Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik Institut für Kernenergeti und Energiesystem Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen Teil 2: Partielle Differentialgleichungen V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen Inhalt: Einführung in die Theorie partieller Differentialgleichungen Beispiele für partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Musterlösungen
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Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03.
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen
Teil 2: Partielle Differentialgleichungen
V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen
Inhalt: Einführung in die Theorie partieller Differentialgleichungen Beispiele für partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Musterlösungen
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Das sollten Sie heute lernen
Was ist eine partielle Differentialgleichung ? Wie löst man partielle Differentialgleichungen analytisch ? Wie unterscheiden sich elliptische, parabolische und hyperbolische
Differentialgleichungen ? Geben Sie Beispiele für partielle Differentialgleichungen und
ordnen Sie diese den Typen zu Was sind Charakteristiken ? Was ist ein System von partiellen Differentialgleichungen ?
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Grundbegriffe aus der Theorie partieller Dglen -1
Partielle Differentialgleichungen enthalten Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variablen. Die wichtigsten Unabhängigen sind die Ortsvariablen x, y und z und die Zeit t. Die abhängigen Variablen entsprechen dem Anwendungsgebiet. Beispiele sind Masse, Energie, Impuls, Temperatur oder Druck. Im Folgenden wird die Abhängige mit oder y bezeichnet, wenn keine physikalisch e Vorstellung mit der Gleichung verbunden werden soll. Ansonsten wird die übliche physikalische Bezeichnung verwendet (z.B. T für Temperatur). Die Dimension einer Differentialgleichung entspricht der Zahl der unabhängigen Variablen.Kommen mehrere abhängige Variablen vor, so spricht man von einem System von Differentialgleichungen. Die Ordnung n einer Differentialgleichung gibt die höchste Ableitung in der Differentialgleichung an. Eine Differentialgleichung heißt
linear, wenn ihre Koeffizienten nicht von den abhängigen Variablen oder ihren Ableitungen abhängen;halb-linear, wenn in den Randbedingungen nichtlineare Funktionen der Abhängigen oder ihren Ableitungen vorkommen;quasi-linear, wenn auch in den Koeffizienten der Differentialgleichung Abhängigkeiten der Lösungen auftreten,nicht-linear, wenn die Differentialgleichung Potenzen von Ableitungen enthält.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Grundbegriffe aus der Theorie partieller Dglen -2
Entsprechend heißt ein Operator linear, wenn gilt
L(a u + b v) ) = a L u + b L v
Eine Differentialgleichung heißt homogen, wenn ihre rechte Seite verschwindet. Differentialgleichungen, die physikalische Geschehen beschreiben sollen, sind nur sinnvoll, wenn
a) eine Lösung existiert,
b) genau eine Lösung existiert - dazu sind genau n Rand bzw. Anfangsbedingungen anzugeben,
c) die Lösung relativ stabil ist.
Jede Differentialgleichung der Ordnung n kann in ein äquivalentes System von n Differentialgleichung 1. Ordnung transformiert werden. Man erreicht das durch Transformation der Art:
yycwxxv
ycwxv
2
22
11
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Grundbegriffe aus der Theorie partieller Dglen -3
Die einfachste partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Dimension 2. Für eine abhängige Variable und die Ordnung 2 lautet die allgemeine Form der linearen Differentialgleichung:
Analog den Flächen zweiter Ordnung unterteilt man diese Differentialgleichung entsprechend den Werten, die = B2 -4AC annimmt
> 0 hyperbolisch
für = 0 ist die Dgl parabolisch
< 0 elliptisch.
Die drei Klassen repräsentieren verschieden physikalische Geschehen und verhalten sich numerisch sehr unterschiedlich.
Zur Lösung einer Dgl sind Rand-/Anfangsbedingungen nötig. Die allgemeine Form der Randbedingung lautet:
yxyxFxxCxyBxxA ,,,,
xn
xxx
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Operatoren und Integralsätze
Die erste Ableitung wird oft mit dem Operator , die zweite Ableitung mit =
x abgekürzt.
heißt Nabla-Operator. Er kann auch als Vektor angeschrieben werden:
Der -Operator kann auf verschiede Datentypen angewandt werden:
Gauß‘sche Integralsatz
Setzt man statt dem Vektor das Produkt zweier Skalare u und v an, so gilt der Green‘sche Integralsatz
321
,,xxx
DeltaheißtGradient
aDivergenzheißtadivaVektor
GradientheißtgradSkalar
:
:
:
dOvdVv OV
v
OVVVV dOuvdVuvVdvuVdvuVdv
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Konvergent wenn konsistent,stabil und phys. Existenz
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Parabolische Differentialgleichungen
ddt
T ddx
T2
2
Parabolische Dglen verbinden mindestens 2 unterschiedliche Unabhängige. Die Gleichungen sind daher häufig instationär und eindimensional Grundform parabolischer Dglen ist die transiente Wärmeleitgleichung
Ihre Lösung erfordert
eine Anfangsbedingung und zwei Randbedingungen
Als Anfangsbedingung wird ein Ausgangszustand vorgegeben.
Die Randbedingungen sind formal denen der elliptischen Dglen gleich. Sie lassen sich an diesem Beispiel sehr anschaulich interpretieren
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Konvergent wenn konsistent,stabil und phys. Existenz
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Wellengleichung als Beispiel einer hyperbolischen Dgl
Die Wellengleichung kann durch eine einfache Substitution in ein System von Gleichungen überführt werden.
Wir heißen dies das System der charakteristischen Gleichungen.
1001
folgt./und/Für
cAwoux
Aut
vw
u
mitx
ct
w
x
wc
t
xycwty
2
22
2
2
xc
t
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Lösungseigenschaften der Transportgleichung
Hat der Vektor {u} nur eine Komponente u und gilt [A] {u} = f (u), so erhält man die allgemeine Form der Erhaltungsgleichung:
Für f (u) = c u erhält man die lineare Transportgleichung
Für Ihre Lösungen gilt
Das heißt, längs x + c t = const breitet sich der Anteil u an der Lösung (mit allen eventuell aufgeprägten Störungen) unverändert aus.
Dies hat schwerwiegende numerische Konsequenzen.
Die Gerade heißt Charakteristik. constxc
t 1
)(ufx
uAx
ut
ux
cut
)0,()(),( tcxutcxgtxu
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Charakteristiken der Wellengleichung
Die Wellengleichung hat zwei Charakteristiken mit den Steigungen Sie lassen sich anschaulich interpretieren:
a) Längs der Charakteristiken bleiben die Lösungswerte unverändert erhalten. b) Störungen breiten sich längs Charakteristiken unvermindert aus.c) Charakteristiken begrenzen den Raum in dem physikalisch Information
zugänglich ist. Dem dürfen Diskretisierungen nicht widersprechen.
x
Todbereich
t
Abhängigkeitsbereich
TodbereichP (x1, t1)
x
c
1
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Charakteristiken der unterschiedlichen Dglen
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Konvergent wenn konsistent,stabil und phys. Existenz
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Beispiele gemischter Dglen
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Systeme von Dglen
Energieinnereespezifisch Druck or gkeitsvektGeschwindi Dichte
nktionZustandsfu eichungZustandsgl
ichungEnergiegle
chungImpulsglei
gtsgleichunKontinuitä
),(
0
0
p
u
pF
uPut
puut
ut
F
1001
cAwoux
Aut
hungellengleiclautetdieWvw
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Wellengleichung als System
Eulersche Gleichungen
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 03 Teil 2: V5: part. Dglen
Navier-Stokes-Gleichungen (inkompressibel)
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Eigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
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Was ist eine partielle Differentialgleichung Wie unterscheiden sich elliptische, parabolische und
hyperbolische Dglen Geben Sie Beispiele für elliptische, parabolische und
hyperbolische Dglen Was sind Charakteristiken Was sind Randbedingungen Wie lautet die allgemeine Form der Randbedingung Was ist ein System partieller Dglen