Verifică dacă ai înţeles! Grupa 1. Sarcina 1. Găseşte coordonatele vectorilor, AB, BC şi AC dacă A(-1,2),B(0,-3),C(2,-1) Grupa 2. Sarcina 1. Fie (O, i, j)un reper cartezian în plan. Figuraţi punctele A,B,C,D astfel încât OA=2 i+3 j, OB=2 i-3 j, OC=-2 i-3 j, OD=-2 i+3 j Grupa 3. Sarcina 1. Se dă vectorul AB=- i-2 j Determinaţi coordonatele punctului B, dacă A are coordonatele A(1,3). Grupa 4. Sarcina 1. Se consideră vectorii a=(m+1)i+4j şi b=2i+(m-1)j.Să se determine m astfel încât a=b. MN=(x N -x M ).i+(y N -y M ).j =( ) +( )
VECTORI ÎN PLAN. Verifică dacă ai înţeles! Grupa 1. Sarcina 1. Găseşte coordonatele vectorilor, AB, BC şi AC dacă A (-1,2),B(0,-3),C(2,-1) Grupa 2. Sarcina 1 . Fie ( O, i, j)un reper cartezian în plan . Figuraţi punctele A,B,C,D astfel încât OA=2 i+3 j, - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Verifică dacă ai înţeles! Grupa 1. Sarcina 1.
Găseşte coordonatele vectorilor, AB, BC şi AC dacă A(-1,2),B(0,-3),C(2,-1)
Grupa 2. Sarcina 1. Fie (O, i, j)un reper cartezian în plan. Figuraţi punctele A,B,C,D astfel încât OA=2 i+3 j,
OB=2 i-3 j, OC=-2 i-3 j, OD=-2 i+3 j
Grupa 3. Sarcina 1.Se dă vectorul AB=- i-2 j Determinaţi coordonatele punctului B, dacă A are coordonatele A(1,3).
Grupa 4. Sarcina 1.
Se consideră vectorii a=(m+1)i+4j şi b=2i+(m-1)j.Să se determine m astfel încât a=b.
MN=(xN-xM).i+(yN-yM).j=( ) +( )
G1.S1. Răspuns: 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=1∙𝑖Ԧ− 5∙𝑗Ԧ , 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=2∙𝑖Ԧ+2∙𝑗Ԧ , 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=3∙𝑖Ԧ− 3∙𝑗Ԧ G2.S1.Răspuns: G3.S1. Răspuns: 𝑥𝐵 = 0 ş𝑖 𝑦𝐵 = 1 G4.S1. Răspuns: 𝑚+ 1 = 2: şi 𝑚− 1 = 4 , 𝑚= 1: şi 𝑚= 5 deci nu există.
Verifică dacă ai înţeles! Grupa 1. Sarcina 2. Determinaţi modulul următorului vector: a(1,2). Grupa 2. Sarcina 2. Determinaţi modulul următorului vector: a=2.i + j Grupa 3. Sarcina 2. Determinaţi modulul următorului vector: AB , dacă A(1,3),B(-2,0) Grupa 4. Sarcina 2. Determinaţi modulul următorului vector: -a(1,2)
VECTORI ÎN PLANVECTORI ÎN PLANVerifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 3. Stabiliţi dacă următorii vectori sunt coliniari: u(1,2) şi v(-2,-4) Grupa 2. Sarcina 3. Stabiliţi dacă următorii vectori sunt coliniari: u= i+2. j şi v=-2. i-4. j
Grupa 3. Sarcina 3. Fie A(8,-2),B(3,4),C(11,7),D(-21,19). Stabiuliţi dacă vectorii AB , CD sunt
coliniari. Grupa 4. Sarcina 3. Fie A(8,-2),B(3,4),C(11,7). Stabiliţi dacă punctele A,B,C sunt coliniare.
VECTORI ÎN PLANVECTORI ÎN PLANVerifică dacă ai înţeles!
• Grupa 1. Sarcina 4.• Să se arate că triunghiul ABC, unde A(0,3),B(2,6),C(5,4) este dreptunghic în B.• (Indicaţie: se arată că vectorii AB şi BC sunt perpendiculari)• • Grupa 2. Sarcina 4.• Într-un reper cartezian xOy să se reprezinte punctele A,B şi C pentru care OA=3. i , OB=-2. j, OC=3. i -2. j• şi să se arate că patrulaterul OBCA este un dreptunghi.• (Indicaţie: se arata că două laturi opuse sunt vectori paraleli si egali şi doua laturi alăturate sunt doi vectori
perpendiculari). • • Grupa 3. Sarcina 4.• Fie A(0,3),B(2,6),C(5,4). Să se verifice dacă perechile de vectori AB şi BC , BC şi AC sunt perpendiculari.• (Indicaţie: se scriu vectorii in funcţie de coordonate şi se verifică condiţia de mai jos din chenar)• • Grupa 4. Sarcina 4.• Fie triunghiul ABC unde A(1,2),B(3,0),C(5,2). Să se determine coordonata piciorului D(x,4) al înălţimii duse din A.• (Indicaţie: din condiţia de perpendicularitate a vectorilor AD şi BC se obţine x)
G2.S4. Răspuns: se aleg 𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ şi 𝐴𝐶 ሬሬሬሬሬሬԦopuşi. Modulele sunt |𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ|=2 şi 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=𝐴𝑂ሬሬሬሬሬԦ+ 𝑂𝐶ሬሬሬሬሬԦ= −3𝑖Ԧ+ 3𝑖Ԧ− 2𝑗Ԧ= −2𝑗Ԧ, |𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ|=2 Fiind şi egali vectorii atunci sunt paraleli, deci figura este paralelogram. Mai arătăm că 2 vectori concurenţi sunt perpendiculari:
Fie 𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ şi 𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ sunt perpendiculari fiind pe cele două axe.
G3.S4. Răspuns: 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ= 2𝑖Ԧ+3𝑗Ԧ , 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ= 3𝑖Ԧ− 2𝑗Ԧ şi 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ= 5𝑖Ԧ+𝑗Ԧ Verificăm pentru 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ şi 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ condiţia (P2): 𝑥1 ∙𝑥2 + 𝑦1 ∙𝑦2 = 0, adică 2∙3+3∙(-2)=0 sunt perpendiculari
Verificăm pentru 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ şi 𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ condiţia (P2): 𝑥1 ∙𝑥2 + 𝑦1 ∙𝑦2 = 0, adică 3∙5-2∙1=13 nu sunt perpendiculari
G4.S4. Răspuns: alegem 𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ= ሺ5− 3ሻ𝑖Ԧ+ሺ2− 0ሻ𝑗Ԧ= 2𝑖Ԧ+2𝑗Ԧ şi 𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ= ሺ𝑥− 1ሻ𝑖Ԧ+ሺ4− 2ሻ𝑗Ԧ= (𝑥− 1)𝑖Ԧ+2𝑗Ԧ din condiţia de perpendicularitate se obţine 2∙ሺ𝑥− 1ሻ+ 2∙2 = 0 rezultă 2x-2+4=0 adică x=-1
VECTORI ÎN PLANVECTORI ÎN PLANVerifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 5.Cercetaţi dacă patrulaterul ABCD, unde A(1,3), B(4,7), C(2,8), D(-1,4), este paralelogram.(Indicaţie: se arata că diagonalele au acelaşi mijloc cu formula (2))
Grupa 2. Sarcina 5.Fie A(2,-3), B(4,-2), C(-4,6) . Calculaţi coordonatele punctului D astfel încât ABCD să fie paralelogram.(Indicaţie: se pune condiţia ca diagonalele să aibă acelaşi mijloc cu formula (2))
Grupa 3. Sarcina 5.Determinati mijlocul medianei AM a triunghiului ABC, unde A(1,2), B(3,0), C(5,2).(Indicaţie: se calculează coordonatele lui M şi apoi coordonatele mijlocului lui AM cu formula (2))
Grupa 4. Sarcina 5.Determinaţi mijlocul segmentului AB, unde A(1,2), B(4,3).(Indicaţie: se foloseşte formula (2))
M mijlocul segmentului
VECTORI ÎN PLANVECTORI ÎN PLAN
G1.S5. Răspuns:.
M mijlocul lui AC: 𝒙𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝒙𝑨+𝒙𝑪ሻ= 𝟑𝟐 ş𝒊 𝒚𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝒚𝑨+𝒚𝑪ሻ= 𝟏𝟏𝟐
N mijlocul lui BD: 𝒙𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝒙𝑩+ 𝒙𝑫ሻ= 𝟑𝟐 ş𝒊 𝒚𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝒚𝑩+ 𝒚𝑫ሻ= 𝟏𝟏𝟐
G2.S5. Răspuns:Fie D(x,y) , diagonalele sunt AC şi BC
M mijlocul lui AC: 𝒙𝑴= −𝟏 ş𝒊 𝒚𝑴= 𝟑𝟐 N mijlocul lui BD: 𝒙𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝟒+𝒙ሻ ş𝒊 𝒚𝑵= 𝟏𝟐ሺ−𝟐+ 𝒚ሻ, 𝑥=-6 şi y=5
G3.S5. Răspuns: 𝒙𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝟑+ 𝟓ሻ= 𝟒 ş𝒊 𝒚𝑴= 𝟏𝟐ሺ𝟎+𝟐ሻ= 𝟏
N mijloculul lui AM: 𝒙𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝒙𝑨+ 𝒙𝑴ሻ= 𝟏𝟐ሺ𝟏 +𝟒ሻ= 𝟓𝟐 ş𝒊 𝒚𝑵= 𝟏𝟐ሺ𝒚𝑨+ 𝒚𝑴ሻ= 𝟏𝟐ሺ𝟐+ 𝟏ሻ= 𝟑𝟐
VECTORI ÎN PLANVECTORI ÎN PLANVerifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 6.Centrul de greutate al unui triunghi ABC se află pe axa Ox , A(2,-3), B(-5,1), iar C este situat pe axa Oy. Să se determine coordonatele punctelor G şi C.(Indicaţie: Considerăm C(0,y) şi G(x,0). Scrieţi coordonatele lui G în funcţie de coordonatele lui A,B,C şi aflaţi pe x şi y)
Grupa 2. Sarcina 6.Să se determine capetele A, B ale unui segment care este împărţit de punctele M(2,2), N(1,5) în trei părţi egale.
(Indicaţie: M este mijlocul lui [AN] şi N este mijlocul lui [MB]).
Grupa 3. Sarcina 6.Se dă un triunghi ABC cu A(4,3), B(8,5). Dacă G(10,7) este centrul de greutate al triunghiului să se afle coordonatele lui C.(Indicaţie: se alege C(x,y) şi se aplică formula (3)
Grupa 4. Sarcina 6.Fie A(-2,0),B(4,0), C(0,6) vârfurile unui triunghi. Să se determine coordonatele centrului de greutate G.(Indicaţie: Fie G(x,y) şi aplicaţi formula (3) ).
G centrul de greutate al triunghiului ABC ,
VECTORI ÎN PLANVECTORI ÎN PLAN
VECTORI ÎN PLANVECTORI ÎN PLANVerifică dacă ai înţeles!
Grupa 1. Sarcina 7.Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6). I punctul de intersecţie al bisectoarelor interioare triunghiului. Să se determine coordonatele lui I.(Indicaţie:se calculează lungimile segmentelor [AB], [AC], [BC] cu formulele |AB|=c,|AC|=b, |BC|=a şi se aplică formula (5).
Grupa 2. Sarcina 7.Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6). .Dacă [CD este bisectoarea unghiului să se determine coordonatele lui D.(Indicaţie: se calculează lungimile segmentelor [AC], [BC] cu formulele |AC|=b, |BC|=a şi se aplică formula (4) .)
Grupa 3. Sarcina 7.Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6).. Dacă [BD este bisectoarea unghiului ABC să se determine coordonatele lui D.(Indicaţie: se calculează lungimile segmentelor [AB],[BC]cu formulele |AB|=c,|BC|=a şi se aplică formula (4) .
Grupa 4. Sarcina 7.Se dă un triunghi ABC cu A(-2,0),B(4,0), C(0,6).. Dacă [AD este bisectoarea unghiului BAC să se determine coordonatele lui D.(Indicaţie: se calculează lungimile segmentelor [AB],[AC]cu formulele |AB|=c ,|AC|=a şi se aplică formula (4) ).
G1.S6. Răspuns:.
Coordonatele lui G sunt 𝑥= 2−5+03 =−33 şi 0 = −3+1+𝑦3 şi y=2
G2.S6. Răspuns:
M este mijlocul lui [AN], 𝟐 = 𝟏𝟐ሺ𝒙𝑨+ 𝟏ሻ ş𝒊 𝟐 = 𝟏𝟐ሺ𝒚𝑨+ 𝟓ሻ deci 𝒙𝑨=3 şi 𝒚𝑨=-1
N este mijlocul lui [MB], 𝟏 = 𝟏𝟐ሺ𝟐+ 𝒙𝑩ሻ ş𝒊 𝟓 = 𝟏𝟐ሺ𝟐+ 𝒚𝑩ሻ deci 𝒙𝑩=0 şi 𝒚𝑩= 8