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Universit Paris VII Denis DiderotInstitut de Physique du Globe
de Paris
quipe de Sismologie UMR CNRS 7154
Mmoire
prsent par
Yann CAPDEVILLE
pour obtenir
LHabilitation Diriger les Recherches
Contributions aux problmes direct et inverse en sismologie
soutenu le 11/03/2011 devant le jury compos de Madame et
Messieurs :Marianne Greff (Prsidente, IPGP)Jean Virieux (Rappoteur,
LGIT)Yvon Maday (Rapporteur, Paris 6)John Woodhouse (Examinateur,
Oxford)Claude Boutin (Examinteur, ENTPE)Nikolai Shapiro
(Examinateur, IPGP)
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4 Place Jussieu, Tour 24, Case 89, 75252 Paris cedex 05 Tl :
01.44.27.24.69 Fax : [email protected]
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Table des matires
Rsum sur loriginalit des recherches 5
1 Expos synthtique des recherches 7
1.1 Introduction au cadre de recherche . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Type de donnes en imagerie sismique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 8
1.1.2 Le problme direct en sismologie . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 9
1.1.3 Le problme inverse en sismologie . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 12
1.2 Mon travail dans ce cadre . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Contributions au problme direct . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 15
1.2.2 Contributions au problme inverse . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 22
1.2.3 Homognisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 28
Rfrences 38
2 Persectives de recherche court et moyen termes 39
2.1 Perspectives court terme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 39
2.2 Perspectives moyen ou long termes . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 41
3 CV, activit dencadrement, liste des publications 43
3.1 CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Activits dencadrement, denseignement et administratifs . . .
. . . . . . . . . 44
3.3 Collaborations et sjour ltranger . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
3.4 Transfert de technologie, relations industrielles et
valorisation . . . . . . . . . . 45
3.5 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 46
3
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4 TABLE DES MATIRES
3.5.1 Publications dans des revues de rang A . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 46
3.5.2 Brevet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 48
3.5.3 Communications orales et posters . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 48
3.6 Recueil des articles et travaux significatifs . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 50
3.6.1 Normal modes Born, 2005, GJI . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 51
3.6.2 SEM-Normal mode soupling, 2003, GJI . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 59
3.6.3 Stacked sources waveform tomography, 2005, GJI . . . . . .
. . . . . . 93
3.6.4 Shallow layer correction, 2008, GJI . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 107
3.6.5 Non periodic homogenization, 1-D case, 2010, GJI . . . . .
. . . . . . . 123
3.6.6 Non periodic homogenization, 2-D P-SV case, 2010, GJI . .
. . . . . . . 137
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TABLE DES MATIRES 5
Rsum sur loriginalit des recherches
Le cadre de ma recherche est principalement centr sur la
sismologie comme outil permettantdimager lintrieur de la terre. Ce
cadre ma amen contribuer aux tudes la fois du prob-lme direct et du
problme inverse en sismologie. Pour ce qui est du problme direct,
jai surtouttravaill sur les mthodes de modes propres et sur les
lments spectraux. Mes principales contri-butions pour le problme
direct ont t le dveloppement dun couplage entre les lments
spec-traux et la mthode des modes propres pour la terre lchelle
globale et le dveloppement dunemthode base sur les perturbations au
premier ordre des modes propres proche des mthodesdadjoints
utilises pour le problme inverse. Ces travaux mont naturellement
amen min-tresser aux mthodes de tomographie bases sur linversion
des formes dondes compltes dessignaux sismiques. Jai dvelopp une
mthode utilisant la mthode couple lments spectraux- modes pour
rsoudre le problme direct et les perturbations de modes pour
calculer les drivespartielles des formes dondes par rapport aux
paramtres du modle. Loriginalit de lapprochedveloppe ici est lie
lutilisation des formes dondes sommes pour toutes les sources
pluttque les formes dondes individuelles comme cela est fait
classiquement. Lintrt de cette astuceest de diminuer le cot de
calcul de linversion de faon considrable. Finalement, les
diffi-cults lies au maillage des modles lastiques pour les lments
spectraux et celles lies laparamtrisation du problme inverse,
rencontres lors de ces travaux mont amen mintresser lhomognisation
de lquation des ondes lastiques. Ma contribution dans ce domaine a
tle dveloppement dune mthode dhomognisation deux chelles valable
pour les milieuxnon priodiques que sont les milieux lastiques
gologiques. De mon point de vue, lutilisationde lhomognisation en
sismologie est une avance importante. Ces travaux permettent de
fairele lien entre le modle tomographique (ne contenant que des
grandes chelles) obtenu par uneinversion de formes dondes et le
modle lastique rel (contenant des petites chelles).
Mes perspectives de recherches sont nombreuses, mais la
principale moyen terme est de ter-miner les avances sur
lhomognisation en sismologie en dveloppant un outil complet
adaptaux milieux gologiques 3-D et en lappliquant un certain nombre
de problmes en go-physique. Parmi ceux-ci, je vais mintresser la
gnration anormale dondes S par les ex-plosions, aux problmes des
htrognits de petites chelles proches de la surface libre et
ladistinction de lanisotropie induite de lanisotropie intrinsque.
long terme, mon objectif estde contribuer au dveloppement de
limagerie sismique en reprenant mes travaux sur les sourcessommes
en y incluant les rsultats de lhomognisation.
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6 TABLE DES MATIRES
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Chapitre 1
Expos synthtique des recherches
1.1 Introduction au cadre de recherche
En sismologie, deux grands axes de recherche peuvent tre dgags :
le premier concerne ltudedes sources sismiques et lautre ltude des
structures du sol. Pour le premier, on sintresse auxsignaux
sismiques gnrs par un tremblement de terre afin de contraindre
notre comprhensionde la rupture le long dune faille sismique. Dans
ce cas, on considre en gnral comme connule milieu gologique
transportant les ondes sismiques pour ne sintresser quau processus
quiles a gnres. Pour le deuxime, on sintresse des signaux sismiques
afin de contraindre lemilieu travers par les ondes lastiques. Dans
ce cas, on considre comme connu le processus quignre les ondes
sismiques pour ne sintresser principalement qu la structure
lastique ayantservi de support aux ondes.
Lun ayant besoin de lautre, ces deux axes de recherche ne sont
bien sr pas dcorrls. Ils ontnotamment en commun la rsolution du
problme direct (la propagation des ondes pour milieulastique et une
source donns) et les observations.Dans ce cadre trs gnral, mon
travail sest principalement ax sur la rsolution du problmedirect et
son application au problme de limagerie sismique par inversion de
la forme donde.
Bien quayant une signification plus spcifique dans le domaine de
lexploration ptrolire, jem-ploierai le terme imagerie sismique pour
dsigner lutilisation de donnes sismiques pourretrouver des
informations sur les proprits du sous-sol par la rsolution dun
problme inverse.
Dans cette introduction au contexte de mon travail de recherche,
je vais dabord brivement par-ler des donnes utilises dans ce
domaine, puis des diffrentes mthodes utilises pour rsoudrele
problme direct et enfin du problme inverse. Cet ordre de
prsentation (dabord les donnes,puis le problme direct et enfin le
problme inverse) peut sembler naturel dans le sens o lesobservables
conditionnent le problme direct qui lui mme impose des contraintes
sur la rsolu-tion du problme inverse. En pratique, linteraction
donnes-problme direct-problme inverse
7
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8 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
FIGURE 1.1 Un exemple de don-ne brute pour le sisme du
07/09/97,Ms=6.8 au Venezuela. En bas, le grandcercle entre la
source et la station. droite, le signal enregistr sur la
com-posante verticale de la station SSB.
est plus complexe que ce simple enchanement. En effet, notre
capacit rsoudre le problmedirect conditionne aussi le choix des
donnes de mme que notre capacit rsoudre le problmeinverse
conditionne le problme direct et les donnes. Par exemple, le succs
de lutilisation destemps darrives des phases sismiques est, par
bien des gards, d la rapidit et la simplicitdu problme direct et du
problme inverse associs. Cette remarque tant faite, je men tiendrai
une prsentation simplifie et rapide des donnes puis du problme
direct et enfin du problmeinverse utilis en sismologie pour les
problmes de tomographie et dimagerie.
1.1.1 Type de donnes en imagerie sismique
La donne de base en sismologie ou en exploration sismique est
lenregistrement des dplace-ments du sol (ou de leurs drives en
temps) gnrs par un tremblement de terre, par une sourceactive (une
explosion ou un tir de canon air) ou par une source de bruit (un
exemple de signalbrut enregistr par un sismomtre est donn figure
1.1). Ce type de donnes peut tre enregistrsur trois composantes ou
seulement sur la composante verticale et dans des bandes de
frquencesvariables selon le type de rcepteurs. Cette donne, la plus
gnrale, est appele la forme donde.Elle contient linformation sur le
sous-sol la plus riche disponible en sismologie.Bien que ce soit de
ce type de donnes que lon pourrait extraire le plus dinformations
sur lemilieu travers par les ondes, la forme donde nest jamais
utilise brute en pratique, du moinsjusqu prsent. La principale
raison de ce fait est que le problme inverse associ la formedonde
brute est trop coteux et trop complexe pour tre envisag pour
linstant (Ceci est nan-moins en train de changer pour la forme
donde dans des bandes frquences rduites, cest direpour des donnes
filtres). En gnral, les mthodes dimageries sont bases sur des
donnesrduites pour lesquelles le problme direct et le problme
inverse sont beaucoup plus simples(du moins avec certaines
hypothses) que pour la forme donde brute. Ces donnes rduites
sontprincipalement constitues des temps darrives des principales
phases sismiques (ondes P, S, PP,
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1.1. INTRODUCTION AU CADRE DE RECHERCHE 9
etc) pour les ondes de volumes, des vitesses de phases ou de
groupe pour les ondes de surface(ondes de Love, de Rayleigh, phases
X) et des frquences de modes propres de la Terre. Pourlexploration
sismiques, ce ne sont pas forcement les temps darrives qui sont
utiliss directe-ment mais plutt la cohrence des signaux diffrents
offsets, mais lide est similaire que pourles temps darrives ou les
vitesses de phases : cest linformation de phase qui prime.
Enfin, un nouveau type de dobservables est apparu rcemment avec
les corrlations du bruitsismique entre deux stations. Il a t montr
que ces corrlations, dans le cas idal, permettent deretrouver les
fonctions de green entre les deux stations (Shapiro & Campillo,
2004). Ces donnessont de plus utilises pour faire de limagerie de
la crote, mais encore une fois seules les vitessesde phases des
ondes de surface identifies sur les corrlations de bruit sont
utilises.
1.1.2 Le problme direct en sismologie
Lquation de base en sismologie est lquation des ondes lastiques
qui, si on nglige la gravit,peut scrire comme,
ttu = f , (1.1)o u(x, t) est le vecteur dplacement du sol en
tout point x et temps t, tt la drive seconde entemps, le vecteur
gradient ( et la divergence) (x, t), le tenseur des contraintes et
f(x, t)la force externe rsultant par exemple dun tremblement de
terre. Cette quation est associe larelation constitutive entre la
contrainte et la dformation, qui dans le cas lastique peut
scrire
= c : (u) , (1.2)
o (u) = 12(u+tu) est le tenseur de dformation, t la
transposition et c le tenseur lastique.
Pour complter ces quations, on ajoute des conditions initiales
sur le dplacement et la vitesseainsi que des conditions limites aux
bords du domaine. Pour lquation des ondes lastiques ouacoustiques
dans un cadre plus gnral (avec la gravit, lattnuation intrinsque,
...) on pourrapar exemple se rfrer Dahlen & Tromp (1998).
Le systme dquation ci-dessus est un systme dquations aux drives
partielles hyperboliquesqui ne prsente pas de difficult thorique
particulire pour sa rsolution numrique (sauf dans lecas o les
perturbations au potentiel de gravit ne peuvent tre ngliges en
prsence de liquidecomme cest le cas dans la graine externe et pour
les trs longues priodes, voir par exempleDahlen & Tromp 1998 ou
Chaljub & Valette 2004). Cependant, pour les applications
pratiquesdans la terre, le nombre de longueurs donde propager, le
nombre de sources et rcepteurs prendre en compte, la complexit des
modles gologiques (par modle gologique jentends icila description
de (, c) en fonction de la position) peuvent tre tels que cette
rsolution se rvletre extrmement difficile, en particulier si on a
besoin deffectuer cette rsolution rapidementdans loptique de
rsoudre le problme inverse. Il existe de nombreuses mthodes pour
rsoudreces quations et je ne vais brivement parler que de certaines
dentre elles et surtout celles quejai rencontres, de plus ou moins
prs, dans mon travail.
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10 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
La mthode des rayons est sans doute un des outils les plus
populaires en sismologie. Cetoutil est base sur une approximation
hautes frquences de lquation des ondes et permet demodliser trs
efficacement des donnes rduites comme les temps darrives des
premiresphases des ondes de volumes. Sa facilit dinterprtation, lis
sa similitude avec loptiquegomtrique, ainsi que sa grande efficacit
expliquent cette popularit. Il existe de nombreusesvariantes et de
trs nombreuses applications de cette mthode. Une bonne introduction
sur lesrais en sismologie est donne par Slawinski (2009).
La mthode des modes propres est aussi une mthode trs populaire
notamment en sismolo-gie globale o les ondes de surface sont trs
utilises. Elle consiste calculer dabord lesmodes propres dun modle
de terre en rsolvant lquation des ondes en frquence sans sec-ond
membre, puis obtenir des sismogrammes synthtiques en les sommant.
Contrairementaux tracs de rayons qui sont bass sur une hypothse
hautes frquences, les mthodes demodes propres rsolvent lquation des
ondes sous sa forme la plus complte (notamment enincluant la
perturbation au potentiel de gravit). Nanmoins, le calcul des modes
propres nepeut se faire efficacement que pour des milieux 1-D, cest
dire pour des milieux stratifis ou symtrie sphrique pour la terre
globale. La mthode pour calculer les modes est en gnralbase sur une
dcomposition spectrale horizontalement (des harmoniques sphriques
pour laterre globale), une rsolution des quations sous forme forte
verticalement et en frquences.Toute la difficult consiste trouver
toutes les frquences propres. Pour des dtails sur ce typede mthode,
on pourra consulter par exemple Takeuchi & Saito (1972),
Woodhouse (1988),Dahlen & Tromp (1998) ou, pour une version
simplifie, ma thse de doctorat (Capdeville,2000) et les rfrences
qui sy trouvent. Ces mthodes permettent de calculer trs
efficace-ment, pour un modle de terre 1-D donn, les donnes rduites
comme les courbes de vitessesde phases et de groupes des ondes de
surface.
Les perturbations des modes propres en milieux faiblement
htrognes. Comme il la t ditci-dessus, les calculs des modes propres
ne sont efficaces que pour des milieux 1-D. Ceci estlargement
suffisant si on ne sintresse quaux vitesses de phases et de groupe
des ondes desurface, et que lon considre que la terre est
suffisamment peu latralement htrogne pourquun modle moyen 1-D par
couple source-rcepteur constitue une bonne
approximation.Maintenant, si on sintresse la forme dondes de
certaines phases, que lon considre que leshtrognits latrales sont
de faibles amplitudes, les mthodes de perturbations des
modespropres sont adaptes. Ces mthodes sont asymptotiques, elles
sont dautant plus prcises quelamplitude des contrastes dhtrognits
est faible. Elles permettent de prendre en comptela propagation des
ondes dans un milieu 3-D partir de la base des modes propres 1-D.
Il existede nombreuses rfrences sur ce sujet, par exemple Woodhouse
& Dahlen (1978), Tanimoto(1984), Romanowicz & Snieder
(1988), Lognonn & Romanowicz (1990), Dahlen & Tromp(1998),
etc.
les diffrences finies. Si on veut saffranchir de la limitation
de faible amplitude des htrognits,il nexiste pas beaucoup dautre
choix que dutiliser des mthodes numriques pour rsoudredirectement
lquation des ondes (ou lquation de leikonal si on sintresse aux
temps dar-rives des ondes balistiques. Ce genre de mthode commence
a tre appliqu par lindustrieptrolire pour des migrations
itratives). Une des mthodes les plus populaires et les plusutilises
est sans doute la mthode des diffrences finies. Les diffrences
finies, en temps ou
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1.1. INTRODUCTION AU CADRE DE RECHERCHE 11
en frquence, sont bases sur une discrtisation des quations du
mouvement sous forme forte(base sur la version locale des quations
de llastodynamique). Elles ont souvent t util-ises avec succs pour
rsoudre lquation dondes deux ou trois dimensions lchellergionale
(voir par exemple Alterman & Karal 1968; Alterman et al. 1970;
Boore 1972; Al-ford et al. 1974; Kelly et al. 1976; Virieux 1986 ou
Moczo et al. (2007) et les nombreusesrfrences qui sy trouvent.
Certaines applications deux dimensions (axisymtrique) pourles ondes
SH ont t un succs dans la Terre globale (e.g. Chaljub &
Tarantola, 1997). Cettemthode est trs comptitive et trs utilise en
gophysique acadmique et industrielle. Saprincipale limitation est
sans doute la surface libre avec topographie qui est difficile
prendreen compte avec prcision avec cette mthode, comme cest le cas
pour la plupart des mthodesrsolvant lquation des ondes sous forme
forte.
les lments frontires. Les lments frontires (voir par exemple
Bouchon & Sanchez-Sesma2007) sont bass sur le thorme de
reprsentation qui permet de ne discrtiser que les fron-tires
dlments. Cette mthode est trs efficace tant que les fonctions de
Green ncessaires la mthode peuvent tre calcules simplement.
les lments finis Les lments finis, quant eux, sont bass sur une
formulation faible (basesur la version intgrale des quations de
llastodynamique) des quations, en temps ou enfrquence, qui intgre
naturellement les conditions aux limites telle que la surface libre
etdonc parfaitement adapts aux ondes de surface. Ces mthodes, avec
des bases polynmialesdordre faible, sont malheureusement peu
prcises, dispersives (Dupond, 1973; Backer, 1976;Marfut, 1984) et
finalement assez peu utilises en gophysique.
les mthodes spectrales ou pseudo spectrales rsolvent les
quations des ondes sous formeforte et sont bases sur un
dveloppement en Fourier ou en polynmes des solutions en es-pace
(voir par exemple Gazdag (1981) ou Kosloff et al. (1990)). Ces
mthode sont parmi lesplus efficaces pour des milieux lastiques
relativement simples, mais souffrent de difficultsen prsence dune
surface libre avec topographie et des milieux complexes avec des
disconti-nuits. Ces mthodes sont finalement assez peu utilises en
gophysique.
les lments spectraux La mthode des lments spectraux (Patera,
1984; Maday & Patera,1989) est une mthode dlments finis qui
utilise des bases polynmiales orthogonales dor-dre lev, issues des
mthodes pseudo-spectrales. Le choix de cette approximation
spatialeet dune quadrature numrique adapte conduit des rsultats
remarquables de convergencenotamment dans lapproximation des
systmes elliptiques dquations aux drives partielles(Azaiez et al.,
1994). Cette mthode, applique lquation de llastodynamique, donnedes
rsultats tout aussi remarquables dans le sens o toutes les ondes,
depuis les ondes devolume jusquaux ondes de surface, sont bien
modlises. De plus, pour des maillages hex-adriques, cette mthode
conduit par construction une matrice de masse diagonale, ce
quipermet dutiliser des schmas en temps explicite et dune grande
efficacit. Il existe de nom-breuses rfrences sur ce sujet (voir
Priolo et al. 1994; Seriani & Priolo 1994; Faccioli et al.1996;
Komatitsch & Vilotte 1998; Komatitsch & Tromp 1999; Vai et
al. 1999 ou Chaljub et al.2007 et les rfrences qui sy
trouvent).
Les mthodes de Galerkin discontinues ; Depuis peu, les mthodes
de Galerkin discontinuessont applique lquation des ondes en
sismologie (voir, par exemples, Dumbser & Kser(2006), Grote et
al. (2006), Etienne et al. (2009)). Pour ce type de mthodes, la
diffrence des
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12 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
mthode de type lments finis comme les lments spectraux, la
continuit des solutions entreles lments nest pas assures par
construction, mais par des changes de flux (il existeplusieurs
choix de flux possibles). Ces mthodes ont lavantage de pouvoir
accommodernaturellement les discontinuits du dplacement pour, par
exemple, des interfaces solides-fluides ou de part et dautre dune
faille en rupture. Cette mthode a aussi lavantage dtrebien adapte
aux maillages ttradriques et de permettre les discontinuits dordre
polynomialdun lment lautre.
Il existe de nombreuses variantes de toutes ces mthodes (en
temps, en frquence etc), mais, pourlinstant, il nexiste pas de
solution numrique universelle dominant toutes les autres et la
plupartsont couramment utilises et ont leurs adeptes selon les
applications.
1.1.3 Le problme inverse en sismologie
Comme il la t dit plus haut, un des objectifs de la sismologie
est de retrouver des informa-tions sur les proprits structurales,
de densit, lastiques, an-lastiques, etc, de la Terre. Ondsigne cet
objectif sous les noms de problme inverse, imagerie, tomographie et
dautres nomsencore selon les variantes des mthodes, selon les
communauts scientifiques et les contextesdans lesquels ces
techniques sont utilises. Compar aux problmes dimagerie rencontrs
dansle domaine mdical, le problme en sismologie prsente bien des
difficults. En effet, un desatouts de limagerie mdicale est que les
proprits acoustiques du corps humain sont bien con-nues et varient
trs peu par rapport celles de leau (voir table 1.1). Dans ce cas,
en choisissantune source dondes acoustiques pour laquelle la
mthodes des rayons est valable, cest dire desuffisamment hautes
frquences, le problme inverse pour repositionner les rflecteurs est
trivial.En effet, au vu des valeurs prsentes table 1.1, considrer
le corps humain comme homogne estune bonne approximation. Dans ce
cas, les rayons des ondes acoustiques sont de simples droitesentre
les sources et les rcepteurs et, connaissant la vitesse des ondes
acoustiques, linversionest une simple conversion du temps
denregistrement en distance la source. Cest le principede base de
lchographie mdicale, technique qui permet dimager lintrieur du
corps humainsans avoir daccs quantitatif aux proprits lastiques de
la zone image. Avec ces mthodes,les rflecteurs (interface avec un
contraste de vitesse) sont seulement positionns spatialement.Pour
le cas de la terre, bien que lide soit la mme que pour limagerie
mdicale, les choses sonten pratique plus compliques.
trs grandes chelles (plusieurs milliers de kilomtres), la
principale difficult vient des sourcessismiques et de la rpartition
des rcepteurs. ces chelles, seules les sources sismiques
na-turelles comme les tremblements de terre, et ventuellement
quelques explosions nuclaires,ont lnergie ncessaire pour clairer de
telles distances. Par ailleurs, les rcepteurs sismiquesne sont
places que trs irrgulirement sur la Terre (trs peu de stations au
fond des mers etsur terre, la plupart des stations sont placs dans
lhmisphre nord). En consquence, mme sila terre grande chelle est
relativement bien connue et que tracer des rayons dans des mod-les
de rfrence (comme, par exemple, le modle PREM, Dziewonski &
Anderson 1981) estrelativement simple, les mthodes types rflections
utilises en chographie mdicale sont dif-
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1.1. INTRODUCTION AU CADRE DE RECHERCHE 13
materiaux vitesse (m/s)lair 330la graisse 1450les tissus 1540le
cerveau 1541le sang 1570leau 1480
TABLE 1.1 Vitesses des ondes acoustiques dans le corps humain en
m/s
ficilement transposables la terre grande chelle. Les mthodes de
tomographie (qui existentaussi en imagerie mdicale) bases sur un
problme inverse plus sophistiqu quune simple con-version
temps-distance sont alors utilises. Cette technique nest pas adapte
pour positionnerdes rflecteurs, mais permet daccder certaines
proprits lastiques de la terre. Linversion sefait le plus souvent
avec les donnes rduites comme les temps darrive des principales
ondesde volume balistiques et les vitesses de phase et de groupe,
mais aussi avec la forme dondesen association avec un problme
direct appropri. De nombreux modles de manteau ont tainsi obtenus
avec les temps darrives de certaines ondes balistiques en utilisant
la mthodedes rais dans un modle de rfrence symtrie sphrique (il
existe un nombre importants depublications sur le sujet, dont, par
exemple Romanowicz (2003), pour une revue sur les mod-les
tomographiques globaux). De nombreux modles du manteau suprieur
sont obtenus grceaux mesures des vitesses de phase des ondes de
surface. Les formes dondes ont t utilisestrs tt associes un problme
direct une dimension (Woodhouse & Dziewonski, 1984),
puisassocies un problme direct 2-D (Li & Romanowicz, 1995).
Enfin, les formes des ondescommencent tre timidement utilises
grande chelle associ un problme direct 3-D (leslments spectraux)
(Fichtner et al., 2009). Pour linstant ces travaux utilisent des
fonctions cotsqui favorisent largement la phase du signal, et dans
un certain sens, ne sont pas compltementdes inversions de forme
donde au sens strict.
Pour les chelles locales (de quelques kilomtres lchelle de la
crote), dun ct le problmese rapproche des conditions de lchographie
mdicale du point de vue des sources et des rcep-teurs, mais sen
loigne du point de vue de la connaissance du modle de rfrence. En
effet, ces chelles, on utilise des sources actives (explosifs,
canons air, camions vibrateurs) con-trles et un grand nombre de
rcepteurs bien rpartis. Par contre les variations des
propritslastiques du sol cette chelle sont importantes (voir table
1.2) et a priori mal connues. De cefait, la technique lmentaire
consistant simplement transformer laxe des temps en distancele long
de rayons en ligne droite nest pas aussi simple pour la terre que
pour le corps humain.Pourtant, dans le domaine de lexploration
sismique, il existe nombre de mthodes bases sur lamme ide : la
migration. Il existe un trs grand nombre de variantes de la mthode
de migrationtrs utilise en exploration ptrolire (par exemple,
migration zro offset aprs normal moveout (Claerbout, 1985), la
migration de Kirchoff (Schneider, 1978), migration par
retournementtemporel (Baysal et al., 1983), etc) et cela depuis
longtemps (voir, par exemple, Bednar (2005) et
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14 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
matriau onde P (km/s) onde S (km/s)eau 1.5granite 5.6 2.9grs
1.4-4.3 0.7-2.8calcaire 5.9-6.1 2.8-3.0argile 1.0-2.5 0.4-1.0
TABLE 1.2 Vitesses dondes P et S (en km/s) dans diffrents
matriau de la crote.
les rfrences qui sy trouvent). Comme pour lchographie, les
techniques de migration perme-ttent principalement de positionner
des rflecteurs mais pas daccder aux paramtres lastiquesdu sous-sol
explor. De plus, lide de la migration est dutiliser la cohrence en
temps des tracesentre diffrents offsets aprs la migration, et donc
seule une information de temps darrive dusignal sismique est
utilise.
Pour aller plus loin, il a t reconnu trs tt en exploration
sismique que lutilisation de la formedonde complte associe avec un
problme direct adapt la gomtrie et des milieux forte-ment htrognes
a un potentiel dinformations trs important. Bien quune mthode de
typeMonte Carlo pour linversion serait lapproche la plus complte
pour rsoudre ce type de prob-lme, seule les inversions locales de
type moindre carr (Tarantola & Valette, 1982) ont tenvisages et
testes sur des problmes ralistes. Un pas significatif vers ce type
dimagerie a tfranchi lorsquil a t montr que le gradient de la
fonction cot de problme inverse par rapportaux paramtres du modle
peut tre calcul de faon trs efficace par la rsolution dun
problmedirect et dun problme adjoint (Lailly, 1983; Tarantola,
1984). Ce type de mthode peut tre im-plement en temps (voir par
exemple Tarantola (1986), Mora (1987)) ou en frquences (voir
parexemple Pratt & Worthington (1990)). Du aux problmes de cot
de calcul, de telles approcheset dalgorithme (problme des minimums
locaux de la fonction cot de problme inverse), cetype de mthodes na
commenc tre envisageables pour des cas rels que rcemment et
desrsultats prometteurs sont montrs 2-D et 3-D (voir Virieux &
Operto (2009) pour une revuede ce domaine).
Dune manire gnrale, il semble que lobjectif long terme des
communauts travaillant lchelle globale et lchelle locale est bien
daller vers linversion de la forme donde totale.Cet axe de
recherche a toujours t en avance dans le domaine de lexploration
ptrolire, maisfinalement, au moment o ces travaux commencent
aboutir, les communauts travaillant grande chelle, voire lchelle
globale, se rapprochent de plus en plus des techniques utilisesen
exploration ptrolire.
-
1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 15
1.2 Mon travail dans ce cadre
Depuis le dbut de ma carrire en recherche, cest dire depuis mon
stage de DEA, jai contribude manire plus ou moins significative la
plupart des tapes mthodologiques de la sismolo-gie vue comme un
outil pour imager la terre. Jai divis ces contributions en
Contributions auproblme direct et Contributions au problme inverse
bien que ces distinctions ne soient pastout fait videntes. Par
exemple, la rsolution du problme direct oriente vers la rsolution
duproblme adjoint pourrait se trouver dans la section problme
inverse. Mon travail sur lho-mognisation appliqu lquation des ondes
lastiques ayant des applications aussi bien dansla rsolution du
problme direct que du problme inverse, se trouve dans une section
part.
1.2.1 Contributions au problme direct
Les perturbations de modes propres au premier ordre : couplage
de modes
Mon premier travail en sismologie a consist calculer leffet dun
hypothtique point chaudsur les ondes de surfaces longues priodes.
Ce travail a t publi dans larticle Capdeville et al.(2000). Les
panaches mantelliques tant supposs constituer une htrognit de
relativementfaible contraste en termes de vitesses sismiques et de
densit, une mthode de perturbation parrapport un modle de rfrence
sans le point chaud semble une bonne approche. Pour desdonnes
longues priodes lchelle globale, pour un modle de rfrence symtrie
sphrique(1-D), la mthode des modes propres est trs efficace. Si on
rcrit les quations des ondesprsentes section 1.1.2 en frquence
comme :
L()u = f (1.3)
avecL()u = 2u + Au (1.4)
o, par exemple, Au = dans le cas lastique sans gravit. La base
de modes propres estconstitue de lensemble des solutions
L(k)uK = 0 , (1.5)
o k est la frquence propre associe aux modes uK . Ces solutions
ne peuvent tre calculesde faon relativement simple uniquement pour
les modles de terre symtrie sphrique, etdans ce cas, les modes sont
dgnrs. Ceci explique quil y ait plusieurs modes propres uK
parfrquences propres k, et cest pour cette raison que lon utilise
deux indices K = (q, n, l,m)et k = (q, n, l), o q est le type de
solution (sphroidale (Rayleigh) et toroidal (Love)), n estlordre
radial, l lordre angulaire et m lordre azimutal. Pour des modles
plus complexes brisantcette symtrie, on ne cherche pas les modes de
faon direct, mais comme une solution perturbedun modle de rfrence
1-D. Au premier ordre (approximation de Born au premier ordre),
la
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16 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
perturbation de dplacement u due la perturbation du modle
symtrie sphrique L scritcomme :
u(rr, t) v =
KK
gkk(t)
V
RK(rr)LKK(r)SKdr , (1.6)
o rr est la position du rcepteur, v est un vecteur rcepteur,
RK(rr) un terme rcepteur associau mode K, SK un terme source associ
au mode K , gkk un terme en temps qui nimplique queles frquences k
et K et dont les expressions peuvent tre trouves dans Capdeville
(2005), etle terme de couplage des modes K et K ,
LKK(r) = u?K(r) L(r)uK(r) . (1.7)
Lintgrale sur le volume de lquation (1.6) peut tre calcule grce
une intgration numriqueou par une mthode spectrale. Pour une
htrognit localise comme un point chaud, il estjudicieux de passer
par une intgration numrique car la mthode spectrale ncessiterait un
de-gr dexpansion trs lev pour reprsenter correctement lhtrognit.
Lavantage de ce typede formulation est que lon peut examiner
explicitement les couplages entre les diffrents har-moniques et les
types de modes (Love et Rayleigh). Le dsavantage est le cot calcul
qui aug-mente de faon vertigineuse avec le nombre de mode (avec la
frquence la puissance 4 parpoint dintgration). Pour ce qui est de
leffet de points chauds proprement dit, la conclusion dece travail
est que cet effet est relativement faible et malgr la conclusion
relativement optimistede larticle, il est clair quobserver cet
effet sur les donnes longues priodes est difficile.
Les perturbations de modes propres au premier ordre : problme
adjoint
Aprs ce premier travail sur les modes, jai repris cette mthode 4
ans plus tard avec pour objec-tif de calculer les drives partielles
des fonctions de Green par rapport au paramtre dcrivantle modle de
terre (drives de Frchet) du problme inverse de forme donde avec les
sourcessommes lchelle globale (voir section 1.2.2). En effet, pour
un modle de terre de dpart symtrie sphrique lapproximation de Born
au premier ordre est un calcul exact des drives deFrchet. Il est
possible de reprendre le travail de la section prcdente et de
lappliquer directe-ment au problme du calcul des drives de Frchet.
Cependant, dans le cas de terre globale,lintgrale de lquation (1.6)
portant sur tout le volume de terre et plus seulement sur le
volumetrs rduit dun panache mantellique, ce calcul devient vite
extrmement lourd. Pour rduirece cot de calcul, une ide assez simple
est dutiliser les rsultats de Lailly (1983) et Taran-tola (1984)
montrant que le gradient de la fonction cot du problme inverse
associ la formedonde peut tre calcul avec deux problmes directs
seulement, un depuis la source et un adjointdepuis les rcepteurs et
en convoluant ces deux champs de manire adquate en tous points de
laterre. Ce rsultat peut tre facilement obtenu en partant des mmes
quations qui aboutissent aucouplage des modes quations (1.6) pour
aboutir :
u(rr, t) v =
V
+
B(r, , rr) L(r)F(r, t)ddr , (1.8)
-
1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 17
o le champ calcul depuis les rcepteurs aux points dintgrations
est,
B(r, t, rr) =
K
u?K(r)RK(rr)gak(t) , (1.9)
et celui depuis la source aux points dintgrations est,
F(r, t) =
K
uK(r)SKgbk(t) , (1.10)
o gak et gbk sont des fonctions du temps, qui nimpliquent que la
frquence k, dont les expres-
sions peuvent tre trouves dans Capdeville (2005). La
perturbation de dplacement v due uneperturbation du modle de terre
donnant une perturbation L de loprateur lastique se calculecomme la
convolution dun champ direct F et dun champ adjoint B, ces deux
champs tantcalculs dans le modle de dpart symtrie sphrique. Avec un
tel algorithme, si fmax est lafrquence maximum de la source, le cot
calcul pour un point diffractant croit comme f 2max comparer avec f
4max quand on couple les modes. Cet algorithme rend possible
lutilisation desmodes propres pour calculer les drives partielles
dans le modle de dpart symtrie sphriquepour linversion de forme
donde. Ce travail est publi dans Capdeville (2005) o des exemplesde
comparaisons dans le cas anisotrope avec les lments spectraux sont
donns. Cet algorithmepeut aussi tre utilis comme problme direct au
premier ordre. Les limites dune telle utilisationsont montres dans
Capdeville (2005).
Le couplage lments spectraux avec les modes
Comme il peut ltre vu dans les exemples donns dans Capdeville
(2005), lutilisation de lamthode de perturbations au premier ordre
pour la rsolution du problme direct est trs limite.En effet, les
effets non linaires (diffractions multiples) apparaissent
rapidement sauf pour destemps de propagation trs courts ou des
modles 3D avec des amplitudes dhtrognits trsfaibles. lchelle
globale, la crote et la couche D sont des zones suffisamment
htrognespour rendre inutilisable les mthodes de perturbation, mme
longue priode, sauf pour lesmodes de vibrations les plus graves.
Pour la terre globale, une ide attrayante est dutiliser unemthode
numrique directe non limite sur le type dhtrognit, mais
numriquement lourde,pour rsoudre lquation des ondes dans la crote
ou dans la couche D et une mthode demode o la terre peut tre
considre comme symtrie sphrique. Cest sur cette ide de dpartqutait
base la plus grosse partie de mon travail de thse. Par chance, en
1997, au dbut dece travail, les lments spectraux bass sur la
quadrature de Gauss-Lebatto-Legendre venaientdtre introduits en
sismologie lIPGP (Komatitsch, 1997; Komatitsch & Vilotte, 1998)
et Em-manuel Chaljub commenait sa thse sur son application lchelle
globale (Chaljub, 2000).Les lments spectraux tant la premire mthode
numrique directe capable de rsoudre tousles types dondes avec
prcision pour un modle de terre complexe, le couplage lments
spec-traux - modes sest impos naturellement. Les lments spectraux
sont bass sur la forme faiblede lquation des ondes. Cette dernire
peut tre obtenue en multipliant lquation (1.1) par une
-
18 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
fonction de dplacement admissible w, en intgrant sur le volume
et en utilisant la formule deGreen pour le terme lastique. La forme
faible des quations est alors, pour tout dplacementadmissible
w,
(ttu,w) + a(u,w) T,w = (f ,w) , (1.11)o
(u,v) =
+u(x).v(x)dx, (1.12)
a(u,w) =
+[u : c : w](x)dx (1.13)
etT,w =
(T.w)(x)dx . (1.14)
T est la traction appliqu par le domaine o les modes sont
utiliss sur celui des lmentsspectraux. Les dfinitions de , + etc
sont donnes figure 1.2.
FIGURE 1.2 Gauche : schma en coupe de la terre avec la surface
libre () de rayon r,les zones solides (S) les zones fluides (F ),
les interfaces solides-solides (FF ) et solides-fluides (FS).
Droite : un exemple de dcomposition de domaine o les lments
spectraux sontutiliss dans le domaine + et les modes dans . est
linterface de couplage. Il ny a danscet exemple quune seule
interface de couplage, mais il est possible den avoir plus
notammentpour les applications la couche D (voir figure 1.3).
Le couplage seffectue par le terme de surface (1.14). La
solution modale permet de calculer unoprateur A tel que
T = A(u) , (1.15)o u est le dplacement du ct des lments
spectraux sur linterface de couplage. Cet opra-teur est un oprateur
Dirichlet to Neumann (DtN) car il transforme une condition un
dplacementen une condition limite en traction. Cet oprateur est
global sur . Une des principales difficultsde ce couplage vient du
fait que cet oprateur est calcul en frquence alors que les
lmentsspectraux sont ici utiliss en temps. Cette oprateur ne
pouvant pas tre numriquement calculsur une bande de frquence
infinie, une troncature en frquence est introduite. Cette
troncatureest quivalente un filtre passe bas, et ce genre de filtre
est acausal. Loprateur causal A devient
-
1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 19
donc numriquement acausal, ce qui devrait rendre le couplage
impossible. La solution adopteici est une rgularisation avec un
oprateur asymptotique de A vers les hautes frquences quipeut tre
pass en temps analytiquement. En pratique, le couplage donne de trs
bons rsultatscomme le montrent les publications Capdeville et al.
(2003) et Capdeville et al. (2003). Cettemthode a t applique pour
une tude des htrognits dans la couche D pouvant expliquerles
anomalies observes sur les ondes Sdiff (To et al. (2005), voir
figure 1.3), pour des tests devalidations (Capdeville et al., 2002;
Capdeville, 2005; Capdeville & Marigo, 2008; Romanowiczet al.,
2008; Panning et al., 2009) pour tester les modles tomographiques
(Qin et al., 2006; Qinet al., 2008; Qin et al., 2009) et pour
linversion de forme donde lchelle globale (Capdevilleet al.,
2005).
FIGURE 1.3 Schma dun couplage lments spectraux - modes utilis
pour la couche D. Leslments spectraux, utiliss pour la couche D,
sont pris en sandwich entre deux domaines desolutions modales pour
le manteau et la graine. Le maillage est reprsent pour deux
rgionssur 6 et les couleurs reprsentent les variations de vitesses
dondes S du modle SAW12d (Li &Romanowicz, 1996)
Comparaison lments spectraux - perturbations de modes
Une des difficults importantes des travaux de dveloppement de
solutions numriques est lie leur validation. Cest un travail
souvent difficile faute de solution de rfrence adquate. Pour
-
20 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
la terre lchelle globale et dans des modles symtrie sphrique, la
solution modale nestpas une solution analytique (elle est quasi
analytique pour une boule homogne, voir Capdeville(2000)), mais est
dune prcision telle quon peut la considrer comme une solution de
rfrencevis vis des lments spectraux utiliss dans le mme contexte.
La solution modale a t utilisecomme solution de rfrence pour
plusieurs travaux dont Capdeville (2000), Capdeville et al.(2003),
Chaljub (2000), Chaljub et al. (2003), Chaljub & Valette (2004)
ou Komatitsch & Tromp(2002). Pour le cas latralement htrogne,
les choses ne sont pas aussi simples. Si on se placedans le cas de
contrastes dhtrognits latrales damplitudes tendant vers zro, alors
la mth-ode de perturbations de modes propres au premier ordre
constitue, quelques dtails prs, unemthode exacte. Dans ce cas, les
perturbations de modes propres sont une mthode de rfrencepour les
lments spectraux et elle a t utilise dans ce sens dans Capdeville
(2005). Si lescontrastes dhtrognits latrales deviennent non
ngligeables, cest linverse, les lmentsspectraux, tant capables de
capturer les effets de diffractions multiples, deviennent la
solutionde rfrence pour tester les limites des perturbations de
modes dans ce contexte. Cela t le casdans Capdeville et al. (2002)
et Capdeville (2005).
Le renversement temporel en sismologie
Jai particip aux travaux de thse de Carne Larmat sur le
retournement temporel en sismolo-gie, notamment en crivant un
programme de retournement temporel, bas sur les modes propres,pour
des modles de terre symtrie sphrique. Ce programme est toujours
utilis et sert actuelle-ment pour la thse de Huong Phung sous la
direction de Jean-Paul Montagner. En principe, leretournement
temporel est bas sur linvariance de lquation des ondes (1.1) avec
le changementt t. Si on considre un contour volume fictif V de
contour V , le thorme de reprsenta-tion (Aki, 1981), crit de manire
simplifie, permet de calculer le dplacement u en tout pointy de V
comme :
u(y) =
V
G(x,y)f(x)dx3 (1.16)
+
V
G(x,y)T(u)(x)dx2 (1.17)
+
V
u(x)c : G(x,y) ndx2 (1.18)
+
V
G(x,y) u0(x)dx3 (1.19)
+
V
G(x,y) u0(x)dx3 (1.20)
o G(x,y) est la fonction de Green dun point x un point y, ,
lopration de convolutionen temps et de produit scalaire, T(u) la
traction due au champ u sur linterface V , n la nor-male sortante
du contour V , u0 et u0 les conditions initiales du champ de
dplacement et devitesse. Le dplacement u(y) scrit comme une somme
de contributions o (1.16) correspond
-
1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 21
la contribution des sources externes dans V , (1.17) aux
contributions des tractions sur le con-tour V , (1.18) aux
contributions des dplacements sur V , et (1.19) et (1.20) aux
contributionsdes conditions initiales dans V . Pour une exprience
de retournement temporel, on considre unproblme direct pour une
force ponctuelle dans V . On enregistre le dplacement u et la
tractionT(u) sur le contour V jusqu un temps tmax tel quil ny ait
plus dnergie lastique dans V .Si on inverse le temps partir de tmax
et quon injecte les enregistrements de dplacement et detraction sur
le contour V , on peut montrer, en se basant sur le thorme de
reprsentation, quele champ dondes va se propager vers la source,
puis re-focaliser avant de re-diverger (voir, parexemple, Cupillard
2008) . Cest le retournement temporel tel que le pratique lquipe de
Math-ias Fink (voir, par exemple, Fink 1992). Maintenant, si on
applique le mme principe la terre,il y a un problme. En effet, les
rcepteurs tant la surface libre, le contour V se confond avecla
surface libre. Dans ce cas, la traction enregistre au bord T(u) et
la traction de la fonction deGreen au bord c : G(x,y) n sont, par
dfinition, nulles pour tous les temps et ne contribuentpas au
thorme de reprsentation. Par contre, si on ne considre pas
lattnuation, les conditionsfinales ne seront jamais nulles dans V
et ce sont elles qui permettent de faire du retournementtemporel
dans ce cas. Par exemple, pour une simulation numrique, un pas
temps donn, ilsuffit dinverser le signe du champ de vitesse, puis
de continuer la simulation pour observer unere-focalisation la
source. Malheureusement, pour la terre, nous ne disposons pas de
rcepteurdans le volume et le renversement temporel est
impossible.
Pour autant, tout nest pas perdu et on peut faire quelque chose
proche du retournement temporeldans la terre. En effet, en
injectant le champ de dplacement enregistr au bord V dans la
ligne(1.17) la place de la traction, on observe une re-focalisation
la source. Linterprtation duphnomne est la suivante : si on
considre le problme de minimisation dun systme de forcesf(x, t) sur
la surface libre tel que
C(f) = (dG f)2 , (1.21)
o d reprsente lensemble des donnes, une convolution la fois
spatiale et temporelle, Glensemble des fonctions de Green depuis
les points de la surface vers les rcepteurs. Lobjectifest de
trouver f tel que C(f) soit minimum. Le calcul de linverse de G par
rapport loprationde convolution spatiale et temporelle ntant pas
trivial, on peut au moins calculer le gradient dela fonction cot
par rapport f . Le gradient de C(f) par rapport aux paramtres du
problme(cest dire la nappe de force f(r) o r appartient la surface
de la terre), est
C
f|f=0 = 2GT d , (1.22)
o T est la transposition. G tant symtrique, cest exactement ce
quon a fait en injectant lechamp de dplacement enregistr au bord V
dans la ligne (1.17) la place de la traction, onminimise donc C(f).
Ceci permet dexpliquer la re-focalisation dans ce cas et galement
le faitque le mcanisme au foyer peut tre observ sur les images de
re-focalisation. Cest lquation(1.22) qui est implmente dans le
programme bas sur la mthode des modes voque au dbutde cette
section.
-
22 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
1.2.2 Contributions au problme inverse
Aprs avoir travaill sur le problme direct, notamment les lments
spectraux, il semble asseznaturel de sintresser au problme inverse.
Lapport des lments spectraux la sismologietant une bonne
modlisation de la forme donde complte et ayant pour ma part
principalementtravaill lchelle globale durant ma thse et les
premires annes de mon post-doc Berkeley,le problme inverse de la
forme donde longue priode et lchelle globale sest impos delui
mme.
Inversion de la forme donde complte : la mthode des sources
sommes lchelle globale
Au moment o jai commenc ce travail (en 2002), lutilisation des
lments spectraux tait en-core trop lourde numriquement pour
envisager un problme inverse par couple source - stationcomme cela
est fait pour les temps darrives. Pour rduire considrablement le
cot de cal-cul dun problme inverse de forme donde avec les lments
spectraux (ou une autre mthodenumrique) lide utilise dans
Capdeville (2005) est la suivante : les lments spectraux peu-vent
modliser la propagation des ondes de plusieurs sources en mme temps
sans augmenter lecot de la simulation. Bien sr, aux rcepteurs, on
enregistre la somme des sismogrammes dechaque source prise sparment
sans aucun espoir de pouvoir les sparer a posteriori. Si on nepeut
obtenir de cette manire les enregistrements aux rcepteurs dus
chaque source individu-elle, on peut par contre sommer les donnes
relles aux stations pour toutes les sources. Par ceprocd, les
donnes relles sommes sont comparables la simulation des sources
sommeset un problme inverse peut tre construit sur cette observable
secondaire. Les tests effectus
FIGURE 1.4 Configuration sources - stations utilise pour
lexprience dinversion par la mth-ode des sources sommes avec des
donnes relles.
dans Capdeville (2005) montrent que cette ide peut donner de
bons rsultats et ceci est con-firm par les travaux utilisant la mme
ide mais lchelle de lexploration sismique (Krebs
-
1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 23
et al., 2009; Ben Hadj Ali et al., 2009a; Ben Hadj Ali et al.,
2009b). Pour lchelle globale, unedes grandes difficults de la
mthode est lie aux donnes manquantes. Ces dernires doiventidalement
tre remplaces par des donnes synthtiques calcules dans les modles
intermdi-aires obtenus au cours du processus dinversion itratif.
Les donnes manquantes tant souventnombreuses, calculer ces
synthtiques peut tre un problme majeur. La solution adopte
parCapdeville (2005) est de remplacer ces donnes manquantes par des
synthtiques calculs aupremier ordre avec des perturbations de modes
propres. Une inversion sur des donnes rellesavec cette mthode a t
tente en 2003 en collaboration avec Y. Gung et B. Romanowicz.
Lesrsultats tant peu concluants, cette dernire na jamais t publie,
mais en voici une partie. La
FIGURE 1.5 Statistique de la prsence de donnes pour lexprience.
En ligne les vnements,en colonnes les stations. Un carr noir
indique le prsence de la composante Z de la donne.Il y a ici 84.6%
de prsence de donnes. Le graphique gauche indique la prsence ou
nondvnements dans les 8 heures avant ou les 6 heures aprs lvnement
principal. La taille descarrs correspond la magnitude (le gros carr
bleu correspond une magnitude 4.5)
configuration sources - stations de lexprience est montre figure
1.4. Le point difficile est trou-ver un maximum de donnes pour
cette configuration. Il apparat que pour cette configuration,
-
24 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
Exemple de traces sommes pour la station CMB (Berkeley). La
bande de priode slectionneest 160 s-300 s.
FIGURE 1.6
84.6% des donnes sont disponibles et la statistique de prsence
des donnes est montre figure1.5. Un exemple de donne somme est
montr figure 1.6 pour la station CMB. Un rsultat delinversion aprs
trois itrations est montr figure 1.7 et compar avec le modle
tomographiqueSAW24 (Mgnin & Romanowicz, 2000) tronqu au degr 8.
Le modle obtenu nest pas com-pltement stupide, mais de nombreux
problmes sont visibles, notamment on peut voir la sig-nature du
maillage utilis pour la paramtrisation du modle (concentration des
htrognitssur les coins du maillage). De mon point de vue, le
problme principal de cette exprience estque seules les htrognits
dondes S sont inverses et que, pour la forme donde, ce nest plusle
paramtre dominant (les htrognits anisotropes ont aussi un effet trs
important sur lesformes dondes). Ces effets constituent un bruit
important pour ce problme inverse et polluentles rsultats. Pour un
meilleur rsultat, il faut donc, soit inverser un jeu de donnes
massif (cequi est loin dtre le cas ici), soit inverser les
paramtres manquants (comme lanisotropie). Cest
-
1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 25
ce deuxime chemin que je commenais emprunter quand les problmes
de paramtrisationsverticales et les htrognits dans la crote mont
amen lhomognisation. Jespre revenir ce problme inverse
prochainement.
FIGURE 1.7 Comparaison de linversion de forme donde avec la
mthode des sources sommes( gauche) avec le modle tomographique
SAW24 (Mgnin & Romanowicz, 2000) tronqu audegr 8 ( droite).
Benchmark des mthodes tomographiques lchelle globale
La prcision des lments spectraux peut tre mise profit pour
tester les mthodes tomo-graphiques existantes et aussi tester les
modles tomographiques existants. Cest ce qui a tfait durant la thse
de Yilong Qin et publi dans Qin et al. (2006), Qin et al. (2008) et
Qin et al.(2009).
Pour ce qui est de tester les mthodes tomographiques existantes,
nous sommes partis du constatquil existe actuellement de nombreuses
mthodes tomographiques (une par groupe de recherchedans ce domaine,
ou presque). Ces mthodes ont produit de nombreux modles, et ce qui
est
-
26 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
remarquable est que ces modles, mme sils sont diffrents dans les
dtails, ont, pour la plupart,leurs grandes lignes en commun (voir
figure 1.8).
FIGURE 1.8 Diffrents modles tomographiques lchelle globale par
diffrents groupes(SAW24B16 : Berkeley ; S362D1 : Havard, SB4L18 :
Scrippys ; S20RTS : Oxford ; Grand :Haustin). Figure daprs B.
Romanowicz.
Ces points communs entre les diffrents modles existent-ils car
ils correspondent des struc-tures relles de la terre ou bien parce
que ces mthodes ont toutes une base commune ? moinsque ce ne soit
un peu des deux. Dans le but de tenter de rpondre ces questions,
dans le cadre duprojet europen SPICE, un test en aveugle a t
dvelopp. Il est constitu dun jeu de donnessynthtiques gnr dans un
modle de terre raliste et complexe grce aux lments spectraux.Ces
donnes devaient ensuite tre utilises par diffrents groupes (du
projet SPICE et extrieur)de faon aveugle (c..d sans rien connatre
du contenu du modle retrouver) et ainsi dter-miner les succs mais
aussi les erreurs individuelles et communes de ces diffrentes
techniques.Le modle de terre raliste a t gnr en collaboration avec
V. Maupin (Universit dOslo).Cette base de donnes a eu un succs
mitig car seulement deux groupes ont test leur mthodesur ce modle
(un 3eme est en train de lutiliser actuellement). Ces tests
montrent dabord unecertaine robustesse de ces mthodes mais
permettent de quantifier plusieurs problmes connusde ces mthodes
bass sur les ondes de surface, comme limportance des corrections de
crote,la perte de rsolution en profondeur, ltalement des htrognits,
la difficult de retrouver lavraie amplitude des htrognits notamment
pour lanisotropie, etc. A posteriori, pour fournirun meilleur test
la communaut sismologique, il aurait fallu fournir des bases de
donnes pourplusieurs modles synthtiques (un facile, un plus complet
et un difficile avec notamment deshtrognits de petites chelles) et
une bande de frquence plus large (mais cela ncessiteraitbeaucoup
plus de ressources informatiques que ce que nous avons utilis). Ces
travaux sont pub-lis dans Qin et al. (2006) et Qin et al.
(2008).
Un test proche du prcdant consiste tenter dvaluer la qualit de
certains modles tomo-graphiques avec les lments spectraux. Lide est
cette fois de collecter un jeu de donnes rellesde bonne qualit, de
modliser ces donnes dans diffrents modles tomographiques grce SEMet
de comparer la qualit des prdictions des diffrents modles. Cest
cette ide qui a t utilise
-
1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 27
dans Qin et al. (2009). Si ce travail montre que tous les modles
tests amliorent la qualit de laforme donde par rapport un modle de
rfrence symtrie sphrique, il apparat aussi quiltrs difficile de
distinguer les diffrents modles de cette manire. En effet, il
apparat dabordquaucun de ces modles nest adapt au calcul de la
forme donde. Ceci est principalement daux corrections de crote qui
sont apportes ces modles. En effet, la crote est trop fine et
tropcomplexe pour tre inverse avec ces mthodes et, pour viter
quelle ne pollue les modles, soneffet est corrig avec plus ou moins
de succs grce un modle de crote a priori. Malheureuse-ment, leffet
de cette crote doit tre pris en compte dans les simulations et il
faut donc re- inclurecet effet qui a t si difficile enlever.
Malheureusement, il est presque impossible dinclure lacrote dans
les lments spectraux de faon consistante avec la mthode de
correction utilisedans les mthodes tomographiques (qui sont de plus
diffrentes pour chaque modle). De plus,a posteriori, cette faon de
tester les modles nest probablement pas trs pertinente. En
effet,lobjectif de ces mthodes tomographiques nest pas de bien
prdire la forme donde mais deretrouver linformation sur la terre.
Si on recherche un modle de terre exhaustif (cest direavec tout ce
que lon peut imaginer influencer la forme donde), un bon modle de
terre devraitbien prdire les formes dondes. En pratique, ce nest
pas ncessairement le cas, par exemple, siune mthode est uniquement
faite pour retrouver les htrognits donde P. Dans ce cas, mmesi
leffet de londe P nest pas dominant sur la forme donde pour les
signaux sismiques prisindividuellement, on va slectionner un grand
nombre de donnes et les traiter de telle faon quetous les autres
effets (htrognits dondes S, de densit etc) deviennent, par effet
statistique,le plus faible possible par rapport celui des htrognits
de londe P. De cette faon on peutretrouver les htrognits de londe P
sans pour autant expliquer beaucoup deffets sur les don-nes. De
manire gnrale, le meilleur modle dun paramtre donn nest pas
forcement celuiqui explique le mieux les formes dondes, et, pour
conclure par un exemple, il se peut quun trsbon modle donde P
explique moins bien les formes donde quun mauvais modle donde
S.
Utilisation de la forme donde des corrlations de bruit
Un domaine trs la mode ces dernires annes concerne lobtention de
fonctions de Greenentre deux rcepteurs en corrlant les donnes de
bruit (sans sisme). Il a t en effet montrque, si le bruit est idal,
ces corrlations du bruit sismique entre deux rcepteurs permettent
deretrouver les fonctions de Green entre les deux stations
sismiques utilises (Lobkis & Weaver,2001). Ce procd est trs
sduisant car il permet dobtenir des donnes sans sisme et il a djt
utilis pour produire des images tomographiques partir des vitesses
de phases dondes desurface (voir, par exemple, Shapiro et al.
2005). Pour linversion de forme donde, ces donnessont
potentiellement trs intressantes pour la mthode des sources sommes
car il nexiste au-cune donne manquante dans ce cas. Lobjectif de ce
travail tait donc dvaluer notre capacit modliser ces fonctions de
Green rsultant des corrlations de bruit. Ce travail sest fait
dansle cadre de la thse de Paul Cupillard (soutenue en avril 2008).
La principale difficult de cetravail vient du fait que le bruit rel
est loin dtre idal et que lhypothse dune vraie fonc-tion de Green
nest pas valable pour une propagation 3D. Par exemple, ces
corrlations nontpratiquement pas de modes harmoniques alors que les
vraies fonctions de Green en ont. La pre-
-
28 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
mire partie de ce travail a t de montrer que lon retrouve bien
la forme donde dans un milieuanlastique malgr les traitements non
linaires appliqus aux donnes (Cupillard & Capdeville,2010). Du
fait de la rpartition du bruit rel, les corrlations de bruit ne
donnent pas vraiment desfonctions Green, mais plutt des fonctions
de green convolues partialement et temporellementpar une source
dterminer. Lide ici tait de trouver un contour de stations autour
de la stationsource, de retourner temporellement le signal sur ce
contour grce au thorme de reprsentationpour retrouver des
conditions initiales les plus centres possible sur la station
source. Ces con-ditions initiales peuvent tre considres comme la
source des corrlations centre sur la stationen question. Il a t
montr durant la thse de Paul Cupillard que cette approche est
possibleet les essais sur des donnes relles ont t concluants.
Cependant, le procd est suffisammentcomplexe pour que linversion
des formes donde des corrlations par la mthode des sourcessommes ne
soit pas envisage pour linstant.
1.2.3 Homognisation
Depuis 2006, mon activit principale de recherche est axe sur
laspect multi-chelles de lapropagation dondes et de limagerie
sismique. De 2006 2009, jai effectu ce travail dans lecadre de lANR
blanche MUSE que jai dirig. Bien que je lai pour linstant
principalementappliqu au problme direct, ce travail rentre aussi
bien dans la catgorie du problme direct quedu problme inverse.
Pour le problme direct, lide est que dimportantes limitations et
difficults des mthodes nu-mriques telles que les lments spectraux
sont lis aux chelles plus petites que la longueurdonde. Ces petites
chelles imposent un maillage fin, souvent difficile raliser et
impliquant uncot de calcul trs important. Une solution serait de
remplacer les dtails du milieu plus petits quela longueur donde par
un milieu quivalent effectif, mais il nexistait pas de solution
pour trouverce milieu effectif jusqu prsent. Lobjectif de ce
travail est de trouver le milieu effectif ainsique les quations
effectives pour un modle lastique et pour une bande de frquences
donnes.Ces problmes multi-chelles sont trs tudis et bien connus en
mcanique des matriaux etont donn lieu la thorie de lhomognisation
des milieux priodiques. Nous appliquons ettendons ces techniques au
cas dynamique et non priodique. La principale difficult apparatpour
le cas non-priodique et pour les dimensions spatiales strictement
suprieures un.
Pour le problme inverse, les progrs dans le problme direct
permettent maintenant daborder leproblme de linversion de la forme
donde complte, mais, pour des raisons de cot, uniquementdans une
bande de frquences limite. Dans ces conditions, les modles
tomographiques obtenusne sont en aucun cas le vrai modle, mais une
version effective de ce modle. Il est doncprimordial de comprendre
la relation entre un vrai modle et celui vue par le champ
dondesdans cette bande de frquences. Lhomognisation est donc
indispensable dans un but din-terprtation des modles
tomographiques. Pour un problme dimagerie, nous pouvons utiliserles
rsultats dhomognisations pour trouver une paramtrisation
consistante avec la bande defrquences utilise et ensuite pour
trouver les modles de terre a priori compatibles avec le mod-
-
1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 29
le tomographique obtenue par imagerie.
Principe
Le principe de base de lhomognisation stablit pour les milieux
priodiques (pour le cas dy-namique, on peut se rfrer
Sanchez-Palencia (1980)). Cest dans ce cas que les rsultats
delhomognisation sont dmontrs. Les cas qui nous intressent sont
bien sr non priodiqueset lextension de la thorie de lhomognisation
du cas priodique au cas non priodique pourlquation des ondes
lastique est ma principale contribution dans ce domaine.
Lhomognisa-tion priodique repose sur lintroduction dun petit
paramtre
=`
min, (1.23)
o ` est une grandeur caractristique du milieu priodique et min
la longueur donde minimumdu champ dondes dont lexistence est
garantie si la source a une frquence coin fmax (ou si lesdonnes
sont filtres au del de fmax). On construit une srie de modles
indexs par , ce quiimplique de renommer la masse volumique et le
tenseur lastique et c. De mme, la solutionque lon cherche est aussi
indexe sur et est nomme u. On introduit une nouvelle
variabledespace dite microscopique
y =x
. (1.24)
Bien que y et x ne soient pas indpendants au vue de la dfinition
prcdente, on les considrecomme tel dans la construction du problme
homognis. Le petit paramtre et la sparationexplicite des chelles va
permettre la construction dune srie asymptotique de problmes
deuxchelles indpendantes x et y qui va tendre vers un problme une
chelle quand tend verszro. Pour cette construction, on transforme
les gradients tel que
x +1
y , (1.25)
o x et y sont les gradients par rapport x et y respectivement,
et on cherche une solutioncomme
u(x) = u0(x,y) + u1(x,y) + 2u2(x,y) + ... (1.26)
o y est pris en x/. On construit une masse volumique et un
tenseur lastique, dits de cellule,qui ne dpendent pas de
(y) = (x)
c(y) = c(x)(1.27)
La construction (1.27) est triviale dans le cas priodique, mais
cest cette dernire qui constitue laprincipale difficult dans le cas
non-priodique. En introduisant (1.25) et (1.26) dans lquationdes
ondes, on obtient une srie dquations que lon doit rsoudre une une
:
ttui x i y i+1 = fi,0 , (1.28)
i = c :(x(ui)
+ y(ui+1
)), (1.29)
-
30 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
o les i correspondent au mme dveloppement que (1.26) mais pour
la contrainte, x et y auxoprateurs dformations par rapport aux
variables x et y respectivement. La rsolution de cesquations permet
de montrer que, lordre zro, u0 ne dpend pas de la variable rapide
y. Cest un rsultat fondamental bien
connu en sismologie : le dplacement du sol ne dpend pas
fortement de la structure localeautour du rcepteur (ce qui nest pas
le cas de la dformation ou la contrainte par exemple).Ce dplacement
lordre 0 est solution dune quation donde lastique classique mais
pourune masse volumique et un tenseur lastique effectifs. Le
tenseur lastique effectif ncessitele calcul dun correcteur du
premier ordre, solution dune quation de type quilibre statique(qui
implique une rsolution de type lments finis) pose sur une cellule
priodique que lonappelle problme de cellule.
lordre 1, les conditions limites doivent tre changes. lordre 2
et plus, lquation effective rsoudre nest plus une quation donde
classique et
implique des drives spatiales dordres levs.
Voil pour le cas priodique. Pour le cas non priodique, toute la
difficult est de construire unproblme deux chelles qui ait un sens.
Pour cela, la premire tape est dintroduire un filtrepasse bas F 0
avec un nombre donde de coupure k0 (0 = (mink0)1) dfini par
lutilisateur.Ce filtre permet de sparer manuellement les nombres
dondes macroscopiques (k < k0) desnombres dondes microscopiques
(k > k0). Ensuite, ltape la plus difficile est la
constructiondes et c de ltape (1.27) mais dans le cas non
priodique. Le cas priodique est idal, car,quelque soit la
manipulation non linaire applique et c, le rsultat sera toujours
priodiqueet les deux chelles bien spares. Pour le cas non
priodique, cest une autre paire de manches ettoute la difficult est
de bien construire les champs et c tels que les chelles soient bien
spares.Pour cela on distingue deux cas : le cas stratifi o on peut
compter sur une solution analytique auproblme de cellule pour faire
les bons choix (Capdeville & Marigo, 2007; Capdeville &
Marigo,2008; Capdeville et al., 2010a) et le cas gnral o cette
solution analytique nexiste pas et oulon doit sen remettre une
construction implicite (Capdeville et al., 2010a; Guillot et al.,
2010;Capdeville et al., 2010b). Cette construction est donne dans
larticle Capdeville et al. (2010b)en annexe.
Lhomognisation des milieux stratifis
Les milieux les plus simples pour la thorie de lhomognisation
sont les milieux stratifis, cest dire les milieux pour les quels
les variations rapides nont lieu que dans une seule direction.Cest
en effet le seul cas o il existe une solution analytique au problme
de cellule. Lavantagede cette solution analytique est quelle permet
de connatre explicitement sur quelles quantits leschelles doivent
tre spares. Par exemple, dans le cas dune barre de paramtre
lastique E, lasolution analytique du problme de cellule permet de
savoir que le paramtre lastique effectifE
sobtient comme la moyenne harmonique de E et non comme la
moyenne arithmtique commeon aurait pu le penser. Pour le cas
non-priodique, si on utilise un filtre spatial passe bas Fpour
sparer les chelles, il est intuitivement raisonnable dutiliser E1 =
F(E1) et cest
-
1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 31
effectivement ce qui est montr dans Capdeville et al. (2010a).
Applique aux milieux stratifisdans Capdeville & Marigo (2007),
cette thorie lordre 0 permet de retrouver les rsultatsde Backus
(1962). Elles permet aussi de trouver les correcteurs des effets
des structures fineslocales la source et aux rcepteurs. Pour ce qui
est de la source, le correcteur dordre 0 donneun rsultat trs proche
de celui obtenu par Woodhouse (1981) pour une source place de part
etdautre dune discontinuit lastique.
Lhomognisation des milieux plus gnraux
Notre principale avance dans ce domaine ces deux dernires annes
a t lextension de lho-mognisation non priodique du cas 1D au cas 2D
ou 3D (voir la figure 1.9). Cette extensionconstituait la
principale difficult de ce travail, cest dire la construction
implicite des champs et c mentionns plus haut. Avec ce travail,
nous sommes maintenant en mesure de trouver un mi-lieu effectif
pour nimporte quelles structures gologiques (voir (Capdeville et al
2010b, Guillotet al 2010 et lexemple donn figure 1.9). Le calcul de
ces milieux effectifs dans le cas non-priodique nest pas simple et
implique la rsolution dquations de type quilibre statique,soit sur
lensemble du domaine (de rsoudre le problme de cellule sur une
seule grande cel-lule), soit sur chaque sous-domaine dun pavage du
domaine (et de rsoudre un grand nombrede problmes de cellules sur
des petits domaines). Dans les deux cas, ces problmes de
cellulesimpliquent un maillage ttrahdrique de la structure fine et
un cot de calcul non ngligeable.Nanmoins ce calcul ne doit tre fait
quune seule fois pour un milieu donn. Ce travail a donnlieu trois
publications (Capdeville et al 2010a, 2010b, Guillot et al 2010) et
a impliqu le travaildun post-doc, Laurent Guillot, financ par lANR
MUSE. Une demande de brevet a aussi tdpose par le CNRS sur ce thme
(Capdeville, 2009).
-
32 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES
FIGURE 1.9 a : Modle lastique 2D Marmousi2. Les couleurs
reprsentent les vitesses desondes P. Les traits gris les interfaces
physiques.b et c : Le modle homognis (valable pour une frquence
coin de la source jusqu 15Hz) estun modle compltement anisotrope
(lanisotropie totale est reprsente en b) et sans interface(lisse,
comme on peut le voir pour les variations des ondes S en c), mme si
le modle originalest isotrope et avec de multiples interfaces.d :
calculer une solution de rfrence dans le modle original avec les
lments spectraux nces-site de gnrer un maillage complexe et coteux
(ce qui nest possible que dans ce cas 2D. Untel maillage nest pas
envisageable 3D). Le calcul de rfrence de cet exemple a ncessit
unesemaine de calcul sur 64 processeurs.e : Le modle homognis tant
lisse, le maillage est trivial. Le calcul de la solution ho-mognise
na ncessit quune heure de calcul, toujours sur 64 processeurs (
comparer avecles 7 jours de calculs ncessaires pour obtenir la
solution de rfrence).f : La solution de rfrence (noir) et la
solution homognise (pointills rouges) pour un exem-ple de rcepteur
en profondeur sont en trs bon accord. Pour comparaison, la solution
calculedans un milieu lisse, obtenu en filtrant les vitesses des
ondes S et P ainsi que la densit avec lemme niveau de dtails que
pour le milieu homognis, est trace en vert et nest pas en
accordavec la solution de rfrence.
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Chapitre 2
Persectives de recherche court et moyentermes
2.1 Perspectives court terme
Pour les 4 ou 5 prochaines annes, mon objectif principal est de
dvelopper et de complterlhomognisation dun milieu gologique dans
toute sa complexit, en incluant les effets prsde la surface libre,
les grandes variations de vitesses avec la profondeur etc,
dappliquer les outilsdvelopps certains problmes dintrt ainsi que de
fournir les programmes correspondants la communaut sismologique. Un
projet de recherche dans ce sens a t dpos lANR (ANRmm) et vient
dtre accept.
Dans le dtail, lobjectif principal de ces prochaines annes est
dabord de dvelopper un outildhomognisation non-priodique pour les
milieux 3-D. Dun point de vue thorique, peu dedifficults sont
attendues. En effet, la principale difficult, cest dire passer du
1-D au 2-D, a tleve et la solution adopte 2-D est aussi valable
3-D. Du point de vue pratique, les chosesseront plus difficiles 3-D
qu 2-D dans la mesure o la rsolution du problme de cellule 3-D peut
tre numriquement coteux. La mthode numrique dvelopper pour obtenir
unoutil dhomognisation 3-D optimis ncessitera un travail important.
Le second objectif estde prendre en compte de faon consistante les
petites htrognits prs de la surface libre.Ce travail a dj t fait
pour le cas des milieux stratifis (1-D) en se basant sur une
mthodede sries asymptotiques raccordes (Capdeville & Marigo
2008). Ce dveloppement doit tregnralis au cas 3-D et ce travail
ncessite un effort thorique non ngligeable. Un troisimeobjectif est
dadapter la mthode des milieux gologiques pour lesquels la longueur
dondedominante varie fortement ave