li po komponentama dobijamo jednostavnu vezu medu ko-ordinatama x′ = −y, y′ = x. Postojanje veze izmedu x i y, y = x + 1,vodi postojanju veze izmedu x′ i y′. Tu vezu cemo dobiti tako da x i yprikažemo pomocu x′ i y′, y = −x′, x = y′, i uradimo odgovarajucu zamjenuu prethodnoj vezi: −x′ = y′ +1, tj. y′ = −x′ −1. Tako smo dobili jednadžbutransformiranog pravca (maknemo ”crtice” jer više ne trebamo razlikovatioriginalne i transformirane koordinate): y =−x−1

Primjer 1.3.9. Nadimo pravac u koji se preslikava pravac x+2y−4 = 0 pri

linearnoj transformaciji kojoj je matrica [1 23 4]

Rješenje: Veza koordinata je sada sljedeca

[x′

y′][1 23 4][

xy]


Sad je komplicirano raspisati ove jednadžbe i iz dobijenog sustava izrazitix i y pomocu x′ i y′. I nepotrebno, jer to možemo dobiti iz maticnog zapisa.Naprosto inverzna transformacija (matrica) daje obratnu vezu koordinata:

[xy] = [1 2

3 4]−1

[x′

y′]

Izracunamo li inverznu matricu

[1 23 4]

−1

= 11 ⋅4−2 ⋅3 [ 4 −2

−3 1 ] =−12[ 4 −2−3 1 ].

i uradimo matricno množenje

[xy] =−

12[ 4 −2−3 1 ][x′

y′]

dobit cemo traženu vezu: x =−2x′+ y′, y = 32

x′− 12

y′. Uradivši odgovarajucuzamjenu u jednadžbi ulaznog pravca dobit cemo jednadžbu izlaznog pravca:

−2x′+ y′+2(32

x′− 12

y′)−4 = 0, tj x′−4 = 0 (okomiti pravac).

Y

Naravno, na isti nacin možemo odrediti i u što ce se preslikati složenijekrivulje, samo bismo imali više racunanja u sredivanju konacne jednadžbe.

Primijetimo još jednu stvar. Da smo gledali u što se pri rotaciji za90○, y = −x′, x = y′, preslikava krivulja kojoj je jednadžba x2 + y2 = 1 dobilibismo (y′)2 + (−x′)2 = 1, odnosno, kad sredimo izraz i maknemo ”crtice”,istu jednadžbu:x2 + y2 = 1. Dobili smo istu krivulju. To je u ovom slucajugeometrijski lako razumjeti jer je x2 + y2 = 1 jednadžba kružnice radijusa1 sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava. Mada se pri rotaciji za90○ svaka tocka kružnice preslika u drugu tocku, kompletna kružnica, kaoskup tocaka, je ostala ista, preslikala se u samu sebe. Za transformacijukoja ”cuva” neki lik kažemo da je njegova simetrija, a za lik kažemo da je


invarijantan na ovu transformaciju.

Geometrijska definicija linearnog preslikavanja je pomalo umjetna jersadrži zahtjev da jedna tocka (ishodište) bude sacuvana pri ovoj transfor-maciji. Medutim algebarska definicija, da je to linearna operacija na radijusvektorima tocaka je veoma znacajna i to je pravi razlog zašto su linearnapreslikavanja istaknuta. Geometrijski je puno prirodnije zahtjevati samoda preslikavanje preslikava pravac u pravac ili (u krajnjem slucaju) tocku.Takva preslikavanja se nazivaju afina preslikavanja. Takvo je npr.preslikavanje translacija za vektor a

Ð→r T′ =Ð→r T +Ð→a

Medu afinim preslikavanjima linearna preslikavanja i translacije imajuistaknuto mjesto jer se može pokazati da je svako afino preslikavanjekompozicija linearnog preslikavanja A i translacije za neki vektor Ð→a :

Ð→r T′ = A(Ð→r T)+Ð→a

Ovaj dio matematike cesto gledate. Naime, vec smo rekli da je stanjeekrana matrica. Ako gledate neku animaciju, transformacije objekatana ekranu se realiziraju množenjem matrice trenutnog stanja ekrana smatricom transformacije stanja u novo stanje.

1.3.5 Nelinearna preslikavanja

Linearna preslikavanja ravnine su najjednostavnija preslikavanja, ge-ometrijski i algebarski gledano. Koordinate izlazne tocke su linearna


kombinacija koordinata ulazne tocke :

f (x, y) = (ax+by, cx+d y)

Afina preslikavanja su takoder gotovo jednako jednostavna:

f (x, y) = (ax+by+ e, cx+d y+ f )

Cim se pojave kvadrati ili umnošci nepoznanica, ili neke kompliciranijefunkcije dobivamo nelinearna (neafina preslikavanja) koja ne prebacujupravce u (ili tocke) vec u kompliciranije likove. Njih opisujemo na ist nacinkao i linearna (afina) preslikavanja: par brojeva (x, y) se preslikava u parbrojeva (x′, y′), samo su pravila preslikavanja kompliciranija:

f (x, y) = (x′(x, y), y′(x, y))

xxx Naci zgodne primjere iz geometrije ili kompleksne analize

Nakon ove cjeline citatelj treba razumjeti algebru linearnih preslikava-nja i na koji nacin se ona reprezentira algebrom matrica.


1. Matrice preslikavanja f i g su M f = [1 23 4] i Mg = [ 1 −2

−1 4 ]. Nadite

a) g(T) za T = [−12 ],

b) površinu lika u koji funkcija g preslika lik površine 2,

c) cuva li preslikavanje g orijentaciju,

d) M f ○ f

e) M f −1

2. Matrice preslikavanja f i g su M f = [−1 2−3 4] i Mg = [ 1 2

−1 1]. Nadite


a) g(T) za T = [−12 ],

b) površinu lika u koji funkcija g preslika lik površine 2,

c) cuva li preslikavanje g orijentaciju,

d) M f ○ f

e) M f −1

3. Matrice preslikavanja f i g su M f = [−1 2−3 4] i Mg = [ 1 2

−1 1]. Nadite

a) f (T) za T = [−12 ],

b) površinu lika u koji funkcija f preslika lik površine 2,

c) cuva li preslikavanje f orijentaciju,

d) Mg○ f

e) Mg−1

Rješenja

1. a) [−59 ]

b) 4

c) da

d) [ 7 1015 22]

e)

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−2 132

−12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

2. a) [33]

b) 6

c) da


d) [−5 6−9 10]

e)

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 −132

−12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

3. a) [−3−5]

b) 4

c) da

d) [−7 10−2 2 ]

e)

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

13

−23

13

13

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦


2Matematika promjena

Ovo poglavlje je kratki uvod, ili podsjetnik za one koji su to vec studirali, umatematiku promjena. Navedene su osnovne ideje i postupci koji ce nam udaljnjem trebati.

Derivacija i integral su osnovni pojmovi tzv. matematike promjenakoja je predmet ovog poglavlja. Kao što sam naziv kaže to je matematikakojom se opisuju promjene. Osnovna ideja je jednostavna. Jednolikepromjene znamo opisivati. Nejednolike promjene cemo opisivatitako da ih u malim dijelovima aproksimiramo jednolikim promje-nama.

Za pojam derivacije ta se ideja realizira na sljedeci nacin. Nekaimamo neku jednoliku promjenu npr. ovisnost položaja yj cestice o vremenut, yj(t). To je linearna funkcija

109

110 2. Matematika promjena

x

yyj(t) = at+b

Nejednoliku promjenu y(t) cemo u malim dijelovima aproksimirati jednoli-kom:

x

yyj(t) = at+b ← jednolika promjena

y(t) ← nejednolika promjena← lokalna aproksimacija

Geometrijski gledano, krivulju smo lokalno aproksimirali njenom tangen-tom. Matematicki gledano, ta linearna aproksimacija zasniva se na pojmuderivacije.

Za pojam odredenog integrala ideja aproksimacije nejednolikog jed-nolikim realizira se na sljedeci nacin. Kod jednolike promjene ukupnapromjena proporcionalna je trajanju. Npr. kod jednolikog gibanja stalnombrzinom v prijedeni put ∆y proporcionalan je proteklom vremenu ∆t:∆y =v∆t. Pošto je brzina stalna ona je u dijagramu ovisnosti brzine o vremenuprikazana horizontalnim pravcem, a ∆y površinom:

t

v

v∆y = v∆t

∆t

111

Ako je promjena nejednolika ukupnu promjenu cemo približno izracunatitako da cemo je u malim dijelovima aproksimirati jednolikom promjenom

x

y

← jednolika promjena← nejednolika promjena

lokalna aproksimacija

∆y = v∆t

∆t

i zbrojiti sve te "ravne" aproksimacije:

x

y

∆y = v1∆t1+v1∆t1+ . . .

Geometrijski gledano, neravnu površinu aproksimirali smo zbrojem ravnihpovršina pravokutnika. Matematicki gledano, takvu aproksimaciju ukupnepromjene opisujemo pojmom odredenog integrala.

Osnovni teorem diferencijalnog i integralnog racuna (2.6.1) poka-zat ce nam da su te dvije aproksimacije usko povezane, u odredenom smislujedna drugoj su inverzne.


2.1 Pojam derivacije

U ovoj cjelini je opisan pojam derivacije, osnovni pojam (zajedno s odrede-nim integralom) matematike promjena.

2.1.1 Osnovna ideja

Policajac zaustavi vozaca i obavijesti ga da je vozio 100 km/h i da jeprekoracio dozvoljenu brzinu od 80 km/h. Vozac se pravda da je to nemogucejer je tek prije par sekundi krenuo sa semafora i odmah je stao na policajcevznak. Policajac mu strpljivo objašnjava da to znaci da kad bi se takonastavio gibati jednoliko po pravcu za jedan sat prešao bi sto kilometara."Nemoguce", odgovara vozac, "kad bih se nastavio gibati pravo upao bih ujarak jer cesta zakrece ulijevo, a sigurno se ne bih mogao nastaviti gibatijoš sat vremena jer benzina imam tek za kojih desetak minuta vožnje. Osimtoga ja sam zakocio i odmah stao." Policajac je bio na dobrom putu da muobjasni što znaci brzina od 100 km/h ali su ga izdali živci i uputio ga je sucuza prekršaje da s njim to raspravi. Medutim, ovdje je pravo mjesto za takvuraspravu.

Pogledajmo graf ovisnosti položaja y o vremenu t prilikom gibanja autado zaustavljanja:

t

y

t1 t2 t3

Intuitivno, vozac se od pocetka gibanja gibao sve brže, ubrzavao je dotrenutka t1 pa se gibao stalnom brzinom do trenutka t2 . Tad je ugledaopolicajca i poceo usporavati. Gibao se sve sporije do trenutka t3 , kad je stao

2.1. Pojam derivacije 113

kraj policajca. Ali kako ovo izmjeriti? Kako izmjeriti brzinu gibanja? Ovaintuicija o bržem i sporijem zasnovana je na nagibu grafa. Što je graf strmijismatramo da je veca brzina. Ali što je nagib grafa?

Ideja je jednostavna. Kad se tijelo giba jednoliko jasno je što je njegovabrzina gibanja. Omjer promjene položaja i proteklog vremena je stalan broji to je brzina jednolikog gibanja

v = ∆y∆t

= const

x

y

∆t∆y v = ∆y

∆t

Geometrijski gledano taj omjer je nagib pravca.

Kad je gibanje nejednoliko pridružit cemo mu zamišljeno jednolikogibanje koje ga jedan djelic vremena najbolje aproksimira u odnosu nasva druga jednolika gibanja koji se u taj trenutak podudaraju sa stvarnimgibanjem (upravo je to policajac pokušao objasniti):

t

y ↓ najbolja aproksimacija jednolikim gibanjem

Geometrijski gledano to je pravac koji u odnosu na sve pravce kroz danutocku na krivulji lokalno najbolje aproksimira krivulju. Takav pravacnazivamo tangentom u danoj tocki na danu krivulju. Brzinu tako izabranog


jednolikog gibanja, odnosno nagib tako odabranog pravca nazivamo trenut-nom brzinom gibanja auta u tom trenutku. Naravno ona nije stalna vecovisi o trenutku t:

t

y

Na isti nacin smo mogli analizirati bilo koju ovisnost dviju velicina.Mogli smo recimo gledati ovisnost razvijene energije o vremenu u nekomkemijskom procesu i govoriti o brzini promjene energije po vremenu. Ili pako ovisnosti temperature neke zagrijane šipke o položaju na toj šipci i govoritio brzini promjene temperature po položaju. Mogli smo recimo kod gibanjagledati i brzinu promjene brzine gibanja po vremenu, tzv. akceleracijugibanja, itd. Ova brzina promjene jedne velicine u odnosu na drugu umatematickom se rjecniku zove derivacija.

Idemo sad sve ovo precizirati

Brzina jednolike promjene

Za linearnu ovisnost velicina y = ax+ b omjer promjena tih velicina jeuvijek isti broj a

∆y∆t

= yk − yp

tk − tp=uvijek isto = a

Taj broj zovemo brzinom promjene velicine y koja linearno ovisi o x,odnosno brzinom jednolike promjene y po x. Geometrijski gledanoto je koeficijent pravca koji je graf te ovisnosti:


x

y y = ax+b

∆x

∆y ∆y∆x

= a

Primjer 2.1.1.

a) Nadimo brzinu promjene za ovisnost y = −2x + 1. Kolika je brzinapromjene x po y?

b) Kolika je brzina gibanja y = 1?

Rješenje:

a) Najjednostavnije je uociti da je brzina promjene koeficijent uz "x",dakle −2. Brzina promjene je negativna što znaci da se s povecanjemx velicina y smanjuje. Izrazimo li x pomocu y

x =−12

y+ 12

vidimo da je brzina promjene x po y jednaka −12

.

b) Za slucaj gibanja y = 1 to je mirovanje (cestica je stalno u tocki 1) pa jeiz tog vec jasno da bi brzina trebala biti jednaka nuli. No napišemo ligornji zakon gibanja na sljedeci nacin

y = 0 ⋅ x+1

vidimo po našim pravilima da je zaista tako.

Y


Ako gibanje nije jednoliko tad omjeri nisu stalni i zovemo ih prosjecnimbrzinama gibanja:

Prosjecna brzina

Prosjecna brzina gibanja u vremenskom intervalu, [tp, tk], ukojem je položaj cestice u trenutku tp jednak yp, a u trenutku tk jednakyk je broj

v[tp, tk] =∆y∆t

= yk − yp

tk − tp

Što nam daje prosjecna brzina? Recimo da putujemo autom od Zagrebado Splita. Koristeci brojac kilometara (koji na pocetku stavimo na nulu)i sat, lako nam je utvrditi prosjecnu brzinu gibanja: podijelimo stanjebrojaca kilometara kad stignemo u Split s vremenom putovanja. Recimoda smo dobili da je prosjecna brzina jednaka 90 km/h. Znamo da što jeta brzina veca "u prosjeku smo se brže gibali". No to je tek neka grubamjera stvarnog gibanja, jer smo negdje vozili brže, negdje sporije, negdjestajali (na naplatnim kucicama) a negdje išli možda i unazad (ne baš naautoputu). Pravi smisao te velicine je da je to brzina zamišljenog jednolikoggibanja koje se na pocetku, u Zagrebu, i na kraju, u Splitu, podudaralo sastvarnim gibanjem. Zato govorimo o zamišljenom a ne stvarno izvedivomgibanju.

t

y

polazak iz Zagreba

dolazak u Split← zamišljeno gibanjestvarno gibanje →


Smisao prosjecne brzine

Prosjecna brzina v[tp, tk] gibanja u vremenskom intervalu [tp, tk] jebrzina zamišljenog jednolikog gibanja koje se sa stvarnim gibanjempodudara na pocetku intervala, u trenutku tp, i na kraju tog intervala,u trenutku tk. Geometrijski gledano to je nagib sekante, pravca kojipresjeca graf gibanja na pocetku i na kraju tog intervala.

t

y

t1 t2

Jasno je da prosjecna brzina to bolje opisuje stvarno gibanje što je vre-menski interval manji. Ako pogledamo prosjecnu brzinu auta, u vremenu odrecimo jedne sekunde, tad ona jako dobro opisuje stvarno gibanje. Stvarnogibanje se u tom intervalu ne može puno razlikovati od jednolikog gibanjatom brzinom. To nas zapažanje vodi prema ideji trenutne brzine. Da bismoodredili kako se brzo auto giba u nekom trenutku t moramo pustiti da prodemalo vremena ∆t i pogledati prosjecnu brzinu na tom intervalu [t, t+∆t].Što smo uzeli manji interval ta prosjecna brzina bolje opisuje gibanje utrenutku t. Pogledajmo kako ovisi prosjecna brzina o tom intervalu npr.za gibanje y = t2:

v[1,1+∆t] = ∆y∆t

= yk − yp

tk − tp= y(1+∆t)− y(1)

∆t= (1+∆t)2−12

∆t=

= 1+2∆t+(∆t)2−1∆t

= ∆t(2+∆t)∆t

= 2+∆t

Racunajmo je za sve manje ∆t:


∆t 1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001v 3 2.5 2.2 2.1 2.01 2.001

Vidimo da što je interval manji to je prosjecna brzina sve bliža broju2. Prakticno gledano da bismo odredili koliko se brzo tijelo giba unekom trenutku treba racunati prosjecnu brzinu za dovoljno mali ∆t."Dovoljno mali" znaci toliko malen da tijelo u tom intervalu nije moglo bitnopromijeniti gibanje, tj. da možemo smatrati da se gibalo gotovo jednoliko.To naravno ovisi o vrsti gibanja. Za gibanje Zemlje oko Sunca dovoljnomalo znaci jedan dan, za auto desetinka sekunde, za elektron milijarditinkasekunde. Tako dobiven broj možemo zvati trenutnom brzinom gibanja utrenutku t. No matematika ne smije ovisiti o prakticnom odredenju što jedovoljno malo u datoj situaciji, vec ona mora gledati što se s tim omjeromzbiva za sve manje vremenske intervale. Zato za trenutnu brzinu gibanjatrebamo uzeti broj koji dobijemo u limesu kad ∆t teži nuli:

v(1) = lim∆t→0

v[1,1+∆t] = lim∆t→0

(2+∆t) = 2

Ovo je sad lako poopciti na trenutnu brzinu bilo kojeg gibanja u bilokojem trenutku:

Trenutna brzina gibanja

Trenutna brzina gibanja y(t) u trenutku t je broj

v(t) = lim∆t→0

∆y∆t

= lim∆t→0

v[t, t+∆t] = lim∆t→0

y(t+∆t)− y(t)∆t

Prakticno gledano trenutna brzina je v(t) ≃ ∆y∆t

za dovoljno mali

vremenski interval [t, t+∆t]. A što je "dovoljno malo" ovisi o situaciji iznaci "dovoljno malo da se gibanje nije moglo bitno promijeniti", odnosno"dovoljno malo da možemo smatrati da je gibanje gotovo jednoliko natom intervalu."

Mada je odredenje trenutne brzine pomocu dovoljno malog intervalaneprecizno, ono nosi osnovnu intuiciju o pojmu brzine neopterecenu mate-matickim dodacima: trenutna brzina je prakticno gledano omjer pro-


mjene vrijednosti i promjene vremena za mali vremenski interval.Napomenimo još da sam rijec "trenutna brzina" može i prevariti, jer gibanjene može biti "u jednom trenutku", vec se uvijek mora gledati neki intervaloko tog trenutka da bi se "vidjelo" gibanje.

Prije nego što upotrijebimo prethodnu formulu za racunanje brzinaraznih gibanja u raznim trenucima riješimo najvažnije pitanje: što o gibanjugovori taj broj kojeg nazivamo trenutnom brzinom? Po samoj definicijimi smo aproksimirali nejednoliko gibanje nakon trenutka t = 1 u malomvremenskom intervalu ∆t odgovarajucim jednolikim gibanjem. Kako sma-njujemo interval sve smo bliže jednolikom gibanju baš s trenutnom brzinomv = 2:

t

y

← jednoliko gibanje brzinom 2

∆t

Mogli smo nejednoliko gibanje oko te tocke aproksimirati i drugimjednolikim gibanjima:

t

y

−3−2−1 1 2 3

−3−2−1

123

y = t2← stvarno gibanjey = 2t−1← najbolja linearna aproksimacija

← druge linearne aproksimacije

Medutim, ovaj proces odredenja trenutne brzine daje jednoliko gibanje koje,medu svim jednolikim gibanjima koja se u datom trenutku podudaraju


sa stvarnim gibanjem, najbolje aproksimira (u jednom tocno odredenomsmislu koji cemo poslije u precizirati) stvarno gibanje. Geometrijskigledano, imamo pravac koji, medu svim pravcima povucenim kroz datutocku, najbolje aproksimira krivulju oko te tocke. To je upravo tangentana krivulju u toj tocki.

Smisao trenutne brzine gibanja

Trenutna brzina v(t) gibanja y(t) u trenutku t je brzina zamišljenogjednolikog gibanja koje, medu svim zamišljenim jednolikim gibanjimakoji se u datom trenutku podudaraju sa stvarnim gibanjem, najboljeaproksimira stvarno gibanje na malim vremenskim intervalima oko togtrenutka t.

t

y← stvarno gibanje← najbolja aproksimacija jednolikim gibanjem← druge aproksimacije jednolikim gibanjem

Geometrijski gledano to je nagib pravca koji, medu svim pravcima kojiprolaze datom tockom krivulje, najbolje aproksimira krivulju na malimintervalima oko te tocke. Takav pravac zovemo tangenta na krivulju udatoj tocki.

Primjer 2.1.2. Izracunajmo trenutnu brzinu gibanja y = t2 u trenutku t = 2.Izracunajmo brzinu ovog gibanja u bilo kojem trenutku.

Rješenje: Za trenutak t = 2 samo ubacimo taj broj u formulu za trenutnubrzinu:


v(2) = lim∆t→0

∆y∆t

= lim∆t→0

y(2+∆t)− y(2)∆t

= lim∆t→0

(2+∆t)2−22

∆t=

= lim∆t→0

4+2 ⋅2 ⋅∆t+(∆t)2−4∆t

= lim∆t→0

∆t(4+∆t)∆t

=

= lim∆t→0

(4+∆t) = 4

Dakle, u tom trenutku brzina je 4. Sad lako možemo graficki odrediti line-arnu aproksimaciju stvarnog gibanja, odnosno tangentu na ovu krivulju:

t

y

−3 −2 −1 1 2 3

1234567

y = t2

1

4

No nepotrebno je ovu brzinu racunati u svakoj tocki posebno. Racunanjeza t = 1 gotovo se nije razlikovalo od racunanja za t = 2. Zato je efikasnijeizracunati tu brzinu "jednom zauvijek", u bilo kojem trenutku t:

v(t) = lim∆t→0

∆y∆t

= lim∆t→0

y(t+∆t)− y(t)∆t

= lim∆t→0

(t+∆t)2− t2

∆t=

= lim∆t→0

t2+2 ⋅ t ⋅∆t+(∆t)2− t2

∆t= lim∆t→0

∆t(2t+∆t)∆t

= lim∆t→0

(2t+∆t) = 2t

Dakle, brzina u proizvoljnom trenutku t ovisi o tom trenutku i iznosi v(t) =2t. Graficki gledano dobili smo najbolje linearne aproksimacije gibanja


(tangente) u svakom trenutku

t

y

−3 −2 −1 1 2 3

123456 y = t2

Y

2.1.2 Brzina promjene i derivacija

Sad je jednostavno sve ovo poopciti. Umjesto da smo gledali gibanje popravcu y(t) = t2, mogli smo gledati zakon razvijanja energije E u kemijskomprocesu E(t) = t2, ili kako se s vremenom mijenja temperatura T nekogtijela T(t) = t2. Ili pak kako temperatura T nekog mjesta na šipki ovisi oudaljenosti x tog mjesta od kraja šipke T(x) = x2 itd. Matematicki gledano,sve prethodno bi ostalo isto, samo bi se promijenila fizikalna interpretacija.Kao što smo npr. dobili da je trenutna brzina gibanja u trenutku 1 bilajednaka 2, i sad bismo dobili broj 2, ali bismo ga drugacije interpretirali. Tobi sad bila brzina promjene energije u trenutku 1 (brzina promjene energijese zove snaga), odnosno brzina promjene temperature u trenutku 1, odnosnobrzina promjene temperature u odnosu na položaj na udaljenosti 1 od krajašipke itd.

Trenutna brzina promjene

Trenutna brzina promjene velicine y(x) po velicini x je broj

vy(x) = lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

vy[x, x+∆x] = lim∆x→0

y(x+∆x)− y(x)∆x

Prakticno gledano trenutna brzina je


vy(x) ≃ ∆y∆x

za dovoljno mali vremenski interval [x, x+∆x],

Pri tome, što je "dovoljno malo" ovisi o situaciji i znaci "dovoljno maloda se ovisnost nije moglo bitno promijeniti", odnosno "dovoljno maloda možemo smatrati da je ovisnost y po x gotovo linearna na tomintervalu."

Trenutna brzina vy(x) promjene velicine y(x) u tocki x je brzinapromjene zamišljene jednolike ovisnosti y po x koja, medu svimzamišljenim jednolikim ovisnostima koji se u datom x podudarajusa stvarnom ovisnocu y(x), najbolje aproksimira stvarnu ovisnost namalim intervalima oko tog x.

t

y← stvarna promjena← najbolja aproksimacija jednolikom promjenom← druge aproksimacije jednolikom promjenom

Geometrijski gledano to je nagib pravca koji, medu svim pravcima kojiprolaze datom tockom krivulje, najbolje aproksimira krivulju na malimintervalima oko te tocke. Takav pravac zovemo tangenta na krivulju udatoj tocki.

Cemu pridružujemo taj broj koji zovemo brzinom promjene velicine y povelicini x? On ovisi o nacinu kako su te velicine povezane, dakle o funkcijif takvoj da je y = f (x), kojom su povezane i o argumentu x iz kojeg segledaju omjeri malih promjena vrijednosti i argumenta funkcije. Zato, kadzaboravimo fizikalnu interpretaciju velicina koje su povezane funkcijomf i kad zaboravimo geometrijsku interpretaciju, ostaje nam matematicki


smisao ovog pojma kao operacije koja funkciji i datoj tocki pridružujejedan broj koji u ovom kontekstu zovemo derivacijom. Zato sve gornje,preformulirano u cistom matematickom kontekstu glasi:

Derivacija funkcije f u tocki x

To je broj f ′(x) pridružen funkciji f i tocki x kojeg racunamo sljedecomformulom:

f ′(x) = lim∆x→0

f (x+∆x)− f (x)∆x

Kao i svaka znacajna velicina tako i derivacija ima razne oznake:

Razne oznake za derivaciju

f ′(x): to je standardna oznaka koja tocno pokazuje o cemuderivacija ovisi, o funkciji f i argumentu x te funkcije

y′(x): to je oznaka koju koristimo kad je naglasak na velicinamay = f (x) koje funkcija f povezuje.

d ydx

: to je oznaka koja sugerira da je to omjer malih promjenavelicina. Poslije cemo dati smisao dijelovima d y i dx kojezovemo diferencijalima, no za sad je treba razumjeti kaocjelovitu sugestivnu oznaku za derivaciju.

d f (x)dx

: uloga te oznake je ista kao i prethodna ali je naglasak nafunkciji.

ddx

f (x): varijanta prethodne oznake koja je nekad ugodnija zapisanje.

2.1.3 Derivacija kao funkcija

Vidjeli smo da je puno efikasnije izracunati derivaciju f ′(x) funkcije f ubilo kojoj tocki x pa je onda uvrštavanjem racunati u konkretnim tockama.


Npr. za naš prvi primjer funkcije f (x) = x2 dobili smo da je derivacija uproizvoljnoj tocki f ′(x) = 2x. Ta derivacija, naravno, ovisi o x. Mi smo takodobili novu funkciju koja nam govori kako derivacija stare funkcije f ovisio x. Nju oznacavamo f ′, u skladu s prethodnom oznakom f ′(x) derivacijefunkcije u tocki x. Graficki gledano to je funkcija koja nam govori kakonagibi tangenti na staru funkciju ovise o x. Uzmimo za primjer funkcijuf (x) = x2 s njenom derivacijom f ′(x) = 2x:

x

y

−3−2−1 1 2 3

−3−2−1

123

f (x) = x2

x

y

−3−2−1 1 2 3

−3−2−1

123

f (x) = 2x

Donja funkcija za dati x upravo daje nagib na gornju funkciju.

Derivacija funkcije

Derivacija funkcije f je nova funkcija f ′ kojoj je vrijednost u tocki f ′(x),derivacija funkcije f u tocki x. Tako gledano, derivacija je operacija kojafunkciji pridružuje novu funkciju.

f′

z→ f ′


Tako smo pojam derivacije funkcije f u tocki x "rastavili na dijelove":

"Rastav pojma derivacije na dijelove"

Prvo imamo operaciju derivacije

′ (derivacija)

koja funkciji f pridružuje novu funkciju:

f ′ (derivacija funkcije)

Ta nova funkcija primijenjena na argument x daje broj

f ′(x) (derivacija funkcije u datoj tocki)

Nakon ove cjeline citatelj treba razumjeti što je jednolika promjena ibrzina jednolike promjene, što je prosjecna i trenutna brzina nejednolikepromjene i koji je smisao tih pojmova, što je derivacija funkcije u tocki,derivacija funkcije i derivacija. Takoder treba znati iz grafa funkcijekvalitativno analizirati njenu derivaciju.


a) Nadite brzine sljedecih jednolikih promjena. Kako biste nazvali tevelicine?

a) y = 3t+2, gdje je y položaj a t vrijeme

b) v = 2t−2, gdje je v brzina a t vrijeme

c) E = 1−2t, gdje je E energija a t vrijeme

d) N = 6Q, gdje je N placeni novac a Q kolicina kupljenog kruha

b) Za gibanje y = t3 nadite mu prosjecnu brzinu u prve dvije sekunde itrenutnu brzinu u bilo kojem trenutku i u trenutku t = 0 i t = 2.


c) Iz grafa gibanja automobila kvalitativno opišite njegovo gibanje:

t (min)

y (km)

1 2 3 4 5 6 7

123

Rješenja

1. a) 3: brzina gibanja

b) 2: ubrzanje

c) -2: snaga

d) 6: cijena proizvoda

2. v[0,2] = 4, v(t) = 3t2, v(0) = 0, v(2) = 12.

3. Auto u prvoj minuti povecava brzinu da bi je nakon tog smanjivalo. Nakraju druge minute ono je stalo na udaljenosti 2km od pocetka gibanjai tu stoji jednu minutu. Zatim se pocinje udaljavati povecavajucibrzinu pola minute, a onda smanjuje brzinu na nulu sljedecih polaminute. Nakon toga se pocinje vracati, u pocetku povecavajuci brzinupovratka negdje oko minutu i po, da bi onda polako smanjivao brzinu.Nakon osme minute vec je sasvim blizu ishodišnoj tocki.


2.2 Racun derivacija

Racunati derivaciju po definiciji je komplicirano. Postoji postupak kojiprimijenjen na svaku elementarnu funkciju daje njenu derivaciju. Postojei racunarski programi koji to rade. To znaci da je postupak formalan irutinski, samo ga treba razumjeti i uvježbati.

Postupak radi s funkcijama a ne s brojevima. Za datu funkciju fmoramo dobiti njenu derivaciju, novu funkciju f ′. Da bi postupak bioformalan moramo imati nacin zapisivanja funkcija. Nama su funkcijezadane formulama tako da ce postupak raditi s formulama. Na ulazu ceimati formulu f (x) kojom zadajemo funkciju f a na izlaz formulu f ′(x)kojom zadajemo funkciju f ′. Npr. iz prethodne cjeline znamo da za funkcijuf zadanu formulom f (x) = x2, derivacija je funkcija f ′ zadana formulomf ′(x) = 2x. Tako ovaj postupak za ulaz x2 mora dati izlaz 2x.

x2′

z→ 2x

Zato cemo, uz ovakav dogovor o predstavljanju funkcija formulama, ope-raciju deriviranja primjenjivati ne na funkciju nego na formulu kojom jezadana:

(x2)′ = 2x

To je sigurno puno efikasnije nego da stalno moramo govoriti da je derivacijafunkcije f zadane formulom f (x) = x2 funkcija f ′ zadana formulom f ′(x) =2x. No pri tom dogovoru nema smisla uvrštavati brojeve u formule. Npr.nema smisla u prethodnu formulu uvrstiti 1. Dobili bismo 1′ = 2. Akoželimo naci derivaciju ove funkcije u jedinici prvo moramo naci formulu zaderivaciju f ′(x) = 2x, pa tek onda u nju uvrstiti f ′(1) = 2.

Nova oznaka za derivaciju funkcije

[ f (x)]′ je formula za derivacija f ′ funkcije f zadane formulom f (x).

2.2. Racun derivacija 129

Kad se koristi ova oznaka, da bi se našla derivacija te funkcije u nekojtocki, prvo treba naci formulu za derivaciju funkcije pa tek onda uvrstititu tocku umjesto x.

Ideja postupka nalaženja derivacije funkcije je sljedeca. Vidjeli smou cjelini o elementarnim funkcijama da je svaka elementarna funkcijanastala iz nekih osnovnih primjenom operacija zbrajanja, oduzimanja,množenja, dijeljenja i komponiranja funkcija konacan broj puta. Tustrukturu elementarne funkcije najjednostavnije možemo vidjeti na njenom

stablu. Npr. za funkciju f (x) =x2−2x

x ⋅sin(ln x) stablo nastanka je sljedece

x2−2xx ⋅sin(ln x)

x2−2x

x2 2x

2 x

x ⋅sin(ln x)

x sin(ln x)

sin x ln x

Ovo razlaganje funkcije radimo tako da se u svakom koraku pitamo kojase zadnja operacija trebala uraditi s x da se dobije vrijednost funkcijef (x). Za našu funkciju je to dijeljenje. Tako znamo da je ona nastalaoperacijom dijeljenja funkcija x2 − 2x i x ⋅ sin(ln x). No, vidjet cemo dapostoji pravilo koje derivaciju funkcije nastale dijeljenjem dviju funkcijaopisuje pomocu derivacija tih dviju funkcija. Primjena tog pravila reducira

problem nalaženja derivacije funkcijex2−2x

x ⋅sin(ln x) na dva manja problema

nalaženja derivacija funkcija x2 − 2x i x ⋅ sin(ln x). Sad se postupakponavlja. Za svaku od ovih funkcija pogledamo koja operacija je zadnjaradena (za prvu oduzimanje, za drugu množenje). Za svaku od tih operacijapostoji odgovarajuce pravilo deriviranja pomocu kojeg se problem nalaženjanjihovih derivacija svodi na manje probleme nalaženja derivacija njihovihdijelova.

Postupak se dalje odvija na isti nacin. Dakle, on se odvija u ciklusima.


U svakom ciklusu, za svaku funkciju kojoj tražimo derivaciju, gledamo kojaoperacija je zadnja radena i primjenjujemo odgovarajuce pravilo za derivi-ranje koje problem derivacije te funkcije svodi na problem derivacije funkcijaod kojih je ta funkcija neposredno nastala. U konacno koraka problem sesvodi na deriviranje osnovnih funkcija. Derivacije tih osnovnih funkcija sujednom nadene (na osnovu definicije derivacije i teorije racunanja limesa) izapisane u tablicu i naše je samo da ih prepišemo iz tablice:

x2 −2xx ·sin(ln x)

x2 −2x

x2 2x

2 x

x ·sin(ln x)

x sin(ln x)

sin x ln x

to treba derivirati

to treba derivirati

to treba derivirati

to treba derivirati

redukcija problema

redukcija problema

redukcija problema

tablica

Sad cemo dati tablicu derivacija osnovnih elementarnih funkcija, tepravila deriviranja za svaku od elementarnih operacija s funkcijama,zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje funkcija. Poštoje to osnovna tehnika (uz tehniku integriranja koju cemo poslije upoznati)važno je, ako to do sada niste naucili, da dobro uvježbate ta pravila iprethodno opisani postupak deriviranja koji se na njima zasniva.

2.2.1 Tablicne derivacije

Na osnovu definicije derivacije mogu se naci derivacije svih osnovnihelementarnih funkcija. One su dane u sljedecoj tablici

Tablica derivacija


1. (c)′ = 0

2. (x)′ = 1

3. (√x)′ = 12√

x

4. (xa)′ = ax(a−1), a ∈R

5. (ex)′ = ex

6. (ax)′ = ax lna

7. (ln x)′ = 1x

8. (loga x)′ = 1x lna

9. (sin x)′ = cos x

10. (cos x)′ =−sin x

11. (tg x)′ = 1cos2 x

12. (ctg x)′ =− 1sin2 x

13. (arcsin x)′ = 1√1− x2

14. (arccos x)′ =− 1√1− x2

15. (arctg x)′ = 11− x2

16. (arcctg x)′ =− 11− x2

Primjer 2.2.1. Nadimo derivacije sljedecih funkcija:


a)√

x b)√

t c)√

2x d)√

2 e)√

a

Rješenje:

a) Naprosto ocitamo iz tablice (√x)′ = 12√

x

b) U pitanju je ista funkcija samo je sada zadana formulom kojoj jevarijabla ulaza "t" a ne "x". Isto tako su i funkcije u tablici moglebiti opisane formulama kojima je varijabla ulaza "t" a ne "x". Dakle

(√

t)′ = 12√

t

c) Netko se može prevariti pa pogrešno reci da je (√

2x)′ = 12√

2x. Poslije

cemo vidjeti da je pravo rješenje (√

2x)′ = 1√2x

. Greška je nastala zato

što smo koristili tablicu kao što koristimo algebarske identitete. Akoje npr. a2−b2 = (a−b)(a+b) = (2a)2−12 = (2a−1)(2a+1) tad možemoa i b zamijeniti bilo kojim izrazima, npr. a s a2 a b s 1 i dobiti ispravniidentitet. No u tablicnim izrazima ne smijemo uraditi supstituciju,osim drugacije oznaciti ulaznu varijablu, kao u prethodnom zadatku.

Izraz (√x)′ = 12√

xnam kaže što je derivacija funkcije korijen. Ako

pak umjesto x stavimo 2x dobili smo novu funkciju√

2x koja ima inovu derivaciju o kojoj tablica ništa ne govori.

Napomena o upotrebi tablice derivacija

Tablicni izrazi se moraju doslovno koristiti. Jedino možemo varijablu"x" zamijeniti nekom drugom varijablom, "t" ili "u" itd., ali ne i 2, 2x, x2

itd.

d) Opet bi se netko mogao prevariti pa iskoristiti tablicni izraz (√x)′ =1

2√

xna nacin da dobije (

√2)′ = 1

2√

2. Ne možemo umjesto x staviti

2. Takva supstitucija u tablicnim izrazima nije dozvoljena. No ovuderivaciju možemo riješiti. To je derivacija konstantne funkcije y =

√2


a po prvom tablicnom izrazu derivacija konstante, zvala se ona 2 ili√2 ili sinlntg2, je nula. Dakle, (

√2)′ = 0.

e) Ovdje imamo problem. Smatramo li da je a konstanta, poput 2, ilineki nepoznati parametar, ili oznaka ulaza u funkciju korijen, poputx i t? Obicno se oznake "a", "b" smatraju nekim nespecificiranimkonstantama. Po takvom gledanju je (√a)′ = 0. Medutim moguce je

a smatrati varijablom, pa je po tom gledanju (√a)′ = 12√

a. Ovdje

se javlja problem interpretiranja slova u formuli kojom zadajemofunkciju, jesu li oni tek parametri (neki nespecificirani brojevi) ilioznake ulaza u funkciju. Jedan nacin je da se to podrazumijeva izkonteksta. Npr. vrijednost izraza 2ax2, ovisi i o a i o x. Obicno za ulazeu funkciju rezerviramo slova "x", "y", "z","t", "u", "v" itd. pa je po tomobicaju ulaz u funkciju "x" a ne "a". Ponekad se to i eksplicitno navede.Jasno je da kad se govori o funkciji f (x) = 2ax2, tada (2ax2)′ znaciderivaciju funkcije koja opisuje kako vrijednost tog izraza ovisi o x(još govorimo o derivaciji po x), a kad govorimo o funkciji g(a) = 2ax2,tad (2ax2)′ znaci derivaciju funkcije koja opisuje kako vrijednost togizraza ovisi o a (još govorimo o derivaciji po a). Ako iz konteksta nijejasno koju funkciju razmatramo tad moramo koristiti drugu oznakuza derivaciju u kojoj je eksplicirano koju ovisnost gledamo, odnosnopo cemu se derivira:ddx

(2ax2) ilid

da(2ax2)

Obje funkcije nisu tablicne pa cemo im poslije naci derivacije. Y

Napomena o upotrebi "′" za oznaku derivacije

Ova oznaka se koristi kad se podrazumijeva koju funkciju opisujeformula, tj. kad se podrazumijeva po kojoj varijabli se derivira. Ako

to nije jasno tad treba koristiti oznake za derivacijuddx

,ddt

, itd. koje toeksplicitno kažu.


a) 2x b) log t c) arccos u d) arcsin(1)


Rješenje: Samo treba pravilno upotrijebiti tablicu

a) (2x)′ = 2x ln2 b) (log t)′ = 1t ln10

c) (arccos u)′ =− 1√1−u2

d) [arcsin(1)]′ =0 Y

2.2.2 Pravila deriviranja

Pravila za deriviranje opisuju derivaciju funkcije pomocu derivacija funk-cija od kojih je ona neposredno izgradena, i tako daju željenu redukcijuproblema deriviranja. Naravno, i ona se mogu dokazati na osnovi definicijederivacije i s malo poznavanja rada s limesima.

Pravila deriviranja

1. [ f (x)± g(x)]′ = [ f (x)]′± [g(x)]′ (pravilo za zbroj i razliku)

2. [c f (x)]′ = c [ f (x)]′ (pravilo za umožak konstante i funkcije)

3. [ f (x) ⋅ g(x)]′ = [ f (x)]′⋅g(x)+ f (x)⋅[g(x)]′ (pravilo za umnožakfunkcija)

4. [ f (x)g(x)]

′

= [ f (x)]′ ⋅ g(x)− f (x) ⋅ [g(x)]′

g(x)2 (pravilo za kvocijent

funkcija)

5. [ f (g(x))]′ = f ′(g(x)) ⋅ [g(x)]′ (pravilo za kompoziciju funk-cija)

Obicno se ova pravila zapamte nekakvom recitacijom tipa:

1. Derivacija zbroja je zbroj derivacija

2. Konstanta koja se množi s funkcijom se preskace kod deriviranja


3. Derivacija umnoška je derivacija prve funkcije puta druga funkcijaplus prva funkcija puta derivacija druge.

4. Derivacija kvocijenta se radi tako da se nazivnik kvadrira, a u brojnikide derivacija brojnika puta nazivnik minus brojnik puta derivacijanazivnika

5. Derivacija kompozicije funkcija je umnožak njihovih derivacija, svakeu svom argumentu.

Drugo pravilo je posljedica treceg, samo umjesto proizvoljne funkcijeg(x) stavimo konstantu c, i iskoristimo da je c′ = 0. Zbog jednostavnostizgodno ga je posebno imati.

Pravilo kompozicije, mada se naizgled cini jednostavno, najkomplicira-nije je i zadnjeg cemo ga razmatrati. Primijetite da je jedino kod njeganarušena konvencija da se oznaka deriviranja stavlja na formulu a ne nafunkciju. U protivnom bi izgledalo još kompliciranije, ali o tome cemo nakraju.


a) x+sin x b) x2−1 c) 3ln x d) xcos x e)ln x

x

Rješenje:

a) (x+sin x)′ = (x)′+(sin x)′ = 1+cos x

b) (x2−1)′ = (x2)′−(1)′ = 2x−0 = 2x

c) (3ln x)′ = 3 ⋅(ln x)′ = 3 ⋅ 1x= 3

x

d) (xcos x)′ = (x)′ cos x+ x(cos x)′ = 1 ⋅cos x+ x ⋅(−sin x) = cos x− xsin x

e) ( ln xx

)′

= (ln x)′ ⋅ x− ln x ⋅(x)′x2 =

1x⋅ x− ln x ⋅1

x2 = 1− ln xx2 Y


Kad su funkcije složenije koristimo postupak deriviranja koji smoobjasnili u uvodnom dijelu, i koji rutinski vodi rješenju. Istaknimo ga jošjednom:

Postupak deriviranja

Složenije funkcije se deriviraju tako da uvijek u dijelu koji je ostao zaderiviranje pogledamo koja je operacija zadnja radena i primijenimoodgovarajuce pravilo za deriviranje. Nakon konacno takvih korakadobijemo derivacije osnovnih elementarnih funkcija koje ocitamo iztablice. Prije svakog deriviranja dobro je promisliti može li se dio kojideriviramo napisati tako da ga je jednostavnije derivirati.

Primjer 2.2.4. Derivirajmo sljedece funkcije:

a) 2sin x+3cos x b) x+ x2+ x3 c) 2x2−3x+4

Rješenje:

a) Zadnje je radeno zbrajanje pa cemo primijeniti pravilo za zbrajanje:

(2sin x+3cos x)′ = (2sin x)′+(3cos x)′ =(sad je zadnje radeno množenje konstantom)

= 2(sin x)′+3(cos x)′ = (sad smo dobili tablicne derivacije)

= 2cos x−3sin x

b) Nije važno koje cemo zbrajanje uzeti kao zadnju operaciju:

(x+ x2+ x3)′ = (x)′+(x2)′+(x3)′ = 1+2x+3x2

c) Vidimo da jednostavno možemo derivirati bilo koji polinom:

(2x2−3x+4)′′pravilo zazbrajanje= (2x2)′−(3x)′+(4)′ =

pravilo zamnoženje konstantom= 2(x2)′−3(x)′+(4)′ =tablica= 2 ⋅2x−3 ⋅1+0 = 4x−3 Y


Primjer 2.2.5. Izderivirajmo:

a) xsin x+2x2 b)2x+1x−1

Rješenje:

a) (xsin x+2x2)′ = (xsin x)′+(2x2)′ = (x)′ sin x+ x(sin x)′+2(x2)′ == sin x+ xcos x+4x

b) (2x+1x−1

)′

= (2x+1)′(x−1)−(2x+1)(x−1)′(x−1)2 =

= ((2x)′+(1)′)(x−1)−(2x+1)((x)′−(1)′)(x−1)2 =

= (2+0)(x−1)−(2x+1)(1−0)(x−1)2 = 2x−2−2x−1

(x−1)2 = −3(x−1)2

Y

2.2.3 Pravilo za kompoziciju funkcija

Sad cemo se baviti pravilom za kompoziciju. Njega je jednostavno izreci

( f ○ g)′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g′(x)

Rijecima: derivacija kompozicije funkcija je derivacija zadnje funkcije f utocki g(x) puta derivacija prve funkcije g u tocki x. Medutim mi funkcijeopisujemo formulama i znak derivacije primjenjujemo na formule. Utakvom pristupu pravilo se malo komplicira i glasi

[ f (g(x))]′ = [ f (u)]′∣u=g(x) ⋅ [g(x)]′

Rijecima: derivacija kompozicije je derivacija formule za zadnju funkcijupo meduvrijednosti u koju nakon deriviranja zamijenimo s g(x), putaderivacija formule za prvu funkciju.


Prijedimo s rijeci na djela. Izderivirajmo sin(x2). To je kompozicija dvijufunkcija. Zadnji je raden sinus iz meduvrijednosti u koja je jednaka onomešto je prije radeno u = x2. Po pravilu za derivaciju kompozicije:

[sin(x2)]′ = [sin(u)]′∣u=x2 ⋅ [x2]′ = cos(u)

∣u=x2 ⋅2x = cos(x2) ⋅2x

Medutim ovako detaljno zapisivanje postupka je komplicirano. Bolje jederivaciju po u i naknadnu supstituciju u = x2 uraditi u glavi i zapisatisamo konacan rezultat cos(x2). To nije teško jer je derivacija zadnje funkcijetablicna derivacija. Zato pogledamo u tablici što je njena derivacija. Tamopiše [sin x]′ = cos x. No u rezultat cosx umjesto x ubacimo drugu funkcijux2 i odmah zapišemo cos(x2). Zatim sve to pomnožimo s derivacijom drugefunkcije.

Postupak deriviranja kompozicije funkcija

Kompoziciju f (g(x)) deriviramo na sljedeci nacin:

1. pogledamo u tablici derivacija što je rezultat deriviranja zadnjefunkcije f

2. u taj rezultat umjesto x stavimo g(x)

3. to što dobijemo pomnožimo s derivacijom prve funkcije, tj s [g(x)]′

Primjer 2.2.6. Izderivirajmo:

a) ln(cos x) b)√

ln x c) (sin x)2 d) e√

x

Rješenje:

a) Zadnji je raden ln. U tablici stoji da je rezultat deriviranja funkcije

ln x funkcija1x

, no mi cemo umjesto x uvrstiti prvu funkciju cos x i topomnožiti njenom derivacijom:

[ln(cos x)]′ = 1cos x

⋅ [cos x]′ = 1cos x

⋅(−sin x) =−tg x


b) Zadnji je raden korijen. U tablici stoji da je rezultat deriviranja

funkcije√

x funkcija1

2√

x, no mi cemo umjesto x uvrstiti prvu

funkciju ln x:

[√

ln x]′ = 1

2√

ln x⋅ [ln x]′ = 1

2√

ln x⋅ 1x= 1

2x√

ln x

c) Zadnje je radeno kvadriranje:

[(sin x)2]′ = 2sin x ⋅ [sin x]′ = 2sin x ⋅cos x = sin2x

U zadnjem koraku smo primijenili trigonometrijsku formulu za dvos-truki kut

d) Zadnje je radena eksponencijalna funkcija po bazi e:

[e√

x]′ = e√

x ⋅ [√x]′ = e√

x ⋅ 12√

x= e√

x

2√

xY

2.2.4 Derivacije višeg reda

Derivacija funkcije je opet funkcija, pa možemo tražiti i njenu derivaciju.Drugim rijecima postupak deriviranja možemo ponavljati i tako dobitidrugu, trecu itd. derivaciju pocetne funkcije. Njih oznacavamo redom

f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x), ...

Npr. za f (x) = sin x imamo redom

f ′(x) = cos x, f ′′(x) =−sin x, f ′′′(x) =−cos x, f ′′′′(x) = sin x,

Vidimo da se sad derivacije ponavljaju. Kad gledamo još više derivacijeoznake s crticama postaje nezgodna i radije se za n-tu derivaciju koristioznaka f (n)(x). Tako možemo jednostavnije nastaviti niz:

f (5)(x) = cos x, f (6)(x) =−sin x, itd

Postoji još jedan povijesno uvriježeni zapis koji necemo sad analizirativec ga samo navesti:


f ′(x) = d f (x)dx

, f ′′(x) = d2 f (x)dx2 ,..., f (n)(x) = dn f (x)

dxn ,...

U primjeni je najvažnije znati, pored prve derivacije, drugu derivaciju,jer je ona, direktno vezana za zakretanja funkcije. . Takoder Newtonovzakon govori o ubrzanju, brzini promjene brzine, dakle o drugoj derivacijiovisnosti položaja o vremenu. Rijetko se desi da i više derivacije imajudirektan znacaj.

Upotreba softwarea.***

Nakon ove cjeline citatelj treba znati postupak deriviranja i umjeti naciderivaciju bilo koje elementarne funkcije.


Izderivirajte sljedece funkcije:

a) a) x4 b)1x5 c) 3√x4 d) 4x e) log4 x

b) a) x4−2x+5 b) 3ln x−2√

x+ 4x

c) 3arcsin x−2ex+4tg x

c) a) x2 sin x b) x ln x c) ex cos x d) xarctg x

d) a)cos x

xb)

ln xx

c)ex

xd)

sin xx

e)xex

e) a) x ⋅sin x+ ex√x b) (2x+1) ⋅cos x+ 5x

c) x2 ⋅(ln x+2sin x)

f) a) cos(2x) b) sin(x2) c) ln(2x) d) sin(√x)e) ln(x2+1) f) ln(sin x) g)

√sin x h) cos(ln x)

i) e2x j) e1x k) (sin x)2

g) a) [(1+ x2)3+ x4]5 b) (1+ x2)10 ⋅cos(πx) c)√

4x2−3x

d) tg(4x2−3) e)√

1+ x2 ⋅ e6x f) ln(4x2−3)g) sin(4x2−3x+2) h)

√x2+ x i) x ⋅sin(2x)

j) sin(3x) ⋅ ln(x+ x2) k) x(1+ x)2+(x2+2x)2


Rješenja

1. a) 4x3 b) − 5x6 c)

43

3√

x d) 4x ln4 e)1

x ln4

2. a) 4x3−2 b)3x− 1√

x− 4

x2 c)3√

1− x2−2ex+ 4

cos2(x)

3. a) 2xsin x+ x2 cos x b) ln x+1

c) ex(cos x−sin x) d) arctg x+ x1+ x2

4. a) − xsin x+cos xx2 b)

1− ln xx2 c)

x−1x2 ex

d)xcos x−sin x

x2 e)1− x

ex

5. a) sin x+ xcos x+ 2x+12√

xex

b) 2cos x−(2x+1)sin x− 5x2

c) x[2ln x+4sin x+1+2xcos x]

6. a) −2sin(2x) b) 2xcos(x2) c)1x

d)cos

√x

2√

xe)

2xx2+1

f) ctg x

g)cos x

2√

sin xh) −sin(ln x)

xi) 2e2x

j) − 1x2 e

1x k) sin(2x)

7. a) 5[(1+ x2)3+ x4]4 ⋅ [6x(1+ x2)2+4x3]

b) 10(1+ x2)9 cos(πx)−π(1+ x2)10 sin(πx)


c)8x−3

2√

4x2−3xd)

8xcos2(4x2−3) e)

6x2+ x+6√1+ x2

⋅ e6x

f)8x

4x2−3g) (8x−3)cos(4x2−3x+2) h)

2x+1

2√

x2+ x

i) sin(2x)+2xcos(2x) j) 3cos(3x) ln(x+ x2)+ 2x+1x2+ x

sin(3x)

k) (x+1)(4x2+11x+1)

2.3 Primjena derivacije

2.3.1 Derivacija je brzina promjene

Za primjenu van matematike najvažnije svojstvo derivacije je da jeona brzina promjene: Ako su funkcijom f povezane velicine y i x,tad je derivacija funkcije f u nekoj tocki brzina promjene veliciney po velicini x u toj tocki. U ovoj cjelini je to ilustrirano na par primjera.

Prvo cemo razmotriti gibanje po pravcu. Neka se cestica giba po pravcuna kojem je uveden koordinatni sustav. U datom trenutku t ona se nalazina mjestu s koordinatom x koja ovisi o trenutku t. Tu ovisnost koordinatepoložaja o vremenu y = y(t) zovemo jednadžbom gibanja cestice:

yy = y(t)

Vidjeli smo da je znacajno znati i brzinu gibanja v. Ne samo da ta velicinaodgovara na pitanje kako se brzo mijenja položaj vec o njoj ovise i znacajne

2.3. Primjena derivacije 143

fizikalne velicine kao npr. kineticka energija cestice E = 12

mv2, gdje je mmasa cestice. Racun derivacija nam omogucuje da, ma kakva jednadžbagibanja, bila iz nje možemo bez vecih problema izvuci informaciju o brzinigibanja u bilo kojem trenutku:

Brzina gibanja

Ako je y = y(t) jednadžba gibanja cestice po pravcu tad je njena brzinau proizvoljnom trenutku t:

v(t) = d ydt

= y′(t)

Primjer 2.3.1. Opruga oscilira oko ravnotežnog položaja tako da joj otklony[cm] od položaja ravnoteže u trenutku t[s] iznosi y = 20sin(3t). Nadimojoj brzinu u proizvoljnom trenutku, u trenutku kad prolazi kroz ravnotežnipoložaj i kad je otklon maksimalan.

Rješenje: Derivacijom cemo naci brzinu:

v(t) = y′(t) = (20sin(3t))′ = 60cos(3t)

Sad je lako naci brzinu u pojedinim trenucima. Ravnotežni položaj je kadje sinus nula. No tada je (podsjetimo se trigonometrijske kružnice) kosinus±1, dakle tad je brzina ±60cm/ s. Ona je tad, kao što znamo iz iskustva,maksimalna po iznosu. No ne zaboravimo da je brzina broj s predznakom.Pozitivna je (najveca) kad tijelo prolazi kroz ravnotežni položaj u pozitivnomsmjeru y-osi, a negativna je (najmanja) kad tijelo prolazi kroz ravnotežnipoložaj u negativnom smjeru y-osi:


y

/ / / / / / / / /

0 ↑+60 ↓−60

Isto tako kad je maksimalan otklon (y najveci ili najmanji) tad je sinus ±1.Iz trigonometrijske kružnice možemo vidjeti da je tada kosinus nula. Dakleu krajnjim položajima brzina je nula, što znamo i iz iskustva. Y

Kao što položaj y = y(t) ovisi o vremenu tako i brzina gibanja v = v(t)ovisi o vremenu, pa se možemo pitati i kakva je njena brzina promjene.Brzinu promjene brzine tijela zovemo akceleracija i to je veoma važnavelicina u klasicnoj mehanici. Naime, osnovni zakon mehanike, drugiNewtonov zakon kaže da je ukupna sila F na tijelo proporcionalna akce-leraciji tijela a, gdje je faktor proporcionalnosti upravo masa tijela m:

F = ma

Tako nas poznavanje akceleracije vodi poznavanju sila koje djeluju na tijelo,i obratno, poznavanje sila, daje nam akceleraciju tijela.

Akceleracija gibanja

Ako je jednadžba gibanja cestice po pravcu y = y(t) tad je njenaakceleracija u proizvoljnom trenutku t:

a(t) = dvdt

= v′(t) = y′′(t)

Pored toga što brzina promjene jedna velicine u odnosu na drugu neštogovori o odnosu tih velicina to je ujedno nova velicina koja je ponekad samaza sebe znacajna. Slijede neki primjeri.


Primjer 2.3.2. Ako je brzina promjene temperature T[○C] posude veca od1○C po sekundi dolazi do pucanja posude. Temperatura posude se mijenjau prvih 60 sekundi po zakonu T(t) =

√1+ t2. Hoce li u tom periodu doci do

pucanja posude?

Rješenje: Trebamo izracunati brzinu promjene temperature po vremenui vidjeti hoce li ona ikad biti veca od 1:

dTdt

= (√

1+ t2)′ = 1

2√

1+ t22t = t√

1+ t2

Da je to vece od jedan u nekom trenutku otkrit cemo rješavanjem nejed-nadžbe:

t√1+ t2

> 1, t ∈ [0,60]

Odmah se može vidjeti da je brojnik (t =√

t2) manji od nazivnika pa je ovajrazlomak uvijek manji od 1. Tako nejednadžba nema rješenja, tj. nece docido puknuca. Y

2.3.2 Derivacija je nagib tangente

Kad smo analizirali pojam derivacije govorili smo o njegovom geometrij-skom znacenju: derivacija funkcije f u tocki x je nagib tangente nagraf funkcije f u tocki x.

Tangenta je ne samo geometrijski znacajna, nego i fizikalno. Ako setijelo giba po nekoj krivulji i na njega prestanu djelovati sile ono ce se pozakonu inercije nastaviti gibati po pravcu. Ali kojem pravcu? Po tangentina krivulju po kojoj se do tada gibalo:


x

y

Po geometrijskoj optici, kad svjetlost padne na ravnu površinu odbija setako da je kut što ga upadna zraka tvori s okomicom jednak kutu što gaizlazna zraka tvori s okomicom. Ali što kad svjetlost pada na zakrivljenupovršinu? Opet vrijedi isto. Samo što je okomica na površinu u datoj tockiupravo okomica na tangentu na površini u datoj tocki.

Tangenta

Medu svim pravcima koji prolaze tockom (x0, f (x0)) grafa funkcije fpravac kojem je nagib jednak derivaciji funkcije u toj tocki f ′(x0) jepravac koji je najbolje aproksimira na malim okolinama oko tocke x0.Taj pravac zovemo tangentom grafa u toj tocki i njegova je jednadžbay = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0):


x

yf (x)

x0

f (x0) 1f ′(x0)

Da je to jednadžba pravca koji prolazi tom tockom i nagib mu je jednakderivaciji slijedi iz formule za jednadžbu pravca kroz zadanu tocku (x0, y0)zadanog nagiba a:

y = y0+a(x− x0)

Stavimo li u ovu jednadžbu da je y0 = f (x0) (jer je to tocka na grafufunkcije f ) i da je a = f ′(x0) dobijemo jednadžbu tangente. Da je to najboljaaproksimacija, i u kojem smislu je to najbolja aproksimacija grafa u okolinite tocke vidjet cemo u sljedecoj cjelini 2.3.3.

Primjer 2.3.3. Nadimo jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) = 2x3 utocki x0 = 1.

Rješenje: Ono što je sadržajno jasno, da je tangenta posve odredenagrafom funkcije i izabranom tockom na njoj, odražava se i u formi. Dabismo dobili njenu tangentu po formuli y = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0) moramoprecizirati x0, f (x0) i f ′(x0). Izracunat cemo derivaciju funkcije

f ′(x) = 6x2,

te u x0 = 1 izracunati vrijednost funkcije i derivacije:


x0 = 1, f (x0) = 2, f ′(x0) = 6

Uvrštavanjem u formulu dobit cemo traženu tangentu:

y = 2+6(x−1)→ y = 6x−4 Y

2.3.3 Derivacija je najbolja linearna aproksimacija

Kad zaboravimo fizikalno i geometrisko znacenje derivacije, ostaje njenomatematicko znacenje na kojem se bazira njena primjena unutar samematematike: derivacija funkcije f u tocki x odreduje koeficijentsmjera linearne funkcije koja medu svim linearnim funkcijamakroz tocku x najbolje lokalno aproksimira funkciju f .

Kad smo govorili o ovisnosti velicina y = f (x) govorili smo o najboljojaproksimaciji stvarne ovisnosti jednolikom ovisnošcu u malim okolinamanekog argumenta. Kad smo govorili o grafu funkcije f govorili smoo najboljoj aproksimaciji grafa pravcem u malim okolinama neke tocke.No ako odstranimo fizikalni smisao velicina i geometrijsku interpretaciju,ostaje nam matematicki objekt koji je u pozadini svega toga, funkcijaf i njena aproksimacija linearnom funkcijom u malim okolinama nekogargumenta. Sad cemo vidjeti matematicki smisao te aproksimacije.

Linearne funkcije koje se podudaraju s funkcijom f u tocki x0 su funkcijeoblika

y = f (x0)+a(x− x0)

Iz definicije derivacije se može dobiti kriterij po kojem je medu svim takvimfunkcijama funkcija

y = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0)?

najbolja aproksimacija


Najbolja linearna aproksimacija

Funkciju f oko tocke x0 možemo aproksimirati linearnom aproksimaci-jom

L(x) = f (x0)+ f ′(x0) ⋅(x− x0):

f (x) ≃ f (x0)+ f ′(x0) ⋅(x− x0) za x blizu x0

Ova aproksimacija je to bolja što je x bliže x0.

To je najbolja takva aproksimacija linearnom funkcijom u smislu dagreška aproksimacije G(x) najbrže teži nuli. Preciznije, to je jedinalinearna aproksimacija kojoj je greška dana izrazom

G(x) = ε(x)(x− x0), gdje je limx→x0

ε(x) = 0

x

y f (x)

L(x) = f (x0)+ f ′(x0) ⋅(x− x0)

x0

f (x0)

x

greška aproksimacije G(x) = ε(x)(x− x0)

Primjer 2.3.4. Nadimo linearnu aproksimaciju funkcije sin x oko nule.

Rješenje: Samo trebamo unijeti odgovarajuce podatke u formulu i to jeposve analogno unošenju podataka u formulu za jednadžbu tangente.

Sve je odredeno poznavanjem funkcije f (x) = sin x i tocke x0 oko kojeaproksimiramo:


f (x) = sin x→ f ′(x) = cos x→ f (x0) = 0, f ′(x0) = 1

Sad to uvrstimo u formulu za linearnu aproksimaciju: sin x ≃ 0+1(x−0)→sin x ≃ x za x oko nule.

Ovo je inace aproksimacija koja se koristi u geometrijskoj optici, tzv.Gaussova aproksimacija koja je dobra za male upadne kutove svjetlosti.Ona uveliko pojednostavnjuje matematiku razumijevanja i dizajniranjaoptickih instrumenata. Y

Ako želimo izracunati sin(0.1), po gornjoj aproksimaciji vidimo da je topribližno 0.1. Opcenito ako znamo izracunati vrijednost funkcije i njenederivacije u nekoj tocki tad nam linearna aproksimacija omogucuje dapribližno izracunamo njenu vrijednost i u susjednim tockama.

Umjesto da aproksimiramo vrijednost funkcije oko neke tocke, možemoaproksimirati promjenu te vrijednosti. Pošto je funkcija L(x) = f (x0) +f ′(x0) ⋅(x− x0) najbolja linearna aproksimacija funkcije f oko x0, to je naj-bolja linearna aproksimacija promjene vrijednosti funkcije upravo promjenavrijednosti po toj funkciji:

∆y = f (x)− f (x0) ≃ f ′(x0)(x− x0)

Tu aproksimaciju stvarne promjene funkcije promjenom po linearnoj aprok-simaciji (tangenti) zovemo diferencijal:

Diferencijal funkcije

Diferencijal funkcije f u tocki x za promjenu argumenta ∆x je broj

d y = d f (x) = f ′(x)∆x

To je najbolja linearna aproksimacija promjene vrijednosti funkcije ∆yza promjenu argumenta ∆x:


∆y ≃ d y = f ′(x)∆x

pri cemu je greška G(∆x) = ε(∆x)∆x, gdje je lim∆x→0

ε(∆x) = 0.

x

y f (x)

x

f (x)∆x

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭∆y

G(∆x) = ε(∆x)∆x

d y = d f (x) = f ′(x)∆x

Diferencijal funkcije ovisi o tocki x iz koje smo se pomakli i o ∆x za kolikosmo se pomakli. No ovisnost o ∆x se obicno ne navodi, vec se podrazumijeva.

Diferencijal lako racunamo. Iz definicije se vidi da se problem svodi naracunanje derivacije.

Primjer 2.3.5. Nadimo diferencijal funkcije f (x) = 1x2

a) u proizvoljnoj tocki za proizvoljni prirast

b) u x = 2 za proizvolji prirast

c) u x = 2 za prirast ∆x = 0.1.

Rješenje:

a) d f (x) = f ′(x)dx = ( 1x2)

′

dx =− 2x3 dx

b) za x = 2 imamo d f (x)x=2 =−14

dx


c) za ∆x = 0.1 imamo d f (x) x=2∆x=0.1

=−14⋅0.1 = 0.025 Y

Pojam diferencijala možemo iskoristiti i da objasnimo notaciju za deri-vaciju

d ydx

= d f (x)dx

Dosad smo je koristili kao sugestivnu notaciju koja nas podsjeca naosnovni smisao derivacije, da je to omjer jako malih promjena velicinay i x povezanih funkcijom f . Tako smo u osnovnoj intuiciji d y i dx"doživljavali" kao jako male promjene y i x. Po nama to i jeste najintuitivnijei najplodotvornije gledanje na derivaciju i diferencijale. No preciznijimatematicki pogled na derivaciju kaže da to nije baš tako ali je ispravniješto su promjene manje:

d ydx

≈ ∆y∆x

, za male ∆x

U ovom izrazu možemo izjednaciti dx i ∆x. Jer ako pogledamo što jediferencijal funkcije f (x) = x, dobit cemo da je

dx = (x)′∆x = 1 ⋅∆x =∆x

Dakle diferencijal argumenta funkcije isto je što i promjena argumenta,no diferencijal vrijednosti funkcije nije promjena vrijednosti funkcije vecpromjena vrijednosti po linearnoj aproksimaciji. A sama derivacija baš ijeste omjer tih promjena:

Derivacija i diferencijal

Derivacija funkcije y = f (x) jednaka je omjeru diferencijala vrijednosti iargumenta funkcije

f ′(x) = d ydx

≃ ∆y∆x

, za male ∆x


x

y f (x)

x

f (x)dx

d y f ′(x) = d ydx

Tu notaciju za derivaciju se ne mora gledati tek kao sugestivnu notacijuza približan omjer malih promjena (desna približna jednakost) vecdoslovno, kao omjer diferencijala (lijeva jednakost).

Pravi znacaj diferencijala nije ni prakticni (za približno racu-nanje) ni teorijski (jer je to samo pojam linearne aproksimacijeizrecen na drugi nacin) vec konceptualni, u otkrivanju odnosamedu velicinama. Naime, teorijski i prakticno obicno je teško naci kakoovise dvije velicine y i x. Puno je jednostavnije naci približan odnos medunjihovim malim promjenama ∆y i ∆x. Ako pak iskustveno pretpostavimoili teorijski opravdamo da je taj približni odnos medu malim promjenamau stvari pravi odnos medu linearnim aproksimacijama tih promjena, tj.

medu diferencijalima d y i dx, tad smo u stvari našli brzinu promjened ydx

te ovisnosti iz koje možemo, obicno rješavanjem diferencijalnih jednadžbi,rekonstruirati traženu ovisnost y i x. Fizika i tehnika vrve takvim nacinomrazmišljanja u otkrivanju ovisnosti.

Nakon ove cjeline citatelj treba znati brzine promjena izraziti deriva-cijom, naci tangentu na graf funkcije u zadanoj tocki i razumjeti pojamlinearne aproksimacije i diferencijala.



a) Ako je položaj y cestice u trenutku t jednak y = 3t2− t3 odredite brzinutijela u trenutku t = 2.

b) Ako je položaj y cestice u trenutku t jednak y = 3t2 − 2√

t odreditebrzinu tijela u trenutku t = 1.

c) Ako je položaj y cestice u trenutku t jednak y = ln t−2t odredite brzinutijela u trenutku t = 1.

d) Ako se cestica giba po pravcu tako da joj je položaj y u trenutku tjednak y = 2t−3t3 nadite joj brzinu i ubrzanje u trenutku t = 1.

e) Ako se cestica giba po pravcu tako da joj je položaj y u trenutku tjednak y = 2t+sin t nadite joj brzinu i ubrzanje u trenutku t = 0.

f) Ako se cestica giba po pravcu tako da joj je položaj y u trenutku tjednak y = et− t2 nadite joj brzinu i ubrzanje u trenutku t = 0.

g) Ako se cestica giba po pravcu tako da joj je položaj y u trenutku tjednak y = 3et+ ln(t+1) nadite joj brzinu i ubrzanje u trenutku t = 0.

h) Cestica se giba po zakonu y(t) = t3 −4t2 −3t, t > 0. Nadite joj brzinui akceleraciju u trenutku t = 1 i na osnovu tog odredite u kojem sesmjeru tad giba i da li ubrzava ili usporava.

i) Cestica se giba po zakonu y(t) = cos t+ t. Nadite joj brzinu i akcelera-ciju u trenutku t = π

4i na osnovu tog odredite u kojem se smjeru tad

giba i da li ubrzava ili usporava.

j) Ako je u trenutku t temperatura tijela T jednaka T = 4√

t−3t kolikaje njena brzina promjene u trenutku t = 4? Hladi li se tijelo u tomtrenutku ili se zagrijava?

k) Kolicina vode V u bazenu u trenutku t iznosi V =√

10− t. Kolikaje brzina promjene kolicine vode u trenutku t = 6? Što nam govoripredznak te brzine?

l) Tlak P u posudi u trenutku t iznosi P = (cos t)2. Kolika je brzinapromjene tlaka u trenutku t =π?


m) Površina P naftne mrlje u trenutku t iznosi P = ln2t. Kolika je brzinapromjene površine u trenutku t = 4?

n) Energija E toplinskog zracenja tijela u trenutku t iznosi E =√

1+ sint.Kolika je brzina promjene energije u trenutku t = 2π? Kako zovemo tubrzinu promjene?

o) Nadite tangente na grafove zadanih funkcija u zadanim tockama:

a) y = x4+3x2−16, x0 =−2

b) y = sin x, x0 =π

6

c) y = 1x

, x0 =32

d) y = 12

x, x0 = 3

p) Nadite linearnu aproksimaciju sljedecih funkcija oko zadane tocke:

a) f (x) = 3√

x, x0 = 27 b) f (x) = 3x, x0 = 0c) f (x) = sin x, x0 =π

q) Nadite diferencijale sljedecih funkcija i izracunajte ih u navedenimtockama za navedeni prirast argumenta

a) f (x) = 2√x

, x = 9, ∆x =−0.01

b) f (x) = cos x, x = π6

, ∆x = π

36c) f (x) = ln x, x = 1, ∆x =−0.5

Rješenja

1. v(t) = 6t−3t2, v(2) = 0

2. v(t) = 6t− 1√t, v(1) = 5

3. v(t) = 1t−2, v(1) =−1


4. v(t) = 2−9t2, a(t) =−18t, v(1) =−7, a(1) =−18

5. v(t) = 2+cos t, a(t) =−sin t, v(0) = 2, a(0) = 0

6. v(t) = et−2t, a(t) = et−2, v(0) =−1, a(0) =−1

7. v(t) = 3et+ 1t+1

, a(t) = 3et− 1(t+1)2 , v(0) = 4, a(0) = 2

8. v(t) = 3t2−8t−3, a(t) = 6t−8→ v(1) =−8, a(1) =−2. Cestica se giba unegativnom smjeru i ubrzava.

9. v(π4) = 1

2, a(π

4) =−

√3

2. Giba se u pozitivnom smjeru i usporava.

10. T′(t) = 1√t−3, T′(4) =−2. Hladi se.

11. V ′(t) =− 12√

10− t, V ′(6) =−1

4. Bazen se u tom trenutku prazni.

12. p′(t) =−sin2t, p′(π) = 0

13. P′(t) = 1t, P′(4) = 1

4

14. E′(t) = cos t2√

1+sin t, E′(2π) = 1

2. Tu velicinu zovemo snagom ili

intenzitetom zracenja.

15. a) y =−44x−76 b) y = 12+√

32

(x− π6)

c) y = 49

x+ 43

d) y = 18− 1

8ln(2) ⋅(x−3)

16. a) 3√

x ≈ 3+ 125

(x−27) b) 3x ≈ 1+ x ln3 c) sin x ≈−x+π

17. a) d f (x) =− 1x√

xdx, d f (x) x=9

∆x=−0.01= 0.00037

b) d f (x) =−sindx, d f (x) x=π6∆x= π

36

=− π

72

c) d f (x) = 1x

dx, d f (x) x=1∆x=−0.5

=−0.5

2.4. Antiderivacija ili neodredeni integral 157

2.4 Antiderivacija ili neodredeni integral

U ovoj cjelini je opisan pojam antiderivacije ili neodredenog inegrala,operacije suprotne derivaciji, dana su neka elementarna pravila za njegovoracunanje i primjena na gibanje cestice po pravcu.

2.4.1 Pojam antiderivacije

Vidjeli smo kod brojeva kako je važno imati za svaku operaciju neku vrstusuprotne operacije. Isto je i s operacijama nad funkcijama. Deriviranjemod ovisnosti položaja cestice o vremenu y(t) dobivamo ovisnost brzine ovremenu

v(t) = d ydt

a deriviranjem ovisnosti brzine o vremenu dobivamo ovisnost akceleracije ovremenu

a(t) = dvdt

Naravno da je jako znacajno imati i suprotnu operaciju kojom cemood akceleracije dobiti brzinu a od brzine položaj, pogotovo zato što nampoznavanje sila po Newtonovu zakonu daje akceleraciju, pa bismo timpostupkom mogli utvrditi kako se cestica giba:

x(t)deriviranje // v(t)

?oo

deriviranje // a(t)?

oo

Vec smo kod razmatranja diferencijala naletjeli na takav problem. Trebaloje naci funkciju F(x) kojoj je poznata derivacija f (x) = 2x. Lako je pogoditida je to funkcija F(x) = x2, ali i funkcija F(x) = x2+1, i opcenito sve funkcijeoblika F(x) = x2+C, jer je derivacija konstante nula:


x

yF(x) = x2+C

derivacija

x

yf (x) = 2x

No ima li još funkcija koje derivirane daju 2x? Pokazat cemo da nema.Neka je G(x) funkcija kojoj je derivacija 2x. Tad funkcija H(x) = G(x)− x2

ima derivaciju H′(x) = 0. Po teoremu o srednjoj vrijednosti je H(b)−H(a) =

H′(t)(b − a) = 0 ⋅ (b − a) = 0. Dakle to je konstantna funkcija, H(x) = C,

tj. G(x) = x2 +C. Dakle, funkcije oblika F(x) = x2 +C su sve funkcije kojederivirane daju funkciju f (x) = 2x.

Opcenito, za bilo koju funkciju f (x) ako nademo jednu funkciju F(x)kojoj je ona derivacija na datom intervalu, tad smo našli sve. To su svefunkcije oblika F(x)+C. Dokaz je lagano poopcenje prethodnog dokazaza funkciju 2x. Sve te funkcije zovemo antiderivacijama ili neodredenimintegralima funkcije f . Takoder se može dokazati da svaka funkcijaneprekidna na intervalu ima antiderivaciju. Time je riješen problempostojanja i oblika svih antiderivacija. Još ostaje problem oznaka. Poštodata funkcija ima više antiderivacija i sve su odredene jednom od njih, bilobi lijepo imati nacin svakoj funkciji pridružiti nekim pravilom jednu od tihantiderivacija i tako imati djelomicno suprotnu operaciju. Medutim, nemaprirodnog nacina da izdvojimo takvu funkciju. Zato je dogovor da jednu odantiderivacija funkcije f oznacavamo ∫ f i ne izjašnjavamo se koju dok tone bude potrebno, a tad izaberemo najjednostavniju. Kao i kod derivacijai ovu oznaku primjenjujemo na formulu f (x) kojom je zadana funkcija f .

Tad neodredeni integral oznacavamo ∫ f (x)dx. Zašto se baš ta oznakapovijesno uvriježila vidjet cemo poslije. Zasad je samo važno da je to oznakaneke antiderivacije funkcije koja je zadana formulom f (x) s ulazom x. Dasaberemo


Antiderivacija ili neodredeni integral

Za funkciju f kažemo da je funkcija F njena antiderivacija ilineodredeni integral na intervalu I ako je f njena derivacija tj.

F ′(x) = f (x), za svaki x ∈ I

Ako je funkcija f neprekidna na intervalu I tad ima antiderivaciju F isve njene antiderivacije su oblika F(x)+C. Jednu od njih oznacavamo

∫ f (x)dx.

∫ f (x)dx = F(x)+C↔ F ′(x) = f (x)

Iz suprotnosti operacija slijedi da je

[∫ f (x)dx]′

= f (x) ∫ [F(x)]′dx = F(x)+C

Tako je pitanje postojanja i strukture antiderivacija riješeno. No za datufunkciju naci njenu antiderivaciju je daleko teži problem od integriranja. Micemo proci samo elementarne postupke integriranja i više se baviti smislomtog pojma. Srecom postoje jaki matematicki programi kao Mathematica R©

koji umjesto nas izracunavaju složenije integrale.

Primjer 2.4.1. Nadimo sljedece integrale:

a) ∫ cos xdx b) ∫ cos(2x)dx c) ∫ t2dt

d) ∫ t2dx

Rješenje: Pokušat cemo pogoditi te neodredene integrale. Naime, mitražimo funkcije kojima znamo derivacije.

a) Znamo da je (sin x)′ = cos x. Dakle ∫ cos xdx = sin x+C


b) Znamo da je (sin(2x))′ = 2cos(2x). Dobili smo dvostruko više, pa

trebamo uzeti dvostruko manju funkciju: (12

sin(2x))′

= 12⋅2cos(2x) =

cos(2x). Dakle

∫ cos(2x)dx = 12

sin(2x)+C

Primijetimo da ako u rješenju zadatka a) ∫ cos xdx = sin x+C umjesto

x uvrstimo 2x dobit cemo pogrešno rješenje ∫ cos(2x)dx = sin(2x)+C. Kao i kod derivacija, oznake integrala primjenjujemo na formulekojima su opisane funkcije, i zbog toga tvrdnje o integralima moramodoslovno koristiti, bez supstitucije, jedino smijemo promijeniti oznakuvarijable integriranja.

c) Pokušajmo s t3: (t3)′ = 3t2. Znaci trebali smo uzeti trostruko manje:

∫ t2dt = 13

t3+C

d) Kao i kod deriviranja važno je po cemu integriramo. Ovdje integri-

ramo po x pa je t2 konstanta. Lako se uvjeriti da jeddx

t2x = t2, pa je

∫ t2dx = t2x+C.

Y

Mada antiderivaciju nije lako naci, lako je provjeriti rješenje:

Primjer 2.4.2. Provjerimo jesu li ispravne sljedece tvrdnje

a) ∫ ln xdx = x ln x− x+C b) ∫ cos2(x) = 13

cos3(x)+C

Rješenje: Po smislu integrala trebamo pokazati da je derivacija desnestrane baš lijeva

a) (x ln x− x)′ = (x ln x)′ − (x)′ = (x)′ ln x+ x(ln x)′ −1 = ln x+ x1x−1 = ln x.

Dakle tvrdnja je ispravna.


b) (13

cos3(x))′ = 13⋅3cos2(x) ⋅ (cos(x))′ = −cos2(x) ⋅ sin x. Dakle tvrdnja

nije ispravna. Y

2.4.2 Elementarni racun neodredenog integrala

Iz ovih primjera vidimo da iz tablice derivacija možemo dobiti tablicuintegrala, bilo direktno ili malim naštimavanjem kao što je prethodnopokazano. Konacno, deriviranjem sve te tvrdnje možete jednostavnoprovjeriti

Tablica nekih elementranih integrala

1. ∫ 1dx = x+C

2. ∫ xadx = xa+1

a+1+C, a ≠ 0

3. ∫1x

dx = ln ∣x∣+C,

4. ∫ exdx = ex+C

5. ∫ axdx = ax

lna+C

6. ∫ sin xdx =−cos x+C

7. ∫ cos xdx = sin x+C

8. ∫1

cos2 xdx = tg x+C

9. ∫1

sin2 xdx =−ctg x+C

10. ∫1

1+ x2 dx = arctg x+C


11. ∫1√

1− x2dx = arcsin x+C

Ponekad se umjesto ∫ 1dx jednostavnije piše ∫ dx, pa se može koristitipravilo koje opcenito vrijedi, da se znak integrala i znak diferencijala kratekad se nadu jedan do drugoga ∫ dx = x+C.

Formula ∫ xadx = xa+1

a+1+C nema smisla za a =−1 tj. za integral ∫

1x

dx,no taj slucaj baš obuhvaca treca formula.

Primjer 2.4.3. Izracunajmo:

a) ∫ x3dx b) ∫1x3 dx c) ∫ 3

√xdx d) ∫ x−1dx

Rješenje:

a) ∫ x3dx = x3+1

3+1+C = x4

4+C

b) ∫1x3 dx =∫ x−3dx = x−3+1

−3+1+C = x−2

−2+C =− 1

2x2 +C

c) ∫ x13 dx = x

13+1

13+1

+C = x43

43

+C = 43

x 3√

x+C

d) ∫ x−1dx =∫1x

dx = ln ∣x∣+C Y

Upoznat cemo za sada dva elementarna pravila kojima se problemtraženja integrala reducira na "manje" probleme. Ona su slicna osnovnimpravilima za deriviranje.


Elementarna pravila integriranja

1. ∫ ( f (x)+ g(x))dx =∫ f (x)dx+∫ g(x)dx

2. ∫ c f (x)dx = c∫ f (x)dx

Dakle i integriranje i deriviranje zadovoljavaju dva jednostavna pravila:"preskacu" zbrajanje i množenje konstantom. To svojstvo operacija nazivase linearnošcu i, ma koliko se cinilo elementarnim, veoma je važno.

Ova pravila se dokazuju kao i sva pravila vezana za suprotne operacije:da je gornja jednakost ispravna znaci da derivacije obiju strana moraju bitijednake, u što se lako možete uvjeriti.


a) ∫ (3x2−3x+4)dx b) ∫ (3sin x+2cos x)dx

Rješenje: Kao i kod deriviranja gledamo što je zadnje radeno i primjenju-jemo odgovarajuce pravilo, radeci tako redukciju na tablicne integrale.

a) ∫ (3x2−3x+4)dx =∫ 3x2dx−∫ 3xdx+∫ 4dx =

= 3∫ x2dx−3∫ xdx+4∫ dx =

= 3x3

3−3

x2

2+4x+C = x3− 3

2x2+4x+C

b) ∫ (3sin x+2cos x)dx =∫ 3sin xdx+∫ 2cos xdx =

= 3∫ sin xdx+2∫ cos xdx =

=−3cos x+2sin x+C Y


Osnovni problem kod integriranja, za razliku od deriviranja je dane postoje pravila za množenje, dijeljenje i kompoziciju. Postoje još dvaznacajna pravila, suptitucija i parcijalna integracija, koja tek djelomicnootklanjaju taj nedostatak. I zato je integriranje teško. Razmatranje tihpravila bi nas ovdje odvelo predaleko.

2.4.3 Primjena neodredenog integrala na gibanjecestice

Kao što smo deriviranjem iz ovisnosti položaja o vremenu dobili ovisnostbrzine o vremenu, tako integriranjem možemo postici obratno, iz ovisnostibrzine o vremenu dobit cemo (skoro) ovisnost položaja o vremenu.

Primjer 2.4.5. Brzina v cestice koja se giba po pravcu ovisi o vremenu tpo sljedecem zakonu v(t) = 2t−3t2 (sad nam nisu važne jedinice, pa možetezamisliti koje hocete). Kako položaj y ovisi o vremenu?

Rješenje: Pošto je brzina derivacija položaja to je položaj integral brzine:

v(t) = 2t−3t2→

d ydt

= y′(t) = 2t−3t2 ∣∫ dt→

y(t) =∫ (2t−3t2)dt =∫ 2tdt−∫ 3t2dt = 2t2

2−3

t3

3+C = t2− t3+C

Dobili smo puno rješenja, za svaki izbor konstante C po jedno rješenje.Matematicki je to jasno jer funkcija ima puno antiderivacija. No to je jasnoi fizikalno, jer u nultom trenutku cestica je mogla biti bilo gdje a da joj sebrzina ponaša po tom zakonu. Slikovitije, možemo zamisliti dvije cesticeudaljene 10 prostornih jedinica koje se posve isto gibaju (npr. povežemo ihcvrstim štapom). Dakle, imaju u svakom trenutku istu brzinu, a položaji imse razlikuju do na konstantu. Zato treba dodatna informacija o položaju unekom trenutku da bismo odredili gibanje. Obicno se uzme položaj u nultom


trenutku. Ako npr. zahtijevamo da je u trenutku t = 0 cestica bila na mjestuy = 10, y(0) = 10, time cemo odrediti konstantu C:

y(t) = t2− t3+C→ uvrštavanjem t = 0 i y = 10 dobijemo

10 = 02−03+C→C = 0

i tako smo posve odredili jednadžbu gibanja cestice:

y(t) = t2− t3 Y

Isto tako, ako znamo kako akceleracija ovisi o vremenu a = a(t),integriranjem cemo dobiti kako brzina ovisi o vremenu v = v(t), a daljnimintegriranjem i kako položaj ovisi o vremenu y = y(t). Pri tome ce se kodsvakog integriranja pojaviti jedna konstanta koju cemo odrediti iz pocetnihuvjeta. I fizikalno je jasno da mora biti tako. Naime, sile koje djeluju natijelo odreduju akceleraciju. Npr. kad bacimo neki predmet gravitacijskasila (ako zanemarimo trenje) odreduje akceleraciju. Ali kako ce se tijelogibati ne ovisi samo o gravitacijskoj sili nego i o tome odakle smo ga bacilii o brzini kojom smo ga izbacili, i o nicemu više. Upravo ta dva podatkaodredit ce nam konstante i dati tocno jedno gibanje. To da sile koje djelujuna tijela zajedno s pocetnim položajima i brzinama posve odreduju daljnjagibanja tijela zove se princip determiniranosti klasicne fizike. On namomogucuje da, u principu, znajuci sile i navedena pocetna stanja u svakomsljedecem trenutku tocno znamo što se zbiva, omogucuje nam apsolutnukontrolu stvarnosti.

Dobivanje brzine i položaja iz akceleracije

v(t) =∫ a(t)dt

y(t) =∫ v(t)dt

Primjer 2.4.6. Akceleracija a cestice koja se giba po pravcu ovisi o vremenut po sljedecem zakonu a = 2cos t. Ako je cestica u pocetnom trenutku t = 0 bila


na mjestu y = 0 i imala brzinu v = 1, nadite kako joj brzina i ubrzanje oviseo vremenu.

Rješenje:

a(t) = 2cos t→ v′(t) = 2cos t ∣∫ _dt→

v(t) =∫ 2cos tdt = 2sin t+C

Sad cemo iskoristiti pocetni uvjet v(0) = 1 da odredimo C:

1 = 2sin0+C→C = 1.

Dakle ovisnost brzine o vremenu je v(t) = 2sin t+1.

Sad cemo ponovnim integriranjem odrediti ovisnost položaja o vremenu:

v(t) = 2sin t+1→ y′(t) = 2sin t+1 ∣∫ _dt→

y(t) =∫ (2sin t+1)dt→

y(t) =−2cos t+ t+C

Iskoristit cemo pocetni uvjet y(0) = 0 da odredimo C:

0 =−2cos0+0+C→C = 2.

Dakle, ovisnost položaja o vremenu je y(t) =−2cos t+ t+2. Y


Nakon ove cjeline citatelj treba znati što je antiderivacija, elementarnapravila njenog racunanja i primjenu na nalaženje brzine i položaja cestice


na osnovu poznate akceleracije i pocetnih uvjeta gibanja.


Zadaci za vježbu

1. Provjerite ispravnost sljedecih tvrdnji

a) ∫ (2x+1)exdx = (2x+1)ex+C

b) ∫ (2x+1) ln xdx = x2+ x ln x+C

c) ∫ sin(2x−π)dx =−cos(2x−π)+C

d) ∫2

2x+1dx = ln(2x+1)+C

e) ∫2x

x2+1dx = ln(x2+1)+C

f) ∫ xsin xdx = sin x− xcos x+C

g) ∫ x ln xdx = x2 ln x− x+C

2. Izracunajte:

a) ∫ x100dx b) ∫1

x100 dx c) ∫ 100√

xdx d) ∫ 100xdx

3. Izracunajte:

a) ∫ (2x+1)dx b) ∫ (2x−sin x)dx c) ∫ (1+ 2x2 )dx

d) ∫ (3x2−2)dx e) ∫ (2x+ 1x)dx f) ∫ x(−x+1)dx

g) ∫ (x−1)(x+1)dx h) ∫ x(2+ 3x)dx i) ∫

x2+2x2 dx


j) ∫x2+2x

xdx

4. Nadite kako brzina v(t) i položaj y(t) cestice ovise o vremenu akosu poznati akceleracija a(t), pocetna brzina v i pocetni položaj y upocetnom trenutku t:

a) a(t) = sin t, t = 0, v = 0, y =−1

b) a(t) = 2−6t, t = 0, v = 0, y =−1

c) a(t) = 1t2 , t = 1, v = 0, y = 1

d) a(t) = t−2t2, t = 0, v = 0, y =−1

e) a(t) = t−2cos t, t = 0, v = 0, y = 0

f) a(t) =− 2t3 , t = 1, v = 1, y = 0

Rješenja

1. a) Ne b) Ne c) Ne d) Dae) Da f) Da g) Ne

2. a)x101

101+C b) − 1

99x99 +C

c) −100101

x 100√

x+C d)100x

ln100+C

3. a) x2+ x+C b) x2+cos x+C c) x− 2x+C

d) x3−2x+C e) x2+ ln ∣x∣+C f) − x3

3+ x2

2+C

g)x3

3− x+C h) x2+3x+C i) x− 2

x+C

j)x2

2+2x+C


4. a) v = 1−cos t, y = t−sin t−1b) v = 2t−3t2, y = t2− t3−1

c) v = 1− 1t, y = t− ln t

d) v = 12

t2− 23

t3, y = 16

t3− 16

t4−1

e) v = 12

t2−2sin t, y = 16

t3+2cos t−2

f) v = 1t2 , y =−1

t+1


2.5 Pojam odredenog integrala

U ovoj cjelini je opisan pojam odredenog integrala, uz derivaciju, drugiosnovni pojam matematike promjena.

2.5.1 Osnovna ideja

Kako utvrditi prijedeni put s, odnosno promjenu položaja ∆y, kod gibanjapoznatom brzinom v? Znamo iz srednje škole da je kod jednolikog gibanjaprijedeni put s =∆y u pozitivnom smjeru y-osi u vremenu ∆t jednak

s =∆y = v∆t

yt =∆t

v = const

t = 0

s =∆y = v∆t

No što kad je gibanje nejednoliko? Ideja je jednostavna: Nejednolikogibanje cemo podijeliti na puno sitnih vremenskih intervala. Nasvakom tom vremenskom intervalu cemo stvarno gibanje aprok-simirati jednolikim gibanjem nekom brzinom iz tog intervala. Poformuli za jednoliko gibanje izracunat cemo prijedeni put odnosnopromjenu položaja na tom intervalu. Zbrojit cemo sve tako do-bijene djelice i približno dobiti ukupan put odnosno promjenupoložaja. Ocekujemo da ce rezultat biti to bolji što uzimali sitnijevremenske intervale, jer je tad greška aproksimacije nejednolikoggibanja na tom intervalu manja.

Na isti nacin možemo razriješiti i problem nalaženje bilo koje nejedno-like velicine: ”isjeckamo” je na male dijelove, te male dijelove aproksimi-ramo jednolikim dijelovima koje znamo izracunati i to zbrojimo.

Kao i kod pojma derivacije, ovu ideju sad trebamo pretvoriti u precizani efikasan matematicki aparat.

2.5. Pojam odredenog integrala 171

2.5.2 Promjena položaja kod jednolikog gibanja

Razmatrat cemo za pocetak gibanje u pozitivnom smjeru y-osi. Tada je vezapomaka ∆y i prijedenog puta ∆s jednostavna: ∆y = ∆s. Po samoj definicijijednolikog gibanja omjer prijedenog puta, tj. pomaka ∆y i proteklogvremena ∆t je stalan broj kojeg zovemo brzinom v jednolikog gibanja:

∆y∆t

= const = v

Poznavajuci brzinu lako možemo izracunati prijedeni put u proteklomvremenu:

∆y = v∆t

Npr. ako je v = 3 m/s tad ce u vremenskom intervalu od t = 1s do t = 3 scestica promijeniti položaj za ∆y = 3 m/s⋅(3−1) s = 6 m . U v-t dijagramutj. na grafu koji prikazuje ovisnost brzine o vremenu to je površinapravokutnika što ga tvori graf konstantne brzine nad datim intervalom:

x

y

3

3

1

∆y ∆y = 3 ⋅(3−1) = 6

Promjena položaja kod jednolikog gibanja brzinom v u vremenu∆t

∆y = v∆t

Na v-t dijagramu to je površina pravokutnika ispod grafa konstantnebrzine nad datim intervalom:


t

y

v

∆y = v∆t

∆t

2.5.3 Nejednoliko gibanje

Promotrimo sad nejednoliko gibanje, tj. gibanje kod kojeg brzina nijestalna. Radi odredenosti uzmimo da je v(t) = 3t2 (nek sve bude u metrimai sekundama) i razmotrimo kako bismo odredili promjenu položaja (koja jezbog stalnog napredovanja u jednom smjeru jednaka prijedenom putu) uprve dvije sekunde gibanja. Formula ∆y = v∆t sad ne štima, jer konacno,koju brzinu uzeti. Na pocetku intervala je brzina v(0) = 0, a na krajuintervala je v(2) = 12. Osnovna ideja je da interval usitnimo na maledijelove, recimo desetinke ili stotinke sekunde i da na svakom takvomdijelu primijenimo formulu za jednoliko gibanje ∆y = v∆t, tj. da na svakomtakvom vremenskom dijelu gibanje aproksimiramo jednolikim gibanjemnekom brzinom iz tog dijela. Nije važno koju cemo brzinu uzeti jer zadovoljno mali vremenski interval brzina na tom dijelu malo varira. Štoje dovoljno mali vremenski interval ovisi, kao i kod pojma brzine promjene,o stvarnoj fizikalnoj situaciji. Npr. ako uzmemo djelic od trenutka t = 1do trenutka t = 1.01 brzina varira od 3m/s do 3m i 6cm/s. Ako nam se ita varijacija cini nedopustivom onda možemo vrijeme "isjeci" na tisucinkesekunde i s takvim djelicima raditi. Naravno, za stvarno provesti takavracun trebalo bi nam puno racunanja ili pisanje programa koji bi to uradio.Mi cemo se ovdje zadržati na konceptualnoj analizi problema. Dakle,podijelit cemo vremenski interval [0,2] na niz intervala:

0 = t0 < t1 < ... < ti−1 < ti < ... < tn−1 < tn = 2

širine


∆t1 = t1− t0,...,∆ti = ti − ti−1,...,∆tn = tn− tn−1

t

y

2

123456789

101112

v(t) = 3t2

∆ti

Sad cemo na svakom od tih vremenskih intervala [ti−1, ti] aproksimiratistvarno gibanje jednolikim gibanjem nekom brzinom iz tog intervala v(ti)za neki trenutak ti ∈ [ti−1, ti]


t

y

2

123

6789

101112

v(t) = 3t2

∆ti

← lokalna aproksimacija jednolikim gibanjemv(ti)

ti

Stvarnu promjenu položaja ∆yi za taj djelic vremena aproksimirat cemopromjenom po ovom zamišljenom jednolikom gibanju, a koju znamo racu-nati:

∆yi ≃ v(ti)∆ti , tj ∆y ≃ 3t2i∆ti

Graficki gledano zamijenili smo nejednoliki dio grafa koji pripada tomdjelicu gibanja ravnim, i tako smo komad površine s neravnom gornjomgranicom aproksimirali pravokutnikom kojem znamo izracunati površinu.

Ukupna promjena položaja ∆y u vremenskom intervalu [0,2] zbroj jepromjena na svakom od ovih djelica

∆y =∆y1+∆y2+ ...+∆yi + ...+∆yn

Ovakvu sumu krace pišemo:

∆y =∑ni=1∆yi


Taj zapis (suma od i = 1 do i = n clanova oblika ∆yi) kaže da redom uizraz ∆yi umjesto indeksa i stavljamo brojeve od 1 do n i dobijene clanovezbrajamo.

Aproksimirajuci svaku malu promjenu odgovarajucom jednolikom pro-mjenom dobivamo i aproksimaciju ukupne promjene:

∆y ≃ v(t1)∆t1+v(t2)∆t2+ ...+v(ti)∆ti + ...+v(tn)∆tn =∑ni=1 v(ti)∆ti , tj.

∆y ≃ 3t12∆t1+3t2

2∆t2+ ...+3t2

i∆ti + ...+3tn2∆tn =∑

ni=1 3t2

i∆ti

Graficki gledano u v-t dijagramu površinu ispod grafa v(t) nad intervalom[0,2] aproksimirali smo površinom mnoštva pravokutnika:

t

y

2

123456789

101112

v(t) = 3t2

Što uzimamo sitnije intervale greška aproksimacije je sve manja i trebalibismo dobiti bolju aproksimaciju za ukupnu promjenu, kad bismo se odlucilitakvu sumu racunati. To vidimo i na grafu. Za sitnije intervale pravokutnici


sve bolje aproksimiraju ukupnu površinu ispod grafa funkcije koja takograficki predstavlja ukupnu promjenu. Zato možemo smatrati da je ukupnapromjena broj kojem smo sve bliže ako zbrajamo linearne aproksimacije nasve sitnijim intervalima. To zapisujemo (opet) pomocu pojma limesa:

∆y = lim∆ti→0i=1..n

(v(t1)∆t1+v(t2)∆t2+ ...+v(ti)∆ti + ...+v(tn)∆tn) =

= lim∆ti→0i=1..n

n∑i=1

v(ti)∆ti , tj.


(3t12∆t1+3t2

2∆t2+ ...+3t2

i∆ti + ...+3tn2∆tn) =


n∑i=1

3t2i∆ti

Prije nego izvucemo opci zakljucak razmotrimo slucaj kad brzina nadatom intervalu može biti i negativna. Tad su neki od navedenih clanovanegativni jer je promjena položaja na takvim intervalima negativna. Izrazza ukupnu promjenu ostaje isti ali mijenja se geometrijska interpretacija.Pravokutnicima ispod t-osi pridružen je negativan broj koji je samo poapsolutnoj vrijednosti jednak površini tog pravokutnika:

t

v

+−

Zato, gledano na v-t dijagramu ukupna promjena nije predstavljena površi-nom izmedu grafa i t-osi, nego tzv algebarskom površinom koju dobijemotako da zbrojimo dijelove površine poviše t-osi s predznakom + a one ispodt-osi s predznakom −.


Promjena položaja kod nejednolikog gibanja

Kod nejednolikog gibanja po pravcu brzinom v(t) ukupna promjenapoložaja ∆y u vremenskom intervalu [tp, tk] jednaka je


(v(t1)∆t1+v(t2)∆t2+ ...+v(ti)∆ti + ...+v(tn)∆tn) =


n∑i=1

v(ti)∆ti

gdje je tp = t0 < t1 < ... < ti−1 < ti < ...tn−1 < tn = tk, ∆ti = ti − ti−1,

ti ∈ [ti−1, ti], kao na slici

t

v

∆y = v(t1)∆t1+v(t2)∆t2+ . . .v(ti)

ti

tp tk↑∆ti = ti − ti−1

Geometrijski gledano u v-t dijagramu promjena položaja ∆y jealgebarska površina izmedu grafa funkcije v(t) i t-osi nad intervalom[tp, tk]:


t

v

v(t)

tp tk

∆y

Prakticno gledano promjena položaja je

∆y ≃ v(t1)∆t1+v(t2)∆t2+ ...+v(ti)∆ti + ...+v(tn)∆tn =∑ni=1 v(ti)∆ti

za rastav intervala [tp, tk] na dovoljno male dijelove širina ∆ti, i = 1...n.

Pri cemu što je "dovoljno malo" ovisi o situaciji i znaci "dovoljno maloda se gibanje na svakom dijelu nije moglo bitno promijeniti", odnosno"dovoljno malo da možemo smatrati da je gibanje gotovo jednoliko nasvakom od intervala."

2.5.4 Rad sile

Ponovit cemo isti matematicki proces u drugacijoj situaciji. Razmotrit cemorad sile. Poznato je iz fizike da je rad W stalne sile F koja djeluje duž x-osipri promjeni položaja cestice ∆x jednak

W = F ⋅∆x

xF = constW = F∆x

Geometrijski gledano u F-x dijagramu ovisnosti sile o položaju to je površinaispod grafa konstantne sile nad datim intervalom.


x

FF

W = F∆x

∆x

No kako izracunati rad sile kad sila ovisi o položaju? Ideja je opet ista.Isjeckat cemo interval pomaka cestice na puno sitnih dijelova, na svakomdijelu aproksimirati varijabilnu silu nekom stalnom silom, izacunati rad testalne sile na tom dijelu i zbrojiti tako dobijene radove po svim dijelovima.Aproksimacija je to bolja što je sjeckanje intervala sitinije.

Rad sile koja ovisi o položaju

Rad sile F(x) na intervalu [xp, xk] jednak je

W = lim∆xi→0i=1..n

n∑i=1

F(xi)∆xi

gdje je

x

F

∆W = F(x1)∆x1+F(x2)∆x2+ . . .F(xi)x1

xp xk↑∆xi = xi − xi−1

Geometrijski gledano u F-x dijagramu rad W je algebarska površinaizmedu grafa funkcije F(x) i x-osi nad intervalom [xp, xk]:


x

F

F(x)

xp xk

∆W

Prakticno, ukupan rad je

W ≈n∑i=1

F(xi)∆xi

za rastav intervala [xp, xk] na dovoljno male dijelove širina ∆xi, i = 1..n.

Pri cemu što je "dovoljno malo" ovisi o situaciji i znaci "dovoljno malo dase sila na svakom dijelu nije moglo bitno promijeniti", odnosno "dovoljnomalo da možemo smatrati da je sila stalna na svakom od intervala."

2.5.5 Pojam odredenog integrala

U oba prethodna primjera imali smo isti matematicki proces. On se tolikocesto javlja da zaslužuje da ga opišemo u cisto matematickim terminima ida mu damo posebno ime. Ulaz u proces je neka funkcija f nad intervalom[a,b]:


x

y

f (x)

a b

U tom procesu taj interval sijecemo na male dijelove:

x

y

f (x)

a b↑∆xi = xi − xi−1

Na svakom dijelu uzimamo neki broj xi i u njemu racunamo vrijednostfunkcije f (xi)

x

y

f (x)


f (xi)xi

Geometrijski to odgovara aproksimaciji površine ispod dijela grafa.


Množimo tako izabranu vrijednost funkcije sa širinom tog intervala i ∆xi sumiramo po svim intervalima:

n∑i=1

f (xi)∆xi

x

y

f (x)


f (xi)xi

Ni to nam nije dosta nego tražimo broj kojem smo sve bliži kad ovaj zbrojradimo za sve sitnija sjeckanja tog intervala:

lim∆xi→0i=1..n

n∑i=1

f (xi)∆xi

Taj broj koji dobijemo ovim beskonacnim receptom iz neke cudne kuharicepokazuje se veoma znacajnim pa cemo mu dati i posebno ime. Pošto on ovisio funkciji f koju smo sjeckali i intervalu [a,b] koji smo sjeckali ti podacimoraju biti prisutni u njegovom imenu. Uvriježilo ga se zvati odredenimintegralom funkcije f na intervalu [a,b] i zapisivati ga oznakom

∫b

af

Pošto funkcije zadajemo formulama odgovarajuci zapis s formulom je

∫b

af (x)dx


Ovaj zapis simbolizira smisao integrala kao sume sitnih dijelova oblikaf (x)∆x.

Odredeni integral funkcije f na intervalu [a,b] je broj

∫b

af =∫

b

af (x)dx = lim

∆xi→0i=1..n

n∑i=1

f (xi)∆xi

gdje je a = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn−1 < xn = b, ∆xi = xi − xi−1, xi ∈[xi−1, xi], sjeckanje intervala [a,b] kao na slici:

x

y

f (x)


f (xi)xi

Ako velicinu V možemo opisati kao sumu malih dijelova koji su približno

oblika f (x)∆x tada je V =∫b

af (x)dx.

Geometrijski gledano ∫b

af (x)dx je algebarska površina izmedu grafa

funkcije f i x-osi nad intervalom [a,b]:

x

y

f (x)

a b

∫b

af (x)dx


Ako takav broj postoji, tad kažemo da je funkcija f integrabilna naintervalu [a,b].

Sada možemo kratko opisati promjenu položaja kod nejednolikog gibanja iukupan rad varijabilne sile:

Promjena položaja ∆y u vremenskom intervalu [tp, tk] cestice koja segiba brzinom v(t) je

∆y =∫tk

tpv(t)dt

Rad sile F(x) na put xp→ xk jednak je

W =∫xk

xpF(x)dx

Što se postojanja odredenog inetgrala tice, tu se ne trebamo brinuti -za sve standardne (npr neprekidne) funkcije na nekom intervalu odredeniintegral postoji. Puno je teže naci ga. To se uvijek može uraditi numericki,npr. na osnovi definicije ili jednom od naprednijih numerickih metoda.Samo u nekim slucajevima se on može analiticki riješiti, i to obicno uz veceteškoce. Jednostavnije situacije su opisane u sljedecoj cjelini.

Nakon ove cjeline citatelj treba razumjeti pojam odredenog integrala,njegovu definiciju, smisao i upotrebu.

2.6 Elementarni racun odredenog integrala

U ovoj cjelini je opisan osnovni teorem diferencijalnog i integralnog racunakoji povezuje pojam derivacije i pojam odredenog integrala. On je, uz još

2.6. Elementarni racun odredenog integrala 185

neka intuitivna pravila, osnova za elementarni racun odredenog integralakoji je u ovoj cjelini razvijen.

2.6.1 Osnovni teorem diferencijalnog i integralnogracuna

Neki ga zovu i Newton-Lebnizov teorem mada ga je, kako to cesto biva spoznatim teoremima, otkrio Newtonov ucitelj Isaac Barrow. Istina, on baš inije znao šta bi s njim dok su oni znali. To je teorem koji povezuje derivacijui odredeni integral preko neodredenog integrala (otuda i ti neobicni nazivi:"odredeni" i "neodredeni"). Osnovna mu je prakticna uloga da nam daje brznacin racunanja odredenog integrala.

Da se podsjetimo. Neodredeni integral ili antiderivacija je operacija kojafunkciji f (x) pridružuje funkciju F(x)+C koja derivirana daje f (x):

∫ f (x)dx = F(x)+C↔ F ′(x) = f (x)

Ona je tako suprotna operacija od deriviranja. S druge strane, odredeni

integral funkciji f nad datim intervalom pridružuje broj ∫b

af (x)dx. Da

bismo vidjeli kako su povezani neodredeni integral koji daje funkciju iodredeni integral koji daje broj, potreban nam je još jedan komadic notacijekojim od funkcije dobijamo broj. To je

f (x)∣b

a= f (b)− f (a)

Citamo: f (x) u granicama od a do b. To nije ništa drugo nego razlika (pro-mjena) vrijednosti u ta dva argumenta: uvrstimo gornju granicu u funkciju,uvrstimo donju granicu u funkciju i oduzmemo dobijene vrijednosti. Npr.

x2∣b

a= b2−a2


Sad možemo izreci osnovni teorem:

Osnovni teorem (Newton-Leibnizova formula)

∫b

af (x)dx = (∫ f (x)dx)∣

b

a

Da bismo izracunali odredeni integral funkcije f na datom intervalumoramo izracunati neodredeni integral funkcije f i u njega uvrstitigranice intervala.

Prvo cemo vidjeti kako ovaj teorem funkcionira, a poslije cemo gadiskutirati. Npr. pomocu njega možemo riješiti uvodni problem, nalaženjeukupnog pomaka kod gibanja

∆y =∫2

03t2dt = (∫ 3t2dt)∣

2

0= (3

t3

3)∣

2

0= 23−03 = 8

Primijetimo da nije važno koji cemo neodredeni integral uzeti u racunanju.

Npr. umjesto 3t3

3mogli smo uzeti 3

t3

3+5. Dodana konstanta jednom ce se

zbrojiti i jednom oduzeti pa ce rezultat biti isti:

(x2+5)∣3

1= (32+5)−(12+5) = 32+ /5−12− /5= 32−12 = 8


a) ∫π

0sin xdx b) ∫

e

1

1x

dx c) ∫1

−1x3dx

Rješenje:

a) ∫π

0sin xdx = (∫ sin xdx)∣

π

0= (−cos x)∣

π

0=

= (−cosπ)−(−cos0) =−(−1)−(−1) = 2

(kod uvrštavanja granica treba biti oprezan s predznacima)


b) ∫e

1

1x

dx = (∫1x

dx)∣e

1= (ln ∣x∣)∣

e

1= ln e− ln1 = 1−0 = 1

c) ∫1

−1x3dx = (∫ x3dx)∣

1

−1= ( x4

4)∣

1

−1= 14

4− (−1)4

4= 0

To je jasno i iz geometrijske interpretacije odredenog integrala kaoalgebarske površine. Iz simetrije grafa jasno je da je ona nula:

x

y

−2 −1 1 2

−2−1

12

x3

Y

Osnovni teorem, ma koliko možda na prvi pogled izgledao neocekivan,u stvari je ocigledan, ako ga pogledamo na pravi nacin. U tu svrhuinterpretirat cemo funkciju f (x) kao ovisnost brzine gibanja o vremenu.Radi takve interpretacije radije cemo je preimenovati u funkciju v(t).Ukupna promjena položaja ∆y u vremenskom intervalu [a,b] je s jednestrane jednaka sumi malih promjena položaja

∆y =∫b

av(t)dt

a s druge strane razlici položaja y(t) = ∫ v(t)dt na kraju intervala i napocetku intervala:

∆y = y(b)− y(a) = (∫ v(t)dt)∣b

a

Dakle, dobili smo osnovni teorem (u malo drugacijim oznakama):

∫b

av(t)dt = (∫ v(t)dt)∣

b

a


Ovako gledano, osnovni teorem izrice elementarnu cinjenicu da jesuma malih promjena (odredeni integral) jednaka ukupnoj pro-mjeni (neodredeni integral u granicama intervala).

Ako prihvatimo da svaka neprekidna funkcija može biti brzina nekoggibanja, tad iz elementarnih kinematickih pretpostavki slijedi ovaj teorem.

2.6.2 Elementarna pravila za odredeni integral

Osnovni teorem nam kaže da odredeni integral možemo izracunati takoda izracunamo neodredeni integral i tad uvrstimo granice. Mi cemo nataj nacin i racunati odredene integrale. No postoje i analogna pravila zaodredeni integral po kojima se isto može racunati integral. Sad cemo ihnavesti

Linearnost odredenog integrala

1. ∫b

a( f (x)± g(x))dx =∫

b

af (x)dx±∫

b

ag(x)dx

2. ∫b

ac f (x)dx = c∫

b

af (x)dx

Pravila za uvrštavanje granica

1. (F(x)±G(x))∣b

a= (F(x))∣

b

a±(G(x))∣

b

a

2. (c f (x))∣b

a= c( f (x))∣

b

a


Prije nego navedemo dodatna pravila primijetimo da je po definicijiodredenog integrala

∫b

af (x)dx

donja granica a uvijek manja od gornje granice b, jer je bio u pitanjuinterval [a,b]. Postoje formalni i sadržajni razlozi da se integral definirai za preostale slucajeve, kad je donja granica veca ili jednaka gornjoj, takoda ima smisla npr. i integral

∫1

32xdx

Formalni razlog je da se time pojednostavnjuju složenija pravila racunanja.Ovdje ce biti pokazani sadržajni razlozi. Naime, kao što je sila F(x) = 2xvršila rad na istegnucu opruge od položaja x = 1 do položaja x = 3, istotako je mogla vršiti rad kocenja opruge od položaja x = 3 do položaja x = 1.Kao što je kod istegnuca davala energiju opruzi tako je kod vracanja nazadoduzima, pa bi rad trebao biti po apsolutnom iznosu jednak radu istegnucaali negativan. To je jasno i iz formule za aproksimaciju djelica rada:

∆W ≈ F(x)∆x

Kod istegnuca je ∆x pozitivan a kod vracanja negativan. Isto tako i u opcojdefiniciji integrala sjeckanje intervala mogli smo raditi ne od donje granicedo gornje, vec od gornje do donje. Definicija integrala ostaje ista, samo što susada ∆xi negativni i dobit cemo suprotnu vrijednost nego kad su pozitivni:

Proširenje definicije integrala

Ako u originalnoj definiciji integrala dopustimo da sjeckanje intervalaide od gornje granice do donje

b = x0 > x1 > ... > xi−1 > xi > ...xn−1 > xn = a

a sve drugo ostane isto, dobijemo proširenje pojma odredenog integrala


∫a

bf (x)dx na slucajeve kad je donja granica veca od gornje (b > a).

Pošto tad svi djelici u definiciji mijenjaju predznak to dobijemo da je

∫a

bf (x)dx =−∫

b

af (x)dx

Još preostaje definirati slucaj istih granica:

∫a

af (x)dx = 0

Lako se uvjeriti da i u takvoj situaciji vrijedi osnovni teorem i pravilalinearnosti integrala i da sva racunanja jednako radimo bez obzira na tokoja je granica veca od koje. Npr. za rad sile kod stezanja opruge premaravnotežnom položaju je

W =∫1

32xdx = 2∫

1

3xdx =/2 x2

/2 ∣1

3= 12−32 =−8.

Sad možemo izreci i sva pravila o granicama:

Pravila za granice odredenog integrala

1. ∫b

af (x)dx =∫

c

af (x)dx+∫

b

cf (x)dx

2. ∫b

af (x)dx =−∫

a

bf (x)dx

3. ∫a

af (x)dx = 0

Druga dva pravila neposredno slijede iz proširenja definicije odredenogintegrala. Prvo pravilo je ocigledno u intuitivnom razumijevanja integrala


kao sume malih dijelova: sumiranje malih dijelova od a do b možemo radititako da ih sumiramo prvo od a do c, malo se odmorimo pa nastavimosumirati od c do b. Vrijedi napomenuti da, mada obicno smatramo da jec izmedu a i b, ovo pravilo vrijedi za proizvoljne a, b i c.


Nakon ove cjeline citatelj treba razumjeti osnovni teorem diferencijalnogi integralnog racuna, znati elementarna pravila za odredene integrale ipomocu njih racunati jednostavnije odredene integrale.


Zadaci za vježbu

1. Izracunajte odredeni integral:

a) ∫1

0x√

xdx b) ∫0

−1(2−3x2)dx c) ∫

2

0x(x+1)dx

d) ∫1

03x2(x3+1)dx e) ∫

4

1(√x− 1√

x) f) ∫

π3

π6

dxsin2 x

g) ∫4

1

dx√x

h) ∫3π4

π2

sin xdx

Rješenja

1. a)25

b) 1 c)143

d)32

e)83

f)23

√3


g) 2 h)√

22

3Preslikavanja skalara u vektore

U ovom poglavlju cemo analizirati funkcije koje na ulazu imaju jedanbroj a na izlaz daju više brojeva, koje cemo uglavnom interpretirati kaokomponente geometrijskog vektora. Pokazat cemo kako se takve funkcijederiviraju i integriraju i koji je smisao, matematicki i fizikalni, tih operacija.Da ne bude previše apstraktno te funkcije cemo interpretirati kao opisegibanja i krivulja. Vidjet cemo da je to ujedno i osnovna matematikaklasicne mehanike.

3.1 Gibanja

Gibanje cestice je opisano ako znamo u svakom trenutku t gdje se nalazi uprostoru, odnosno koji je radijus vektor cestice u tom trenutku:

193

194 3. Preslikavanja skalara u vektore

Ð→r (t) = (x(t), y(t), z(t))

Naravno, cestica se samo neke vrijeme giba na taj nacin, no obicno necemoprecizirati vremenski interval u kojem se to zbiva. Kao što smo vidjeli, ovajednadžba je ujedno i parametarska jednadžba krivulje koju cestica opisuje.Geometrijskim karakteristikama krivulje cemo se baviti u sljedecoj cjelini.

Kad znamo jednadžbu gibanja možemo u svakom trenutku odrediti gdjese cestica nalazi. Npr. ako je jednadžba gibanjaÐ→r (t) = (1+t2,2t−t2,3t3) tadse cestica u trenutku t = 1 nalazi na mjestu Ð→r (1) = (1+12,2 ⋅1−12,3 ⋅13) =(2,1,3). Znamo da se cestica može gibati brže ili sporije. Ali što je brzinacestice u nekom trenutku t? Kao i brzina svake promjene, brzina cestice je,u osnovnoj intuiciji, omjer promjene položaja ∆Ð→r i proteklog vremena ∆t zamalo vrijeme ∆t nakon trenutka t:

U svakom kontekstu se zna što je malo vrijeme (vrijeme u kojem se procesgotovo jednoliko odvija). Medutim, matematika ne smije ovisiti o tome štose u pojedinom kontekstu smatra dovoljno malim, pa se brzina Ð→v definirakao limes tog omjera:

3.1. Gibanja 195

Ð→v = dÐ→rdt

= lim∆t→0

∆Ð→r∆t

= lim∆t→0

Ð→r (t+∆t)−Ð→r (t)∆t

Još koristimo i jednostavnije oznakedÐ→rdt

= ddtÐ→r = (Ð→r )′

To je vektor koji svojim iznosom govori koliko se brzo cestica giba, a svojimsmjerom u kojem se smjeru giba. Možemo to i preciznije izreci. Možese pokazati, na nacin kako je pokazano u zzz za preslikavanja skalara uskalar, da medu svim zamišljenim jednolikim gibanjima koji se u danomtrenutku podudaraju sa stvarnim gibanjem, jednoliko gibanje brzinom Ð→v =dÐ→rdt

najbolje aproksimira stvarno gibanje kroz jedan mali djelic vremena.

Geometrijski to znaci da Ð→v odreduje smjer tangente, pravca koji medusvim pravcima koji prolaze tom tockom, najbolje aproksimira tu krivuljuu maloj okolini te tocke. Cisto matematicki gledano, to istaknuto jednolikogibanje, odnosno tangenta, predstavljaju najbolju linearnu aproksimaciju(aproksimaciju linearnom funkcijom) funkcije Ð→r (t) oko dane tocke:

To ujedno znaci da je to i najbolja linearna aproksimacija stvarne promjenevrijednosti funkcije (položaja) ∆Ð→r , tzv diferencijal dÐ→r


Odatle i oznaka za brzinu kao omjer diferencijala.

Vektor brzine je u raznim trenucima razlicit pa je i on funkcija vremena:

Pogledajmo sada kako za konkretno gibanje Ð→r (t) = (x(t), y(t), z(t))izracunati vektor brzine. Pošto je ∆Ð→r = (∆x,∆y,∆z) to je

Ð→v = lim∆t→0

∆Ð→r∆t

= lim∆t→0

(∆x∆t

,∆y∆t

,∆z∆t

) = ( lim∆t→0

∆x∆t

, lim∆t→0

∆y∆t

, lim∆t→0

∆z∆t

) =

(dxdt

,d ydt

,dzdt

)

Dakle, pravilo za derivaciju vektorske ovisnosti o skalaru je jednostavno:deriviramo po komponentama, tj derivacija vektora je vektor sastavljen odderivacija komponenti pocetnog vektora

Ð→v (t) =Ð→r ′(t) = dÐ→rdt

= (dxdt

,d ydt

,dzdt

) = (x′(t), y′(t), z′(t))

gdje smo koristili dvije razne oznake za derivaciju.

3.1. Gibanja 197

Primjer 3.1.1. Nadimo brzinu gibanja Ð→r (t) = (1 + t2,2t − t2,3t3) u bilokojem trenutku i u trenutku t = 1.

Rješenje: Ð→v (t) =Ð→r ′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)) = ((1+ t2)′,(2t− t2)′,(3t3)′) =(2t,2−2t,9t2)

Sad je jednostavno naci i brzinu u trenutku t = 1:

Ð→v (1) = (2 ⋅1,2−2 ⋅1,9 ⋅12) = (2,0,9)

Y

Naravno, ovo što smo rekli za brzinu gibanja vrijedi i za svako drugopreslikavanje skalara u vektor:

derivacija preslikavanja skalara u vektor

dÐ→f

dt= lim∆t→0

∆Ð→f∆t

= lim∆t→0

Ð→f (t+∆t)−Ð→f (t)

∆t

zaÐ→f (t) = ( fx(t), f y(t), fz(t))

dÐ→f

dt= (d fx

dt,d f y

dt,d fz

dt)

Isto vrijedi i za svako preslikavanje jednog skalara u više skalara.

Brzina gibanja je veoma važna velicina u fizici jer su znacajne velicine

kao kolicina gibanja cestice mÐ→v i kineticka energija12

mÐ→v 2 izraženepomocu nje (m je masa cestice).

Ovisnost brzine o vremenu je funkcija istog tipa kao i ovisnost radijusvektora položaja o vremenu, pa možemo ispitivati i njenu brzinu promjene,akceleraciju:


Ð→a = dÐ→vdt

Tako je npr. akceleracija gibanja iz prethodnog primjera

Ð→a (t) = (2t,2−2t,9t2)′ = (2,−2,18t)

Specijalno u trenutku t = 1 ona je Ð→a (1) = (2,−2,18)

Pošto je akceleracija druga derivacija položaja o vremenu to je jošoznacavamo

Ð→a = dÐ→vdt

=d(dÐ→r

dt)

dt= d2Ð→r

dt2

Akceleracija je veoma važna fizikalna velicina jer osnovni zakon Newto-nove mehanike, koji povezuje djelovanja na cesticu s njenim gibanjem,kaže da je akceleracija tijela proporcionalna ukupnoj sili

Ð→F koja djeluje na

cesticu, gdje je faktor proporcionalnosti masa cestice:

Ð→F = mÐ→a

Kad god imamo ovisnost nekog vektora o skalaru možemo gledati njenubrzinu promjene. Tako možemo gledati i brzinu promjene aceleracije.Medutim ona nema znacajan fizikalan smisao pa to necemo ovdje raditi.Medutim, kad budemo ispitivali geometriju putanje, tad ce nam i taderivacija trebati

brzina i akceleracija

Za gibanje Ð→r (t) brzina Ð→v (t) i akceleracija Ð→a (t) su

Ð→v (t) =Ð→r ′(t) = dÐ→rdt

3.1. Gibanja 199

Ð→a (t) =Ð→v ′(t) = dÐ→vdt

= d2Ð→rdt2

zzz još jedan primjer gdje ce se tražiti i kolicina gibanja i kinetickaenergija i kad je sila nula itd

Kao i kod svih drugih znacajnih matematickih pojmova nije dovoljnoznati efikasno izracunati taj pojam vec je teorijski veoma važno znati isvojstva tog pojma. Pravila za derivaciju su analogna za pravila deriviranjafunkcija skalarnog ulaza i skalarnog izlaza. Derivacija je linearna operacijaa na produktima se ponaša po tzv Leibnizovom pravilu:

svojstva derivacije

1. (Ð→f (t)+Ð→g (t))′ =Ð→f (t)′+Ð→g (t)′

2. (cÐ→f (t))′ = c(Ð→f (t))′

3. (α(t)Ð→f (t))′ = (α(t))′Ð→f (t)+α(t)(Ð→f (t))′

4. (Ð→f (t) ⋅Ð→g (t))′ = (Ð→f (t))′ ⋅Ð→g (t)+(Ð→f (t)) ⋅(Ð→g (t))′

5. (Ð→f (t)×Ð→g (t))′ = (Ð→f (t))′×Ð→g (t)+(Ð→f (t))×(Ð→g (t))′

Ova pravila se mogu dokazati na osnovi definicije derivacije ili na osnovipravila da se derivacija vektorske funkcije svodi na derivacije njenihkomponenti na koje možemo primijeniti poznata pravila za derivaciju.

Pokažimo sad na jednom primjeru teorijski znacaj ovih pravila. Dokazatcemo da je brzina promjene vektora koji ima stalan iznos (npr. radijus vektorrotiranja cestice po kružnici) okomita na taj vektor:


∣Ð→f (t)∣ = const → dÐ→f

dt⊥Ð→f

Geometrijski nas u to može uvjeriti prethodna slika. U malom djelicuvremena vektor konstantnog iznosa se pomakne po luku kružnice. Poštoje njegova brzina promjene tangencijalna, ona je u smjeru tangente nakružnicu, dakle okomita na njega. No to možemo i striktno dokazati pomocuprethodnih pravila. Uvjet stalnosti iznosa možemo i ovako zapisati:

Ð→f (t) ⋅

Ð→f (t) = const. Deriviramo li obje strane dobit cemo, po pravilu za derivaciju

produkta, da je (Ð→f (t))′ ⋅Ð→f (t)+Ð→f (t)⋅(Ð→f (t))′ = 0, tj. da je 2(Ð→f (t))′ ⋅Ð→f (t) = 0.Po smislu skalarnog produkta to znaci da je (Ð→f (t))′ ⊥Ð→f (t).

Pokazat cemo još jedno svojstvo brzine vektora stalnog iznosa: njen iznosje jednak umnošku stalnog iznosa vektora i brzine promjene njegova kuta:

∣dÐ→f

dt∣ = ∣Ð→f ∣ ⋅ dα

dt

Iznos promjene vektora ∣∆Ð→f ∣ približno je jednak duljini ∆l pripadnog lukakružnice koji je, kako je poznato iz geometrije, jednak umnošku radijusakružnice i promjene kuta:

3.1. Gibanja 201

∣∆Ð→f ∣ ≃ ∣Ð→f ∣ ⋅∆α

Podijelimo li tu relaciju s ∆t i primijenimo limes ∆t→ 0, dobit cemo traženurelaciju.

Specijalno za jednicni vektorÐ→f imamo

∣dÐ→f

dt∣ = dα

dt

Ako vektorsku funkciju interpretiramo kao gibanje, tad stalnost iznosaznaci da se cestica giba po sferi pa nam je, kao što smo vec razmatrali,intuitivno jasno da je brzina okomita na radijus vektor:

Ali ako je to jednoliko gibanje po kružnici (iznos brzine je stalan i uravnini smo) tad nam ovaj rezultat kaže da je akceleracija prema središtu:

Možemo izracunati i iznos te akceleracije iz relacije Ð→v ⋅Ð→r = 0. Deriviranjemcemo dobiti Ð→a ⋅Ð→r +Ð→v ⋅Ð→v = 0, pa vidimo da je


Ð→a ⋅Ð→r =−Ð→v ⋅Ð→v = 0

Pošto suÐ→a iÐ→r suprotnog smjera iz definicije skalarnog produkta dobivamoda je −ar =−v2 tj.

a = v2

r

Tako smo koristeci pravila deriviranja posve analizirali jednoliko gibanjepo kružnici. Po Newtonovom zakonu to znaci da je za jednoliko gibanje po

kružnici potrebna sila jakosti F = mv2

rkoja ce vuci prema središtu kružnice

(tzv. centripetalna sila).

Poznavajuci gibanje možemo deriviranjem dobiti akceleraciju i tako poNewtonovom zakonu odrediti silu (djelovanja) na cesticu. Medutim, puno jeznacajniji obrat. Znajuci djelovanja na cesticu, htjeli bismo odrediti kako secestica giba pod utjecajem tih djelovanja. Newtonov zakon nam omogucujeda poznavajuci ukupnu silu na tijelo odredimo akceleraciju. Tako preostajeproblem kako iz akceleracije odrediti gibanje. Ako eksplicitno znamo kakoakceleracija ovisi o vremenu Ð→a (t) tad je naš problem suprotan problemuderiviranja. Tražimo funkcijuÐ→v (t) koja derivirana dajeÐ→a (t). Tu suprotnuoperaciju zovemo, kao i u slucaju skalarnih funkcija, neodredeni integralili antiderivacija. Kao i kod skalarnih funkcija, ona je, vidjet cemo,odredena do na aditivnu konstantu:

∫Ð→f (t)dt =Ð→F (t)+Ð→c ↔ (Ð→F (t))′ =Ð→f (t)

Tako sad znamo da je

brzina i položaj iz akceleracija

Ð→v (t) =∫ Ð→a (t)dt

Ð→r (t) =∫ Ð→v (t)dt

3.1. Gibanja 203

Ali kako to izracunati? Opet po komponentama! Antiderivacija odÐ→f (t) je funkcija koja derivirana mora dati

Ð→f (t). Dakle derivacije njenih

komponenti moraju dati komponente odÐ→f (t). Tako su njene komponente

antiderivacije komponenti ofÐ→f (t):

∫Ð→f (t)dt =∫ ( fx(t), f y(t), fz(t))dt = (∫ fx(t)dt,∫ f y(t)dt,∫ fz(t)dt)

Na primjer,

∫ (cos t,2t, et)dt = (∫ cos tdt,∫ 2tdt,∫ etdt) = (sin t + cx, t2 + cy, et +cz) = (sin t, t2, et)+(cx, cy, cz) = (sin t, t2, et)+Ð→c

Sad je jasno da su sve antiderivacije odredene do na aditivnu vektorskukonstantu. To ujedno znaci da u odredivanju brzine gibanja i samog gibanjanije dovoljno poznavati akceleraciju (silu) vec i pocetnu brzinu i pocetnipoložaj. To je matematicki izraz fizikalnog zakona po kojem gibanje nijeposve odredeno silama koje na cesticu djeluju, vec i položajem iz kojeg secestica pocela gibati i brzinom kojom se pocela gibati.

antiderivacija preslikavanja skalara u vektor

∫Ð→f (t)dt =Ð→F (t)+Ð→c ↔ (Ð→F (t))′ =Ð→f (t)

ZaÐ→f (t) = ( fx(t), f y(t), fz(t))

∫Ð→f (t)dt =∫ ( fx(t), f y(t), fz(t))dt = (∫ fx(t)dt,∫ f y(t)dt,∫ fz(t)dt)

Isto vrijedi i za bilo koje preslikavanja skalara u više skalara,

zzz primjer integriranja

Pravila za integral su analogna odgovarajucim pravilima za skalarnefunkcije i lako slijede iz definicije integrala ili pak iz pravila svodenja na


integrale komponenti

svojstva antiderivacije

1. ∫ (Ð→f (t)+Ð→g (t))dt =∫Ð→f (t)dt+∫ Ð→g (t)dt

2. ∫ cÐ→f (t)dt = c∫

Ð→f (t)dt

3. ∫ Ð→c α(t)dt =Ð→c ∫ α(t)dt

Tako u nekim situacijama možemo integrirati bez oslanjanja na kompo-nente. Npr. tako možemo naci jednadžbu gibanja tijela bacenog u trenutkut = 0 s nekog položaja Ð→r0 povrh zemljine površine pocetnom brzinom Ð→v0.Pretpostavit cemo da je gravitacijska sila stalna, odnosno da je akceleracijaÐ→g stalna i usmjerena prema dolje, te da nema drugih sila na cesticu (npr.otpora zraka):

Iz iskustva znamo da se gibanje zbiva u ravnini odredenoj pocetnombrzinom Ð→v0 i gravitacijskom akceleracijom Ð→g . Možemo i matematicki

3.1. Gibanja 205

pokazati da je tako. Vektor normale te ravnine je Ð→v0 ×Ð→g i njoj pripada

pocetna tocka Ð→r0. Treba pokazati da gibanje Ð→r (t) = Ð→r0 +Ð→v0t + 12Ð→g t2

zadovoljava jednadžbu te ravnine Ð→v0 ×Ð→g ⋅ (Ð→r (t)−Ð→r0) = 0. A to jednostavnopokažemo vektorskim racunanjem (opravdajte svaki korak racunanja):

Ð→v0×Ð→g ⋅(Ð→r (t)−Ð→r0) =Ð→v0×Ð→g ⋅(Ð→v0t+ 12Ð→g t2) =Ð→v0×Ð→g ⋅Ð→v0t+Ð→v0×Ð→g ⋅12Ð→g t2) = 0

Da bismo riješili konkretnu situaciju moramo uvesti koordinatni sustavda bismo opisali pocetni položaj i pocetnu brzinu. U ovakvim situacijamase obicno uvodi koordinatni sustav kojem je ishodište na površini zemlje i zos prema gore. Tad je približno Ð→g = −10m/s2Ð→k = (0,0,−10)m/s2. Uzmimoda je tijelo baceno s visine od 3m poviše ishodišta, Ð→r = 3m

Ð→k = (0,0,3)m,

prema gore brzinom Ð→v = (1,1,2)m/s. Nadimo jednadžbu gibanja i gdje cetijelo pasti. Slijedi racunanje (radi jednostavnosti smo izostavili jedinice)

Trenutak pada na zemlju je trenutak u kojem je z komponenta položajajednaka nuli:

3+2t−5t2 = 0

Rješavanjem ove kvadratne jednadžbe dobit cemo da t = 1 pa je položaj padaÐ→r (1) = (1,1,0).

Ako znamo brzinu gibanja cestice Ð→v (t) kako naci ukupnu promjenu∆Ð→r položaja cestice od trenutka t = a do trenutka t = b? Jedan nacinje da antiderivacijom nademo samo gibanje Ð→r (t) i oduzmemo pocetni ikrajnji položaj: ∆Ð→r = Ð→r (b)−Ð→r (a). Drugi nacin je da zbrojimo sve malepomake ∆Ð→r i u vremenskim intervalima ∆ti koje možemo na intervalu


aproksimirati pomocu brzine Ð→r (ti) u nekom trenutku ti unutar i-togvremenskog intervala:

Što uzimamo sitnije intervale rezultat je bolji pa je

Tu operaciju nad danom funkcijom Ð→v (t) i intervalom [a,b] nazivamoodredeni integral i oznacavamo

Ukupnu promjenu možemo dobiti i na drugi nacin

∆Ð→r =Ð→r (b)−Ð→r (a) =Ð→r (t)∣b

a=∫ Ð→v (t)dt∣

b

a

3.1. Gibanja 207

To nam daje formulu za racunanje odredenog integrala:

∫b

a

Ð→v (t)dt =∫ Ð→v (t)dt∣b

a

Tako smo dobili osnovni teorem diferencijalnog i integralnog racunau vektorskoj varijanti. Naravno, isto smo mogli pokazati preko kom-ponenti jer je lako vidjeti da se i odredeni integral može racunati prekokomponenti:

∫b

a

Ð→v (t)dt =∫b

a(vx(t),vy(t),vc(t))dt

= (∫b

a(vx(t)dt,∫

b

a(vy(t)dt,∫

b

a(vz(t)dt)

odredeni integral preslikavanja skalara u vektor

∫b

a

Ð→f (t)dt = lim

∆ti→0i=1..n

n∑i=1

Ð→f (ti)∆ti

ZaÐ→f (t) = ( fx(t), f y(t), fz(t))

∫b

a

Ð→f (t)dt =∫

b

a( fx(t), f y(t), fz(t))dt

= (∫b

afx(t)dt,∫

b

af y(t)dt,∫

b

afz(t)dt)

Newton-Leibnizova formula:

∫b

a

Ð→f (t)dt =∫

Ð→f (t)dt∣

b

a

Sve navedeno vrijedi i za bilo koje prelsikavanje skalara u više skalara.


zzz primjer racunanja odredenog integrala

Analizirajmo još problem prijedenog puta kod gibanja. Stvarni prijedeniput u jednom malom vremenskom intervalu možemo aproksimirati iznosompomaka,

pa razmatranje slicno prethodnom nam daje formulu za prijedeni put

prijedeni put kod gibanja

Prijedeni put s kod gibanja Ð→r (t) od trenutka t = a do trenutka t = bjednak je

s =∫b

a∣Ð→v (t)∣dt

Ilustrirajmo ovu formulu na sljedecem primjeru. Kad se cestica jedno-liko giba po kružnici kutnom brzinom ω tad je njen radijus vektor položaja(uz odgovarajuce pocetne uvjete)

3.1. Gibanja 209

Zamislimo da se cijela kružnica giba jednolikom brzinom V duž z-osi. Tadcestica opisuje kompliciranije gibanje

Koji put ce cestica prijeci dok ne dode tocno povrh pocetnog položaja?

Ovaj slucaj možemo i elementarno riješiti. Rijec je o jednolikom gibanjupo kružnici pa horizontalna komponenta brzine ima stalan iznos vh = ωR.Pošto i vertikalna komponenta brzine ima stalan iznos V to se cestica gibapod stalnim nagibom u odnosu na horizontalnu ravninu. Razmotamo livaljak po kojem se giba njeno gibanje prelazi u gibanje po pravcu brzinom√

(ωR)2+V 2 pri cemu prijedeni put ostaje isti.


Ona ce doci povrh pocetne tocke u vremenu od jednog perioda T. Poštoje to vrijeme za koje prijede po kružnici kut od 2π = ωT to vrijeme je2πω

. Tako je prijedeni put s = 2πω

√(ωR)2+V 2. Pokažimo da ce nam

i formula za prijedeni put dati isto. Brzina ovog gibanja je Ð→v (t) =(R cosωt,R sinωt,V t)′ = (−Rωsinωt,Rωcosωt,V), pa je

s =∫2πω

0∣(−Rωsinωt,Rωcosωt,V)∣dt =∫

2πω

0

√(ωR)2+V 2dt

=√

(ωR)2+V 2∫2πω

0dt = 2π

ω

√(ωR)2+V 2

3.2 Krivulje

Kad se cestica giba ona opisuje odredenu krivulju koja ima svoje geome-trijske karakteristike. Tako funkciju Ð→r (t) možemo gledati ne samo kaofunkciju koja opisuje gibanje cestice nego i kao funkciju koja opisuje krivuljusastavljenu od svih tocaka s radijus vektorima Ð→r (t), gdje t uzimamoiz nekog intervala brojeva. Takvu funkciju zovemo parametrizacijomkrivulje, a t parametrom tocke na krivulji s radijus vektorom Ð→r (t). Pritome taj parametar uopce ne mora biti vrijeme. Štoviše, obicno ima nekogeometrijsko znacenje. Svaka parametrizacija odreduje koordinatni sustavu kojem je svakoj tocki pridružen njen parametar:

Parametar može biti i udaljenost po krivulji s od neke fiksne tockena krivulji, racunata u jednom smjeru kao pozitivan broj u drugom kao

3.2. Krivulje 211

negativan broj:

Taj parametar zovemo prirodni parametar krivulje jer ima geometrijskoznacenje vezano za samu krivulju, neovisno o okolnom prostoru.

U daljnjem cemo koristiti samo tzv. regularne parametrizacije

krivulje, kod kojihdÐ→rdt

≠ 0. Ako zamišljamo parametrizacije kao gibanja,ovim smo osigurali da cestica stalno napreduje po krivulji i ne vraca senatrag:

Takoder cemo smatrati da su parametrizacije glatke funkcije, tj daimaju barem neprekidnu derivaciju, a po potrebi i više derivacije, tako daizbjegnemo krivulje koje imaju ’oštra’ mjesta


Regularnost i glatkocu cemo ubuduce podrazumijevati i jedino cemo ihnaglasiti na nekim istaknutim mjestima u daljnjim razmatranjima. Ta-koder cemo i dalje koristiti oznake Ð→v (t) i Ð→a (t) za prvu i drugu derivacijuparametrizacije Ð→r (t) iako se uopce ne mora raditi o gibanju.

Krivulja u svakoj svojoj tocki ima tzv. prirodni triedar kojeg cemo sadopisati. On se sastoji od tri jedinicna medusobno ortogonalna vektora

Ð→T ,Ð→N

iÐ→B . Vektor

Ð→T je jedinicni tangencijalni vektor

Ð→T =

Ð→vv

Pošto je on jedinicni vektor, njegova brzina promjenedÐ→T

dt≠Ð→0 je okomita na

njega. To je obicno nenulti vektor ciji jedinicni vektorÐ→N nazivamo vektor

normale kivulje.

Ð→N =

dÐ→T

dt

∣dÐ→T

dt∣

On pokazuje smjer u kojem se krivulja savija.

Tangencijalni vektor na krivulju i vektor normale odreduju ravninutzv. oskulatornu ravninu krivulje za koju se može pokazati da je medusvim ravninama koje prolaze danom tockom krivulje to ravnina uz kojukrivulja najbolje liježe (u odredenom smislu koji se može precizirati, ali sadto možemo uzeti u intuitivnom smislu). Jedinicni vektor

Ð→B okomit na tu

ravninu nazivamo vektor binormale krivulje:

Ð→B =Ð→T ×Ð→N

Što se tice jednoznacnosti prirodnog triedra, primjetimo sljedece.Ð→T

možemo izabrati na dva nacina. Svaka parametrizacija ga jednoznacnoodreduje. Bez obzira kako odabrali

Ð→T , vektor normale, ako nije nul vektor,

3.2. Krivulje 213

je jednoznacan. Dvije mogucnosti za izborÐ→T daju dvije mogucnosti za izborÐ→

B . Tako, u slucaju da vektor normale nije nul vektor, imamo dva izboraprirodnog triedra. Ako je vektor normale nul vektor, što se npr dešavaza pravac ili za krivulju u tocki u kojoj je ona ”dovoljno ravna”, tj ako jedÐ→T

dt=Ð→0 , tad za jedinicni vektor normale možemo uzeti bilo koji jedinicni

vektor okomit naÐ→T pa imamo beskonacno prirodnih triedara:

Krivulji u svakoj tocki možemo pridružiti dva broja koja je lokalno posvekarakteriziraju. To su zakrivljenost i torzija, i sad cemo ih opisati.

Zakrivljenost krivulje možemo mjeriti tako da gledamo koliko se brzomijenja kut tangencijalnog vektora T u odnosu na prirodni parametar skrivulje, tj prijedeni put po krivulji:

Zakrivljenost krivulje κ definiramo kao brzinu te promjene:

κ = dαds

Sjetimo se da je brzina promjene jedinicnog vektora jednaka brzini pro-mjene kuta vektora (zzz), pa κ možemo izraziti i kao iznos brzine promjenejedinicnog vektora po prirodnom parametru:

κ = ∣dÐ→T

ds∣

Zakrivljenost možemo opisati i na sljedeci nacin. Može se pokazati da medusvim kružnicama koje u danoj tocki krivulje diraju krivulju postoji jedna


kružnica, tzv oskulatorna kružnica koja najbolje aproksimira krivulju(u odredenom smislu koji se može precizno reci, a kojeg cemo opet ostavitiintuiciji). Njen centar možemo dobiti tako da gledamo presjecišta pravacaodredenih normalom na tu krivulju i susjednom normalom kad su oveveoma bliske:

Ocigledno, oskulatorna kružnica mjeri zakrivljenost krivulje u danoj tocki.Njen radijus R zovemo radijus zakrivljenosti krivulje. Sljedeca slika nampokazuje kako je on povezan s promjenom kuta tangencijalnog vektora:

Dakle,

κ = 1R

Iz definicije zakrivljenosti i jedinicnog vektora normale slijedi i vezamedu njima

dÐ→T

ds= κÐ→N

3.2. Krivulje 215

Torzija τ je mjera ”uvrtanja” krivulje, koliko se zakrece oskulatornaravnina kad se pomicemo po krivulji. To mjeri brzina promjene kuta vektorabinormale u odnosu na prirodni parametar s:

τ = dβds

= ∣dÐ→B

ds∣

Pošto jeÐ→B jedinicni vektor njegova brzina promjene je okomita na njega tj.

leži u oskulatornoj ravnini. Štoviše, cini se da bi trebala biti paralelnaÐ→T .

Da je zaista tako pokazuje sljedece racunanje:

Ð→B ⋅Ð→T = 0/ d

ds→ d

Ð→B

ds⋅Ð→T +Ð→B ⋅ d

Ð→T

ds= 0

Drugi clan je jednak nuli jer jedÐ→T

dsparalelno

Ð→N , dakle okomito na

Ð→B . Tako

dobijamo da je

dÐ→B

ds⋅Ð→T = 0

Dakle,dÐ→B

dsje okomit na

Ð→T . To znaci da je paralelan s

Ð→N . Pošto mu je iznos

jednak τ to je

dÐ→B

ds=−τÐ→N


Pri tome vrijedi dogovor da se torzija uzima kao broj s predznakom ”+” akose krivulja torzira po pravilu desne ruke, a ”-” ako se torzira po pravilu lijeveruke:

Što se tice brzine promjene jedinicnog vektoraÐ→N , ona mora ležati u

ravnini odredenoj sÐ→T iÐ→B , tj ona je linearna kombinacija ovih vektora:

dÐ→N

ds=αÐ→T +βÐ→B

pomnožimo li ovu jednakost s T dobit cemo α:

α = dÐ→N

ds⋅Ð→T = d

ds(Ð→N ⋅Ð→T )−Ð→N ⋅ d

Ð→T

ds(po pravilu za derivaciju umnoška )

=−Ð→N ⋅ dÐ→T

ds(jer je prvi clan jednak nuli zbog okomitosti

Ð→N i

Ð→T )

=−κ (jer jedÐ→T

ds= κÐ→N )

Posve analognim racunanjem (pokušajte sami) dobivamo da je

β = τ.

To znaci da jedÐ→N

ds=−κÐ→T +τÐ→B .

3.2. Krivulje 217

Tako smo brzinu promjene svakog jedinicnog vektora prikazali kaolinearnu kombinaciju preostalih jedinicnih vektora:

Frenetove formule

dÐ→T

ds= κÐ→N

dÐ→N

ds=−κÐ→T +τÐ→B

dÐ→B

ds=−τÐ→N

Frenetove formule su u stvari diferencijalne jednadžbe koje uz zadanipocetak krivulje tocno odreduju krivulju. Intuitivno to možemo razumjetina sljedeci nacin. Zadamo pocetnu tocku krivulje i pocetni triedar. Tad namFrenetove formule omogucavaju da za mali pomak ∆s približno izracunamopromjene svakog pojedinog jedinicnog vektora. Dodamo li te promjenepostojecem triedru dobijemo novu tocku krivulje na udaljenosti ∆s u smjeruÐ→T i triedar u toj tocki. S njima ponovimo ovaj postupak, itd. Takonumericki možemo približno generirati krivulju. Prelazak na sve sitnije ∆scini ovaj postupak sve preciznijim i u limesu se približavamo krivulji kojaje jedinstveno rješenje ovih jednadžbi za zadani pocetak.

Definirali smo prirodni triedar krivulje, te zakrivljenost i torziju. Me-dutim, njih po definicijama nije lako izracunati. Sad cemo razviti formulepo kojima cemo ih racunati na osnovi zadane parametrizacije Ð→r (t). Vidjetcemo da sve te objekte možemo izracunati pomocu prve, druge i trece deri-

vacije parametrizacije, tj pomocu Ð→v (t), Ð→a (t) idÐ→adt

. Pošto parametrizacijaovisi o t, a zakrivljenost i torzija o s, pomoci ce nam sljedeca formula kojapovezuje deriviranje po t i po s

dÐ→f

ds= dÐ→f

vdt= 1

vdÐ→f

dt


Dakle,

dÐ→f

dt= v

dÐ→f

ds

DefinicijuÐ→T možemo iskoristiti za njeno racunanje:

Ð→T =

Ð→vv

Deriviranjem izraza za brzinu Ð→v = vÐ→T

Ð→a = dvdtÐ→T +v

dÐ→T

dt= dv

dtÐ→T +v2 d

Ð→T

ds= dv

dtÐ→T +v2κ

Ð→N

dobit cemo zanimljiv i koristan izraz za akceleraciju

Ð→a = dvdtÐ→T +v2κ

Ð→N

Ovo je razlaganje akceleracije na tangencijalnu komponentudvdt

koja dajebrzinu promjene iznosa brzine i na normalnu komponentu (centripetalnaakceleracija) v2κ koja daje brzinu promjene smjera brzine. Izrazimo liu ovom drugom izrazu zakrivljenost pomocu radijusa zakrivljenosti dobit

cemo izraz za centripetalnu akceleracijudv2

Rkoji nam je od prije poznat

za jednoliko kruženje. Vidimo da on vrijedi i za proizvoljno gibanje. Toje fizikalno veoma znacajna formula jer je povezana s centripetalnom silomkoja nam npr. kaže kojom maksimalnom brzinom se automobil može kretatipo odredenom dijelu ceste bez izlijetanja. Ovaj izraz za centripetalnuakceleraciju nam ujedno kaže da je Ð→a u oskulatornoj ravnini krivulje pavektor binormale

Ð→T možemo dobiti pomocu vektorskog produkta Ð→v i Ð→a :

Ð→B =

Ð→v ×Ð→a∣Ð→v ×Ð→a ∣

3.2. Krivulje 219

Sad možemo dobiti iÐ→N

Ð→N =Ð→B ×Ð→T

Izraz za akceleraciju ce nam dati i formulu za racunanje zakrivljenostitako da cemo obje strane vektorski pomnožiti s Ð→v :

Ð→v ×Ð→a =Ð→v × dvdtÐ→T +Ð→v ×v2κ

Ð→N

Prvi clan na desnoj strani jednak je nul vektoru (zašto?). Tako dobijemojednakost:

Ð→v ×Ð→a =Ð→v ×v2κÐ→N

Ona nam daje odgovarajucu jednakost iznosa

∣Ð→v ×Ð→a ∣ = v3κ (zašto je takva desna strana?)

odakle dobijemo izraz za racunanje zakrivljenosti:

κ =∣Ð→v ×Ð→a ∣

v3

Derivirajuci izraz za akceleraciju i množeci dobiveni izraz s Ð→v ×Ð→a dobitcemo izraz iz kojeg možemo izvuci formulu za racunanje torzije (pokušajte,malo je kompliciranije od izvoda formule za zakrivljenost):

τ =(Ð→v ×Ð→a ) ⋅ d

Ð→adt

∣Ð→v ×Ð→a ∣2

Formule za racunanje prirodnog triedra, zakrivljenosti i torzije


Ð→T =

Ð→vv

Ð→B =

Ð→v ×Ð→a∣Ð→v ×Ð→a ∣

Ð→N =Ð→B ×Ð→T

κ =∣Ð→v ×Ð→a ∣

v3

τ =(Ð→v ×Ð→a ) ⋅ d

Ð→adt

∣Ð→v ×Ð→a ∣2

zzz ilustrirati na zavojnici u t=0 i komentirati za proizvoljni t kapa i tau

zzz još jedan primjer iz vježbi napraviti

3.3 Newtonovi zakoni klasicne mehanike

U svome djelu Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Matematickiprincipi prirodne filozofije) Isaac Newton (1643 - 1728) je 1687. godinepostavio osnove klasicne mehanike, teorije gravitacije i opcenito modernefizike. Modernim rjecnikom receno, osnovna zamisao klasicne Newtonovemehanike je da cestice (tijela zanemarivih dimenzija) medusobno djelujuuzrokujuci gibanja koja su relativna u odnosu na sustav promatranja.Djelovanje svake cestice na drugu opisano je vektorom koji zovemo sila,a ukupno djelovanje svih cestica na jednu cesticu je zbroj tih sila (principsuperpozicije). Sile uzrokuju gibanje koje opisujemo relativno u odnosu

3.3. Newtonovi zakoni klasicne mehanike 221

na neki sustav promatranja u kojem vrijedi Euklidova geometrija, dok jevrijeme izmedu dva dogadaja u svim sustavima jednako. Pri tome vrijedesljedeci zakoni

Newtonovi zakoni mehanike

Prvi Newtonov zakon Postoji sustav, kojeg nazivamo inercijalnisustav, u kojem se cestica na koju ne djeluje nijedna sila giba po pravcustalnom brzinom ili miruje.

Drugi Newtonov zakon U inercijalnom sustavu ukupna silaÐ→F

na cesticu ovisi o njenom položaju, brzini i vremenu (principdeterminiranosti) i proporcionalna je akceleraciji Ð→a , pri cemu jefaktor proporcionalnosti m karakteristika cestice koju nazivamo masacestice:

Ð→F (t,Ð→r ,Ð→v ) = mÐ→a

Treci Newtonov zakon Dvije cestice djeluju jedna na drugu silamakoje su jedna drugoj suprotni vektori i koji djeluju duž pravca koji spajate cestice:

Vidimo da je matematika potrebna za formulaciju ovih zakona upravomatematika preslikavanja skalara (vremena) u vektore (položaja, brzine,ubrzanja, sile).

Jedan od osnovnih problema klasicne mehanike je da na osnovi poznava-nja sila koje djeluju na cesticu odredimo njeno gibanje. Odgovor na to daje


drugi Newtonov zakon. U najednostavnijem slucaju, kad sila ovisi samo ovremenu, odgovor nam daje postupak antideriviranja, kakav smo koristiliu cjelini o gibanjima. Medutim, opcenito sila ovisi i o položaju i o brzini.Newtonov zakon je diferencijalna jednadžba koja uz zadane pocetne uvjete,pocetnu brzinu i položaj, ima jedinstveno rješenje koje nam daje traženogibanje. Da je tako možemo se uvjeriti sljedecim intuitivnim razmatranjem.Nek su nam poznati pocetni položaj Ð→r0 i pocetna brzina Ð→v0 u trenutku t0.Drugi Newtonov zakon možemo napisati na sljedeci nacin

dÐ→vdt

= 1mÐ→F (t,Ð→r ,Ð→v )

dÐ→rdt

=Ð→v

To znaci da su za mali vremenski interval ∆t promjena brzine i položajapribližno sljedece:

∆Ð→v ≃ 1mÐ→F (t,Ð→r ,Ð→v )∆t

∆Ð→r ≃Ð→v ∆t

Poznavajuci u pocetnom trenutku položaj i brzinu, možemo izracunati lijevestrane i tako pronaci za koliko su se približno promijenile te velicine udjelicu vremena ∆t. Dodavši te promjene pocetnim velicinama dobivamovrijednosti tih velicina u trenutku t0 +∆t. Sad ove velicine možemo uzetiza pocetne i cijeli postupak ponoviti. Tako možemo približno odreditikako se gibanje vremenski odvija. Ovo je u osnovi numerickih postupakaodredivanja gibanja. Što uzimamo manje vremenske intervale greške susve manje i u limesu ∆t→ 0 ova približna rješenja prelaze u pravo rješenje.Isto razmatranje vrijedi i kad imamo više cestica.

U svom djelu Isaac Newton je opisao i zakon gravitacijskog medudjelo-vanja dvije cestice: cestice masa m1 i m2 koje se nalaze na udaljenostu rmedusobno se privlace silom

F =Gm1m2

r2 , gdje je G fizikalna konstanta, tzv. gravitacijska konstanta


i iznosi G = 6.67384 ⋅10−11Nm2/kg2

Pošto u medudjelovanju nebeskih tijela dominira gravitacijska sila,Newton je tako postavio teorijske osnove za ispitivanje gibanja planeta.Glavna potvrda ispravnosti njegove teorije je bila da je iz nje uspio izvesti triKeplerova zakona. Ti zakoni su bili vrhunac dotadašnjeg znanja o gibanjuplaneta koje je na osnovi astronomskih promatranja Tycho Brahea (1546 –1601) otkrio Johannes Kepler (1571 - 1630)

Keplerovi zakoni o gibanju planeta

Prvi Keplerov zakon Putanja planete oko Sunca je elipsa u cijem jejednom žarištu Sunce.

Pri tome, elipsa je skup tocaka kojima je omjer udaljenosti od fiksnetocke (žarišta) i fiksnog pravca (direktrise) stalan broj e < 1

zzz na slici je pogrešna relacija!! Treba bitirr′= e!!


Jednadžba elipse u polarnom koordinatnom sustavu u kojem je svakatocka opisana kutom ϕ pod kojim se vidi iz žarišta S i udaljenošcu r odtog žarišta je (pokušajte to izvesti iz definicije elipse)

r = ed1+ ecosϕ

Drugi Keplerov zakon Radijus vektor položaja planete s ishodištem uSuncu u jednakim vremenskim razmacima prebriše jednake površine

Treci Keplerov zakon Kvadrati ophodnih vremena planeta odnose sekao kubovi velikih poluosi njihovih orbita (velika poluos elipse je najvecaudaljenost od središta elipse do tocke na elipsi).

Da bi dokazao Keplerove zakone, kao i druge posljedice svojih zakona,Newton je razvio matematiku promjena koju izucavamo. I mi smo sad upoziciji da izložimo taj kljucni dokaz u povijesti znanosti.

Prvo cemo izvesti zakon o momentu kolicine gibanja. Vektorski cemopomnožiti obje strane drugog Newtonova zakona s radijus vektorom polo-žaja cestice:

Ð→r ×Ð→F =Ð→r ×mdÐ→vdt

Desnu stranu cemo transformirati po pravilu za derivaciju umnoška:


Ð→r ×Ð→F = dÐ→r ×mÐ→vdt

− dÐ→rdt

×mÐ→v

Drugi clan na desnoj strani jednak je nul vektoru jer je u pitanju vektorskiprodukt paralelnih vektora:

Ð→r ×Ð→F = dÐ→r ×mÐ→vdt

VelicinuÐ→M =Ð→r ×Ð→F nazivamo moment sile a velicinu

Ð→L =Ð→r ×mÐ→v moment

kolicine gibanja. Sam zakon kaže da je ukupan moment sile na cesticujednak brzini promjene njenog momenta kolicine gibanja i nazivamo gazakon o momentu kolicine gibanja.

Primijenimo zakon o momentu kolicine na gibanje planete oko Sunca.Uzmemo li položaj Sunca za ishodište koordinatnog sustava tad Newtonovzakon gravitacije kaže da je gravitacijska sila Sunca na planet koji se nalazina položaju Ð→r jednaka

Ð→F =−G

mMr2Ð→r0, gdje m masa planete a M masa Sunca

Moment ove sile je nula, jer je paralelna radijus vektoru položaja. Po zakonuo momentu kolicine gibanja to znaci da je brzina promjene momenta kolicinegibanja nula, pa se planet, ako zanemarimo utjecaj drugih planeta, gibatako da mu je moment kolicine gibanja stalan:

Ð→L =Ð→r ×mÐ→v = const

Iz tog odmah možemo zakljuciti da se planet giba u jednoj ravnini koja


sadrži Sunce aÐ→L joj je vektor normale. Zaista, radijus vektor Ð→r položaja

cestice zadovoljava jednadžbu te ravnine Ð→r ⋅Ð→L = 0

Nadalje moment kolicine gibanja je usko povezan s površinom koju prebrišeradijus vektor:

yyy fali slika

dPdt

= 12∣Ð→r ×Ð→v ∣ = 1

2m∣Ð→L ∣

Iz stalnostiÐ→L slijedi stalnost prebrisane površine u zadanom vremenu,

dakle drugi Keplerov zakon.

Brzinu planete možemo razložiti na komponentu duž radijus vektora ikomponentu Ð→v ϕ okomitu na radijus vektor:

Na kutnu kolicinu gibanja utjece samo komponenta okomita na radijusvektor:

Ð→L =Ð→r ×mÐ→v =Ð→r ×m(Ð→v ϕ+Ð→v r) =Ð→r ×mÐ→v ϕ+Ð→r ×mÐ→v r =Ð→r ×mÐ→v ϕ

Pogledamo li iznose dobit cemo da je

Ð→L = mr2 dϕ

dtÐ→L0

Drugi Newtonov zakon nam daje akceleraciju gibanje planeta:


Ð→a =−GMr2Ð→r0

Pomnožimo li vektorski ove dvije jednakosti eliminirat cemo r i dobitirelaciju koju cemo moci integrirati

Ð→a ×Ð→L =GmMdϕdtÐ→L0×Ð→r0

Lijeva strana je jednaka

Ð→a ×Ð→L = dÐ→vdt

×Ð→L = dÐ→v ×Ð→Ldt

jer jeÐ→L konstanta, dok je na desnoj strani

jer jedÐ→r 0

dϕjedinicni vektor (zašto?), pa je desna strana jednaka

GmMdϕdt

dÐ→r 0

dϕ=GmM

dÐ→r 0

dt

Ovako promijenjene lijeva i desna strana nam daju

dÐ→v ×Ð→Ldt

=GmMdÐ→r 0

dt

Integriranjem dobivamo


Ð→v ×Ð→L =GmM(Ð→r 0+Ð→e ),

gdje je Ð→e konstanta integriranja. Pomnožimo li skalarno ovu relaciju s Ð→r )dobit cemo

Ð→r ⋅(Ð→v ×Ð→L ) =GmMÐ→r ⋅(Ð→r 0+Ð→e )

Lijeva strana je jednaka (Ð→r ×Ð→v ) ⋅Ð→L = L2

m, a desna strana je jednaka

GmM(r+ recosϕ). Tako je

L2

m=GmM(r+ recosϕ)

To je polarna jednadžba putanje. Ako izrazimo r pomocu ϕ

r =L2

Gm2M1+cosϕ

vidimo da je to za e < 1 elipsa. Time smo dokazali prvi Keplerov zakon.Inace, vrijednost za e može biti i 1 (tad je to parabola) ili veca od 1 (tadje to hiperbola). Tako se oko Sunca gibaju tijela koja dodu izvan Suncevasustava.

Za treci Keplerov zakon koristit cemo neke rezultate iz geometrije elipse,da je površina elipse jednaka abπ (to cemo dokazati u zzz) i da su parametri

elipse povezani relacijom ed = b2

a(to se može dobiti iz definicije elipse iz

smisla tih parametara), gdje je b, mala poluos elipse, tj najkraca udaljenostod središta elipse do tocke na elipsi. Pošto ce radijus vektor planeta ujednom periodu gibanja T prebrisati površinu cijele elipse abπ, to je stalna

brzina brisanja površine jednakaabπT

. S druge strane, vidjeli smo kod

izvodenja drugog Keplerova zakona da je ta brzina jednakaL

2m. Tako

imamo

3.4. Zadaci za vježbu 229

abπT

= L2m

Nadalje, usporedimo li jednadžbu putanje koju smo dobili pri dokazivanju

prvog Keplerova zakona r =L2

Gm2M1+cosϕ

sa standardnim oblikom jednadžbom

elipse r = ed1+ ecosϕ

vidimo da je

ed = L2

Gm2M

Iz ed = b2

adobivamo

b2

a= L2

Gm2M

Izrazimo li u jednakostiabπT

= L2m

parametar b pomocu ostalih velicina,

zamijenimo tim izrazom b u prethodnoj jednadžbi, te je riješimo po T2 dobitcemo

T2 = 4π2

GMa3

Time smo dokazali i treci Keplerov zakon.

3.4 Zadaci za vježbu

Rješenja


4Preslikavanja vektora u skalare

U elementarnoj matematici i uvodnim kursevima iz matematike promjenaobicno se promatraju samo ovisnosti jedne skalarne velicine o drugoj. Takvaje na primjer ovisnost prijedenog puta s o vremenu t kod slobodnog pada

s(t) = 12

t2. Zato se pažnja posvecuje funkcijama tipa f (x) = x2 ili f (x) = sin x.Medutim, obicno jedna velicina ovisi o više drugih velicina. Tako npr. ustrujnom krugu struja I kroz otpornik ovisi o otporu R otpornika i naponuU izmedu krajeva otpornika

I(U ,R) = UR

Isto tako, tlak p idealnog plina ovisi o njegovom volumenu V i temperaturiT:

p(V ,T) = nRTV

231

232 4. Preslikavanja vektora u skalare

gdje je n broj molova plina a R = 8.314472JK−1mol−1 plinska konstanta.

Zato cemo sada proširiti matematiku s funkcija tipa y = f (x) na funkcijetipa y = f (x1, x2, . . . , xn). Najviše cemo posvetiti pažnje funkcijama s dvaulaza. Takve funkcije se mogu vizuelno predstaviti, a na njima se možerazviti sva matematika promjena koja se lako proširi i na funkcije s višeulaza. Takve funkcije cemo obicno u matematickom neutralnom kontekstuoznacavati z = f (x, y). Nadalje, takve funkcije su usko povezane saskalarnim poljima, funkcijama koje tockama prostora pridružuju jedanbroj, npr T temperaturu na danom mjestu P, T = f (P). Zamijenimo li tockunjenim radijus vektorom Ð→r , ova funkcija prelazi u funkciju koja vektorupridružuje broj T = f (Ð→r ), a zamijenimo li vektor njegovim koordinatama(x, y) u ravnini, odnosno (x, y, z) u prostoru, dobivamo funkciju koja dvojci,odnosno trojci brojeva, pridružuje broj T = f (x, y), odnosno T = f (x, y, z).Mada su ovo razne funkcije, veza je toliko jednostavna da necemo bitipreviše pedantni i sve cemo te funkcije oznacavati istim slovom:

P↔Ð→r ↔ (x, y, z) → T = f (P)↔T = f (Ð→r )↔T = f (x, y, z)

Ta veza nam omogucuje da funkcije više skalarnih ulaza predocavamogeometrijski, odnosno da skalarna polja ispitujemo algebarski. Cestocemo prirodno prelaziti s jedne interpretacije na drugu, a da to i necemoeksplicitno navoditi.

4.1 Zadavanje i graficki prikaz

Funkcije više ulaza obicno cemo zadavati elementarnim formulama, ukojima ce umjesto jedne ulazne varijable biti više ulaznih varijabli. Nprtako cemo zadati funkciju f (x, y) =√

y− x. Kao i za funkcije jednog ulaza,formula nam daje nacin kako izracunati vrijednost funkcije za dane ulaze.Npr f (2,1) =

√2−1 = 1. Za neke ulaze je necemo moci izracunati. Npr.

f (1,2) =√

1−2 =√−1 =? Pošto razmatramo samo ulaze i izlaze koji su

realni brojevi, sad izlaz nije definiran. Tako i ove funkcije imaju svojudomenu, Ako nije drugacije receno, domenu tvore svi parovi brojeva za kojenam formula kojom smo zadali funkciju daje izlaznu vrijednost. U našem

4.1. Zadavanje i graficki prikaz 233

slucaju domena je skup svih parova brojeva (x, y) takvih da je y ≥ x. Kao ikod funkcija jednog ulaza, i ovdje imamo rang ili sliku ili skup vrijednostifunkcije (kako tko kaže) - to je skup svih brojeva koje možemo dobiti kaoizlaz iz funkcije. Npr. tom skupu pripada broj 1, jer je f (2,1) = 1, a nepripada broj -1, jer kao izlaz operacije korjenovanja nikad ne možemo dobitinegativan broj. Skup vrijednosti ove funkcije je skup svih nenegativnihbrojeva. Zaista, negativni brojevi ne mogu biti na izlazu, dok, znamo odprije, funkcija f (y) = √

y daje na izlaz sve nenegativne brojeve. Tako ifunkcija f (x, y) = √

y− x, daje na izlaz sve nenegativne brojeve (stavimox = 0).

Kao što smo i funkcije y = f (x) mogli graficki prikazati njenim grafom,odgovarajucom krivuljom u Kartezijevom koordinatnom sustavu u ravnini,slicno i funkciju z = f (x, y) možemo prikazati njenim grafom, odgovaraju-com plohom u Kartezijevom koordinatnom sustavu u prostoru. Ulaz (x, y)predstavimo tockom u xy-ravnini, z = f (x, y), kao koordinatu odgovarajucetocke na z osi, dok skup svih tocaka s koordinatama (x, y, f (x, y)) tvori graffunkcije. To je obicno ploha u prostoru:

Domena funkcije je okomita projekcija grafa na xy ravninu, a rang okomitaprojekcija na z os. Za funkciju f (x, y) =√

y− x graf je

yyy napraviti sliku

Drugi nacin vizuelnog predstavljanja funkcija z = f (x, y) je pomocu tzvnivo krivulja. Nivo krivulja vrijednosti c koja pripada rangu funkcijeje skup svih tocaka na kojima funkcija poprima vrijednost c. Jednadžbate krivulje je f (x, y) = c. Tako se u kartografiji predstavlja reljef nekogpredjela. Svakoj tocki na karti možemo pridružiti nadmorsku visinu mjesta


kojeg predstavlja ta tocka. Nivo krivulje ove funkcije su tzv. izohipse,krivulje koje povezuju mjesta iste nadmorske visine:

Isto tako, kod prognoziranja vremena znacajna je ovisnost tlaka u višimslojevima atmosfere o mjestu nad zemljinom površinom. U grafickimprikazima, koji su postali sastavni dio izvještavanja o vremenu, prikazujuse tzv izobare, krivulje koje povezuju mjesta istog tlaka. Iz njihovogvremenskog mijenjanja možemo ekstrapolirati kvalitativne informacije obuducim vremenskim uvjetima.

yyy nacrtati ili kopirati jednu takvu kartu

Odredimo nivo krivulje funkcije f (x, y) =√y− x. Za svaku nenegativnu

vrijednost c nivo krivulja te vrijednosti ima jednadžbu c =√y− x. Kvadri-

ramo li tu jednakost i izrazimo li y pomocu x dobit cemo

y = x+ c2

Za svaki c ≥ 0 to je jednadžba pravca nagiba 1 koji y-os sijece u c2:

Da su sve veci razmaci medu krivuljama znaci da vrijednost funkcije svesporije raste. Graf funkcije možemo rekonstruirati tako da svaku nivo

4.2. Derivacija 235

krivulju podignemo na odgovarajucu visinu (krivulju vrijednosti c na visinuc)

yyy dati graf te funkcije

zzz napraviti primjer s f (x, y) = x2+ y2 i sve ponoviti komentirati tockui neobicne nivo krivulje

zzz istaknuti ulogu softwarea ovdje

Graficki prikaz funkcija s dva ulaza z = f (x, y) pomocu nivo krivuljamožemo proširiti na graficki prikaz funkcija s tri ulaza w = f (x, y, z) pomocunivo ploha. Nivo ploha vrijednosti c, funkcije w = f (x, y, z), gdje c pripadarangu funkcije, je skup tocaka kojem je jednadžba c = f (x, y, z).

zzz napraviti jedan primjer

4.2 Derivacija

Kod funkcija više ulaza pojam brzine promjene je znatno složeniji negokod funkcija s jednim ulazom, i ima više aspekata. Pocet cemo odnajednostavnijeg.

4.2.1 Parcijalne derivacije

Vec smo naveli da tlak p idealnog plina ovisi o njegovom volumenu V

i temperaturi T, p(V ,T) = nRTV

, gdje je n broj molova plina a R =8.314472JK−1mol−1 plinska konstanta. Ako uz stalnu temperaturu mi-jenjamo volumen, mijenjat ce se i tlak. Isto tako, ako uz stalan volumenmijenjamo temperaturu, opet ce se mijenjati tlak. Tako možemo gledatibrzinu promjene tlaka po volumenu uz stalnu temperaturu, kao i brzinupromjene tlaka po temperaturi uz stalan volumen. Te brzine promjena se


zovu parcijalne derivacije.

Parcijalna derivacija

Parcijalna derivacija po x funkcije z = f (x, y) u tocki (x, y) je broj

f ′x(x, y) = lim∆x→0

∆z∆x

= lim∆x→0

f (x+∆x, y)− f (x, y)∆x

Analogno, parcijalna derivacija po y je

f ′y(x, y) = lim∆y→0

∆z∆y

= lim∆y→0

f (x, y+∆y)− f (x, y)∆x

Koristit cemo i druge oznake za parcijalne derivacije. Npr. umjesto f ′x(x, y)koristit cemo oznaku

∂ f (x, y)∂x

ili jednostavnije∂

∂xf (x, y), koja sugerira

definiciju parcijalne derivacije. Takoder, u slucaju kad je više naglasak naizlaznoj velicini z = f (x, y) nego na samoj funkciji f , u ovim oznakama cemoumjesto f (x, y) pisati z(x, y), ili još krace, samo z, kad se podrazumijeva okojim velicinama z ovisi.

Ako zanemarimo prisustvo druge varijable, definicija parcijalne deri-vacije je ista kao i za derivaciju funkcije jednog ulaza. Zato su pravilaparcijalnog deriviranja ista kao i pravila obicnog deriviranja, samomoramo paziti po kojem ulazu deriviramo, dok ostale ulaze treti-ramo kao konstante.

zzz primjer s više podprimjera raspisano zadnji neka bude plinskajednadžba, pa funkcija s više od dva ulaza

Parcijalne derivacije f ′x(x, y) i f ′y(x, y) su takoder funkcije s dva ulazapa možemo gledati i njihove derivacije. Njih zovemo druge parcijalnederivacije.

zzz primjer s objašnjenjem jednakosti drugih p d

4.2. Derivacija 237

Isto tako možemo gledati i više derivacje. Opet vrijedi za uobicajenefunkcije da nije važan redoslijed deriviranja. Npr. derivirati dva put po x ijedanput po y možemo uraditi tako da prvo dvaput deriviramo po x pa ondapo y ili da prvo deriviramo po y pa onda dvaput po x ili da deriviramo po xpa po y pa po x. Uvijek cemo dobiti isti broj

z′′′

xxy = z′′′

yxx = z′′′

xyx

4.2.2 Valna jednadžba

Otkrivanje zakonitosti u nekoj pojavi cesto se svodi na traženje ovisnosti(funkcije) jedne velicine o drugoj. Jedna od glavnih strategija u otkrivanjutih ovisnosti je traženje veze izmedu malih promjena tih velicina, odnosnotraženje veze medu diferencijalima, linearnim aproksimacijama tih pro-mjena. Kod ovisnosti jedne velicine o drugoj to vodi obicnim diferencijalnimjednadžbama, a kod ovisnosti jedne velicine o više drugih to vodi parcijalnimdiferencijalnim jednadžbama. Rješavanjem tih jednadžbi dobivamo traženufunkciju koja opisuje proces koji istražujemo. Sad cemo to ilustrirati najednom u prirodoznanju važnom primjeru, valnoj jednadžbi. Promotritcemo najjednostavniji slucaj, titranje žice na gitari. Promotrit cemo jedankomadic žice u jednom trenutku t i primijeniti na njega Newtonov zakongibanja:

Na komadic žice djeluju sile zatezanja žice T(x, t) i T(x +∆x, t), te gra-vitacijska sila. Problem cemo riješiti u aproksimaciji malih otklonai zanemarivanja gravitacijske sile. Zanemarivanje gravitacijske sile jeopravdano jer žica na gitari nije preduga i cvrsto je zategnuta tako da su


sile zatezanja puno vece od gravitacijske sile. U ravnotežnom položajužica na svakom mjestu ima istu silu zatezanja T i istu gustocu mase %.U aproksimacija malih otklona možemo pretpostaviti da je horizontalnakomponenta zatezanja stalno T i da je gustoca žice stalno %. Cilj namje naci diferencijalnu jednadžbu za gibanje žice y(x, t). To ce nam datiNewtonov zakon za komadic žice. Njega cemo postaviti po komponentama,za x smjer i za y smjer posebno. U aproksimaciji malih otklona horizontalnekomponente zatezanja su jednake T

T(x+∆x, t)cosϕ(x+∆x, t) =T

T(x, t)cosϕ(x, t) =T

pa nema gibanja u horizontalnom smjeru. Iz navedenih relacija možemoizraziti zatezanja na lijevom i desnom kraju pomocu T:

T(x+∆x, t) = Tcosϕ(x+∆x, t)

T(x, t) = Tcosϕ(x, t)

Newtonov zakon za vertikalni smjer daje

T(x+∆x, t)sinϕ(x+∆x, t)−T(x, t)sinϕ(x, t) =∆m∂2 y(x, t)∂t2

Uvrstimo li prethodne izraze za sile zatezanja s desne i lijeve strane teizrazimo ∆m pomocu gustoce ∆m = %∆x dobit cemo

T tanϕ(x+∆x, t)−T tanϕ(x, t) = %∆x∂2 y(x, t)∂t2

Sjetimo se da je nagib (tangens kuta otklona) derivacija y po x:

T∂y(x+∆x, t)

∂x−T

∂y(x, t)∂x

= %∆x∂2 y(x, t)∂t2

4.2. Derivacija 239

Izvucimo T na lijevoj strani, podijelimo s ∆x i pustimo da ∆x ide prema nuli:

T

∂y(x+∆x, t)∂x

− ∂y(x, t)∂x

∆x= %∂

2 y(x, t)∂t2 / lim

∆t→0

Tako cemo konacno dobiti

T∂2 y(x, t)∂x2 = %∂

2 y(x, t)∂t2

Dobili smo uvjet na traženu funkciju koji obuhvaca njene parcijalne deriva-cije, pa takav uvjet nazivamo parcijalna diferencijalna jednadžba. Ovajuvjet na titranje žice nazivamo valna jednadžba (ubrzo cemo vidjeti zaštobaš tako) i obicno ga pišemo na sljedeci nacin (i za to cemo ubrzo vidjetizašto baš tako):

valna jednadžba

∂2 y(x, t)∂x2 − 1

v2∂2 y(x, t)∂t2 = 0, gdje je v =

√T%

Iskustvo nam kaže da ako žicu udarimo na jedno mjesto poremecaj ce seprenositi duž žice nekom brzinom w. Ako je pocetni poremecaj, poremecaju trenutku nula, oblika y = f (x), tad se on nakon vremena t prenio duž žicebrzinom w, pa bi jednadžba gibanja žice trebala biti y(x, t) = f (x−wt):

Provjerimo je li to zaista jednadžba gibanja žice, odnosno je li funkcijay(x, t) = f (x−wt) rješenje valne jednadžbe. Izracunat cemo njene druge


parcijalne derivacije

∂y(x, t)∂x

= f ′(x−wt) → ∂2 y(x, t)∂x2 = f ′′(x−wt)

∂y(x, t)∂t

=−wf ′(x−wt) → ∂2 y(x, t)∂t2 =w2 f ′′(x−wt)

uvrstiti u valnu jednadžbu i provjeriti jesu li rješenja:

f ′′(x−wt)− 1v2 w2 f ′′(x−wt) = 0?

f ′′(x−wt)(1− w2

v2 ) = 0?

Pošto to mora biti jednako nuli za svaki x i t to je jedino moguce ako je

1− w2

v2 = 0, tj. ako je w = v. Tako smo otkrili znacenje parametra v: rješenjavalne jednadžbe su valovi y(x, t) = f (x−vt) koji se gibaju brzinom v.

Val koji se giba u jednom smjeru može biti gibanje žice kroz duže vrijemejedino za jako dugu žicu, jer na kraju žice dolazi do promjene. Iskustvonam sugerira da tražimo rješenja u obliku stojnih valova, npr. u oblikuprikazanom na slici:

Svaki dio žice titra izmedu nekih krajnjih granica koje variraju od mjesta domjesta. Za pretpostaviti je da je gibanje cestice na jednom mjestu sinusoida

sin2πT

t s periodom titranja T i amplitudom koja sinuspidalno ovisi o mjestu

4.2. Derivacija 241

sin2πλ

x, gdje je λ valna duljina prostorne sinusoide. Tako cemo rješenjetražiti u obliku

y(x, t) = sin(2πλ

x)sin(2πT

t+ϕ)

Pošto je žica duljine L na oba kraja (x = 0 i x = L) fiksirana moraju vrijedititzv rubni uvjeti

y(0, t) = 0 i y(L, t) = 0

Izracunajmo druge parcijalne derivacije (uradite to za vježbu)

∂2 y(x, t)∂t2 =−4π2

T2 sin(2πλ

x)sin(2πT

t+ϕ)

∂2 y(x, t)∂x2 =−4π2

λ2 sin(2πλ

x)sin(2πT

t+ϕ)

uvrstimo ih u valnu jednadžbu i faktorizirajmo:

sin(2πλ

x)sin(2πT

t+ϕ)(−4π2

λ2 + 1v2

4π2

T2 ) = 0

Iz tog slijedi da izraz u zagradi mora biti jednak nuli tj. imamo vezu izmeduperioda i valne duljine vala:

λ = vT

Pogledajmo još i rubne uvjete. Prvi uvjet y(0, t) = 0 je za ovu funkcijuautomatski ispunjen, dok drugi uvjet y(L, t) = 0 traži dodatnu restrikciju:

sin(2πλ

L)sin(2πT

t+ϕ) = 0

Pošto to mora vrijediti u proizvoljnom vremenskom trenutku slijedi da je


sin2πλ

L = 0, tj

2πλ

L = nπ, gdje je n pozitivan prirodan broj.

To je uvjet na moguce valne duljine stojnog vala

λn =2Ln

Tako su moguce sinusoidalne amplitude:

To ujedno znaci i restrikciju na periode titranja

Tn =λn

v= 2L

nv

Pošto je frekvencija titranja ν = 1T

to su moguce frekvencije

νn = nv

2L

Sve frekvencije su višekratnici osnovne frekvencijev

2L. Pošto se titranje

žice prenosi na zrak, istim frekvencijama titra i okolni zrak. Tako do nasmože od dane žice na gitari doprijeti zvuk samo navedenih frekvencija.Medutim, da bismo razumjeli što stvarno cujemo, moramo pogledati kakvihjoš ima rješenja valna jednadžba s navedenim rubnim uvjetima, poredrješenja

4.2. Derivacija 243

y(x, t) = sin(2πλn

x)sin(2πTn

t+ϕ)

Valna jednadžba je linearna jednadžba, što znaci i da je umnožak rješenja ybrojem A takoder rješenje A y i da je zbroj rješenja y1 i y2 takoder rješenjey1+ y2 (pokušajte za vježbu to dokazati). Pošto i oni zadovoljavaju navedenerubne uvjete to su rješenja i sve linearne kombinacije osnovnih stojnihvalova koje smo otkrili

y(x, t) = A1 sin(2πλ1

x)sin(2πT1

t+ϕ1)+A2 sin(2πλ2

x)sin(2πT2

t+ϕ2)

+ . . .+An sin(2πλn

x)sin(2πTn

t+ϕn)

Može se pokazati, ako dopustimo beskonacno zbrajanje (u smislu da štodalje zbrajamo dobivamo preciznije ukupno rješenje) da su sva rješenjaovog oblika. Konkretno rješenje je odredeno pocetnim uvjetima, kako smo

napeli žicu y(x,0) i kojom smo je brzinom∂y(x,0)

∂totpustili u trenutku

t = 0. Iz tih uvjeta bismo mogli dobiti nepoznate koeficijente An i ϕn. Zato bi nam trebao jedan veoma znacajan dio matematike, koji se nazivaFourierova analiza i koji zbog svoje važnosti zaslužuje posebnu knjigu.Uglavnom, kad udarimo žicu prstom ili trzalicom titranje žice, odnosnozvuk koji cujemo, je funkcija koja je beskonacna suma stojnih valova kojezovemo harmonici. Tako je ukupna funkcija zbroj prvog harmonika, kojegjoš zovemo i osnovni harmonik, drugog harmonika, treceg harmonikaitd. Ukupan zvuk je superpozicija zvukova koje proizvodi svaki harmonik.Nije u pitanju samo matematicki prikaz zvuka, nego naše uho, kao irazni uredaji za obradu zvuka zaista prepoznavaju pojedine harmonike.Svaki harmonik predstavlja zvuk tocno odredene frekvencije. Može sepokazati da kod titranja žice dominira prvi harmonik i njegovu frekvencijunazivamo frekvencijom zvuka (visinom tona) proizvedenog udaranjem žice.Ta frekvencija je

ν1 =v

2L


Sjetimo se da je v =√

T%

. Tako nam je za viši ton potrebna žica koju cemo

jace napeti ili koja ima manju gustocu. Napetost žice je odredena ugodnošcuzatezanja žice tako da ugrubo visinu tona postižemo debljinom žice (tanježice za više tonove) a zatezanjem žice preciznije odredujemo njenu visinutona.

Mada osnovni harmonik odreduje visinu tona, viši harmonici (preciznije,raspodjela energije po višim harmonicima) odreduju boju zvuka. Npr akožicu udarimo, ili, još bolje, zategnemo pa samo otpustimo pravilno posredini, imat cemo jasan zvuk jer je tada izrazita (energetska) dominacijaosnovnog harmonika. Ako pak žicu udarimo naglo, npr. trzalicom uz samkraj žice, zvuk ce biti ”metalniji” i ”mutniji”, jer se tad jace pobude viši har-monici. Dotaknete li lagano sredinu žice malom površinom, recimo prsta,uništit cete prvi harmonik (i još neke) jer on baš tu ima najvecu amplitudu,i tad ce dominantan postati drugi harmonik (na njega pritisak ne utjece jeron na tom mjestu ionako miruje) i visina zvuka ce se udvostruciti. PomocuFourierove analize možemo iz pocetnih uvjeta tocno izracunati amplitudeharmonika. Njihovi kvadrati su proporcionalni energiji (jakosti) svakogharmonika i tako možemo prognozirati boju zvuka. U studijima se ovaj zvukpušta kroz elektronske uredaje kojima se mijenjaju amplitude pojedinihharmonika i tako se veoma efikasno vrši obrada zvuka.

4.2.3 Tangencijalna ravnina i linearna aproksimacija

Pogledajmo na grafu funkcije z = f (x, y) geometrijski smisao parcijalnihderivacija funkcije. Neka smo u nekoj tocki (x0, y0). Variramo li samo x, tadgeneriramo na plohi krivulju koja je presjecište plohe i ravnine paralelne xzravnini. Ona je graf ovisnost z o x. Nagib tangente na taj graf je derivacijate ovisnosti, a to je upravo parcijalna derivacija po x funkcije z = f (x, y) utocki (x0, y0):

4.2. Derivacija 245

Na isti nacin je i parcijalna derivacija po y nagib tangente na krivulju kojugeneriramo na plohi kad variramo samo y:

Te dvije tangente odreduju jednu ravninu koja intuitivno najbolje priliježeuz plohu, jer tangente medu svim pravcima najbolje priliježu uz izabranekrivulje na plohi. Tu ravninu nazivamo tangencijalna ravnina na plohuz = f (x, y) u tocki (x0, y0, z0), gdje je z0 = f (x0, y0). Iz ovog geometrijskogodredenja možemo naci i njenu jednadžbu. Radi jednostavnosti nazovimoparcijalne derivacije funkcije f (x, y) u tocki (x0, y0) redom z′x0 i z′y0. Vektorismjerova tangenti su redom (1,0, z′x0) i (0,1, z′y0), jer kad se pomaknemo za1 horizontalno visina tangente se promijeni upravo za njen nagib. Ti vektorileže u tangencijalnoj ravnini pa ce nam njihov vektorski produkt dati vektornormale ravnine:

Ð→n = (1,0, z′x0)×(0,1, z′y0) = (−z′x0,−z′y0,1)

Tako je jednadžba ravnine −z′x0(x− x0)− z′y0(y− y0)+ (z − z0) = 0. Nakonsredivanja cemo dobiti


Tangencijalna ravnina

Jednadžba tangencijalne ravnine na plohu z = f (x, y) u tocki (x0, y0, z0),gdje je z0 = f (x0, y0), a z′x0 = f ′x(x0, y0) i z′y0 = f ′y(x0, y0), je

z = z0+ z′x0(x− x0)+ z′y0(y− y0)

zzz jedan primjer

Matematicki sadržaj tangencijalne ravnine na plohu je da medu svimlinearnim funkcijama koje se podudaraju s funkcijom z = f (x, y) u tocki(x0, y0) funkcija z = z0 + z′x0(x − x0) + z′y0(y − y0) je najbolje aproksimira.Mi smo se u to geometrijski uvjerili. No tome se može dati i striktanmatematicki izraz. To je najbolja aproksimacija u smislu da je jedinalinearna aproksimacija za koju vrijedi da greška aproksimacije g(x− x0, y−y0) ide brže u nulu od udaljenosti tocaka (x, y) i (x0, y0):

Najbolja linearna aproksimacija

Medu svim linearnim funkcijama koje se podudaraju s funkcijom z =f (x, y) u tocki (x0, y0) funkcija z = z0+ z′x0(x−x0)+ z′y0(y− y0) je najboljeaproksimira u smislu da jedina ispunjava sljedeci uvjet:

f (x, y) = z0+ z′x0(x− x0)+ z′y0(y− y0)+ g(x− x0, y− y0), pri cemu je

4.2. Derivacija 247

lim(x,y)→(x0,y0)

g(x− x0, y− y0)√(x− x0)2+(y− y0)2

= 0

Ako imamo funkciju s više ulaza y = f (x1, x2, . . . , xn) tad je najboljalinearna aproksimacija funkcija

y = y0+ y′x10(x1− x10)+ y′x20(x2− x20)+ . . . y′xn0(xn− xn0)

Ovaj rezultat necemo dokazivati, mada uz neku malu vještinu rada slimesima to nije teško pokazati.

4.2.4 Diferencijal i lancano deriviranje

Kao i kod funkcija jednog ulaza i jednog izlaza, tako je i ovdje veomaznacajan i koristan pojam diferencijala (vidjeti zzz, linearne aproksimacijepromjene funkcije. Kad se iz neke tocke (x, y) pomaknemo u susjednutocku tocku (x+∆x, y+∆y) vrijednost funkcije se promijeni za ∆z = f (x+∆x, y+∆y)− f (x, y). Promjenu gledanu po linearnoj aproksimaciji zovemodiferencijal. U ovim novim oznakama (tocku iz koje se pomicemo sadoznacavamo (x, y) a ne (x0, y0), a tocku u koju smo se pomakli oznacavamo(x+∆x, y+∆y)) ta promjena je

Diferencijal

Diferencijal funkcije z = f (x, y) u tocki (x, y) za pomak (∆x,∆y) je broj

dz = z′x∆x+ z′y∆y

Iz ove definicije slijedi da je dx =∆x i d y =∆y pa još pišemo i

dz = z′xdx+ z′yd y


Prava promjena vrijednosti funkcije je

∆z = dz+ g(∆x,∆y), gdje je

lim(∆x,∆y)→(0,0)

g(∆x,∆y)√(∆x)2+(∆y)2

= 0

U slucaju funkcije s više ulaza y = f (x1, x2, . . . , xn) diferencijal je

d y = y′x1 dx1+ y′x2 dx2+ . . . y′xn dxn

zzz primjer racunanja diferencijala

Važnost diferencijala nije u približnom racunanju vrijednosti funkcije,vec u tome da je mnogo jednostavnije naci odnose medu diferencijalimavelicina nego medu samim velicinama. Zato su oni od velike koristi i uteoriji i u primjeni, kao što cemo sad ilustrirati.

Prije svega potrebna su nam pravila za racunanje diferencijala. Poštoje diferencijal opisan pomocu parcijalnih derivacija, a pravila za parcijalnederivacije su ista kao i za totalne derivacije funkcija jednog ulaza, ta istapravila vrijede i za diferencijale

Pravila za diferencijale

d(z+w) = dz+dw

d(const ⋅ z) = const ⋅dz

d(z ⋅w) = dz ⋅w+ z ⋅dw

U primjenama je više naglasak na velicinama nego na funkcijama, jerone nose upotrebni smisao. Zamislimo npr da temperatura T jezera ovisi o

4.2. Derivacija 249

mjestu (x, y) po nekom zakonu T = T(x, y). Neka patka pliva jezerom takoda joj se položaj vremenski mijenja po nekim funkcijama x = x(t), y = y(t).Tada se i temperatura na njenom perju mijenja po nekom zakonu T =T(t) =T(x(t)), y(t)). Tako promatramo temperaturu i kao funkciju koordinatapoložaja i kao funkciju vremena.

No bez obzira koju ovisnost temperature promatrali, intuitivno je jasnoda je njen diferencijal, linearna aproksimacija stvarne promjene, isti.Zato ga oznacavamo dT ne navodeci na koju ovisnost mislimo. Štovišeiz ovog svojstva invarijantnosti diferencijala možemo dobiti i vezu meduderivacijama ovih raznih funkcija koje na izlaz daju temperaturu:

dT = ∂T∂x

dx+ ∂T∂y

d y / ∶ dt

dTdt

= ∂T∂x

dxdt

+ ∂T∂y

d ydt

Ovaj zapis podrazumijeva koje se funkcije deriviraju. Ako bismo željeli biti

više eksplicitni morali bismo npr umjesto∂T∂x

pisati∂T(x, y)

∂x, što se ponekad

jednostavnije piše (∂T∂x

)y, itd.

zzz jedan primjer eksplicitnog racunanja i racunanja po formuli

Pogledajmo još jedan primjer. U termodinamici je ravnotežno stanjetermodinamickog sustava posve odredeno izborom dviju od sljedecih cetirivelicine: T - termodinamicka temperatura sustava, V - volumen sustava,p - tlak u sustavu i S - entropija (intuitivno govoreci, mjera uredenosti


sustava). Svaka druga velicina koja ovisi o stanju sustava, kao nprunutrašnja energija U , može biti izražena pomocu bilo kojih dviju odnavedenih velicina. Mada funkcije U = U(S,V) i U = U(p,T) nisu istefunkcije, pri promjeni stanja diferencijali ce biti isti. Zato i sada možemogovoriti o dU ne specificirajuci o kojoj smo funkciji mislili. Štoviše, ovo cenam opet pomoci da povežemo parcijalne derivacije

Uradimo li odgovarajuce zamjene u izrazu za dU dobit cemo

Medutim, U =U(p,T) pa je

Usporedba s prethodnim izrazom za dU daje traženu vezu medu parcijal-nim derivacijama:

4.2. Derivacija 251

Postoji jednostavno graficko pomagalo za postavljanje ovakvih veza izmeduparcijalnih derivacija. To je tzv. stablo neposrednih ovisnosti velicina.Ilustrirajmo ga na ovom primjeru. Svaku velicinu cemo graficki predstaviticvorom u stablu i nacrtati grane prema velicinama o kojima neposrednoovisi. U našem primjeru smo smatrali da U neposredno ovisi o S i V , a ovida neposredno ovise o p i T. Zato je stablo neposrednih ovisnosti sljedece:

Da bismo dobili izraz za derivaciju U po p uz stalan T pogledamo sve puteveu stablu koji vode od U do p. Duž svakog puta množimo odgovarajuceparcijalne derivacije i tako dobijene izraze za svaki put medusobno zbra-jamo. Štoviše, ne moramo eksplicitno navoditi kod parcijalnog deriviranjao cemu još varijabla ovisi jer svaki nivo u stablu odreduje jednu ovisnost.lustrirajmo na jednom primjeru

zzz primjer stabla velicina i pokazati kako se zna o kojim je ovisnostimarijec

zzz napomenuti kad je ista varijabla na više nivoa


Lancano deriviranje

Neka je z = z(x, y), x = x(t) i y = y(t). Tad je

dzdt

= ∂z∂x

dxdt

+ ∂z∂y

d ydt

Za složeniju ovisnost velicina treba napraviti stablo neposrednih ovis-nosti velicina i iz stabla izvesti odgovarajucu vezu medu derivacijamana nacin kako je u prethodnim paragrafima objašnjeno.

Zadržat cemo se još malo na termodinamici. Vec smo rekli da jeprakticna vrijednost diferencijala u tome da je lakše naci vezu medudiferencijalima velicina nego medu samim velicinama. Tako npr. prvi zakontermodinamike, koji nije ništa drugo do specijalan slucaj zakona sacuvanjaenergije kaže da djelic toplinske energije dQ koji damo sustavu ce jednimdijelom otici na promjenu unutrašnje energije sustava dU i rad dW koji cesustav izvršiti na okolinu

dQ = dU +dW

Rad se vrši širenjem sustava i može se iz mehanike dobiti da je onjednak dW = pdV , gdje je p tlak sustava a V volumen sustava. Iztermodinamickih razmatranja se može dobiti da je dQ = TdS, gdje je Ttermodinamicka temperatura sustava a S entropija sustava. Tako prvizakon termodinamike možemo napisati u sljedecem obliku:

dU =TdS− pdV

Vec smo prije rekli da bilo koje dvije velicine od T, p, V i S odreduju stanjesustava i da sve ostale velicine koje ovise o stanju možemo prikazati pomocunjih. Prethodni diferencijal odgovara ovisnosti U =U(S,V), pa imamo da je

T = (∂U∂S

)V

4.2. Derivacija 253

p =−(∂U∂V

)S

Te formule nam govore da temperaturu i tlak možemo razumjeti pomocuodgovarajucih brzina promjene unutarnje energije sustava. Nadalje, one cenam dati i vezu izmedu T, p, V i S, koja mora postojati, jer smo rekli dasu samo dvije nezavisne. Naime, znamo da mješovite druge derivacije Umoraju biti iste, odakle slijedi da je

(∂T∂V

)S=−(∂p

∂S)

V

To je prva od 4 tzv. Maxwellove termodinamicke relacije medu ovimvelicinama. Preostale cemo dobiti iz prvog zakona termodinamike tako daumjesto S i V izaberemo neke druge dvije osnovne velicine.

Uzmimo za osnovne velicine S i p. Da bismo prvi zakon termodinamikeprikazali pomocu diferencijala ovih velicina moramo transformirati izrazpdV . Pošto je

d(pV) = pdV +V dp

to je pdV = d(pV)−V dp, pa je

dU =TdS−d(pV)+V dp → d(U + pV) =TdS+V dp

Velicinu pod diferencijalom nazivamo entalpija i oznacavamo H = U +pV . Tako nam sad prvi zakon termodinamike glasi

dH =TdS+V dp

Iz njega dobivamo da je

T = (∂H∂S

)p

V = (∂H∂p

)S


a jednakost drugih mješovitih parcijalnih derivacija od H nam daje druguMaxwellovu relaciju

(∂T∂p

)S= (∂V

∂S)

p

Pokušajte na isti nacin dobiti i preostale dvije Maxwellove jednadžbe.Uzmete li za osnovne velicine T i V prvi zakon termodinamike ce glasiti

dF = −SdT − pdV , gdje je F =U −ST tzv. Helmholtzov potencijal. Iz terelacije možete dobiti trecu Maxwellovu relaciju:

(∂S∂V

)T= (∂p

∂T)

V

Isto tako, uzmete li za osnovne varijable T i p dobit cete

dG = −SdT +V dp, gdje je G = U + pV − ST tzv. Gibbsova slobodnaenergija. Odatle možete dobiti cetvrtu Maxwellovu relaciju:

(∂S∂p

)T=−(∂V

∂T)

p

4.2.5 Usmjerena derivacija i gradijent

Kako izmjeriti brzinu promjene z = f (x, y) kad se mijenjaju oba ulaza? Nekase iz tocke (x, y) pomicemo u tocku (x+∆x, y+∆y). Koliko se promijenivrijednost funkcije kad se pomaknemo za ∆sÐ→s0 = Ð→∆s = (∆x,∆y)? Tada jeomjer promjene vrijednosti funkcije ∆z i položaja ∆s jednak

∆z∆s

≃z′x∆x+ z′y∆y

∆s= z′x

∆x∆s

+ z′y∆y∆s

Limes lijeve strane nazivamo derivacijom funkcije u smjeru Ð→s 0 i oznaca-vamo DÐ→s 0

z. Desnu stranu možemo napisati kao skalarni produkt vektora

4.2. Derivacija 255

z′x∆x∆s

+ z′y∆y∆s

= (z′x, z′y) ⋅(∆x∆s

,∆y∆s

)

Prvi vektor, kojem su komponente parcijalne derivacije funkcije, nazivamogradijentom funkcije u danoj tocki i oznacavamo gradz iliÐ→∇ z. Drugi vektorje jedinicni vektor smjeraÐ→s 0 u kojem se pomicemo. Tako, kad u prethodnojpribližnoj jednakosti napravimo limes kad ∆s → 0 dobijemo formulu zaracunanje usmjerene derivacije

DÐ→s 0z =Ð→∇ z ⋅Ð→s 0

Usmjerena derivacija i gradijent

Usmjerena derivacija funkcije z = f (x, y) u tocki (x, y) u smjerujedinicnog vektora Ð→s 0 je broj

DÐ→s 0f (x, y) = lim

∆s→0

f ((x, y)+∆sÐ→s 0)− f (x, y)∆s

Gradijent funkcije z = f (x, y) u tocki (x, y) je vektor kojem sukomponente parcijalne derivacije funkcije u toj tocki

grad f (x, y) =Ð→∇ f (x, y) = (∂ f (x, y)∂x

,∂ f (x, y)

∂y)

Pri tome vrijedi

DÐ→s 0f (x, y) = grad f (x, y) ⋅Ð→s 0

Za funkcije više ulaza definicija usmjerene derivacije i gradijenta jeanalogna (samo imamo više od dva skalarna ulaza) i prethodna relacijatakoder vrijedi

Primijetimo da je usmjerena derivacija poopcenje pojma parcijalnih deri-vacija. Parcijalna derivacija po x nije ništa drugo do derivacija u smjeruvektora

Ð→i , itd.


zzz racunski primjer

Veza izmedu usmjerene derivacije i gradijenta funkcije ima jednostavangeometrijski smisao koji nam ujedno otkriva i smisao gradijenta. Sjetimose da je projekcija vektora Ð→a na vektor

Ð→b jednaka Ð→a ⋅Ð→b0. Tako nam izraz

za usmjerenu derivaciju

DÐ→s 0f (x, y) = grad f (x, y) ⋅Ð→s 0

kaže da derivacija u nekom smjeru je projekcija gradijenta na tajsmjer:

Pošto je projekcija vektora najveca u smjeru samog vektora to znaci dagradijent funkcije pokazuje smjer njenog najbržeg porasta i jednakje tom najbržem porastu. Pošto je projekcija na okomit smjer jednakanuli to znaci da je gradijent funkcije okomit na nivo krivulju funkcije

Ilustrirajmo receno na jednom primjeru

zzz primjer za gradijent

4.2. Derivacija 257

Smisao gradijenta

Gradijent funkcije z = f (x, y) u tocki (x, y) je vektor Ð→∇ f (x, y) koji, akonije nul vektor, pokazuje smjer u kojem je usmjerena derivacija funkcijenajveca i kojem je iznos upravo jednak toj usmjerenoj derivaciji. VektorÐ→∇ f (x, y) je okomit na nivo krivulju funkcije f u tocki (x, y).

U našoj analizi usmjerene derivacije gradijent se prirodno pojavio uformuli za racunanje usmjerene derivacije. Iz te formule smo i otkriliznacenje gradijenta. Medutim mogli smo ga i direktno definirati, kaovektor koji pokazuje smjer najvece usmjerene derivacije (ili je nul vektorako takvog smjera nema) i kojem je iznos jednak toj najvecoj usmjerenojderivaciji. Iz te definicije smo mogli izvuci formulu za racunanje bilo kojeusmjerene derivacije. Pošto gradijent pokazuje najkraci put od jedne nivokrivulje do bliske druge krivulje to je okomit na nju. Neka se vrijednostifunkcije na susjednim krivuljama razlikuju za ∆z:

Tad je

DÐ→s 0z ≃ ∆z

∆s, ∣Ð→∇ z∣ ≃ ∆z

∆n

Iz slike vidimo da je ∆n = ∆scosϕ. Iz te tri relacije možemo dobiti(pokušajte) da je u limesu kad ∆z→ 0

DÐ→s 0z = ∣Ð→∇ z∣cosϕ

Pošto je cosϕ = (Ð→∇ z)0 ⋅Ð→s 0, na kraju dobivamo


DÐ→s 0z =Ð→∇ z ⋅Ð→s 0

Primjetimo još da u svakoj tocki domene funkcije imamo njen gradijent,vektor koji u toj tocki pokazuje smjer najbržeg porasta funkcije. Takoje gradijent skalarnog polja z = f (x, y) koje svakoj tocki (x, y) pridružujeskalar z u stvari vektorsko polje koje svakoj tocki (x, y) pridružuje vektorÐ→∇ f (x, y). To vektorsko polje ima cesto istaknuto znacenje. Navest cemo parprimjera.

Ako se želimo popeti na vrh brda što kracim putem trebamo stalno ici usmjeru gradijenta visine

Koliki je gradijent na vrhu brda? Pošto je to vrh, nema smjera porastavrijednosti funkcije. Zato je gradijent jednak nuli. Isto vrijedi za svakistriktni lokalni maksimum i minimum funkcije. Na takvim mjestima nivokrivulja se degenerira na jednu tocku, jer susjedne tocke imaju manjuodnosno vecu vrijednost

Na takvim mjestima su sve tangente horizontalne, odnosno tangencijalnaravnina je horizontalna. Matematicki to znaci da su sve usmjerene

4.2. Derivacija 259

derivacije jednake nuli, odnosno gradijent je jednak nuli. Pošto su problemioptimuma veoma znacajni ne samo prakticni nego i teorijski problemi(npr. gotovo svi osnovni fizikalni zakoni se mogu formulirati kao zakonio optimalnom ponašanju prirode), ovo opažanje o gradijentu je veomaznacajno jer nam suzuje izbor u traženju maksimuma i minimuma funkcijaviše ulaza. Mi se tim problemima u ovoj knjizi necemo baviti, vec cemo samoistaknuti opaženo:

nužan uvjet lokalnog ekstrema

Ako funkcija z = f (x, y) u tocki (x, y) ima lokalni ekstrem i definirana jeu nekoj okolini te tocke, tad je

Ð→∇ f (x, y) = 0

To znaci da tocke lokalnih ekstrema moramo tražiti medu rješenjimasustava jednadžbi

∂ f (x, y)∂x

= 0

∂ f (x, y)∂y

= 0

Analogan kriterij vrijedi i za funkciju s više ulaza.

Na meteorološkim prognozama stalno gledamo polja tlaka p = p(x, y),predstavljeno izobarama, nivo krivuljama tog polja. Središte anticiklone jelokalni maksimum a ciklone lokalni minimum ovog polja. Zracna masa seuvijek giba s mjesta višeg tlaka prema mjestu nižeg tlaka, dakle u smjeruod −Ð→∇ p. To je ujedno i smjer djelovanja sila na zracne mase. Isto vrijedi i udrugim fluidima.

Poslije cemo vidjeti da i elektricno polje djeluje u smjeru od vecegelektricnog potencijala ϕ polja prema nižem, dakle u smjeru od −Ð→∇ϕ.


Pošto gradijent funkcije objedinjuje u sebi sve brzine promjena to jeprirodno njega smatrati totalnom derivacijom funkcije z = f (x, y). Doistog zakljucka možemo doci i na sljedeci nacin. Dok funkcija prebacujejedan objekt u drugi osnovno svojstvo derivacije je da malu promjenu ulazaprebacuje u malu promjenu izlaza (tocnije u linearnu aproksimaciju tepromjene). To je vrijedilo za preslikavanja skalara u skalare:

y = f (x) → ∆y ≃ f ′(x)∆x

To je vrijedilo i za preslikavanja skalara u vektore

Ð→r =Ð→r (t) → ∆Ð→r ≃Ð→r ′(t)∆t

To vrijedi i sada, s gradijentom u ulozi derivacije:

z = f (x, y) → ∆z ≃Ð→∇ f (x, y) ⋅(∆x,∆y)

To lako slijedi iz izraza za diferencijal:

∆z ≃ z′x∆x+ z′y∆y = (z′x, z′y) ⋅(∆x,∆y) =Ð→∇ z ⋅(∆x,∆y)

Napišemo li pravilo za lancano deriviranje pomocu gradijenta

dzdt

= ∂z∂x

dxdt

+ ∂z∂y

d ydt

= (∂z∂x

,∂z∂y

) ⋅(dxdt

,d ydt

) =Ð→∇ z ⋅(dxdt

,d ydt

)

možemo reci da dok funkcija prebacuje jedan objekt u drugi objekt, gradijentprebacuje brzinu promjene jednog objekta u brzinu promjene drugog objekta.To je ekvivalentna karakterizacija pojma derivacije.

Naravno, lako je iz definicije gradijenta vidjeti da on ima standardnasvojstva derivacije

Pravila za gradijent

Ð→∇(z+w) =Ð→∇ z+Ð→∇w

4.3. Integral 261

Ð→∇(const ⋅ z) = const ⋅Ð→∇ z

Ð→∇(z ⋅w) =Ð→∇ z ⋅w+ z ⋅Ð→∇w

4.3 Integral

U ovoj cemo cjelini ideju integrala kao sumu malih dijelova odredenogoblika primijeniti na preslikavanja vektora u skalare. Ideja primjeneintegrala takoder ce ostati ista. Znat cemo riješiti ”ravni” problem. Kadje problem ”neravan” rastavit cemo ga na male dijelove koje možemo aprok-simirati ravnim problemom i tako im naci približna rješenja. Sumiranjemtih rješenja dobit cemo rješenje ukupnog "neravnog" problema. Dobiveneintegrale rješavat cemo svodenjem na tzv uzastopne integrale koji su namprva tema.

4.3.1 Uzastopni integral

Uzastopni integral je ”tehnicki” pojam koji ce nam omoguciti racunanjesadržajnih pojmova, površinskog i volumnog integrala.

Riješimo jedan obicni integral funkcije po intervalu. Npr.

∫2

12xdx = 2 ⋅ 1

2x2∣

2

1= x2∣

2

1= 22−12 = 3

Svugdje gdje se javlja ime broja možemo staviti i varijablu, što stalnovidamo u matematici, jer se tako postiže opcenitost. Dakle, možemo riješitii integral:

∫2

1yxdx = y ⋅ 1

2x2∣

2

1= y

2x2∣

2

1= y

222− y

212 = 3y

2


Medutim, varijabla može biti i u granicama integriranja. Npr.

∫y2

yyxdx = y ⋅ 1

2x2∣

y2

y= y

2x2∣

y2

y= y

2(y2)2− y

2y2 = 1

2y5− 1

2y3

Pošto je funkcija koju smo integrirali ovisila i o y, kao i same graniceintegriranja, to je jasno da ce i rezultat integriranja ovisiti o y. To je jednafunkcija po y koju možemo nastaviti integrirati po y. Npr.

∫1

0(∫

y2

yyxdx)d y =∫

1

0(1

2y5− 1

2y3)d y = 1

12y6− 1

8y4∣

1

0= 1

12− 1

8=− 1

24

Takav niz obicnih integrala nad nekom funkcijom nazivamo uzastopniintegral (nije potrebno dati precizniju definiciju).

zzz Primjer

zzz Primjer s tri uzastopna integrala

4.3.2 Površinski integral

Po ideji integrala, integriranje funkcije po nekom dijelu ravnine zahtijevatce da taj dio rastavimo na male dijelove i da množimo površinu svakog dijelavrijednošcu funkcije u nekoj tocki iz tog dijela. Da bismo realizirali tu idejumoramo znati što je površina nekog dijela ravnine. Za jednostavnije dijeloveznamo što im je površina. Npr. za poligon, dio ravnine omeden s konacnomnogo ravnih stranica:

4.3. Integral 263

Takav lik možemo rastaviti na konacno trokuta kojima znamo izracunatipovršinu, pa ce nam zbroj tih površina dati i površinu poligona:

Površinu složenijeg lika cemo odrediti pomocu površina poligona sadr-žanih u tom liku i poligona koji sadrže taj lik:

Njegova površina mora biti jedinstveni broj koji je veci ili jednak od svihpovršina poligona sadržanih u tom liku a manji ili jednak od svih površinapoligona koji sadrže taj lik. Takav broj, koji razdvaja te površine, ne morapostojati i ne mora biti jedinstven, što se zna desiti za relativno neobicnedijelove ravnine. Ako postoji takav jedinstveni broj, što je za ”obicne”dijelove ravnine ispunjeno, tad za takav dio ravnine kažemo da je izmjeriv(preciznije, Jordan izmjeriv) a taj broj nazivamo površina tog lika. Naisti nacin se definiraju i izmjerivi dijelovi prostora, samo umjesto poligonakoristimo poliedre, dijelove prostora omedene s konacno ravnih ploha.

Razmotrimo problem nalaženja ukupne mase ravninskog lika kojem jezadana gustoca mase. Ako je u pitanju ravni lik sa stalnom gustocomodgovor nam je poznat još iz osnovne škole. Npr za kvadrat na slici gustocemase 3g/cm2


ukupna masa = gustoca x površina = 3g/cm2×4cm2 = 12g.

Ali što ako lik nema stalnu gustocu, vec ona varira od mjesta do mjesta:Npr gustoca na mjestu (x, y) može biti f (x, y) = x2 y u nekim standardnimjedinicama. Tako je u donjem lijevom kutu kvadrata, u tocki (0,0) gustocajednaka nuli a u gornjem desnom kutu kvadrata, u tocki (2,2), gustocajednaka 8. Prethodnu formulu, ukupna masa = gustoca x površina, sad nijeprimjenjiva, jer ona vrijedi samo za stalnu gustocu. Isto tako i lik ne moraimati pravokutan oblik, vec može biti neravnog oblika. Npr. to može biti dioravnine prikazan na slici, koji je omeden pravcima i parabolom:

Da bismo našli masu zakrivljenog dijela ravnine koji ima nejednolikugustocu mase f (p), upotrijebit cemo osnovnu ideju integrala. Rastavit cemotu površinu na male izmjerive dijelove. U i tom dijelu površine ∆Si izabratcemo jednu tocku Pi, i njenu gustocu f (Pi) uzeti kao stalnu gustocu togdijela:

4.3. Integral 265

Primijenit cemo formulu za stalnu gustocu i približno izracunati masu i togdijela

∆mi ≃ f (Pi)∆Si

Ako smo uzeli dovoljno mali djelic površine, gustoca na njemu ne može punovarirati, pa ce i greška aproksimacije biti mala. Tako ce ukupna masapribližno biti jednaka

m =n∑i=1∆mi ≃

n∑i=1

f (Pi)∆Si

Aproksimacija ce biti to bolja što smo uzimali sitnije dijelove, pa ce masabiti limes tih suma kad svi ∆Si → 0. Broj koji dobijemo takvim postupkomnazivamo integral funkcije po danoj površini.

Integral po dijelu ravnine

Neka je funkcija f (P) definirana u svakoj tocki izmerivog dijela ravnine(S). Rastavimo (S) na n malih izmjerivih dijelova. U i tom dijelupovršine ∆Si izabrat cemo jednu tocku Pi. Površinski integralfunkcije f (P) po dijelu ravnine S je broj

∫(S)

f (P)dS = lim∆Si→0i=1..n

n∑i=1

f (Pi)∆Si


Još se koristi i oznaka ∬(S)

f (P)dS da se istakne da je rijec o

površinskom ili tzv dvostrukom integralu.

Za standardne funkcije i dijelove ravnine taj broj postoji, pa cemo se bavitisamo pitanjem kako ga izracunati.

Pravila za integral su standardna i intuitivno prihvatljiva na osnoviideje integrala kao sume malih dijelova odredenog tipa

Svojstva površinskog integrala

∫(S)

( f (P)+ g(P))dS =∫(S)

f (P)dS+∫(S)

g(P)dS (aditivnost)

∫(S)

const ⋅ f (P)dS = const ⋅∫(S)

f (P)dS (homogenost)

Rastavimo li dio ravnine (S) na dijelove (S1) i (S2) (simbolicki pišemo(S) = (S1)+(S2)), tad je

∫(S1)+(S2)

f (P)dS = ∫(S1)

f (P)dS+ ∫(S2)

f (P)dS (aditivnost po površini)

Ponekad se na osnovi definicije može jednostavno izracunati površinskiintegral. Za ilustraciju, izracunajmo na taj nacin masu prstena na slici

kojem je na udaljenosti r od centra gustoca f (P) = 1r

:

4.3. Integral 267

Zbog simetrije problema ugodno je prsten rastaviti na kružne trake odkojih je jedna istaknuta na slici:

Površina i tog dijela je približno 2r iπ∆r i pa je masa tog dijela približno1r i⋅2r iπ∆r i = 2π∆r i. Tako je integral limes sume clanova ovakvog oblika, tj

∫(S)

f (P)dS =R2

∫R1

2πdr = 2π(R2−R1)

Medutim, rijetki su slucajevi u kojima možemo na ovakav nacin riješitipovršinski integral. Sad cemo razviti formulu za racunanje površinskogintegrala u kartezijevim koordinatama. U osnovi te formule je cinjenicada nam koordinatni sustav daje odredeni redoslijed sumiranja dijelova uracunanju integrala.

Uvedemo kartezijev koordinatni sustav u ravninu i promotrimo dioravnine izmedu grafova dviju funkcija:


Svaki kartezijev koordinatni sustav radi prirodno dijeljenje površine namale dijelove pomocu pravaca paralelnih koordinatnim pravcima

Primjetimo da ujedno imamo i rastavljanje koordinatnih osi na sitnedijelove. Neka smo u i tom dijelu x osi odabrali neki broj xi a u j tom dijeluy osi neki broj yj. Ovim dijeljenjem lik je rastavljen na dijelove površine∆Si, j =∆xi ⋅∆yj (na rubovima lika ova relacija vrijedi približno) u kojima senalaze tocke Pi, j s koordinatama (xi, yj). Tako je

f (Pi, j)∆Si, j = f (xi, yj)∆xi∆yj

pa je

∑(i, j)

f (Pi, j)∆Si, j = ∑(i, j)

f (xi, yj)∆xi∆yj

Zadnju sumu možemo izracunati odredenim redoslijedom, tako da prvo zafiksni i sumiramo po j, pa tako dobivene vrijednosti nastavimo sumirati poi:

∑(i, j)

f (xi, yj)∆xi∆yj =∑i(∑

jf (xi, yj)∆yj)∆xi

4.3. Integral 269

Geometrijski to znaci da smo djelice sumirali prvo vertikalno, pa takodobijene brojeve horizontalno:

Pri tome granice vertikalnog sumiranja ovise o izboru djelica na x osi.Prijedemo li na limes

∑(i, j)

f (Pi, j)∆Si, j =∑i(∑

jf (xi, yj)∆yj)∆xi / lim

(∆xi ,∆yj)→(0,0)

dobit cemo

∫(S)

f (P)dS =b

∫a

(G(x)

∫D(x)

f (x, y)d y)dx

To je formula koja nam racunanje površinskog integrala svodi na racunanjedva uzastopna obicna integrala. Prvo za fiksni x integriramo po y ugranicama koje ovise o x a onda integriramo po svim mogucim x. Moguce jeizabrati i drugi redoslijed, što ce poslije biti pokazano.

Racunanje površinskog integrala u kartezijevim koordinatama

Neka je (S) površina omedena u kartezijevim koordinatama odozdokrivuljom y =D(x) a odozgo krivuljom y =G(x), i neka je interval [a,b]njena projekcija na x os:


Tad je ∫(S)

f (P)dS =b

∫a

(G(x)

∫D(x)

f (x, y)d y)dx

Poslije cemo razviti formulu za racunanje u bilo kojem koordinatnomsustavu

zzz racunanje u Kartezijevim koordinatama - napraviti situaciju kad jezgodnije promijeniti redoslijed integriranja i to istaknuti u boxu

Prije nego pokažemo primjene dvostrukog integrala riješimo još jednuteorijsku stvar. Motivacijski primjer za uvodenje površinskog integrala namje bio problem nalaženja mase tijela nejednolike gustoce. Ali što je uopcegustoca? Da bismo našli površinsku gustocu ρ homogenog ravninskog tijela(tijela zanemarive debljine) trebamo podijeliti njegovu masu s njegovompovršinom:

gustoca = masa / površina

Ako tijelo nije homogeno, tad cemo gledati jedan mali dijelic tijela ∆(S) okodane tocke P

4.3. Integral 271

Na tako malom dijelu možemo smatrati da je tijelo gotovo homogeno pamožemo primijeniti prethodnu formulu

ρ(P) = ∆m(∆(S))∆(S) ,

Tako gustocu definiramo kao limes tog omjera

ρ(P) = lim∆S→0

∆m(∆(S))∆S

Ova definicija detaljnije opravdava postupak kad smo kod nehomogenogtijela djelice mase aproksimirali po formuli ∆m ≃ ρ(P)∆S

Masa je primjer velicine koja ovisi ne o tocki nego o dijelu ravnine. Makoji dio ravnine (S) uzeli možemo gledati masu tog dijela ravnine m(S).Za takve funkcije f (S) koje dijelovima ravnine pridružuju brojeve cesto,cesto je znacajno gledati omjer f (∆(S)) i površine tog dijela, kao što smoi kod mase radili. Kad radimo sve manje omjere oko neke tocke dobivamoderivaciju te funkcije. Isto možemo raditi i u prostoru

derivacija funkcije dijela ravnine ili prostora

Neka je f (S) funkcija dijela ravnine i neka je ∆(S) mali izmjerivi dioravnine oko tocke P. Tad je derivacija funkcije f (S) u tocki P broj

d fdS

= dlim∆S→0f ((∆S))∆S


Neka je f(V) funkcija dijela prostora i neka je ∆(V) mali izmjerivi dioprostora oko tocke P. Tad je derivacija funkcije f (V) u tocki P broj

d fdV

= lim∆V→0

f ((∆V))∆V

Pomocu pojma površinskog integrala možemo jednostavno izraziti i ra-cunati površinu dijela ravnine. Da bismo dobili ukupnu površinu naprostosumiramo dijelove površine, odnosno po dijelu ravnine integriramo jedinicu:

Površina dijela ravnine

Površina S dijela ravnine (S) je

S =∫(S)

dS

zzz primjer

Na primjeru centra mase ravninskog tijela još cemo jednom ilustriratiprimjenu površinskog integrala. Ako imamo n cestica tad je po definicijiradijus vektor centra mase

Ð→rc =∑n

i=1 miÐ→r i

∑ni=1 mi

gdje je mi masa cestice na poziciji Ð→r i

4.3. Integral 273

Gledano po komponentama odgovarajuce formule su

xc =∑n

i=1 mixi

∑ni=1 mi

yc =∑n

i=1 mi yi

∑ni=1 mi

Ako tijelo zauzima dio ravnine (S) tad cemo ga rastaviti na male dijelovena koje možemo primijeniti gornju formulu samo što ce masa i tog dijelasada biti ∆mi, a (xi, yi) koordinate neke tocke u tom dijelu:

Koristili smo formulu koja je ispravna kad bi cijeli taj dio bio u sažet u tutocku. Medutim što su manji dijelovi greška ove aproksimacije je sve manja.Ako još djelice mase izrazimo vec poznatom aproksimacijom pomocu gustoce∆mi = ρ(xi, yi)∆Si, u limesu cemo dobiti

xc =∫(S)

xρ(x, y)dS

∫(S)

ρ(x, y)dS


yc =∫(S)

yρ(x, y)dS

∫(S)

ρ(x, y)dS

Nadimo centar mase polukruga radijusa R napravljenog od homogenogmaterijala. Homogenost znaci da je gustoca konstantna, pa je možemoizvuci ispred integrala i u brojniku i u nazivniku i pokratiti:

xc =∫(S)

xdS

∫(S)

dS

yc =∫(S)

ydS

∫(S)

dS

Vidimo da je tad centar mase posve geometrijska karakteristika tog dijelaravnine i nazivamo ga geometrijski centar mase dijela ravnine. Uracunanju uvijek nastojimo uvesti koordinatni sustav koji je u odredenomsmislu dobro prilagoden problemu. Ovdje cemo izabrati sljedeci sustav:

Izracunajmo prvo x koordinatu težišta. Da bismo izracunali ∫(S)

xdS

iskoristimo da je lik simetrican u odnosu na y y os i pogledajmo dvasimetricna djelica:

4.3. Integral 275

Istih su površina ali suprotne x koordinate, pa im se dijelovi u integralnomzbrajanju poništavaju, odnosno integral je jednak nuli. Tako je xc = 0.Ovim je ilustrirana opca situacija koju se dokazuje na ovaj isti nacin:geometrijski centar tijela se nalazi na njegovoj osi simetrije.

Izracunajmo i yc koordinatu centra mase. Integral u nazivniku jepovršina lika. Mada bismo tehnikom dvostrukog integrala mogli izracunatitu površinu zasad cemo je uzeti poznatom. To je površina polovice kruga,

dakle12

R2π. Izracunajmo integral u brojniku

∫(S)

ydS =R

∫−R

(

√

R2−x2 yd y)dx

∫0

=R

∫−R

12

y2∣√

R2−x2

0dx =

R

∫−R

12(R2− x2)dx = 1

2(R2x−

13

x3) = 23

R3

Tako je yc =4

3πR

zzz ah trebalo bi i momente inercije to cu poslije

4.3.3 Volumni integral

Pojam volumnog integrala, kao i nacin njegove primjene, posve su analognipovršinskom integralu. Zato cemo ovdje istaknuti samo osnovne rezultate


Integral po dijelu prostora

Neka je funkcija f (P) definirana u svakoj tocki izmjerivog dijelaprostora (V). Rastavimo (V) na n malih izmjerivih dijelova. U i tomdijelu površine ∆Vi izabrat cemo jednu tocku Pi. Volumni integralfunkcije f (P) po dijelu prostora (V) je broj

∫(V)

f (P)dV = lim∆Vi→0i=1..n

n∑i=1

f (Pi)∆Vi

Još se koristi i oznaka∭(V)

f (P)dV da se istakne da je rijec o volumnom

ili tzv trostrukom integralu.

Za standardne funkcije i dijelove ravnine taj broj postoji, pa cemo se bavitisamo pitanjem kako ga izracunati.

Svojstva volumnog integrala

∫(V)

( f (P)+ g(P))dV = ∫(V)

f (P)dV +∫(V)

g(P)dV (aditivnost)

∫(V)

const ⋅ f (P)dV = const ⋅∫(V)

f (P)dV (homogenost)

Rastavimo li dio prostora (V) na dijelove (V1) i (V2) (simbolicki pišemo(V) = (V1)+(V2)), tad je

∫(V1)+(V2)

f (P)dV = ∫(V1)

f (P)dV + ∫(V2)

f (P)dV (aditivnost po volumenu)

Uvodenjem kartezijevog koordinatnog sustava u prostoru racunanje

4.3. Integral 277

volumnog integrala, na isti nacin kao i kod površinskog integrala, svodimona racunanje uzastopnih integrala. Samo što sada imamo tri uzastopnaintegrala. Prvo za fiksni x i y integriramo po svim pripadnim z u granicamakoje ovise o x i y, zatim za fiksni x integriramo po svim pripadnim y ugranicama koje ovise o x, da bi na kraju integrirali po svim mogucim x.Moguci su i drugi redoslijedi integriranja.

Racunanje volumnog integrala u kartezijevim koordinatama

Neka je (V) volumen dijela prostora omedenog u kartezijevimkoordinatama odozdo plohom z = D(x, y) a odozgo plohom z = G(x, y),neka je njegova projekcija na (x, y) ravninu omedena odozdo krivuljomy = D(x) a odozgo krivuljom y = G(x), i nek je projekcija tok dijelaravnine na x os interval [a,b]

Tad je ∫(V)

f (P)dV =b

∫a

(G(x)

∫D(x)

(G(x,y)

∫D(x,y)

f (x, y, z)dz)d y)dx

Poslije cemo razviti formulu za racunanje u bilo kojem koordinatnomsustavu

zzz racunanje u Kartezijevim koordinatama - napraviti situaciju kad jezgodnije promijeniti redoslijed integriranja i to istaknuti u boxu

Pomocu pojma volumnog integrala možemo jednostavno izraziti i racu-nati volumen dijela prostora. Da bismo dobili ukupan volumen naprosto


sumiramo dijelove volumena, odnosno po dijelu prostora integriramo jedi-nicu:

Volumen dijela prostora

Volumen V dijela prostora (V) je

S = ∫(V)

dV

zzz primjer

Formule za racunanje centra mase i momenta inercije posve su analogneformulama za ravninske likove

xc =∫(V)

xρ(x, y, z)dV

∫(V)

ρ(x, y, z)dV

yc =∫(V)

yρ(x, y, z)dV

∫(V)

ρ(x, y, z)dV

zc =∫(V)

zρ(x, y, z)dV

∫(V)

ρ(x, y, z)dV

zzz formula za moment inercije

zzz što je srednja temperatura u hrvatskoj u jednom danu vidi stewart

Završimo s jednom neobicnom primjenom, Papusovim teoremom. U4 stoljecu, približno 1400 godina prije pojave diferencijalnog i integralnog

4.3. Integral 279

racuna, grcki matematicar Pappus je dokazao da je volumen tijela kojinastaje rotacijom neke površine oko osi van te površine jednakumnošku te površine S i puta 2ycπ što ga pri rotaciji prijedegeometrijski centar mase površine. To jednostavno slijedi iz formuleza yc dijela ravnine koji rotira

yc =∫(S)

ydS

S

i analize volumena nastalog rotacionog tijela. Naime, rotacijom djelicapovršine ∆S

dobijemo djelic volumena ∆V ≃ 2yπ∆S. Tako je ukupan volumen

V =∫(S)

2yπdS

Iz ove dvije jednakosti lako dobijemo da je

V = 2ycπS.

Ne samo da je rezultat neobican nego je neobicno i da je Papus to otkriodavno prije diferencijalnog i integralnog racuna. Tako npr. jednostavnomožemo dobiti volumen torusa, tijela nastalog rotacijom kruga oko neke osivan kruga. Neka krug ima radijus r a centar kruga nek je udaljen od osirotacije R


Pošto je centar kruga centar simetrije on je i geometrijski centar mase. Takoje po Papusovom teoremu volumen torusa

V = 2Rπ ⋅ r2π = 2r2Rπ2

5Preslikavanja vektora u vektore

U ovom poglavlju cemo promatrati najopcenitiji slucaj, kad funkcija imaviše ulaza i više izlaza. Radi odredenosti, i bez narocitog gubitka opceni-tosti, pretpostavit ceno da funkcija ima dva ulaza i dva izlaza. Ulaze i izlazemožemo razumjeti kao koordinate tocaka u ravnini pa cemo takve funkcijemoci jednostavno vizuelno interpretirati.

5.1 Transformacije ravnine i prostora

Vec smo upoznali linearne transformacije ravnine kod kojih su koordinate(x′, y′) preslikane tocke f (P) linearne kombinacije koordinata (x, y) tockeP. Npr.

f (x, y) = (x′, y′) = (2x−3y, x+2y)

281

282 5. Preslikavanja vektora u vektore

Tu vezu smo predstavljali matricno

[x′

y′] = [2 −31 2 ][x

y]

Podsjetimo se, linearne transformacije pravce prebacuju u pravce i cuvajuishodište. Iznos njihove determinante je faktor povecanja (smanjenja)površine prilikom preslikavanja, a predznak nam kaže cuva li preslikavanjeorijentaciju ili ne. Ako je determimanta nula, tad preslikavanje nijeinvertibilno, i obratno.

Sad cemo razmatrati bilo koju transformaciju ravnine, npr.

f (x, y) = (x′, y′) = (x2 y3,2xy− y2)

Ova funkcija npr tocku (2,1) preslikava u tocku f (2,1) = (4,3)

Vec smo vidjeli da je osnovni smisao derivacije da male promjene ulazafunkcije prebacuje u linearnu aproksimaciju odgovarajuce promjene izlazafunkcije. Povezat cemo te promjene pri transformaciji ravnine i to ce namreci što je njena derivacija. Neka je f (x, y) = (x′(x, y), y′(x, y)). Svakakomponenta izlaza je skalarna funkcija para brojeva pa možemo primijenitiznanje koje imamo o takvim funkcijama:

∆x′ ≃ ∂x′

∂x∆x+ ∂x′

∂y∆y

∆y′ ≃ ∂y′

∂x∆x+ ∂y′

∂y∆y

Vidimo da su promjene izlaza približno linearne kombinacije promjenaulaza. Naravno to možemo i matricno zapisati

[∆x′

∆y′] ≃⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

∂x′

∂x∂x′

∂y∂y′

∂x∂y′

∂y

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦[∆x∆y]

5.1. Transformacije ravnine i prostora 283

Matricu sastavljenu od ovih parcijalnih derivacija nazivamo derivacijomfunkcije f (x, y) = (x′(x, y), y′(x, y) u tocki (x, y). Medutim, da smo uzeli nekidrugi koordinatni sustav dobili bismo drugu matricu. Zato je ispravnije reci(mada se mi toga necemo poslije držati) da je derivacija funkcije linearnopreslikavanje presdtavljeno navedenom matricom.

Derivacija preslikavanja vektora u vektor

Neka je f preslikavanje ravnine koje tocku P s koordinatama (x, y)preslikava u tocku P′ = f (P) s koordinatama (x′, y′) = (x′(x, y), y′(x, y)).Tad je derivacija funkcije u toj tocki matrica

f ′(P) =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

∂x′

∂x∂x′

∂y∂y′

∂x∂y′

∂y

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

odnosno linearno preslikavanje predstavljeno tom matricom. Samumatricu još zovemo i Jacobijeva matrica preslikavanja. Retci ovematrice su gradijenti komponentnih funkcija Ð→∇ x′(x, y) i Ð→∇ y′(x, y), dok

su stupci parcijalne derivacije∂ f∂x

i∂ f∂y

.

Dok funkcija f preslikava tocku P u tocku P′ dotle njena derivacija utoj tocki preslikava male pomake iz tocke P u linearnu aproksimacijuodgovarajucih pomaka iz tocke P′:

Sama pak determinanta derivacije naziva se Jacobijan derivacije.Njen iznos daje faktor rastezanja pri preslikavanju malih površina okotocke P, a predznak odreduje što se zbiva s orijentacijom:


U matricnom zapisu imamo

[∆x′

∆y′] ≃⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

∂x′

∂x∂x′

∂y∂y′

∂x∂y′

∂y

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦[∆x∆y]

zzz Primjer sa f (x, y) = (x′, y′) = (x2 y3,2xy− y2) za preslikavanja pro-mjena i površina

Podijelimo li mali pomak u nekom smjeru s duljinom tog pomaka,formula za vezu pomaka

∆Ð→r′ ≃ f ′(P)∆Ð→r

nam daje u linearnoj aproksimaciji koliko se brzo pri tome promijenivrijednost funkcije po duljini pomaka ulaza u danom smjeru:

∆Ð→r′

∆r≃ f ′(P)∆

Ð→r∆r

Usmjerena derivacija

Neka je f preslikavanje ravnine koje tocku P s koordinatama (x, y)preslikava u tocku P′ = f (P) s koordinatama (x′, y′) = (x′(x, y), y′(x, y)).Tad je usmjerena derivacija funkcije f u tocki P u smjeru Ð→r 0 vektor


DÐ→r 0f (P) = lim

∆r→0

f (P +∆Ð→r )− f (P)∆r

Usmjerenu derivaciju racunamo pomocu totalne derivacije funkcije

DÐ→r 0f (P) = f ′(P)Ð→r 0

Parcijalne derivacije funkcije nisu ništa drugo do usmjerene derivacijefunkcije u smjeru jedinicnih vektora

Ð→i iÐ→j .

zzz Primjer i lustrirati zašto tvrdnja o parcijalnoim derivacijama vrijediopcenito

Zamislimo da imamo gibanje u ravnini Ð→r (t) = (x(t), y(t)). Trasfor-macija ravnine f preslikava ovo gibanje u gibanje Ð→r ′(t) = f (Ð→r (t)). Akoformulu za pomake

∆Ð→r′ ≃ f ′(P)∆Ð→r

podijelimo s djelicem proteklog vremena

∆Ð→r′

∆t≃ f ′(P)∆

Ð→r∆t

U limesu cemo dobiti vezu medu brzinama

transformiranje brzina

Dok transformacija ravnine f preslikava gibanje Ð→r (t) = (x(t), y(t)) ugibanje

Ð→r′ (t) = f (Ð→r (t)) dotle njena derivacija preslikava preslikava

brzinu gibanja:


dÐ→r′

dt= f ′(P(t))dÐ→r

dt

Izraz za transformaciju brzina je u stvari izraz za derivaciju složenefunkcije

ddt

f (Ð→r (t)) = f ′(Ð→r (t)) ddtÐ→r (t)

Gledano matricno to znaci da je matrica derivacije kompozicije jednakaumnošku matrica derivacija svake funkcije. Gledano po komponentama toje isto ono pravilo za lancano deriviranje koje smo izveli u zzz:

dx′

dt= ∂x′

∂xdxdt

+ ∂x′

∂yd ydt

d y′

dt= ∂y′

∂xdxdt

+ ∂y′

∂yd ydt

Isto pravilo vrijedi i za kompoziciju transformacija. Neka imamo tran-sformaciju ravnine f koja preslikava gibanje Ð→r (t) u gibanje

Ð→r′ (t) i tran-

sformaciju ravnine g koja preslikava gibanjeÐ→r′ (t) u gibanje

Ð→r′′(t). Tada

kompozicija ovih preslikavanja g○ f preslikava gibanjeÐ→r (t) u gibanjeÐ→r′′(t).

Po pravilu za transformaciju brzina za njihove brzine Ð→v ,Ð→v′ i

Ð→v′ vrijedi

Ð→v′ = f ′(P)Ð→v

Ð→v′′ = g′( f (P))Ð→v′

Ð→v′′ = (g ○ f )′(P)Ð→v

Iz ovih relacija lako dobijemo da je


derivacija kompozicije transformacija

Derivacija kompozicije transformacija je umnožak derivacija svaketransformacije

(g ○ f )′(P) = g′( f (P)) ⋅ f ′(P)

Ako gledamo po komponentama to je pravilo za deriviranje funkcija x′′(x′(x, y), y′(x, y))i y′′(x′(x, y), y′(x, y)):

∂x′′

∂x= ∂x′′

∂x′∂x′

∂x+ ∂x′′

∂y′∂y′

∂x

∂x′′

∂y= ∂x′′

∂x′∂x′

∂y+ ∂x′′

∂y′∂y′

∂y

∂y′′

∂x= ∂y′′

∂x′∂x′

∂x+ ∂y′′

∂y′∂y′

∂x

∂y′′

∂y= ∂y′′

∂x′∂x′

∂y+ ∂y′′

∂y′∂y′

∂y

Ubrzo cemo izreci opce pravilo i pokazati kako se ovakvi izrazi mogu lakozapamtiti.

Transformacije ravnine su nam poslužile da na zornom primjeru ra-zvijemo matematiku derivacija. Posve ista matematika je i za transfor-macije prostora, samo su tu derivacije matrice s tri retka i tri stupca.Štoviše, ovdje razvijena matematika vrijedi opcenito za bilo koju funkciju(y1, y2, . . . , yn) = f (x1, x2, . . . , xn). Radi jednostavnosti cemo ovakve funkcijezapisivati vektorski Ð→y = f (Ð→x ):

derivacija funkcije više ulaza i više izlaza


Derivacija funkcije Ð→y = f (Ð→x ) u tocki Ð→x je linearno preslikavanjekojem matrica f ′(Ð→x ) ima na mjestu (i, j) odgovarajucu parcijalnu

derivaciju∂yi

∂x j

Usmjerena derivacija se definira i racuna isto kao kod transformacijaravnine:

DÐ→s 0f (Ð→x ) = lim

∆s→0

f (Ð→x +∆Ð→s )− f (Ð→x )∆s

DÐ→s 0f (P) = f ′(Ð→x )Ð→s 0

Brzine se transformiraju na isti nacin kao kod transformacija ravnine

dÐ→ydt

= f ′(Ð→x (t))dÐ→xdt

Sve ove funkcije imaju ista pravila deriviranja

pravila deriviranja

1. ( f (Ð→x )+ g(Ð→x ))′ = f (Ð→x )′+ f (Ð→x )′ (aditivnost)

2. (c ⋅ f (Ð→x ))′ = c ⋅ f (Ð→x )′ (homogenost)

3. ( f ○ g)′(Ð→x ) = f ′(g(Ð→x )) ⋅ g′(Ð→x ) (pravilo lancanog deriviranja)

Pravilo za lancano deriviranje kaže da cemo derivaciju komponentesložene funkcije dobiti množenjem i zbrajanjem clanova odgovarajucihmatrica, jednim ”lancem” parcijalnigh derivacija. U toj obliku smo ovopravilo vec upoznali (zzz). Tamo smo naveli i jednostavno vizuelno praviloza sastavljanje takvih izraza. Nije na odmet ponoviti. Neka npr w ovisi o

5.2. Transformacije koordinata i integriranje u nekartezijevimkoordinatama 289

x, y i z, dok x ovisi o u, y o u i v, a z o v. Tada i w ovisi o u i v. Da bismonašli parcijalne derivacije od w po u i v nacrtajmo tzv. stablo direktnihovisnosti velicina:

Izraz za parcijalnu derivaciju w po u cemo postaviti tako da pronademosve grane koje vode od w do u, duž svake grane pomnožimo odgovarajuceparcijalne derivacije (to mogu biti i totalne derivacije) i dobivene izrazezbrojimo:

∂w∂u

= ∂w∂x

dxdu

+ ∂w∂y

∂y∂u

Analogno cemo dobiti izraz za parcijalnu derivaciju po v

∂w∂v

= ∂w∂y

∂y∂v

+ ∂w∂z

dzdv

5.2 Transformacije koordinata i integriranjeu nekartezijevim koordinatama

Sad cemo interpretirati funkcije dva (tri) ulaza i dva (tri) izlaza ne kaotransformacije ravnine (prostora) nego kao transformacije koordinata istetocke u raznim koordinatnim sustavima. Vidjeli smo da preko kartezijevogkoordinatnog sustava integrali po dijelovima ravnine i prostora prelaze uuzastopne integrale. Isto se dešava i u nekartezijevim koordinatama. Takose ti integrali na više nacina mogu prikazati pomocu uzastopnih integrala.


Izbor prikladnog koordinatnog sustava vodi jednostavnijem uzastopnomintegralu

5.2.1 Integriranje u polarnim koordinatama

U ravnini se cesto umjesto kartezijevog koordinatnog sustava koristi po-larni koordinatni sustav, pogotovo kad problem ima neku vrstu rotacionesimetrije. U tom sustavu tocka je odredena smjerom kojim treba ici odishodišta prema toj tocki, i koji se mjeri kutom ϕ otklona od fiksnog smjera,tzv. polarne osi, i udaljenošcu ρ od ishodišta:

Veza izmedu kartezijevih i polarnih koordinata je

Kao i svaki drugi koordinatni sustav tako i polarni koordinatni sustav imasvoju koordinatnu mrežu sastavljenu od ϕ i r linija:

5.2. Transformacije koordinata i integriranje u nekartezijevimkoordinatama 291

Svaka podjela u tzv uv ravnini generira odgovarajucu podjelu u xy ravnini

Djelici površine su povezani determinantom derivacije transformacije:

RRRRRRRRRRRRRRRRR

∂x∂ϕ

∂x∂ρ

∂y∂ϕ

∂y∂ρ

RRRRRRRRRRRRRRRRR

= ∣−ρ sinϕ cosϕρ cosϕ cosϕ∣ =−ρ

Tako je djelic površine u polarnim kordinatama približno jednak

∆S ≃ ρ∆ρ∆ϕ

Isti smo rezultat mogli dobiti i iz neposrednih geometrijskih razmatranja


ali ovako smo pokazali metodu kako možemo naci djelic površine u kordi-natnoj mreži bilo kojeg koordinatnog sustava.

Površinski integral u nekartezijevim koordinatama

Neka je (S) dio ravnine opisan u nekrtezijevim uv koordinatamauvjetima D(u) ≤ v ≤G(u), a ≤ u ≤ b

Tada je

∫(S)

f (P)dS =b

∫a

(G(u)

∫D(u)

f (u,v)abs

RRRRRRRRRRRRRRR

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

RRRRRRRRRRRRRRRdv)du

gdje je abs(x) apsolutna vrijednost broja x.

Kao primjer nekartezijevog koordinatnog sustava koristit cemo polarnikoordinatni sustav

Površinski integral u polarnim koordinatama

Neka je (S) dio ravnine opisan u polarnim koordinatama uvjetimaD(ϕ) ≤ ρ ≤G(ϕ), α ≤ϕ ≤β

Tada je

5.3. Integral preslikavanja vektora u vektore 293

∫(S)

f (P)dS =β

∫α

(G(ϕ)

∫D(ϕ)

f (ϕ,ρ)ρdρ)dϕ

zzz primjer

zzz primjer za drugi tip nekartezijevog koordinatnog sustava - eliptickikoordinatni sustav zgodan za nalaženje površine elipse koju smo koristilikod treceg Keplerova zakona.

5.2.2 Integriranje u cilindrickim koordinatama

5.2.3 Integriranje u sfernim koordinatama

5.3 Integral preslikavanja vektora u vektore


6Krivuljni i plošni integrali

Sada cemo ideju integrala prenijeti na integrale po krivuljama i plohama.Za krivulje, plohe i funkcije koje se javljaju u fizici integrali koje cemo uovom poglavlju definirati postoje, tako da se necemo baviti uvjetima njihovapostojanja, nego cemo pretpostavljati da postoje i usredotociti se na problemnjihova racunanja.

6.1 Krivuljni integral skalarnog polja

Zamislimo da imamo neku žicu (C) zanemarive debljine napravljenu odnehomogenog materijala koja ima linijsku gustocu mase (masa po duljinižice) f (P) u tocki P. Da bismo našli ukupnu masu žice upotrijebit cemoosnovnu ideju integrala. Žicu cemo podijeliti (u mislima) na male dijelovekoje cemo aproksimirati ravnim dijelovima ∆r i a gustocu na svakom i tomdijelu aproksimirati stalnom gustocom f (Pi). Na svakom malom dijelu

295

296 6. Krivuljni i plošni integrali

masu tog dijela cemo aproksimirati po formuli za stalnu gustocu ravne žice∆mi ≃ f (Pi)∆r i. Tako je ukupna masa m približno jednaka

n∑i=1

f (Pi)∆r i

Što radimo sitnije dijeljenje to je aproksimacija bolja. Dakle,

m = lim∆r i→0

n∑i=1

f (Pi)∆r i

Taj broj ovisi o funkciji f i krivulji (C) i nazivamo ga integral skalarnogpolja f po krivulji (C), a oznacavamo ∫

(C)f (P)dr.

integral skalarnog polja po krivulji

Za krivulju C i skalarno polje f (P) definirano u okolini krivuljedefiniramo

∫(C)

f (P)dr = lim∆r i→0

n∑i=1

f (Pi)∆r i

gdje su tocke Pi i pomaci ∆r i objašnjeni na slici

Ako je krivulja zatvorena (oba kraja su joj jednaka, tj granica je nekekonacne plohe) tad ovaj integral još oznacavamo

6.1. Krivuljni integral skalarnog polja 297

∮(C)

f (P)dr

Pravila racunanja sa ista kao i za sve integrale

svojstva krivuljnog integrala skalarnog polja

1. ∫(C)

( f (P)+ g(P))dr =∫(C)

f (P)dr+∫(C)

g(P)dr (aditivnost)

2. ∫(C)

c f (P)dr = c∫(C)

f (P)dr (homogenost)

3. ∫(C1)+(C2)

f (P)dr = ∫(C1)

f (P)dr+∫(C2)

f (P)dr (aditivnost po krivulji)

zzz naci primjer direktnog racunanja

Sad cemo razviti formulu koja nam omogucuje sistematsko racunanjekrivuljnog integrala. Neka je Ð→r (t), a ≤ t ≤ b glatka regularna parametriza-cija krivulje, (zzz vidjeti prije). Tad pomake po dijelovima krivulje možemoprikazati pomocu pomaka parametra t:


Po smislu derivacije je ∆Ð→r i ≃ Ð→r ′(ti)∆ti. Samo skalarno polje možemoprikazati kako ovisi o parametru f (t) = f (Ð→r (t). Preko te parametrizacijesuma po krivulji prelazi u sumu po intervalu [a,b]:

n∑i=1

f (Pi)∆r i ≃n∑i=1

f (ti)∣Ð→r ′(ti)∣∆ti

U limesu kada ∆ti → 0 dobivamo formulu koja prevodi krivuljni integral uobicni odredeni integral po intervalu:

racunanje skalarnog polja po krivulji

Za glatku regularnu parametrizaciju Ð→r (t), a ≤ t ≤ b krivulje C u cijojokolini je definirano skalarno polje f (P)

∫(C)

f (P)dr =b

∫a

f (t)∣Ð→r ′(t)∣dt

zzz primjer

zzz Primjena na duljinu krivulje

l =∫(C)

dr =b

∫a

∣drdt

∣dt

zzz primjer

6.2. Krivuljni integral vektorskog polja 299

Sad možemo preciznije opisati što je linijska gustoca mase žice, pojamkoji smo koristili za motivaciju krivuljnog integrala. Sad znamo racunatiduljinu dijela krivulje. Dijelove krivulje koji ima svoju duljinu zovemoizmjerivim (taj bi se pojam mogao i poopciti, ali nam to ovdje nije potrebno).Masa na žici je primjer funkcije f koja svakom dijelu žice ∆(C) pridružujemasu tog dijela f (∆(C)). Gustoca u nekoj tocki P žice je limes omjera maseizmjerivog dijela žice oko P i duljine tog dijela ∆l kad uzimamo sve manjetakve djelice oko P. Opcenito

derivacija po duljini krivulje

Neka je f funkcija koja svakom izmjerivom dijelu krivulje ∆(C) okotocke p duljine ∆l pridružuje broj f (∆(C)). Tad je derivacija duljinikrivulje te funkcije u tocki P broj

d fdl

(P) = lim∆l→0

f (∆(C))∆l

zzz centar mase i moment inercije

6.2 Krivuljni integral vektorskog polja

Zamislimo da se cestica giba po krivulji (C) pri cemu na nju u svakojtocki P krivulje djeluje sila

Ð→F (P). Da nademo ukupan rad sile upotrijebit

cemo osnovnu ideju integrala. Krivulju cemo podijeliti (u mislima) namale dijelove koje cemo aproksimirati ravnim dijelovima ∆Ð→r i , a silu nasvakom i tom dijelu aproksimirati stalnom silom

Ð→F (Pi), kakva je u jednoj

tocki Pi iz tog dijela. Na svakom malom dijelu rad sile na tom dijelucemo aproksimirati po formuli za rad stalne sile na ravnom dijelu ∆Wi ≃Ð→F (Pi) ⋅∆Ð→r i . Tako je ukupan rad W približno jednak

n∑i=1

Ð→F (Pi) ⋅∆Ð→r i



W = lim∆Ð→r i→0

n∑i=1


Taj broj ovisi o funkcijiÐ→F (P) i orijentiranoj krivulji (C) i nazivamo ga inte-

gral vektorskog poljaÐ→F po krivulji (C), a oznacavamo ∫

(C)

Ð→F (P)dÐ→r .

integral vektorskog polja po orijentiranoj krivulji

Za orijentiranu krivulju C i vektorsko poljeÐ→F (P) definirano u okolini

krivulje definiramo

∫(C)

Ð→F (P)dÐ→r = lim

∆Ð→r i→0

n∑i=1


gdje su tocke Pi i pomaci ∆Ð→r i objašnjeni na slici

Ako je orijentirana krivulja zatvorena (kraj joj je jednak pocetku, tjgranica je neke konacne plohe) tad ovaj integral još oznacavamo

∮(C)

Ð→F (P)dÐ→r

6.2. Krivuljni integral vektorskog polja 301

svojstva krivuljnog integrala vektorskog polja

1. ∫(C)

Ð→F (P)+Ð→g (P))dÐ→r =∫

(C)

Ð→F (P)dÐ→r +∫

(C)

Ð→G (P)dÐ→r (aditivnost)

2. ∫(C)

cÐ→F (P)dÐ→r = c∫

(C)

Ð→F (P)dÐ→r (homogenost)

3. ∫(C1)+(C2)

Ð→F (P)dÐ→r = ∫

(C1)

Ð→F (P)dÐ→r + ∫

(C2)

Ð→F (P)dÐ→r (aditivnost po

orijentiranoj krivulji)

4. ∫(C−)

Ð→F (P)dÐ→r =− ∫

(C+)

Ð→F (P)dÐ→r (promjena orijentacije)

zzz naci primjer direktnog racunanja možda ampereov zakon

Sad cemo razviti formulu koja ce nam omogucit sistematsko racunanjekrivuljnog integrala vektorskog polja. Neka je Ð→r (t), a ≤ t ≤ b glatka


regularna parametrizacija krivulje, (zzz vidjeti prije). Parametar pocetkakrivulje može biti a ali može biti i b i zvat cemo ga tp, a parametarkraja tk. Pomake po dijelovima krivulje možemo prikazati pomocu pomakaparametra t od tp do tk:

Po smislu derivacije je ∆Ð→r i ≃ Ð→r ′(ti)∆ti. Samo vektorsko polje možemoprikazati kako ovisi o parametru

Ð→F (t) =Ð→F (Ð→r (t)). Preko te parametrizacije

suma po krivulji prelazi u sumu po intervalu od tp do tk:

n∑i=1

Ð→F (Pi)∆Ð→r i ≃

n∑i=1

Ð→F (ti)Ð→r ′(ti)∆ti

U limesu kada ∆ti → 0 dobivamo formulu koja prevodi krivuljni integral uobicni odredeni integral po intervalu:

racunanje vektorskog polja po orijentiranoj krivulji

Za glatku regularnu parametrizacijuÐ→r (t) orijentirane krivulje krivuljeC u cijoj okolini je definirano vektorsko polje

Ð→F (P), gdje je t izmedu

parametra pocetka tp i parametra kraja tk krivulje,

∫(C)

Ð→F (P)dÐ→r =

tk

∫tp

Ð→F (t)Ð→r ′(t)dt

zzz primjer

6.3. Konzervativna polja 303

6.3 Konzervativna polja

U fizici su veoma znacajna tzv. konzervativna polja sila. Za vektorsko poljeÐ→F (P) kažemo da je konzervativno vektorsko polje ako je za bilo kojedvije tocke A i B integral polja po bilo kojoj krivulji s pocetkom u A i krajemu B uvijek isti broj:

∫(C1)


(C2)

Ð→F (P)dÐ→r

Ovaj uvjet se može izreci na ekvivalentan nacin, da je integral takvog poljapo zatvorenoj krivulji jednak nuli:

∮(C)

Ð→F dÐ→r = 0

Dokažimo da je zaista tako. Krivulju (C) možemo rastaviti na dijelove (C) =(C1)+(C2)


pa je

∮(C)

Ð→F dÐ→r = ∫

(C1)

Ð→F (P)dÐ→r + ∫

(C2)


(C1)

Ð→F (P)dÐ→r − ∫

(C2)−

Ð→F (P)dÐ→r

Iz te relacije slijedi ekvivalentnost ovih uvjeta.

Da bi se ispitalo je li polje konzervativno veoma je mukotrpno ispitivatije li integral izmedu svake dvije tocke isti po bilo kojem putu koji povezujete dvije tocke. Srecom, postoji jedna rezultat koji cemo posuditi iz zadnjegpoglavlja ove knjige, a koji je tamo detaljno objašnjen (vidi zzz). Tamo jepokazano da je integral polja po svim zatvorenim krivuljama jednak nuliupravo onda kada je tzv rotacija vektorskog polja jednaka nuli. Za našepotrebe sada je dovoljno znati da je rotacija vektorskog polja operacija kojasvakom vektorskom polju

Ð→F pridružuje vektorsko polje koje oznacavamo

rotÐ→F ali iÐ→∇×Ð→F , i koja se efektivno može racunati. Tako, treci ekvivalentan

nacin da opišemo ekvivalentost polja glasi

Ð→∇ ×Ð→F =Ð→0

Samu pak operaciju racunamo po jednoj formuli koju je lako zapamtiti akosebi privremeno predocimo da je operacija Ð→∇ vektor kojem su komponenteparcijalne derivacije. Tako je

Ð→∇ ×Ð→F = ( ∂∂x

,∂

∂y,∂

∂z)×(Fx,Fy,Fz) =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Ð→i

Ð→j

Ð→k

∂

∂x∂

∂y∂

∂zFx Fy Fz

RRRRRRRRRRRRRRRRRR


Pri tome množenje parcijalnih derivacija s komponentama vektorskog poljainterpretiramo kao primjenu derivacije na funkciju.

zzz Primjer

Pošto kod konzervativnog polja integral izmedu tocaka A i B ne ovisi oputu taj integral naprosto zapisujemo

B

∫A

Ð→F (P)dÐ→r

Postoji i poseban nacin kako ga možemo izracunati. Naime, neovisnostintegriranja o putu omogucuje da definiramo funkciju ϕ(P), tzv potencijalkonzervativnog vektorskog polja tako da je u nekoj tocki O definiramoproizvoljno, a u svakoj drugoj tocki P njenu vrijednost dobijemo tako davrijednosti u O dodamo vrijednost integrala polja od O do P:

ϕ(P) =ϕ(P)+P

∫O

Ð→F dÐ→r

Tada vrijedi da je

B

∫A

Ð→F dÐ→r =ϕ(B)−ϕ(A)

Zaista:

B

∫A

Ð→F dÐ→r =

O

∫A

Ð→F dÐ→r +

B

∫O

Ð→F dÐ→r =−

A

∫O

Ð→F dÐ→r +

B

∫O

Ð→F dÐ→r

=−ϕ(A)+ϕ(O)+ϕ(B)−ϕ(A) =ϕ(B)−ϕ(A)

Primijenimo li tu relaciju na mali komadic puta


Ð→F∆Ð→r ≃=∆ϕ

dobit cemo daÐ→F povezuje promjenu vrijednosti funkcije ϕ s promjenom

ulaza na nacin kako to radi gradijent funkcije. Dakle

Ð→F =Ð→∇ϕ

Raspišemo li ovaj uvjet po komponentama dobivamo tri uvjeta na parcijalnederivacije potencijala

∂ϕ

∂x= Fx,

∂ϕ

∂y= Fy,

∂ϕ

∂z= Fy

Za poznato poljeÐ→F iz ovih uvjeta možemo dobiti potencijal

zzz nastaviti prethodni primjer

Ne samo da konzervativno polje ima potencijal, nego je postojanjepotencijala, tj funkcije ϕ takve da je

Ð→F = Ð→∇ϕ, i kriterij da bi polje

bilo konzervativno. Tj. vrijedi i obrat: ako polje ima potencijal tad jekonzervativno. Da bismo to dokazali opet cemo se pozvati na jedan rezultatiz buducnosti knjige (zzz strana ), tzv teorem o gradijentu, koji kaže da jeza orijentiranu krivulju s pocetkom u A i završetkom u B

∫(C)

Ð→∇ϕ(P)dÐ→r =ϕ(B)−ϕ(A)

Taj teorem kaže da integral odÐ→F =Ð→∇ϕ ne ovisi o putu, odnosno polje

Ð→F je

konzervativno

ekvivalentni uvjeti konzervativnosti polja

Sljedeci uvjeti na vektorsko poljeÐ→F su ekvivalentni


1. Za bilo koje krivulje (C1) i (C2) s istim pocetkom i istim krajem

∫(C1)


(C2)

Ð→F (P)dÐ→r

2. Za svaku zatvorenu orijentiranu krivulju (C)

∮(C)

Ð→F dÐ→r = 0

3. Ð→∇ ×Ð→F =Ð→0

4. Postoji skalarno polje ϕ takvo da jeÐ→F =Ð→∇ϕ

Tada integral vektorskog polja možemo izracunati po formuli

B

∫A

Ð→F dÐ→r =ϕ(B)−ϕ(A)

zzz primjer

Pokažimo da je rotaciono simetricno radijalno vektorsko polje konzerva-tivno (to je polje koje je usmjereno od ili prema nekoj odredenoj tocki i kojemiznos ovisi samo o udaljenosti od te tocke:


Najpoznatiji primjeri takvog polja su gravitacijska sila i elektricno polje.Npr gravitacijska sila na cesticu m koja je udaljena od cestice M koja senalazi u ishodištu je

Ð→F =−G

mMr2Ð→r0

gdje je G = 6.674 ⋅10−11Nm2/kg2 gravitacijska konstanta. U fizici se uvodipotencijal polja jednadžbom

Ð→F = −Ð→∇ϕ. Dakle, to je funkcija koja se u

predznaku razlikuje od matematickog potencijala koejeg smo prethodnorazmatrali. Razlog je što tako definiran potencijal ima jasnije fizikalnoznacenje, kao što cemo ubrzo vidjeti

Konzervativnost cemo sada dokazati direktno, analizirajuci integral odtocke A do tocke B. Svaki djelic puta cemo rastaviti na radijalni dio i diokoji je duž kružnice

∆Ð→r =∆Ð→rK +∆Ð→rR

Integral je limes sume clanova oblika

Ð→F ⋅∆Ð→r = F(r)Ð→r0 ⋅(∆Ð→rK +∆Ð→rR) = F(r)Ð→r0 ⋅∆Ð→rK +F(r)Ð→r0 ⋅∆Ð→rR = 0+F(r)∆r

Tako je integral po krivulji jednak

∫(C)

Ð→F dÐ→r =

r2

∫r1

F(r)dr = f (r2)− f (r1)


gdje je, po Newton Leibnizovoj formuli f (r) jedna antiderivacija funkcije

F(r) tj. f (r) =∫ F(r)dr. U slucaju gravitacijske sile dobivamo da je jedan

izbor za f (r)

f (r) =−GmMr2 =G

mMr

Tako smo pokazali da integral ne ovisi o putu. Za matematicki potencijalmožemo uzeti upravo funkciju f (r) a za fizikalni potencijal funkciju − f (r).

Glavni znacaj konzervativnih polja sila je da za njih vrijedi zakonsacuvanja energije. Promotrimo gibanje cestice mase m u jednom takvomkonzervativnom polju sila

Ð→F . Integriramo li drugi Newtonov zakon

mdÐ→vdt

=Ð→F

po nekoj putanji (C) odredenoj gibanjem r(t) cestice od trenutka a kad je umjestu A do trenutka b kad je u mjestu B dobit cemo:

∫(C)

mdÐ→vdt

dÐ→r =∫(C)

Ð→F dÐ→r

Pošto je r(t) u stvari parametrizacija ove krivulje ona prevodi integral nalijevoj strani jednadžbe u integral po t. Pošto je polje konzervativno integralcemo moci prikazati kao razliku fizikalnih(!) potencijala pocetka i kraja

b

∫a

mdÐ→vdt

⋅ dÐ→r

dtdt =ϕ(A)−ϕ(B)

Izraz pod integralom je

mdÐ→vdt

⋅ dÐ→r

dt= m

dÐ→vdtÐ→v = d

dt(1

2mÐ→v 2)

Pošto se integral i derivacija poništavaju to je


12

mv2(B)− 12

mv2(A) =ϕ(A)−ϕ(B)

što znaci da je

12

mv2(B)+ϕ(B) = 12

mv2(A)+ϕ(A)

Pošto smo promatrali dva proizvoljna trenutka gibanja to znaci da je tokomgibanja ta velicina uvijek ista

12

mv2+ϕ = const

Ta velicina se zove mehanicka energija tijela. prvi clan se zovekineticka energija tijela, drugi clan potencijalna energija tijela, atvrdnja o stalnosti te velicine je zakon sacuvanja mehanicke energije.

6.4 Plošni integral skalarnog polja

Zamislimo da imamo neku plohu (S) zanemarive debljine napravljenuod nehomogenog materijala koja ima površinsku gustocu mase (masa popovršini plohe) f (P) u tocki P. Da bismo našli ukupnu masu ploheopet cemo pozvati upomoc osnovnu ideju integrala. Plohu cemo podijeliti(u mislima) na male dijelove koje cemo aproksimirati ravnim dijelovima∆(S)i, koji su projekcije dijela plohe na tangencijalnu ravninu,

zzz nedostaje slika

a gustocu na svakom i tom dijelu aproksimirati stalnom gustocom f (Pi)kakva je u tocki Pi iz tog dijela. Na svakom malom dijelu masu togdijela cemo aproksimirati po formuli za stalnu gustocu ravne plohe ∆mi ≃f (Pi)∆Si. Tako je ukupna masa m približno jednaka

n∑i=1

f (Pi)∆Si

6.4. Plošni integral skalarnog polja 311


m = lim∆Si→0

n∑i=1

f (Pi)∆Si

Taj broj ovisi o funkciji f i plohi (S) i nazivamo ga integral skalarnogpolja f po plohi (S), a oznacavamo ∫

(S)f (P)dS.

integral skalarnog polja po plohi

Za plohu (S) i skalarno polje f (P) definirano u okolini plohe definiramo

∫(S)

f (P)dS = lim∆Si→0

n∑i=1

f (Pi)∆Si

gdje su tocke Pi i dijelovi ∆Si objašnjeni na slici

Ako je ploha zatvorena, tj. zatvara dio prostora, tad plošni integral jošoznacavamo

∮(S)

f (P)dS

Pravila racunanja su ista kao i za sve integrale


svojstva plošnog integrala skalarnog polja

1. ∫(S)

( f (P)+ g(P))dS =∫(S)

f (P)dS+∫(S)

g(P)dS

2. ∫(S)

c f (P)dS = c∫(S)

f (P)dS

3. ∫(S1)+(S2)

f (P)dS = ∫(S1)

f (P)dS+ ∫(S2)

f (P)dS

zzz naci primjer direktnog racunanja

Sad cemo razviti formulu koja nam omogucuje sistematsko racunanjeplošnog integrala. Neka jeÐ→r (u,v), (u,v) ∈D, gdje je D neki podskup skupauredenih parova brojeva, parametrizacija plohe, Pretpostavit cemo da jeparametrizacija glatka, tj da ima neprekidne parcijalne derivacije, i da je

regularna, tj. da∂Ð→r∂u

×∂Ð→r∂v

≠Ð→0 . Postojanje takve parametrizacije eliminiraneobicne plohe (npr. sa šiljcima) i omogucava nam da pomake po dijelovimaplohe možemo prikazati pomocu pomaka parametara u i v:

6.4. Plošni integral skalarnog polja 313

Ako mijenjamo samo parametar u pomicemo se dužu u krivulje, a akomijenjamo samo parametar v pomicemo se duž v linije. Same pomakemožemo aproksimirati odgovarajucim parcijalnim derivacijama

∆Ð→r u ≃∂Ð→r∂u∆u

∆Ð→r v ≃∂Ð→r∂v∆v

Tako i odgovarajuci dijelic plohe možemo aproksimirati paralelogramomrazapetim tim vektorima

∆S = ∣∂Ð→r∂u∆u× ∂

Ð→r∂v∆v∣ = ∣∂

Ð→r∂u

× ∂Ð→r∂v

∣∆u∆v

Svaka mreža u domeni parametara D generira odgovarajucu mrežu naplohi:


Pri tome je

∑i, j

f (Pi, j)∆Si, j ≃∑i, j

f (ui,v j)∣∂Ð→r∂u

× ∂Ð→r∂v

∣∆u∆v

Ovu zadnju sumu možemo sumirati odredenim redom, kao i kod površin-skog integrala, tako da prvo za fiksni xi sumiramo po svim yj, i takodobivene sume nastavimo sumirati po xi. U limesu kad (∆xi,∆yj) → 0dobivamo formulu koja plošni integral pretvara u dva uzastopna obicnaintegrala:

racunanje skalarnog polja po plohi

Za regularnu parametrizaciju Ð→r (u,v), a ≤ u ≤ b,D(u) ≤ v ≤G(u) plohe(S) u cijoj okolini je definirano skalarno polje f (P)

∫(S)

f (P)dS =b

∫a

(G(u)

∫D(u)

f (u,v)∣∂Ð→r∂u

× ∂Ð→r∂v

∣dv)du

zzz primjer

zzz Primjena na površinu plohe

zzz primjer

Sad možemo preciznije opisati što je površinska gustoca mase plohe,pojam koji smo koristili za motivaciju plošnog integrala. Znamo racunati

6.5. Plošni integral vektorskog polja 315

površinu dijela plohe. Dijelove plohe koji imaju svoju površinu zovemoizmjerivim (taj bi se pojam mogao i poopciti, ali nam to ovdje nije potrebno).Masa na plohi je primjer funkcije f koja svakom dijelu plohe (∆S) pridru-žuje masu tog dijela f (∆S). Gustoca u nekoj tocki P plohe je limes omjeramase izmjerivog dijela plohe oko P i površine tog dijela ∆S kad uzimamosve manje takve djelice oko P. Opcenito

derivacija po površini plohe

Neka je f funkcija koja svakom izmjerivom dijelu plohe ∆(S) oko tockep površine ∆S pridružuje broj f∆(S). Tad je derivacija po površini plohete funkcije u tocki P broj

d fdS

(P) = lim∆S→0

f (∆(S))∆S

zzz centar mase i moment inercije

zzz Papusov teorem

6.5 Plošni integral vektorskog polja

Gibanje vode možemo opisati tzv vektorskim poljem brzina Ð→v (P, t) kojekaže kolika je brzina vode na mjestu P u trenutku t. Razmatrat cemo samoovisnost o P pa cemo vremensku varijablu izostaviti. Koliko vode prode krozneku plohu u jedinici vremena? Ovo je tipicno pitanje za ideju integrala.Imamo zakrivljenu plohu i nehomogenu brzinu vode na njoj. Prvo cemoriješiti slucaj homogene brzine po ravnoj plohi, a onda cemo primijeniti idejuintegrala da riješimo opci slucaj. Neka voda tece stalnom brzinom Ð→v krozneki pravokutni okvir površine S koji ne mora biti u smjeru toka vode. Ujednom vremenskom intervalu ∆t voda koja je protekla kroz okvir zauzimavolumen prikazan na slici:


pa je njen volumen ∆V = v∆tS cosϕ = Ð→v ∆tÐ→S . Pri tome, ako je rezultat

negativan znaci da je toliko vode prošlo na drugu stranu od one na kojusmo orijentirali površinu. Tako u jedinici vremena prode Ð→v ⋅Ð→S vode, akokolicinu vode mjerimo volumno. Tu velicinu nazivamo tok vode kroz danupovršinu. Ako je mjerimo masom koja je prošla tad je ta kolicina ρÐ→v ⋅Ð→S ,gdje je ρ masena gustoca vode i zovemo je (maseni) tok vode, a vektorÐ→j = ρÐ→v gustoca (masenog) toka vode. Ako nije u pitanju voda nego

recimo nekakva kolicina elektricno nabijenog materijala u gibanju gustocenaboja ρ (naboj po jedinici violumena) tad

Ð→j = ρÐ→v nazivamo gustoca

struje naboja a I = vek j ⋅Ð→S je tad kolicina naboja koja prode kroz površinuu jedinici vremena i tu velicinu nazivamo struja naboja

Razmotrimo sad opci slucaj bilo koje orijentirane plohe na kojoj brzinavode varira od mjesta do mjesta. Plohu cemo rastaviti na male (izmjerive)dijelove:

Na svakom dijelu površine ∆Ð→Si brzinu cemo aproksimirati stalnom brzinom

Ð→v (Pi) kakva je u jednoj tocki Pi iz tog dijela, pa cemo, da bismo izracunalitok vode ∆Φi kroz taj dio, primijeniti formulu za jednoliki ravni slucaj:∆Φi ≃Ð→v (Pi) ⋅∆

Ð→Si. Tako je ukupan tok Φ približno jednak


n∑i=1

Ð→v (Pi) ⋅∆Ð→Si


Φ = lim∆Ð→Si→0

n∑i=1

Ð→S (Pi) ⋅∆

Ð→Si

Taj broj ovisi o funkciji Ð→v (P) i orijentiranoj plohi (S) i nazivamo ga

integral vektorskog poljaÐ→v po plohi (S), a oznacavamo ∫(S)

Ð→v (P)dÐ→S .

integral vektorskog polja po orijentiranoj krivulji ili tokvektorskog polja

Za orijentiranu plohu S i vektorsko poljeÐ→F (P) definirano u okolini

plohe definiramo

∫(S)

Ð→F (P)d

Ð→S = lim

∆Ð→Si→0

n∑i=1

Ð→F (Pi) ⋅∆

Ð→Si

gdje su tocke Pi i pomaci ∆Ð→Si objašnjeni na slici

Za integral po zatvorenoj plohi koristimo još i oznaku

∮(S)

Ð→F (P)d

Ð→S


svojstva plošnog integrala vektorskog polja

1. ∫(S)

Ð→F (P)+Ð→g (P))d

Ð→S =∫(S)

Ð→F (P)d

Ð→S +∫(S)

Ð→G (P)d

Ð→S (aditivnost)

2. ∫(S)

cÐ→F (P)d

Ð→S = c∫

(S)

Ð→F (P)d

Ð→S (homogenost)

3. ∫(S1)+(S2)

Ð→F (P)d

Ð→S = ∫

(S1)

Ð→F (P)d

Ð→S + ∫(S2)

Ð→F (P)d

Ð→S (aditivnost po

plohi)

4. ∫(S−)

Ð→F (P)d

Ð→S =− ∫

(S+)

Ð→F (P)d

Ð→S (promjena orijentacije)

zzz naci primjer direktnog racunanja možda gaussov zakon

Glatka regularna parametrizacija plohe Ð→r (u,v), (u,v) ∈ D, gdje jeD neki podskup skupa uredenih parova brojeva, prevodi plošni integral


vektorskog polja u dva uzastopna integrala na isti nacin kao i kod plošnogintegrala skalarnog polja. Jedina je razlika što sad nemamo umnožakskalarnog polja i površine nego sklararni produkt vektorskog polja i vektorapovršine:

∑i, j

f (Pi, j)∆Si, j ≃∑i, j

f (ui,v j)∣∂Ð→r∂u

× ∂Ð→r∂v

∣∆u∆v

racunanje skalarnog polja po plohi

Za glatku regularnu parametrizaciju Ð→r (u,v), a ≤ u ≤ b,D(u) ≤ v ≤G(u)plohe (S) u cijoj okolini je definirano vektorsko polje

Ð→F (P)

∫(S)

Ð→F (P)d

Ð→S =

b

∫a

(G(u)

∫D(u)

Ð→F (u,v) ⋅(±)∂

Ð→r∂u

× ∂Ð→r∂v

dv)du

pri cemu uzimamo predznak + ako je vektorski produkt u smjeru zadaneorijentacije, a (−) ako je u suprotnom smjeru.


7Osnovni teoremi i Maxwellove

jednažbe elektromagnetizma

U ovom cemo poglavlju izreci osnovne teoreme vektorskog racuna i pokazatikako ti teoremi zajedno s pojmovima razvijenim u ovoj knjizi tvore osnovnumatematiku klasicnog elektromagnetizma, koja je kroz radove James ClerkMaxwella odigrala kljucnu ulogu u razvoju te teorije.

7.1 Osnovni teoremi

Svi teoremi koje cemo navesti imaju istu strukturu, povezuju vrijednostifunkcije na rubu nekog dijela prostora s vrijednošcu odredene derivacije tefunkcije unutar tog dijela prostora. I svi ce biti izvedeni na isti nacin.

321

322 7. Osnovni teoremi i Maxwellove jednažbe elektromagnetizma

7.1.1 Newton Leibnizov teorem o derivaciji

Neka je funkcija f (x) definirana na intervalu [a,b] kojeg smo rastavili nadijelove kao na slici.

Tad je ukupna promjena funkcije na intervalu f (b)− f (a) jednaka zbrojupromjena na svakom dijelu intervala ∆ f (xi) = f (xi+1)− f (xi):

f (b)− f (a) =n∑i=1∆ f (xi)

Na svakom malom dijelu promjena vrijednosti funkcije je približno, posmislu derivacije, umnožak derivacije i promjene ulaza funkcije ∆ f (xi) ≃f ′(xi)∆xi. Tako je

f (b)− f (a) ≃n∑i=1

f ′(xi)∆xi

U limesu kada ∆xi → 0 dobivamo osnovni teorem diferencijalnog iintegralnog racuna

f (b)− f (a) =∫b

af ′(x)dx

7.1. Osnovni teoremi 323

7.1.2 Teorem o gradijentu

Neka je funkcija f (P) definirana u dijelu prostora u kojem se nalaziorijentirana krivulja (C) koju smo rastavili na dijelove kao na slici.

Tad je ukupna promjena funkcije f (B)− f (A) duž krivulje jednaka zbrojupromjena na svakom dijelu krivulje ∆ f (Pi) = f (Pi+1)− f (Pi):

f (B)− f (A) =n∑i=1∆ f (Pi)

Na svakom malom dijelu promjena vrijednosti funkcije je približno, posmislu gradijenta, umnožak gradijenta i promjene ulaza funkcije ∆ f (Pi) ≃Ð→∇ f (Pi)∆Ð→r i . Tako je

f (B)− f (A) ≃n∑i=1

Ð→∇ f (Pi)∆Ð→r i

U limesu kada ∆Ð→r i → 0 dobivamo teorem o gradijentu

f (B)− f (A) =∫(C)

Ð→∇ f (P)dÐ→r

Podsjetimo se da se gradijent racuna po formuli Ð→∇ f = (∂ f∂x

,∂ f∂y

,∂ f∂z

). To

kao i druge formule s operatoromÐ→∇ možemo lakše zapamtiti ako zamislimoda je Ð→∇ vektor kojem su komponente parcijalne derivacije. Tako možemo


dobiti i prethodnu fromulu jer u takvoj zamisli je u pitanju produkt vektoraÐ→∇ sa skalarom f :

Ð→∇ f = ( ∂∂x

,∂

∂y,∂

∂z) f = (∂ f

∂x,∂ f∂y

,∂ f∂z

)

7.1.3 Gaussov teorem o divergenciji

Sad cemo na isti nacin povezati vrijednosti vektorskog polja na zatvorenojplohi s vrijednostima unutar plohe. Za to ce nam trebati pojam divergencijevektorskog polja. Vec smo vidjeli da je u fluidu koji na mjestu P imagustocu ρ i brzinu Ð→v integral vektorskog polja ρÐ→v po zatvorenoj plohi(S(V)) orijentiranoj prema vani jednak ukupnoj masi fluida koja u jedinicivremena izade iz volumena (V) koji ta ploha zatvara. Kako svakomdijelu prostora s jednostavnom granicnom plohom možemo pridružiti takavintegral, on je funkcija dijela prostora pa možemo promatrati njegovuprostornu derivaciju. Taj broj nazivamo divergencija vektorskog polja

divÐ→F = lim

∆V→0

∮(S(∆V))

Ð→F dÐ→S

∆V

Još je oznacavamo i Ð→∇ ⋅Ð→F . U slucaju vektorskog poljaÐ→F = ρÐ→v to je mjera

izviranja odnosno poniranja fluida na nekom mjestu. Taj broj pokazujekoliko fluida na nekom mjestu izvire odnosno ponire po jedinici volumena.To možemo vizuelno predociti na sljedeci nacin. Silnice polja su linijeduž kojih je vektorsko polje tangencijalno. Možemo promatrati silnice kojeprolaze kroz neku površinu. One tvore cijevi polja:


Integral polja po ovakvoj cijevi jednak je nuli jer je na cjevastoj plohi poljeokomito na vektor plohe a integrali na lijevoj i desnoj plohi se poništavaju.Tako je i divergencija u malom takvom dijelu jednaka nuli. Istaknimo još daza male ulaznu (1) plohu i izlaznu (2) plohu možemo smatrati da je vektorpolja stalan, redom

Ð→F1 i

Ð→F2 pa iz gornjeg razmatranja slijedi da je, ako rubne

plohe drugacije orijentiramo:

Gledamo li polje fluida ρÐ→v stalne gustoce za površine okomito postavljenena smjer gibanja dobit cemo tzv jednadžbu kontinuiteta v1S1 = v2S2. Naosnovi nje možemo npr. razumjeti zašto se voda koja izlazi iz cesme skuplja.Ona se zbog gravitacije ubrzava, dakle povecava joj se brzina, pa joj se, pojednadžbi kontinuiteta, smanjuje poprecni presjek:

Kod izvora cijev polja je kao na slici:


Tu je divergencija polja pozitivna jer je integral polja po cjevastoj plohi a podesnoj plohi (orijentiranoj prema vani) pozitivan. Sasvim analogno možemozakljuciti da je kod ponora divergencija negativna:

Ovu predstavu o izviranju i poniranju polja prenosimo i na ostala vektorskapolja. Tako su npr. u elektricnom polju pozitivni naboji izvori polja anegativni ponori polja.

Isto tako se pokazalo da je divergencija magnetskog polja uvijek nula, paono nema ni izvora ni ponora (ne postoje tzv magnetski monopoli)

Iz definicije divergencije dobit cemo formulu za njeno racunanje. Okoneke tocke P ”napravit” cemo mali kvadar i racunati integral vektorskogpolja F po tom kvadru:


Smatrat cemo da je kvadar dovoljno malen da je sila stalna na svakojplohi. Racunajmo integrale po gornjoj i donjoj plohi. Na gornjoj plohi je zkomponenta sile Fz(G), pa je integral jednak Fz(G)∆x∆y. Na donjoj plohije z komponenta sile Fz(D) pa je integral jednak −Fz(D)∆x∆y (negativanje predznak jer je na toj strani površina orijentirana u negativnom smjeruz osi:

Ð→F ⋅∆S = (Fx,Fy,Fz) ⋅ (0,0,−∆x∆y). Tako je ukupni tok kroz gornju i

donju površinu približno jednak

Fz(G)∆x∆y−Fz(D)∆x∆y = (Fz(G)−Fz(D))∆x∆y ≃ ∂

∂zFz(P)∆z∆x∆y

gdje smo promjenu z komponenete polja duž z osi prikazali pomocu par-cijalne derivacije z komponente i promjene z koordinate. Na isti nacinmožemo dobiti približan tok polja kroz lijevu i desnu plohu te približan tokpolja kroz prednju i zadnju plohu. Ukupan tok je zbroj svih ovih tokova pakad ga podijelimo s obuhvacenim volumenom ∆V = ∆x∆y∆z dobit cemo ulimesu kada ∆V → 0 divergenciju polja

Ð→∇ ⋅Ð→F = ∂Fx

∂x+ ∂Fy

∂y+ ∂Fz

∂z

I sada možemo ovo lakše zapamtiti gledajuci privremeno operator Ð→∇kao vektor kojem su komponente parcijalne operacije a divergenciju poljakao skalarni produkt vektora:

Ð→∇ ⋅Ð→F = ( ∂∂x

,∂

∂y,∂

∂z) ⋅(Fx,Fy,Fz) =

∂Fx

∂x+ ∂Fy

∂y+ ∂Fz

∂z

divergencija vektorskog polja


Divergencija vektorskog poljaÐ→F u tocki P je broj

Ð→∇Ð→F = lim∆V→0

∮(S(∆V))

Ð→F dÐ→S

∆V

gdje je (∆V) izmjeriv volumen oko tocke P a ploha (S(∆V)) je izmjerivaploha koja zatvara taj volumen i koja je orijentirana prema vani.

Formula za racunanje divergencije u kartezijevim koordinatama je

Ð→∇ ⋅Ð→F = ∂Fx

∂x+ ∂Fy

∂y+ ∂Fz

∂z

zzz Primjer racunanja divergencije.

Divergencija ce nam pomoci da povežemo vrijednosti vektorskog polja naplohi koja zatvara neki volumen s vrijednostima funkcije unutar volumena.Neka smo zatvorenu plohu (S) rastavili kako je prikazano na slici na dvijezatvorene plohe (S1) i (S2)

Tad je

∮(S)

Ð→F dÐ→S = ∮(S1)

Ð→F dÐ→S + ∮(S2)

Ð→F dÐ→S


jer kad integriramo po gornjoj i donjoj zatvorenoj plohi integrali po pre-sjecnoj plohi se ponište, jer ona nosi suprotne orijentacije kao dio ploha(S1) i (S2), pa ostaju samo integrali po vanjskim plohama. Tako možemonastaviti dijeljenje i integral po cijeloj plohi ”rasuti” na integrale po malimzatvorenim plohama (S(∆Vi)) koje zatvaraju male djelice volumena (∆Vi):

∮(S)

Ð→F dÐ→S =

n∑i=1

∮(S(∆Vi))

Ð→F dÐ→S

Po definiciji divergencije svaki mali djelic možemo aproksimirati s Ð→∇ ⋅Ð→F (Pi)∆Vi pa cemo dobiti

∮(S)

Ð→F dÐ→S =

n∑i=1

Ð→∇ ⋅Ð→F (Pi)∆Vi

odnosnu u limesu kada ∆Vi→ 0 dobivamo

Gaussov teorem o divergenciji

∮(S(V))

Ð→F dÐ→S = ∫(V)

Ð→∇ ⋅Ð→F dV

gdje je (V) izmjeriv volumen a ploha (S(V)) je izmjeriva ploha kojazatvara taj volumen i koja je orijentirana prema vani.

Važnost ovog teorema je što povezuje dvije vrste integriranja. Prelazak


s jedne vrste integrala na drugi je veoma znacajan u primjeni, kao što cemou daljnjem pokazati.

7.1.4 Stokesov teorem o rotaciji

Sad cemo povezati vrijednosti vektorskog polja na zatvorenoj krivulji svrijednostima polja na plohi koja završava tom krivuljom. Za to ce namtrebati pojam rotacije vektorskog polja. Ako integriramo npr. vektor brzinefluida po maloj zatvorenoj ravninskoj orijentiranoj krivulji, nenulti rezultat,tzv cirkulacija polja po krivulji, ce nam indicirati prisustvo vrtloga u fluiduna tom mjestu. Krivulju po kojoj integriramo možemo postaviti u raznimsmjerovima oko dane tocke. Za smjer dijela ravnine obuhvacene krivuljomuzet cemo smjer okomit na ravninu koji je povezan sa smjerom orijentacijekrivulje po pravilu desne ruke:

Limes omjera te cirkulacije i obuhvacene površine kada ona teži nulinazivamo rotacija vektorskog polja u danom smjeru

RÐ→S0

(Ð→F ) = lim∆S→0

∮(C(∆S))

Ð→F dÐ→r

∆S

Ako postoji vrtloženje u fluidu rotacija nece biti stalno nula i bit ce najveca unekom smjeru. Zamislimo da postavimo malo vodeno kolo na neko mjesto ufluidu gdje ima vrtloženja. Postavimo li os u nekom smjeru ono ce se najbržeokretati. Vektor kojem je iznos jednak najvecoj rotaciji vektorskog poljaÐ→F i kojem je smjer jednak smjeru najvece gustoce cirkulacije, nazivamorotacija vektorskog polja i oznacavamo rot

Ð→F ili Ð→∇ ×Ð→F .


Kao što smo rekli, pomocu rotacije možemo identificirati vrtloženjafluida:

Izracunajmo za polje brzina tvrdog tijela koje rotira oko neke osi rotacijuu nekoj tocki na toj osi:

Jasno je da je smjer odÐ→∇×Ð→v duž smjera vektora kutne brzineÐ→ω . Sve tockena udaljenosti r od osi rotacije imaju brzinu v = rω koja je tangencijalna natu kružnicu. Zato je integral polja brzina po toj kružnici jednak 2rπv =2r2πω. Podijelimo li ga s površinom pripadnog kruga r2π dobit cemo da jerotacija po iznosu jednaka 2ω. Tako je

Ð→∇ ×Ð→v = 2Ð→ω

Da bismo pronašli izraz za rotaciju vektorskog poljaÐ→F = (Fx,Fy,Fz) u

kartezijevim koordinatama prvo cemo pronaci izraz za rotaciju vektorskogpolja u bilo kojem smjeru. A da bismo to našli prvo cemo naci izraz rotacijuu smjerovima koordinatnih osi.

Da bismo našli rotaciju oko z osi integrirat cemo vektorsko polje pokrivulji (Cz(∆S)) oko tocke P a koja je paralelna xy ravnini:


Smatrat cemo da je pravokutnik dovoljno malen da je sila stalna na svakojstranici. Neka je na donjoj stranici x komponenta sile Fx(D) na gornjojstranici Fx(G), dok je na lijevoj stranici y komponenta sile Fy(L) a nadesnoj Fy(D). Tad je integral po zatvorenoj krivulji približno jednak

∮(Cx,y(∆S))

Ð→F dÐ→r = (Fy(D)−Fy(L))∆y−(Fx(G)−Fx(D))∆x

Izrazimo li približno promjene komponenti pomocu odgovarajucih derivacijai promjena ulaza dobit cemo

∂Fy

∂x(P)∆x∆y− ∂Fx

∂y(P)∆y∆x = (∂Fy

∂x(P)− ∂Fx

∂y(P))∆x∆y

Podijelimo li s obuhvacenom površinom, u limesu kada površina ide u nuludobivamo:

rotacija u smjeru z osi: Rz(Ð→F ) = ∂Fy

∂x− ∂Fx

∂y

Na isti nacin možemo dobiti sljedece izraze

rotacija u smjeru x osi: Rx(Ð→F ) = ∂Fz

∂y− ∂Fy

∂z

rotacija u smjeru y osi: Ry(Ð→F ) = ∂Fx

∂z− ∂Fz

∂x

Da bismo našli rotaciju u proizvoljnom smjeruÐ→S0 naci cemo cirkulaciju

polja po rubu (C) trokuta na slici površine ∆S:


Projekcije kosog trokuta površine ∆S su trokuti u koordinatnim ravni-nama: trokut u yz ravnini s orijentiranim rubom (Cx) i površinom ∆Sx, ianalogno za ostale trokute. Primijetimo da je

Ð→∆S =∆S

Ð→S0 = (∆Sx,∆Sy,∆Sz).

Iz slike je jasno da je cirkulacija po ovom trokutu zbroj cirkulacija poistaknutim trokutima u koordinatnim ravninama. Naime, kod integriranjapo koordinatnim trokutima, integrali po koordinatnim osima se poništavaju(kad integriramo po jednom koordinatnom trokutu imamo jedan smjer akad integriramo po drugom koordinatnom trokutu imamo drugi smjer pa seintegrali ponište). Tako preostaju samo integrali po stranicama nakošenogtrokuta:

∮(C)

Ð→F dÐ→r

∆S=∮(Cx)

Ð→F dÐ→r +∮

(Cy)

Ð→F dÐ→r +∮

(Cz)

Ð→F dÐ→r

∆S

=∮(Cx)

Ð→F dÐ→r

∆Sx

∆Sx

∆S+∮(Cy)

Ð→F dÐ→r

∆Sy

∆Sy

∆S+∮(Cz)

Ð→F dÐ→r

∆Sz

∆Sz

∆S=

(∮(Cx)

Ð→F dÐ→r

∆Sx,∮(Cy)

Ð→F dÐ→r

∆Sy,∮(Cz)

Ð→F dÐ→r

∆Sz) ⋅(∆Sx

∆S,∆Sy

∆S,∆Sz

∆S)

U limesu kad ∆S→ 0 dobivamo rotaciju vektorskog polja u smjeruÐ→S0

RÐ→S0

(Ð→F ) = lim∆S→0

∮(C)

Ð→F dÐ→r

∆S= (Rx(

Ð→F ),Ry(

Ð→F ),Rz(

Ð→F )) ⋅Ð→S0


Tako je rotacija u nekom smjeru projekcija vektora (Rx(Ð→F ),Ry(

Ð→F ),Rz(

Ð→F ))

na taj smjer. To znaci, kao i kod gradijenta, da je to vektor usmjerenu usmjeru najvece rotacije, dakle rotacija vektorskog polja.

Ð→∇ ×Ð→F = (Rx(Ð→F ),Ry(

Ð→F ),Rz(

Ð→F ))

Komponente su kombinacije parcijalnih derivacija koje opet možemo jed-nostavno zapamtiti smatrajuci operator Ð→∇ vektor kojem su komponenteparcijalne derivacie a rotaciju polja kao vektorski produkt vektora Ð→∇ ivektora polja

Ð→F :

Ð→∇ ×Ð→F = ( ∂∂x

,∂

∂y,∂

∂z)×(Fx,Fy,Fz) =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Ð→i

Ð→j

Ð→k

∂

∂x∂

∂y∂

∂zFx Fy Fz

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Ovu operaciju smo vec upoznali i vježbali kad smo ispitivali je li poljekonzervativno.

Rotacija vektorskog polja

Rotacija RÐ→S0

(Ð→F )(P) vektorskog poljaÐ→F u tocki P u smjeru

Ð→S0 je broj

RÐ→S0

(Ð→F )(P) = lim∆S→0

∮(C(∆S))

Ð→F dÐ→r

∆S

gdje je (∆S) izmjerivi dio ravnine oko tocke P, (C(∆S)) je izmjerivaorijentirana krivulja koja zatvara (∆S), a

Ð→S0 je jedinicni vektor okomit

na površinu (∆S) na nacin da je povezan s orijentacijom krivulje popravilu desne ruke:


Rotacija Ð→∇ ×Ð→F (P) vektorskog poljaÐ→F u tocki P je vektor usmjeren u

smjeru u kojem je rotacija vektorskog polja najveca i po iznosu je jednaktoj rotaciji.

Rotaciju vektorskog polja racunamo u kartezijevim koordinatama poformuli

Ð→∇ ×Ð→F = ( ∂∂x

,∂

∂y,∂

∂z)×(Fx,Fy,Fz) =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Ð→i

Ð→j

Ð→k

∂

∂x∂

∂y∂

∂zFx Fy Fz

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Rotacija vektorskog polja u smjeruÐ→S0 je projekcija rotacije vektorskog

polja na taj smjer:

RÐ→S0

(Ð→F ) =Ð→∇ ×Ð→F ⋅Ð→S0

Rotacija ce nam pomoci da povežemo vrijednosti vektorskog polja nakrivulji koja zatvara neku plohu s vrijednostima vektorskog polja na tojplohi. Orijentacije zatvorene krivulje i plohe su povezane pravilom desneruke.


Neka smo na plohi (S) zatvorenu krivulju (C) rastavili kako je prika-zano na slici na dvije zatvorene krivulje (C1) i (C2):

Tad je

∮(C)

Ð→F dÐ→r = ∮

(C1)

Ð→F dÐ→r + ∮

(C2)

Ð→F dÐ→r

Kad integriramo po zajednickom dijelu obje krivulje integrali se ponište,jer taj dio nosi suprotne orijentacije kao dio krivulja (C1) i (C2), pa ostajusamo integrali po vanjskim dijelovima. Tako možemo nastaviti dijeljenjei integral po cijeloj krivulji ”rasuti” na integrale po malim zatvorenimkrivuljama (C(∆Si)) koje zatvaraju male djelice plohe (∆Si):

7.2. Kombinacije gradijenta, divergencije i rotacije 337

∮(C)

Ð→F dÐ→r =

n∑i=1

∮(C(∆Si))

Ð→F dÐ→r

Po formuli za rotaciju u danom smjeru svaki mali djelic možemo aproksimi-rati s Ð→∇ ×Ð→F (Pi) ⋅

ÐÐ→∆Si pa cemo dobiti

∮(C)

Ð→F dÐ→r =

n∑i=1

Ð→∇ ×Ð→F (Pi) ⋅ÐÐ→∆Si

odnosnu u limesu kadaÐÐ→∆Si→ 0 dobivamo

Stokesov teorem o rotaciji

∮(C(S))

Ð→F dÐ→r =∫

(S)

Ð→∇ ×Ð→F dÐ→S

gdje je (S) izmjeriva orijentirana ploha a (C(V)) je izmjeriva krivuljakoja zatvara tu plohu pri cemu su orijentacije povezane po pravilu desneruke.

Važnost ovog teorema je, kao i kod divergencije, što povezuje dvije vrsteintegriranja, a što je veoma znacajan u primjeni.

7.2 Kombinacije gradijenta, divergencije irotacije

Ponovimo ukratko.

Gradijent je operacija koja skalarno polje f preslikava u vektorsko polje


Ð→∇ f = ( ∂∂x

,∂

∂y,∂

∂z) f = (∂ f

∂x,∂ f∂y

,∂ f∂z

)

Divergencija je operacija koja vektorsko poljeÐ→F preslikava u vektorsko

polje

Ð→∇ ⋅Ð→F = ( ∂∂x

,∂

∂y,∂

∂z) ⋅(Fx,Fy,Fz) =

∂Fx

∂x+ ∂Fy

∂y+ ∂Fz

∂z

Rotacija je operacija koja vektorsko poljeÐ→F preslikava u vektorsko polje

Ð→∇ ×Ð→F = ( ∂∂x

,∂

∂y,∂

∂z)×(Fx,Fy,Fz) =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Ð→i

Ð→j

Ð→k

∂

∂x∂

∂y∂

∂zFx Fy Fz

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Razne kombinacije ovih operacija pokazuju se znacajnim u fizici i tehnici

zzz Primjer za rot grad da vrijedi opcenito i da se tako uvodi potencijalelektricnog polja

zzz Primjer za div rot da vrijedi opcenito i da se tako uvodi potencijalmagnetskog polja

zzz primjer za div grad uvodenje Laplaciana i njegova veza s valnomjednadžbom

7.3 Maxwellove jednadžbeelektromagnetizma

Mada su velike teorije rezultat rada cijelih generacija ljudi koji su senjima bavili, obicno ih povežemo uz neke najznacajnija imena. Klasicnase mehanika obicno vezuje uz Isaaca Newtona jer joj je on stvorio cvrstetemelje (tri Newtonova zakona zajedno s diferencijalnim i integralnim

7.3. Maxwellove jednadžbe elektromagnetizma 339

racunom za izvodenje posljedica) iz kojih je slijedio njen nagli razvoj.Klasicni elektromagnetizam se obicno veže uz tri covjeka, Michael Fa-radaya 1791 – 1867), James Clerk Maxwella (1831 – 1879) i NikolaTeslu (1856 – 1943). Michael Faraday nije kljucna figura samo zbogtoga što je, zahvaljujuci izrazitom eksperimentalnom talentu, kroz otkricezakona elektromagnetske indukcije pokazao da postoji duboka dinamickapovezanost elektriciteta i magnetizma, nego i zbog svoje duboke intuicije oelektromagnetskom polju koja je sasvim nešto novo u odnosu na dotadašnjiklasicno mehanicki pogled na svijet. U Newtonovoj mehanici cesticedjeluju direktno, na daljinu, jedna na drugu. U elektromagnetizamsu uvedena vektorska polja, elektricno polje

Ð→E i magnetsko polje

Ð→B ,

kao ugodan matematicki aparat za opis elektromagnetskog djelovanja nadaljinu elektricki nabijenih cestica, a da im se pri tom nije pridavao fizikalnismisao. Nasuprot tome, Faraday je smatrao da elektromagnetsko poljeima svoju realnost kao i cestice, da nabijene cestice djeluju lokalno naelektromagnetska polja, da se to djelovanje prenosi poljem i tako utjece nadruge nabijene cestice. Polja je sebi predstavljao silnicama polja, linijamana kojima su vektori polja tangencijalno položeni. Svojstva polja i njegovamedudjelovanja je predstavljao odredenim ponašanjem silnica. Te zamislisu u osnovi bile ispravne i veoma revolucionarne: predvidio je i postojanjeelektromagnetskih valova, kao odredenih deformacija silnica koje se šireprostorom. Medutim, Michael Faraday nije imao matematickih sklonostii vještina, tako da su njegova razmišljanja o elektromagnetskim poljimaostala kvalitativne prirode, i nisu narocito dojmila njegove suvremenike.James Clerk Maxwell je, zahvaljujuci dubokoj fizikalnoj intuiciji i izrazitommatematickom talentu, uspio nadopuniti Faradayeve ideje i pretociti ih ujednadžbe koje opisuju ponašanje elektromagnetskog polja. Te, jednadžbe,tzv Maxwellove jednadžbe, zajedno s tzv Lorentzovim izrazom za elektro-magnetsku silu, tvore osnovne zakone klasicnog elektromagnetizma iz kojihse može izvesti cjelokupno bogatstvo elektromagnetskih pojava. Kruna nje-govog rada je teorijsko predvidanje elektromagnetskih valova i zakljucak daje i svjetlost elektromagnetski val. To je zasigurno najznacajnije dostignucefizike u 19. stoljecu. U ovom cemo odjeljku pokazati kako je Maxwell,koristeci matematiku koju smo u ovoj knjizi razvili, uspio u tome. NikolaTesla je, objedinivši u sebi duboku intuiciju o elektromagnetskom polju iizraziti inžinjerski talent, stvorio temelje korištenja i prijenosa elektricneenergije te prijenosa informacija putem elektromagnetskih valova, kojimaje bitno poboljšana kvaliteta življenja ljudske zajednice.


Maxwell je, u namjeri da matematicki oblikuje Faradayeve ideje, naosnovi dotadašnjeg znanja o elektromagnetizmu formulirao 4 zakona oponašanju elektromagnetskog polja. Ti zakoni govore o elektromagnetskompolju koji je opisan elektricnim i magnetskim vektorskim poljima

Ð→E (P) i

Ð→B (P), i o nabojima koji su opisani skalarnim poljem gustoce naboja ρ(P) ivektorskim poljem gustoce struje

Ð→j (P) naboja:

1. Integral elektricnog polja po zatvorenoj plohi jednak je (do na multi-plikativnu konstantu) naboju unutar te plohe:

∮(S(V))

Ð→E dÐ→S = Q in

ε0(Gaussov zakon za elektricno polje)

gdje je (S(V)) zatvorena ploha orijentirana prema vani, Q in nabojunutar plohe, a ε0 = 8.854Ö10−12Fm−1 tzv dielektricna konstantavakuuma.

2. Integral elektricnog polja po zatvorenoj krivulji jednak je (do napredznak) brzini promjene magnetskog toka kroz plohu koja završavazatvorenom krivuljom:

∮(C(S))

Ð→E dÐ→r =− d

dt ∫(S)

Ð→B dÐ→S (Faradayev zakon indukcije)


gdje je C(S) orijentirana krivulja kojom završava orijentirana ploha(S), pri cemu su orijentacije uskladene po pravilu desne ruke.

3. Integral magnetskog polja po zatvorenoj plohi jednak je nuli

∮(S(V))

Ð→B dÐ→S = 0 (Gaussov zakon za magnetsko polje)

4. Integral magnetskog polja po zatvorenoj krivulji jednak je (do na mul-tiplikativnu konstantu) struji kroz plohu koja završava zatvorenomkrivuljom:

∮(C(S))

Ð→B dÐ→r =µ0I (Ampereov zakon (*))

gdje je C(S) orijentirana krivulja kojom završava orijentirana ploha(S), pri cemu su orijentacije uskladene po pravilu desne ruke, I jestruja koja tece kroz plohu, a µ0 = 1.2566Ö10−6Hm−1 je tzv magnetskapermeabilnost vakuuma.

Vidimo da u ovim formulacijama kljucnu ulogu imaju krivuljni i plošniintegrali. Svaki od ovih zakona ima naziv po covjeku koji je otkrio taj zakonu nekom obliku i u nekom stupnju opcenitosti koji više manje odgovaragore navedenom obliku. Maxwellova zasluga je da ih je sve napisao u


istoj formi (koja izražava Faradayeve zamisli o elektromagnetskom polju)pretpostavio da vrijede opcenito, i pokazao da se svi drugi poznati zakonielektromagnetizma mogu izvesti iz ovih zakona, zakona o sacuvanju nabojai Lorenzovog zakona o sili koju uzrokuju elektricno i magnetsko polje nanaboj q koji se giba brzinom Ð→v :

Ð→F = q(Ð→E +Ð→v ×Ð→B )

Kraj Ampereova zakona je stavljena ”zvjezdica” jer on u ovoj formi nijeopcenito ispravan. Ubrzo cemo vidjeti zašto i kako ga je Maxwell popravio.

Prethodni oblik osnovnih jednadžbi nazivamo globalni ili integralnioblik. Sad cemo ih prevesti u tzv lokalni ili diferencijalni oblik kojinema toliko direktan fizikalan sadržaj, ali je matematicki ugodniji za rad.Taj prijelaz cemo prikazati prvo na primjeru zakona sacuvanja naboja.Direktna formulacija je razumljiva i jednostavan: zbroj naboja Q in unutarzatvorene plohe (S(V)) i naboja Qout van plohe je uvijek isti broj:

Q in+Qout = const

Deriviramo li ovu relaciju po vremenu dobit cemo:

ddt

Q in+ddt

Qout = 0

Naboj unutar plohe možemo izraziti pomocu volumnog integrala gustocenaboja, a promjena naboja van plohe jednaka je kolicini naboja kojaprotekne u jedinici vremena iz plohe prema vani, tj. struji naboja izplohe pa je možemo izraziti integralom gustoce naboja po zatvorenoj plohiorijentiranoj prema vani:

ddt ∫(V)

ρdV + ∮(S(V))

Ð→j dÐ→S = 0

Ovo bismo mogli nazvati integralnim oblikom zakona sacuvanja naboja:koliko se smanji naboj unutar volumena, toliko ga mora izaci van togvolumena. Sad cemo u prvom clanu vremensku derivaciju uvuci pod


integral a drugi clan cemo po teoremu o divergenciji prevesti u volumniintegral:

∫(V)

∂

∂tρdV +∫

(V)

Ð→∇ ⋅Ð→j dV = 0

Sad oba clana možemo staviti pod jedan volumni integral:

∫(V)

( ∂∂tρ+Ð→∇ ⋅Ð→j )dV = 0

To znaci da je podintegralni izraz jednak nuli. Tako smo dobili diferenci-jalni oblik zakona sacuvanja naboja:

Ð→∇ ⋅Ð→j + ∂ρ∂t

= 0

Ovaj oblik zakona sacuvanja naboja nema tako direktan fizikalni smisaoali je matematicki ugodan - to je parcijalna diferencijalna jednadžba kojakaže kako se sve može vremenski mijenjati gustoca naboja (sjetimo se da jeÐ→j = ρÐ→v

Na isti nacin možemo prevesti i cetiri do tad poznata osnovna zakonaelektromagnetizma u diferencijalni oblik:

1. Ð→∇ ⋅Ð→E = 1ε0

∂ρ

∂tGaussov zakon za elektricno polje

2. Ð→∇ ×Ð→E =−∂Ð→B∂t

Faradayev zakon indukcije

3. Ð→∇ ⋅Ð→B = 0 Gaussov zakon za magnetsko polje

4. Ð→∇ ×Ð→B =µ0Ð→j Ampereov zakon (*)

Ovo je sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi cija rješenja su moguca


”gibanja” elektromagnetskog polja. Takoder u tom obliku je jednostavnijeizvoditi teorijske rezultate, u što cemo se sada uvjeriti.

Maxwell je uocio niz problema s ovim jednadžbama. Mi cemo se zadržatina jednom - one su u kontradikciji sa zakonom sacuvanja kolicine naboja!Naime, primjenimo li divergenciju na Ampereov zakon dobit cemo

Ð→∇ ⋅Ð→∇ ×Ð→B =µ0Ð→∇ ⋅Ð→j

Medutim, vidjeli smo da je divergencija rotacije svakog polja jednaka nulipa dobivamo da je Ð→∇ ⋅Ð→j = 0 što je u suprotnosti sa zakonom sacuvanja

naboja Ð→∇ ⋅Ð→j = −∂ρ∂t

. Maxwell je pretpostavio da u Ampereovom zakonu

mora postojati još jedan clan, nazovimo gaÐ→? (imao je i neke druge razloge

za takvu pretpostavku). Primjenimo li sad divergenciju naÐ→∇×Ð→B =µ0Ð→j +Ð→?

dobit cemo da je µ0Ð→∇ ⋅Ð→j +Ð→∇ ⋅Ð→? = 0. Iz zakona sacuvanja naboja slijedi da je

Ð→∇ ⋅Ð→? =µ0∂ρ

∂t. S druge strane derivacija Gaussova zakona za elektricno polje

dajeÐ→∇⋅∂Ð→E∂t

= 1ε0

∂ρ

∂t. Iz toga slijedi da jeÐ→∇⋅Ð→? =µ0ε0

Ð→∇⋅∂Ð→E∂t

. Najjednostavnije

rješenje, koje štoviše unosi simetricnost u sustav jednadžbi je

Ð→? =µ0ε0

∂Ð→E∂t

Maxwell je pretpostavio da je upravo to clan koji nedostaje odnosno da jeispravna forma Ampereova zakona

Ð→∇ ×Ð→B =µ0Ð→j +µ0ε0

∂Ð→E∂t

Taj zakon danas zovemo Ampere - Maxwellov zakon. Ova korekcijasustava jednadžbi, zajedno s Lorenzovim zakonom (zakon sacuvanja koli-cine gibanja sad se može dobiti kao posljedica ovih jednadžbi) daje osnovuklasicnog elektromagnetizma.


Maxwellove jednadžbe u integralnom obliku

1. ∮(S(V))

Ð→E dÐ→S = Q in

ε0Gaussov zakon za elektricno polje

2. ∮(C(S))

Ð→E dÐ→r =− d

dt ∫(S)

Ð→B dÐ→S Faradayev zakon indukcije

3. ∮(S(V))

Ð→B dÐ→S = 0 Gaussov zakon za magnetsko polje

4. ∮(C(S))

Ð→B dÐ→r =µ0I+µ0ε0

ddt ∫(S)

Ð→E dÐ→S Ampere - Maxwellov zakon

Maxwellove jednadžbe u diferencijalnom obliku

1. Ð→∇ ⋅Ð→E = 1ε0

∂ρ

∂tGaussov zakon za elektricno polje

2. Ð→∇ ×Ð→E =−∂Ð→B∂t

Faradayev zakon indukcije

3. Ð→∇ ⋅Ð→B = 0 Gaussov zakon za magnetsko polje

4. Ð→∇ ×Ð→B =µ0Ð→j +µ0ε0

∂Ð→E∂t

Ampere - Maxwellov zakon

U praznom prostoru (prostoru u kojem nema naboja) Maxwellove jed-nadžbe glase:

1. Ð→∇ ⋅Ð→E = 0


2. Ð→∇ ×Ð→E =−∂Ð→B∂t

3. Ð→∇ ⋅Ð→B = 0

4. Ð→∇ ×Ð→B =µ0ε0∂Ð→E∂t

EliminirajmoÐ→B iz ovog sustava tako da zadnju jednadžbu deriviramo po t

Ð→∇ × ∂Ð→B∂t

=µ0ε0∂2Ð→E∂t2

i lijevu stranu zamijenimo pomocu druge jednadžbe na koju smo primijeniliÐ→∇×

−Ð→∇ ×Ð→∇ ×Ð→E =µ0ε0∂2Ð→E∂t2

Sad cemo na lijevu stranu primijeniti vektorski identitet

Ð→∇ ×Ð→∇ ×Ð→F =Ð→∇(Ð→∇ ⋅Ð→F )−Ð→∇2Ð→F

i dobiti

−Ð→∇(Ð→∇ ⋅Ð→E )+Ð→∇2Ð→E =µ0ε0∂2Ð→E∂t2

Prvi clan je jednak nuli jer je po prvoj jednadžbi Ð→∇ ⋅Ð→E = 0. Tako konacnodobivamo

Ð→∇2Ð→E −µ0ε0∂2Ð→E∂t2 = 0

Dobili smo valnu jednadžbu, tj. jednadžbu oblika


Ð→∇2Ð→E − 1v2∂2Ð→E∂t2 = 0

gdje je v = 1√µ0ε0

Analogno se može dobiti i ista valna jednadžba zaÐ→E . To znaci da

postoje elektromagnetski valovi koji se šire brzinom1

√µ0ε0

. Kad izra-

cunamo tu brzinu dobijemo da je to upravo brzina svjetlosti što prirodnonavodi na pretpostavku da je i svjetlost elektromagnetski val. Maxwellje svoj rad objavio 1865. godine, a Heinrinch Hertz je 1886. godineeksperimentalno otkrio elektromagnetske valove. Napomenimo još daostaje pitanje u kojem sustavu je brzina širenja elektromagnetskih valovajednaka brzini svjetlosti, odnosno u kojem inercijalnom sustavu vrijedeMaxwellove jednadžbe. Sam Maxwell, kao i mnogi naucnici poslije njega,je pretpostavio da postoji poseban nosilac elektromagnetskih valova, eter,kao što je npr. zrak nosilac zvuka, i da ove jednadžbe postoje u eteru.Duboko vjerujuci u simetriju prirode, Albert Einstein je odbacio ideju opostojanju etera, prihvativši elektromagnetsko polje kao realnost za sebe,bez ikakvog nositelja. Postulirao je da su Maxwellove jednadžbe kao isvi ostali zakoni fizike isti u svim inercijalnim sustavima, specijalno da jebrzina svjetlosti ista u svim inercijalnim sustavima. To je osnova specijalneteorije relativnosti koja je svjetlo dana ugledala 1905. godine i posvepromijenila naše razumijevanje prostora i vremena.


Indeks

akceleracija, 144algebarska površina, 176antiderivacija, 159

brzinagibanja, 143jednolike promjene, 114jednolikog gibanja, 113prosjecna, 116trenutna, 114, 118, 122

derivacija, 109, 124, 126funkcije, 125, 126funkcije u tocki, 124, 126kompozicije, 138pravila, 134višeg reda, 139

determinanta, 43, 44diferencijal, 150

formulaNewton-Leibnizova, 186

funkcijalinearna, 86

integralneodredeni, 159odredeni, 183pravila, 163

linearna aproksimacija, 148linearno preslikavanje, 86linearnost, 163

matricainverzna, 98kvadratna, 89linearnog preslikavanja, 89množenje matrica, 94pojam matrice, 89tipa m×n, 89

moment sile, 46

odredeni integral, 110

postupak deriviranja, 136pravila

deriviranja, 134integriranja, 163

princip superpozicije, 9

rad sile, 37, 184

skalar, 13

tablicaderivacija, 130integrala, 161

tangenta, 120, 123, 146

vektoriznos i smjer vektora, 5jedinicni vektor, 33jednakost vektora, 4komponenta vektora, 22koordinatavektora, 22mješoviti produkt, 49množenje vektora brojem, 12

349

350

nul-vektor, 4oduzimanje vektora, 10okomitost vektora, 34paralelnost vektora, 15pojam vektora, 3radijus vektor, 19reprezentiranje vektora, 22skalarni produkt vektora, 29suprotni vektor, 9vektorska projekcija, 35vektorski produkt vektora, 39zbrajanje vektora, 7

Vektorski raÄŤun

Documents