1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA –MECÁNICA- PRÁCTICA # 9: CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA –PARTÍCULAS- Diego L. Aristizábal R. Profesor asociado con tenencia de cargo, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Mayo de 2014 Temas Introducción I. Aspecto teórico Trabajo Teorema TE y energía cinética Energía potencial y las denominadas fuerzas conservativas Teorema de conservación de la energía mecánica Una discusión sobre el concepto de energía II. Experimentos Experimento 1: Cuerpo descendiendo en caída libre Experimento 2: Esfera pendular Introducción Para el estudio de la dinámica de un cuerpo, la física emplea fundamentalmente tres metodologías: La segunda ley de Newton: a través de la relación fuerza y aceleración. El principio del trabajo y la energía: a través de la relación fuerza, velocidad y posición (no es necesario determinar la aceleración). El principio del impulso y la cantidad de movimiento: a través de la relación fuerza, velocidad y tiempo (no es necesario determinar la aceleración). Hasta esta parte del curso se ha empleado el primer método. En este módulo se empleará el segundo método. I. Aspecto teórico Trabajo Trabajo realizado por una fuerza constante En la Figura 1 se ilustra un estudiante halando con una cuerda un bloque para desplazarlo desde una posición A hasta una posición B. La fuerza que ejerce es F, su magnitud es constante y su dirección siempre forma un ángulo con la horizontal. En la Figura también se ilustra el sistema de coordenadas elegido y el diagrama de fuerzas sobre el bloque. El marco de referencia elegido es el piso, y es inercial.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA –MECÁNICA-
PRÁCTICA # 9: CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA –PARTÍCULAS- Diego L. Aristizábal R.
Profesor asociado con tenencia de cargo, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Mayo de 2014
Temas
Introducción
I. Aspecto teórico Trabajo
Teorema TE y energía cinética
Energía potencial y las denominadas fuerzas conservativas
Teorema de conservación de la energía mecánica
Una discusión sobre el concepto de energía
II. Experimentos Experimento 1: Cuerpo descendiendo en caída libre
Experimento 2: Esfera pendular
Introducción
Para el estudio de la dinámica de un cuerpo, la física emplea fundamentalmente tres metodologías:
La segunda ley de Newton: a través de la relación fuerza y aceleración.
El principio del trabajo y la energía: a través de la relación fuerza, velocidad y posición (no es
necesario determinar la aceleración).
El principio del impulso y la cantidad de movimiento: a través de la relación fuerza, velocidad y
tiempo (no es necesario determinar la aceleración).
Hasta esta parte del curso se ha empleado el primer método. En este módulo se empleará el segundo
método.
I. Aspecto teórico
Trabajo
Trabajo realizado por una fuerza constante
En la Figura 1 se ilustra un estudiante halando con una cuerda un bloque para desplazarlo desde una posición
A hasta una posición B. La fuerza que ejerce es F, su magnitud es constante y su dirección siempre forma
un ángulo con la horizontal. En la Figura también se ilustra el sistema de coordenadas elegido y el
diagrama de fuerzas sobre el bloque. El marco de referencia elegido es el piso, y es inercial.
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Figura 1
El trabajo W realizado por la fuerza F (que recalcando, es una fuerza constante) para desplazar el
bloque desde la posición A hasta la posición B se calcula mediante la siguiente expresión,
A B
F
TW = F d [1a]
En donde FT es la componente de la fuerza F en la dirección del movimiento (en este caso será, Fx).
Equivalente se puede escribir,
A B
FW = F d cosφ [1b]
Es decir, para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante, simplemente se multiplica el valor
de la magnitud de la componente de la fuerza en dirección tangencial (o sea en la dirección del
movimiento) por la distancia que se mueve su punto de aplicación.
De la definición de trabajo se obtienen las siguientes conclusiones:
El trabajo es una magnitud ESCALAR.
La unidad de trabajo en el sistema internacional es N.m que recibe el nombre de Joule (J).
Las fuerzas ortogonales al desplazamiento no realizan trabajo.
El trabajo realizado por una fuerza puede ser positivo (Fx en el sentido del movimiento), negativo (Fx en
sentido opuesto al movimiento) o cero (F es ortogonal a la dirección del movimiento).
El área bajo la curva xF vs x es el trabajo realizado por la fuerza F , Figura 2.
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Figura 2
Trabajo realizado por una fuerza variable
Una fuerza variable de mucha aplicación es la ejercida por un resorte, Figura 3. Para realizar bien este
análisis se ilustra también en la Figura, el eje coordenado elegido y el diagrama de fuerzas: N es la fuerza
normal, P es el peso del bloque, f la fuerza de rozamiento, Fr la fuerza que ejerce el resorte sobre el
bloque y Fs la fuerza que ejerce un señor sobre el bloque. La idea es calcular el trabajo realizado por la
fuerza del resorte para desplazar el bloque desde la posición A hasta la posición B.
Figura 3
La fuerza Fr obedece la ley de Hooke y por lo tanto se cumple que,
rF = kx
4
El trabajo se puede obtener calculando el área bajo la recta Fr vs x, Figura 4
Fr 2 2
A B A B
1 1W = kx - kx [2]
2 2
Figura 4
Energía cinética y principio TE
En la Figura 5 se ilustra un estudiante halando con una cuerda un bloque para desplazarlo desde una
posición A hasta una posición B. La fuerza que ejerce es F, su magnitud es constante y su dirección siempre
forma un ángulo con la horizontal. Como se observa adicionalmente actúan otras fuerzas sobre el bloque:
la fricción f la fuerza de gravedad P y la normal N. En la figura también se ilustra el sistema de
coordenadas elegido y el diagrama de fuerzas sobre el bloque. El marco de referencia elegido es el piso, y
es inercial.
Supóngase que Fneta es el resultado de la suma de TODAS las fuerzas que actúan sobre la partícula. En este
caso se aplica la segunda ley de Newton,
Figura 5
5
netaF = ma
La idea es calcular el trabajo total ejercido por las fuerzas (todas) para desplazar el cuerpo desde la
posición A hasta la posición B. Para facilitar el análisis se supondrá que la fuerza neta Fneta es contante y
por lo tanto la aceleración con que se desplaza el cuerpo también es constante (MUV), de esta forma se
cumple que,
neta xF = m a
Total
A®B netaW = F d
2 2
B A xV = V + 2a d
Combinando estas tres ecuaciones se obtiene,
Total 2 2
B A
1 1W = mV - mV [3]
2 2
Se define como energía cinética de una partícula a,
21K = mV [4]
2
y por lo tanto,
Total
B AW = K - K [5a]
TotalW = K [5b]
Aunque la demostración se realizó bajo la suposición de fuerzas constantes, el resultado es de validez
general.
Es decir, dado un marco de referencia inercial el trabajo realizado por la fuerza total o resultante
de las fuerzas que actúan sobre una partícula (o sea el trabajo total), es igual al cambio en su
energía cinética. Este es el denominado principio del trabajo y la energía (principio TE).
Energía potencial y las denominadas fuerzas conservativas
Teorema de la energía potencial
Hay determinadas fuerzas para las cuales el trabajo realizado por ellas NO depende de la trayectoria
seguida por la partícula y éste SOLO depende de la posición inicial y de la posición final de ésta. Este tipo
de fuerzas se denomina FUERZAS CONSERVATIVAS y el trabajo realizado por éstas se puede expresar
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como MENOS en el cambio de una función escalar entre la posición inicial y la posición final de la partícula.
A esta función escalar se le denomina ENERGÍA POTENCIAL U. Esto es,
A B
Fuerza conservativa
A BW = U - U [6a]
o equivalente
A B
Fzas. conservativasW = - ΔU [6b]
Ejemplos de estas fuerzas son la fuerza elástica y la fuerza gravitacional. La energía potencial es la
energía asociada a la posición de la partícula y en general a la configuración de los sistemas. Se puede
interpretar como la energía almacenada, la cual fue obtenida del trabajo que una fuerza conservativa
realizó sobre la partícula.
Teorema de la energía potencial aplicado al PESO
Sea una partícula de masa m que se mueve desde una posición A hasta una posición B, Figura 6.
Figura 6
El trabajo realizado por el peso para desplazar la partícula desde la posición A hasta la posición B es,
peso
A B 2 1W = mg y - y
peso
A B 2 1W = mgy mgy [7]
Se define ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL mediante la siguiente expresión (ver Figura 7),
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U = m g h [8]
con el eje y vertical, positivo hacia arriba.
Figura 7
En donde h corresponde a la altura medida desde un nivel de referencia arbitrario. Escogiendo como nivel
de referencia en la situación de la Figura 6 al piso, la ecuación [7] se puede escribir así,
peso
A B A BW = mgh - mgh [9]
que corrobora el teorema de la energía potencial, ecuación [6a] o [6b].
El resultado es de validez general y se cumple incluso para una trayectoria curvilínea como la situación de
de la Figura 8.
Figura 8
El trabajo realizado por el peso para desplazar la partícula desde la posición A hasta la posición B es,
8
Sobre la arbitrariedad del nivel de referencia:
Observar que el nivel de referencia no importa. Supóngase que se escoge otro nivel más bajo que el de la
Figura 2, por ejemplo una cantidad C por debajo. Aplicando de nuevo el teorema de la energía potencial se
obtiene,
peso
A B A BW = mg h + C - mg h + C
Expresión que se reduce de nuevo a,
peso
A B A BW = mgh - mgh
Observar que independientemente de la trayectoria elegida en la Figura 1 y desde que se mantengan las
mismas posiciones inicial y final el cálculo del trabajo del peso da igual. Adicionalmente si la trayectorias es
cerrada, es decir si la posición inicial y la final coinciden, el trabajo realizado por el peso es NULO.
En general:
El trabajo realizado por una fuerza conservativo es independiente de la trayectoria seguida y sólo
depende de la posición inicial y de la posición final.
El trabajo realizado por una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es NULO.
Teorema de la energía potencial aplicado a la fuerza elástica
La ecuación [2] es el resultado del trabajo realizado por la fuerza elástica cuando un resorte se deforma
desde una elongación XA hasta una elongación XB.
Fr 2 2
A B A B
1 1W = kx - kx [2]
2 2
Con base en lo anterior, y siguiendo el enunciado del teorema de la energía potencial, se define ENERGÍA
POTENCIAL ELÁSTICA asociada a la fuerza elástica a,
2
e
1U = kx [10]
2
siendo k la constante de rigidez del resorte y x la elongación de éste, la cual se mide desde su longitud
original.
Teorema de conservación de la energía mecánica
Según el principio del trabajo y la energía el trabajo total, es decir el trabajo de todas las fuerzas que
actúan sobre una partícula para desplazarla desde una posición inicial A hasta una posición final B es igual
al cambio en su energía cinética, ecuación [5b]
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Total
A BW = ΔK [5b]
Adicionalmente el trabajo realizado por una fuerza conservativa para desplazar la partícula desde una
posición inicial A hasta una posición final B es igual a MENOS el cambio en su energía potencial asociada,
ecuación [6b],
Fuerza conservativa
A BW = - ΔU [6b]
Agrupando las fuerzas en conservativas y otras el trabajo total se puede escribir también como,
Total Fuerzas conservativas Otras
A B A B A BW = W W
Combinando estas tres últimas ecuaciones se obtiene,
A B
OtrasΔK = - U + W
A®B
Otras
B A B AK - K = - U - U + W
A B
Otras
B B A AW = K + U - K + U
Se define la ENERGÍA MECÁNICA E como la suma de la energía cinética con la energía potencial,
E = K + U
Por lo tanto,
A B
Otras
B AW = E - E [11a] o equivalente A B
OtrasW = E [11b]
Que en palabras dice,
El trabajo realizado por las fuerzas que no son agrupadas dentro de las conservativas es igual al cambio en
la energía mecánica de la partícula.
Este a veces es conocido como el TEOREMA DE LA ENERGÍA MECÁNICA.
Si todas las fuerzas que actúan sobre el sistema son conservativas, la energía mecánica del sistema se
mantiene constante,
B A E = E [12]
A esta expresión se le conoce con el nombre de CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA.
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Una discusión sobre el concepto de energía
Como lo dijo R. P. Feynman (1918-1988), premio Nobel de Física en 1965: “Es importante constatar que en
la física de hoy, no sabemos lo que es energía”
Realmente lo que quería decir Feynman es que el concepto de energía es tan básico que su definición es
esencialmente operacional: si se detalla en lo desarrollado en este módulo y en el anterior, las energías
cinética y potenciales se definen a través de fórmulas que salen de los resultados de la integral de trabajo
al aplicar tanto en el teorema del trabajo y la energía, como el teorema de la energía potencial; así se
definen: energía cinética como, 21K = mV
2, energía potencial gravitacional como,
gU = mgh y energía
potencial elástica como, 2
e
1U = kx
2. Sin embargo cuando se pide dar una definición que no sea la
operacional (o sea la propia fórmula) el reto ya es MUY complicado: lo mejor es conformarse con hacer una
descripción de la energía con base en sus manifestaciones así:
La energía cinética es la que poseen los cuerpos debido a su movimiento.
La energía potencial es la que poseen los cuerpos debido a su posición o configuración. Esta se
considera almacenada.
Pero el asunto se complica cuando se hace una lista de términos que están asociados al concepto de
energía, como los siguientes (solo se citan algunos): energía química, energía térmica, trabajo, calor,