UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU MASTER RAD Žordanova normalna forma matrice Mentor: Student: Prof. dr Dragan Đorđević Milica Đorđević br. indeksa: 63 Niš, 2014.
50

# MASTER RAD - pmf.ni.ac.rs · PDF filekompleksni vektorski prostori, i neka je X: 12o preslikavanje. A je linearan operator, ako za svako X,

Feb 06, 2018

## Documents

tranliem
Welcome message from author
Transcript

UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

Žordanova normalna forma matrice

Mentor: Student:

Prof. dr Dragan Đorđević Milica Đorđević

br. indeksa: 63

Niš, 2014.

Uvod ............................................................................................................................................... 3

1. Linearni operatori, matrica linearnog operatora .................................................................. 4

1.1. Invarijantni potprostori i sopstveni vektori .......................................................................... 7

1.2. Teorema Keli-Hamiltona ................................................................................................... 16

1.3. Invertibilni i nilpotentni operatori ...................................................................................... 18

2. Žordanova normalna forma operatora ................................................................................. 25

2.1. Projektori............................................................................................................................ 28

2.2. Dualni prostor X* .............................................................................................................. 30

2.3. Skalarni proizvod i norma vektora ..................................................................................... 31

2.4. Konjugovani operator ........................................................................................................ 33

2.5. Normalni operator .............................................................................................................. 35

3. Unitarni prostori ..................................................................................................................... 38

3.2. Spektralna teorema............................................................................................................. 45

3.3. Spektralna svojstva normalnih operatora ........................................................................... 47

Literatura..................................................................................................................................... 50

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 3

Uvod

Razmatramo osnovni problem teorije linearnih operatora u n-dimenzionalnom vektorskom

prostoru. Pri tome uvek radimo s istim n-dimenzionalnim prostorom, koji označavamo sa X. Svi

operatori koje ovde posmatramo jesu linearni.

Osnovni problemi u teoriji linearnih operatora, kako u konačno dimenzionalnim, tako i u

beskonačno dimenzionalnim prostorima su:

a) naći sve invarijantne potprostore datog operatora;

b) naći nužne i dovoljne uslove da dva operatora budu slična u odnosu na opštu

linearnu grupu odnosno neku njenu podgrupu i

c) naći algoritme (ako postoje) s kojima se problemi a) i b) rešavaju.

Problematika u vezi s invarijantnim potprostorima od osnovne je važnosti za celu teoriju i primenu

linearnih operatora, kao i za teoriju reprezentacija grupa. S obzirom na to teorija invarijantnih

potprostora u n-dimenzionalnom prostoru vrlo je važna, jer se ona ovde može do kraja proučiti, pa

daje putokaz za analogne probleme u beskonačno dimenzionalnim prostorima.

Prema tome problemi a) i b) rešavaju se potpuno u slučaju konačno dimenzionalnog prostora.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 4

1. Linearni operatori, matrica linearnog operatora

Neka je X vektorski prostor nad . Skup B X je (algebarska, Hamelova) baza prostora x, ako

za svako x X postoji jedinstven broj n , jedinostveno određeni vektori 1,....., ne e B i

jedinstveni brojevi 1,..., xnx , tako da je 1

n

i i

i

x x e

. Prostor X je konačno dimenzionalan, ako

je broj elemenata baze konačan. Svake dve baze konačno dimenzionalnog vektorskog prostora X

imaju isti broj elemenata, i taj broj se naziva dimenzija vektorskog prostora, u oznaci dim (X).

Skup svih (realnih ili kompleksnih) neprekidnih funkcija, koje su definisane na segmentu ,a b ,

čine beskonačno dimenzionalni prostor.

Ako je B baza vektorskog prostora X, onda smatramo da je B, uređen skup, odnosno

1,..., .nB e e Ako je 1

n

i i

i

x x e

reprezentacija vektora x u bazi B, tada je uobičajna matrična

oznaka:

1

2

1

T

nB B

n B

x

xx x x

x

.

Očigledno, promena redosleda vektora baze B dovodi do promene matrice B

x kojom je

reprezentovan vektor x. Dakle, korespodencija B

x x iz skupa X u skup 1nx je jednoznačna

samo ako se pretpostaviti uređenost baze B.

Skup n

je n-dimenzionalan realan vektorski prostor, a n je n-dimenzionalan kompleksni

vektorski prostor, pri čemu je sabiranje uređenih n-torki, kao i množenje skalarom, definisano

koordinatno.

Nula vektor se označava sa 0. Vektori 1,...,eke kompleksnog vektorskog prostora X su linearno

nezavisni, ako za sve brojeve 1,..., k važi imlikacija:

1 1 1... 0 0n n ne e .

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 5

Vektori su linearno zavisni, ako nisu linearno nezavisni.

Vektori baze vektorskog prostora su uvek linearno nezavisni. Štaviše, ako je 1,..., enB e baza

vektorskog prostora X, onda ne postoji vektor y X , tako da je iy e za svako 1,...,i n , i

istovremeno da je 1,..., e , yne linearno nezavisan sistem vektora u V.

Neka su 1 2,X X kompleksni vektorski prostori, i neka je 1 2:A X X preslikavanje. A je linearan

operator, ako za svako 1,x y X i svako , važi A x y A x A y .

Jednostavnosti radi, uobičajno je pisati Ax umesto A(x). Skup svih linearnih operatora iz X1 u X2

označava se L (X1 , X2). Specijalno, L (X1) = L (X1 , X1).

Neka su X1 , X2 kompleksni vektorski prostori, pri čemu je dim X1 = n i dim X2 =m. Neka je

1 1,..., enB e baza prostora X1, i neka je 2 1,..., mB f f baza prostora X2. Ako je 1x X , tada je

1

n

j j

j

x x e

i 1 1

1 2

T

nB Bx x x x , za neke

jx . Tada je 2Ax X , te je 1

m

i i

i

Ax y f

. Na osnovu

linearnosti operatora A sledi da je:

1 1 1

m n n

i i j j j j

i j j

y f A x e x Ae

.

Važi 2jAe X , te je ,

1

m

j i j i

i

Ae a f

, pri čemu su ,i ja jedinstveno određeni kompleksni brojevi.

Sledi da važi:

, ,

1 1 1 1 1

m n m m n

i i j i j i i j j i

i j i i j

y f x a f a x f

.

Svaki vektor ima jedinstvenu linearnu reprezentaciju preko vektora baze, odakle sledi:

,

1

,n

i i j j

j

y a x

1,..., ,i m

ili, u matričnom zapisu:

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 6

1,1 1,2 1,n1 1

2,1 2,2 2,n2 2

m,1 m,2 m,nm n

a a ay x

a a ay x

a a ay x

(1.1)

Matrica:

1,1 1,2 1,n

2,1 2,2 2,n

2 1

m,1 m,2 m,n

a a a

a a aB A B

a a a

jeste matrica linearnog operatora A u odnosu na baze B1 i B2. Očigledno, jednakost vektora y=Ax

ima svoj ekvivalenat u matričnom zapisu:

22 1 1

BB B By A x .

Dakle, za date baze B1 i B2, kao i za dati linearni operator 1 2,A L X X postoji jedinstvena

matrica 2 1

B BA tako da za svako 1x X važi reperezentacija (1.1).. Očigledno promena redosleda

vektora baze dovodi do promene matrice linearnog operatora.

Sa druge strane, neka je B proizvoljna kompleksna matrica tipa m x n. Neka je 1

1

,n

j j

j

x x e X

odnosno 1 1

1

T

nB Bx x x . Tada je 1 2

T

mB x y y y y matrica tipa m x 1. Matrica y može

biti shvaćena kao matrica vektora 1

,m

i i

i

y y f

odnosno 2B

y y . Očigledno preslikavanje:

x B X y

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 7

je linearno prelikavanje iz X1 u X2 koje označavamo sa B. Sada je 2 1

B BB B . Dakle, ukoliko su

baze B1, B2 prostora V1, V2 fiksirane, onda svakoj matrici m x n odgovara jedan linearni operator

skupa L (X1, X2).

Ako je 1 2,( )A L XX tada je 1(A) : 0x X Ax jezgro operatora A, dok je

1(A) :Ax x X slika operatora A.

Neka su X1, X2, X3 vektorski prostori sa bazama, redom B1, B2, B3, i neka su 1 2,( )A L XX ,

2 3,( )B L XX . Tada je kompozicija BA takodje linearan operator iz X1 u X3, odnosno

1 3,( )BA XL X Neka su 2 1

B BA i

3 2B B

B odgovarajuće matrice. Neka je 2 1

B ijB m nA a

i

3 2

B ijB k mB b

. Ako je

11

T

n Bx x x , tada je:

3 32 2 1 1 2

11

1 11

1 11

.

m nn

I i j jj j

i jj

B BB B B B B

m nn

k I i j jm j j

i jj

b a xa x

B A x B

b a xa x

Očigledno je .BA B A Takođe je ,A A ako je . Ako je 1 2, ,C D L X X ,

tada je i .C D C D

1.1. Invarijantni potprostori i sopstveni vektori

Neka je X vektorski prostor nad poljem , neka je U potprostor od X, i neka je ( ).A L X

Definicija 1.1.1. Potprostor U je invarijantan za operator A, ako je .A U U Tada potprostor U

redukuje operator A.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 8

Očigledno, 0 i X su invarijantni potprostori od A. Stoga se pod intvarijantnim potprostorom

operatora A uvek podrazumeva pravi potprostor, odnosno potprostor koji je različit od 0 i X.

Definicija 1.1.2. Ako postoje netrivijalni potprostori U i W od X, tako da je X U W

(odnosno,

W je algebarski komplement od U u prostoru X), i ako je ,A U U A W W , tada

dekompozicija X U W

kompletno redukuje A.

Neka je 1, ,...,U nV U W B e e

je baza potprostora U i 1,...,W mB f f je baza potprostora W.

Tada je 1 1,..., , ,...,X n mB e e f f baza prostora X. Neka je ( )A L X sa svojstvom ,A U U i

neka je v v

B ijB n m n mA a

matrica operatora A u bazi BV. Neka je

1 1... ...yX

T

n m Bx x x y

reprezentacija vektora x X u bazi BX. Tada je:

11 1 1, 1, 1 1 1,

,1 1 n, n, 1 1 n,

1,1 1 1, 1, 1 1 1,

,1 1 , , 1 1 ,

.

X X X

X

n n n n m m

n n n n n m m

B B Bn n n n n n n n m m

n m n m n n n m n n m n m m B

a x a x a y a y

a x a x a y a yA x

a x a x a y a y

a x a x a y a y

U W

Pri tome, prvih n koordinata vektora Ax pripada potprostoru U, dok poslednjih m koordinata

vektora Ax pripada potprostoru W. Neka je x U . Tada je 1 0my y , i takođe Ax U . Iz

činjenice da su 1, , xnx proizvoljni kompleksni brojevi, na osnovu reprezentacije operatora A

sledi da je , 0n i ja za svako 1,...,i m i svako 1,...,nj . Drugim rečima, matrica kojom je

reprezentovan operator A u datoj bazi BX, jeste blok-gornje trougaona, odnosno:

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 9

1,1 1,n 1,n 1 1,n m

n,1 , , 1 ,

1, 1 1,

, 1 ,

0 0

0 0

n n n n n n m

X

n n n n m

n m n n m n m

a a a a

a a a aA B

a a

a a

Ako se uvedu očigledne oznake:

1,1 1,n

1

n,1 ,n n

a a

A

a a

1, 1 1,

2

, 1 ,

n n n n m

n m n n m n m

a a

A

a a

1,n 1 1,n m

3

, 1 ,n n n n m

a a

A

a a

onda matrica operatora A u odnosu na bazu BX jeste:

1 3

2

.0

X

A AA B

A

Pri tome je 0 oznaka za nula-matricu odgovarajućeg tipa.

Specijalno, ako pretpostavimo da je ,A U U A W W , onda analognim rasuđivanjem

zaključujemo da je matrica operatora A u odnosu na bazu BX blok-dijagonalna, odnosno:

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 10

1,1 1,n

n,1 ,

1, 1 1,

, 1 ,

0 0

0 0

0 0

0 0

n n

X

n n n n m

n m n n m n m

a a

a aA B

a a

a a

Uz prethodne oznake, sledi da u bazi BX važi:

1

2

0.

0

AA

A

Tvrđenje 1.1.1. Neka je X U W

i ( )A L X , pri čemu je AU U i .AW W Ako je

1 :UA A U U redukcija operatora A na potprostor U, i ako je 2 : WwA A W redukcija

operatora A na potprostor W, tada je 1 2( )A A A

i 1 2( )A A A

.

Dokaz. Očigledno, 1 2A A je potprostor od X. Iz činjenice AU U sledi da je 1A U

. Takođe iz činjenice AW W sledi 2A W . Kako je 0U W sledi

1 2 0A A . Time je dokazano 1 2( )A A A

. Analogno se dokazuje

1 2( )A A A

.

Definicija 1.1.3. Neka je X vektorski prostor i x X . Vektorski potprostor generisan vektorom x

naziva se lineal nad x, u oznaci lin x .

Definicija 1.1.4. Neka je X vektorski prostor i A L X . Vektor 0x je sopstveni vektor

operatora A, ako postoji , tako da je Ax x . Drugim rečima, x je sopstveni vektor operatora

A, ako je lin x invarijantan potprostor od A.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 11

Neka je B baza vektorskog prostora X, A L X i neka je .ijB n n

A a

Neka je x X

sopstveni vektor operatora A i neka je odgovarajuća sopstvena vrednost. Ako je

1 0T

nB Bx x x , tada iz Ax x , sledi da je:

0X X XB B B

A I x . (1.2)

Sistem jednačina (1.2) ima netrivijalno rešenje ako i samo ako je determinanta matrice jednaka

nuli. Drugim rečima za dato postoji ne-nula vektor x X , tako da je Ax x , ako i samo

ako je rešenje jednačine det 0A I .

Sa druge strane, ako je , tada je:

11 12 1

21 22 2

1 2

det

n

n

n n nn

a a a

a a aA I

a a a

(1.3)

1

1 1 0 ,1 ... .n n n

n A Bp p p P

(1.4)

Polinom ,A BP , koji se kraće označava sa AP , ili P , jeste karakteristični polinom

linearnog operatora A u bazi B.

Nije teško videti da je 1 1 ,n

np tr A gde je 11 22 ... nntr A a a a trag matrice B

A .

Definicija 1.1.5. Ako je nula karakterističnog polinoma PA reda 1k k n , tada je k

algebarska višestrukost sopstvene vrednosti operatora A.

Definicija 1.1.6. Skup svih sopstvenih vrednosti operatora A naziva se spektar operatora A u oznaci

A .

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 12

Ako je A , tada je A I uvek potprostor vektorskog prostora X. Jednostavno je

proveriti da x A I ako i samo ako Ax x . Prema tome, A I je skup svih

sopstvenih vektora x koji odgovaraju sopstvenoj vrednosti .

Od interesa je proceniti karakteristični polinom linearnog operatora pri promeni baze vektorskog

prostora. Neka su 1 1,..., enB e i 2 1,..., mB f f baze vektorskog prostora X, i neka su 1B

A i

2B

A matrice operatora A L X u ovim bazama, redom. Tada je 1

1,...,n

i ij j

j

f p e i n

razlaganje svakog vektora fi preko vektora baze B1. Na prirodan način dolazimo do nove matrice

.ij n nP p

. Vektori 1,..., mf f su linearno nezavisni odakle sledi da su vertikale matrice P linearno

nezavisne, odnosno det 0P .

Neka je x X proizvoljan vektor. Tada je:

' ' '

.

1 1 1 1 1 1i i i

n n n n n n

j j i ij j ij j

j i i j j i

x x e x f p x e p x e

Sledi da je '

1i

n

j ij

i

x p x

za svako 1,...,j n .U matričnom zapisu to znači 1 2

T

B Bx P x . Matrica

P je invertibilna, odnosno 2 1

1T

B Bx P x

.

Neka je sada Ax y . Tada je, u odnosu na bazu Bi, ispunjeno i i iB B B

A x y za i= 1, 2. Sledi

da važi:

1 1 1 2 2 2 2 1

1T T T T

B B B B B B B BA x y P y P A x P A P x

,

odakle proizilazi 1 2

1T T

B BA P A P

, odnosno 1 2

1T T

B BP A P A

.

MatricaTQ P jeste matrica "prelaza" sa baze B1 na bazu B2. Dakle,

2 1

1

B BA Q A Q .

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 13

Definicija 1.1.7. Operatori , BA L X su slični ako postoji invertabilan operator C L X ,

tako da je 1.A CBC

Tvrđenje 1.1.2. Karakterističan polinom pA operatora A L X ne zavisi od izbora baze prostora

X.

Definicija 1.1.8. (a) Broj geom dim A I je geometrijska višestrukost sopstvene

vrednosti A .

(b) Ako je A nula karakterističnog polinoma PA reda k, onda je broj alg k algebarska

višestrukost sopstvene vrednosti .

Tvrđenje 1.1.3. Pretpostavimo da važi: A L X , dekompozicija 1 2X X X

kompletno

redukuje operator , : ( 1,2)i

i i iXA A A X X i je redukcija operatora A na potprostor iX . Tada

je 1 2A A AP P P .

Dokaz. Neka je iB baza potprostora , 1,2.iX i Tada je 1 2,B B B baza prostora X.

Karakteristični polinom ne zavisi od izbora baze. Koristeći činjenicu da je matrica operatora A u

bazi B blok-dijagonalna, sledi da za , važi:

1 2

11 1

1

1,k 1 1,

, 1

det

0 0

0 0

0 0

A nB

k

k kk

k k n

n k nn

A A

P A I

a a

a a

a a

a a

P P

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 14

Teorema 1.1.4. Ako je A L X i A , onda je alggeom .

Dokaz. Neka je A i neka je 1 1,..., ekB e baza potprostora A I . Postoje vektori

1,...,k ne e , tako da je 1,..., enB e baza prostora X. Potprostor A I je invarijantan za A,

pri čemu je A IA I

. Stoga je matrična forma operatora A data sa:

,0

k

B

I XA

Y

pri čemu je Ik jedinična matrica dimenzije k, dok su X, Y neke matrice odgovarajućih dimenzija.

Sada je karakterističan polinom operatora A jednak:

0

det det

det .

k

A

n k

k n k

k

n k

I XP

Y I

I Y I

Y I

Sledi da je alg .k geom

Tvrđenje 1.1.5. Matrica operatora A L X je dijagonalna ako i samo ako je baza sastavljena od

sopstvenih vektora.

Dokaz. Pretpostavimo da je 1,..., enB e i da je svaki ie sopstveni vektor operatora A. Tada

postoje brojevi 1,..., n tako da je , 1,...,i i iAe e i n . Neka je 1

n

i i

i

x x e X

1

n

i i

i

y Ax x

, ili u matričnom zapisu:

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 15

1 11

2 22

n

0 0

0 0

0 0n n

y x

y x

y x

Dakle,

1

2

n

0 0

0 0

0 0

BA

.

Obrnuto, pretpostavimo da je 1,..., enB e i da je

1

2

n

0 0

0 0

0 0

B

a

aA

a

.

1 2det ,n nBA I a a a

odakle sledi da je 1,..., nA a a .

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 16

1.2. Teorema Keli-Hamiltona

Ako je 1

1 1 0

n n

n nQ q q q q

, proizvoljan polinom, i ako je A L X , tada se na

prirodan način definiše 1

1 1 0

n n

n nQ A q A q A q A q I

, i analogno za odgovarajuću

matricu A .

Teorema 1.2.1. (Keli-Hamilton). Ako je X n-dimenzionalni vektorski prostor nad i :A X X

linearan operator, onda je A nula svog karakterističnog polinoma, tj. važi jednakost

1 2

1 2 1 0.n n n

n nA A A A I

(1.2.1)

Dokaz. Neka je B e adjungovana matrica matrice I e A e . Elementi matrice B e su

kofaktori elemenata matrice I e A e . To su, dakle, polinomi (n-1)- og stepena u . Zato je

1 2

0 1 2 1.n n

n nB e B B B B

gde su B0, B1,...,Bn-1 neke konstantne matrice. Sa Bj označimo linearan operator sa svojstvom da

je:

j jB e B 0,1,..., 1j n

Kako je:

detB e I e A e I A I e

važi operatorska jednakost

1 2

0 1 2 1

1

1 1

n n

n n

n n

n n

B B B B I A

I

(1.2.2)

za svako . Upoređivanjem koeficijenata uz k nalazimo:

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 17

0

0 1 1

1 2 2

2 1 1

1 .

n n n

n n

B I

B A B I

B A B I

B A B I

B A I

(1.2.3)

Ako pomnožimo prvu jednačinu u (1.2.3) sa An, drugu sa -An-1, treću sa -An-2,..., poslednju sa -

A0=-I i saberemo dobijene rezultate, dobićemo (1.2.1), što je i trebalo dokazati.

Za kvadratnu matricu A n-tog reda det I A je polinom n-tog reda i naziva se karakterističan

polinom matrice A, a jednačina:

det 0I A

je karakteristična ili sekundarna jednačina matrice A.

Iz teoreme 1.2.1 sledi da je matrica A nula svog karakterističnog polinoma. Zatim, za adjungovanu

matricu matrice I A važi relacija (1.2.3).

Ako znamo koeficijente karakterističnog polinoma nP operatora A, tada iz (1.2.3) dobijamo:

0

2

1 1 2 1 2

1

1 1

1

1 1

, ,...,

,...,

0

k k

k k k

n n

n n n

B I

B A I B A A I

B A A A I

B A A A I

(1.2.4)

operator

1 2

1 2 1.n n

n nB I B B B

(1.2.5)

kojeg zovemo adjungovanim operatorom od I A . Ako je I A regularan operator, onda je

prema (1.2.2) rezolventa data se:

1

det n

B BR I A

I A P

(1.2.6)

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 18

Prema tome poznavanje koeficijenata 1 2, ,..., n omogućava nalažanje rezolvente

1

R I A

za sve za koje taj operator postoji. Pored toga u slučaju da je A regularno

11 det 0

n

n A

iz (1.2.1) nakon množenja sa A-1, nalazimo:

1 1 2

1 2 1 1,n n

n n n nA A A A I B

(1.2.7)

što omogućava nalaženje inveznog operatora

1 1n

n

BA

.

1.3. Invertibilni i nilpotentni operatori

Jedna od bitnih razlika između operatora i brojeva sastoji se u tome da proizvod dva od nule

različita operatora može biti jednak nuli, dok je kod brojeva uvek proizvod dva od nule različita

broja različit od nule. Specijalno može neki stepen operatora biti nula, a da taj operator nije nula.

0 1

0 0

jednak nula matrici. Prema tome od interesa je da se najpre prouče operatori A za koje 0pA za

neki prirodan broj p. Operatori ovog tipa nose u sebi neka svojstva koja ne poseduju brojevi, a

tipična su za operatore. Kasnije ćemo pokazati da operatori tog tipa zapravo u sebi nose sva

svojstva koja operatore razlikuju od brojeva.

Operator A L X zovemo nilpotentnim indeksa p, gde je p prirodni broj, ako je 0pA i

1 00pA A I .

Iz 1 0pA sledi postojanje bar jednog vektora 0e takvog da je

1 0pA e .

1 2, ,..., ,p pA e A e Ae e (1.3.1)

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 19

različiti od nule i štaviše oni su linearno nezavisni. Tvrdimo, dakle, da iz

1

0 1 1 0p

pe Ae A e

(1.3.2)

sledi 0 1 1 0p . Da to dokažemo, na (1.3.2) primenimo operator 1pA . Nalazimo

1

0 0pA e . Odavde je 0 0 . Sada na (1.3.2) primenjujemo 2pA , pa dobijamo 1

1 0pA e , iz

čega je 1 0 itd.

Vektori niza (1.3.1) razapinju p-dimenzionalni potprostor Y od X. Prema tome p<n. Odavde

vidimo da indeks nilpotentnog operatora nije veći od dimenzije prostora u kome taj operator deluje.

Potprostor Y je invarijantan sobzirom na i proizvoljno y Y ima oblik

1

1 ,p

py e e Q e

gde je

1

1

p

pQ

polinom najviše (p-1). stepena.

Rang linearnog operatora 1 2,A L X X definisan je kao rang matrice A , a označava se sa rank

A . Poznato je da rang operatora ne zavisi od izbora baza u prostorima 1X i 2X . Takođe je rank

dim .A A

Determinanta operatora A L X jednaka je upravo det A , i determinanta ne zavisi od izbora

baze u X. Ako je ,A B L X , onda je det det detAB A B . Operator 1 2,A L X X je

invertibilan, ako postoji 1 2,B L X X tako da je 2VAB I i

1VBA I . Operator A je singularan,

ako nije invertibilan. Ako su 1 1 2, XA L X i 2 2 3,A L X X invertibilni operatori, tada je

2 1 1 3,A A L X X takođe invertibilan operator, što sledi na osnovu jednostavne provere

1 1 1

2 1 1 2A A A A . Jednostavno je proveriti da je linearan operator A L X

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 20

invertibilan ako i samo ako je matrica A invertibilna (još jednom izbor baze X nije važan). Skup

svih invertibilnih operatora iz 1 2,L X X označava se sa 1 2, XG X . Specijalno,

,G X G X X .

Tvrđenje 1.3.1. Skup G X je (nekomutativna) multiplikativna grupa.

Tvrđenje 1.3.2. Neka je A L X . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalenta:

a) A je invertibilan;

b) A je preslikavanje "1-1";

c) A je preslikavanje "na";

d) rank dim ;A V

e) 0 .A

Tvrđenje 1.3.3. Ako je A L X nilpotentan operator, tada je 0A .

Nadalje smatramo da je A L X i dimn X . Razmotrimo sledeće očigledne lance:

2

2

2

0 ,

,

dim rank rank ,

A A

V A A

n V A A

Dokazujemo nekoliko tvđenja u vezi sa prethodnim lancima.

Tvrđenje 1.3.4. kA je invarijantan potprostor za A, pri čemu je k proizvoljan.

Dokaz. Neka je kx A . Tada postoji ,y X tako da je kx A y . Tada je

1 .k k kAx A y A Ay A

Definicija 1.3.1. Najmanji prirodan broj p za koji je 1rank rankp pA A jeste indeks operatora

A i označava se sa ind A .

Sada dokazujemo važnu teoremu o dekompoziciji linearnog operatora.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 21

Teorema 1.3.1. Neka je A L X i neka je indp A . Tada važi ( )p pX A A

,

prethodna dekompozicija kompletno redukuje operator A, redukcija

1 : ( ) :p p pA A A A je invertibilan operator, dok redukcija

2 :p

p p

AA A A A

jeste nilpotentan operator, i 2 indn A A .

Dokaz. Dokazaćemo da je ( ) 0p pA A . Pretpostavimo da je ( )p px A A . Tada

postoji ,y X sa svojstvom pA y x , kao i 0pA x . Sledi da je

2 0pA y , odnosno

2( )p py A A . Stoga je 0px A y .

Potprostori ( )pA i pA su invarijantni za A. Ako je 1 : ( ) :p p pA A A A zbog

1rank rankP pA A sledi da je 1A invertibilan. Ako je ( )px A , tada je 2 0p pA x A x , te

je 2A nilpotentan operator. Očigledno, 2 indn A A .

Neka je x X . Tada je 1 1

p p pA x A A A , te postoji neko py A tako da je

1

p p pA x A y A y . Očigledno je , px y x y y A i ( )px y A . Stoga je

( )p pX A A

.

Ova teorema omogućava tradicionalni zapis operatora A kao 1 2A A A

, i ova dekompozicija se

naziva invertibilno-nilpotentna dekompozicija operatora A.

Neposredna posledica prethodne teoreme jeste blok-dijagonalna forma matrice operatora A , koja

se takođe naziva invertibilno-nilpotentna dekompozicija matrice A .

Posledica 1.3.1. Neka je A L X i indp A . Neka je 1 1,..., ekB e baza potprostora pA ,

i neka je 2 1,..., ek nB e baza potprostora ( )pA . Tada je matrica operatora A u bazi

1 2,B B B blok-dijagonalna i ima formu:

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 22

1

2

0.

0B

AA

A

pri čemu je 1rank , pk A A je invertibilna, a 2A je nilpotentna matrica.

Definicija 1.3.2. Neka je 1 2A A A

invertibilno-nilpotentna dekompozicija operatora A. Tada je

1

1 0DA A

Drejzinov inverz operatora A.

Neka je

1

2

1

2

0

0

B

B

B

AA

A

invertibilno-nilpotentna dekompozicija matrice B

A . Tada je Drejzinov inverz od B

A definisan

kao

1

1

1 0.

0 0

D B

B

AA

Operator A je invertibilan ako i samo ako je ind 0A . Na osnovu jedinstvenosti običnog i

Drejzinovog inverza operatora, sledi da je u ovom slučaju 1 DA A .

, , D D D D D DA AA A AA A A AA A A .

Lako je proveriti da u ovom slučaju multiplikativna polugrupa u L X , koja je generisana skupom

, DA A , jeste u stvari komutativna grupa, sa neutralnim elementom DAA . Stoga se u ovom

specijalnom slučaju Drejzinov inverz naziva i grupni inverz operatora A, a u upotrebi je oznaka

A# umesto DA .

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 23

Definicija 1.3.3. Neka su 1,..., ka a X ne-nula vektori. Tada je 1,..., ka a a nula-niz operatora

A L X , ako je

1 2 2 3 1 , , , , 0.k k kAa a Aa a Aa a Aa

Vektor 1a je prvi, a vektor

ka je poslednji član nula-niza a .

Definicija 1.3.4. Baza B vektorskog prostora X je prirodna baza nula-nizova operatora A L X

, ako postoje nula-nizovi 1,..., iB B operatora A sa svojstvom 1,..., iB B B .

Neka je 1 2lin B , B , , , ,i ik k

i i iX A g A g Ag g

. Ako je 1 i

ki

T

k iB

x x x X i ako je

1 iki

T

i kB

y A x y y , tada je

1 2

1 2 1

1 2 2

2 2 1

i i

i i

i i

i i

k k

k k

k k

k k

y A g y A g y Ag y g

x A g x A g x A g x Ag

odnosno:

1 1

2 2

3 3

1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0i i

i ik ki i

k k

k kB B

y x

y x

y x

y x

y x

Prema tome, matrica operatora iA u bazi ikB jeste.

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

= (0)

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

kiki

ki

i BB

B

A J

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 24

i ova matrica se naziva elementarna Žordanova matrica koja odgovara nilpotentnom operatoru.

Sada je očigledno da matrica nilpotentnog operatora A u prirodnoj bazi nula-nizova koji njemu

odgovaraju, jeste

1

2

(0) 0 0 0 0

0 (0) 0 0 0

0 0 0 (0) 0

0 0 0 0 0

i

k

k

B

k

J

J

A

J

pri čemu se mogu javiti sledeći slučajevi : (1) Po glavnoj dijagonali postoji samo elementarna

nula-Žordanova matrica, odnosno ne postoje matrice (0)ikJ za 1,..., .i l Ovo je moguće samo u

slučaju kada je A=0. (2) Postoji bar jedna matrica (0)ikJ . To je moguće samo ako je 0A .

Tada je dimenzija najveće matrice (0)ikJ jednaka .n A

Posledica 1.3.2. Ako je A L X nilpotentan operator, tada je njegov karakteristični polinom

1n n

AP , gde je dimn X .

Teorema 1.3.2. Neka je A L X singularan operator, ind A p , i neka je

21

21 ln m mm

A lp karakteristični polinom operatora A. Tada je

1dim ( )pA m .

Dokaz. Pod uslovima ove teoreme važi ( )p pX A A

, ova dekompozicija kompletno

redukuje 1, :p

p p

AA A A A A je invertibilan operator, i

2 :p

p p

AA A A A je nilpotentan operator, pri čemu je 2( )n A p . Na osnovu

tvrdjenja 1.1.3 važi 1 2A A AP P P . Ako je 1 dim pn A , tada je 1 1

21

n n

AP . Ako

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 25

bi bilo 1 1n m , onda bi polinom 1AP imao faktor 1 1m n

, gde je 1 1 0m n . Međutim poslednja

situacija je nemoguća, jer je 1A invertibilan operator. Sledi da je 1 1.n m

Posledica 1.3.3. (a) Operator A L X je nilpotentan ako i samo ako je 1n n

AP , pri

čemu je dimn X . (b) Operator A L X je nilpotentan, ako i samo ako je 0 .A

2. Žordanova normalna forma operatora

Neka je A L X . Ako postoji baza B prostora X i , tako da je

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

BA

tada je B prirodna baza operatora A, a odgovarajuća matrica jeste elementarna Žordanova matrica

operatora A. Ako je A nilpotentan operator, tada za A postoji prirodna baza, sastavljena od nula-

nizova operatora A.

Teorema 2.1. (Žordanova teorema). Ako je A L X , tada postoji prirodna baza B prostora X,

i postoje kompleksni brojevi 1,..., s

, sa svojstvom

1

2

1

2

0 0

0 0

0 0s

k

k

B

k s

J

JA

J

pri čemu su lk lJ elementarne Žordanove matrice.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 26

Dokaz. Neka je

1 2

1 21 ln m m m

A lp

karakteristični polinom operatora A, pri čemu su 1,..., l

sve različite sopstvene vrednosti

operatora A. Posmatramo operator 1 1B A I , koji je singularan. Na osnovu teoreme o

preslikavanju spektra polinomom, 1 1 : ,B S te je karakteristični polinom

operatora B1 dat sa

21

1 2 1 11 ln m mm

B lP

Na osnovu ranijeg rezultata '

1 1X X X

, pri čemu prethodna dekompozicija kompletno redukuje

B1, redukcija operatora 1B na 1X je nilpotentan operator i redukcija operatora

1B na '

1X je

invertibilan operator. Pri tome je 11

1 1 1 1 1dim ,ppm X X N B N A I i

1 1 1ind indp A I B . Nije teško utvrditi da prethodna dekompozicija kompletno redukuje

i operator A. Za operator 1B postoji prirodna baza 1C u potprostoru 1X , tako da je

1

1

1

1 1

,1

,2

1

,t 1

0 0 0

0 0 0.

0 0

m

m

C

m

J

JB

J

1

1

1

1 1

,1 1

,2 1

1

,t 1

0 0

0 0.

0 0

m

m

C

m

J

JA X

J

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 27

Ako je 1A redukcija operatora A na 1X , i ako je 2A redukcija operatora A na '

1 1

1 11 ,m m

AP

1 2

2 21 ,ln m m m

A lP

1 2 1 2 i .A A A A A Sada nastavimo postupak za operator 2A na prostoru

'

1X , na isti način kao što smo uradili za operator A na prostoru X. Ovaj postupak se završava u

konačno mnogo koraka i time dokazujemo tvrđenje.

Teorema 2.2. Neka je A L X i dim X n . Postoji baza prostora X koja je sastavljena od

sopstvenih vektora operatora A, ako i samo ako za svako A važi rank A I n m pri

čemu je algm .

Dokaz. : Neka postoji baza B prostora X, koja je sastavljena od sopstvenih vektora operatoraA.

Tada je matrica operatora A u toj bazi dijagonalna, odnosno:

1

2

n

0 0

0 0

0 0

BA

pri čemu su na dijagonali sopstvene vrednosti operatora A. Očigledno je za :

1

2

n

0 0

0 0.

0 0

BA I

Važi:

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 28

1 .A nP

Neka je 1 1algm . Tada je 11 2 m i 1 j za svako 1j m . Sledi da dijagonalna

matrica 1 BA I ima na prvih m dijagonalnih mesta broj 0, a na preostalih n - m dijagonalnih

mesta brojeve različite od 0. Dakle, rank 1A I n m .

: Posmatramo Žordanovu normalnu formu operatora A. Neka je

1

11n m ml

A lP karakteristični polinom operatora A. Neka je 1X potprostor

koji je konstruisan u vezi 1 . Tada je 1 1dim X m . Ako je rank 1 1A I n m , tada sopstvenoj

vrednosti 1 odgovara 1m sopstvenih vektora, svi oni pripadaju prostoru 1X . Postupak se nastavlja

za potprostore koji odgovaraju ostalim sopstvenim vrednostima.

2.1. Projektori

Neka je X vektorski prostor nad i neka je P L X . Operator P je projektor (indempotent,

projekcija), ako je 2P P . Ako je P projektor, onda je I - P takođe projektor.

Tvrđenje 2.1.1. Ako je P L X projektor, tada je 0,1 ,P pri čemu je 0 jedini projektor

čiji je spektar 0 , i I jedini projektor čiji je spektar 1 .

Tvrđenje 2.1.2. Postoji dekompozicija 1 2X X X

, ako i samo ako postoji projektor P L X

, tako da je 1( )P X i

2( )P X .

Ako je P projekcija sa X na potprostor X1, pri čemu je 2( )P X , onda je u upotrebi naziv "P je

projekcija na X1 paralelno sa X2". U tom slučaju dekompozicija ( ) ( )X P P

kompletno

redukuje P, ( )P

P I i ( )

0P

P .

Dva projektora ,QP L X su uzajamno singularna, ako je 0PQ QP . U tom slučaju je

oznaka P Q .

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 29

Ako su P,Q projektori, tada njihov zbir, razlika ili proizvod nisu obavezno projektori.

Teorema 2.1.1. Neka su P, Q projektori. Tada je P+Q projektor, ako i samo ako je P Q . U tom

slučaju ( ) ( ) ( ) i ( ) ( ) ( )P Q P Q P Q P Q

.

Teorema 2.1.2. Neka su P, Q projektori. Ako je PQ=QP, tada je PQ projektor, pri čemu je

( ) ( ) ( ) i ( ) ( ) ( ).PQ P Q PQ P Q

Dokaz. Ako je PQ=QP, tada je 2 2 2PQ P Q PQ . Takođe je

( ) ( ) i ( ) ( ) ( ),PQ P PQ QP Q odnosno ( ) ( ) ( ).PQ P Q Sa druge strane, neka

je ( ) ( ),x P Q odnosno x Py Qz za neke ,y z X . Tada je

PQx PQQz PQz Px PPy Py x , odnosno ( ).x PQ

Važi ( )P QP PQ , kao i Q PQ , odakle sledi .P Q PQ

Sa druge strane, ako je x y z , pri čemu je y P i ,z Q tada je

0,PQx PQ y z QPy PQz odakle sledi ,x PQ odnosno .P Q PQ

Ako je P projektor, tada je očigledno ispunjeno ( )P I P I , kao i P I P . Ova situacija

se može generalisati na više operatora.

Definicija 2.1.1. Neka su 1,..., kP P projektori koji su međusobno komutativni i uzajamno

singularni, odnosno za svako i j važi 0i j j iPP P P . Ako je

1 ,kP P I

onda ova suma predstavlja rezoluciju jedinice.

Neka je A L X i neka je 1 ,kP P I rezolucija jedinice. Ako postoji 1,..., k tako da

je

1 1 ... k kA P P ,

tada prethodna jednakost predstavlja spektralnu rezoluciju operatora A.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 30

2.2. Dualni prostor X*

Neka je X vektorski prostor nad (ili ). Linearno preslikavanje f : X → (ili ) jeste linearan

funkcional. Skup svih linearnih funkcionala na X je vektorski prostor (nad istim poljem), i

označava se sa X*. X* je vektorski prostor nad istim poljem kao i X , u odnosu na uobičajeno

sabiranje i množenje skalarom. Dakle, * ,X L X . Prostor X* je dualni prostor prostora X .

Ako je * i 0f X f , tada je f , odnosno f je surjekcija. Na osnovu

dim dim dim X nf f , sledi da je dim 1f n ako je 0.f

Neka je 1,..., nB e e baza vektorskog prostora X. Definišimo : if B na sledeći način:

1, ,

0, .i j ij

i jf e

i j Ako je

1

,n

j j

j

x e onda neka je .i if x

Neka je *f X . Ako je x X proizvoljan, onda je 1

,n

j j

j

x e odakle sledi 1

.n

j j

j

f x f e

Prema prethodnom, .j jf x Neka je , i j j jf e očigledno ne zavise od x. Tada je

1 .n

j j jf x f x Kako je x X proizvoljno, sledi da je 1

,n

j j

j

f f odnosno

1* ,..., nB f f je baza prostora X*.

Sledi da je dim * dimX X . Baza B* je dualna baza bazi B.

Analogno se definiše dualni prostor * * **X X prostora X*. Dakle, ** *,X L X . Na

osnovu prethodnog, važi dim dim * dim **.n X X X

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 31

2.3. Skalarni proizvod i norma vektora

Definicija 2.3.1. Neka je X kompleksan (realan) vektorski prostor. Funkcija : s X X

je skalarni proizvod u X, ako zadovoljava sledeće uslove:

a) , 0s x x za svako x X

b) , 0s x x ako i samo ako je 0x

c) , y ,s x s y x za svako ,x y X

d) , , ,s x y z s x z s y z za svako , ,x y z X i svako , .

Oznaka za ,s x y biće ,x y , a u literaturi se sreće i ,x y .

Primer 2.3.1. U vektorskom prostoru n skalarni proizvod je definisan kao 1

, yn

j j

j

x x y , ako

je 1 1,..., , ,..., y .n nx x x y y

Ako je X vektorski prostor sa skalarnim proizvodom, onda je X unitaran prostor.

Definicija 2.3.2. Neka je X kompleksan (realan) vektorski prostor. Funkcija : X je

norma u X, ako su ispunjeni uslovi

a) 0x za svako x X ;

b) 0x ako i samo ako je 0x ;

c) x x za svako , i svako x X ;

d) x y x y za svako ,x y X (nejednakost trougla).

Definicija 2.3.3. Neka su X1 i X2 normirani prostori i neka je 1 2,A L L L . Tada je norma

operatora definisana kao

0,1

sup .x S

A Ax

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 32

Stav 2.3.1. Neka je X euklidski prostor nad . Tada je L X takođe euklidski nad sa skalarnim

proizvodom tr *, ,A B AB A B L X . Norma 1/2

2A A A sa zove standardna euklidska

norma na L X .

Tvrđenje 2.3.1. Neka je X vektorski prostor sa skalarnim proizvodom , , i odgovarajućom

normom . Tada funkcija , ,d x y x y za svako ,x y X , ima sledeća svojstva:

a) , 0d x y za svako ,x y X ;

b) , 0d x y ako i samo ako je x y , za svako ,x y X ;

c) , ,d x y d y x za svako ,x y X ;

d) , , ,d x y d x z d z y , za svako , ,x y z X (nejednakost trougla).

Drugim rečima, d je metrika u vektorskom prostoru X. Veličina ,d x y je rastojanje između

vektora x i y.

Primer 2.3.2. U prostoru n Ekluidova norma vektora x definisana je kao

1/2

2

1

.n

j

j

x x

Ekluidovo rastojanje u istom prostoru n definisano je kao

1/2

2

1

, .n

j j

j

d x y x y x y

Nadalje je X unitaran vektorski prostor sa odgovarajućim skalarnim proizvodom i normom.

Vektori ,x y X su uzajamno ortogonalni, u oznaci ,x y ako je , 0x y .

Definicija 2.3.4. Sistem vektora 1,..., ne e je ortogonalan, ako je , 0i je e za svako i j , kao

i , 0i ie e .

Prethodni sistem je ortonormiran, ako je ortogonalan, i ako je 1ie za svako 1,..., .i k

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 33

Definicija 2.3.5. Ako je 1,..., nB e e baza unitarnog prostora X, pri čemu je 1,..., ne e

ortogonalan (ortonormiran) sistem vektora, tada je B ortogonalna (ortonormirana) baza prostora

X.

Uzajamnu ortogonalnost dva vektora jednostavno je produžiti na uzajamnu ortogonalnost

skupova. Ako je M X , onda je

{ :M y X y x za svako }x M .

Takođe je M M

.

2.4. Konjugovani operator

Neka je X unitaran prostor, x X i : Xf preslikavanje definisano kao ,f y y x za

svako y X . Tada je f X , odnosno f je linearan funkcional na X. Risova teorema o

reprezentaciji tvrdi da je svaki linearan funkcional na X reprezentovan preko skalarnog proizvoda.

Teorema 2.4.1. Neka je X unitaran prostor. Tada f X ako i samo ako postoji jedinstven vektor

x X tako da za svako y X važi ,f y y x .

Teorema 2.4.2. Neka su ,X W unitarni prostori i ,A L X W . Postoji jedinstven operator

,B L X W , tako da za svako x X i y X važi , ,Ax y x By . Operator B se označava

sa A i naziva se (Hilbert) konjugovani operator od A.

Dokaz. Neka je y W . Definišimo preslikavanje :yT X na sledeći način: ,yT x Ax y

za svako x X . Tada je yT X . Na osnovu Risove teoreme o reprezentaciji funkcionala, sledi

da postoji jedinstven vektor v X , tako da za svako x X važi ,yT x x v , odnosno za svako

x X važi , ,x v Ax y . Neka je :B W X definisan kao By x . Prema prethodnom

razmatranju, B je dobro definisano preslikavanje. Za preslikavanje B očigledno važi

, ,Ax y x By za svako x X i svako y W . Dokazujemo jedinstvenost. Pretpostavimo da

postoji operator ,C W X tako da za svako x X i svako y W važi , ,Ax y x Cy . Tada

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 34

za svako x X i svako y W važi , ,x By x Cy , odnosno , 0x B C y . Sledi da je

B C .

Dokazujemo linearnost operatora B. Neka je , ,x X y z W i , . Tada je

, ,x B y z Ax y z

, ,Ax y Ax z

,x By Bz .

Prethodni identitet važi za svako x X , te sledi da je B y z By Bz za svako

,y z W i svako , . Dakle, B je linearan operator.

Korisno je napisati identitet koji zadovoljavaju operatori ,A L X W i ,A L X W :

, ,Ax y x A y , za svako x X i svako y W .

Definicija 2.4.1. Neka je X euklidski prostor nad i A L X . Operator A* se zove

adjungovani operator od A, a preslikavanje *A A se zove involacija na L X .

Tvrđenje 2.4.1. Neka su X, W unitarni prostori, ,A B L X , , ,C D L X W i . Tada

važi:

a) C D C D ;

b) C C ;

c) C C ;

d) AB B A ;

e) I I , 0 0 ;

f) ako je C invertibilan, onda je C invertibilan i važi

11C C

.

Neka je 1,..., nB e e ortonormirana baza prostora X i neka je 1,..., mC f f ortonormirana

baza prostora W. Ako je ,A L X W i ako je C ijB m nA a

odgovarajuća matrica operatora

B ji C BC n mA a A

.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 35

2.5. Normalni operator

Definicija 2.5.1. Operator A L X je:

a) normalan, ako je * * ;AA A A

b) samokonjugovan (Ermitski). ako je *;A A

c) unitaran, ako je * * .AA A A I

Označimo sa , , i ,N X H X U X redom, skup svih normalnih, samokonjugovanih i

unitarnih operatora iz L X . Tada je , .H X U X N X

Teorema 2.5.1. Neka je ( )A N X .

Ako je Ax x za neko i neko x X , tada je A x x .

Ako je Ax x i Ay y , pri čemu je , , 0x y , tada je x y . Specijalno,

N A I N B I .

Dokaz. (a) Neka je Ax x . Tada je

0 , ,

, , ,

A I x A I x A I A I x x

A I A I x x A I x I x

odakle sledi A x x .

(b) Važi

, , , , , ,x y x y Ax y x A y x y x y .

Kako je , mora biti x y .

Teorema 2.5.2. Neka je ( )A L X . Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

a) ( )A H X ;

b) ,Ax x za svako x X ;

Dokaz. (a) (b): Neka je ( )A H X i x X . Tada je

, , , ,x Ax Ax x x A x x Ax ,

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 36

odakle sledi ,Ax x .

(b) (a): Neka je ,Ax x za svako x X . Tada za svako x X važi

, , , ,x Ax Ax x x A x ,

te je , 0x A A x . Sledi da je A A .

Definicija 2.5.2. Operator 1

Re( )2

A A A se naziva realni deo operatora A, dok je

1

Im( )2

A A Ai

imaginarni deo operatora A.

Naravno, Re ImA A i A .

Definicija 2.5.3. Neka je ( )A H X . Operator A je pozitivan, ako je , 0Ax x za svako .x X

Ako je ( )A L X , tada je AA pozitivan operator.

Ako su , ( )X Y L X proizvoljniji operatori, operator ,X Y XY YX se naziva komutator

operatora X i Y.

Definicija 2.5.4. Operator ( )A L X je izometrija, ako je Ax x za svako x X .

Definicija 2.5.5. Operator ( )A L X je parcijalna izometrija, ako je Ax x za svako

( )x N A .

Svaka izometrija je i parcijalna izometrija.

Teorema 2.5.3. Neka je ( , )A L X W . Sledeći uslovi su ekvivalentni:

a) A je parcijalna izometrija;

b) A je parcijalna izometrija;

c) AA je ortogonalan projektor;

d) A A je ortogonalan projektor;

e) AA A A ;

f) A AA A .

Stav 2.5.1. Neka je X vektorski prostor nad . Tada je (*  * ** )X X kanonski izomorfizam.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 37

Dokaz. Za x X definišemo * *x X sa x f f x , *f X . Lako je proveriti da je

x x izomorfizam između X i X**. Kako ovaj izomorfizam ne zavisi od baze, zovemo ga

kanonski izomorfizam i pišemo x x .

Stav 2.5.2. Neka je , X normirani prostor. Tada je formulom

01* sup ( ) sup ( ) / , *xx

f ff Xxx f x

definisana norma * na X*, i zovemo je dualna norma. Za nju važi

( ) *f x x f i ** * * x

Dokaz. Pišemo , * * *,X X i ovaj normirani prostor zovemo dualni prostor od

, X . Budući da je ( ) / , , 0, ** f x x Xf x x f X , dobijemo traženu

nejednakost. Ona je uprošćenje Koši-Švarcove nejednakosti. Primećujemo da je *f jednak

infimumu svih α ≥ 0 za koje važi ( ) , f x x x X . Na sličan način je x jednaka infimumu

svih β ≥ 0 za koje važi ( ) , *f x f f X . Iz ovih svojstava sledi ** Specijalno

važi nejednakost * .f yf x f y x

Stav 2.5.3. Neka je , X normirani prostor. Tada je formulom

01sup sup / , xx

A A Ax x x L XA

data norma na L(X) i zovemo je inducirana norma na L(X). Za svaki x X i A L X važi

.Ax A x

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 38

Definicija 2.5.6. Neka je X algebra nad i norma na X. Kažemo da je , X normirana

algebra ako važi:

1) , , xy x y x y X

2) 1,e ako X ima jedinicu e

Teorema 2.5.4. Neka je , . .X euklidski prostor. Tada je formulom

01sup sup /xx

A Ax Ax x

data norma na L(X), i zovemo je spektralna norma na L(X). Ovde je 1/2

, x x x x X norma

na X generisana skalarnim proizvodom.

3. Unitarni prostori

Definicija 3.1. Neka je , . .X unitaran nad i 1,..., kx x X . Tada se matrica

1,..., k i j kG x x x x gl zove Gramova matrica od 1,..., kx x , a njena determinanta

1 1,..., det ,...,k kx x G x x se zove Gramova determinanta od 1,..., kx x .

Teorema 3.1. (Gram-Šmit) Neka je X unitaran i 1,..., nx x X . Tada su

1,..., nx x linearno nezavisni

ako i samo ako je 1,..., 0nx x .

Dokaz. Neka je 1 1 0n nx x . Ako ovo pomnožimo skalarno zdesna sa

kx dobijamo

1 1 0, 1,...,k n n kx x x x k n što se može zapisati u obliku

1,..., 0, n

nG x x , pa zaključujemo da su 1,..., nx x nezavisni ako i samo ako

1,..., 0nx x .

Sada primenjujemo takozvani Gram-Šmitov postupak ortogonalizacije iz kojeg specijalno sledi

naša tvrdnja. Neka su 1,..., nx x X linearno nezavisni. Definišimo

1,..., ny y X induktivno sa:

1 1y x ,

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 39

1 1 1

1 1

,...,

, 2

k

k

k k k k

G x x x

y k

x x x x x

pri čemu se ova determinanta razvija po zadnjoj koloni. Dakle, važi

1 1 1 1 1 1,...,k k k k ky x x x x x , za neke skalare i

. Budući da je

1,..., 0, 1,...,kx x k n , zaključujemo da je 1 1 , 1,...,k kx x k n .

Sdruge strane je

1 1 1

1 1

,...,

, 1,...,

k p

k p

k k k k p

G x x x x

y x p n

x x x x x x

pa dobijamo 0, k py x p k , i 1,...,k k ky x x x što znači da su vektori 1,..., ny y

ortogonalni. Nadalje 1 1 1 1 1,..., ,..., ,...,k k k k k k ky y x x x y x x x x . Za 1k je

1 1 1 0.x x x Za 2k je 2 2 1 1 2, 0y y x x x pa je 1 2, 0.x x Sada iteracijom

sledi 1,..., 0.nx x

Teorema 3.2. Neka je X unitaran prostor. Tada važi:

1) Ako su 1,..., nx x X linearno nezavisni, onda postoje ortonormirani vektori

1,...,ene X

takvi da je 1 1k kx x e e za svaki 1,...,k n .

2) Prostor X ima ortonormiranu bazu.

3) 2

x y x x y y (Koši-Švarcova nejednakost).

Dokaz. (1) Neka su 1,..., ny y vektori dobijeni iz

1,..., nx x Gram-Šmitovim postupkom

ortogonalizacije kao u prethodnoj teoremi i /k k ke y y , 1,...,k n . Tada su 1,...,ene

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 40

ortonormirani i imaju traženo svojstvo. Tvrdnja (2) sledi iz (1), dok je (3) drugi zapis nejednakosti

, 0.x y Ova nejednakost je specijalni slučaj Helderove nejednakosti.

Teorema 3.3. (O reprezentaciji funkcionala)

Neka je , . .X euklidski nad i *f X . Tada postoji jedinstven a X takav da je

, f x x a x X .

Nadalje f a i preslikavanje : * , J X X Jf a , je linearni operator za i

antilinearni operator za .

Dokaz. Dokažimo prvo jedinstvenost od a. Ako je f x x a i , f x x b x X , onda je

0x a b za svaki x X pa za x a b dobijamo 0a b tj. a b . Dokažimo sada

egzistenciju od a. Neka 1,..., ene e ortonormirana baza od X. Tada za 1 1 n nx x e x e X

imamo 1 1 n nf x x f e x f e X , pa definišemo a X sa 1 1 n na f e e f e e .

Sada je 1 1 n nx a x f e x f e f x .

sup supx x

f f x x a a . Poslednje tvrđenje je evidentno zbog

1 1 n nJf a f e e f e e .

Koristeći ovu teoremu identifikujemo X* i X to jest smatramo *X X . Na taj način je : J X X

linearan za i antilinearan za .

Teorema 3.4. Neka je X unitaran prostor i A L X . Tada važi:

1) Ako je A unitaran onda je 1A .

2) Ako je A projektor i 0A , onda je 1A

3) Ako je A parcijalna izometrija i 0A onda je 1A . Nadalje ako je

* i *P A A Q AA , onda su P i Q projektori. Projektor P se zove inicijalni projektor od

A, a Q finalni projektor od A i važi .A AP QA

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 41

Dokaz. (1) 2

* 1.A A A I (2) 2 2*A A A A A , pa je 1A . (3) P i Q su

ermitski i 2* * *P A A A AA A P i slično 2Q Q . Sada po (2) imamo

2* 1.A A A P

Teorema 3.5. Neka je X unitaran prostor i A L X normalan operator. Tada važi:

1) r A A

2) , 1kkA A k

Dokaz. (1) Operator A je normalan ako i samo ako * , A x Ax x X , pa imamo

2 * , A x A Ax x X . Ako sada uzmemo maksimum po sferi 1x dobijamo

22 *A A A A , pa iteracijom sledi 22 ,

kk

A A k , iz čega dobijamo

22lim .

kk

kr A A A

(2) Ako je A normalan, onda je kA normalan za svaki k, pa je .k kk kA r A r A A

Teorema 3.6. Neka je X unitaran prostor i A L X normalan operator. Tada važi:

1) Ako je A onda je , A I

2) Ako je 0,1A onda je A projektor.

Dokaz. (1) 0 0 0 .A A I r A I A I A I

(2) Budući da je *A A dobijamo * 0,1A to jest *A A i 2 0A A pa

imamo 2 0A A to jest 2A A .

Definicija 3.2. Neka je X unitaran prostor i norma na L X . Kažemo da je norma

unitarno (odnosno ortogonalno) invarijantna ako za svaki unitarni (odnosno ortogonalni)

U L X važi , UA AU A A L X .

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 42

Definicija 3.3. Neka su 1

, . .X i 2

, . .Y unitarni prostori nad .

1) Kažemo da je ,A L X Y unitaran, ako važi 2 1

,Ax Ay x y za svaki , .x y X

2) Kažemo da su 1

, . .X i 2

, . .Y izomorfni ako postoji ,A L X Y koji je unitaran i

bijekcija.

Stav 3.1. Neka su 1

, . .X i 2

, . .Y unitarni prostori nad .Tada su oni izomorfni ako i samo

ako dim dimX Y .

Dokaz. Neka je 1dim dim , ,..., nX Y e e e ortonormirana baza u X, i 1,..., unu u

ortonormirana baza u Y. Ako je x X i 1 1 n nx x e x e , onda definišemo : ,A X Y sa

1 1 n nAx x u x u .Tada je A linearan i regularan i važi 2 1

, , .i iAx Ay x y x y x y X

Obrat je trivijalan.

Teorema 3.7. Neka je X unitaran prostor i ( )A L X . Tada važi:

1) 1

max ( | )x y

A Ax y

2) Ako je A A onda je 1

max ( | )x

A Ax x

3) 2

A A A (C - svojstvo spektralne norme).

Dokaz. (1) 1 1 1

max | (Ax | y) | max maxx y x y x

Ax y Ax

što je jednako A i

1 1 1max max | (Ax | Ax/ ) | max | (Ax | y) |

x x y x yA Ax Ax

. (2) Neka je

1( ) max | (Ax | x) |

xw A

2

0( ) max | (Ax | x) | /xw A x što daje 2

| (Ax | x) | (A)w x ,

pa slično kao u (1) imamo ( )w A A . Dokažimo obratnu nejednakost. Važi identitet

4 Re( | ) ( (x y) | x y) (A(x y) | x )Ax y A y iz koje sledi 4 Re( | )Ax y

2 2

A x y A x y što je jednako 2 2

2 ( )( )w A x y pa za 1x y dobijamo

Re( | ) ( )Ax y w A . Neka je takav da je ( | ) ( | ) .iAx y e Ax y Tada je

( | ) | | Re | | ( )i iAx y e Ax y e Ax y w A pa je 1

max ( | ) ( )x y

A Ax y w A

(3) Budući da je A A ermitski imamo

2 2

1 1 1max max ( | ) max ( | )

x x xA Ax Ax Ax A Ax x A A

.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 43

Definicija 3.1.1. Neka je X vektorski prostor nad i A L X . Tada se broj maxA

r A

zove se spektralni radijus od A.

Stav 3.1.1. Spektralni radijus ima sledeća svojstva:

1. , , r A r A A L X

2. , ,r AB r BA A B L X

3. 1 , , ,det 0r TAT A A T L X T

4. , , kkr A r A A L X k

5. 1r I

6. 0r A , ako i samo ako je A nilpotentan

7. Ako je det 0A , onda je 0r A . Obrat ne važi.

8. er A r A , za svaku bazu e u X

9. Ako je A P N Žordanova dekompozicija onda je r A r P

10. Ako je A poluprost, onda je 0r A ako i samo ako 0.A

Neka je , X normirani prostor nad i A L X . Tada važi formula spektralnog radijusa

1/

klim

kkr A A .

Dokaz. Ako je k

kA z a stepeni red s operatorskim koeficijentima onda se broj R definisan

sa 1/

1/ lim supk

k

kR A zove radijus konvergencije ovog stepenog reda. Stepeni red konvergira

unutar diska ;z z a R . Kako su ove norme na X ekvivalentne, ovaj R ne zavisi od norme.

Razvoj rezolvente 1

AR z zI A oko je dat sa 1

1 k

A kR z A

z i ovaj red konvergira

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 44

izvan diska ;z z r A , pa je njegov radijus konvergencije jednak r A . S druge strane,

radijus konvergencije ovog reda je dat sa 1/ 1/

lim sup limk k

k k

k kR A A , pa dobijamo formulu

Stav 3.1.2. Neka je A L X . Tada na X postoji norma takva da je A stroga kontrakcija ako

i samo ako 0, k .kA

Dokaz. o1 Neka je norma na X takva da je A stroga kontrakcija. Tada je 1A pa je

0kkA A , tj. 0.kA o2 Neka je 0.kA Definišimo normu na x sa

0

k

kx A x , gde je 1

bilo koja norma na X. Tada je

1 0 , 0k k

k kAx A x A x x x , pa je 1.A

Teorema 3.1.2. Sledeća tvrđenja su ekvivalentna:

1. A je stroga kontakcija u nekoj normi na X

2. 0kA

3. 1r A .

Dokaz. 1 2 : po prethodnom stavu. 1 3 : sledi iz 1A . 3 2 : ako je 1r A i

A onda iz Ax x sledi 0,k kA x x za svaki svojstveni vektor x od A, iz čega sledi

0kA .

Teorema 3.1.3. (1) Sve izometrije od , X , čine grupu. (2) Sve kontrakcije od , X čine

polugrupu.

Definicija 3.1.2. Neka je norma na L(X)

1. Kažemo da čuva množenje ako važi .AB A B

2. Kažemo da čuva jedinicu ako važi 1I .

3. Kažemo da je operatorska norma na L(X) ako ona čuva množenje i jedinicu, tj. ako

je , L X Banahova algebra.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 45

Stav 3.1.3.

1. Ako čuva množenje onda je 1.I

2. Ako čuva množenje onda je , r A A A L X

3. Inducirana norma je operatorska.

4. Spektralna norma je operatorska.

Dokaz.

1. Stavimo A B I u relaciji .AB A B

2. 1/1/

lim lim .kk kk

k kr A A A A

3.2. Spektralna teorema

Teorema 3.2.1. Neka je X unitaran prostor, ( )A L X normalan operator i 0X X invarijantan

na A i A . Tada je 0 0|A A X normalan operator.

Dokaz. 0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A A AA A A A A .

Lema 3.2.1. Neka je X unitaran prostor nad i ( )A L X normalan operator. Ako je Ax x

onda je A x x , , x X .

Dokaz. Neka je B A I . Tada je B normalan pa je B y By , y X . Sada za y=x

dobijemo Bx=0 pa je 0B x tj. A x x .

Teorema 3.2.2. Neka je X unitaran prostor nad i ( )A L X normalan operator. Tada postoji

ortonormirana baza e u X takva da je eA dijagonalna matrica.

Definicija 3.2.1. Neka je X unitaran prostor nad i , ( )A B L X . Kažemo da su A i B unitarno

(odnosno ortogonalno) ekvivalentni ako postoji unitaran (odnosno ortogonalan) operator

( )U L X takav da je B U AU . Analogno se definiše unitarna (odnosno ortogonalna) matrica.

Teorema 3.2.3. Neka je X unitaran prostor nad i ( )A L X normalan operator. Tada važi:

1) A je ermitski ako i samo ako je ( )A .

2) A je unitaran ako i samo ako je ( ) ; 1A z z .

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 46

3) A je antiermitski ako i samo ako je ( )A i .

Dokaz.. Neka je e ortonormirana baza u X takva da je eA dijagonalna matrica.

1) ie e i iA A A A , 1,...,i n .

2) 1 1ie e i iAA I A A I , 1,...,i n .

3) ie e i iA A A A i , 1,...,i n .

Teorema 3.2.4. (Spektralna teorema) Neka je X unitaran prostor nad i ( )A L X normalan

operator. Tada postoje jedinstveni projektori P , ( )A , koji su polinomi od A, takvi da je

1) 0P P ,

2) A P , A P

3) ( ) ( )f A f P

, f F A

4) ( ) max ( )f A f

Formulu A P zovemo spektralna dekompozicija operatora A.

Teorema 3.2.5. Neka je X unitaran prostor nad i ( )A L X normalan. Tada su svojstveni

podprostori od A ortogonalni.

Dokaz. Neka je X P X svojstveni podprostor od A pridružen . Tada je X X , ,

zbog 0P P , .

Lema 3.2.2. Neka je X unitaran prostor nad i ( )A L X . Tada A ima invarijantni podprostor

0X takav da je 0dim 1X ili 2.

Dokaz. Neka je ( )A . Tada je svojstvena vrednost od cA pa postoji

cz X , 0z ,

takav da je cA z z . Ako je

1 2i i z x iy onda je

1 2 1 2 2 1( )( ) ( )cA z i x iy x y i x y , tj. 1 2Ax x y ,

2 1Ay x y . Dakle,

podprostor 0X x y ima traženo svojstvo.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 47

Teorema 3.2.6. Neka je X unitaran prostor nad i ( )A L X normalan operator. Ako je 0X

invarijantni podprostor od A i 0dim 2X onda u

0X postoji ortonormirana baza 1 2, ee u kojoj

operator 0 0|A A X ima matricu

cos sin( , )

sin cosM r r

, 0r , 0, 2

Dokaz. Neka je 0X x y kao u dokazu prethodne leme i

1 2Ax x y , 2 1Ay x y ,

z x iy , 1 2i . Budući da je cA z z dobijamo

1 2( )( )cA z A x iA y i x iy pa

je 1 2A x x y ,

2 1A y x y . Nadalje, ako je onda je ( | ) 0x iy x iy tj.

( | ) (y | y)x x i ( | ) 0x y pa definišemo 1 /e x x , 2 /e y y , ire . Tada je

1 2( , )e e

ortonormirana baza u 0X i

1 1 2cos sinAe r e r e , 2 1 2sin cos eAe r e r .

Teorema 3.2.7. Neka je X unitaran prostor nad i ( )A L X simetričan operator. Tada za A

važi spektralna teorema.

3.3. Spektralna svojstva normalnih operatora

Definicija 3.3.1. Familija projektora 1,..., mP P je ortogonalna dekompozicija jedinice, ako je

a) 0k kP P za svako k;

b) 0i jPP za i j ;

c) 1

m

kkI P

.

Ako je ,k k , 1

m

k k

k

A P

i 1

m

k k

k

B P

n

k k k

k

AB BA P

. Takođe je

1

m

k k

k

A P

, te je AA A A , odnosno A je normalan operator. A je ermitski operator ako i

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 48

samo ako je k za svako k. Operator A je antiermitski, ako i samo ako je k k , odnosno

ako i samo ako su svi brojevi k čisto imaginarni. Na kraju, A je unitaran operator ako i samo ako

je 1k k za svako k.

Dakle,

1

n

k k

k

A P

je ortogonalna spektralna dekompozicija operatora A.

Tvrđenje 3.3.1. U skladu sa prethodnim oznakama, 1( ) ,..., mA i ( )k kV P V su

odgovarajući sopstveni potprostori od A.

Dokaz. Neka je kx V . Tada je

1

m

j j k k

j

Ax P P x x

,

odakle sledi 1,..., ( )m A .

Obrnuto, neka je ( )A i Ax x , 0x . Tada je 1 1

n m

k k k

k k

P x P x

, odnosno

1

( ) 0m

k k

k

P x

2 2

1 1 1

0 ( ) , ( )m m m

k k k k k k

k k k

P x P x P x

,

odakle sledi 2 2

0k kP x za svako k. Iz 0x sledi 0kP x za neko k, te je k . Dakle,

1( ) ,..., mA .

Posledica 3.3.1. Ako je A normirani operator na X, onda postoji ortonormirana baza B prostora X,

tako da je B

A dijagonalna matrica.

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 49

Posledica 3.3.2. Ako je A normalna matrica, onda postoji unitarna matrica U , tako da je

*U A U dijagonalna matrica.

Posledica 3.3.3. Spektar ermitskog operatora je podskup od .

Definicija 3.3.2. Operatori ,A B L X su unitarno ekvivalentni, ako postoji unitaran operator U,

tako da je * .A U BU

Teorema 3.3.1. Normalni operatori ,A B L X su unitarno ekvivalentni, ako i samo ako je

A BP P .

Dokaz. Ako je ' * ,A U BU pri čemu je U unitaran operator, onda je det detA I B I

, te je A BP P .

Obrnuto, neka je A BP P . Neka su

1,..., m različite sopstvene vrednosti operatora A, pri čemu

su odgovarajuće algebarske višestrukosti jednake 1,..., mk k . Neka je 1 1,..., enB e ortonormirana

baza u X, tako da je 1B

A dijagonalna matrica: ova matrica po dijagonali ima vrednost itačno na

ik mesta 1,...,i m . Neka je 2 1,..., enB e ortonormirana baza u kojoj 2B

B jeste dijagonalna

matrica. Lako je preurediti ove baze, tako da je 1 1B B

A B . Neka je :U X X linearan operator

definisan kao k kUe f . Operator U je unitaran jer povezuje dve ortonormirane baze. Takođe,

* k k k kU BUe e Ae za svako k, te je * .A U BU

Posledica 3.3.4. Ako je A L X normalan operator i A , tada je alg geom .

Žordanova normalna forma matrice

Milica Đorđević 50

Literatura

[1] D. Đorđević, Konačno-dimenzionalni vektorski prostori, skripta.

[2] Lj. Dedić, Vektorski prostori, skripta 2009.

[3] S. Kurepa, Konačno-dimenzionalni vektorski prostori i primene, Tehnička

knjiga, Zagreb 1967.

[4] S. Roman, Advanced linear algebra, Springer, 2005.

Related Documents
##### 1 · Web viewPredstavljanje crteža u računaru Postoje dva...
Category: Documents
##### NIZOVI · 2020. 5. 6. · 1 NIZOVI Bilo koje preslikavanje....
Category: Documents
##### Sinhrone ma sine Vektorski dijagrami, karakteristike i...
Category: Documents
##### Projektovanje Baze Podataka · PRESLIKAVANJE ER MODELA U...
Category: Documents
##### Preslikavanje ravnina
Category: Documents
##### EUKLIDSKI PROSTORI - bib.irb.hr · PDF fileAko je iz...
Category: Documents
##### vektorski skripta2007 8 - web.math.pmf.unizg.hr
Category: Documents
##### PRESLIKAVANJE TEKSTURE STABLOM …...Preslikavanje teksture....
Category: Documents
##### 6. Vektorski Model Podataka
Category: Documents
##### ALGEBARSKA ISPITIVANJA NEKIH KVANTNIH...
Category: Documents
##### Osnovne de nicije i rezultati iz Uvoda u linearnu...
Category: Documents
##### vektorski prostori zapiski 01 - studentski.net
Category: Documents