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INGENIERIA ELECTRICA
EI Metodo de los Elementos Finitospara el Calculo de Campos
Electrostaticos
REDUCCION DE LAS DISTANCIAS DEAISLAMIENTO: UNO DE lOS OBJETIVOS
DE LA
TECNICA DE LA ALTA TENSIONEI crecimiento de la demanda de
energfa electricaexiqe. para su transporte a menor coste. el
empleode tensiones cad a vez mas elevadas. Colombia seencuentra en
proceso de superar las etapas de115.000 Y 230.000 voltios con el
pr6ximo ingresoa los niveles de 500.000 voltios.Estos niveles de
tensi6n originan grandes esfuerzosdel dielectrico colocado entre
los puntos a potencialy tierra. Para compensarlos se requieren
grandesdistancias de aislamiento -como en el caso delaire- 0
costosos materiales aislantes de grantensi6n disruptiva -como el
Hexafluoruro de AzufreSFe-·EI aumento de precios en predios
ubicados en areasurbanas 0 en paises de gran densidad de
poblacion.ha incrementado el costa de las instalaciones
conaislamiento en alre haciendo competitivas las esta-
ciones encapsuladas que emplean costosos materia-les
dielectricos. Esta reducci6n del tarnario oriqinaproblemas de
disefio. ya que en ninqun sitio delaislamiento debe. superarse el
valor de rigidezdielectrica del material.Se requiere entonces.
mediante metod os anal6gi-cos 0 nurnericos. describir el
comportamiento delcampo electrico mediante la ubicaci6n de las
lineasequipotenciales y de intensidad de campo electrico
METODOS DE CALCULOLa soluci6n de los campos electrostaticos se
obtieneal resolver la ecuaci6n de Laplace, que en dosdimensiones y
coordenadas cartesianas es:
100%
Frontera
Electrodo a'TierraElemento Hnito
FIGURA 1, Condiciones de Frontera para un Continuo,
EI M'todo de los Elementos Fin;tos se plantea como uno delos
sistemas numericos mils apropiados para el clliculo deCampos
Electrostllticos por su aplicaci6n al estudio degeometrlas cerradas
en las que sus condiciones de Fronterason conocidas.
En el presente articulo se comenta el empleo del ProgramaNASTRAN
/1/ basado en este metodo y del ProgramaTOPONET /2/ para la
generaci6n de la Red de ElementosFinitos.
Los ejemplos que aqul aparecen fueron corridos en el Centrode
C6mputo de la Universidad Fridericiana de Karlsruhe.Alemania
Federal. /3/
FRANCISCO ROMAN CAMPOSIngeniero electricistaInstructor
Asociado
Estudios de Postgrado en Alta TensionUniversidad de Karlsruhe.
Alemania Federal
Frontera
0%
Ingenieria e Investigaci6n 35
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INGENIERIA ELECTRIC A
FIGURA 2. Generaci6n de Red de Elementol Finitol de TOPONET.
a2+ =0al (1)un caso especial de la ecuacion difer encial
de Poisson
o
Donde:£ Constante dielectrics del medioP = Densidad de carga
electricaIP = Potencial funci6n de las coordenadas
La ecuaci6n es definida par las condiciones defrontera que
pueden ser del tipo de Dirichlet.Neumann 0 Cauchy. En la sotucion
de problemas
aax
alP a alP(I: - ) + - (I: -) + P
ax ay ay(2)
Linea Electrodo de Alta TensionEquipoten100 100 100 100 100
100
100%
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electrostaticos aparecen las condiciones de DIrich-let, que en
el caso de electrodos pianos significaconocer la tensi6n en
electrodos y una distribuci6nde campo hornoqeneo en los limites del
dielectricodel condensador -Vease figura 1.
EI solucionar la ecuaci6n de Laplace por rnetodosanaliticos es
posible para geometrias muy sencillas.Cuando la complejidad que
exige el diserio se hacepresente. es necesario recurrir a rnetodos
anal6gi-cos 0 nurnericos para su soluci6n.Los rnetodos anal6gicos.
como el tanque electroliti-co 0 el del papel conductor /4/ han sido
muyempleados en el diserio electrico. en especial elprimero. por su
capacidad para representar elcampo de los cuerpos con simetrfa
rotacional 0 elcampo tridimensional.Sin embargo. debido al
incremento de la velocidady capacidad de almacenamiento de los
computado-res y al desarrollo de nuevas tecnicas de ordena-miento
6ptimo. se ha incrementado el uso de losmetod os numericos para
disefio.Los principales rnetcdos nurnericos son los
siguien-tes:
- EI metoda de las diferencias finitas- EI metoda de simulaci6n
de cargas- EI metoda de elementos finitos
La utilizaci6n de cada uno de estes se acomoda altipo de
problema por resolver. existiendo la posibili-dad de un empleo
combinado de los rnetodos. Lasdiferencias finitas y elementos
finitos se empleanpara geometrfas cerradas en las que sus
condicio-nes de frontera son conocidas. casos tlpicos son loscables
y rnaquinas electricas.Para el disefio de geometrfas abiertas.
tales comoIfneas de transmisi6n. es aconsejable el metoda
desimulaci6n de cargas. el cual no exige un conoci-miento previo de
las condiciones de frontera deldielectrico.
EL METODO DE. LOS ELEMENTOS FINITOSEste es un metoda de
aproximaci6n para la soluci6nde modelos rnaternaticos representados
por ecua-ciones diferenciales y definidos en una reqion(Continuo)
por sus condiciones de frontera. EIContinuo se divide en partes
ffsicas. Ilamadaselementos finitos. que poseen las caracterfsticas
delmedio. Mediante la adici6n de las soluciones paralos elementos
se resuelve toda la regi6n. Un brevecomentario acerca del
fundamento rnaternatico sepresenta en el Anexo 1.Los tipos de
elementos mas empleados sonel trianqulo y el cuadrilatero. Los
triariqulos tienengran ventaja per su adaptaci6n a la
representaci6n
100 100 100 100 100100% "'
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Electrodo de Alta TensionEquipoten 100 100
800/,
-, " ,
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100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100· 100 100 1000
gO 89.7 893 88'6 _ 876. - 1-865 - 85.9- 1-857 - rs59 - 1-864
-~76 _ ~86 _ 893 89.70
~J---- --776- - 755 -80 79.5 789 72.3 71.3 71 1 71.2 723 77.6 _
789 79.5
0 l---~ -r---- 1-55:9 559- l---- '676 -70 69.6 68.9 - ~676 643/
559 559 1'--559 643 1--689 ~ 696-~
0 V ",/, 1"-.'''''-
60 60 59.8_ ~593 582 559 55.9 55.9 559 55.9 582 -'!-594 _ ...598
600
-50 504 51 518 533 559 559 559 559 559 533 518 51 504
0 --t---- L.--t--- »>40 40.8 41.9 43.7
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otros y poseen a su vez. en 10 posible igual tarnario
yapariencia.Puesto que la secuencia de los nodos es cualquier a.se
ejecuta al final una renurner acion que tiene parobjeto reducir la
diferencia entre los puntas nodalesde un elementoEste programa
genera la red aun bajo la presenciade trazos curvos a agujeros en
la superficie ypuede. adernas. generar en sitios de la
estructurauna mayor densidad de elementos. Un ejemplo de lared asl
pr oducida se observa en la figura 2.CALCULO DE CONFIGURACIONEs
sENCILLAs
DE ELECTRO DOSSe corrieron can NASTRAN algunos ejernplos
deconfiguraciones sencillas de electrodos empleandod iferentes upes
de elementos En Ia fig ura 3 seobservan los electrodos planas can
dielectrico air ey conformado par 50 elementos triangulares.
En la figura 4 se presentan electrodos planas canescalon,
dielectrico aire y 50 elementos triangula-res.
La figura 5 aparecen electrodos planas can dosdielectricos ( f =
1 y f = 6) Se emplean 50 ele-rr.e ntos tri ang u Iares.
EI mismo tipo de electrodos de la Figura 4, pero can140
elementos cuadrilateros se presenta en laFigura 6
En la Figura 7 se representa un condensador planocan dielectrico
air e y un elemento metalico (electro-do libr e) que se representa
par un valor dielectricode 10.000
EI tiempo de CPU empleado por el programaNASTRAN en funcion del
nurnero de elementos semuestra en la Figura 8.
EI programa emplea para resolver una geometrfa de500 elementos
un tiempo aproxirnado de CPU de2 minutos. Una geometrfa con una
cantidad deelementos de ese orden de magnitud se muestra enla
Figura 9.
Tiempo(min)
2' 1 CPU
i:
o 300100 200 400 5001 Elementen2 Nodos
FIGURA 8, Tiempo de CPU de NASTRAN
CONCLUslONEsMediante la utilizacion de la subrutina decalculo
detr ansrnision de calor del Programa NASTRAN pudoencontrarse la
distribuci6n de campo electrico enconfiguraciones sencillas de
electrodes. utilizandopara ello la similitud de las ecuaciones
diferencialesque rigen los dos tenomenos.Los datos de salida de
NASTRAN son las tensionesnodales y la intensidad de campo y
gradiente depotencial en cada uno de los elementos de la red.Para
la interpretaci6n de los resultados debecontarse con programas de
dibujo de isollneas. queinterpolen los valores de las tensiones
nodales.EI empleo de NASTRAN se facilit6 mediante el usode un
programa de generaci6n de red lIamadoTOPONET. Asi se solucion6 uno
de los problemasfundamentales del rnetodo. puesto que el
construirla estructura y suministrar manualmente los datoses un tr
abajo extenso y posible fuente de error.Adicionalmente, la
generaci6n de red debe seroptima en el sentido de lograr que la
matriz derigidez conserve sus caracteristicas de matriz banday
posea pocos elementos disperses.La uni6n entre NASTRAN y TOPONET
exigi6 progra-
FIGURA 9, Diodo de Alta Tenli6n. Se diltinguen 6 lubregionel
candiferente numero de elemental finitol. Red triangular generada
parTOPONET,
40 Ingenierla e Investigaci6n
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mas de acople que a su vez perrnitieron fijar lasrestricciones
para cada problema.Debido a sus bondades el uso de los programas
deelementos finites se ha extendido a numerosasareas de la inqenier
la electrica. En alta tension es unrnstrurnento uti] de diserio y
anal Isis para predecir elcomportamiento de aislamientos combinadas
yevitar asf fallas en los materiales por esfuerzosdielectricos
demasiado altos.De la experiencia en el empleo de los programas
deelementos finites se desprende su utilidad comoherramienta de
calculo en las diferentes areas de laingenieria. Es recomendable.
por 10 tanto, que loscentros de calculo de las universidades
cuenten canestos tipos de programas apoyados en los deqeneracion de
red y de dibujo para facilitar lostrabajos de diserio e
investiqacion de los ingenieros.
ANEXO 1METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Las ecuaciones diferenciales y sus condiciones defrontera
definen el problema en una region (Conti-nuo). Mediante el calculo
variacional puede gene--ersc una funcional. que es una expr esion
de laenergia potencial qus existe en el Continuo A travesde la
rninimizacion de la energfa en cad a elementose obtiene el
recorrido del campo para toda laregion.La ecuacion por resolver
para el campo electr ostati-co es la ecuacion de Laplace (1 ). Las
restriccionesen los limites se fijan de acuerdo can las
condicio-nes de Dirichlet:
R( cP) = cPo
siendo cPo potenciales conocidos en la frontera.Con la ayuda del
calculo variacional puede encon-trarse la funcional de la ecuacion
laplaciana:
I = 1{I / 2 f(acP\2 + 1/ 2f(acP)2 IdA _A ax J ay
_ fcP acP dRanDonde:A = Superficie de IntegracionI = es la
FuncionalUna parte de la funclonal representa la energia delcampo
electrostatico:
We= 1 1/2D.E. dA = 1 1/2fedAA A
= 11/ 2f grad2cPdAW =1 {1/2f(acP)2 +(acP)2}dA
e ax ayE es la intensidad de campo electrlco f es laconstante
dielectrica.
D es el desplazamiento electricoDonde We representa la energfa
del campo elec-tr ostatico.la ecuacion de Euler de la funcional
corresponde ala ecuacion de Laplace (1 )Para este problema, que es
lineal, se cumple que laprimera derivada de la funcional se
anula:
~ = a (7)acP
DiscretizacionLa discr etizacion se efectua mediante la division
delcontinuo en zonas Ilamadas elementos finitos. Cadaelemento es
detinidode acuerdo con una funcion:sequn el nurner o de sus nodos y
el potencial en suInterior se define de acuerdo con los
potencialesen los nodos ( cf>e )
(8)
cPi
cP)
cPk
Donde la rnatriz ]NI es la Ilamada fu ncionde forma yes funcion
de las coordenadas nodales.Para minimizer la tuncional en todo el
continuo y entuncion de todos los potenciales. debe satisf acer
seel siquiente sistema de ecuaciones
(4)
al--a
-
Donde: I Kle es una matriz sirnetr ica con elementosconstantes.
tuncion de las coordenadas nodales v.por 10 tanto, conocida.
. {}' es una matriz columna que contiene todos lospotenciales
nodales.Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones paratoda la
region resulta el siguiente sistema deecuaciones:
~ = I KI {J = 0 (13)a .
Donde los elementos de la matriz I KI son:( 14)
AI considerar las condiciones de frontera, el sistemapor
solucionar se transforma en:
I K I {UJ = {PJ(3)
Donde:I KI es la lIamada matriz de rigidez que contienelas
caracterfsticas del medio. Es una matrizsimetrica. dominante y con
la mayorfa de suselementos colocados en la diagonal.
algunoselementos dispersos y el mayor nurnero deelementos iguales a
cero. Solamente existenelementos donde hay conexi6n entre los
distin-tos elementos finitos (0 sea en los nodos quepertenecen ados
0 mas elementos).
{UJ es la matriz columna de tensiones desconocidasen los nodos
de los elementos.
{PJ es una matriz columna funci6n de las"tensionesconocidas en
las fronteras del Continuo y de lasfunciones de forma que se
expresan en coorde-nadas de superficie /5/.
Con la soluci6n de la ecuacion (3) por metod osnurnericos
apropiados y rutinas de ordenamientooptirno para aprovechar la
dispersi6n de la matriz seresuelve la estructura.
ANEXO 2ANALOGIA DE LAS ECUACIONES PARACONDUCCION DE CALOR CAMPOS
DE
CORRIENTE Y ELECTROSTATICOS
ELECTROSTATICO TERMICOCAMPO
I-",C,-",O,-,-N"-"S,,:-J:--,,A~N~T..!-E"'---+- A -------l€ x
Conductividad
Constante Dielectrics Conductividad Terrnica
Q = Carga electr icaConstante
Tensi6nE - iJcP-ax
E = Campo Electrico
CORRIENTE
Tensi6n TemperaturaE =a,4> Grad T = aTax ax
E = Campo Electrico Grad T = Gradiente deTemperatura
J = Densidad deCorrienteConstante
o = Flujo de CalorConstante
Los valores de K yeP se refier en a la ecuaci6n de Poisson
BIBLIOGRAFIA
1 Mac Neal. R. The Nastran Theoretical Manual (Level
1501December 1972 Level 15.5 Supplement Scientific and Techni~cal
Information Office National Aeronautics and SpaceAdminis-tration.
Washington DC 1972
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Rissproble-me mit Hilfe automatischer Netzgenerierung Heft 24
Veroeffen-tlichung des Instituts fuer Statik und Stahlbau der
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3. Roman. F. Die Berechunung elektrostatischer Felder mit
Mas-tran. Studienarbeit T H Karlsruhe. 1982.
4. Kind, D. Einfuehrung in die Hochspannungsversuchstechnik
fuerElektrotechniker 2 bearbeitete Auflage. Viewig & Sohn.
Brauns-chweig/Wiesbaden 1978 Pag. 115-124.
5. Chung, T. J Finite Element Fluid Dynamics Mc Graw
HillInternational Book Company 1978
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