Universidade Federal de Vi¸ cosa Centro de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica Gabarito 3 a Lista - MAT 146 - C´ alculo I 2017/I 1) [f (x)g(x)h(x)] 0 = f 0 (x)g(x)h(x)+ f (x)g 0 (x)h(x)+ f (x)g(x)h 0 (x) f (x)g(x) h(x) 0 = f 0 (x)g(x)h(x)+f (x)g 0 (x)h(x)-f (x)g(x)h 0 (x) (h(x) 2 ) 2) a) 2x + 1 3 x - 2 3 - sin(x) + cos(x) b) - 1 6 x - 7 6 c) 2x ln(x)-x (ln(x)) 2 + 1-ln(x) x 2 d) 3 cos(x) - 10 sin(x) e) sec 2 (x) - csc 2 (x) f) cos(40) g) 2 cos(x) - 2x sin(x) h) sin(x)+ x cos(x) - sin(x) i) 4 sec(x) tan(x) + 2 csc(x) cot(x) j) 2x sin(x)+ x 2 cos(x) + 2 cos(x) - 2x sin(x) k) sin(x) + sin(x) sec 2 (x) l) cos(x) m) -2 sin(x)(x+1)-2 cos(x) (x+1) 2 n) 2 cos(x)+2(x+1) sin(x) 4 sin 2 (x) o) sec 2 (x)(cos(x)-4)+tan(x) sin(x) (cos(x)-4) 2 p) 2 cos(x) (1-sin(x)) 2 q) 1+cos(x)-sin(x) (cos(x)+1) 2 3) a)1 e b)1 4) a) 1 x ln(2) , b)0 5) a) 4(2x + 1) b) 4(x 2 +4x - 5) 3 (2x + 4) c) e(2x 4 - 7x 7 ) e-1 (8x 3 - 21x 2 ) d) -2(x 2 + 4) -3 (2x) e) 3 cos(3x) f) -6 sin(6x) g) 10 sec 2 (10x) h) 6 sec(6x) tan(6x) i) -3 csc(3x) cot(3x) j) -10 csc(10x) k) 2x cos(x 2 ) l) -2x sin(x 2 ) m) -6x sin(3x 2 + 1) n) 2x - 1 2 - 5 2 x - 3 2 o) 4x(1 + 4x 2 ) - 1 2 p) 2 3 (2x) - 2 3 q) dy dx =2x cos(x 2 ) r) dy dx = -3 sin(3x + 2) 1
4
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Universidade Federal de Vi˘cosa Centro de Ci^encias … 146/2017-I/listas/Gabarito_Lista3... · s) dy dx = 2e2x t) dy dx = 1 2 x 1 2 e p x u) dy dx = 2x+2 x2+2 v) dy dx = 3sec2(3x)
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Universidade Federal de VicosaCentro de Ciencias Exatas
Departamento de Matematica
Gabarito 3a Lista - MAT 146 - Calculo I 2017/I
1) [f(x)g(x)h(x)]′ = f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)[f(x)g(x)h(x)
]′= f ′(x)g(x)h(x)+f(x)g′(x)h(x)−f(x)g(x)h′(x)
(h(x)2)
2) a) 2x+ 13x−
23 − sin(x) + cos(x)
b) −16x−
76
c) 2x ln(x)−x(ln(x))2
+ 1−ln(x)x2
d) 3 cos(x)− 10 sin(x)
e) sec2(x)− csc2(x)
f) cos(40)
g) 2 cos(x)− 2x sin(x)
h) sin(x) + x cos(x)− sin(x)
i) 4 sec(x) tan(x) + 2 csc(x) cot(x)
j) 2x sin(x) + x2 cos(x) + 2 cos(x)− 2x sin(x)
k) sin(x) + sin(x) sec2(x)
l) cos(x)
m) −2 sin(x)(x+1)−2 cos(x)(x+1)2
n) 2 cos(x)+2(x+1) sin(x)
4 sin2(x)
o) sec2(x)(cos(x)−4)+tan(x) sin(x)(cos(x)−4)2
p) 2 cos(x)(1−sin(x))2
q) 1+cos(x)−sin(x)(cos(x)+1)2
3) a)1 e b)1
4) a) 1x ln(2)
, b)0
5) a) 4(2x+ 1)
b) 4(x2 + 4x− 5)3(2x+ 4)
c) e(2x4 − 7x7)e−1(8x3 − 21x2)
d) −2(x2 + 4)−3(2x)
e) 3 cos(3x)
f) −6 sin(6x)
g) 10 sec2(10x)
h) 6 sec(6x) tan(6x)
i) −3 csc(3x) cot(3x)
j) −10 csc(10x)
k) 2x cos(x2)
l) −2x sin(x2)
m) −6x sin(3x2 + 1)
n) 2x−12 − 5
2x−
32
o) 4x(1 + 4x2)−12
p) 23(2x)−
23
q) dydx
= 2x cos(x2)
r) dydx
= −3 sin(3x+ 2)
1
s) dydx
= 2e2x
t) dydx
= 12x−
12 e√x
u) dydx
= 2x+2x2+2
v) dydx
= 3 sec2(3x)
w) dydx
= cos(x)esin(x)
x) dydx
= 1x
sec2(ln(x))
y) dydx
= 1cos(x) sin(x)
6) a) dydx
= −xy
b) dydx
= 8y−3x23y2−8x
c) dydx
= − y2
x2
d) dydx
= −√y√x
e) dydx
= 2x−2xy22yx2−2y
f) dydx
=y+ 3√y2
24 3√y5.
3√x2−x
7) y = −2x+ 4
8) a) f ′′(x) = 20x3 − 12x
b) f ′′′(x) = 48x
c) f ′′(x) = 6x4
d) f ′′(x) = − sin(x)
e) f ′′′(x) = sin(x)
f) f (50)(x) = −250 sen(2x)
g) f (15)(x) = −15!
x16
9) dydx
∣∣x=1
=98
10) g′(1) = 10
11) a) −5, 13
b) −3,−1, 1
c) 0, 2
d) −2, 0, 2
e) nao tem pontos crıticos
f) nao tem pontos crıticos
g) 16kπ
, k ∈ Z
h) 18(2k + 1)π, k ∈ Z
i) 14kπ, k ∈ Z
12) a) f(−2) = 7 valor max.; f(3) = −874
valor mın.
b) f(−2) = −27 valor mın.; f(1) = 0 valor max.
13) a) 1 e ponto max.global; -1 e ponto de mın.global
b) 0 e 2 ponto de mın.globais; 1 ponto de max.local
14) a) Est.Cresc em ]−∞, 0] e [2,+∞[ ; Estr.Decres em[0,2]
b) Est.Cresc em ]−∞,−] e [−13,+∞[ ; Estr.Decres
em [−1, 13]
c) Est.Cresc em ] − ∞,−] e [1,+∞[ ; Estr.Decresem [-1,0[ e ]0,1]
c) f—:Cresc. em [2,+∞[ e Decres em ]−∞, 2]; g—:Cresc. em ]−∞,−13[ e [1,+∞[ e Decres. [−1
3, 1]
16) f:((0.0); concavo para baixo para x < 0; concavo para cima para x > 0 ).g:((0.0), (4,−256); concavo para cima para x < 0 e x > 4; concavo para baixo para 0 < x < 4.
17) a) Conc.para cima em ]1,+∞] ; Conc.para baixo em ]−∞, 1[ ; Ponto de Inflexao:1
b) Conc.para cima em ]16,+∞] ; Conc.para baixo em ]−∞, 1
6[ ; Ponto de Inflexao:1
6
2
c) Conc.para cima em ]1,+∞] ; Conc.para baixo em ]−∞, 1[ ; Ponto de Inflexao:1
d) Conc.para cima em ]−∞,−1[ e ]0,+∞[ ; Conc.para baixo em ]− 1, 0[ ; Ponto de Inflexao:-1
18) a) f(13) = 2
3, mıni.rel.;concavo para cima em toda parte.
b) f(32) = 81
4, max.rel.;f(−1) = −11, mın.rel.;(1
4, 37
8),ponto de infl.; concavo para cima para x < 1
4;
concavo para baixo para x > 14;
c) g(0) = 3, max.rel.;g(2) = 53, mın.rel.;(1, 7
3),ponto de infl.; concavo para baixo para x < 1; concavo
para cima para x > 1;
19) a)
f(x) f’(x) f”(x) Conclusaox=-2 −32
20 + f tem um valor mınimo relativo
x=0 0 0 - f tem um valor maximo relativox=1 −5
30 + f tem um valor mınimo relativo
b) f(13) = 2
3, mınimo relativo; concavo para cima em toda parte.