PROBABILIDAD: .- Terminología Básica. .- Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales. .- Enfoques para el cálculo de probabilidades: 1.-Enfoque Clásico. 2.-Enfoque Frecuencial Limitante. 3.-Enfoque de Suma de los Pesos. 4.-Enfoque Subjetivo. .-Probabilidad Condicional. .-Eventos Independientes. .-Teorema de Bayes. Contenido del Capitulo: OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: 1.-Identificar la terminología básica de introducción a la teoría de probabilidades 2.-Identificar las técnicas de conteo de puntos muestrales. 3.-Identificar los distintos enfoques para el calculo de probabilidades 4.-Evidenciar la aplicación del teorema de Bayes en situaciones reales
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PROBABILIDAD:
.- Terminología Básica.
.- Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.
.- Enfoques para el cálculo de probabilidades:
1.-Enfoque Clásico.
2.-Enfoque Frecuencial Limitante.
3.-Enfoque de Suma de los Pesos.
4.-Enfoque Subjetivo.
.-Probabilidad Condicional.
.-Eventos Independientes.
.-Teorema de Bayes.
Contenido del Capitulo:
OBJETIVOS DE
APRENDIZAJE:
1.-Identificar la
terminología básica de
introducción a la teoría
de probabilidades
2.-Identificar las
técnicas de conteo de
puntos muestrales.
3.-Identificar los
distintos enfoques para
el calculo de
probabilidades
4.-Evidenciar la
aplicación del teorema
de Bayes en situaciones
reales
Capitulo III. Muestreo
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CAPITULO II: PROBABILIDAD
2.1 Terminología Básica.
Sistemas Determinísticos: Sistemas que interactúan de forma
predecible, de modo que podemos describir con certeza, de manera
apriorística su comportamiento. Ejemplo: En el vacío se puede asegurar
al dejar caer un objeto su velocidad será 98m/s transcurridos 10 s de viaje
Sistemas Probabilísticas: Son sistemas con un comportamiento no
predecible, sujetos a incertidumbre. Ejemplos: La Inflación, El Sistema
Económico Mundial, el Clima Organizacional.
Nota: La mayoría de los sistemas son de naturaleza probabilística, allí
radica la importancia del conocimiento de la Teoría de Probabilidades y el
manejo apropiado de la Estadística.
Experimento Estadístico: Proceso del cual se derivan una serie de
resultados de naturaleza aleatoria. Ejemplos:
a) Observar el número de personas que hablan por el celular mientras
manejan, en la Av. Lara.
b) Lanzar un dado y observar el resultado que se presentan en la cara
superior
.
Una de las definiciones básicas en un curso de introducción a la teoría de
probabilidades, es la de espacio muestral y se presenta a continuación.
Capitulo III. Muestreo
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Definición
Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posible de un
experimento estadístico. Se representa por el símbolo “S”
A cada resultado del espacio muestra se le denomina punto muestral.
Ejemplo 1:
En referencia al experimento que consiste en lanzar un dado y observar el
resultado que se presenta en la cara superior, el espacio muestral S de
resultados posibles es:
S = {1, 2, 3, 4, 5,6}
Si “S” finito o infinito contable, se le denomina Espacio Muestral Discreto
Si “S” constituye un intervalo real o unión de intervalos reales, se le denomina
Espacio Muestral Continuo
Ejemplo 2:
Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara
superior, el espacio muestral “S” es discreto finito, pues:
S = {1, 2, 3, 4, 5,6}
Ejemplo 3:
Lanzar una moneda hasta que salga cara, el espacio muestral “S” es
discreto infinito, pues:
S = {c, sc, ssc, sssc, ssssc…}.
Ejemplo 4:
Capitulo III. Muestreo
4
Si medimos el tiempo que transcurre hasta que falla un componente
electrónico, el espacio muestral “S” es continuo, pues:
S = {0, ∞}.
Para un número considerable de puntos Muestrales, resulta práctico expresar
el espacio muestral como una regla o enunciado:
Ejemplo 5:
El número de puntos internos en una circunferencia de radio 3 con
centro en el origen
S = {(x,y / x2 + y2 <= 9; x>=0, y>=0}
En experimentos de muestreo, que implican la selección artículos de un lote
debemos considerar si la selección se lleva a cabo:
Sin Reemplazo: El artículo seleccionado no se coloca de nuevo en el lote,
antes de seleccionar el siguiente.
Con Reemplazo: El artículo seleccionado se coloca de nuevo en el lote,
antes de seleccionar el siguiente.
Ejemplo 6: Un lote contiene tres artículos {1, 2,3}.el experimento consiste en
seleccionar dos de ellos
Si el experimento se lleva a cabo Sin Reemplazo:
S = {12, 13, 21, 23, 31,32}
Si el experimento se lleva a cabo Con Reemplazo:
S = {12, 13, 21, 23, 31, 32, 11, 22,33}
Definición
Capitulo III. Muestreo
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Evento: De manera frecuente, el interés recae en un conjunto particular de
resultados, así un evento constituye un subconjunto del espacio muestral en
un experimento estadístico. El evento se simboliza con una letra mayúscula
distinta de la “S” que la utilizamos para simbolizar el espacio muestral
Ejemplo 7:
Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara superior
y verificar que el mismo sea un número par:
A = {2, 4, 6}
Complemento: El complemento de un evento A, denotado por A’ es el
conjunto formado por todos aquellos elementos (puntos muestrales)
pertenecientes a “S” que no están en A.
Ejemplo 8: En referencia al ejemplo anterior el evento complementario se
verifica si sucede un número impar:
A’ = {1, 3, 5}
En algunos casos expresaremos eventos a través de operaciones básicas de
conjunto, tales como intersecciones, uniones y complementos. A continuación
se definen de manera sencilla algunas de las operaciones básicas con
conjuntos, a saber:
La Unión de dos eventos A y B (A B) es el evento formado por los
resultados que están en A o están en B o en ambos.
Para visualizar de manera rápida el conjunto de relaciones entre eventos
haremos uso de una herramienta gráfica denominada Diagrama de Venn
Gráfico 1. Diagrama de Venn
Capitulo III. Muestreo
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Fuente: Elaboración Propia
La Intersección de dos eventos A y B (A B) es el evento formado por los
resultados que están en A y están en B.
Gráfico 2.Diagrama de Venn. Intersección de Eventos
A B
)( BA
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Fuente: Elaboración Propia
Ejemplo 9
1) En las últimas 10 rondas semifinales en las cuales han participado
Caracas y Magallanes, al menos uno de los equipos ha accedido a la
final Caracas en 8 oportunidades y Magallanes en 4 de ellas dibuje el
Diagrama de Venn donde se muestren el conjunto de relaciones entre
los eventos.
En primer término se definen los siguientes eventos
C: Evento que corresponde a que Caracas acceda a la final.
M: Evento que corresponde a que el Magallanes acceda a la final
A continuación se muestra un sencillo Diagrama de Venn en el que se
visualizan el conjunto de relaciones entre los eventos que se definieron
anteriormente
Gráfico 3. Diagrama de Venn para las finales en que han participado
Caracas y Magallanes
A B
)( BA
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Fuente: Elaboración Propia
Puede visualizarse que en las últimas 10 oportunidades en las cuales los
equipos Caracas y Magallanes han accedido al ROUND ROBIN:
En 2 oportunidades ambos equipos han pasado a la final.
En 6 oportunidades el Caracas ha pasado con un equipo diferente de
Magallanes a la final.
En 2 oportunidades el Magallanes ha pasado con un equipo diferente
del Caracas a la final.
2.2 Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.
Antes de aprender a cuantificar la probabilidad de un evento, es
importante desarrollar destrezas en el conteo de los puntos muestrales
asociados a un suceso. A continuación se presentan una serie de Técnicas
que facilitan el conteo de los elementos asociados al espacio muestral.
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE
CONTEO.
2 C M
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Capitulo III. Muestreo
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Esta Regla se aplica cuando el espacio muestral se construye por
etapas, o el experimento se conforma de varias operaciones.
Hagamos las siguientes consideraciones:
Cada etapa (j) del experimento puede tener nj resultados posibles
j=1,2,….k
Cada uno de los resultados puede ocurrir independientemente de los
resultados que se presente en las otras etapas.
Luego el número total de puntos muestrales de este espacio muestral
conformado por etapas es viene dado por:
nknnnn ....3.2.1
NOTA: Al aplicar la regla hay que tomar en cuenta, si el experimento
se efectúa considerando una serie de restricciones.
Ejemplo 10:
Se lanza una moneda y posteriormente un dado. Calcular el tamaño del
espacio muestral.
Solución
Observamos que en este experimento el espacio muestral se construye en
dos etapas, fase u operaciones.
Etapa 1: Lanzamiento de la moneda. Con n1= 2 resultados posibles
Etapa 2: Lanzamiento del dado Con n2= 6 resultados posibles.
Luego la ocurrencia simultánea de ambas operaciones viene dada por:
126.22.1 nnn Así el espacio está constituido por 12 puntos muestrales.
A través de un diagrama de árbol se puede visualizar cada uno de los puntos
muestrales, y realizar el conteo en experimentos que no den como resultado
un número muy grande de puntos muestrales
En este Caso:
Capitulo III. Muestreo
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Gráfico 4. Diagrama de Árbol para el Experimento de Lanzar una moneda
y posteriormente un dado
Fuente: Eduardo Pinto
Luego para la construcción del espacio muestral comenzamos a formar los
puntos leyendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
6,5,4,3,2,1,6,5,4,3,2,1 ssssssccccccS
Cara
( C)
Sello
( S )
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Capitulo III. Muestreo
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* Queda propuesto al lector resolver este problema con la siguiente
restricción: Lanzar el dado únicamente si cae cara.
Definición
Permutación
Una permutación es un arreglo u ordenamiento de un conjunto de
elementos.
NOTA: En las permutaciones importa el orden en el que se
constituyen los arreglos, así una modificación en la posición relativa de
un elemento genera un arreglo distinto
Definición
Permutación de n objetos distintos
El número de permutaciones de n objetos diferentes viene dado por
n !
Ejemplo11:
La abuela María manda a su nieto gollo a jugarle la “permuta” del número 965
por 100 Bs. ¿Cuánto debe gastar Gollo?
Solución:
Tenemos tres elementos distintos el número de permutaciones viene dado
por:
n!
En este caso el número de arreglos distintos es 3! = 6
¡Aquí están los 6 arreglos diferentes!:
Capitulo III. Muestreo
12
965
956
596
569
695
659
El problema puede ser resuelto a través de la regla de la multiplicación de la
siguiente manera:
Consideremos el número de opciones de posicionamiento en los lugares
correspondientes a las centenas, decenas y unidades respectivamente con la
condición de que número utilizado en el arreglo no se repita.
centenas Decenas Unidades
3 2 1
n1 n2 n3
Luego n =n1.n2.n3=3.2.1=6 posibles números
Así la Abuela María debe darle 600 Bs. a Gollo para realizar la apuesta.
Definición
Permutación de n objetos distintos tomando “r” a la vez (Variaciones)
El número de permutaciones de un subconjunto de “r” objetos seccionados de
un conjunto de “n” elementos diferentes viene dado por:
)!(
!)1)...(2).(1(Pr
rn
nrnnnn
Ejemplo12: En referencia al problema anterior, ahora la abuela María le pide
a Gollo le juegue todos los “terminales” posibles para el triple 965. Nota: El
terminal se constituye por los dos últimos dígitos de la tríada formada.
Sol:
Capitulo III. Muestreo
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En este caso debemos buscar todas aquellas permutaciones o variaciones
distintas de dos dígitos que se pueden formar con los dígitos 9,6 y 5.
61
6
)!23(
!323
P
En este caso Gollo debe comprar 6 terminales diferentes:
65
56
96
69
95
59
NOTA: En los casos anteriores los “n” elementos ha “acomodar”
eran distintos. Vamos a analizar que sucede cuando “no todos” los
elementos son diferentes.
Definición
Permutación de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 de otra
categoría hasta nk
El número de permutaciones n = n1 +n2+…+nk objetos es:
!!...3!.2!.1
!
nknnn
n
En los casos en los que no importe el orden sino las distintas selecciones
diferentes posibles utilizaremos las combinaciones
Capitulo III. Muestreo
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Definición
Combinación
El número de combinaciones de n objetos diferentes tomando r a la vez: es:
)!(!
!
rnr
nnCr
Las siguientes interrogantes se responden haciendo uso de una combinación::
De cuantas maneras distintas se pueden seleccionar 5 estudiantes
de una sección de 40?
Cuántas muestras diferentes de 15 ejes pueden seleccionarse de
un lote de tamaño 50?
Cuantos cartones diferentes de Kino pueden imprimirse en un
sorteo semanal cualquiera?
En Resumen
Gráfico Nº 5. Diferencia entre Permutación y Combinación
Fuente: Elaboración Propia
NO IMPORTA EL
ORDEN
ARREGLO IMPORTA EL
ORDEN PERMUTACION
SELECCIONAR COMBINACION
Capitulo III. Muestreo
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Ejemplo 13:
1) El apretón de manos
Las personas que asistieron a una fiesta se estrecharon la mano. Uno de ellos
advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuantas personas
concurrieron a la fiesta?
SOLUCIÓN
Este interesante problema está propuesto en la sección denominada
“Matemática Recreativa” de la colección de fascículos titulada “El Mundo de
las Matemáticas”, se sugiere resolverlo en un fascículo dedicado a las
aplicaciones de las ecuaciones, en este caso se obtendrá una solución a
través de una de las técnicas de conteo (Combinación), y se le deja al lector el
encontrar otras formas de solucionar el acertijo.
Es fácil visualizar con un pequeño ejemplo que el número de apretones viene
dado por n C 2. Supóngase que los profesores Roger, Noel, Edgar y
Víctor se encuentran en la mañana a la hora en que Deyanira sirve el café
¿cuantos apretones de mano son posibles?
Roger – Noel; Roger – Edgar; Roger – Víctor; Noel – Edgar; Noel –Víctor;
Edgar – Víctor
Fácilmente podemos percatarnos que el apretón de manos Roger – Noel es el
mismo Noel – Roger, dado que no importa el orden el número de apretones
podemos encontrarlo rápidamente a través del combinatorio de 4 en 2
4C2 = 6
Capitulo III. Muestreo
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Ahora en este problema desconocemos el valor de n, sin embargo sabemos
que:
66
!2!2
!2
n
nnC
Resolviendo
66
)!2!.(2
!21
n
nnn
Luego tenemos la siguiente ecuación de 2º Grado
n2 - n - 132 = 0
Resolviendo la ecuación:
n = 12.
Así asistieron 12 personas a la fiesta.
Ejemplo 14:
La jugada hípica exótica conocida como exacta consiste en acertar, las dos
primeros lugares en el orden correcto en una carrera de caballos; es decir si
Ud. jugó la exacta 7-8 el número 7 debe figurar en el primer lugar y el 8
ocupar la segunda posición. En una hipotética carrera con 10 caballos
participando cuantas apuestas debe realizar para tener la absoluta seguridad
de acertar la exacta
Solución
En esta caso importa el orden en que se formen las posibles “duplas”,
por lo tanto, el problema consiste en encontrar el número de permutaciones
de “n” objetos tomando “r” a la vez; en este caso, 10 objetos en grupos de
tamaño 2:
Capitulo III. Muestreo
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909.10)!210(
!10210
P
El jugador tiene que realizar 90 apuestas para la que exacta constituyese un
evento seguro, obviamente esto implicaría una inversión de:
Bsexactas
Bsexactas 180000
200090
Capitulo III. Muestreo
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Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.
Ejercicios Propuestos
1) ¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7,8?
a. Sí cada uno puede utilizarse una sola vez.
b. ¿Cuántos de estos números son impares?
c. ¿Cuántos de estos números son pares?
Nota: Para que el número formado sea considerado de 4 dígitos en la
posición correspondiente a las unidades de mil debe aparecer un número
distinto de 0?
2) Pedro y su esposa Ofelia están decidiendo el nombre de su primer hijo
como buenos maracuchos el nombre debe contener las iniciales de los
nombres de sus padres y abuelos. Los abuelos son Maria y Eduardo y Pablo
y Ana. ¿Cuántos nombres contiene la lista de la cual harán la selección?
3) ¿De cuantas maneras puede finalizar la temporada el equipo REAL
MADRID FC. Con 25 victorias 10 empates y cinco derrotas?
4) Un Comité Paritario de Higiene y Seguridad (CPHS) es un equipo de
trabajo, formado por representantes de la dirección y de los trabajadores,
quienes se integran con el propósito de encontrar soluciones y mejoras
efectivas en diversos ámbitos tales como: La Protección de las Personas y la
Seguridad de toda Empresa. En toda empresa, faena, sucursal o agencia en
que trabajen más de 25 personas se organizarán Comités Paritarios de
Higiene y Seguridad. Un Comité Paritario de Higiene y Seguridad se
constituye de por tres representantes patronales y tres representantes de los
trabajadores. Si una empresa se constituye de 60 trabajadores y la Junta
Capitulo III. Muestreo
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Directiva la conforman 5 miembros ¿Cuántos Comités de Higiene y
Seguridad diferentes se pueden constituir?
5) En una planta química se utilizan 20 tanques para almacenar el producto
final. Se escogen cuatro tanques, sin reemplazo, al azar. Suponga que seis
tanques contienen material en el que la viscosidad excede los requerimientos
del cliente ¿Cuántas muestras distintas de tamaño cuatro contienen al menos
un tanque con material de viscosidad alta?
6) Del 1 al 775 ¿Cuántas veces aparece el número siete?
7) Un restaurante ofrece cebolla, salsa, mostaza y picante como condimento
para su agregado a una hamburguesa simples. ¿Cuántas clases de
hamburguesas puede preparar si los sabores se clasifican en: sin sabor,
con uno, con dos, tres o cuatro condimentos a la vez?
8) En la primera fase del Campeonato Mundial de Fútbol Alemania 2006
participan 32 Equipos, distribuidos en 8 Grupos constituidos por 4 Equipos
cada uno. En el Grupo cada equipo debe jugar una vez con sus tres
contrincantes restantes clasificando los dos mejores de cada grupo. ¿Cuál
es el total de partidos a efectuar en la primera ronda?
9) La jugada Hípica denominada superfecta consiste en acertar en una
carrera cualquiera, los ejemplares que arriben en los cuatros primeros
lugares en ese estricto orden; es decir si compramos un boleto sencillo con
los números (7-5-2-4) el número 7 debe finalizar primero, el 5 concluir
segundo, el 2 arribar en el tercero y el 4 ocupar la cuarta casilla. En una
carrera en la que participen 14 ejemplares ¿Cuántas Superfectas son
posibles?
10) Del 1 al 1998 cuantas veces aparece el número 9
Capitulo III. Muestreo
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2.3 Definición De Probabilidad. Enfoques Para Su Cálculo
PROBABILIDAD
La probabilidad es una medida para cuantificar el grado de
incertidumbre respecto a un suceso. Esta medida suministra información
en torno a la posibilidad de que un hecho o evento se presente. Sus orígenes
se remontan al siglo XVI cuando los reyes contrataban a los matemáticos
famosos para idear métodos para incrementar sus ganancias en los juegos de
azar, por eso algunos afirman que “La Probabilidad nació en el juego y es
jugando como se aprende probabilidad.”Hoy día la Teoría de Probabilidades
constituye el fundamento de la Estadística Inferencial, la cual es ampliamente
utilizada por los ingenieros para sacar conclusiones de diversos procesos en
base a evidencias muestrales
ENFOQUES PARA EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
Para calcular la probabilidad de un evento es necesario reunir
información relevante en torno a dicho suceso, dependiendo de dicha
información se utilizarán diferentes reglas o enfoques para su cuantificación.
ENFOQUE I: METODO DE LAS FRECUENCIAS RELATIVAS.
Esta definición fue dada en 1921 por Richard Von Nisses y ampliada y
convertida en teoría por Kolmogorov en 1933.
Capitulo III. Muestreo
21
Definición:
Al repetir u observar un procedimiento un gran número de veces, cuente las
ocasiones en las que el suceso A ocurre en la realidad. En base a estos
resultados, la P(A) se estima de la siguiente forma:
N
n
esrepeticiondeNúmero
AocurrequevecesdeNúmeroAP )(
En su forma límite la definición frecuencial es la siguiente:
N
nAP Lim
N
)(
Es a partir de este enfoque que se considera que cuando una moneda es
“legal” o no “cargada” la probabilidad de obtener una cara tiende al valor 50%
luego de un número considerable de ensayos
Gráfico Nº6. Definición Frecuencial
Capitulo III. Muestreo
22
Fuente: Elaboración Propia
ENFOQUE II: METODO CLÁSICO (requiere un espacio muestral
equiprobable)
La primera definición formal fue postulada por el médico y matemático
Girolamo Cardano (1501-1576) y la forma que aún sigue vigente fue
presentada por Laplace quien la enuncia de la siguiente manera.
Definición
Si un experimento dado tiene N resultados simples distintos, cada uno de los
cuales tiene la misma probabilidad de ocurrir. Si el evento A puede ocurrir en
n de estas N formas, entonces la probabilidad del evento A viene dada por:
N
n
posiblesresultadosnúmero
AafavorablesresultadosdenúmeroAP )(
DEFINICION FRECUENCIAL LIMITANTE
¡Es poco probable que el Real
Mallorca le gane al REAL MADRID¡
La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 50%
El experimento se repite un gran número de veces bajo condiciones
similares
Según este enfoque la probabilidad es el cociente entre las veces que ocurre el evento y el número de veces que se repite el
experimento
Capitulo III. Muestreo
23
Nota: “N” representa el tamaño del espacio muestral, y para
su cálculo se debe hacer uso de las técnicas de conteo de puntos
muestrales aprendidas.
ENFOQUE III: Suma de Pesos
La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de los puntos
muestrales asociados al evento A.
Axiomas de Probabilidad.
1)(0 AP
0)( P
1)( SP
ENFOQUE IV: Probabilidades Subjetivas
En algunos casos la probabilidad de un suceso es estimada según el nivel de
información o conocimiento acerca de un tema por parte de un experto. Según
Henry Kyburg:”En la visión subjetiva, la probabilidad representa una relación
entre una proposición y un cuerpo de evidencia, pero no es una relación
puramente lógica. Es una relación cuasilógica y el valor numérico asociado a
ella representa un grado de creencia” Por ejemplo: La probabilidad de que
el caballo Polo Grounds gane el clásico Simón Bolívar del 2006 es 80 %,
en esta afirmación el experto debe considerar variables tales como peso del
ejemplar, efectividad del jinete, efectividad del entrenador, efectividad del
puesto de pista, dosage (razón entre la velocidad y stamina (resistencia)del
ejemplar), centro de distribución, pedigree, estado físico del ejemplar,
condición en cancha, y obviamente la experiencia y el feeling del
Capitulo III. Muestreo
24
Handicapper. Asimismo cuando un comentarista deportivo afirma que los
Leones del Caracas serán campeones de la temporada 2005 - 2006 lo hace
en base al conocimiento de una serie de circunstancias relevantes del suceso
de análisis
Ejemplo 15:
1) Una moneda se construye da tal forma que la probabilidad de obtener una
cara es el triple de obtener como resultado un sello. a) Si la moneda se lanza
una vez cual es la probabilidad de obtener una cara. b) Si la moneda se lanza
dos veces cual es la probabilidad de obtener un sello.
Solución:
Para resolver este problema se usará el enfoque de suma de los pesos
dado que no se trata de un experimento en el que todos los resultados son
igualmente probables.
a) En primer término se define el evento siguiente:
A: Evento que corresponde a obtener una cara en un lanzamiento.
Dado que la probabilidad de obtener una cara es el triple de la de obtener un
sello tenemos:
13 pp (Por Axioma de probabilidad P(S) = 1)
Resolviendo esta sencilla ecuación se tiene que:
4
1p (Probabilidad de obtener sello)
Luego la probabilidad de obtener cara es:
4
33)( pAP . Así la probabilidad de obtener cara es 75 %.
b) Al realizar dos lanzamientos el espacio muestral queda de la siguiente
manera:
sssccsccS ,,,
Capitulo III. Muestreo
25
Sea B: el evento que corresponde a obtener un sello.
)()()( SCPCSPBP
8
3
4
3.
4
1
4
1.
4
3)( BP
Reglas Aditivas
En algunas ocasiones nos interesa calcular la probabilidad de la Unión de dos
o más o eventos, o hacer el cálculo de la probabilidad de un evento a partir de
su complemento, con una serie de operaciones sencillas fundamentadas en la
teoría de conjunto se pueden obtener dichas probabilidades