Usaha & Energi

Usaha dan Energi

Analisa dinamika gerak benda: konsep gaya dan energi

� Analisa dinamika gerak benda selain dapatdilakukan dengan konsep gaya juga dapatdilakukan menggunakan konsep tetapangerak (besaran gerak yang kekal) yaituenergi dan momentum

� Gaya � vektor; energi � skalar

� Banyak kasus yang lebih mudah dianalisamenggunakan pendekatan usaha – energi

� Sebuah gaya yang dinyatakan dengan F = 2x i, bekerja pada benda bermassa m. Jikabenda mula-mula diam, tentukan kecepatanbenda pada x = 3

� Pendekatan gaya:

� a = F/m = 2xi/m;

�

a(x), tidak konstan

∫= dtavv(x,t), tidak konstan

??????

� Sulit diselesaikan dengan menggunakancara yang sebelumnya telah dipelajari(kinematika + dinamika)

� Konsep Usaha dan Energi

Usaha (kerja) oleh gayakonstan

� Usaha yang dilakukan oleh suatu gayakonstan (besar dan arah) pada bendaadalah hasil kali titik (dot product) antaragaya dan perpindahan titik tangkap gayatersebut

rF ∆= .W

Usaha (kerja) oleh gaya yang tidak konstan

� Jika gaya F tidak konstan (berubah) baikbesar maupun arahnya dan merupakanfungsi dari perpindahan yang terjadi, maka

∫=

=

2

1

.

.r

r

dW

ddW

rF

rF

Usaha oleh gaya pegas

F= − kx

22

22

pegas

2

1

2

1

)(2

1f

i

fi

if

x

x

kxkx

xxkkxdxW

−=

−−=−= ∫

Usaha oleh gaya pegas

Interpretasi grafis

� Usaha (kerja) merupakan luas daerah dibawah kurva F(r)

r

Usaha (kerja) merupakanbesaran SKALAR

Usaha oleh gaya-gaya yang bekerja pada benda

r

•Usaha oleh gaya F:WF = (Fcosθ) r

•Usaha oleh gaya gesekWf = –fr

•Usaha oleh gaya beratWW = 0

•Usaha oleh gaya normalWN = 0

Analisa 3 dimensi

� Gaya memindahkanbenda dari A (xA,yA,zA) ke B (xB,yB,zB)

kjiF zyx FFF ++=

( )

∫∫∫∫ ++==

++=

++++==

B

A

B

A

B

A

z

z

z

y

y

y

x

x

x

B

A

zyx

zyx

dzFdyFdxFdWW

dzFdyFdxF

dzdydxFFFddW

) ( kji.kjirF.

� Usaha merupakan bentuk transfer (perpindahan) energi

� W > 0 � usaha dilakukan pada sistem, energi dipindahkan ke sistem (darilingkungan)

� W < 0 � usaha dilakukan oleh sistem, energi dipindahkan ke lingkungan (darisistem)

Energi

� Energi dapat diartikan sebagai“kemampuan untuk melakukan usaha”

� Dari persoalan kinematika:

� Dapat dinyatakan

xm

Fvvaxvv 22

2

o

2

t

2

o

2

t =−→+=

( )2o2

t2

vvm

Fx −=

Energi

� Untuk sembarang gaya total yang bekerjapada benda, maka usaha total pada benda

)(2

1

22

total

if

f

i

f

i

f

i

f

i

f

i

vvmmvdv

dxdt

dx

dx

dvmdx

dt

dvm

madxFdxW

−==

==

==

∫

∫∫

∫∫

Teorema Usaha-Energi

� Teorema Usaha-energi (tidak hanya untukgaya-gaya konstan)

� adalah energi kinetik (translasi)

yaitu energi yang dimiliki benda karena

benda bergerak (translasi)

KvvmdW if ∆=−== ∫ )(2

1 22

total rF.

2

2

1mvK =

Daya

� Laju perubahan kerja (usaha) yang dilakukanoleh gaya F

� Jika suatu gaya F melakukan usaha sebesarW pada benda selama selang waktu ∆t makadaya rata-rata

� Daya sesaat (instantaneous power)

dt

dWP =

t

WP

∆=

Teorema Usaha-Energi

Usaha total pada benda sama denganperubahan energi kinetik benda

Wtotal = ∆∆∆∆K

Energi potensial gravitasi

Gaya berat benda F = −mg j

Gaya yang diperlukan untukmengangkat buku melawan gaya beratFapp= mg j

Usaha oleh gaya Fapp untuk memindahkanbenda dari A ke BWA�B = Fapp.∆r = (mg j).(yb−ya)j

= mgyb−mgya

Energi potensial gravitasi

� Energi potensial� energi yang dimilikibenda karena konfigurasinya

� Energi potensial gravitasi � energi yang dimiliki suatu benda karena posisinya diatas permukaan bumi

�

�

mgyU g =

gUW ∆=

Gaya konservatif

� Sebuah gaya dikatakan gaya konservatif jikausaha total yang dilakukan oleh gayatersebut untuk lintasan tertutup sama dengannol

� Lintasan tertutup � posisi awal = posisi akhir

� Usaha yang dilakukan oleh gaya konservatiftidak bergantung pada lintasan yang dipilih, melainkan hanya pada posisi awal dan akhirsaja

Gaya konservatif

� Jika

dan juga berlaku untuk

sembarang lintasan, maka

F merupakan gaya

konservatif

∫∫∫→→→

==

3 lintasan2 lintasan1 lintasanBABABA

ddd rF.rF.rF.

� Contoh gaya konservatif: gaya gravitasi, gaya coulomb, gaya pegas

� Gaya gesek, gaya tegangan talimerupakan contoh gaya nonkonservatif

Fungsi energi potensial

� Bila gaya-gaya yang bekerja pada benda adalahgaya konservatif, maka usaha oleh gaya-gayatersebut hanya bergantung pada posisi awal danakhir saja (tidak bergantung lintasan yang ditempuh)

� Dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi skalar yang hanya bergantung pada keadaan awal dan akhirsaja

�[ ] [ ])A()B(

B

A

BA UUdW −−−== ∫→ rF.

Suatu fungsi skalar yang hanya bergantungpada keadaan awal dan akhir saja

Fungsi energi potensial

� Jika dipilih U(A) = 0 yang menggambarkansuatu keadaan yang menjadi acuan, makadapat didefinisikan fungsi energi potensial

∫−=

B

(acuan)A

)( rF.dBU

Energi potensial di suatu titik B adalah usaha yang diperlukan untukmelawan medan gaya konservatifuntuk memindahkan benda dari titikacuan ke titik B

Nilai absolut energi potensial tidaklah penting, yang mempunyaimakna fisis adalah perubahan energi potensial

� Medan gravitasi bumi F = −mg j, maka

� Jika diambil hacuan = 0, maka dr =dy j

∫ −−=−

h

h

dmghUhUacuan

)()( acuan rj.

)()(

)()(

acuan

0

acuan

hUmghhU

mghdymghUhUh

+=

==− ∫

Biasanya diambil sama dengan 0

� Gaya pegas dinyatakan dengan maka

� Jika diambil xacuan = 0, maka dr =dx j

iF kx−=

∫ −−=−

x

x

dkxxUxUacuan

)()( acuan ri.

)(2

1)(

2

1'')()(

acuan2

2

0

acuan

xUkxxU

kxdxxkxUxUx

+=

==− ∫

Biasanya diambil sama dengan 0

Kekekalan energi (mekanik)

� Jika gaya-gaya pada benda hanya gaya konservatif

� Diperoleh hukum kekekalan energi mekanik (total)

AB

B

A

AB UUdW +−== ∫ rF.Sedangkan dariteorema usaha-energiWAB = KB − KA

BBAA KUKU +=+Jika pada benda hanya bekerjagaya-gaya konservatif, makaenergi mekanik kekal

� Jika pada benda ada gaya konservatif dan jugagaya nonkonservatif

nkAB

B

A

nk

B

A

k

B

A

nkk

B

A

AB

)(

WUU

dd

ddW

++−=

+=

+==

∫∫

∫∫

r.Fr.F

r.FFrF.

KB − KA + UB − UA = ∆E = Wnk

Usaha olehgaya-gaya

nonkonservatifsama denganperubahanenergimekanik