Algebra liniowa - piotr.rejmenciak.pracownik.put.poznan.plpiotr.rejmenciak.pracownik.put.poznan.pl/pliki/w_macierze.pdfAlgebra liniowa Literatura W.Krysicki, L.Włodarski, Analiza

Algebra liniowa

Algebra liniowa

Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 1 / 24

Algebra liniowa Literatura

W.Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematycznaw zadaniach cz1., PWN, Warszawa 1998r.T.Jurlewicz, Z.Skoczylas, Algebra liniowa 1, GIS,Wrocław 2005r.


Algebra liniowa Macierz

Definicja 1Macierzą wymiaru m× n o współczynnikachrzeczywistych (zespolonych) nazywamy funkcję, którakażdej parze (i, j) liczb naturalnych(i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, ..., n) przyporządkowuje liczbęrzeczywistą (zespoloną). Mamy:

[ai,j]m×n : {1, 2, ...,m} × {1, 2, ..., n} → R.



Definicja 1Macierzą wymiaru m× n . . .

A = Am×n = [ai,j]m×n =

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n... ... ...am,1 am,2 . . . am,n

.



Definicja 2Macierz Am×n nazywamy1 kwadratową, jeżeli m=n,2

3

4

5

6

7



Definicja 2Macierz kwadratową An×n nazywamy1

2 diagonalną (przekątniową), jeżeli ai,j = 0 dla i 6= j,3

4

5

6

7




2

3 górnotrójkątną, jeżeli ai,j = 0 dla i > j,4

5

6

7




2

3

4 dolnotrójkątną, jeżeli ai,j = 0 dla i < j,5

6

7




2

3

4

5 jednostkową, jeżeli jest diagonalną oraz ai,i = 1 dlai = 1, 2, . . . , n, ozn. In = I,

6

7




2

3

4

5

6 zerową, jeżeli ai,j = 0, dla wszystkichi, j = 1, 2, . . . , n, ozn. On = O.

7




2

3

4

5

6

7 macierzą stopnia n.



Definicja 3Niech A = Am×n = [ai,j]m×n będzie macierzą wymiarum× n, macierzą transponowaną do A, nazywamymacierz AT = ATn×m = [aj,i]n×m.



Definicja 4Niech A = [ai,j]m×n i B = [bi,j]m×n będą macierzamitego samego wymiaru m× n. Sumą macierzy A+Bnazywamy taką macierz C = [ci,j]m×n, że

ci,j = ai,j + bi,j,

dla i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.


Algebra liniowa Iloczyn macierzy

Definicja 5Iloczynem c ·A macierzy A = [ai,j]m×n przez skalarc ∈ R nazywamy macierz [c · ai,j]m×n



Definicja 6Niech Am×n, i Bn×p będą macierzami. Iloczynemmacierzy A ·B nazywamy macierz Cm×p = [ci,j]m×ptaką, że

ci,j =n∑k=1ai,k · bk,j,

dla i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , p.



Definicja 7

Niech A będzie macierzą kwadratową. Macierz A−1

spełniającą warunki

A ·A−1 = A−1 ·A = I

nazywamy macierzą odwrotną do A.



Definicja 8Operacją elementarną na wierszach (kolumnach)macierzy nazywamy:1 przestawienie dowolnych dwóch wierszy (kolumn),2 pomnożenie wiersza (kolumny) przez stałą różną odzera,

3 dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny)do innego wiersza (kolumny).



Definicja 9Niech An×n. Minorem Mi,j macierzy A nazywamywyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przezskreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Definicja 10Dopełnieniem algebraicznym Ai,j elementu ai,j macierzyA nazywamy liczbę Ai,j = (−1)i+j ·Mi,j.


Algebra liniowa Wyznacznik macierzy

Definicja 11 (Wyznacznika)1 Jeżeli A = [a]1×1, to wyznacznikiem macierzy Ajest liczba a i

detA = a lub |A| = a.

2



Definicja 11 (Wyznacznika)1

2 Jeżeli

An×n =

a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n... ... ...an,1 an,2 . . . an,n

, n > 1,

todetA =

n∑k=1a1,k · A1,k,

gdzie A1,k jest dopełnieniem algebraicznymelementu a1,k macierzy A.Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 12 / 24


Twierdzenie 1 (Laplace’a)Niech An×n będzie macierzą. Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:rozwinięcie Laplace’a według i-tego wiersza

detA =n∑k=1ai,kAi,k,

rozwinięcie Laplace’a według j-tej kolumny

detA =n∑k=1ak,jAk,j.



Twierdzenie 2 (Własności wyznacznika)1 Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmieniaznak jej wyznacznika.

2 Jeżeli dowolny wiersz (kolumnę) podzielimy przezliczbę a to wyznacznik tak powstałej macierzybędzie a razy mniejszy od wyznacznika macierzypierwotnej.

3 Wartość wyznacznika nie zmieni się, jeżeli dodowolnego wiersza (kolumny) dodamy dowolnąwielokrotność innego wiersze (kolumny).

4

5



Twierdzenie 2 (Własności wyznacznika)1

2

3

4 Wyznacznik macierzy diagonalnej (górno- lubdolnotrójkątnej) jest iloczynem elementówprzekątnej.

5 Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożonyz samych zer lub dwa wiersze (kolumny) sąproporcionalne, to detA = 0.



Twierdzenie 3 (Cauchy’ego)Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tegosamego stopnia

det(A ·B) = detA · detB.



Definicja 12Macierz A nazywamy nieosobliwą gdy detA 6= 0.



Macierz odwrotna cd.

A−1 =1detA

A1,1 A1,2 . . . A1,nA2,1 A2,2 . . . A2,n

. . .An,1 An,2 . . . An,n

T


Algebra liniowa Rząd macierzy

Definicja 13 (Rzędu macierzy 1)Rząd macierzy jest to największy możliwy wymiarniezerowego minora danej macierzy.


Algebra liniowa Rząd macierzy

Definicja 13 (Rząd macierzy 2)Jeżeli macierz A doprowadzimy przy pomocy operacjielementarnych na wierszach lub kolumnach do takiejpostaci, że ai,j = 0 dla i 6= j natomiast ai,i będą równe 1lub 0 wówczas rząd macierzy jest równy sumieotrzymanych jedynek.


Algebra liniowa Układy równań liniowych

Definicja 14Niech n ∈ N. Równanie postaci

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b

nazywamy równaniem liniowym o n niewiadomychx1, x2, . . . , xn. Ciąg n liczb (s1, s2, . . . , sn) rozwiązaniemtego równania, jeśli

a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b.



Definicja 15Układem m-równań o n-niewiadomych nazywamy układ

a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1,a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2,

. . . . . .

am,1x1 + am,2x2 + · · ·+ am,nxn = bm.

(1)

Ciąg n liczb (s1, s2, . . . , sn) nazywa się rozwiązaniemukładu, jeśli jest rozwiązaniem każdego równania tegoukładu. Układ, który nie ma rozwiązań nazywamysprzecznym.



Definicja 16Macierz A = [ai,j]m×n nazywamy macierzą układu (1),natomiast detA – jego wyznacznikiem.

Definicja 17Układ (1) n równań o n niewiadomych nazywa sięukładem Cramera, jeśli detA = det[ai,j]n×n 6= 0.



Twierdzenie 4 (Cramera)Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest onedane wzorem:

xi =detAidetA

gdzie i = 1, 2, . . . , n,

natomiast macierz Ai powstaje z macierzy A przezzastąpienie i-tej kolumny kolumną [b1b2 . . . bn]T .



Twierdzenie 5 (Kroneckera–Capellego)

Układ (1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

R(A) = R(B).



Twierdzenie 6Niech dany będzie układ równań liniowych (1) o nniewiadomych, gdzie R(A) = r, R([A|B]) = s wówczaszachodzi jeden z przypadków:r = s = n rozwiązanie układu istnieje i jest wyznaczone

jednoznacznie,r = s < n układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

(n− r parametrów),r 6= s układ jest sprzeczny.


Algebra liniowa - piotr.rejmenciak.pracownik.put.poznan.plpiotr.rejmenciak.pracownik.put.poznan.pl/pliki/w_macierze.pdfAlgebra liniowa Literatura W.Krysicki, L.Włodarski, Analiza

Documents