Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 1 MODUL MATEMATIKA SMA vektor ( MATP 17.5.6 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036 Malang 16 JP
22
Embed
vektor - · PDF fileModul MATP 17.5.6 VEKTOR ... pemecahan masalah tentang hasil kali skalar dua vektor, sudut antara dua ... Menentukan hasilkali skalar dua vektor di bidang dan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 1
MODUL
MATEMATIKA SMA
vektor
( MATP 17.5.6 )
Disusun Oleh :
Drs. Pundjul Prijono
Nip. 19580117.198101.1.003
PEMERINTAH KOTA MALANG
DINAS PENDIDIKAN
SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036 Malang
16 JP
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 2
Standar Kompetensi :
Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :
Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah
tentang panjang (besar) vektor, operasi pada vektor serta rumus perbandingan
vektor.
Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dan vektor dalam
pemecahan masalah tentang hasil kali skalar dua vektor, sudut antara dua vektor,
panjang proyeksi (proyeksi skalar) serta vektor proyeksi.
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari notasi vektor, panjang vektor, operasi aljabar pada
vektor, vektor posisi, vektor satuan, perbandingan vektor di bidang dan di ruang, perkalian
skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, proyeksi skalar dan proyeksi vektor pada vektor
lain.
B. Prasyarat
Agar dapat mempelajari modul ini, anda harus mempelajari operasi bilangan real dan dasar
trigonometri, dan matriks.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut:
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului
merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada.
Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi
yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam
mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah,
kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain
yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga
akan mendapatkan pengetahuan tambahan.
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 3
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memilki besar dan arah
2. Mengenal vektor satuan
3. Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan
lawan suatu vektor
4. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri
5. Menggunakan rumus perbandingan vektor
6. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks
7. Menentukan hasilkali skalar dua vektor di bidang dan ruang
8. Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor
BAB II. PEMBELAJARAN
Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalah
Vektor sangat dikenal dalam pelajaran Fisika karena merupakan salah satu besaran selain
besaran skalar. Perbedaan keduanya adalah:
Skalar merupakan besaran yang hanya mempunyai nilai saja, yang dapat dinyatakan
dengan bilangan real tertentu. Contoh besaran ini adalah suhu, massa, dan lain-lain;
Vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai serta memiliki arah. Contoh besaran
vektor adalah jarak, kecepatan, dan lain-lain.
Banyak manfaat yang diperoleh dari penerapan konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari.
Vektor dapat digunakan untuk menghitung jarak, kecepatan, medan listrik dan sebagainya.
Uraian materi berikut akan memperjelas pemahaman Anda mengenai konsep vektor dan
penerapannya.
A. Notasi Vektor
Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis berarah yang panjang dan arahnya
tertentu. Suatu vektor dapat digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah.
Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor dengan A sebagai titik pangkal,B
sebagai titik ujung, arah anak menunjukkan arah vektor, dan panjang anak A
B
u
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 4
u
(x1,y1)
(x2,y2)
y2 - y1
x2- x1
panah sebagai panjang atau besar vektor. Vektor biasanya dituliskan dengan
huruf kecil tebal atau miring, misalnya u,u, atau u
.
Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real. Vektor di
bidang (R2) dinyatakan sesuai pasangan bilangan pada koordinat sumbu X dan Y, yaitu
vektor )y,x(u atau
yxu . Vektor di ruang (R
3) dinyatakan menurut koordinat sumbu
X, Y, dan Z. Jadi )z,y,x(u atau
zyx
u .
Andaikan vektor u dengan titik pangkal di (x1,y1) dan titik
ujungnya pada (x2,y2) makasesuai dengan teorema Pythagoras
panjang dari vektor u ditentukan denganrumus:
2)12
(2)12
( yyxxu
B. Aljabar Vektor
Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami ketentuan berikut:
Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya.
Suatu vektor v dikatakan invers dari vektor u jika berlaku u + v =
0. (0 adalah vektor nol dimana arahnya tak tentu). Dua vektor
dikatakan saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah.
Penjumlahan Vektor
Secara geometris penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan
dua cara, yaitu:
a) Aturan segitiga, langkah-langkahnya:
Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung
vektor u;
Vektor (u+v) diperoleh dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor
u dengan titik ujung vektor v.
u v =
u v=-u
u
v
u+v
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 5
b) Aturan jajargenjang, langkah-langkahnya:
Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga
berimpit dengan titik pangkal vektor u;
Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang
sejajar dengan u dan v;
Vektor (u+v) adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkal vektor u.
Secara analitis penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen
yang seletak. Jika
b
au dan
d
cv maka
db
ca
d
c
b
avu .
Besar atau panjang vektor hasil penjumlahan: 22 )()( dbcavu
Contoh : Diketahui
6
3u , tentukan panjang vektor u.
Jawab:
5363 22 )(u
Contoh :
Jika p sebuah gaya yang besarnya 40 N dan berarah ke Timur
Dan q sebuah gaya yang besarnya 30 N dan berarah ke Utara, maka besar vektor jumlah
kedua gaya tersebut, yaitu r adalah 50 N, karena :
r2 = p
2 + q
2
r2
= 1600 + 900 = 2500
r = 2500 = 50 N
Penjumlahan beberapa vektor , misalnya a + b + c + d adalah hasil jumlah keseluruhan
vektor, a, b, c, d, merupakan sebuah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama
dengan ujung vektor terakhir dalam hal ini AE. Hasil ini diperoleh langsung berdasarkan
definisi kita tentang penjumlahan dua vektor.
Serupa dengan itu, PQ + QR + RS + ST = PT
Misalkan dalam suatu persoalan kita harus mencari jumlah vektor a, b, c, d, e. Setelah kita
gambarkan diagram vektornya, kita dapatkan bahwa diagram yang diperoleh membentuk
gambar tertutup, maka jumlah vektor a + b + c + d + e = 0.
u
v
u+v
p
r q
a
b
c
d
A
B
C
D
E
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 6
Karena, jumlah vektor diberikan oleh sebuah vektor setara yang menghubungkan pangkal
vektor pertama dengan ujung vektor terakhir. Jika diagram vektor itu membentuk gambar
tertutup, ujung vektor terakhir berimpit dengan pangkal vektor pertama, sehingga vektor
resultannya merupakan sebuah vektor yang tidak mempunyai besar.
Contoh 1. AB + BC + CD + DE + EF = AF
Tanpa menggambarkan diagramnyapun dapat kita lihat bahwa vektor vektor tersebut telah
tersusun berantai, masing-masing vektor berpangkal di ujung vektor sebelumnya. Karena itu
jumlah vektornya langsung diberikan oleh vektor yang menghubungkan pangkal vektor yang
pertama dengan ujung vektor yang terakhir.
Dengan penalaran serupa, maka : AK + KL + LP + PQ = AQ.
Contoh 2. AB – CB + CD – ED = AE
Ingat - CB = BC, yaitu besarnya sama, arahnya sejajar tetapi berlawanan. Demikian juga
– ED = DE. Jadi AB – CB + CD – ED = AB + BC + CD + DE = AE.
Contoh 3. AB + BC – DC – AD = 0
Karena AB + BC – DC – AD = AB + BC + CD + DA = AA = 0 dan ujung penulisan
hurufnya menunjukkan bahwa ujung vektor yang terakhir berimpit dengan pangkal
vektor yang pertama. Jadi diagram vektornya membentuk gambar tertutup, karena itu
jumlah vektornya sama dengan 0.
Seperti halnya AB + BC + CD + DE dapat digantikan oleh AE, maka sembarang vektor PT
dapat digantikan dengan sejumlah vektor komponen asalkan komponen-komponen tersebut
membentuk rantai diagram vektor yang berpangkal di P dan berakhir di T, yaitu
PT = a + b + c + d
P T
a A B
C
D
E
b
c
d
e
a
b c
d
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 7
Contoh.
ABCD adalah sebuah segi empat. Titik G terletak di tengah-tengah AD dan titik H di
tengah-tengah BC. Tunjukkanlah bahwa AB + DC = 2 GH.
A B
G
H
D C
Vektor AB dapat diganti dengan rangkaian vektor apa saja asalkan dimulai di A dan
berakhir di B. Jadi dapat kita katakan AB = AG + GH + HB.
Serupa dengan itu, dapat kita katakan juga DC = DG + GH + HC, sehingga kita peroleh :
AB = AG + GH + HB
DC = DG + GH + HC
Jadi AB + DC = AG + GH + HB + DG + GH + HC
= 2 GH + (AG + DG) + (HB + HC)
G adalah titik tengah AD, karena itu vektor AG dan DG sama panjang, tetapi berlawanan
arah. Jadi DG = - AG. Serupa dengan itu, HC = - HB
Jadi AB + DC = 2 GH + (AG - AG) + (HB - HB) = 2 GH
Pengurangan Vektor
Secara geometris pengurangan vektor u dengan vektor v
adalah penjumlahan vektor u dengan invers vektor v, yang
dapat dilakukan dengan salah satu aturan penjmlahan
vektor di atas.
Pengurangan vektor secara analitis dilakukan dengan meng-operasikan komponen-
komponen yang letaknya sama. Jika
b
au dan
d
cv maka
db
ca
d
c
b
avuvu )( .
Besar atau panjang vektor hasil pengurangan: 22 )()( dbcavu
Contoh : Diketahui
8
1p dan
24q , tentukan qp dan pq .
Jawab:
u
v
-v
u-v
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 8
63
2841 )(
qp
105
8214)(
pq
Perkalian Vektor dengan Skalar
Jikamadalah bilangan real (skalar), maka mu adalah
penggandaan atau perbanyakan vektor u sebanyak m. Arah mu
sama dengan arah vektor u dan besarnya um .
Sedangkan (-mu) merupakan vektor yang panjangnyasama dengan um tetapi
berlawanan arah dengan vektoru.
Secara analitis perkalian skalar m dengan vektor
b
au adalah
ba
bam
mm .
Contoh:
Diketahui : a =
2
4
1
2,
3
6cdanb
Tentukan:
a. 2 a - b + 3 c
b. –a + 2b - 2 c
Jawab:
a.
2
43
1
2
3
62 =
13
26
6
12
1
2
6
12
b.
2
42
1
22
3
6 =
9
18
4
8
2
4
3
6
Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan
belajar 1. Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban )
sebelum anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya
sebagai panduan bila anda mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.
Kegiatan 1 :
Carilah hasilnya :
1. PQ + QR + RS + ST = …….
2. AC + CL – ML = ………
3. GH + HJ + JK + KL + LG = …….
u
mu -mu
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 9
4. AB + BC + CD + DB = ……….
5. Dalam suatu segitiga ABC, titik L, M, N berturut-turut adalah titik tengah sisi AB, BC,
CA. Tunjukkanlah bahwa :
a. AB + BC + CA = 0
b. 2 AB + 3 BC + CA = 2 LC
c. AM + BN + CL = 0
6. Perhatikan gambar. Diantara pernyataan berikut manakah yang tidak benar.
a) CEACBEAB
b) DECDBCBE
c) DECDACAE
d) BECEAC
e) AECEBCAB
7. Dalam segi empat ABCD, P dan Q berturut-turut adalah titik tengah diagonal AC dan BD.
Tunjukkanlah bahwa AB + AD + CB + CD = 4 PQ.
8. Buktikanlah dengan cara vektor bahwa garis yang menghubungkan dua titik tengah sisi
suatu segi tiga sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya hanya setengahnya.
9. Jika titik A(-3,5), B(1,-7), C(x,1) dan D(2,y). Jika vektor yang diwakili oleh AB
berlawanan dengan DC , maka nilai x + y adalah….
10. Diketahui 2 vektor p = 3i – (2x1)j dan q = 6i = 2j, jika vektor p sejajar dengan vektor q
maka panjang vektor P = …..
A D
C B
Q P
C
E
A
D
B
A
B
C
E
D
Modul MATP 17.5.6 VEKTOR Halaman 10
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 1 cocokkan jawaban anda pada kunci
jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai
kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 1
Jika nilai perolehan <75 , artinya anda belum paham tentang aljabar vektor,
maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep
tentang pengertian aljabar vektor.
Jika nilai perolehan ≥ 𝟕𝟓 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
berikut ini.
C. Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama dengan 1 satuan panjang. Vektor basis
dalam sistem koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j. Vektor i merupakan
vektor basis searah sumbu X positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu Y
positif. Sedangkan vektor basis dalam ruang dinyatakan dalam vektor i, j, dan k berturut-
turut sejajar dengan sumbu X, Y, dan Z positif.
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i, j, dan k merupakan vektor basis dalam ruang (R3)