-
GUA TALLER DE PROBABILIDAD
Pr. Wilson Castro Z.
I. Conteo
1. Una seora invita a cenar a 8 amigos despus de sentarse ella.
De cuntas formas se pueden sentar sus invitados?
2. Cuntas permutaciones se pueden hacer con las letras de la
palabra buenaventura? 3. De cuntas maneras se pueden ordenar en un
estante 5 litros de whisky y 3 botellas de ron, a condicin
de que 2 litros de whisky estn siempre juntos y dos botellas de
ron siempre juntas? 4. Si un estudiante tiene 9 libros y quiere
ordenar 5 en un estante, de cuntas maneras distintas puede
hacerlo? 5. Un ingeniero contratado para revisar un equipo de
alta tecnologa, cree que hay 4 posibles fallas y
plantea dar solucin a cada una de ellas, sealndolas como
A,B,C,D. De cuntas maneras podra dar solucin a las fallas si se
tiene en cuenta el orden y luego si no importa el orden.
6. Pedro, Maria, Grisel, Juan y Jorge son los candidatos para
conformar un comit, compuesto de tres personas. A) Cuntos comits de
3 personas se pueden conformar? B) Grisel y Juan por ser hermanos
no pueden estar juntos en un comit, cuntos comits se pueden
conformar ahora?
7. Es necesario elegir un comit de 10 personas entre 6 abogados,
8 economistas y 5 ingenieros. Si el comit debe estar conformado por
4 abogados, 3 economistas y 3 ingenieros.
8. De cuntas maneras se puede formar un equipo de baloncesto
infantil de 5 jugadores, si se desea que 3 sean nios y 2 nias.
Enuncie las diferentes posibilidades.
Algunas respuestas (la x es una cifra no indicada).
1. xx.32x 2. x6 4. 1x1xx
5. 2x teniendo en cuenta el orden.
6. a) x0 comits, x comits.
7. x4x0 comits.
8. 1x.
II. Conjuntos
En teora de conjuntos, al nmero de elementos de un conjunto se
le denomina cardinalidad del conjunto y se
denota por n(A) para el conjunto A. Si A tiene una cardinalidad
finita, se dice que A es un conjunto finito. En
caso contrario, es llamado infinito. Para conjuntos infinitos,
se escribe n(A) = . Por ejemplo n(N) = .
Pueden tener dos conjuntos infinitos la misma cardinalidad?. La
respuesta es S. Si A y B son dos conjuntos
(finitos o infinitos) y hay una biyeccin de A hacia B (es decir,
una relacin uno a uno) entonces los dos
conjuntos tienen la misma cardinalidad, se dice que n(A) =
n(B).
-
1. Cul es la cardinalidad de cada uno de los siguientes
conjuntos?
Ahora, se puede compara nmeros mediante desigualdades. El
correspondiente concepto relacionado al
conjunto, es de subconjunto. Decimos que A es un subconjunto de
B, que se escribe , si y slo si
cada elemento de A es tambin un elemento de B. Si existe un
elemento de A que no est en B, entonces
Ejercicio 2. Suponga que A = {2, 4, 6}, B = {2, 6}, and C = {4,
6}. Determine cul de estos conjuntos son
subconjntos de otro conjunto.
Ejercicio 3. Ordene los conjuntos numricos utilizando
(Subconjunto de)
Ejercicio 4. Determine si estas preposiciones son verdaderas o
falsas y explique su respuesta:
Ejercicio 5: Se realiza una encuesta a 110 estudiantes de primer
ao en una universidad, sobre si estn
tomando unos cursos electivos. Entre estos estudiantes,
75 estn tomando Ingls, 52 estn tomando historia, 50 estn tomando
matemticas, 33 estn tomando Ingls e historia, 30 estn tomando Ingls
y matemticas, 22 estn tomando historia y matemticas, 13 estn
tomando Ingls, historia y matemticas. Cuntos estudiantes estn
tomando (a) Ingls e historia, pero no de matemticas, (b) ninguna de
Ingls, historia, ni matemticas, (c) matemticas, pero ni Ingls ni la
historia, (d) Ingls, pero no historia, (e) slo uno de los tres
cursos, (f) exactamente dos de los tres cursos.
-
II. Operaciones con conjuntos
Por U se denota el conjunto Universal.
Definicin: El complemento absoluto de A (un subconjunto de U),
es (Ver figura 1-I):
Definicin: El complemento relativo de A con respecto a B, es
(Ver figura 1- II):
Figura 1.
Ejercicio 6. Encuentre el complemento de A = {1, 2, 3} si U =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Leyes de Morgan.
Algunas reglas relacionadas con la probabilidad:
-
Ley de la Probabilidad total:
Si los eventos E1, E2, En son particiones de un espacio muestral
S, y se considera un evento A,
luego:
Ejercicio 7.
Exprese cada uno de los siguientes eventos en trminos de los
eventos A, B, y C,
as como las operaciones de complementacin, unin e
interseccin:
(a) al menos uno de los eventos A, B, C se produce;
(b) como mximo uno de los eventos A, B, C se produce;
(c) ninguno de los eventos A, B, C se produce;
(d) todos los tres eventos A, B, C se producen;
(e) exactamente uno de los eventos A, B, C se produce;
(f) los eventos A y B ocurren, pero no C;
(g) o bien el evento A se produce o, si no, entonces B tampoco
se produce.
Escriba a la izquierda la letra con la cual se relaciona la
expresin dada:
-
8) Escriba la letra del diagrama de Venn que representa cada
enunciado dado en el ejercicio 7:
9) Traduzca la notacin de teora de conjuntos dada, al lenguaje
de eventos, por ejemplo A U B, significa A
o B ocurren.
10. Una encuesta de los hbitos deportivos de un grupo de
estudiantes en el ltimo ao revel la siguiente
informacin:
(i) 28% tom gimnasia,
(ii) el 29% tom bisbol,
(iii) el 19% tom ftbol,
(iv) 14% tomaron gimnasia y bisbol,
(v) el 12% tomaron bisbol y ftbol,
(vi) el 10% tomaron gimnasia y ftbol,
(vii) el 8% tomaron los tres deportes.
-
Calcular el porcentaje del grupo que no tomaron ninguno de los
tres deportes durante el ao pasado.
A. 24 B. 36 C. 41 D. 52 E. 60
13. Dentro de un gran grupo de pacientes que se recuperan de
lesiones en el hombro, se encuentra que el
22% visita tanto un fisioterapeuta como a un quiroprctico,
mientras que el 12% no visita ninguno de estos.
La probabilidad que un paciente visita a un quiroprctico supera
en un 0,14 la probabilidad de que un paciente
visita un terapeuta fsico. Determine la probabilidad de que un
miembro elegido al azar de este grupo visita un
fisioterapeuta.
A. 0.26 B. 0.38 C. 0.40 D. 0.48 E. 0.62
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Este concepto est diseado para relacionar las probabilidades de
dos o ms eventos que estn ocurriendo.
Responde la pregunta: Dado que el evento B ocurri, cmo me afecta
esto que ocurra el evento A?. La
relacin matemtica es:
Donde Pr(A B) se lee Probabilidad de que ocurre A dado que B
ocurri.
Para dos eventos A y B, condicionados por la ocurrencia de un
tercer evento E que ya ocurri, se encuentran
todas las propiedades de probabilidad que se han descrito,
como:
Otras situaciones especiales a tener en cuenta:
Si
Entonces,
14. Una compaa de seguros calcula que el 40% de los clientes que
tienen slo una pliza de automvil la
renovarn el prximo ao y el 60% de los clientes que tienen slo
una pliza de vivienda la renovarn el
prximo ao. La compaa estima que el 80% de los clientes que
tienen ambas plizas (de automvil y de
vivienda), renovarn al menos una de esas plizas el prximo ao.
Los registros de la compaa muestran
-
que el 65% de los asegurados tienen una pliza de automvil, el
50% una de vivienda y el 15% de los clientes
tienen ambos tipos de pliza. Utilizando los estimativos de la
compaa, calcule el porcentaje de clientes que
renovarn al menos una de las plizas el ao siguiente.
A. 20 B. 29 C. 41 D. 53 E. 70
15. Una compaa de seguros examina su grupo de clientes de
seguros de automviles y rene la siguiente informacin: (i) Todos los
clientes aseguran al menos un coche. (ii) El 70% de los clientes
aseguran ms de un coche. (iii) El 20% de los clientes aseguran un
coche deportivo. (iv) De esos clientes que aseguran ms de un coche,
el 15% aseguran un coche deportivo. Calcular la probabilidad de que
un cliente seleccionado al azar asegure exactamente un coche y el
coche no sea deportivo. A. 0.13 B. 0.21 C. 0.24 D. 0.25 E. 0.30
INDEPENDENCIA DE EVENTOS:
Dos eventos son independientes, si:
Esto implica que:
Para tres eventos A, B y C que son independientes entre s, se
cumple que:
16. Un estudio realiz el seguimiento a la salud de un grupo de
personas durante cinco aos. Al comienzo del
estudio, 20% del grupo fueron clasificados como fumadores
empedernidos, 30% como fumadores leves, y el
50% como no fumadores. Resultados del estudio mostr que los
fumadores leves fueron dos veces ms
propensos que los no fumadores a morir durante los cinco aos del
estudio, pero slo la mitad de
probabilidades que los fumadores empedernidos. Un participante
seleccionado al azar del estudio muri
durante el perodo de cinco aos. Calcular la probabilidad de que
el participante era un fumador empedernido.
A. 0.20 B. 0.25 C. 0.35 D. 0.42 E. 0.57
17. A su llegada al servicio de urgencias de un hospital, los
pacientes se clasifican en funcin de su
estado como crtico, grave o estable. En el pasado ao:
(i) el 10% de los pacientes de la sala de emergencia estuvieron
crticos;
(ii) el 30% de los pacientes de la sala de emergencia estuvieron
graves;
-
(iii) El resto de los pacientes de la sala de emergencia se
mantuvieron estables;
(iv) el 40% de los pacientes crticos muri;
(v) 10% de los pacientes graves muri; y
(vi) el 1% de los pacientes estables muri.
Teniendo en cuenta que un paciente sobrevivi, cul es la
probabilidad de que el paciente se clasific como
grave a su llegada?
A. 0.06 B. 0.29 C. 0.30 D. 0.39 E. 0.64
PROBABILIDADES POSTERIORES: REGLA DE BAYES.
Es frecuente el caso que sabemos de las probabilidades de
ciertos eventos condicionados en otros eventos, pero lo que nos
gustara saber es el "inverso". Es decir, dado P (A | B) nos gustara
encontrar P (B | A). La regla de Bayes es una simple frmula
matemtica para calcular P(B|A) dada o conocida P(A|B). As para
dos eventos A y B
Frmula general de la regla de Bayes: Supongamos que el espacio
muestral S es la unin de eventos mutuamente excluyentes H1, H2, ,
Hn con P(Hi)> 0 para cada i. Entonces para cualquier evento A y
1 i n, tenemos
donde
III PROBLEMAS VARIOS 1.Un director de tesorera est considerando
invertir en el capital de una empresa de asistencia petrolera. La
valoracin de probabilidades del director correspondientes a las
tasas de rentabilidad de este capital durante el prximo ao se
recogen en la tabla adjunta. Sea A el suceso la tasa de
rentabilidad ser mayor del 10% y sea B el suceso la tasa de
rentabilidad ser negativa
Tasa de Rentabilidad Probabilidad
Menos de -10% 0,04 Entre -10% y 0% 0,14 Entre 0% y 10% 0,28
Entre 10% y 20% 0,33
Ms del 20% 0,21
-
a. Calcular la probabilidad del suceso A b. Calcular la
probabilidad del suceso B c. Describir el complementario del suceso
A. d. Calcular la probabilidad del complementario del suceso A. e.
Describir el suceso interseccin de los sucesos A y B. f. Calcular
la probabilidad de la interseccin de los sucesos A y B. g.
Describir el suceso de unin de los sucesos A y B. h. Calcular la
probabilidad de la unin de los sucesos A y B. i. Son los sucesos A
y B mutuamente excluyentes?
2. Una compaa recibe un determinado componente en remesas de
100. Un estudio ha indicado las probabilidades, que figuran en la
tabla adjunta, correspondientes a los componentes defectuosos de
una remesa.
Nmero de Defectuosas Probabilidad
0 0,19
1 0,26
2 0,32
3 0,18
Ms de 3 0,05
a. Cul es la probabilidad de que haya ms de tres componentes
defectuosos en una remesa? b. Cul es la probabilidad de que haya ms
de un componente defectuoso en una remesa? c. Las cinco
probabilidades de la tabla suman 1. Por que ha de ser as?
3. Se lanzan dos dados correctos. Calcular la probabilidad del
suceso la suma de sus caras sea mayor a 8.
4. Cuantas placas para vehculos se pueden obtener empleando tres
letras seguidas de 3 dgitos?
5. Se sabe que el 95% de todos los computadores personales de un
modelo determinado funcionarn por lo
menos durante un ao antes de que necesiten ser reparados. Un
gerente compra cuatro de estos
computadores. Cul es la probabilidad de que los cuatro
computadores funcionen durante un ao antes de
que necesiten ser reparados?
6. La probabilidad de que Leidy estudie para un examen de
estadstica es 0,30. Si estudia, la probabilidad de aprobar el
examen es 0,75, en tanto que si no estudia, la probabilidad es de
0,40. a) Cual es la probabilidad de que Leidy apruebe su examen
final? b) Dado que Leidy aprob el examen Cul es la probabilidad de
que haya estudiado?
7. La polica planea reforzar los lmites de velocidad mediante el
uso de un sistema de radar en cuatro
diferentes puntos dentro de la ciudad. Las trampas de radar en
cada uno de los sitios L1,L2,L3 y L4 operan
40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, y si una persona que maneja a
gran velocidad cuando va a su trabajo tiene
-
las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5, y 0.2, respectivamente, de
pasar por esos lugares, cul es la probabilidad
de que reciba una multa por conducir con exceso de
velocidad?
8. Se estim que un 35% de los estudiantes de ltimo curso de un
campus universitario estaban seriamente
preocupados por sus posibilidades de encontrar trabajo, el 28%
por sus notas y el 20% por ambas cosas.
Cul es la probabilidad de que un estudiante de ltimo curso
elegido al azar en el campus est seriamente
preocupado por al menos una de las dos cosas?
9. Una empresa de venta por correo considera tres posibles
errores al enviarse un pedido: A: El artculo enviado no es el
solicitado. B: El artculo se extrava. C: El artculo sufre
desperfectos en el transporte. Supngase que el suceso A es
independiente de los sucesos B y C y que los sucesos B y C son
mutuamente excluyentes. Las probabilidades de los sucesos
individuales son P (A) = 0,02, P (B) = 0,01 y P (C) = 0,04. Calcula
la probabilidad de que uno de estos errores ocurra para al menos un
pedido escogido al azar.
10. Un estudio de mercado en una ciudad indica que, durante
cualquier semana, el 18% de los adultos vieron
un programa de televisin orientado a temas financieros y
empresariales, el 12% leen una publicacin
orientada a esta temtica y el 10% realizan ambas
actividades.
a. Cul es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que
ve el programa de televisin, lea la publicacin mencionada?
b. Cul es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que
lee la publicacin, vea dicho programa de televisin?
11. Un congreso comienza al medioda con dos seminarios
paralelos. Al seminario sobre gestin de carteras
asiste el 40% de los delegados, mientras que al seminario sobre
tipos de cambio asiste el 50%. El seminario
de la tarde consiste en una conferencia titulada, Ha muerto el
paseo aleatorio?. A esta conferencia asiste el
80% de los delegados.
a. Si las asistencias a los seminarios de gestin de carteras y
tipos de cambio son mutuamente excluyentes, cul es la probabilidad
de que un delegado escogido al azar asistiese al menos a uno de
estos seminarios?
b. Si las asistencias al seminario de gestin de carteras y a la
conferencia son independientes estadsticamente, cul es la
probabilidad de que un delegado escogido al azar asistiese al menos
a uno de estos seminarios?
c. El 75% de los que asistieron al seminario de tipos de cambio,
lo hicieron tambin a la conferencia, Cul es la probabilidad de que
un delegado escogido al azar asistiese al menos a uno de estos
seminarios?
12. Se les pregunt a los suscriptores de un peridico local si
lean regularmente, ocasionalmente o nunca la
seccin de economa y, tambin, si haban realizado operaciones en
bolsa durante el ao anterior. Las
proporciones obtenidas en la encuesta figuran en la siguiente
tabla.
-
Adquisiciones en
bolsa
Lectura de la seccin
De economa
Regularmente Ocasionalmente Nunca
S 0,18 0,10 0,04
No 0,16 0,31 0,21
a. Cul es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar
no lea nunca la seccin de economa? b. Cul es la probabilidad de que
un suscriptor elegido al azar haya realizado operaciones en
bolsa
durante el pasado ao? c. Cul es la probabilidad de que un
suscriptor que lee la seccin de economa haya realizado
operaciones en bolsa durante el pasado ao? d. Cul es la
probabilidad de que un suscriptor que ha realizado operaciones en
bolsa durante el
pasado ao no lea nunca la seccin de economa? e. Cul es la
probabilidad de que un suscriptor que no lee regularmente la seccin
de economa haya
realizado operaciones en bolsa durante el pasado ao?
13. La siguiente tabla recoge las proporciones de adultos en
reas metropolitanas de Colombia, clasificadas
en aquellos que leen o no la prensa y aquellos que votaron o no
en las anteriores elecciones.
Votaron Lectores No Lectores
S 0,63 0,13
No 0,14 0,10
a. Cul es la probabilidad de que un adulto de esta poblacin
elegido al azar votase? b. Cul es la probabilidad de que un adulto
de esta poblacin elegido al azar lea la prensa? c. Cul es la
probabilidad de que un adulto de esta poblacin elegido al azar que
no lea la prensa
votase?
14. Un grupo independiente de investigacin ha estado estudiando
las probabilidades de que un accidente en
una planta nuclear ocasione una fuga de radiacin. El grupo
considera que los nicos tipos posibles de
accidente en un reactor son incendio, falla mecnica, y error
humano, y que 2 o mas accidentes nunca
ocurren al mismo tiempo. Ha efectuado estudios que indican lo
siguiente: si hubiera un incendio, se producira
una fuga de radiacin 20% de las veces; si hubiera una falla
mecnica, la fuga de radiacin tendra lugar 50%
de las veces; y si hubiera un error humano, la fuga se
presentara 10% de las veces. Sus estudios han
mostrado adems la probabilidad de que:
- Ocurran al mismo tiempo un incendio y una fuga de radiacin es
de 0,0010
-
- Ocurran al mismo tiempo una falla mecnica y una fuga de
radiacin es de 0,0015 - Ocurran al mismo tiempo un error humano y
una fuga de radiacin es de 0,0012 a. Cules son las probabilidades
respectivas de un incendio, de una falla mecnica y de un error
humano? b. Cules son las probabilidades respectivas de una fuga
de radiacin ocasionada por incendio, falla
mecnica y error humano? c. Cul es la probabilidad de una fuga de
radiacin?
15. Un equipo capitalino juega el 60% de sus partidos de da. El
equipo gana el 40% de sus partidos diurnos
y el 80% de los nocturnos. De acuerdo a las noticias que
aparecen en un diario de la capital, perdi ayer. Cul
es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado en el
dia?
16. Un fabricante produce 6.000 unidades por semana. Cada unidad
pasa por tres puestos de inspeccin,
antes de ser despachada a sus distribuidores. Por lo general, en
el primer puesto se rechaza el 5% de las que
fueron aceptadas, el 3% se rechazan en la segunda inspeccin y
finalmente en la tercera inspeccin el 2%
aproximadamente, se rechazan. Cul es la probabilidad que una
unidad seleccionada al azar pase las tres
inspecciones?
17. Supongamos que un proyecto de ley, debe ser aprobado en
primera instancia por la cmara de
representantes, luego por el senado y finalmente recibe la
sancin presidencial, para convertirse en ley. Un
politlogo asevera que las probabilidades son: 0,8; 0,6 y 0,5
respectivamente. Cul es la probabilidad que el
proyecto finalmente se convierta en ley?
18. Cuntos En una facultad de una universidad se sabe que el 35%
estn matriculados en el diurno y el 65% son del nocturno. La
probabilidad de que el estudiante diurno este trabajando es del 15%
en tanto, para el estudiante nocturno es del 70%. Se elige al azar
un estudiante de esa facultad a) Cual es la probabilidad de que
este trabajando? b) Dado que el estudiante elegido este trabajando,
determinar la probabilidad que ser del diurno.
19. Para Tres distribuidores de gas se reparten el mercado de
una ciudad, al distribuidor A le corresponde el
50%, al B el 30% y al C nicamente el 20%. Las autoridades
locales hacen una inspeccin en cada una de
las distribuidoras y encuentran que en A el 5% de las vlvulas de
los tanques estn defectuosos, en B el 3% y
en C es del 8%. Suponiendo que la distribucin no est demarcada
por zonas, se presenta un escape con las
consecuencias de una explosin que produce daos. Cul es la
probabilidad de que el tanque causante del
dao haya sido suministrado por el distribuidor A, B, o C?
20. Un inversionista cuenta con la opcin de invertir en dos de
cuatro tipos de accin de bolsa. El inversionista ignora que de esos
cuatro tipos, slo dos aumentarn sustancialmente de valor dentro de
los ltimos dos aos. Si el inversionista elige dos tipos de accin al
azar, haga una lista de los puntos muestrales de S y asimismo haga
una lista de los puntos muestrales de los siguientes eventos.
a. A : por lo menos uno de los tipos de accin redituable fue
escogido b. B: por lo menos uno de los tipos de accin no redituable
fue escogido.
c. Calcular : P ( A ) ; P ( B ) ; P ( A B ) ; P ( A B )
21. Los contratistas para la perforacin de pozos petroleros,
realizan siempre antes de perforar, un
experimento, consistente en registrar el comportamiento del
subsuelo ante pequeas explosiones. Si se
-
detecta lo que llaman una estructura cerrada en el subsuelo, se
considera sta un indicio prometedor,
mientras que si no se detecta estructura, la probabilidad de un
hallazgo de pozo productivo es menor. La tabla
que se da a continuacin resume la experiencia lograda en muchos
lugares en donde se perfor tras haber
efectuado el experimento con los explosivos.
B i
A i
B1
No se detecta estructura cerrada
B2
Si se detecta estructura cerrada
A1 : pozo no productivo 0,40 0,10
A2 : pozo productivo 0,15 0,35
Calcule las siguientes probabilidades: P ( A1 ) ; P ( A2 ) ; P (
A1 / B1 ) ; P ( A2 / B2 )
P ( A1 B2 ) ; P ( B2 / A2 ) ; P ( A2 / A1 )
22. Dados dos eventos A y B , tales que P ( A ) = 0,7 ; P ( B )
= 0,4 y
P (A B)=0,1, encuentre lo siguiente:
a. P ( A / B ) b. P ( B / A )
23. Un testigo de un accidente de trnsito en el que el causante
huy. Le indica a la polica que el nmero de
la matrcula del automvil tena las letras ABC seguidas por tres
dgitos el primero de los cuales era un cinco.
Si el testigo no puede recordar los otros dos dgitos pero esta
seguro que los tres eran diferentes. Encuentre
el nmero mximo de registros de automvil que debe verificar la
polica.
24. Un La probabilidad de que un alumno apruebe matemticas es de
0,6, la de que apruebe Ingls es 0,5 y
la de que apruebe las dos es 0,3. Se elije un alumno al azar,
calcule las siguientes probabilidades:
a) Probabilidad de que apruebe al menos una asignatura.
b) Probabilidad de que no apruebe ninguna.
25. Una persona posee una casa en la ciudad y una cabaa en las
montaas. En un ao cualquiera, la
probabilidad de que entran a robar la casa es de 0,01 y de que
roben la cabaa es 0,05. Para un ao
cualquiera, cul es la probabilidad?
a. De que entren a robar ambas. b. Roben en una u otra pero no
en ambas. c. No roben en ninguna.
-
26. Las enfermedades I y II son comunes entre la gente de cierta
poblacin. Se supone que 15% de la
poblacin contraer la enfermedad I alguna vez durante su vida,
18% contraer eventualmente la enfermedad
II, y el 3% contraer ambas.
a. Encuentre la probabilidad de que una persona elegida al azar
de esta poblacin contraiga al menos una enfermedad.
b. Encuentre la probabilidad condicional de que una persona
escogida al azar de esta poblacin, contraiga ambas enfermedades,
dado que l o ella haya contrado al menos una de ellas.
27. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5
blancas y 6 negras, cul es la probabilidad de que la bola sea roja
o blanca? Cul es la probabilidad de que no sea blanca?
28. En una ciudad se publican tres peridicos A, B y C. Realizada
una encuesta, se estima que de la poblacin adulta : 20% lee A, 16%
lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee A y C, 4% lee B y C ; 2% lee
los tres peridicos.
Qu porcentaje lee al menos uno de estos tres peridicos? De los
que leen al menos un peridico,
Qu porcentaje leen A y B?
29. Un taller sabe que por trmino medio acuden: por la maana
tres automviles con problemas elctricos, ocho con problemas
mecnicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con
problemas elctricos, tres con problemas mecnicos y uno con
problemas de chapa. Calcular:
a) El porcentaje de los que acuden por la tarde.
b) El porcentaje de los que acuden por problemas mecnicos.
c) La probabilidad de que un automvil con problemas elctricos
acuda por la maana.
30. En cierto pas, se ha encontrado que la probabilidad de que
un hombre siga viviendo despus de 25 aos
es de 3 / 5, y la de que su esposa lo est es de 2 / 3. Hallar la
probabilidad de que en ese momento:
a. Ambos estn vivos. b. Slo el hombre viva. c. Slo viva la
esposa. d. Al menos uno est vivo.
31. Una persona al llegar a la droguera a comprar antibiticos
para una infeccin a la garganta, encuentra
dos marcas, cada una de ellas con dos formulaciones: con
anestsico y sin anestsico, cul es la
probabilidad de que elija la marca A con anestsico?
32. Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan
independientemente. La probabilidad de que un
vehculo especfico est disponible cuando se necesite es 0,94. a.
Cul es la probabilidad de que ninguno
est disponible en caso necesario?
-
b. Cul la de que alguno lo est cuando se necesite?
c. Cul la de que ambos lo est cuando se necesite?
33. Se lanza una moneda de tal forma que una cara tiene la
posibilidad de ocurrir cuatro veces ms que un
sello; si la moneda se lanza 3 veces al aire, Cul es la
probabilidad de obtener 2 sellos y 1 cara?
34. La San Buenaventura participa en 15 partidos de ftbol en el
primer semestre. De cuantas maneras
puede el equipo terminar el semestre con 9 victorias, 4 derrotas
y 2 empates?
35. Del 100% de madres atendidas en un determinado hospital de
Bogot, el 15% corresponde al grupo de menos de 20 aos, el 50% de 20
a 29 aos y el 35% restante del grupo de 30 aos y ms. La incidencia
de asfixia neonatal se presenta en un 15% de los RNV de madres
menores de 20 aos, en el 5% de los RNV de las madres de 20 a 29
aos, y en el 12% de los RNV de madres de 30 aos y ms. a) Cul es la
probabilidad de que una madre atendida en dicho lugar, su nio nazca
con asfixia neonatal? b) Si se diagnostica uno de estos nios con
asfixia neonatal, cul es la probabilidad de que la madre tenga
menos de 20 aos?
36. Dos eventos A y B son estadsticamente dependientes, P (A) =
0,39, P (B) = 0,21 y
P (A B) = 0, 47. Encuentre las probabilidades de que: a. No
ocurran ni A ni B b. Ocurran A y B c. Ocurra B, si A ha ocurrido d.
Ocurra A, si B ha ocurrido
37. El 10% de los alumnos de una institucin educativa tiene la
vista defectuosa, el 12% tiene problemas
dentales y el 4% tienen la vista defectuosa y problemas
dentales. Cul es la probabilidad de tener problemas
dentales si se tiene la vista defectuosa?
38. Una empresa de asesora alquila autos de tres agencias: 30%
de la agencia D, 40% de la agencia E y
30% de la agencia F. Si 15% de los autos de la agencia D, 18% de
los provenientes de E y 9% de los autos
de F tienen neumticos en mal estado,
a. Cul es la probabilidad de que la empresa contrate un auto con
los neumticos en mal estado? b. Cul es la probabilidad de que el
auto con neumticos en mal estado rentado por la empresa
provenga de la agencia F? c. Cul es la probabilidad de que el
auto con neumticos en buen estado rentado por la empresa
provenga de la agencia E?
39. Se ha nominado a tres miembros del club El Serrucho para
ocupar la presidencia del mismo. La
probabilidad que se elija al seor Morales es de 0,3; que se haga
lo propio con el seor Moreno, de 0,5 y
que gane la seora Panqueva, de 0,2. En caso de que se elija al
seor Morales la probabilidad de que la
cuota de ingreso se incremente es de 0,8; si se elige al seor
Moreno o a la seora Panqueva, las
correspondientes probabilidades de que se incremente la cuota
son de 0,1 y 0,4. Cul es la probabilidad de
que haya un incremento en la cuota de ingreso?
-
40. Los ayudantes de una gasolinera deben limpiar el parabrisas
de los autos de los clientes. Tiburcio, quien
atiende al 25% de todos los autos, no cumple su cometido una vez
cada 30 autos; Cinforoso quien atiende el
40% de los autos, no limpia el parabrisas una vez cada 15 autos;
Milciades quien atiende al 25% de ellos, no
cumple su cometido una vez cada 10 autos y Mauricio quien
atiende al 10% de los autos, no limpia el
parabrisas una vez cada 25 autos. Si un cliente se queja de que
su parabrisas no fue lavado,
a. Cul es la probabilidad de que el auto lo haya atendido
Mauricio? analice el resultado. b. Cul es la probabilidad de que el
auto lo haya atendido Tiburcio? analice el resultado
41. Un grupo de inters pblico estaba planeando presentar una
tutela contra las tarifas de los peajes en una
de las tres siguientes ciudades: Bogot, Cali o Medelln. La
probabilidad de que escogiera Bogot es de 0,40;
de que escogiera Cali fue de 0,35; de que escogiera Medelln, fue
de 0,25. El grupo saba adems que
tena un 60% de posibilidades de conseguir un fallo favorable si
seleccionaba Cali, 45% si seleccionaba
Bogot y 35% si seleccionaba Medelln. Si el grupo tuvo un
dictamen favorable. Cul ciudad tuvo mayores
probabilidades de ser escogida para presentar la tutela?
Responda las preguntas 42 y 43 de acuerdo con la siguiente
informacin
En un colegio de dos cursos de 11 cada uno de 30 estudiantes, se
va a realizar una evaluacin con tres
materias que los estudiantes seleccionan entre matemticas,
lenguaje e historia. Los estudiantes pueden
seleccionar entre una hasta las tres reas. Se observa que slo
2/5 de los estudiantes han seleccionado
matemticas, el 60% tomaron lenguaje y dos tercios historia. De
estos estudiantes 10 van a profundizar
matemticas y lenguaje pero no historia; 8 matemticas e historia
pero no lenguaje y 6 nicamente historia.
42. Cuntos estudiantes como mximo profundizan en matemticas,
lenguaje e historia a la vez?
A. Ninguno B. 6 C. 10 D. 14
43. Los estudiantes que profundizan en historia y lenguaje
pueden ser hasta:
A. 6 B. 20 C. 26 D. 36
44. Una urna contiene 10 bolas, 4 rojas y 6 azules. Una segunda
urna contiene 16 bolas rojas y una cantidad
desconocida de bolas azules. Una sola bola se extrae de cada
urna. La probabilidad de que las dos bolas
sean del mismo color es de 0,44. Calcular el nmero de bolas
azules en la segunda urna.
A. 4 B. 20 C. 24 D. 44 E. 64
45. Una caja contiene 10 bolas, de las cuales 3 son de color
rojo, 2 amarillas, y 5 de color azul. Se extraen
cinco bolas al azar sucesivamente con reemplazo. Calcular la
probabilidad de que menos de 2 de las bolas
seleccionadas sean rojas.
A. 0.3601 B. 0.5000 C. 0.5282 D. 0.8369 E. 0.9167
46. Una clase contiene 8 nios y 7 nias. El profesor selecciona 3
de estudiantes al azar y sin reemplazo. Calcular la probabilidad de
que el nmero de nios seleccionados excede el nmero de
-
nias seleccionadas.
47. Una caja contiene 10 canicas blancas y 15 canicas negras. Si
se seleccionan 10 canicas al azar y sin reemplazo, cul es la
probabilidad de que x de las 10 canicas sean de color blanco para x
= 0, 1, ..10.
48. En una encuesta sobre las preferencias de goma de mascar de
los jugadores de bisbol, se encontr que
22 prefieren sabor a fruta. 25 gustan de menta. 39 prefieren
uva. 9 gustan de menta y fruta. 17 gustan de fruta y uva. 20
prefieren menta y uva. 6 les gustan todos los sabores. 4 no les
gusta ninguno de los sabores.
a) Cuntos jugadores fueron encuestados? Al seleccionar a uno de
estos jugadores al azar, cul es la probabilidad de que
b) Le guste los sabores a uva o menta. c) Le guste el sabor a
fruta y uva pero no menta verde.
49. Sean A, B, C tres subconjuntos de un universo U con las
siguientes propiedades:
A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 50. En un estudio mdico, los pacientes
se clasifican en funcin de si tienen el tipo de sangre A, B, AB, u
O, y tambin de acuerdo a su presin arterial entre baja (L), normal
(N) o alta (H). Utilice un diagrama de rbol para representar los
diversos resultados que pueden ocurrir. 51. De cuntas maneras se
pueden sentar 10 personas, que consta de 5 parejas, en una fila de
10 asientos, si todas las parejas deben ubicarse en asientos
adyacentes? 3000 B. 3840 C. 3520 D. 2000