Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik ... Probabilitas.pdf · Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil ... berdasarkan observasi sejumlah n kali.

StatistikaProbabilitas

26-Aug-16

h3p://is7

arto.staff.ugm.ac.id

1

UniversitasGadjahMadaFakultasTeknikJurusanTeknikSipildanLingkunganProdiS2TeknikSipil

Probabilitas•  Probabilitas–Peluang–Kemungkinan•  Mengapaprobabilitas?•  Orang7dakdapatmemas7kannilaisuatuproses(misalerupsigunungberapi)berdasarkandataerupsiselamawaktuyanglalusampaisaatini.

•  Sifatstokas7kataupunke7dak-pas7anmerupakansifatyangmelekatpadaproses(yangmelibatkan)alam.

26-Aug-16

h3p://is7


2

Probabilitas,PeluangKejadian

NourutJumlahhariterjadinya

kemacetanpasokanairperbulan

Frekuensi

1 10 2

2 9 1

3 8 0

4 7 2

5 6 3

6 5 5

7 4 4

8 3 8

9 2 3

10 1 2

Jumlah 30

26-Aug-16

h3p://is7


3

JumlahharisaatterjadikemacetanpasokanairPDAMselama30bulanterakhir.

DapatkahSaudaramemas7kanjumlahhariakanterjadikemacetanpasokanairPDAMpadabulandepan?

Probabilitas,PeluangKejadian,Risiko

DapatkahSaudaramemas7kandebitmaksimumpadatahunke-67?

26-Aug-16

h3p://is7


4

Tahunke- Debit(m3/s) Tahunke- Debit(m3/s) Tahunke- Debit(m3/s)

1 473 23 1110 45 8432 544 24 717 46 4503 872 25 961 47 2844 657 26 925 48 4605 915 27 341 49 8046 535 28 690 50 5507 678 29 734 51 7298 700 30 991 52 7129 669 31 792 53 46810 347 32 626 54 84111 580 33 937 55 61312 470 34 687 56 87113 663 35 801 57 70514 809 36 323 58 77715 800 37 431 59 44216 523 38 770 60 20617 580 39 536 61 85018 672 40 708 62 82919 115 41 894 63 88720 461 42 626 64 60221 524 43 1120 65 40322 943 44 440 66 505

DebitpuncaksuatuSungaiXYZselama66tahun

Probabilitas•  Definisi#1•  Andaikatasuatuperis7warandomdapatterjadidalamncarayangmasing-masingmemilikikemungkinanyangsama,danapabilasejumlahnacaramemberikanhasilA,makaprobabilitasterjadinyaperis7wadenganhasilAadalahna/n

•  Dalamdefinisidiatas,nadalahhimpunansemuayangmungkinterjadi.

•  Definisidiatasberasumsibahwandiketahui,padahalhimpunansemuacarayangmungkinpadakenyataannya7dakselaludiketahuiatau7dakterjadiatau7dakdiama7atau7dakdihitung.

prob A( ) = na n

26-Aug-16

h3p://is7


5

Probabilitas•  Definisi#2•  Andaikatasuatuperis7warandomterjadiberkali-kalidalamjumlahyangsangatbesar,nkali,dansejumlahnakalimemilikihasilA,makaprobabilitasperis7wadenganhasilAadalah

•  Definisidiatasberbedadengandefinisi#1dalamhal-halberikut:•  Probabilitassuatukejadian“diperkirakan”(canbees)mated)berdasarkanobservasisejumlahnkali.

•  ndisini7dak/bukanmerupakanhimpunansemuakejadianyangmungkin;dalamhalini,7dakdiperlukanuntukmengetahuiataumelakukanobservasiterhadapsemuakemungkinan

•  Se7apcarayangmungkinterjadi(dalamntersebut)7dakharusmemilikikemungkinanyangsamauntukterjadi.

prob A( ) =

n→∞lim na n

26-Aug-16

h3p://is7


6

Probabilitas•  Definisi2:butuhberapan?•  Contoh

•  Pada2setpengamatan(sampel)yang7daksalingterkait/tergantung,perkiraanprobabilitaskejadianAdapatditetapkanberdasarkanmasing-masingsampeltersebut.

•  Keduanilaiprobabilitas7dakselalusamasatudenganyanglain.•  Keduanilaiprobabilitas7dakselalusamadenganperkiraanprobabilitasAyangditetapkandenganpengamatansejumlahtak-berhinggakali.

•  Problem:berapajumlahpengamatannyangdiperlukanuntukmendapatkanes7masiprobabilitasAyangdapatditerima?

26-Aug-16

h3p://is7


7

Probabilitas•  Kisaran(range)probabilitas•  Darikeduadefinisi,kisaranprobabilitasadalah0s.d.1.•  prob(A)=0“hampir”7dakmungkinterjadi

(nearlyimpossible)•  prob(A)=1“hampir”pas7terjadi

(almostcertain)

26-Aug-16

h3p://is7


8

Probabilitas•  Misalsuatueksperimen(proses)menghasilkansejumlahoutputyangberupavariablerandom•  Himpunansemuahasilyangmungkindidapatdisebutsamplespace.

•  Se7apelemendidalamsamplespacedisebutsamplepoints(element)

•  Se7apelemendidalamsamplespacememilikifaktor/bobot/weight(posi7f)sedemikianhinggajumlahweightseluruhelemenbernilai1.

•  Nilaibobotberbandinglurusdengankemungkinaneksperimenakanmemberikanhasilelementersebut.

•  Bobot7daklainadalahprobabilitas.

26-Aug-16

h3p://is7


9

PROBABILITASOrganisasiData:TabeldanGrafik

26-Aug-16

h3p://is7


10

OrganisasiData•  Koleksidatasta7s7kperludisusun(diorganisir)sedemikianhinggadapat“dibaca”denganjelas.

•  Salahsatupengorganisasiandatasta7s7kadalahdengan:•  tabel•  grafik

26-Aug-16

h3p://is7


11

OrganisasiData•  Tabel•  Didalamtabel,se7aprawscore(“datamentah”)sejenisdikelompokkan.

•  Pengelompokkantersebutkemudiandirangkumdalamsuatutabelyangringkas.

26-Aug-16

h3p://is7


12

Contoh#1•  Datahujanhariandisuatustasiunselama30bulanselamaJanuari2003s.d.Juni2005•  Harihujanperbulan

26-Aug-16

h3p://is7


13

Harihujandalamsebulan1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Jan-03 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9Feb-03 2 1 1 1 1 1 1 1 7Mar-03 3 1 1 1 3Apr-03 4 1 1 1 1 4May-03 5 1 1 2Jun-03 6 1 1 1 1 1 5Jul-03 7 1 1 1 3Aug-03 8 1 1 1 1 1 1 1 7Sep-03 9 1 1 2Oct-03 10 1 1 1 1 1 1 6Nov-03 11 1 1 1 1 1 5Dec-03 12 1 1 1 3Jan-04 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10Feb-04 14 1 1Mar-04 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10Apr-04 16 1 1 1 3May-04 17 1 1 1 3Jun-04 18 1 1 2Jul-04 19 1 1 1 1 1 5Aug-04 20 1 1Sep-04 21 1 1 1 1 4Oct-04 22 1 1 1 1 1 1 6Nov-04 23 1 1 1 1 4Dec-04 24 1 1 1 3Jan-05 25 1 1 1 1 1 5Feb-05 26 1 1 1 1 1 1 6Mar-05 27 1 1 1 3Apr-05 28 1 1 1 1 1 5May-05 29 1 1 1 3Jun-05 30 1 1 1 1 4

JumlahTanggalBulan Bulanke-

26-Aug-16

h3p://is7


14

26-Aug-16

h3p://is7


15

0

2

4

6

8

10

12Jan-03

Feb-03

Mar-03

Apr-03

May-03

Jun-03

Jul-0

3Au

g-03

Sep-03

Oct-03

Nov-03

Dec-03

Jan-04

Feb-04

Mar-04

Apr-04

May-04

Jun-04

Jul-0

4Au

g-04

Sep-04

Oct-04

Nov-04

Dec-04

Jan-05

Feb-05

Mar-05

Apr-05

May-05

Jun-05

Jumlahha

ri

Jumlahharihujanperbulan

H

HsH −

HsH +

26-Aug-16

h3p://is7


16

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25 30

Jumlahha

ri

Bulanke-

Jumlahharihujanperbulan

H

HsH −

HsH +

TabelFrekuensi:jumlahharihujanperbulanperiodeJan-03s.d.Jun-05

Jumlahharihujanperbulan Frekuensi

10 2

9 1

8 0

7 2

6 3

5 5

4 4

3 7

2 3

1 2

0 1

Jumlah 30

26-Aug-16

h3p://is7


17

TabelFrekuensi:jumlahharihujanperbulanperiodeJan-03s.d.Jun-05


10 2

9 1

8 0

7 2

6 3

5 5

4 4

3 7

2 3

1 2

0 1

Jumlah 30


0 1

1 2

2 3

3 7

4 4

5 5

6 3

7 2

8 0

9 1

10 2

Jumlah 30

26-Aug-16

h3p://is7


18

BarChart

0

1

2

3

4

5

6

7

8

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Frekue

nsi

Jumlahhari

Jumlahharihujanselama30bulan 26-Aug-16

h3p://is7


19

BarChart

0

1

2

3

4

5

6

7

8

109876543210

Frekue

nsi

Jumlahhari

Jumlahharihujanperbulanselama30bulan 26-Aug-16

h3p://is7


20

Histogram

2

1

0

2

3

5

4

7

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

109876543210

Frekue

nsi

Jumlahhari


h3p://is7


21

Histogram

2

1

0

2

3

5

4

7

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

109876543210

Frekue

nsi

Jumlahhari


h3p://is7


22

Probabilitas,PeluangKejadian

Jumlahharihujanperbulan Frekuensi Frekuensirela7f

10 2 0.07

9 1 0.03

8 0 0.00

7 2 0.07

6 3 0.10

5 5 0.17

4 4 0.13

3 7 0.23

2 3 0.10

1 2 0.07

0 1 0.03

Jumlah 30 1.00

26-Aug-16

h3p://is7


23

untukjumlahsampelyangbesar,makanilaifrekuensirela7fdapatdipakaisebagaies7masinilaiprobabiltas

Probabilitas-Histogram

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

109876543210

Frekue

nsirela6

f

Jumlahhari


h3p://is7


24

Probabilitas-Histogram

0.07

0.03

0.00

0.07

0.10

0.17

0.13

0.23

0.10

0.07

0.03

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

109876543210

Frekue

nsirela6

f

Jumlahhari


h3p://is7


25

Contoh#2•  Datadebitpuncaksuatusungaiselamakurun66tahun•  Debitdikelompokkankedalamklasdenganlebarintervaltertentu

•  Frekuensikejadiandebitpadase7apklasdihitung

26-Aug-16

h3p://is7


26

gunakanperintahfungsiMSExcel:=FREQUENCY(...)

26-Aug-16

h3p://is7


27

Tahunke- Debit(m3/s) Tahunke- Debit(m3/s) Tahunke- Debit(m3/s)

1 473 23 1110 45 8432 544 24 717 46 4503 872 25 961 47 2844 657 26 925 48 4605 915 27 341 49 8046 535 28 690 50 5507 678 29 734 51 7298 700 30 991 52 7129 669 31 792 53 46810 347 32 626 54 84111 580 33 937 55 61312 470 34 687 56 87113 663 35 801 57 70514 809 36 323 58 77715 800 37 431 59 44216 523 38 770 60 20617 580 39 536 61 85018 672 40 708 62 82919 115 41 894 63 88720 461 42 626 64 60221 524 43 1120 65 40322 943 44 440 66 505

DebitpuncaksuatuSungaiXYZselama66tahun

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50 60 70

Debit(m

3 /s)

Tahunke-

Debitpuncaktahunansuatusungaiselama66tahun

26-Aug-16

h3p://is7


28

TabelFrekuensi

IntervalKlas Klas Frekuensi Frekuensirela6f

Frekrelkumula6f

100 − 200 150 1 0.02 0.02

200 − 300 250 2 0.03 0.05

300 − 400 350 3 0.05 0.09

400 − 500 450 10 0.15 0.24

500 − 600 550 9 0.14 0.38

600 − 700 650 12 0.18 0.56

700 − 800 750 10 0.15 0.71

800 − 900 850 11 0.17 0.88

900 − 1000 950 6 0.09 0.97

1000 − 1100 1050 0 0.00 0.97

1100 − 1200 1150 2 0.03 1.00

Σ 66 1.00

26-Aug-16

h3p://is7


29

26-Aug-16

h3p://is7


30

0.020.03

0.05

0.150.14

0.18

0.150.17

0.09

0.00

0.03

0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.20

Frekue

nsirela6

f

Debit(m3/s)


intervalklas100m3/s

TabelFrekuensi

IntervalKlas Klas Jumlah Frekuensirela6f

Frekrelkumula6f

0 – 150 75 1 0.02 0.02

150 – 300 225 2 0.03 0.05

300 – 450 375 8 0.12 0.17

450 – 600 525 14 0.21 0.38

600 – 750 675 18 0.27 0.65

750 – 900 825 15 0.23 0.88

900 – 1050 975 6 0.09 0.97

1050 – 1200 1125 2 0.03 1.00

Σ 66 1.00

26-Aug-16

h3p://is7


31

26-Aug-16

h3p://is7


32

0.020.03

0.12

0.21

0.27

0.23

0.09

0.03

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Frekue

nsirela6

f

Debit(m3/s)


intervalklas150m3/s

KlasvsNilaiParameterStatistika

•  Adakahpengaruhpengelompokandataterhadapnilai-nilaiparametersta7s7ka?•  Rata-rata•  Simpanganbaku

26-Aug-16

h3p://is7


33

PROBABILITAS

SampleSpaceSampleElements

26-Aug-16

h3p://is7


34

SampleSpacedanSampleElements

•  Contoh#1:•  SuatuDASmemiliki3stasiun:Sta-1,Sta-2,Sta-3.•  Eksperimen:meneli7se7apstasiunperlu/7dakkalibrasi•  Output:(y,n,y)Sta-1perlukalibrasi(y=yes)Sta-2takperlukalibrasi(n=no)Sta-3perlukalibrasi(y=yes)

26-Aug-16

h3p://is7


35

SampleSpacedanSampleElements•  Samplespace:Alterna7f1

•  S1={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y),(y,n,n),(n,y,n),(n,n,y),(n,n,n)}

•  S1adalahdiscretesamplespace:jumlahelemendidalamS1dapatdihitung.

•  Apabilaeksperimendilakukansatukalisaja,makasalahsatuelemenS1pas7terjadi.

•  Samplespace:Alterna7f2•  S2={0,1,2,3}•  S2adalahdiscretesamplespace.•  Hanyaingindiketahuijumlahstasiunyangperludikalibrasi.•  Tidakdiperlukanuntukmengetahuistasiunmanayangperludikalibrasi.

•  InformasiyangdiperolehlebihsedikitdaripadaS1.

26-Aug-16

h3p://is7


36

SampleSpacedanSampleElements

•  Contoh#2:•  Pengukuranangin:

•  kecepatan(km/jam)dan•  arah(o).

•  Output:(x,y)•  x=kecepatan(km/jam)•  y=arah(o)

26-Aug-16

h3p://is7


37

SampleSpacedanSampleElements•  Samplespace:Alterna7f1

•  Samplespace:Alterna7f2

•  +=kecepatan>60(km/jam)•  −=kecepatan<60(km/jam)

Ω1 = x, y( ) : x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 360{ }

360

0 x(km/jam)

y(o)

Ω2 = +,−{ }

continuous sample space

discretesamplespace

26-Aug-16

h3p://is7


38

Events•  Eventadalahsuatuhimpunanbagian(subset)darisamplespace

•  Suatueventterjadijikadanhanyajikahasildarieksperimenadalahanggotaeventtersebut

•  Contoh:KalibrasiSta-1,Sta-2,Sta-3•  EventA:palingsedikit2stasiunperludikalibrasiA={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)}

•  EventB:takadastasiunyangperludikalibrasiB={(n,n,n)}

•  EventC:2stasiunperludikalibrasiC={(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)}

26-Aug-16

h3p://is7


39

DiagramVenn•  Notasi:S=samplespaceEi=elemendidalamSA,B=eventsdidalamSprob(Ei)=probabilitaselemenEi

0 ≤ prob Ei( ) ≤1

S = ∪ i Ei

prob S( ) = prob Ei( )∑ =1

A B

S o E1 o E2

o E3 o En

AB A B

S o E1 o E2

o E3 o En

26-Aug-16

h3p://is7


40

ProbabilitasSuatuEvent•  EventA

•  EventAdanB

•  ApabilaAdanBtakbergantungsatudenganyanglainnya(independent),maka

A = Eii=m

n

∪0 ≤ prob A( ) = prob Ei( )

i=m

n

∑ ≤1

prob A∪B( ) = prob A( )+prob B( )−prob A∩B( )

prob A∪B( ) = prob A( )+prob B( )

26-Aug-16

h3p://is7


41

ProbabilitasSuatuEvent•  EventAc(=komplemeneventA)

A∪Ac = S

prob A∪Ac( ) = prob A( ) +prob Ac( ) =1

prob A( ) =1−prob Ac( )

26-Aug-16

h3p://is7


42

ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)

•  Probabilitassuatuevent(eventB)bergantungpadaterjadinyaeventlain(eventA).

prob(B|A)=prob(B)dengansyarateventAterjadi»  samplespaceberubahdariSmenjadiA,

»  eventdiwakilioleh

prob B A( ) =prob A∩B( )

prob A( ), prob A( ) ≠ 0

prob A∩B( ) = prob A( )prob B A( )

A∩B

A B

S

AB

26-Aug-16

h3p://is7


43

ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)•  ApabilaeventBtakbergantungpadaeventA(keduanyamerupakanindependentevents),maka

prob B|A( ) = prob B( )prob A∩B( ) = prob A( ) ⋅prob B( )

26-Aug-16

h3p://is7


44

ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)•  Contoh•  Datapengamatanharihujandisuatuwilayahmenunjukkanprobabilitasharihujansbb.harihujansetelahharihujan=0.444haritakhujansetelahharihujan=0.556haritakhujansetelahharitakhujan=0.724harihujansetelahharitakhujan=0.276

•  Apabiladijumpaibahwasuatuhariterjadihujan,berapakahprobabilitasbahwa2hariberikutnyajugahujan?

26-Aug-16

h3p://is7


45

ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)•  Penyelesaian•  Misalharihujan(h)terjadisbb.

harike-0 harike-1 harike-2h h h

•  EventA=harike-1hujansetelahharike-0hujanEventB=harike-2hujansetelahharike-0hujan

•  Yangdicariadalah3harihujanberturut-turut:

•  Diketahuiprob(A)=0.444

eventA

eventB

prob A∩B( ) = prob A( ) ⋅prob B A( )

prob B A( ) = 0.444

prob A∩B( ) = 0.444×0.444 = 0.197

26-Aug-16

h3p://is7


46(harihujansetelahharihujan)

ProbabilitasBersyarat(ConditionalProbability)•  Carapenyelesaianyanglain•  Probabilitasharihujansetelahharihujanadalahp=0.444•  Suatuhari(harike-0)terjadihujan

p=0.444

harike-0 harike-1 harike-2h h

th

p=0.556

h

th

p=0.444×0.444

p=0.556×0.444

26-Aug-16

h3p://is7


47

ProbabilitasTotal(TotalProbability)•  ApabilaB1,B2,…,Bnadalahserangkaianeventsyang7daksalingberkaitan(mutuallyexclusiveevents)danmasing-masingmemilikiprobabilitas7daksamadengannol,prob(Bi)≠0,untuksemuai:

B1∪B2∪…∪Bn = S

Bi ∩Bj = 0, ∀i, j i ≠ j( )prob Bi( ) > 0, ∀i

26-Aug-16

h3p://is7


48

ProbabilitasTotal(TotalProbability)•  ProbabilitassuatueventAdapatdituliskansbb.

prob A( ) = prob A∩B1( )∪ A∩B2( )∪ ...∪ A∩Bn( )#$ %&

= prob A∩B1( )+prob A∩B2( )+ ...+prob A∩Bn( )

26-Aug-16

h3p://is7


49

SAB1

B2 B3

Bn

ProbabilitasTotal(TotalProbability)

•  Daricondi)onalprobability:

prob A( ) = prob B1( ) ⋅prob A B1( )+ ...+prob Bn( ) ⋅prob A Bn( )prob A( ) = prob Bi( ) ⋅prob A Bi( )"

#$%i=1

n

∑

prob A∩B1( ) = prob A( ) ⋅prob B1 A( )prob B1∩A( ) = prob B1( ) ⋅prob A B1( )

26-Aug-16

h3p://is7


50

SAB1

B2 B3

Bn

ProbabilitasTotal(TotalProbability)•  Contoh•  Datagenangandisuatuwilayahpermukimanmenunjukkanbahwaprobabilitasterjadinyagenanganadalah0.80saatharihujandan0.25saattakhujan.

•  Diketahuibahwaprobabilitasharihujanadalah0.36.•  Berapakahprobabilitasterjadinyagenangandiwilayahtersebut?

26-Aug-16

h3p://is7


51

ProbabilitasTotal(TotalProbability)•  Penyelesaian•  Jika eventA=terjadigenangan

eventB1=harihujaneventB2=haritakhujan

prob A( ) = prob B1( ) ⋅prob A B1( )+prob B2( ) ⋅prob A B2( )= 0.36×0.80+ 1−0.36( )×0.25

= 0.448

26-Aug-16

h3p://is7


52

TeoremaBayes

26-Aug-16

h3p://is7


53

•  Daricondi)onalprobability

prob A∩B( ) = prob A( ) ⋅prob B A( )prob B∩A( ) = prob B( ) ⋅prob A B( )

prob A( ) ⋅prob B A( ) = prob B( ) ⋅prob A B( )

•  UntukeventsAdanBj,persamaandiatasmenjadi

prob A( ) ⋅prob Bj A( ) = prob Bj( ) ⋅prob A Bj( )

(1)

(2)

(3)

(4)

Karena prob A∩B( ) = prob B∩A( ) , maka:

TeoremaBayes

26-Aug-16

h3p://is7


54

•  Daritotalprobability

prob A( ) = prob Bi( ) ⋅prob A Bi( )"

#$%i=1

n

∑

•  Dengan(5)à(4)

prob Bj A( ) =prob Bj( ) ⋅prob A Bj( )

prob Bi( ) ⋅prob A Bi( )i=1

n

∑

(5)

(6)

TeoremaBayes•  Pemakaian•  UntukmencariprobabilitaseventBjapabiladiketahuieventAtelahterjadi.

•  Untukmencari(memperkirakan)probabilitassuatuevent(Bj)denganmengama7eventkedua(A).

26-Aug-16

h3p://is7


55

TeoremaBayes•  Contoh•  Informasiramalancuacabiasadikirimkanmelalui4saluran:Ri(i=1,2,3,4)adalaheventdimanainformasitsbdikirimkanmelaluisalurani.

•  Probabilitasmasing-masingeventRiadalah:0.1,0.2,0.3,dan0.4.•  Diketahuijugabahwaprobabilitasterjadinyakesalahanpengiriman(eventE)melaluimasing-masingsaluranadalah:0.10,0.15,0.20,dan0.25.

•  Suatusaatdiketahuibahwasuatukesalahanpengirimantelahterjadi.

•  Berapakahprobabilitasbahwakesalahantersebutterjadimelaluisaluranke-2?

26-Aug-16

h3p://is7


56

TeoremaBayes•  Penyelesaian•  Diketahui: prob(R1)=0.1 prob(E|R1)=0.10

prob(R2)=0.2 prob(E|R2)=0.15prob(R3)=0.3 prob(E|R3)=0.20prob(R4)=0.4 prob(E|R4)=0.25

•  Probabilitasbahwapengirimandilakukanmelaluisaluranke-2denganmelihatkenyataanbahwatelahterjadikesalahanadalah:

prob R2 E( ) =prob R2( ) ⋅prob E R2( )

prob Ri( ) ⋅prob E Ri( )1

4

∑

=0.2×0.15

0.1×0.10+0.2×0.15+0.3×0.20+0.4×0.25= 0.15

26-Aug-16

h3p://is7


57

TeoremaBayes

26-Aug-16

h3p://is7


58prob(E)

i prob(Ri) prob(E|Ri) prob(Ri).prob(E|Ri) prob(Ri|E)

1 0.1 0.10 0.01 0.05

2 0.2 0.15 0.03 0.15

3 0.3 0.20 0.06 0.30

4 0.4 0.25 0.10 0.50

Σ 1.0 0.20 1.00

PROBABILITASPermutasidanKombinasi

26-Aug-16

h3p://is7


59

PermutasidanKombinasi•  Caramendapatkansampelyangterdiridarirelemendarisuatusamplespaceyangmemilikinelemen(n≥r)→satuelemenperpengambilan•  urutanelemendiperha7kandansetelah7appengambilan,elemendikembalikankedalamsamplespace(orderedwithreplacement)

•  urutanelemendiperha7kandan7dakdilakukanpengembalianelemensetelah7appengambilan(orderedwithoutreplacement)

•  urutanelemen7dakdiperha7kandan7dakdilakukanpengembalianelemensetelah7appengambilan(unorderedwithoutreplacement)

•  urutanelemen7dakdiperha7kandandlakukanpengembalianelemensetelah7appengambilan(unorderedwithreplacement)

26-Aug-16

h3p://is7


60

PermutasidanKombinasi•  Contohilustrasi•  DilakukanpemilihanduastasiunAWLRdariempatstasiunyangada(A,B,C,D)untukdiberidana.

•  Berapajumlahpasangstasiunyangmungkinmendapatkandana?

26-Aug-16

h3p://is7


61

PermutasidanKombinasi•  Dipilih2stasiundari4stasiun(r=2,n=4)dengan•  urutandiperha7kan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBberbedadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA

•  denganpengembalian→suatustasiundapatmemperolehdana2x

•  Pasangan2stasiunyangmendapatkandana•  (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)(B,A) (B,B) (B,C) (B,D)(C,A) (C,B) (C,C) (C,D)(D,A) (D,B) (D,C) (D,D)

26-Aug-16

h3p://is7


62

16→ nr = 42 =16

PermutasidanKombinasi•  Dipilih2stasiundari4stasiun(r=2,n=4)dengan•  urutandiperha7kan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBberbedadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA

•  tanpapengembalian→suatustasiunhanyadapatmemperolehdana1x

•  Kemungkinanstasiunyangmendapatkandana•  (A,B) (A,C) (A,D)(B,A) (B,C) (B,D)(C,A) (C,B) (C,D)(D,A) (D,B) (D,C)

•  Iden7kdenganpengambilan2elemensekaligusdari4elemendalamsamplespace

26-Aug-16

h3p://is7


63

n( )r=

n !n− r( )!

=4!

4−2( )!=12

permutasi

PermutasidanKombinasi•  Dipilih2stasiundari4stasiun(r=2,n=4)dengan•  urutan7dakdiperha7kan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBsamadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA

•  tanpapengembalian→suatustasiunhanyadapatmemperolehdana1x

•  Kemungkinanstasiunyangmendapatkandana•  (A,B) (A,C) (A,D) (B,C) (B,D) (C,D)

•  Iden7kdenganpengambilan2elemensekaligusdari4elemendalamsamplespace

26-Aug-16

h3p://is7


64kombinasikoefisienbinomial

nr

!

"#

$

%& =

n !n− r( )!r !

=4!

4−2( )!2!= 6

PermutasidanKombinasi•  Dipilih2stasiundari4stasiun(r=2,n=4)dengan•  urutan7dakdiperha7kan→memberikandanakepadaStasiunAkemudianBsamadenganmemberikandanakepadaStasiunBkemudianA

•  denganpengembalian→suatustasiunhanyadapatmemperolehdana2x

•  Kemungkinanstasiunyangmendapatkandana•  (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) (B,B) (B,C) (B,D) (C,C) (C,D) (D,D)

•  Memilihrelemendarinelemendenganpengembalianadalahsamadenganmemilihrelemendarinelementanpapengembalian

26-Aug-16

h3p://is7


65

n+ r −1r

"

#$

%

&' =

n+ r −1( )!n−1( )! r !

=4+2−1( )!4−1( )! 2!

=10

Resume

Denganpengembalian

Tanpapengembalian

Urutandiperha7kan nr

Urutan7dakdiperha7kan

26-Aug-16

h3p://is7


66

nr( ) = n !

n− r( )!

nr

!

"#

$

%& =

n !n− r( )! r !

n+ r −1r

"

#$

%

&' =

n+ r −1( )!n−1( )! r !

PersamaanSterling: n ! = 2π e−n nn+ 12

Perintah(Fungsi)MSExcel•  FACT(n)•  menghitungfaktorial,n!•  nbilanganposi7f(bilangancacah)

•  PERMUT(n,r)•  menghitungpermutasi,•  ndanrinteger,n≥r

•  COMBIN(n,r)•  menghitungkombinasi,•  ndanrinteger,n≥r

26-Aug-16

h3p://is7


67

26-Aug-16

h3p://is7


68

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik ... Probabilitas.pdf · Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil ... berdasarkan observasi sejumlah n kali.

Documents