Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik Institut für Kernenergeti und Energiesystem Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung V2: Diskretisierung von Funktionen Teil 1: Grundverfahren der Numerik V2 Diskretisierung von Funktionen Inhalt Lagrange Polynome Funktionsentwicklungen Statistische Approximation Experimente: Lagrange Interpolation
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Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03Teil.
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Das sollten Sie heute lernen
Wie diskretisieren wir Funktionen Was ist ein Lagrange Polynom der Ordnung n Was ist eine Taylorreihe Was ist der Zentrale Grenzwertsatz Welche Fehler macht man bei der Diskretisierung von Funktionen und
wie kann man sie verringern
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation).
Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist
y = f(x)
x steht für die unabhängigen Variablen,
y steht für die abhängigen Variablen,
f gibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt.
a) Diskretisierung der unabhängigen Variablen
wird durch Werte yi = f(xi) dargestellt.
Für weitere Operationen kann zwischen den Werten yi interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet.
yyixx
~
y~
Diskretisierung von Funkionen -1
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Diskretisierung von Funktionen -2
b) Diskretisierung der abhängigen Variablen
Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen Ni(x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten ai und die Art der Näherung von
c) Diskretisierung durch statistische Methode
wird über Werte beschrieben, wo xi zufällig bestimmt und nach verteilt sind.
xiN
i iayy ~
xxfxf *
y~ xf * x
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
1. Festlegung des Approximationsbereichs
xa x xb
2. Festlegung der Stützstellen
a) Einschluss der Ränder x1 = xa, xn+1 = xb
b) Gebietsmitte
3. Berechnung der Werte der abhängigen Variablen
yi = y (xi)
4. Interpretation
a) Wert gültig im Bereich (Basisgebiet) um Stützstellen
b) Werte interpolieren mit Lagrange-Polynomen
b1) Polynom durch alle Punkte (wenig Stützstellen, hohe Interpolationsordnung)
b2) stückweise Näherung (viele Stützstellen, mehrere Polynome niederer Ordnung).
Diskretisierung der unabhängigen Variablen- Näherung von Funktionen
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
y wird durch zwei Punkte xo und x1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (xo, yo) und (x1, y1)
Fasst man die Glieder mit yo und y1 zusammen, so gilt
Die Ausdrücke vor den Werten yo und y1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit
Offensichtlich gilt
und
1001
01
0
0
~ xxxyyxx
xxyy
1
01
0
0
01
1~ yxx
xxy
xx
xxy
xx 1
1
1
0 und
y~
xyyi
ii
11
0
~
100
1
01
1
0
01
11
0
xundxmitxx
xx
010
1
11
1
1
01
01
1
xundxmitxx
xx
Lineare Interpolation -1
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Ihre allgemeine Form lautet:
Für n = 3
Lagrange Polynome -1
))...()()...((
))...()()...((
110
110
0 niiiiii
nii
mi
mn
imm
nm xxxxxxxx
xxxxxxxx
xx
xxx
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Lagrange Polynome -2
Mit diesen Interpolationsfunktionen lässt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern:
)()3
o ii
(xy(x)y~(x)y xi
x0 x1 x2 x3
xyxy~
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Quadratische Interpolation
x wird durch drei Punkte x0, x1, x2 beschrieben.
Ist eine Parabel durch die Punkte 221100 ,,,,, yxyxyxy~
2210
~ xaxaay Mit
und 22
11
00
~
~
~
yxy
yxy
yxy
können die Koeffizienten a0, a1 und a2 bestimmt werden.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Quadratische InterpolationDas Ergebnis ist
12
1
02
02
21
2
01
01
20
2
10
10
~
xx
xx
xx
xxy
xx
xx
xx
xxy
xx
xx
xx
xxyy
Die Ausdrücke vor den Werten y0, y1 und y2 sind jetzt ebenfalls Parabeln. Wir bezeichnen sie mit
xxx 22
21
20 ,,
Offensichtlich gilt 100
000
001
2221
220
22
22
112
102
1
2201
200
20
xxx
xxx
xxx
und xyy iii
22
0
~
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Höhere Interpolation
xyy nii
n
i
0
~
xni Heißen Lagrange-Polynome.
Es gilt analog der linearen und der quadratischen Interplation
1
0j
ni x für i j,
für i = j
Ihre allgemeine Form lautet
nk
n
kk
k
kk
k
mk
n
kmm mk
mk xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
1
1
1
10
0
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Stückweise NäherungHäufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlussstellen und erreicht das dadurch, dass je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann
xnji
m
j
nj
iiyy
1 0
~
sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj
Die Näherung heißt stückweise stetig.
xnj
Diskretisierung von x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21Diskretisierung von y
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Diskretisierung der abhängigen Variablen
Der im letzten Abschnitt beschriebene Ansatz nähert y so, dass y und an den Knoten übereinstimmen. Für viele Anwendungen sind andere Anpassungen besser. Man erhält sie durch Diskretisierung der abhängigen Variablen
Ni(x) sind bekannte Entwicklungs- oder Basisfunktionen.
ai sind die Entwicklungskoeffizienten. Zu ihrer Bestimmung ist ein Kriterium, das angibt, wie die Näherung erfolgen soll, nötig.
Eine häufig verwendete Anpassungsmethode ist die Methode der gewichteten Residuen. Sie versucht, den Gesamtfehler integral zu minimieren. Dazu führt man Wichtungsfunktionen wi ein und fordert
xNayy ii
n
i
0
y
00
dxxNaywdxyywn
iiijj
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Diskretisierung der abhängigen Variablen
Die Zahl der Wichtungsfunktionen entspricht dabei der Zahl der anzupassenden Unbekannten ai. j läuft also wie i von 0 bis n.
Mit dieser Beziehung erhält man durch Einsetzen der n+1 Wichtungsfunktionen w j gerade n+1-Gleichungen. Aus diesen können die Entwicklungskoeffizienten ai bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Wichtungsfunktionen linear unabhängig sind, d.h. nicht durch lineare Transformationen ineinander überführt werden können.
Das Gleichungssystem hat folgende Form (wir verwenden die Abkürzung)
ywNwaNwaNwa
ywNwaNwaNwa
ywNwaNwaNwa
nnnnnn
nn
nn
1100
11111010
00101000
........
jjij NwdxNw
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Beispiel: Diskretisierung der Unabhängigen -1 Beispiel
Der Unterschied zwischen Näherung von unabhängigen und abhängigen Variablen soll anhand eines einfachen Beispiels verdeutlicht werden.
Es sei
Zunächst diskretisieren wir x.
2 Werte mit linearer Interpolation.nähernzu103 xinxy
xy
xxxx
yy
xx
11
10
10
10
1
10
10
3xy
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Beispiel: Diskretisierung der Unabhängigen -2
Jetzt dasselbe nach Näherung über y. Wir wählen dabei als Basisfunktionen die Lagrange-Polynome, die auch schon den Näherungen a verwendet wurden. Als Wichtugnsfunktionen sollen ebenfalls die Lagrange-Polynome verwendet werden. Dann gilt
xwxw
xx
aymit
xyy ii
i
10
11
10
11
11
0
1
1
tenKoeffizienen bestimmendzu den
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Methode der gewichteten Residuen
Über die Methode der gewichteten Residuen erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
5
1
3
1
6
120
1
6
1
3
1
1
111
10
10
1
0
41
9
21
1
00
1
0
31
01
1
0
20
yy
yy
oder
dxxdxxydxxxy
dxxxdxxxydxxy
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Diskretisierung der Unabhängigen: Ergebnis
Die Lösung ist
Damit wird
2,09,0
7,012,0
7,02,0 10
x
xxy
yy
Aus dem Beispiel sieht man:
• Die Galerkin-Methode führt auf symmetrische Gleichungssysteme zur Bestimmung der ai
• Lokale Werte können extrem falsch sein (z.B. negative Temperaturen). Im Beispiel für x < 2/a.
• Konvergenz erfolgt im Sinne der Wichtung.
• Es gibt Punkte (Gauß-Punkte), an denen Funktion und Näherung exakt übereinstimmen.
Im Beispiel 2 Punkte, die in 0 x 1 die Gleichung x3 = 0,9x - 0,2 erfüllen.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Taylor-Reihe als alternative Entwicklungsfunktion
Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - xo)
Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x0:
xn
n
n
x
x
xfdx
d
na
xfdx
da
xfdx
da
xfa
/)(!
1
..........
/)(!2
1
/)(
)(
2
2
2
1
00
• Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.
y~
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Statistische Approximation
Eine dritte Methode, um Verläufe zu diskretisieren, kennen wir aus der Messtechnik. Dort werden Verläufe mit Hilfe von Messpunkten dargestellt. Dabei gibt es zwei Grenzfälle:
a) Die Messpunkte sind zufällig (Stichprobe), aber der Messwert ist exakt. Dies entspricht einer zufälligen Diskretisierung der unabhängigen Variablen.
b) Die Messpunkte sind vorgebbar, aber der Messwert ist mit großer Unsicherheit behaftet (Messung mit Messfehler). Jetzt sind die Werte der abhängigen Variablen zufällig.
Um diese Technik auch auf dem Rechner verfügbar zu haben, ist es nötig, zufällige Zahlen zu erzeugen. Dies geschieht durch spezielle Funktionen (Zufallszahlgeneratoren). Diese Funktionen liefern in der Regel Zufallszahlen, die in einem Intervall (0,1) gleichverteilt sind, d.h. die auftretenden Zahlenwerte können alle aus diesem Intervall darstellbaren Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Abweichungen von dieser Aussage dürfen im Rahmen der Verwendung der Zufallszahlen nicht nachweisbar sein.
Um nun eine Funktion f (x) im Intervall (a, b) zu nähern, wird f (x) aufgespalten in
f x) = fx (x) • (x)Die Näherung von f (x) erfolgt dann durch n Realisationen x i , wo die xi aus der Verteilung (x) stammen und jedem xi ein Wert fx (xi) zugeordnet ist. Ist (x) eine Gleichverteilung, so gilt (x) = 1 / (b - a) und fX (x) = (b - a) • f (x).
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Statistische Approximation
Kann man direkt von f (x) Zufallszahlen ziehen, ist also f (x) - evtl. nach einer Normierung - eine verfügbare Dichtefunktion, so gilt:
(x) = f (x)
fx (x) = 1
Allen Beiträgen xi wird also derselbe Wert zugeordnet.
Eine Interpolation zwischen den zufälligen Werten kann nicht direkt erfolgen. Operationen werden über das Gesetz der großen Zahlen realisiert. Dies wird später weiter beschrieben.Näherungsweise kann man einen Punkteschwarm mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate in einen Verlauf (Regression) umsetzen. Dabei hat man aus Messungen oder einem statistischen Computerexperiment Wertepaare x i, yi erhalten. Sie sollen durch eine Funktion , in der die Parameter a0 bis an noch zu bestimmen sind
möglichst gut approximiert werden. Dies erreicht man etwa, indem man die quadratische Abweichung Q zwischen Messwerten yi und Näherung zum Minimum macht:
naaaxyy ,,,, 10 y
y Qn
i iy
naa
ixyMin
0
2,,0
,
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Statistische Approximation
Wie aus der Analysis bekannt, wird ein Extremwert berechnet, indem man die 1. Ableitung = 0 setzt. Damit kann man für
genau n+1-Gleichungen folgender Art bilden:
Dies entspricht der Methode der gewichteten Residuen in der Galerkin-Formulierung, wenn wie dort gilt:
nj 0
0,,;,,2 00
0
nij
n
iini
j
aaxda
ydyaaxy
da
dQ
n
iii xNay
0
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 1: V2 Diskretisierung
Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Geben Sie für eine Funktion f(x) die zugehörige Taylor-Reihe an
Empfehlen Sie einen Ansatz zur Näherung einer Funktion f(x), wenn deren Verlauf optimal beschrieben werden soll. Wie ändert sich Ihre Empfehlung, wenn es sich bei der zu nähernden Funktion im Näherungsintervall um ein Polynom der Ordnung 2 handelt
Was ist zu tun, wenn die Funktion 2 unabhängige Variablen hat
Geben Sie Kriterien für die Auswahl einer Diskretisierungsvorschrift an