VEKTORSKA ANALIZA 1. dio 5. listopada 2016. Odjel za fiziku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek
VEKTORSKA ANALIZA1. dio
5. listopada 2016.
Odjel za fiziku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek
1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije
algebra = područje matematike (teorija brojeva + geometrija + analiza)bavi se matematičkim simbolima i pravilima koja ih povezuju
vektor = (najopćenitije) element vektorskog prostora(u geometriji, fizici i inženjerstvu) euklidski vektor – geometrijski objekt koji ima iznos, smjer i orijentaciju: usmjerena dužina
a = a |a|= a
1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije
(I) zbrajanje (i oduzimanje) vektora
1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije
(II) množenje vektora skalarom
1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije
(III) skalarni umnožak dvaju vektora
A⋅B = AB cos θ
(III) skalarni umnožak dvaju vektora
1.1 Vektorska algebra1.1.1 Vektorske operacije
(IV) vektorski umnožak dvaju vektora
A×B = n AB sinθ
1.1 Vektorska algebra1.1.2 Komponente vektora
a = a x+a y+az = i ax+ j a y+ k az
1.1 Vektorska algebra1.1.2 Komponente vektora
i⋅i = j⋅ j = k⋅k = 1
i⋅ j = i⋅k = j⋅k = 0
i× i = j× j = k×k = 0
i× j = k
j×k = i
k× i = j
ZADATAK 1.3 (Griffiths ItE 4th)
1.1 Vektorska algebra1.1.2 Komponente vektora
A×B =| i j kAx A y A z
Bx B y B z|
Sarrusovo praviloSarrusovo pravilo
ZADATAK 1.4 (Griffiths ItE 4th)
1.1 Vektorska algebra1.1.3 Trostruki umnožak
A⋅(B×C )= |Ax A y A z
Bx B y Bz
C x C y C z|
A×(B×C )= B(A⋅C)−C (A⋅B)
ZADATAK 1.5 (Griffiths ItE 4th)
infinitezimalni pomak
1.1 Vektorska algebra1.1.4 Vektor položaja, pomak i separacijski vektor
r = x i+ y j+ z k
r =rr
=x i + y j+z k
√ x2+ y2
+z 2
d l = dx i+dy j+dz k
1.1 Vektorska algebra1.1.4 Vektor položaja, pomak i separacijski vektor
r = x i+ y j+ z k
r ' = x ' i+ y ' j+z ' k
r e = r−r '
izvor
polje
r e =r−r '|r−r '|
=(x−x ') i+( y− y ' ) j+( z−z ') k
√(x−x ')2+( y− y ' )2
+( z−z ')2
ZADATAK 1.7 (Griffiths ItE 4th)
1.2 Diferencijalni račun1.2.1 “Obična” derivacija
Derivacija je nagib u odnosu na .
df = ( dfdx )dxdfdx
f x
je funkcija jedne varijable, .f f (x)
1.2 Diferencijalni račun1.2.2 Gradijent
dT = (∂T∂ x )dx+(∂T
∂ y )dy+(∂T∂ z )dz
je funkcija triju varijabli, .T T (x , y , z )
Teorem o parcijalnim derivacijama daje
Što podsjeća na rezultat skalarnog množenja
dT = ( i ∂T∂ x
+ j∂T∂ y
+ k∂T∂ z )⋅( i dx+ j dy+ k dz)
1.2 Diferencijalni račun1.2.2 Gradijent
dT = ( i ∂T∂ x
+ j∂T∂ y
+ k∂T∂ z )⋅( i dx+ j dy+ k dz)
dT = ∇ T⋅d l
∇ T = grad T = ( i ∂T∂ x
+ j∂T∂ y
+ k∂T∂ z )
Gradijent pokazuje u smjeru najvećeg porasta funkcije . ∇ T T
Iznos je nagib uzduž tog smjera.|∇ T| ZADATAK 1.11 (Griffiths ItE 4th)
1.2 Diferencijalni račun1.2.3 Nabla
∇ = i ∂∂ x
+ j ∂∂ y
+ k ∂∂ z
Nabla je vektorski operator koji djeluje na funkciju.Tri su načina na koje nabla može djelovati:
(1) na skalarnu funkciju
(2) na vektorsku funkciju skalarno
(2) na vektorsku funkciju vektorski
∇ T = grad T
∇⋅v = div v
∇×v = rot v
1.2 Diferencijalni račun1.2.4 Divergencija
∇⋅v = ( i ∂∂ x
+ j ∂∂ y
+ k ∂∂ z )⋅( i v x+ j v y+k v z)
∇⋅v = div v =∂ v x
∂ x+
∂ v y
∂ y+
∂ v z
∂ zDivergencija je skalar. Opisuje koliko se vektorsko polje rasprostire.
izvorponor
ZADATAK 1.15 (Griffiths ItE 4th)
1.2 Diferencijalni račun1.2.4 Rotacija
∇×v = rot v =|i j k∂∂ x
∂∂ y
∂∂ z
vx v y v z|
Rotacija je vektor. Opisuje koliko se vektorsko polje kovrča.
∇×v = 0∇×v ≠ 0
ZADATAK 1.18 (Griffiths ItE 4th)