Metode Numerik Adree Octova, S.Si., M.T.
Metode Numerik Adree Octova, S.Si., M.T.
Integrasi Numerik Satu Dimensi Kasus-kasus yang melibatkan integrasi numerik lebih banyak dari pada kasus diferensiasi
numerik.
Diferensiasi biasanya dipakai secara analitik untuk mendeskripsikan fenomena alam (govern equation) dalam medium yang tidak terbatas (infinite).
lingkup terapan dalam bidang rekayasa menyangkut solusi persamaan diferensial dalam medium yang terbatas (finite), sehingga pendekatan yang dilakukan bersifat lokal atau kecil.
Untuk memperoleh hasil global dalam medium tertentu, hasil lokal tersebut diintegrasi dalam keseluruhan medium yang ditinjau.
Secara analitik :
I = y = f(x) dx
, I y(b) untuk pers.
dydx
= f(x) dengan syarat batas y(a) = 0
M E T O D E N U M E R I K
Formula Klasik Tertutup Interval Konstan Aturan Trapesium :
I = f(x) dx = b a
2 f(a) + f(b) + E
ba
I = f(x) dx = h2
f(a) + f(b) + E ba
E = f(x) g(x)
I = f(x) dx = h2
f(a) + 2 f (a + jh)N1j=1 + f(b) + E b
a
I = f(x) dx b
a = f(x) dx x1
x0+ f(x) dx
x2x1
++ f(x) dx xi+1
xi++ f(x) dx
xNxN1
I =h2 f0 + 2f1 +2f2 + 2fN1 + fN + E
h =b a
N , N = jumlah iterasi ke N
M E T O D E N U M E R I K
y
x
y = f(x)
a b
f(a)
f(b) g(x)
h h h
f0
f2 f1
fi
fn
x0 x1 x2 xi xn
Formula Klasik Tertutup Interval Konstan Aturan Simpson :
Interpolasi polinomial kuadrat :
I = f(x) dx = h3 f(a) + 4f(x ) + f(b) + E
ba
I = h3 f0 + 4f + f2 + E
Aturan Simpson 1/3 :
I = f(x) dx = h3 f(a) + 4
f(a+ih)N1i=1(ganjil) + 2 f(a+ih)N2i=2(genap) + f(b) + E
ba
I =h3 f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + 2f4 + + 2fN2 + 4fN1 + fN + E
M E T O D E N U M E R I K
y
x
y = f(x)
h h
f0
f1
f2
x0 = a x1 = x x2 = b
h =b a
N, x =
b + aN
Soal Diketahui :
persamaan jari-jari (r) = 1 + (
2)2, 0 x 2
Nilai exact : i = 11,7286
Tentukan kesalahan untuk N = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 dengan menggunakan aturan trapesium dan Simpson
Persamaan luas = r2
Dimana = 3,14
Sehingga f(x) = (1 + (
2)2)2
M E T O D E N U M E R I K
y
x
x=0 x=2
Formula dengan Interval tidak Konsatan
Perbedaan formula klasik dengan formula quadratur Gauss :
M E T O D E N U M E R I K
Formula Klasik Formula Quadratur Gauss
Batas-batas integrasi a dan b bersifat sembarang
Batas-batas integrasi sudah ditentukan, misalnya a = -1 dan b = 1
Interval absis konstan Interval absis yang tidak konstan
Koefisien f1, f2, ... fn bersifat tetap Koefisien dapat ditentukan secara bebas
Merupakan perhitungan integrasi biasa
Menggunakan sistem pembobotan (wi)
Quadratur Gauss
I = f(x) dxb
a = F(z) dz1
1
M E T O D E N U M E R I K
a b x
f(x)
Transformasi
-1 1 z
F(z)
Terjadi transformasi sistem koordinat a x b -1 z 1
Quadratur Gauss
Transformasi variabel x z
x = a0 + a1 z
x = a z = -1 ; a = a0 a1
x = b z = 1 ; b = a0 + a1
M E T O D E N U M E R I K
a b x
f(x)
Transformasi
-1 1 z
F(z)
a0 = b + a
2
a1 = b a
2
x = b + a
2 + b a
2 z
dx = b a
2 dz
Quadratur Gauss
I = f(x) dxb
a = F(z) dz1
1
F(z) = b a
2f
b + a2
+ b a
2 z
M E T O D E N U M E R I K
a b x
f(x)
Transformasi
-1 1 z
F(z)
Quadratur Gauss Contoh transformasi koordinat :
I = (x2 4x +5) dx3
1 =83
M E T O D E N U M E R I K
1 3 x
f(x) = x2 4x +5
-1 1 z
Transformasi
x = b + a
2 + b a
2 z
x = 3 + 1
2 + 3 1
2 z
x = 2 + z
dx = b a
2 dz
dx = 3 1
2 dz
dx = dz
F(z) = z2 +1
f(x) = x2 4x +5 F(z) = f (2 + z) = z2 +1
I = (z2 + 1) dz1
1=
8
3
Quadratur Gauss
I = f(x) dxb
a = F(z) dz1
1
I wi F(zi) ni=0 Formula Gauss-Legendre
I w1 F(z1) + w2 F(z2)
M E T O D E N U M E R I K
-1 1 z u
F(u)
z1 z2
F(z)
Pembobotan agar terjadi keseimbangan antara kesalah
positif dengan kesalahan negatif
Quadratur Gauss 4 bilangan yang belum diketahui (z1, z2, w1, w2) dicari dengan :
M E T O D E N U M E R I K
-1 1
F(z) = 1
-1 1
F(z) = z
-1 1
F(z) = z2
-1 1
F(z) = z3
w1 F(z1) + w2 F(z2) =
w1 + w2 = dz11
= 2 (1)
w1 F(z1) + w2 F(z2) =
w1z1 + w2z2 = zdz11
= 0 (2)
w1 F(z1) + w2 F(z2) =
w1z12 + w2z2
2 = z2 dz
11
= 2
3 (3)
w1 F(z1) + w2 F(z2) =
w1z13 + w2z2
3 = z3 dz
11
= 0 (4)
Quadratur Gauss
w1 + w2 = 2 (1)
w1z1 + w2z2 = 0 (2)
w1z12 + w2z2
2 = 2
3 (3)
w1z13 + w2z2
3 = 0 (4)
M E T O D E N U M E R I K
w1 = w2 =1
z1 =
= - 0,577350269
z2 =
= 0,577350269
I = F(z) dz1
1 wi F(zi)
n
i=0
w1 F(z1) + w2 F(z2)
F(
) + F(
)
Gauss-Legendre 2 titik
M E T O D E N U M E R I K
Contoh Soal
Diketahui
I = ex2 x dx
20 = 26,79908
Hitung integral dengan pendekatan Quadratur Gauss dengan 2 titik, 3 titik dan 4 titik.
M E T O D E N U M E R I K
+
Solusi f(x) = ex
2 x
F(z) = (z + 1) e(z + 1)2
I = F(z) dz1
1 wi F(zi) ni=0
F(
) = (
+ 1) e
( +1)2
= 0,50531
F(
) = (
+ 1) e
( +1)2
= 18,98747
I F(
) + F(
) = 19,49278
2 titik :
I = ex2 x dx
20 = 26,79908
x = b + a
2 +
b a2
z
x = z + 1
dx = b a
2 dz
dx = dz
M E T O D E N U M E R I K
3 titik :
Dari tabel : w1 = 0,55556 w2 = 0,88889 w3 = w1 z1 = - 0,7746 z2 = 0 z3 = -z1
w1 F(z1) = 0,55556 (- 0,7746 + 1 ) e( 0,7746 + 1 )2 = 0,13175
w2 F(z2) = 0,88889 (0 + 1) e(0 + 1 )2 = 2,41625
w3 F(z3) = 0,55556 (0,7746 + 1 ) e(0,7746 + 1 )2 = 22,98867
I w1 F(z1) + w2 F(z2) + w3 F(z3) = 25,53667
Solusi
+
M E T O D E N U M E R I K
4 titik :
Dari tabel : w1 = 0,34785 w2 = 0,65214 w3 = w2 w4 = w1 z1 = - 0,86114 z2 = - 0,33998 z3 = -z2 z4 = -z1
w1 F(z1) = 0,34785 (- 0,86114 + 1) e( 0,86114 + 1)2 = 0,04924
w2 F(z2) = 0,65214 (- 0,33998 + 1) e( 0,33998 + 1)2 = 0,66541
w3 F(z3) = 0,65214 (0,33998 + 1) e(0,33998 + 1)2 = 5,26301
w4 F(z4) = 0,34785 (0,86114 + 1) e(0,86114 + 1)2 = 20,67753
I w1 F(z1) + w2 F(z2) + w3 F(z3) + w4 F(z4) = 26,65520
Solusi
+
M E T O D E N U M E R I K