ANN UNIVERSITÀ Corso di Laurea M Allievi: Roberto Rabbeni Stefania Maria Collura NO ACCADEMICO 2012/2013 À DEGLI STUDI DI PAL Facoltà di Ingegneria Magistrale in Ingegneria dell’Auto Tesina di Robotica Doc Prof. Ing. F LERMO omazione a Industriale cente: Filippo D’Ippolito
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UNIVERSIT À DEGLI STUDI DI PALERMO · La cinematica differenziale si basa sul calcolo dello Jacobiano geometrico, il quale si effettua considerando il contributo della velocità
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ANNO ACCADEMICO
UNIVERSIT À
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dell’Automazione
Allievi:
Roberto Rabbeni
Stefania Maria Collura
ANNO ACCADEMICO 2012/2013
À DEGLI STUDI DI PALERMO
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dell’Automazione
Tesina di Robotica Industriale
Docente:
Prof. Ing. Filippo D’Ippolito
DEGLI STUDI DI PALERMO
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dell’Automazione
Tesina di Robotica Industriale
Docente:
Filippo D’Ippolito
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Introduzione
Nel seguente elaborato verrà affrontato lo studio del manipolatore robotico di Fig.1.
In un primo momento si effettuerà l'analisi cinematica, dalla quale verranno evidenziate le
singolarità del robot; si passerà poi allo studio della dinamica, volta a definire il modello
matematico della struttura robotica, ed infine basandosi sul modello ottenuto, si procederà con una
particolare tecnica di controllo nello spazio dei giunti. Verranno quindi mostrati i risultati ottenuti in
simulazione.
Fig. 1: Manipolatore robotico
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1. Cinematica
1.2 Cinematica Diretta Manipolatore
Per analizzare il problema della cinematica diretta del manipolatore è stata utilizzata la convenzione
di Denavit-Hartenberg:
Figura 2: Schema cinematico del manipolatore
Una volta fissati i sistemi di riferimento, seguendo la procedura DH, è possibile definire la seguente
tabella:
Link ai αi di θi
1 2 3
0 0 0
0 -�
�
0
d1
0 d3
0 θ2
0
Figura 3: Tabella di Denavit-Hartenberg manipolatore
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Si calcolano le matrici di trasformazione omogenea parziali �����, con i= 1,…,4:
��� = �1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 ��
0 0 0 1
�
��� = ��� 0 −�� 0�� 0 �� 0
0 −1 0 0
0 0 0 1
�
��� = �1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 ��
0 0 0 1
�
La matrice di trasformazione omogenea tra il sistema 4 e il sistema 0 è quindi data da:
���� = ��
������
� = ��� 0 −�� −������ 0 �� ����0 −1 0 ��
0 0 0 1
� L'equazione della cinematica diretta del manipolatore è:
���� =����−�3�2�3�2�1�
�
1.3 Cinematica Inversa Manipolatore
Il problema della cinematica inversa consiste nel calcolo delle variabili di giunto ��, � e ��.
La posizione dell’organo terminale è individuata a mezzo di tre coordinate ��, ��e��che
corrispondono agli elementi della quarta colonna della matrice di trasformazione e l’angolo di
orientamento è individuato dall’angolo � .
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� � ��� = −������ = ������ = ��� = �� + �
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� Quadrando e sommando le prime due equazioni si ottiene: �3 = ��
2 + �
2
�2 = −��3�2 = �
�3
da cui, applicando la funzione Atan2: �� = ����2(��, ��) 1.4 Cinematica Differenziale
Lo scopo della cinematica differenziale diretta è quello di calcolare velocità lineari e angolari dei
corpi che costituiscono il manipolatore (in particolare dell'end-effector) in funzione delle velocità
dei giunti.
La cinematica differenziale si basa sul calcolo dello Jacobiano geometrico, il quale si effettua
considerando il contributo della velocità di ogni singolo giunto al moto dell’organo terminale,
considerando tutti gli altri giunti bloccati, e sommando insieme tutti i contributi.
Ognuno dei contributi dei giunti al moto dell’organo terminale avrà un’espressione del tipo �(�)�� , dove � `e la colonna i-esima dello Jacobiano.
Per calcolare le colonne dello jacobiano, calcoliamo adesso i vari contributi �(�)�� , distinguendo il
caso in cui il giunto �� e rotoidale dal caso in cui il giunto `e prismatico:
dove � è un opportuno vettore costante di parametri.
Apparentemente sembrerebbe che per il calcolo del regressore Y occorre conoscere l'accelerazione
dei giunti attraverso misure o stime, il che naturalmente costituirebbe una notevole limitazione al
suo utilizzo pratico. In realtà la tecnica che verrà presentata nel seguito, dovuta a Slotine e Li,
risolve il problema senza la necessità di informazioni sulle accelerazioni. Si consideri dapprima la
seguente legge di controllo, in cui si suppone noto senza incertezza il modello dinamico: � = ����� � + ���,�� ��� � + ����+; <
con KD matrice definita positiva. Si ponga: �� � = �� ! + =�>�� � = �� ! + =�>� con � definita positiva (si può prendere diagonale) che consente di esprimere i termini di
compensazione non lineare e di disaccoppiamento in funzione di velocità e accelerazioni desiderate
aggiornate sulla base dello stato corrente del manipolatore. Se ora poniamo: < = �� � − �� = �>� + =�>
l’azione ��� equivale ad un’azione PD sull’errore.
Complessivamente l’adozione della legge di controllo comporta: ���<� + ���,�� �<+; < =
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Si assuma come funzione di Lyapunov candidata la seguente espressione:
?�<,�>� = @A<� ���<+@A�>�B�> > 0∀C,�> ≠
con M matrice definita positiva. Derivando, inoltre si dimostra che �� < 0. Quindi lo stato
Consideriamo ora una legge di controllo basata su stime dei parametri: � = D����� � + �D��,�� ��� � + �E���+; < = 8��,�� ,�� �,�� ��9E +; <
Si osservi che � non dipende dalle accelerazioni dei giunti. Sostituendo nel modello dinamico: ���<� + ���,�� �<+; < = − F����� � − �F��,�� ��� � − �>��� = 8��,�� ,�� �,�� ��9>
dove: F = D − �F = �D − ��> = �E − �9> = 9E − 9
Modifichiamo ora la funzione candidata di Lyapunov: