Vectori aplicatii

Vectori liberiProdus scalar

Produs vectorialProdusul mixt

1 Vectori liberi

2 Produs scalar

3 Produs vectorial

4 Produsul mixt

Vectori



Segment orientat

Fie S spatiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid.Orice pereche de puncte din S, notata (A,B) se numestesegment orientat.Daca A 6= B, atunci directia dreptei determinate se numestedirectia segmentului (A,B).Segmentele (A,B) si (B,A) se numesc opuse.Lungimea unui vector este numarul real si pozitiv, carereprezinta distanta dintre A si B. Notam d(AB).Doua segmente (A,B) si (C,D) se numesc egale daca A = Csi B = D.

Vectori



Relatia de echipolenta

Segmentele (A,B) si (C,D) se numesc echipolente dacasegmentele orientate (A,D) si (B,C) au acelasi mijloc. Notam(A,B) ∼ (C,D).Observatii.1. (A,A) ∼ (B,B).2. Daca A 6= B atunci (A,B) ∼ (C,D) daca si numai daca-d(A,B) = d(C,D)-AB ‖ CD-B si D sunt de aceeasi parte a dreptei AC.

Vectori



Relatia de echipolenta

Segmentele (A,B) si (C,D) se numesc echipolente dacasegmentele orientate (A,D) si (B,C) au acelasi mijloc. Notam(A,B) ∼ (C,D).Observatii.1. (A,A) ∼ (B,B).2. Daca A 6= B atunci (A,B) ∼ (C,D) daca si numai daca-d(A,B) = d(C,D)-AB ‖ CD-B si D sunt de aceeasi parte a dreptei AC.

Vectori



Vector liber

Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta, adica auloc:- (A,B) ∼ (A,B)- (A,B) ∼ (C,D)⇒ (C,D) ∼ (A,B)- daca (A,B) ∼ (C,D) si (C,D) ∼ (E ,F ) atunci (A,B) ∼ (E ,F ).O relatie de echivalenta împarte multimea segmentelororientate în clase de echivalenta, a caror multime o notam V3.O clasa de echivalenta se numeste vector liber si se noteaza−→AB sau −→v .Vectorul liber

−→AB este multimea tuturor segementelor orientate

echipolenti cu (A,B).

Vectori



Vector liber




Vectori



Vector liber




Vectori



Adunarea vectorilor liberi

Definim adunarea a doi vectori liberi

+ : V3 × V3 → V3

astfel: dati vectorii liberi−→AB si

−→CD, vectorul suma

−→AB +

−→CD este

clasa de echivalenta a diagonalei paralelogramului determinatde cei doi vectori.Adunarea nu depinde de alegerea reprezentantilor.

Vectori



Adunarea vectorilor liberi

Definim adunarea a doi vectori liberi

+ : V3 × V3 → V3

astfel: dati vectorii liberi−→AB si

−→CD, vectorul suma

−→AB +

−→CD este

clasa de echivalenta a diagonalei paralelogramului determinatde cei doi vectori.Adunarea nu depinde de alegerea reprezentantilor.

Vectori



Înmultirea cu scalari

Definim operatia de înmultire a unui vector liber cu un scalarastfel:

· : R× V3 → V3

astfel: pentru λ ∈ R si−→AB vector liber prin înmultirea lor

întelegem vectorul liber :−→AC daca λ > 0, A,B,C coliniare,

−→AB si

−→AC au aceeasi

orientare si d(A,C) = λd(A,B).daca λ = 0−→AD daca λ < 0, A,B,D coliniare,

−→AD si

−→AB au orientari

diferite si d(D,A) = −λd(A,B).

Vectori



Spatiul vectorilor liberi

TeoremaMultimea V3 înzestrata cu cele doua legi formeaza un spatiuliniar peste R.

Reper cartezian (ortogonal). Consideram în S un triedruortogonal Oxyz, format din 3 semidrepte Ox ,Oy ,Oz, astfel cacele 3 drepte sunt ortogonale doua câte doua. Fie pe cele 3drepte punctele U1,U2,U3 si vectorii−→i =−−→OU1,

−→j =−−→OU2,

−→k =

−−→OU3 astfel ca

d(OU1) = d(OU2) = d(OU3) = 1.,

Vectori



Spatiul vectorilor liberi

TeoremaMultimea V3 înzestrata cu cele doua legi formeaza un spatiuliniar peste R.

Reper cartezian (ortogonal). Consideram în S un triedruortogonal Oxyz, format din 3 semidrepte Ox ,Oy ,Oz, astfel cacele 3 drepte sunt ortogonale doua câte doua. Fie pe cele 3drepte punctele U1,U2,U3 si vectorii−→i =−−→OU1,

−→j =−−→OU2,

−→k =

−−→OU3 astfel ca

d(OU1) = d(OU2) = d(OU3) = 1.,

Vectori



Dimensiunea spatiului V3

Fie −→v ∈ V3 un vector liber. Exista un unic punct M astfel ca−→v =

−−→OM si care se numeste vector de pozitie.

Proiectam punctul M pe axele Ox ,Oy ,Oz în puncteleM1,M2,M3 respectiv. Avem−−→OM1 = x

−→i ,−−→OM2 = y

−→j ,−−→OM3 = z

−→k .

Are loc−→v = x

−→i + y

−→j + z

−→k (1)

Teorema

Multimea B = {−→i ,−→j ,−→k } este o baza în spatiul V3. Deci V3 are

dimensiunea 3.

Vectori



Demonstratie

Se arata ca vectorii−→i ,−→j ,−→k sunt liniar independenti. Fie

λ1−→i + λ2

−→j + λ3

−→k =

−→0 si presupunem ca λ3 6= 0 atunci are

loc:−→k = −λ1

λ3

−→i − λ2

λ3

−→j

ceea ce înseamna ca în particular segmentul OU3 este paralelcu planul xOy , absurd. Daca λ2 = 0 atunci ar rezulta−→k = −λ1

λ3

−→i deci OU3 ar fi paralel cu Ox , absurd.

Din relatia (1), orice sistem de forma {−→v ,−→i ,−→j ,−→k } este liniar

dependent.Notam

d(OM) = ‖−−→OM‖ = ‖−→v ‖

si o numim lungime sau norma vectorului.

Vectori



Demonstratie

Se arata ca vectorii−→i ,−→j ,−→k sunt liniar independenti. Fie

λ1−→i + λ2

−→j + λ3

−→k =

−→0 si presupunem ca λ3 6= 0 atunci are

loc:−→k = −λ1

λ3

−→i − λ2

λ3

−→j

ceea ce înseamna ca în particular segmentul OU3 este paralelcu planul xOy , absurd. Daca λ2 = 0 atunci ar rezulta−→k = −λ1

λ3

−→i deci OU3 ar fi paralel cu Ox , absurd.

Din relatia (1), orice sistem de forma {−→v ,−→i ,−→j ,−→k } este liniar

dependent.Notam

d(OM) = ‖−−→OM‖ = ‖−→v ‖

si o numim lungime sau norma vectorului.

Vectori



Directie în spatiu

Fie D multimea tuturor dreptelor din spatiul S. Doua drepted ,d ′ sunt paralele în sens larg daca sunt paralele sau coincid.Numim directie multimea tuturor dreptelor paralele în sens largcu o dreapta d ..Numim vector director al unei directii orice vector nenul avândun reprezentant paralel cu d .Fie doi vectori directori ai aceleiasi directtii:

−→v = l−→i + m

−→j + n

−→k , −→v 1 = l1

−→i + m1

−→j + n1

−→k .

Atunci−→v 1 = α

−→v ⇔ vectorii sunt liniar dependenti

ceea ce este echivalent cul1l=

m1

m=

n1

n= α.

Vectori



Directie în spatiu


−→v = l−→i + m

−→j + n

−→k , −→v 1 = l1

−→i + m1

−→j + n1

−→k .




m1

m=

n1

n= α.

Vectori



Directie în spatiu


−→v = l−→i + m

−→j + n

−→k , −→v 1 = l1

−→i + m1

−→j + n1

−→k .




m1

m=

n1

n= α.

Vectori



Produs scalar

Fie −→v ,−→w ∈ V3 doi vectori liberi si θ ∈ [0, π] unghiul dintre doireprezentanti.

Definitie

Numim produs scalar numarul real dat de

−→v · −→w = ‖−→v ‖‖−→w ‖ cos θ. (2)

Daca unul dintre vectori este−→0 , atunci produsul este 0.

Produsul scalar are proprietatile produsului scalar din definitiaspatiilor euclidiene.

Vectori



Consecinte

1. ‖−→v ‖ =√−→v · −→v

2. Are loc inegalitatea Cauchy Schwarz

|−→v · −→w | ≤ ‖−→v ‖‖−→w ‖.

3. Au loc−→i ·−→j = 0,

−→i ·−→k = 0,

−→j ·−→k = 0 si−→

i ·−→i = 1,

−→j ·−→j = 1,

−→k ·−→k = 1

4. Daca −→v = x−→i + y

−→j + z

−→k si −→v ′ = x ′

−→i + y ′

−→j + z ′

−→k atunci

−→v · −→v ′ = xx ′ + yy ′ + zz ′.

Vectori



Aplicatii

1. Lungimea unui vector ‖−→v ‖ =√

x2 + y2 + z2

2. Unghiul a doi vectori

cos θ =xx ′ + yy ′ + zz ′√

x2 + y2 + z2√

x ′2 + y ′2 + z ′2.

3. Cosinusii directori ai unei directii . Fie −→v = l−→i + m

−→j + n

−→k

un vector director. Acestui vector i se asociaza doi versori

−→u = ±−→v‖−→v ‖

= ± l−→i + m

−→j + n

−→k√

l2 + m2 + n2

Vectori



Cosinusii directori

Se numesc cosinusi directori numerele

a = ± l√l2 + m2 + n2

, b = ± m√l2 + m2 + n2

, c = ± n√l2 + m2 + n2

.

Au loc−→i · −→u = cosα,

−→j · −→u = cosβ,

−→k · −→u = cos γ,

unde α, β, γ sunt unghiurile pe care directia le face cuOx ,Oy ,Oz.Deci un versor are expresia

−→u = cosα−→i + cosβ

−→j + cos γ

−→k

Vectori



4. Teorema cosinusului. Fie triunghiul ABC si−→u =

−→AB,−→v =

−→AC. Atunci

−→BC =

−→v −−→u deci

‖−→BC‖2 = (

−→v −−→u ) · (−→v −−→u ) = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2− 2‖−→u ‖‖−→v ‖ cos θ

5. Proiectii. Fie −→v ,−→w ∈ V3. Proiectia scalara a lui −→w pe −→veste prin notata pr−→v

−→w . Are loc

−→v · −→w = ‖−→v ‖pr−→v−→w

Vectori



4. Teorema cosinusului. Fie triunghiul ABC si−→u =

−→AB,−→v =

−→AC. Atunci

−→BC =

−→v −−→u deci

‖−→BC‖2 = (

−→v −−→u ) · (−→v −−→u ) = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2− 2‖−→u ‖‖−→v ‖ cos θ

5. Proiectii. Fie −→v ,−→w ∈ V3. Proiectia scalara a lui −→w pe −→veste prin notata pr−→v

−→w . Are loc

−→v · −→w = ‖−→v ‖pr−→v−→w

Vectori



Produs vectorial

Definitie

Fie −→v ,−→w ∈ V3. Numim produs vectorial, vectorul notat−→v ×−→w ∈ V3 astfel:Daca −→v ,−→w sunt coliniari, atunci −→v ×−→w =

−→0 .

Daca nu sunt coliniari atunci −→v ×−→w aredirectia este perpendiculara pe planul celor doi vectorilungimea este aria paralelogramului construit pe cei doivectori, adica ‖−→v ‖‖−→w ‖ sin θsensul este dat de "regula burghiului"

Vectori



Regula burghiului

Matematic regula burghiului exprima alegerea unuia dintre celedoua sensuri posibile ale vectorilor , perpendiculari pe planulparalelogramului, astfel ca determinantul matricei de trecere dela baza B = {

−→i ,−→j ,−→k } la baza B′ = {−→v ,−→w ,

−→v ×−→w } sa fiepozitiv.

Vectori



Proprietati

Au loc1. −→v ×−→w = −−→w ×−→v , ∀−→v ,−→w ∈ V3

2. −→v ×−→w =−→0 daca si numai daca −→v ,−→w sunt coliniari (liniar

independenti).3. −→v × (

−→w 1 +−→w 2) =

−→v ×−→w 1 +−→v ×−→w 2

4. −→v × (λ−→w ) = λ(

−→v ×−→w ).5.−→i ×−→i =−→0 ,−→j ×−→j =−→0 ,−→k ×

−→k =

−→0−→

i ×−→j =−→k ,−→j ×−→k =

−→i ,−→k ×

−→i =−→j

Vectori



6. Daca −→v = x−→i + y

−→j + z

−→k si −→v ′ = x ′

−→i + y ′

−→j + z ′

−→k atunci

−→v ×−→v ′ =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

x y zx ′ y ′ z ′

∣∣∣∣∣∣

Vectori



Aplicatii

1. Aria triunghiului ABC este

12‖−→AB ×

−→AC‖.

2. Identitatea lui Lagrange

(−→v · −→w )2 + (

−→v ×−→w )2 = ‖−→v ‖2‖−→w ‖2.

3. Momentul unei forte. Fie A un punct în spatiu si−→F =

−→PQ o

forta cu momentul de aplicatie P. Se numeste momentul în A alfortei

−→F , produsul vectorial

−→AP ×

−→F .

Vectori



Produsul mixt

Definitie

Fie −→a ,−→b ,−→c ∈ V3. Se numeste produs mixt numarul real

(−→a ,−→b ,−→c ) =

−→a · (−→b ×−→c ).

Daca −→a = x1−→i + y1

−→j + z1

−→k ,−→b = x2

−→i + y2

−→j + z2

−→k ,−→c =

x3−→i + y3

−→j + z3

−→k atunci

(−→a ,−→b ,−→c ) =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣ .

Vectori



Proprietati

1. (−→a ,−→b ,−→c ) = 0 daca si numai daca vectorii sunt coplanari

(liniar dependenti).2. (−→a ,

−→b ,−→c ) = ± volumul paralelipipedului construit pe cei trei

vectori.3. (−→a ,

−→b ,−→c ) = (

−→b ,−→c ,−→a ) = (

−→c ,−→a ,−→b )

4. (−→a ,−→b ,−→c ) = −(

−→b ,−→a ,−→c ).

Vectori



Dublul produs vectorial

Definitie

Fie −→a ,−→b ,−→c ∈ V3. Se numeste dublul produs vectorial,

vectorul −→a × (−→b ×−→c ).

Are loc formula

−→a × (−→b ×−→c ) = (

−→a · −→c )−→b − (

−→a ·−→b )−→c =

=

∣∣∣∣∣−→b −→c

−→a ·−→b −→a · −→c

∣∣∣∣∣ .

Vectori

Vectori aplicatii

Documents