Úvod do rekonstrukce povrchů.

1

Úvod do rekonstrukce povrchů.

1. Trojúhelníkové sítě.• Generování.• Ředění.• NURBS.

2. Prokládání jednoduchými mat. útvary• Algebraické prokládání.• Ortogonální prokládání.

3. Zhuštění bodů z digitální fotografie.

Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD., Laserové skenování, Ing. M. Štroner, PhD., (154LSK_pred_3)(154LSK_pred_3)

2

1. Trojúhelníkové sítě1. Trojúhelníkové sítě

Složí k popisu objektů, které nelze vyjádřit jako geometrická primitiva (rovina, koule, válcová plocha, kužel, atd.).

Požadavky:- aby trojúhelníky byly co nejbližší rovnostranným.

Používají se algoritmy založené na tzv. Delaunayově triangulaci


3



Delaunayova triangulaceDelaunayova triangulace

- Boris DelaunayB. Delaunay, Sur la sphère vide, Izvestia Akademii Nauk SSSR, Otdelenie Matematicheskikh i Estestvennykh Nauk, 7:793-800, 1934.

Princip:V kružnici opsané jakémukoli trojúhelníku nesmí být žádný další bod. Nechť P je množina n bodů v rovině neležící na přímce a nechť k je počet bodů, které leží na hranici konvexního obalu bodů z množiny P. Pak platí:- Každá triangulace z P (tj. i Delaunayho triangulace) má 2n-2-k trojúhelníků a 3n-3-k hran.- Triangulace je Delaunayho právě tehdy, když žádná z kružnic opsaných trojúhelníkům v triangulaci neobsahuje bod z množiny P ve svém vnitřku.

4




- Trinagulace maximalizuje minimální úhel.- Je základem naprosté většiny automatických algoritmů pro vytváření trojúhelníkových sítí, resp. algoritmy splňují její podmínku.- Geometrický duál oproti Voronoiovým digramům

Algoritmy- incrementální, on-line- D&C (divide and conquer, rozděl a panuj).- mnoho modifikací.

5




6



Inkrementální algoritmus (U) = postupné přidávání jednotlivých bodů. Nejprve se vytvoří tzv. supertrojúhelník (supertriangle), který musí obsahovat všechny body, dále se přidávají body po jednom a kontroluje se splnění podmínky a mění a vytvářejí se trojúhelníky.

1.Určení supertrojúhelníku.2.Po jedno se přidávají body, kde pro každý se provede

následující:1. Zkontroluje se, zda podmínka platí ve všech

existujících trojúhelnících.2. Ty trojúhelníky, pro které neplatí, se rozloží na

jednotlivé hrany.3. Duplicitně popsané hrany jsou hranami vnitřními a

zruší se.4. Ze zbylých hran a vkládaného bodu se vytvoří nové

trojúhelníky.3.Odstraní se všechny trojúhelníky, které obsahují body

původního supertrojúhelníku.

+ další podmínky, např. maximální délka strany, definice povinných hran apod.

7



Ředění trojúhleníkových sítí (redukce, decimace)

- Produktem laserového skenování je mračno bodů, které je pro vystižení povrchu objektu s reálnou přesností odpovídající přesnosti skeneru obvykle nadbytečně husté. Různé oblasti objektu mají různou křivost a tedy pro vystižení povrchu objektu s danou (konstantní) přesností je vhodné použít různou hustotu bodů, ta je při měření nezávisle na tvaru objektu konstantní. Zároveň práce s rozsáhlejší trojúhelníkovou sítí zbytečně zatěžuje PC a zpomaluje práci. Je proto vhodné množství bodů zredukovat tak, aby model objektu minimálně ztratil na přesnosti. Pracuje se zde s polygonálními modely, tj. s trojúhelníkovými sítěmi, nikoli přímo s body

8



Ředění trojúhleníkových sítí (redukce, decimace)

Základním principem decimace je odstranění (eliminace) určitého prvku sítě (bod, hrana, atd.), a triangulace vzniklé díry. Většinou algoritmus pracuje lokálně a to tak, že se prochází celá síť a zjišťuje se, jak je daný element důležitý pro přesnosti ve svém okolí anebo vůči původnímu modelu.

•decimace vrcholů, •decimace hran, •decimace trojúhelníků (oblastí).

9



Decimace vrcholů (Schroederův algoritmus )

V každé iteraci je vybrán jeden vrchol sítě (na základě ohodnocení jeho důležitosti), který je spolu se všemi přilehlými trojúhelníky odstraněn a hrany, které zůstanou, je třeba doplnit na trojúhelníky místní triangulací

10



Decimace hran

Metody jsou založeny na nahrazení hran tak, že jeden vrchol nahrazuje oba koncové body hrany.Přilehlé trojúhelníky, které degenerují na hrany, jsou odstraněny. Decimace hran je také často nazývána postupná kontrakce hran (iterative edge contraction).

Decimace oblastí: odstraní se v jednom kroku trojúheůník nebo i jejich skupina a trianguluje se vzniklá díra.

11



Decimace hran

Metody jsou založeny na nahrazení hran tak, že jeden vrchol nahrazuje oba koncové body hrany.Přilehlé trojúhelníky, které degenerují na hrany, jsou odstraněny. Decimace hran je také často nazývána postupná kontrakce hran (iterative edge contraction).

Decimace oblastí: odstraní se v jednom kroku trojúheůník nebo i jejich skupina a trianguluje se vzniklá díra.

12



Posouzení chyby aproximace

-Hausdorffova vzdálenost maximální odchylka dv mezi dvěma modely dané minimální vzdáleností mezi body obou modelů,

- průměrná čtvercová vzdálenost,

- hodnota poměru obsahu povrchu aproximovaného modelu a hodnoty obsahu původního.

13

2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary2. Prokládání jednoduchými matematickými útvary


Fitting primitivesFitting primitives

- prokládání jednoduchými geometrickými útvary - tento postup modelování skutečnosti z měřených mračen bodů je možné a vhodné využít tehdy, pokud modelovaný objekt byl vytvořen či má být blízky nějakému geometrickému útvaru.

Příkladem může být stěna = rovina, mostní oblouk = část válce či eliptického válce, sloup = válec a podobně.

Výsledkem takto provedeného zpracování je CAD model složený z geometricky definovaných těles nebo ploch.(Přímka, rovina, koule, válec, eliptický válec, kužel, eliptický kužel, anuloid,…).

14



Algoritmy se využívají v zásadě dva, rozdíl je v tom, jaká funkce se minimalizuje pro nalezení nejlepšího řešení. Výpočty se obvykle provádí za využití MNČ, pro kouli nebo rovinu není celkem problém sestavit výpočet. Složitější případ nastává, když se do výpočtu přidají nejen tvarové, ale také transformační parametry.

Algebraické prokládáníAlgebraické prokládáníMinimalizuje „objem“ tělesa procházejícího daným bodem, pro kouli:

Ortogonální prokládáníOrtogonální prokládáníMinimalizuje vzdálenost bodu od tělesa, pro kouli:

2 2 2 20 0 0

2 2 20 0 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

X X Y Y Z Z r

X X Y Y Z Z r

2 2 2 2

0 0 0

2 2 20 0 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

X X Y Y Z Z r

X X Y Y Z Z r

15



Vzhledem k množství bodů, se kterými se počítá v mračnu bodů je nutné, aby matematické metody výpočtu byly:

- robustní,- rychle konvergující,- měly nízkou výpočetní a paměťovou náročnost.

Pro výpočet je k dispozici ne vždy ideální vzorek dat, které by popisovaly povrch geometrického útvaru. Proto se obvykle výpočet nedostane k správnému výsledku, avšak ve většině případů stačí k tomu, aby výsledek dostatečně věrně popsal tu část objektu, která je body pokryta. Výpočet „jen“ splní matematické podmínky.

16



Koule, 11 tis. bodů

17



Válec, 130 tis. bodů

18



Možnosti ortogonálního prokládání jsou rozmanité. Existuje mnoho algoritmů, které umožňují realizovat tuto úlohu, naprostá většina používá vyrovnání metodou nejmenších čtverců. Existující algoritmy lze je dělit podle tvaru funkce prokládaného geometrického útvaru:

- explicitní tvar: Z = f(a, X, Y), - implicitní tvar: f(a, X) = 0, - parametrický tvar: X = f(a, u),

kde a je sloupcový vektor neznámých modelových parametrů, X je sloupcový vektor souřadnic bodů. u je vektor parametrů (parametrického popisu geometrického útvaru), obsahuje jak parametry popisující tvar a velikost objektu, tak transformační parametry.

19



Algoritmy lze také dělit podle minimalizované funkce na délkový algoritmus, který pracuje s funkcí

s02 = dT·P ·d,

kde P je váhová matice a d je vektor ortogonálních vzdáleností. Je zřejmé, že váhy mohou být přiděleny pouze jednotlivým bodům a nikoliv souřadnicím. Stejně tak mohou být zavedeny korelace pouze mezi jednotlivými body a ne mezi souřadnicemi. Kromě toho je znám také souřadnicový algoritmus, který pracuje s funkcí

s02 = (X – X‘)T P (X – X‘),

kde (X – X‘) je rozdíl vyrovnaných a měřených souřadnic.

20



Vyrovnání bodů do přímky

a je směrový vektor, b bod, kterým přímka prochází a t je parametr určující vzdálenost bodu na přímce od bodu b v násobcích velikosti vektoru a.

Neznámé pak jsou vektor a, bod b, a parametr ti pro každý bod zvlášť, a tedy je neznámých celkem 6 + n.

21



Vyrovnání:

1.Výpočet přibližných hodnot2.Vyrovnání MNČ.

Přibližné hodnoty:

Za bod b0 lze zvolit libovolný měřený bod, přibližnou hodnotu vektoru a0 pak je vhodné určit z dvou nejvzdálenějších bodů i a j:

22



Vyrovnání:

23



Systém je singulární, bez vlivu na určení přímky velikost vektoru a může být libovolná a umístění bodu b na přímce také. Je nutno určit velikost vektoru a (rovnu jedné) a určit umístění bodu b (např. v rovině kolmé na přímku, normálový vektor roviny je opět totožný se směrovým vektorem přímky, procházející původním přibližným bodem b0. Tvar podmínek:

24



Normální rovnice:

Kde k je vektor korelát (doplňující neznámé pro výpočet pomocí Lagrangeových multiplikátorů.

25



Vyrovnání bodů do přímky – dvoukrokový algoritmus

26

3. Zhuštění bodů z digitální fotografie.3. Zhuštění bodů z digitální fotografie.

V případě, že je k dispozici mračno bodů s vytvořeným modelem s použitím trojúhelníkové sítě s tím, že povrch má převážně rovinný charakter (resp. jeho části), lze na základě digitální fotografie zhustit mračno bodů promítnutím pixelů snímku na jednotlivé rovinné plošky reprezentující povrch objektu. Je vhodné upozornit na to, že tato technika není rovnocenná měření bodů v prostoru skenováním, jedná se o doplnění bodů s významnou barevnou informací do mračna, a tím možnost vektorového vyhodnocení např. drobných reliéfů nebo maleb. Je tak možné významně zkrátit dobu měření, protože skener měří tisíce až statisíce bodů za sekundu, běžně dostupná digitální zrcadlovka dvanáct milionů. Je možné tak zaměřit libovolné detaily a zobrazit je do prostoru pomocí „kostry“ určené měřením skeneru.


27


Obecně lze problém řešit nejen pro trojúhelníkovou síť, ale pro libovolný matematicky definovanou plochu (např. válcové sloupy apod.).


A

B

C

x' x'min max

y'min

y'max

28


DLT:

Koeficienty L1 až L11 a snímkové souřadnice x‘, y‘ jsou známy, proměnnými jsou pouze souřadnice X, Y, Z. Distorzi není třeba v odvození uvažovat, snímkové souřadnice lze o její vliv opravit nezávisle. Rovnice lze upravit do tvaru obecné rovnice roviny:


29


Obecná rovnice roviny trojúhelníku:

Projektivní transformace obdobně


30


Projektivní transformace obdobně:


31


Určení, zda je bod v trojúhelníku – plocha

Porovnání plochy trojúhelníka ABC a součtu ploch tří trojúhelníků ABP, BCP, CAP.


A B

C

P

A B

C

P

32


Určení, zda je bod v trojúhelníku – úhel

Úhel se vždy vypočte v rozsahu 0 – rad. Je zřejmé, že pokud je bod P uvnitř trojúhelníka, součet vypočítaných úhlů , , je 2 rad. Pokud je bod mimo trojúhelník, součet úhlů je menší než 2 rad.


A B

C

P

A B

C

P

33


KONEC

Úvod do rekonstrukce povrchů.

Documents