Uniformna raspodela • Sp X ima uniformnu raspodelu na intervalu (a,b) ako je gustina sp X ∈ ] [ 1 b a x g(x) a b a b − 1 ∉ ∈ − = ] , [ , 0 ] , [ , ) ( b a x b a x a b x g x • Oznaka uniformne raspodele je X:U(a, b) 2 ) ( b a X E + = • Matematičko očekivanje i disperzija su: x 2 12 ) ( ) ( 2 a b X D − = • Koeficijent asimetrije je nula. • Koeficijent spljoštenosti je f = 12 12 • Koeficijent spljoštenosti je f 2 =-1,2. 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Uniformna raspodelap
• Sp X ima uniformnu raspodelu na intervalu (a,b) ako je p p ( , ) jgustina sp X
∈ ][1 bax
g(x) a b
ab −1
∉
∈−=
],[,0
],[,)(bax
baxabxg
x
• Oznaka uniformne raspodele je X:U(a, b)
2)( baXE +
=• Matematičko očekivanje i disperzija su:
x
2
12)()(
2abXD −=
• Koeficijent asimetrije je nula.
• Koeficijent spljoštenosti je f = 1 2 12• Koeficijent spljoštenosti je f2=-1,2.1
• Raspodela slučajne promenljive sa gustinomp j p j gxxg λ−λ
= e2
)( Rx ∈
je dvostrana eksponencijalna ili Laplasova raspodela.
• Primer. Odrediti konstantu k tako da data funkcija g(x) bude gustina raspodele sp X, a zatim odrediti funkciju raspodele, matematičko očekivanje i disperziju sp X.
xk −)( xkxg −= e)( Rx ∈
≤=
0,e21
)(x
xFx
21
=k0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
F(x)
>− − 0,e
211
)(x
xFx2
0)( =XE 2)( =XD-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0
x5
χ2- raspodelaχ raspodela
• Neka su sp X1,..., Xn nezavisne i sve imaju N(0,1) p 1, , n j ( , )raspodelu. Za sp
221 ... nXXX ++=
2
kažemo da ima χ2 (hi kvadrat) raspodelu sa n stepeni slobode, što označavamo
2: nX χ
• Matematičko očekivanje je
• Disperzija jenXE =)(
XD 2)( nXD 2)( =6
χ2- raspodela za različite vrednosti nχ raspodela za različite vrednosti n
0.25g(x)
0.20
n = 4
n = 1
0.10
0.15
n = 12
n = 8
0.05n = 20
n 12
0 5 10 15 20 25 30 35 400.00 x
• Sa povećanjem broja stepeni slobode, n, tačka lokalnogSa povećanjem broja stepeni slobode, n, tačka lokalnog ekstremuma, tzv. mod raspodele se pomera udesno.
7
Aproksimacije hi-kvadrat raspodeleAproksimacije hi kvadrat raspodele
• Za n≥30 hi-kvadrat raspodela se može aproksimirati p pnormalnom raspodelom N (n, 2n), a raspodela sp
nn2 −χ
n2normalnom normiranom raspodelom.
• Može se koristiti i Fišerova aproksimacija po kojoj 22 nχ
ima približno normalnu raspodelu N )1,12( −np p ),(
8
Tablice za χ2- raspodeluTablice za χ raspodelu
• Tablice za hi-kvadrat raspodelu daju vrednosti za koje 2αχp j j
je verovatnoćaα
α=χ> α )( 2XP
gde je α zadato i jednako 0,99, 0,95, ..., 0,01, a sp X ima hi-kvadrat raspodelu sa n stepeni slobode.
• Ako X:Fn k tada je matematičko očekivanjeFn,k j j
2)(
−=
kkXE E(X)→1, k→∞
• Disperzija je)2(2)(
2 −+ knkXD)4()2(
)()( 2 −−=
kknXD
• Kada k→∞ tada se F k može aproksimirati raspodelomKada k→∞, tada se Fn,k može aproksimirati raspodelom sp Y/n, gde je .: 2
nY χOznačimo to sa Fn ∞ .1 2
nχ≈ Odatle sledi F∞ k 2
1 k≈=Fn,∞ nn
χ F∞, k 2, kkF χ∞
18
Gama raspodelaGama raspodela• Ako je gustina sp X
≤ 00
( )
>αΓ
λ≤
= −αλ−α
0,e0,0
)( 1
xxx
xg x
( )
gde su α i λ pozitivni realni brojevi, tada kažemo da X ima gama raspodelu sa parametrima α i λ i pišemo X: Γ(α, λ). Naziva se i dvoparametarska gama raspodela.
• Ako je X: Γ(α, λ), matematičko očekivanje je
λα
=)(XE• disperzija jedisperzija je
2)(λα
=XD19
Gustina dvoparametarske d lgama raspodele
g(x)
0.8
1.0g( )
α=1 λ=1
0.4
0.6α 1,λ 1
α=2,λ=1
0 1 2 3 4 5 6 7 80.0
0.2
x
α=4,λ=1
20
Gama raspodela nastavakGama raspodela, nastavak
• Ako su sp X1: Γ(α1, λ) i X2: Γ(α2, λ) sa gama raspodelama p 1 ( 1, ) 2 ( 2, ) g psa istim parametrom λ nezavisne, tada i njihov zbir X1+X2ima gama raspodelu Γ(α1+α2, λ).Z 1 d bij k ij l d l (λ)• Za α=1 se dobija eksponencijalna raspodela ε(λ).
• Za α∈N se dobija Erlangova raspodela.• Za α=n/2 i λ=1/2 dobija se χ2 - raspodela• Za α=n/2 i λ=1/2 dobija se χ raspodela.• Za λ=1 imamo tzv. jednoparametarsku gama raspodelu.• Ako X:Γ(α,λ) i Y=X+c, tada je gustina raspodele sp Y( , ) , j g p p