Vektor (pertemuan 1)

VEKTOR

SMA X Matematika PeminatanSemester IISMA NEGERI 1 CIREBON

Kompetensi Dasar3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga

1. Pengertian Dasar Vektor dan Operasinya1.1 Notasi Vektor dan Beberapa Jenis VektorBesaran skalar atau disebut skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besar saja, tetapi tidak mempunyai arah, seperti : panjang, waktu, massa, suhu.Besaran vektor atau disebut vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, dan medan magnet.

Secara geometris, vektor adalah ruas garis berarah.

O

A

A

B�⃗� �⃗�𝐵

Titik O : titik pangkalTitik A : titik ujung

Panjang dari ruas garis merupakan panjang vektor. Panjang vektor ditulis sebagai sedangkan panjang vektor ditulis sebagai

Aljabar Vektor Ditinjau Dari Sudut Pandang Geometri

Gambar: Vektor di R-2Gambar: Vektor di R-3

Kesamaan Dua VektorMisalkan diketahui vektor dan vektor . Vektor dikatakan sama dengan vektor (ditulis ), jika dan hanya jika :1. Panjang vektor sama dengan panjang vektor , dan2. Arah vektor sama dengan arah vektor .

A

B

C

D dan AB // CD

Lawan Suatu VektorVektor mempunyai panjang sama dengan vektor tetapi arah vektor berlawanan arah vektor , maka dikatakan bahwa vektor lawan dari vektor dan sebaliknya.

A

B

F

E karena panjang sama tetapi arah berbeda. lawan dari , sehingga

Jika titik ujung dan pangkalnya berlawanan berarti .

Sebuah vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya sama (berhimpit) disebut vektor nol, seperti : , .Vektor nol mempunyai panjang nol dan arah tak tentu.Vektor Nol

Vektor satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya satu dan dinotasikan sebagai 𝑒. Hal ini berarti .Vektor satuan dari vektor dinyatakan olehVektor Satuan

𝒆�⃗�=𝟏|⃗𝒂| ∙ �⃗�

1.2 Operasi Vektor1.2.1 Penjumlahan Dua VektorPenjumlahan dua buah vektor dan , dapat kita gunakan dua metode sebagai berikut :

�⃗�

�⃗�

�⃗�=�⃗�+ �⃗�

�⃗� Metode SegitigaVektor resultan yaitu , diperoleh dengan menempatkan titik pangkal salah satu vektor (misalkan ) pada ujung vektor lainnya. Resultan dari dengan metode segitiga merupakan vektor yang bertitik pangkal di titik pangkal dan bertitik ujung di titik ujung . Apabila dan , maka diperoleh :

Metode Jajargenjang

�⃗�

�⃗�

�⃗�

�⃗�=�⃗�+ �⃗�

Resultan diperoleh dari diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh dan setelah titik pangkal dan ditempatkan berhimpit.

Sifat-Sifat Penjumlahan VektorMisalkan diketahui vektor-vektor sembarang , dan , maka sifat-sifat penjumlahan vektor sebagai berikut :1. Sifat komutatif2. Sifat asosiatif3. Unsur identitas4. Lawan suatu vektor

1.2.2 Pengurangan Dua VektorMisalkan diketahui vektor dan vektor . Pengurangan atau selisih vektor dengan vektor ditentukan sebagai penjumlahan vektor dengan lawan dari vektor .�⃗�−�⃗�=�⃗�+(− �⃗�)

�⃗�−�⃗�

�⃗�− �⃗�

�⃗�

1.2.3 Hasil Kali Skalar dengan VektorMisalkan 𝑚 adalah suatu skalar (bilangan real) dan adalah suatu vektor. Hasil kali skalar 𝑚 dengan vektor , ditulis sebagai , ditentukan sebagai berikut : Jika nilai , maka vektor searah dengan vektor Jika nilai , maka vektor berlawanan arah dengan vektor Contoh :

Sifat-Sifat Hasil Kali Skalar dengan VektorMisalkan 𝑚 dan 𝑛 adalah skalar-skalar (bilangan-bilangan real), dan adalah vektor-vektor sembarang.

1.2.4 Vektor PosisiVektor posisi dari titik A terhadap pusat O ditulis atau .

Sembarang vektor dapat dituliskan dalam vektor posisi dan sebagai berikut :�⃗� �⃗�− �⃗�

�⃗�

Y

XO

A�⃗��⃗�𝐴

Diberikan jajargenjang ABCD berpusat di O dengan dan . Tuliskan dalam bentuk dan untuk setiap vektor:a. d. b. e. c. Berdasarkan gambar diperoleh:a. Karena // dan , maka b. Karena // dan , tetapi arahnya berlawanan maka c. Perhatikan ∆ABC

d. Perhatikan ∆ABD e.

Contoh 1

Jawab

�⃗�

�⃗�A BCD O

Diberikan dan . Nyatakan dalam vektor dan setiap operasi vektor berikut:a. b.

a. b.

Contoh 2

Jawab

Diberikan vektor posisi dari titik P, Q, dan R terhadap titik O: , , dan . Nyatakan setiap vektor di bawah ini dalam dan .(i) (ii)

(i) (ii)

Contoh 3

Jawab